Teste nº 4 ‐ Resolução Matemática 11º ano 2015‐2016 1.
2
2
2
2
a) x  4  3  x  25  x   5 cm
x 0
cos  
4
5
  
 
 
BD  AC  CD  BD  AD  COS BD  AD







AD
 8  5   32
4
5
R: Opção B
b)
 
AB  CD



 
 AB  CD  cos 180º   5  5   1  25
vetores colineares
com sentido oposto
180º
R: Opção D
2.
 
 
ab

cos a b  

a  b
 

5
5  10

C.A.

a  22  (1) 2  5

b  (1) 2  32  10
 
a  b   2 ,  1   1 , 3 
5
50

5  
logo, cos 1  
a b
50 

 
 a  b  135º
 2  3  5
R: Opção C
Página 1 de 3 3.
Quando o ângulo entre 2 vetores é agudo então o
C.A.
valor do produto escalar é positivo.
Assim,
 
u  v  0   m  1;3m    m;1  0
m 2  4m  0
 m  m  4  0
 m  0m4  0
 m  0  m  4
 m 2  m  3m  0  m 2  4m  0
Logo, m  , 4  0, 
ou seja, m   \  4, 0
R: Opção C
4.   
   
AC  DA  AB  AC  DA  AC  AB


 10  10  cos 120º   10  10  cos  60º 
 100 cos 180º 60º   100 
1
2
 1
 100      50
 2
0
R: Opção D
5.

a) Seja v  (x, y) o vetor pretendido.



• v  ku  vetor colinear com u (k  0 visto que os vetores têm sentido contrário)

• v  5  vetor com norma 5
 x  4k
( x, y )  k (4, 2)

( x, y )   4k , 2k 
 2
  y  2k
 2
2
2
 x  y  5

 x  y  25
2
2
 4k    2k   25
 ___
 ___
 ___
 ___
 ___





  2 25  
25  
5 
5
5
2
k 
20k  25
k 
k  20
k  
k  
20
4
2
2







5
5 
;
2
Donde v  (x, y)   4   





 2    2 5;  5

 2 




Página 2 de 3 
b)

EF  F  E   2, 3   1,5    3, 8 

Os vetores perpendiculares a EF obtêm-se trocando as coordenadas e o
sinal de uma delas. Assim,  8k ,3k  ; k   representa todos os possíveis vetores

perpendiculares a EF .
 8k    3k 
2
k 
2
2

 4 2   64k 2  9k 2   4 2



2
 73k 2  32  k 2 
32
32  73
2336
4 146
k 
k
k 
2
73
73
73
73

Se, por exemplo, k 

 4 146
4 146
4 146   32 146 12 146 
vem  8 
,3 
,
 =

73
73
73   73
73 

c) Se Q  0 y então Q  0 , y 

Ora, EF   3 ,  8 

e PQ  Q  P   0 , y    3 , 1
  3 , y  1
 
Se PQ e EF são  então o seu produto escalar é zero.
 
EF  PQ  0   3 , 8    3 , y 1  0
  9  8 y  8  0  8 y  1  y  
1
8
1

Donde, Q  0 ,  
8

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32
k 
73
73