FCTM – Capítulo 5 – Bombas, Turbinas e Perda de carga – Exemplos Resolvidos
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Equação da Energia e presença de uma
máquina:
v12
v22
p1      g  h1  p2      g  h2
2
2
2
p1 v1
p2 v22

h 

h
 2 g 1  2 g 2
p
v2
p
v2
H1  1  1  h1  2  2  h2  H 2
 2 g
 2 g
PeixoB 
Vazões:
Definimos como:
 Vazão em Peso:
T 


m
t
Vazão em Volume:
Q
Equação da continuidade:
1v1 A1  2v2 A2
Para fluidos incompressíveis:
v1 A1  v2 A2 {2}
p1   gy1 
 v12
2
 p2   gy2 
 v22
2
{3}
H1  H 2
2
1
v
p1
v22 p2
  z1 
  z2
2g 
2g 
Substituindo {2} em {3}, a velocidade
é dada por:
V
t
v2  cq
2p
H O
2
Com:
como:
cq 
Em
t
E
E P
Pt  m  m  eso
t Peso t
E
H m
Peso
P
Como: Pt  H  eso
t
m g
Pt  H 
t
 V  g
Pt  H 
t
V
Q
t
  g
Pt  H    Q
1
Equação de Bernoulli:
Potência de uma máquina
A potência de uma máquina é definida
Pt 
PT
PfT
m1  m2  1V1  2 V2
Vazão em Massa:
Qm 
 Q  HB
B
PT  T  PfT  PT  T    Q  HT
Peso
t
Qg 
B
 PeixoB 
 Se a máquina for uma turbina:
Se colocarmos uma máquina entre os pontos
(1) e (2), escreveremos a relação como:
H1  H M  H 2
Se H M  H 2  H1  0  Motor;
Se H M  H 2  H1  0  Turbina.
PB
A12
d14

A12  A22
d14  d 24
A vazão será:
Q  A1  v1  A2v2
Equação da energia para fluido
real
Nesse item será retirada a hipótese de
fluido ideal; logo, serão considerados os atritos
internos no escoamento do fluido. São
mantidas as hipóteses de regime permanente,
fluido incompressível, propriedades uniformes
na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta
última significa que não existe uma troca de
calor provocada propositalmente; no entanto,
ao se considerar os atritos no escoamento do
fluido, deve-se imaginar que haverá uma perda
de calor do fluido para o ambiente causada
pêlos próprios atritos. Como será visto a
seguir, a construção da equação da energia
pode ser realizada sem se falar, explicitamente,
dessa perda de calor.
Rendimento de uma máquina:
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se
O Rendimento de uma máquina é definido
o fluido fosse perfeito. H1 = H2 (Figura 4.8).
quanto a sua natureza.
 Se a máquina for um motor:
B 
PB
PeixoB
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Qm 30 103
Q

Av

v


 vm  10 ms
m
m
m
Se, no entanto, houver atritos no transporte do
A 30 104
fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação
vm  10 ms
da energia, de forma que H1 > H2.
Querendo restabelecer a igualdade, será
necessário somar no segundo membro a energia dissi2. No tubo da figura, transporta-se ar.
pada no transporte.
Na área da maior seção do tubo a área vale 25
cm2, a densidade 1,2 kg/m3 e a velocidade 10
H1  H 2  H p12
m/s; no ponto de menor seção a área vale 5
H p12 : energia perdida entre (l) e (2) por cm2, a densidade 0,8 kg/m3. Determine na
menor seção a velocidade e as vazões em
unidade de peso do fluido.
massa, volume e em peso.
Como
H p12  H1  H 2
chamados cargas totais,
H p12
e como H1
E
H2 são
2
v
é denominado 'perda de
carga'.
Se for considerada também a presença de uma
máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará:
(1)
Qm1  Qm2  1 A1v1  2 A2v2  v2 
H1  H M  H 2  H p12
v2 
v12 p1
v2 p
  z1  H M  2  2  z2  H p12
2g 
2g 
Da Equação deve-se notar que, no escoamento de
um fluido real entre duas seções onde não existe máquina, a
energia é sempre decrescente no sentido do escoamento,
isto é, a carga total a montante é sempre maior que a de
jusante, desde que não haja máquina entre as duas.
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente
calculável raciocinando da mesma maneira que para o
cálculo da potência do fluido. A potência dissipada ou
perdida por atrito poderá ser calculada por:
Ndiss  QH p12
 Exemplos:
1. Um tubo admite água ( = 1000 kg/m3)
num reservatório cuja vazão é de 20 L/s. No mesmo
reservatório é trazido óleo ( = 800 kg/m3) por outro
tubo com vazão de 10L/s. A mistura homogênea
formada é descarregada por um tubo cuja seção tem
uma área de 30 cm2. Determinar a massa específica
da mistura no tubo de descarga e a velocidade da
mesma.
Q1  20 Ls  20 103 ms ;
3
Q2  10 Ls  10 103 ms
3
Qm  Q
Q1  Q2  Q3  Q3  20  10  30 Ls  30 103 ms
3
Qm1  Qm2  Qm3  aQ1  oQ2  mQ3
1000  0,02  800  0,01  m 0,03  m  933,33 mkg3
m  933,33 mkg
3
(2)
1 A1v1
2 A2
1, 2  25 10
 v2  75 ms
0,8  5
Q2  A2v2  Q2  5 104  75  Q2  0.0375 ms
3
Qm2  2Q2  Qm2  0.8  0.0375  Qm2  0.03 kgs
Qg 2  gQm2  Qg 2  9.81 0.03  Qg 2  0.29 Ns
Equação da energia para fluido
real
Nesse item será retirada a hipótese de
fluido ideal; logo, serão considerados os atritos
internos no escoamento do fluido. São
mantidas as hipóteses de regime permanente,
fluido incompressível, propriedades uniformes
na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta
última significa que não existe uma troca de
calor provocada propositalmente; no entanto,
ao se considerar os atritos no escoamento do
fluido, deve-se imaginar que haverá uma perda
de calor do fluido para o ambiente causada
pêlos próprios atritos. Como será visto a
seguir, a construção da equação da energia
pode ser realizada sem se falar, explicitamente,
dessa perda de calor.
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se
o fluido fosse perfeito. H1 = H2 .
Se, no entanto, houver atritos no
transporte do fluido, entre as seções (l) e (2)
haverá uma dissipação da energia, de forma
que H1 > H2.
Querendo restabelecer a igualdade, será
necessário somar no segundo membro a
energia dissipada no transporte.
H1  H 2  H p12
H p12 : energia perdida entre (l) e (2) por
unidade de peso do fluido.
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Como H p12  H1  H 2 e como H1 E H2 são
chamados cargas totais, H p12 é denominado 'perda
de carga'.
Se for considerada também a presença de uma
máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará:
3
H1  H M  H 2  H p12
v12 p1
v2 p
  z1  H M  2  2  z2  H p12
2g 
2g 
Da Equação deve-se notar que, no escoamento
de um fluido real entre duas seções onde não existe
máquina, a energia é sempre decrescente no sentido
do escoamento, isto é, a carga total a montante é
sempre maior que a de jusante, desde que não haja
máquina entre as duas.
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente
calculável raciocinando da mesma maneira que para
o cálculo da potência do fluido. A potência dissipada
ou perdida por atrito poderá ser calculada por:
Ndiss    Q  H p12
Equação de Bernoulli:
v2
v2
p1   gh1  1  p2   gh2  2
2
2
v2
p
v2
 h1  1  2  h2  2  H1  H 2

2g 
2g
p1
h
h2
(2)

H2( p2, v2 ,h2)
M

H1( p1, v1 ,h1)
h1
(1)
H1  H M  H 2  H p12
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H4  0  H p  2
Exemplos:
14
l. Na instalação da figura, verificar se a
H B  H1  H 4  H p14  24  0  2  26
máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar a
sua potência, sabendo que seu rendimento é 75%.
QH B 104 10 103  26
Sabe-se que a pressão indicada por um manômetro
PotB 

 3470W  3, 47kW
instalado na seção (2) é 0,16 MPa, a vazão é l0 L/s, a
B
0,75
área da seção dos tubos é l0 cm2 e a perda de carga
entre as seções (l) e (4) é 2 m.
2. No escoamento lamelar de um fluido
Não é dado o sentido do escoamento, em condutos circulares, o diagrama de
velocidades é representado pela equação:
 H2O  104 N m3 ; g = 10 m/s2.
  r 2 
v  r   vmax  1    
  R  
 Solução
Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4)
onde vmax é a velocidade no eixo do
é o nível do reservatório inferior sem incluir a parte conduto, R é o raio do conduto e r é um raio
interna do tubo, já que nesta não se conhece a genérico para o qual a velocidade v é genérica.
pressão.
Sendo vm a velocidade média:
R
Sabe-se que o escoamento acontecerá no
1
vm   v  r dA  dA  2 r  dr
sentido das cargas decrescentes, num trecho onde não
A0
existe máquina. Para verificar o sentido, serão
A figura mostra a variação de v(r) com
calculadas as cargas nas seções (l) e (2).
r.
v
(a) Encontre a velocidade média:
 v  r dA
A
 dA
A
(b) Mostre que:
v2 p
H1  1  1  z1  0  0  24  24m
2g 
vm
1

vmax 2
3. No escoamento turbulento de um
fluido em condutos circulares, o diagrama de
velocidades é dado pela equação:
v2 p
H 2  2  2  z2
2g 
17
 r
v  r   vmax  1  
 R
Mostre que:
Q 10 103
v2  
 10 m s
A 10 104
v22 p2
H2 
  z2
2g 
vm
49

vmax 60
4. Na instalação da figura, a máquina é
uma bomba e o fluido é água. A bomba tem
uma potência de 5 kW e seu rendimento é 80
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento %. A água é descarregada à atmosfera com
terá o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, uma velocidade de 5 m/s pelo tubo cuja área
sendo a máquina, portanto, uma bomba.
de seção é 10 cm2 Determinar a perda de carga
Aplicando-se a equação da energia entre as do fluido entre (1) e (1) e a potência dissipada
seções (4) e (1), que compreendem a bomba.
ao longo da tubulação. Dados: H2O=104N/m3;
Lembrar que a equação deve ser escrita
g = 10m/s2.
no sentido do escoamento.
(1)
H H H H
H2 
4
H4 
102
0,16 106

 4  25m
2 10
104
B
2
4
1
v
p
 4  z4
2g 
H1  24m
p14
5m
(2)
B
4
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
Se HM > 0  Bomba
Solução:
H1  H B  H 2  H p12
H1 
Pot 
v12 p1
  z1  0  0  5  H1  5m
2g 
H2 
PotB
v22 p2
52
  z2 
00
2g 
2 10
H 2  1.25m

Potência da Bomba e rendimento:
Pot   QH B   B 
 Q  HB
PB 
B
Se HM < 0  turbina
 P
 P
HB  B B  Q  v  A  HB  B B
 Q
 v A
HB 
PotT
H B  80m
H p12  H1  H 2  H B
H p12  5  1.25  80
H p12  83.75m
Pdiss    Q  H p1,2
5
Pot 
0.8  5 103
104  5 10 104
H1  H B  H 2  H p12
Pot
PotB

Potência da Turbina e rendimento:
Pot   QH B  T 
PotT
Pot
Considere que não há perda de carga
(Hp12=0) na figura abaixo:
(1)
(2)
Pdiss  104  5 10  83.75
Pdiss  4190W
Pdiss  4.19kW
24 m
5m
M
5. A equação de Bernoulli, quando há uma
Considere o reservatório grande
máquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento
do fluido se dá de (1) para (2) pode ser reescrita da fornecendo água para o tanque a 10L/s.
forma, considerando que há uma perda de carga Hp12 Verifique se a máquina instalada é bomba ou
turbina e determine sua potência, se o seu
(Energia perdida por unidade de peso) de 3m :
rendimento é de 75%. Supor fluido ideal.
Dados: Atubos = 10 cm2; g = 10m/s2;
h
a=104N/m3.
h2
(2)

6. Na instalação da figura, verificar se a
H2( p2, v2 ,h2)
máquina é uma bomba ou uma turbina e
determinar a sua potência, sabendo que seu
rendimento é 70%. Sabe-se que a pressão
M
indicada por um manômetro instalado na seção
(2) é 0,17 MPa, a vazão é l2 L/s, a área da

seção dos tubos é l0 cm2 e a perda de carga
H1( p1, v1 ,h1)
entre as seções (l) e (4) é 2 m.
Não é dado o sentido do escoamento:
2
h1
(1)
 H O  104 N m3 ; g = 10 m/s .
2
H1  H M  H 2  H p12
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
H1 
v2 
Solução:
2
1
v
p
 1  z1  0  0  24  24m
2g 
Q 12 103

 12 m s
A 10 104
H2 
H2 
v22 p2
  z2
2g 
122
0,17 106

 4  27.2m
2 10
104
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento
terá o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma,
sendo a máquina, portanto, uma bomba.
Aplicando-se a equação da energia entre as
seções (4) e (1), que compreendem a bomba.
Lembrar que a equação deve ser escrita
no sentido do escoamento.
H 4  H B  H1  H p14
H4 
v42 p4
  z4
2g 
H1  24m
H4  0  H p  2
14
H B  H1  H 4  H p14  24  0  2  26
PotB 
QH B 104 12 103  26

 4457.14W  4.457kW
B
0, 70
Turbinas Hidráulicas - Tipos
Basicamente existem dois tipos de turbinas
hidráulicas: as de ação e as de reação. No primeiro
caso, de ação, a energia hidráulica disponível é
transformada em energia cinética para, depois de
incidir nas pás do rotor, transformar-se em mecânica:
tudo isto ocorre a pressão atmosférica Na turbina de
reação, o rotor é completamente submergido na água,
com o escoamento da água ocorre uma diminuição de
pressão e de velocidade entre a entrada e a saída do
rotor.
Tradicionalmente o uso de turbinas hidráulicas
tem-se concentrado no tipo Pelton, com um ou mais
jatos, no caso das máquinas de ação; na Francis,
Hélice e Kaplan, no caso do tipo de reação. A escolha
do tipo adequado baseia-se nas condições de vazão,
queda líquida, na altitude do local, na
conformação da rotação da turbina com a do
gerador e na altura de sucção, no caso de
máquinas de reação.
Conhecidos a altura (H) e a vazão (O)
disponíveis no local, levando-se em conta: a
rotação (n) imposta em valores discretos em
função do número de pares de pólos (z), do
gerador elétrico, e altura de sucção,(hs), no
caso da turbina hidráulica ser de reação,
determina-se uma rotação específica nq = 3 n
Q05 / H~1’75 , que definirá o tipo de rotor da
turbina
hidráulica,
adequado
ao
aproveitamento em questão.
Definido o tipo de máquina, a preocupação
passa ser o tipo de carga a ser atendida. Devese procurar adequar a curva de carga com a de
comportamento da turbina. No caso de grandes
variações na carga, divide-se a instalação em
duas ou mais máquinas, de maneira que
através de manobras, a instalação atenderá a
demanda sempre com as máquinas trabalhando
a cargas adequadas. Neste caso, faz-se
necessário a mudança do tipo do rotor, já que a
rotação específica mudou, devido a divisão da
vazão.
Em grandes centrais hidroelétricas as
turbinas somente serão construídas após a
definição de todos os parâmetros topográficas,
hidrológicos e operacionais. Com isto, existe
uma perfeita caracterização da rotação
específica. Neste caso é feito um projeto
exclusivo para as condições impostas. A
preocupação do fabricante é obter um ganho
do rendimento que é resultante de extensos
estudos hidrodinâmicos na máquina. O alto
custo desta exclusividade é diluído, face às
grandes potências geradas e ao considerável
aumento de receita representado por cada
percentual acrescido da turbina.
Já, em instalações de pequeno porte, mini e
microcentrais hidroelétricas, a preocupação
maior é obter energia elétrica a baixo custo.
Neste caso, o estudo da escolha do tipo e do
número de turbina, feita de maneira análoga às
das grandes instalações, tem como fatores
limitantes a rotação mínima admissível para o
gerador, na ordem de 600 rpm (rotações por
minuto), a necessidade de utilizar-se de
modelos padronizados oferecidos pelo
fabricante. Este as oferece dentro de um
campo de aplicação pré-limitado, dividido em
várias faixas, sendo cada uma atendida por um
modelo padrão da turbina em questão.
Conseqüentemente uma turbina assim
especificada dificilmente irá operar no seu
ponto ótimo de funcionamento. Além do que,
cada máquina deverá atender a uma variação
de carga preestabelecida. Impreterivelmente,
quedas de rendimento da instalação deverão
ocorrer.
No Brasil, os fabricantes nacionais mais
conhecidos se contentam em oferecer modelos
6
FCTM – Capítulo 5 – Bombas, Turbinas e Perda de carga – Exemplos Resolvidos
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padronizados dos tipos: Pelton, Francis e Hélice.
Recentemente é que, baseados em projetos
desenvolvidos no exterior, se encorajaram e passaram
a oferecer a Kaplan e suas derivações como: Bulbo,
―S" e Tubular.
Objetivando diminuir os custos e aumentar o seu
campo de aplicação as Francis, além de caixa espiral,
são oferecidas em caixas cilíndricas e abertas. Já as
Pelton são oferecidas com um ou dois injetores.
Normalmente, em se tratando de PCHs, estas
máquinas são instaladas com eixo horizontal.
Algumas empresas atuantes em outros segmentos
do mercado, outras criadas especialmente para a
fabricação de equipamentos hidromecânicos e até
mesmo grandes empresas tradicionais no setor
hidroelétrico voltaram seus interesses ao mercado das
PCHs, procurando desenvolver modelos de turbinas
hidráulicas possíveis de serem fabricadas em série.
Poucas empresas, não tradicionais no mercado,
trabalham exclusivamente com a muito divulgada,
mas quase desconhecida, Michell-Banki, a maioria
concentra suas atividades nas clássicas: Pelton,
Francis e Hélice, deixando os caros rotores Kaplan
para uma fase posterior, quando o mercado assim o
permitir. Em caso das instalações exigirem este
último tipo, os projetos geralmente são importados
das sedes de origem do fornecedor.
Alguns tipos de turbinas que, embora bastante
utilizadas, são consideradas não convencionais. Dos
tipos descritos a seguir, somente a Michell-Banki
encontra-se devidamente divulgada no país, é
construída em pequena escala. Todas elas apresentam
como vantagens comuns: simplicidade construtiva,
adequação à padronização, baixo custo, simplicidade
de operação e manutenção, robustez dos
componentes, bom comportamento em sistemas
isolados. Como desvantagem, conseqüentes das
simplificações
impostas,
elas
apresentam
rendimentos ligeiramente inferiores às turbinas
tradicionais.
 Turbinas Convencionais
 Turbina Pelton
As Turbinas Pelton são máquinas de ação,
escoamento tangencial. Operam altas quedas e baixas
vazões. Podem ser de um (01) jato, dois (02) jatos,
quatro (04) jatos e seis (06) jatos. C controle da vazão
é realizado na agulha e injetor. A figura 4 mostra uma
turbina Pelton de dois (02) jatos, com suas partes
principais.
 Turbina Francis
As Turbinas Francis são máquinas de reação,
escoamento radial (lenta e normal) e escoamento
misto (rápida). Operam médias vazões e médias
quedas. O controle da vazão é realizado no
distribuidor ou sistema de pás móveis.
 Turbina Axial: Hélice e Kaplan
As Turbinas axiais são máquinas de reação, de
escoamento axial. Operam grandes vazões e baixas
quedas. O controle de vazão é realizado: turbina
Hélice — pás do distribuidor (simples regulagem) e
turbina Kaplan - pás do distribuidor e pás do rotor.

Turbinas
Não
Convencionais
 Turbina Michell Banki
Inicialmente patenteada na Inglaterra, em
1903, por A G. Michell, engenheiro
australiano, mais tarde, entre os anos de 1917
e 1919, pesquisada e divulgada pelo professor
húngaro
Banki,
esta
turbina
foi
extensivamente comercializada pela empresa
alemã Ossberger Turbinen Fabrik que
associou-se a Michell por volta de 1923.
Nestes últimos 65 anos esta empresa
responsável pela entrega de mais de 7.000
unidades em todo o mundo, especialmente
para em desenvolvimento. Atualmente, o
número de fabricante deste tipo de turbina
supera uma centena. No Brasil, o objeto de
pesquisa do LHPCH-UNIFEI desde 1983, a
turbina Michell-Banki, ou fluxo-cruzado,
como também é conhecido, já foi fabricada
pela empresa Mescli, de Piracicaba-SP, na
década de 60. Nesta mesma época a Fundição
Brasil também a oferecia com o nome de
Duplex. Atualmente, o país conta por volta de
quatro fabricantes deste tipo de turbina.
Devido às suas características específicas,
estas turbinas cobrem o campo das turbinas
tipo Pelton dois jatos até a Francis normal.
Sendo classificada como uma máquina de ação
ela apresenta características de reação na
primeira passagem.
O seu campo de aplicação atende quedas
de 3 a 100 m, vazões de 0,02 a 2,0 (m3/s) e
potências de t a 100 kW Devido à sua
facilidade de padronização pode apresentar
rotações específicas, nqa, entre 40 a 200.
Devido à sua simplicidade construtiva e as
peculiaridades quanto ao seu funcionamento,
esta turbina mostra-se altamente indicada para
ser usada em microcentrais hidroelétricas.
Destaca-se:
- Construção simples, poucas peças móveis,
facilitando a manutenção;
- Fácil instalação, diminuindo os custos de
obras civis;
- Custos iniciais inferiores aos dos outros tipos
de turbinas usadas em centrais de baixa queda;
- Trabalha sob condições ideais de
funcionamento, mesmo se funcionando a
cargas parciais;
- Pode trabalhar em várias situações de queda
e vazão, permitindo a sua padronização,
conseqüentemente diminuindo os custos de
fabricação;
- Componentes, como o disco do rotor, a
tampa e as pás podem ser fabricados a partir
de uma chapa de aço carbono;
- Pás são apenas calandradas;
- Adapta-se a tubos de sucção.
7
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
- Devido às maiores vazões admissíveis
nos injetores da roda turgo, ocorre uma
A turbina de Fluxo Partido, mostrada na figura 9, diminuição do número de injetores, e
trata de uma variação da Michell-Banki. Originada conseqüentemente, há uma simplificação no
no Nepal onde foi, pela primeira vez, construída e sistema de controle de velocidade.
testada pela empresa N. Y 8., e mais tarde testada
pela Escola Politécnica de Hong Kong, a Turbina de
Fluxo-Partido, SplitFlow, assim denominada, foi
Com a diminuição do diâmetro há um
concebida de maneira a estender o campo de aumento na rotação, logo, sob quedas
aplicação das turbinas Michel-Banki à rotação menores, é possível obter rotações adequadas
específica, nq inferiores a 40 (de 15 a 40). Com um ao gerador.
campo de aplicação limitado entre queda de 50 a 150
Atualmente, além da Gilkers, existem
(m) e vazões de 0,01 a 0,13 (m3/s), esta turbina propostas de outros modelos de turbinas Turgo
deverá concorrer com a turbina Pelton de um jato.
mais simplificados, como a pesquisada pelos
O seu funcionamento ocorre da seguinte maneira: chineses. Estes propõem o uso de pás semia água oriunda das tubulações, passa por uma peça de esféricas que, equacionadas, permitiram o
transição, que muda a secção transversal de circular dimensionamento e construção de um
para retangular, entra no injetor o qual, juntamente protótipo, cujos resultados obtidos em ensaios
com a pá diretriz, direciona o fluxo d’água para o foram equivalentes ao fornecido pelas Gilkers.
rotor primário, que está contido no interior do rotor
No Chile, a exemplo das rodas Pelton,
secundário, que por sua vez é bi-partido, figura 5. A existe uma proposta para construção de
água escoa através das pás em formato de arco de simples rodas Turgo, construídas com pás
círculo do rotor primário e o jato d’água é partido de semi-esféricas e setias, no lugar de injetores.
maneira a incidir no interior das pás, também em arco
de círculo, do rotor secundário e daí sair para o canal
 Turbina Shiele
de fuga. Ambos os rotores são solidários a um eixo
horizontal. Todo o conjunto é contido no interior de
A Turbina Schiele produzida somente pela
uma tampa.
empresa
Water
Power
Engineering,
Em testes feitos pela Politécnica de Hong Kong, Cambridge, Inglaterra, apresenta-se como um
obteve-se rendimentos na ordem de 58 a 610/o, sendo interessante tipo de turbina de reação. De rotor
que o primário testado sozinho forneceu 46 a 56%.
aberto, com fluxo em paralelo, ela opera
A vantagem deste tipo de turbina, além de submersa, abaixo do nível de jusante.
ampliar o campo de aplicação de Michel-Banki, é a
O seu campo de aplicação cobre quedas de
sua facilidade de fabricação, já que pode usar 1 a 10 m, vazões de 0,095 a 1,7m3/s, gerando
processo de fundição para o rotor. A desvantagem potencias desde 1,7 a 58 kW. Pelos dados
consiste no rendimento sensivelmente inferior a fornecidos pelo seu fabricante a rotação
Michel-Banki de rotações específicas equivalente, específica adotada é na ordem de 60. Trata-se
conforme os resultantes obtidos nos testes de uma concorrente da Turbina Michell-Banki,
desenvolvidos na politécnica de Hong Kong.
sendo que as vantagens estão no fato de
assumirem
diâmetros
menores
e,
conseqüentemente, maiores rotações que as
 Turbina Turgo
turbinas de impulso.
A turbina Turgo é fabricada pela Gilkers &
O rotor, que é fabricado em diâmetros
Gordon Ltda, empresa inglesa. Trata-se de uma padrões: 200, 300, 400, 600 mm, é instalado
máquina de ação e diferencia da Pelton quanto ao com eixo vertical, dentro de uma caixa espiral
ângulo de incidência do jato d’água. Quando na que, por sua vez, é ligada à tomada d’água por
Pelton o jato é tangencial, na Turgo é lateral, O jato uma tubulação de PVC. A água que vem
d’água incidente no injetor, e no rotor lateralmente, escoando pelo rotor é dividida, saindo tanto
formando um ângulo ente 100 a 200. A água escoa pela parte superior e inferior do rotor, para daí
pelas pás saindo livremente do outro lado para o escoar para o canal de fuga através de um
canal de fuga. Com rotações específicas, nq, variando curto tubo de sucção.
de 15 a 65, a Turgo atende quedas entre 15 a 100 m e
Devido ao emprego de polímeros na
vazões de 0,01 a 0,100 m3/s, com potências de 100W fundição do rotor, não se faz necessário a
a 100 kW.
usinagem
pós-fabricação.
Com
um
Devido às suas particularidades, a Turgo compete acabamento extremamente liso e de alta
com a Pelton multijatos até a Francis Normal. Se com integridade, o polímero por ser flexível, dá à
características semelhantes, a Turgo apresenta as turbina uma alta resistência à erosão dos
seguintes vantagens diante da Pelton Multi-jatos:
detritos que por ventura passem pela grade.
- Devido a posição do jato, a turbina Turgo pode
O fabricante da turbina Schiele, ou de
assumir diâmetros até a metade da roda Pelton para fluxo em paralelo como também é
as mesmas condições.
denominada, fornece-a em forma de pacote.
- Como a Pelton, a Turgo pode ser dotada de ate Empregando materiais leves e resistentes,
três injetores.
como é o caso de fibras de vidro, PVC e
Turbina de Fluxo Partido
8
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polímeros, são fornecidos todos os componentes
básicos da microcentral de maneira a minimizar o
emprego da mão-de-obra na construção da
microcentral. A tomada d’água, feita de fibra de
vidro, é dotada de uma comporta desviadora, uma
grade, e um extravasor. A água é conduzida até a
turbina, instalada dentro de um tanque, através de um
conduto de PVC. A água após passar pela turbina
escoa pelo tanque através de um pequeno tubo de
sucção para sair pelo rio. A potência é transmitida
para o gerador, através de um eixo e uma transmissão
por polias, que se faz necessário para adequar a
rotação da turbina ao gerador. A velocidade da
instalação é controlada eletronicamente através de
um banco de resistência, que pode ser usado para
aquecer água dispondo assim a carga não consumida
pela usuário.

Bombas Funcionando como Turbinas
Por fim, destaca-se o caso das bombas
funcionando como turbinas (B.F.T.), que se tratam de
a solução importante no caso de microcentrais. O uso
da bomba funcionando corno turbina, B.F.T., mostrase altamente adequado para geração de potências
inferiores a 50 W com a instalação trabalhando a
plena carga. A experiência já adquirida no país,
através de pesquisas desenvolvidas no LHPCH UNIFEI, que iniciou os estudos em trabalhos publicaos pela Worthington e alguns pesquisadores
estrangeiros, demonstra que o uso da B.F.T. pode
tornar-se de imediato uma solução altamente
econômica para as microcentrais.
O funcionamento da instalação se dá pelo
princípio de se operar uma bomba ao reverso, que
motivos econômicos, pode ser de fabricação seriada,
não sofrendo qualquer modificação. Ainda, admite-se
somente o uso de um tubo de sucção cônico e o uso
de uma válvula na entrada da B.F.T. para pequenas
regulagens de carga.
fabricadas em série, dificilmente o apresentado
em catálogos é obtido em ensaios no
laboratório.
Devido ao baixo custo, as B.F.T.s
apresentam os inconvenientes de não
admitirem variações de carga. Problema este
que pode facilmente ser solucionado com
regulador eletrônico de carga constante.

Em 1982, J. H. Harwood, um pesquisador
da Universidade do Amazonas, desenvolveu
um tipo de turbina hidrocinética com
tecnologia apropriada à geração de pequenas
potências denominado cata-água. Tal como
mostrado na figura 13. O dispositivo é
constituído por um cata-vento, com um
número menor de pás, imerso na água. O rotor,
através de uma correia, aciona o gerador
instalado estrategicamente sobre flutuadores,
O conjunto é ancorado, através de cabos, de
forma a melhor aproveitar a correnteza do rio.
A turbina de rotor hélice desenvolvida em
Nova Iorque, pois este rotor permite maiores
eficiências, permitindo gerar em ambos os
sentidos, alcançando 25 kW Existe um
exemplar desta turbina em Brasília na UNB. A
figura 14 mostra esta turbina.
Uma outra proposta é a turbina
hidrocinética axial, que foi elaborada pelo
pesquisador do LHPCH-UNIFEI, cujo o
arranjo está mostrado na figura 15. Nesta
proposta o rotor, em forma de polia, aciona
diretamente o gerador posicionado sobre os
flutuadores.
Uma outra proposta é o uso do rotor eólico
Darreus de pás retas como a turbina
hidrocinética, mostrado na figura 16. Este tipo
de turbina tem a vantagem de ter eixo na
posição vertical, facilitando a instalação do
gerador ou de polia multiplicadora de
velocidade, e caracteriza-se, principalmente,
em produzir energia independente da direção
da correnteza.

Posta a operar, a B.F.T. tem se comportado
excelentemente. Não ocorrem vibrações, o
rendimento é igual ou, em alguns casos, superior ao
rendimento da bomba quando em operação.
A dificuldade consiste em saber se o rendimento
garantido pelo fabricante é real ou não, se o ponto
ótimo de funcionamento é realmente para as
condições de altura manométrica, vazão e rotação
conforme mostrado em catálogos. As experiências
têm demonstrado que, em se tratando de bombas
Turbina Hidrocinética
Turbina Helicoidal (Gorlov)
A turbina Helicoidal, desenvolvida pelo
pesquisador Alexander M.Gorlov também
baseada na turbina Darreus, concebida na
década de 1930, se difere da primeira pelo
formato das pás. Tal turbina mostrada nas
figuras 17 e 18, elas assumem forma helicoidal
e apresentam um maior rendimento e menores
vibrações, uma vez que sempre haverá uma pá
em posição de receber o fluxo.
Os primeiros testes foram realizados em
1996, no Laboratório de Turbinas Helicoidais
de Massachusetts, Cambridge, USA. A partir
destes testes, verificaram-se que esta é uma
9
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máquina que ocupa pouco espaço; é leve e fácil de
 Exercício 4.5 – Quais são as vazões
manusear; apresenta baixo custo de fabricação e de óleo em massa e em peso do tubo
apresenta pequena vibração mecânica.
convergente da figura, para elevar uma coluna
São turbinas hidráulicas capazes de gerar até 5 de 20 cm de óleo no ponto (0)?
kW de potência, operando independentemente da
direção da correnteza. Esta turbina possui rotação 80 mm
40 mm
unidirecional mantendo um escoamento livre, com
um rendimento máximo que pode alcançar 35%, é
20 cm
fabricada em alumínio e revestida com uma camada
de material antiaderente, reduzindo desta forma o
atrito na água e prevenindo contra o acúmulo de
crustáceos e sujeira. Esta pode ser usada na posição
vertical ou horizontal.
10
A turbina Gorlov também pode ser denominada de
turbina ―ecológica‖ em razão do seu aspecto
construtivo, ou seja, dimensão, ângulo e
distanciamento entre suas pás, que permitem a
passagem fácil de peixes, não contribuindo para
denegrir o meio ambiente.
As turbinas Gorlov têm sido testadas para
diferentes finalidades, a saber: em plataformas
marítimas, onde produzem a eletricidade usada na
eletrólise da água para fornecer hidrogênio e
oxigênio; e na produção de eletricidade para
abastecer pequenas propriedades rurais nas regiões
ribeirinhas de rios, nos EUA, China e Coréia.
(0)
(1)

Solução:
2
0
v
p
v2 p
 0  z0  1  1  z1
2g 
2g 
p0
 0.2

v12 v02 p0


2g 2g 
v12  v02  0.2  20
v12  v02  4
A0  v0  A1  v1
  D02
  D12
 v0 
 v1
4
4
 802
 402
 v0 
 v1  v1  4v0
4
4
16v02  v02  4  v0  0.52
Q
Q
 2
D0  v0
4
m
s

0.082  0.52
4
Q  0.0026
m3
l
 Q  2.6
s
s
Qm   Q
Qm 

Q
g
8000
 0.0026
10
kg
Qm  2.1
s
Qm 
Qg  g  Qm
Qg  21 N s
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 Exercício 4.7 – Na extremidade de uma
tubulação de diâmetro D, acha-se instalado um bocal
que lança um jato de água na atmosfera com diâmetro
de 2 cm. O manômetro metálico registra uma pressão
de 20 kPa e a água sobe no tubo de Pitot até a altura
de 2.5 m. Nessas condições, determinar:
patm
(a) A vazão em peso do escoamento.
(b) O diâmetro D do tubo admitindo escoamento
permanente e sem atrito. a = 10 N/L
m
s2
D1  72mm D2  36mm
g  10
Câmara
11
D
(1)
(2)
(1)
(2)

Solução:
p2   Hg  h  p2  1.36 105  0.22

p2  29920Pa
Solução:
(a)
v22
 h  v2  2  g  h  v2  7.07 ms
2g

Qg    D22  v2
4

Qg  104  0.022  7.07
4
N
Qg  22.2
s
2
2
v
p
v
p
(b) 1  1  z1  2  2  z2
2g 
2g 
v12
v2 p
 2  1
2g 2g 
v12 7.072 20 103


 v1  3.16 ms
4
2 g 2 10
10
  D12
  D22
 v1 
 v2
4
4
v
D1  D2  2
v1
D1  3cm
v12 p1
v2 p
  z1  2  2  z2
2g 
2g 
p2

29920
v22  v12  20
104
v22  v12  59.84
v22  v12  2 g
A1  v1  A2  v2
 D12
 D22
 v1 
 v2
4
4
v2  4v1
v1  2 ms

Qm   Q
g

Qm   A1  v1
g
  D12

 v1
g
4
104  0.0722
Qm 

2
10
4
Qm  8.14 kgs
Qm 
 Exercício 4.9 – Um dos métodos para se
produzir vácuo numa câmara é descarregar água por
um tubo convergente-divergente, como é mostrado na
 Exercício 4.11 – Desprezando os
figura. Qual deve ser a vazão em massa de água pelo atritos do pistão da figura, determinar:
convergente-divergente para produzir uma depressão
de 22 cm de mercúrio na câmara da figura? Dados:
(a) a potência da bomba em kW se seu
desprezar as perdas de carga.
rendimento for 80%.
N
N
(b) a força que o pistão pode equilibrar a
 H 2O  104 3 ;  Hg  1.36 105 3
haste.
m
m
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Q  AG  vG  vG 
Q
AG
0.01
8 104
m
vG  12.5
s
2
pG p4 v4  vG2




2g
vG 
H 2O
Dados: A2 = A3 = A4 = A5 = A6 = 10 cm2
AG = 8 cm2; Ap = 20 cm2; AH = 10 cm2
Hp1,2 = Hp1,4 = 0.5 m; Hp4,5 = 0.
pG 104 102  12.52


104 104
20
pG  1.81104 Pa
 Solução:
(a)
v62 p6
v12 p1
  z1  H B 
  z6  H p1,6
2g 
2g 
v2
z1  H B  6  H p1,6
2g
2
v
H B  6  H p1,6  z1
2g
102
HB 
24
20
H B  3m
Q  A6  v6
F  p4  Ap  pG   Ap  AH 
F  104  20 104   1.81104    20 104  10 104 
F  38.1N

Exemplo 4.13 – Sabendo que a
potência da bomba é 3 kW, seu rendimento é
75 % e que o escoamento é de (1) para (2),
determinar:
(a) a vazão.
(b) a carga manométrica da bomba.
(c) a pressão do gás.
Dados:
3A5 = A4 = 100 cm2
Hp1,2 = Hp5,6 = 1.5 m; Hp1,4 = 0.7m.
Q  10 10 104
 H O  104
m3
Q  0.01
s
 Q  HB
PB 
B
2
(b)
N
m3
Gás
(6)
4m
(2)
10  0.01 3
0.80
PB  375W
PB 
4
(4)
(5)
2m
h = 0.8m
(1)
F =1.2.105N/m3

(H2O)
F  p4  Ap  pG   Ap  AH 
v2 p
v42 p4
  z4  G  G  zG
2g 
2g 
pG p4 v42  vG2




2g
(3)
B
p4  Ap  pG   Ap  AH   F
v2 p
v42 p4
  z4  6  6  z6  H p4,6
2g 
2g 
p4
 H p4,6  p4    H p4,6

p4  104 1  p4  104 Pa
12

Solução:
(a)
v52 p5
v42 p4

 z4 
  z5
2g 
2g 
p  p5
v52  v42  2 g 4

Equação manométrica:
p4  p5    F     h
p4  p5  1.2 105  104   0.8
p4  p5  8.8 104 Pa
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p1  p2    m     h
8.8 104
104
v52  v42  176
A4  v4  A5  v5
3  A5  v4  A5  v5
v52  v42  2 10
p1  p2   6 104  1104   0.2
p1  p2  1102 Pa
p1  p2 v22  v12


2g
p1    h
v5  3  v4
 3v4 
2
 v42  176  9v42  v42  176
p1  3.8 104 Pa
176
m
v4 
 v4  4.7
8
s
4
Q4  A4  v4  Q4  100 10  4.7
p1  p2  1102 Pa
p2  20kPa
p1  20 103  1102
m3
Q4  0.047
s
(b)
p1  20100Pa
2p

A1  v1  A2  v2
v1 
 Q  HB
PB 
B
P 
HB  B B
 Q
3 103  0.75
104  0.047
H B  4.8m
HB 
Exemplos resolvidos
1. Determinar a vazão de água no
tubo Venturi, mostrado na figura abaixo,
sabendo-se que a diferença de pressão entre os
pontos A e B é igual a 5.286kgf/m².
Resp.: Q = 172 L/s
(c)
v2 p
v12 p1
  z1  H B  6  6  z6  H p1,6
2g 
2g 
p
p
H B  6  z6  H p1,6  6  H B  z6  H p1,6


p
p
H B  6  z6  H p1,6  6  H B  z6  H p1,6



p6    H B  z6  H p1,6

H p1,6  H p1,2  H p3,4  H p5,6
H p1,6  1.5  1.5  0.7
H p1,6  3.7m
p6  104   4.8  6  3.7 
p6  4.9 104 Pa
p6  4.9 104 Pa
p6  49kPa

Exemplo 4.6 2
1
2
2
v
p
v
p
 1  z1 
 2  z2
2g 
2g 
p1  p2 v22  v12


2g

Solução:
2
A
v
p
v2 p
 A  y A  B  B  yB
2g 
2g 
AA  vA  AB  vB
 2A
 2B
 vA 
 vB
4
4
2
vA  2B  vB
A
vA 
1502
 vB
3002
1
vA   vB  vB  4vA
4
2
vA pA
vB2 pB

 yA 

 yB
2g 
2g 
p A  pB
v2  v2
 yB  y A  B A

2g
13
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4vA   vA2

5286 10
 0.75 
104
2  9.81
2
16vA  vA2
5.286  0.75 
19.62
19.62  5.286  19.62  0.75  15vA2
2
103.711  14.715  15v
vA2 
2
A
103.711  14.715
88.996
 vA 
15
15
m
vA  2.436
s
Q  AA  vA
 2A
 vA
4
 0.32
Q
 2.436
4
m3
Q  0.1722
s
1000 L
Q  0.1722
s
L
Q  172.2
s
vC 
2B
 vB
C2
vC 
1252
 vB
2502
1
vC   vB  vB  4  vC
4
Q
4Q
vC 
 vC 
2
 C
 C2
4
4  0.105
m
vC 
 vC  2.139
2
 0.250
s
vB  4  vC  vB  4  2.139  vB  8.556
Q
2. Calcular a pressão relativa no início do
duto de 250mm de diâmetro e a altura ―h‖ de água,
sabendo-se que a vazão é de 105 L/s e descarrega na
atmosfera.
Resp.: p1 = 0,350 kgf/cm2 h = 3,73 m
(A)
(C)
(B)

Solução:
vA2 p A
v2 p

 y A  B  B  yB
2g 
2g 
vB2 0
02 0
 h 
  0  vB  2  g  h
2g 
2g 
vC2 pC
v2 p

 yC  B  B  yB
2g 
2g 
L
m3
AC  vC  AB  vB  105  0.105
s
s
2
2
 C
 B
 vC 
 vB
4
4
vC2 pC
vB2 0

0 
 0
2g 
2g 
2.1392 pC
8.5562 0
 4 0
 0
2  9.81 10
2  9.81 
p
0.233196  C4  3.731148
10
pC
 3.731148  0.233196
104
pC  34979.53Pa
N
1
kgf
1Pa  1 2 
4
m
9.8110 cm2
kgf
pC  0.35 2
cm
v2
vB  2  g  h  h  B
2 g
2
8.556
h
2  9.81
h  3.7311m
3. Sabe-se que, no sistema abaixo, as
pressões relativas nos pontos ―A‖ e ―B‖ são
respectivamente 1,5 e -0,35 kgf/cm2 e a vazão
de água é igual a Q = 0,21 m3/s. Determinar a
potência real da turbina, para rendimento de
60%.
Resp.: PrT = 33,5 cv
14
m
s
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
Solução:
 H O  9.81103  104
2
H A  H B  HT
N
m3
vA2 pA
v2 p

 y A  B  B  yB  H T
2g 
2g 
AA  vA  AB  vB
 2A
 2B
 vA 
 vB  0.21
4
4
 3002
 6002
 vA 
 vB  vA  4vB
4
4
kgf
N
1 2  9.81104 2
cm
m
2
2
 0.3
 0.6
 vA 
 vB  0.21
4
4
4  0.21
m
vA 
 vA  2.97
2
 0.3
s
vA
2.97
m
vB 
 vB 
 vB  0.743
4
4
s
2
2
vA pA
v
p

 y A  yB  B  B  H T
2g 
2g 
Q
Q  A2  v2  A3  v3
 32
 22
 v2 
 v3
4
4
32
1502
v2  2  v3  v2 
 9.15
2
2502
m
v2  3.294
s
H 2  H3
v2 p
v22 p2
  y2  3  3  y3
2g 
2g 
2
p2
3.294
9.152 0.5  9.81104

0

 6.1
2  9.81 9.81103
2  9.81
9.81103
p2
0.553029 
 4.2672  0.5  6.1
9.81103
p2
 9.8672  0.553029
9.81103
p2
 9.314171
9.81103
p2  91372.02Pa
1
kgf
4 p2  91372.02
4
2
4
2
9.8110 cm2
2.97
1.5  9.8110
0.743  0.35 9.8110


1



H
T
kgf
2  9.81
9.81103
2  9.81
9.81103
p2  0.9314 2
cm
0.44959  15  1  0.028137  3.5  HT
1 2

16.44959  3.471863  HT
m
Q  A2  v2  A1  v1  v2  v1  3.294
s
HT  19.921453m
H 0  H1
P     Q H
T
T
T
PT  0.6  9.8110  0.2119.921453
3
PT  24624.11W
1cv  735W  1HP  1.014CV
24624.11
PT 
W  PT  33.5cv
735
4. Calcular a potência real da turbina (ηT =
70%) e as pressões relativas nos pontos 1 e 2, do
sistema mostrado na figura abaixo.
Resp.: PrT = 38 cv p1 = 2,99 kgf/cm2 p2 = 0,481
kgf/cm2
v02 p0
v2 p
  y0  1  1  y1
2g 
2g 
2
p1
0
0
3.3942
  30.5 

0
2g 
2  9.81 9.81103
p1
30.5  0.58711 
9.81103
p1   30.5  0.58711  9.81103
p1  293445.4509Pa
1
kgf
p1  293445.4509
4
9.8110 cm2
kgf
p1  2.99 2
cm
H1  HT  H 2
v12 p1
v2 p
  y1  HT  2  2  y2
2g 
2g 

Solução:
 H O  9.81103  104
2
N
m3
15
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HT 
 v2 p

v22 p2

 y2   1  1  y1 
2g 
 2g 

v2 p
v2 p
HT  1  1  y1  2  2  y2
2g 
2g 
p  p2
HT  1

293445.4509  91372.02
HT 
9.81103
HT  20.598m
PT  T    Q  HT
Q  A3  v3
 32
 v3
4
 0.152
Q
 9.15
4
m3
Q  0.16169
s
PT  0.7  9.81103  0.16169  20.598
PT  22870.47W
1cv  735W  1HP  1.014CV
22870.47
PT 
W  PT  31.11cv
735
v2 p
v22 p2
  y2  3  3  y3
2g 
2g 
 4v1 
15000  9.81 18.367  v1  11220  9.81


2  9.81 9.81103
2  9.81
9.81103
2
2

0.81549v12  15  17.194v12  11.22
15  11.22  17.194v12  0.81549v12
16.37853v12  3.78  v1 
v1  0.4804
3.78
16.37853
m
s
v2  4  v1  v2  4  0.4804  v2  1.9216
Q
HB 
 v2 p

v22 p2
  y2   1  1  y1 
2g 
 2g 

HB 
v22  v12 p2  p1

2g

1.92162  0.4816752 15000   2290    9.81

2  9.81
9.81103
H B  0.17637  17.29
H B  17.46637m
PB    Q  H B
 12
 v1  H B
4
 0.32
PB  9.81103 
 0.4804 17.46637
4
PB   
Solução:
Q  A2  v2  A1  v1  A3  v3
 32
 
 22
 v1 
 v2 
 v3
4
4
4
12
3002
v2  2  v1  v2 
 v1  v2  4  v1
2
1502
2
1
m
s
v3  18.367  v1  v3  18.367  0.4804
m
v3  8.8235
s
H1  H B  H 2
5. Calcular a potência teórica da bomba, no H B 
sistema mostrado na figura abaixo, sabendo-se que as
pressões relativas nos pontos 1, 2 e 3 são
respectivamente: -2.290 kgf/m²; 15.000 kgf/m² e
11.220 kgf/m².
Resp.: PtB = 7,9 cv

16
PB  5818.446W
1
1W 
cv
735
5818.446
PB 
cv
735
PB  7.91cv
6. Calcular a vazão de água no
12
3002
v3  2  v1  v3 

v

v

18.367

v
sistema
abaixo, sabendo-se que a potência
1
3
1
3
702
teórica da bomba é de 11,8 cv e a tubulação
tem diâmetro constante.
H 2  H3
3
Resp.: Q = 0,203 m /s
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Q
 0.0752
m3
 9  Q  0.03976
4
s
H 0  HT  H 3
2
0
v
p0
v32 p3
  y0  HT 
  y3
2g 
2g 

Solução:
1cv  735W
PB  11.8  735W
PB  8673W
PB    Q  H B
H1  H B  H 2
2
1
2
2
v
p
v
p
 1  y1  H B 
 2  y2
2g 
2g 
v 2 v 2 p2  p1
HB 


 y2  y1
2g 2g

p  p1
HB  2
 y2  y1

HB 
1.035  2.1  9.81104  15
9.81103
H B  4.35m
PB    Q  H B
P
Q B
  HB
8673
Q
9.81103  4.35
m3
Q  0.203
s
02 0
92
0
  30  HT 
 0
2g 
2  9.81 
HT  30  4.128  HT  25.872m
PT    Q  HT
PT  9.81103  0.03976  25.872
PT  10091.088W
1
cv
735
10091.088
PT 
cv
735
1W 
PT  13.729cv
8. No sistema abaixo, a velocidade no
ponto ―C‖ é igual a 3.66 m/s, onde a água sai
na atmosfera. A pressão relativa no ponto ―A‖
é igual a – 0.35 kgf/cm2. A perda de carga
entre os pontos ―A‖ e ―C‖ é igual a Δh =
3.05m. A potência real da bomba é igual a 20
cv, com rendimento de 70%. Até que altura
―H‖ , a bomba poderá elevar água, sabendo-se
que o sistema tem diâmetro constante e igual a
150 mm?
Resp.: H = 7,8 m
7. Calcular a potência teórica da turbina, no
sistema abaixo, sabendo-se que a água sai na
atmosfera no final do tubo de diâmetro 75 mm.
Resp.: PrT = 13.7 cv

Solução:
 Q  HB
B
PB  B
HB  e
 Q
PBe 

Solução:
 2
Q  Av 
v
4
Q  AC  vC
17
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  C2
 vC
4
  0.152
Q
 3.66
4
m3
Q  0.064677
s
Q
HB 
Q  A1  v1  A2  v2  40
v2 
20  735  0.7
9.81103  0.064677
H B  16.2179m
H A  H B  HC  H pAC
2
C
2
A
v
p
v
p
 A  yA  H B 
 C  yC  H pAC
2g 
2g 
vA2 0.35  9.81104
v2 0

 0  16.2179  A   1.8  H  3.05
3
2g
9.8110
2g 
3.5  16.2179  1.8  H  3.05
12.7179  4.85  H  H  12.7179  4.85
H  7.8679m
0.04
0.16
0.16
 v2 
 v2 
2
2
 2
 2
 0.12
4
v2  5.0929
v1 
L
m3
 0.04
s
s
m
s
0.04
0.16
0.16
 v1 
 v1 
2
2
 1
 1
 0.152
4
18
m
s
H A  H1  H pA,1
v1  2.2635
vA2 pA
v2 p
v2

 y A  1  1  y1  3  1
2g 
2g 
2g
2
p
0
2.2635
2.2635
9. Determinar a potência real da bomba (ηB 0
 0
 1 3  6  3
= 80%) e as pressões relativas nos pontos 1 e 2 , no 2 g 
2g
g 10
2g
sistema abaixo, sabendo-se que: a vazão de água é de
40 L/s, a perda de carga entre os pontos A e 1 é 3
vezes a carga cinética do ponto 1 e a perda de carga
p1
entre os pontos 2 e B é 20 vezes a carga cinética do 0  0.261133 
 6  0.7833994
ponto 2.
9.81103
Resp.: PrB = 66 cv p1 = 0,496 kgf/cm2 p2 = 10,408
kgf/cm2
3
2
p1  4.9554675  9.8110
p1  48613,1369Pa
1
kgf
4
9.8110 cm2
kgf
p1  0.495546 2
cm
H 2  H B  H p2,B
p1  48613,1369 
v22 p2
vB2 pB
v22
  y2 

 yB  20 
2g 
2g 
2g

Solução:
  Q  H Bomba
B
H PA,1  3  Ec1
PBe 
v12
2g
 20  Ec2
H PA ,1  3 
H P2,B
H P2,B  20 
v22
2g
5.09292 p2
02 0
5.09292
 6 
  73  20 
2g

2g 
2g
p2
1.289033 
 6  73  26.43999
9.81103
p2  98.15095  9.81103
p2  962860.89Pa
1
kgf
4
9.8110 cm2
kgf
p2  9.815 2
cm
p2  962860.89 
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H1  H Bomba  H 2
v12 p1
v2 p
  y1  H Bomba  2  2  y2
2g 
2g 
2.2635 48613,1369
5.0929 962860.89

 6  H Bomba 

6
2  9.81 9.81103
2  9.81 9.81103
0.11536697  4.955467  H Bomba  0.2595769  98.150957
4.8401  H Bomba  98.410534
H Bomba  93.5704m
PBe 
PBe 
  Q  H Bomba
B
9.81103  0.04  93.5704
0.8
PBe  45896.28W
PBe 
45896.28
cv
735
PBe  62.44cv
10. Supondo que no sistema do exercício nº
9, os dois reservatórios estejam fechados (pA e pB ≠
0) e sabendo-se que as pressões relativas nos pontos 1
e 2 são respectivamente 0,2 kgf/cm2 e 9,5 kgf/cm2 .
Calcular as pressões nos pontos ―A‖ e ―B‖ e potência
real da bomba (ηB = 80%), para essa nova situação.
Obs.: utilizar as mesmas perdas de carga do exercício
nº 9.
Resp.: PrB = 63 cv pA = - 0,296 kgf/cm2 pB = 0,912 kgf/cm2
11. Óleo de viscosidade dinâmica μ = 0,01
kgf.s/m² e peso específico γ = 850 kgf/m³ , escoa em
regime permanente e com vazão Q = 50,0 L/s, através
de 3.000,0 m de comprimento de tubo de Ferro
Fundido (FºFº), com diâmetro φ = 300,0 mm. Pede-se
calcular a perda de carga distribuída através da
fórmula Universal de perda de carga.
Resp.: Δhd ≅ 8,9 m
h 
Solução:
h 

X L
 A
Q X  L
h 

A  y   A
 Q  X  L
h  y 
  A2
 Q  X  L
h  y 
2
  2 
 

 4 
16   Q  X  L
h  y  2

 4
h  R 
h  y 16 0.01 50 103  3000
 2
X

850  0.34
h  y
 0.35m
X
L v2
hf  f  
 2g
Experiência de Nikuradse:


f  f  NR , 
K

R X L
 A
X: Perímetro.
L: comprimento
R: Tensão de atrito em kgf/cm2.

Q
A
Q
A
   R  Q
R  
y
A  y
Q  A  v  v 
R X L
 A
R
dv
 R  
dv
dy
dy
R  
v
y
Q  Av  v 
Q
4Q
v
2
 
 2
4
4  50 103
m
v

v

0.7074
 0.32
s
Número de Reynolds:
NR 
 v 

   g   

g
19
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  v 
NR 
g 
NR 
850  0.7074  0.3
9.81 0.01
N R  1838.8
Ferro Fundido: K = 2.59.10-4m

0.3


  1158.3
4
K 2.59 10
K
A função f deve ser calculada no
ponto:



f  f  N R  1838.8,  1158.3 
K


f  0.0195
L v2
hf  f  
 2g
3000 0.70742
h f  0.0195 

0.3 2  9.81
h f  4.97m
Ou
Como NRe é<2000:
f 
f 
64
N Re
64
 f  0.0348
1838.8
L v2
hf  f  
 2g
3000 0.70742
h f  0.0348 

0.3 2  9.81
h f  8.87m
12. Calcular a perda de carga
distribuída em uma tubulação de aço revestido
nova, com 900,0 m de comprimento e 100,0
mm de diâmetro, devido ao escoamento de
378.500,0 L/dia de óleo combustível à
temperatura de 20ºC ( γ = 855,0 kgf/m³ , ν =
3,94x10-6 m²/s), em regime permanente.
Resp.: Δhd = 4,93 m
 Solução:
L
103 m3
m3
Q  375000
 375000
 Q  4.34 103
dia
24  3600 s
s
Q  Av  v 
4.34 103
m
 v  0.5529
2
  0.1
s
4

   


   g   
g

  
g

20
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855  g
g
N s
  3.3687 103 2
m

g

        
g
  v 
v 
NR 
 NR 


g  
g
  3.94 106 
   g   
Número de Reynolds:
 v 

  v 
NR 
g 
855  g  0.5529  0.1
NR 
g  3.3687 103
N R  14032.99
NR 
L v2
hf  f  
 2g
NR 
1.7356  0.3
 N R  83845.4
6.21106
A função f deve ser calculada no
ponto:



f  f  N R  83845.4,  6521.7 
K


Pelo diagrama de Moody-Rouse:
f  0.019
L v2
hf  f  
 2g
Tubulação de aço:
K = 4.6.10-5m

0.1


  2173.9
5
K 4.6 10
K
A função f deve ser calculada no ponto:



f  f  N R  14032.99,  2173.9 
K


f  0.03
L v2
hf  f  
 2g
900 0.55292
h f  0.03 

0.1 2  9.81
h f  4.2m
13. Calcular a perda de carga distribuída em
uma tubulação de aço soldado nova, com 3.200,0 m
de comprimento e 300,0 mm de diâmetro, devido ao
escoamento de 10.6x106 L/dia de gasolina à
temperatura de 25ºC ( γ = 720,0 kgf/m³ , ν = 6,21x10 6
m²/s), em regime permanente.
Resp.: Δhd ≅ 23,82 m
 Solução:
L
103 m3
m3
Q  10.6 106
 10.6 106
 Q  0.122685
dia
24  3600 s
s
Q  Av  v 
0.122685
m
 v  1.7356
2
  0.3
s
4
14. Um óleo combustível à 10ºC (γ =
861.0 kgf/m³ , ν = 5.16x10-6 m²/s) escoando
em regime permanente com vazão Q = 0,2
m³/s, é bombeado para o tanque "C", como
mostra a figura abaixo, através de uma
tubulação de aço rebitado nova, com diâmetro
constante φ = 400,0 mm e comprimento de
recalque L = 2.000,0 m. O reservatório em "C"
está em contato com a pressão atmosférica.
Sabe-se que a pressão relativa do ponto "A" é
igual a 0,14 kgf/cm². Pede-se calcular a
potência real da bomba, para rendimento de
80%.
Resp.: PtB ≅ 282,0 cv
R

Solução:
Q  0.2
Aço: L = 3200m
R = 4.6.10-5m

0.3


  6521.7
5
K 4.6 10
K
Número de Reynolds:
NR 
3200 1.73562
h f  0.019 

0.3 2  9.81
h f  29.47m
 v 

Q  Av  v 
m3
s
0.2
m
 v  1.5915
2
  0.4
s
4
Aço: L = 3200m
R = 4.6.10-5m
21
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
0.4


  8695.6
5
K 4.6 10
K
Número de Reynolds:
NR 
NR 
Resp.: a) p1 ≅ 1.760,0 kgf/m² ; p2 ≅ 1,652
kgf/cm²;
b) PrB ≅ 7,26 cv
v 

1.5915  0.4
 N R  1.2337 105
6
5.16 10
A função f deve ser calculada no ponto:



f  f  N R  1.2337 105 ,  8695.6 
K


Pelo diagrama de Moody-Rouse:
f  0.03
L v2
hf  f  
 2g
2000 1.59152
h f  0.03 

0.4 2  9.81
h f  19.36m
H A  H Bomba  h f  H R
vA2 pA
vR2 pR

 y A  H Bomba  h f 

 yR
2g 
2g 

Solução:
L
m3
Q  22.1  Q  22.1103
s
s
Q
0.0221
m
Q  A1  v1  v1 

 v1  0.703
2
2
 01
 0.2
s
4
4
H O  0.7 106
2
m2
s
(viscosidade cinemática da água)
Perda de carga no trecho 0-1:
Aço: L 01 = 60m
R = 2.59.10-4m
01
0.2


  772
4
K 2.59 10
K
Número de Reynolds no trecho 01:
1.59152
13734
0 0
v 

 100  H Bomba  19.36 
  180
N R1  1 01
2  9.81 861 9.81
2g 

0.12909  1.626  100  H Bomba  199.36
0.703  0.2
N R1 
 N R1  2 105
H Bomba  199.36  101.755
0.7 106
A função f deve ser calculada no ponto:
H Bomba  97.605m



f  f  N R1  2 105 , 01  772 
  Q  H Bomba
PBe 
K


B
Pelo diagrama de Moody-Rouse:
861 9.81 0.2  97.605
f  0.021
PB 
0.8
L01 v12
h

f


f 01
PBe  206102.962W
01 2 g
206102.962
PBe 
cv
60 0.7032
h f01  0.021

735
0.2
2  9.81
PBe  280.4cv
h f01  0.1586m
e
15. No sistema mostrado na figura abaixo, a
vazão de água à 20ºC em regime permanente é Q =
22.1 L/s. No trecho 0-1 o comprimento é 60.0 m e o
diâmetro é 200.0 mm. No trecho 2-3 o comprimento
é 260.0 m e o diâmetro é 150.0 mm. A tubulação em
toda sua extensão
é de ferro fundido nova. Pede-se calcular: a) as
pressões relativas nos pontos 1 e 2; b) a potência real
da bomba para rendimento de 60%.
Obs.: -Utilizar a fórmula Universal da perda de carga
e o método do comprimento equivalente.
-No desenho:
a, b = curva 90º R/D = 1 1/2; c, d = cotovelo 90º RM
As perdas de carga singulares
ocorrem quando há perturbações bruscas
(válvulas, cotovelos, etc.) no escoamento do
fluido e são calculadas por expressões que
envolvem análise dimensional, dadas por:
v2
hs  K s 
2g
v2
0.7032
ha  hb  K sa   ha  0.9 
 0.02267m
2g
2  9.81
22
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hR  K sR 
v2
0.7032
 hR  0.2 
 0.005037m
2g
2  9.81
H 0  ha  hb  hR  hp01  H1
v02 p0
v12 p1
  y0  ha  hb  hR  h f01    y1
2g 
2g 
2
2
0 0
0.703 p1
  2  0.02267  0.02267  0.005037  0.1586 
 0
2g 
2  9.81 
2  0.208977  0.02518 
p1

1.2506  0.15
 N R2  2.6798 105
6
0.7 10
A função f deve ser calculada no ponto:



f  f  N R1  2.67 105 , 23  579.15 
K


f  0.0225
N
m2
kgf
m2
Esquema
h f23  f 
p1  1765.8
Singularidade
N R2 
v2 23

Pelo diagrama de Moody-Rouse:
p1
 1.7658

p1  1.7658    1.7658  9.81103
N R2 
Alargamento
Caso limite
Estreitamento
Caso Limite
Cotovelo a 90°
Válvula de
gaveta
Válvula tipo
globo
Válvula de
retenção
Ks
1
A1
A2
1
260 1.25062
h f01  0.0225 

0.15 2  9.81
h f01  3.108m
H 2  h f23  hvr  hvga  hc  hd  H3
hc  hd  K sd 
v2
1.25062
 hc  0.9 
 0.07174m
2g
2  9.81
v2
1.25062
h

K


h

0.5

 0.03985m
svr
vr
 A  vr
2g
2  9.81
  1 
 A2 
0.5
0.9
0.2
Totalmen
te aberta
10
hvg  K svg 
v2
1.25062
 hvg  10 
 0.797m
2g
2  9.81
v2 p
v22 p2
  y2  h f23  hvr  hvga  hc  hd  3  3  y3
2g 
2g 
1.25062 p2
02 0
  0  3.108  0.03985  0.797  0.07174  0.07174    12
2  9.81 
2g 
0.07971 
p2
 16.08833

Totalmen
te aberta
p2
 16.00862

0.5
N
m2
1
kgf
p2  16.00862    16.00862  9.81103
4
9.8110 cm2
23
0.15


  579.15
4
K 2.59 10
K
Cálculo da velocidade no trecho 2-3:
Q
0.0221
m
Q  A2  v2  v2 

 v2  1.2506
 232  0.152
s
4
4
Número de Reynolds no trecho 23:
L23 v22

23 2 g
p2  16.00862    16.00862  9.81103
p2  1.600862
kgf
cm2
H1  H Bomba  H 2
v12 p1
v2 p
  y1  H Bomba  2  2  y2
2g 
2g 
23
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0.7032 18839.16
1.25062 157044.56


0

H


0
Bomba
2  9.81 9.81103
2  9.81 9.81103
0.02518  1.9204  H Bomba  0.0797  16.0086
H Bomba  16.0883  1.94588
H Bomba  14.14272m
PBe 
PBe 
  Q  H Bomba
B
9.81103  22.1103 14.14272
0.6
PBe  5110.259W
PBe 
5110.259
cv
735
PBe  6.95cv
24