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BIOLOGIA
2. a tabela com os códons representativos do código genético
universal:
UGU Cys
UAU Tyr
UCU Ser
UUU Phe
UGC Cys
UAC Tyr
UCC Ser
UUC Phe
UGA pare*
UAA pare*
UCA Ser
UUA Leu
UGG Trp
UAG pare*
UCG Ser
UUG Leu
CUU Leu
CCU Pro
CAU His
CGU Arg
CUC Leu
CCC Pro
CAC His
CGC Arg
CUA Leu
CCA Pro
CAA Gin
CGA Arg
CUG Leu
CCG Pro
CAG Gin
CGG Arg
AUU IIe
ACU Thr
AAU Asn
AGU Ser
AUC IIe
ACC Thr
AAC Asn
AGC Ser
AUA IIe
ACA Thr
AAA Lys
AGA Ser
AUG iniciar*
ACG Thr
AAG Lys
AGG Ser
GUU Val
GCU Ala
GAU Asp
GGU Gly
GUC Val
GCC Ala
GAC Asp
GGC Gly
GUA Val
GCA Ala
GAA Glu
GGA Gly
GUG Val
GCG Ala
GAG Glu
GGG Gly
QUESTÃO 01
Acidentes cardiovasculares estão entre as doenças que mais causam
mortes no mundo. Há uma intricada relação de fatores, incluindo os
hereditários e os ambientais, que se conjugam como fatores de riscos.
Considerando os estudos epidemiológicos até agora desenvolvidos,
altas taxas de colesterol no sangue aumentam o risco de infarto do
miocárdio.
a) Em que consiste o “infarto do miocárdio” e qual a relação entre altas
taxas de colesterol e esse tipo de acidente cardiovascular?
b) Considerando a relação entre os gases O2 e CO2 e o processo de
liberação de energia em nível celular, explique o que ocorre nas
células do miocárdio em uma situação de infarto.
Resolução
a) Altas taxas de colesterol elevam o risco de infarto do miocárdio,
pois o depósito de placas denominadas ateromas nas paredes
internas dos vasos reduz seu calibre, o que diminui (podendo até
interromper) o aporte de sangue para a musculatura cardíaca
(miocárdio), levando ao infarto, que causa morte de células
musculares, fazendo com que o órgão perca sua função.
b) Em uma situação de infarto, as células do miocárdio recebem pouco
oxigênio, e por isso o processo de liberação de energia deverá ser
anaeróbio (fermentação láctica), no qual a glicose é quebrada
parcialmente, não há liberação de CO2 e a produção líquida é de
apenas 2 ATP por molécula de glicose (quantidade muito inferior a
produzida no processo aeróbio). Desta forma, a célula morre
eventualmente por produzir uma quantidade insuficiente de energia.
Abreviaturas dos aminoácidos
Phe = fenilalanina
His = histidina
Leu = leucina
Gin = glutanina
IIe = isoleucina
Asn = aspargina
Met = Iniciar (metionina)
Lys = lisina
Val = vallina
Asp = ácido aspártico
Ser = serina
Glu = ácido glutâmico
Pro = prolina
Cys = cisteína
Thr = Treonina
Trp = triptofano
Ala = alanina
Arg = arginina
Tyr = tirosina
Gly = Glicina
QUESTÃO 02
Em abril de 2005, a revista Pesquisa FAPESP reforçava a importância
da aprovação da Lei de Biossegurança para as pesquisas brasileiras
com células-tronco e, ao mesmo tempo, ponderava:
responda:
a) Qual será a sequência de aminoácidos que resultará da tradução da
sequência inicial de RNA mensageiro, referente a um dos genes deste
vírus indicada em 1?
b) Considerando os mecanismos de replicação do genoma viral, qual a
principal diferença entre o vírus da gripe e o vírus que causa a AIDS?
Resolução
a) Considerando que a leitura feita pelo ribossomo no RNA
mensageiro é no sentido de 5’ para 3’, e que a tradução somente se
iniciará quando a sequência AUG for encontrada e levando em
consideração que a leitura se encerrará quando a sequência UGA,
UAA ou UAG for encontrada, então a sequência de aminoácidos
resultante desta tradução é:
AA AUG CGU UAC GAA UGG UAU GCC UAC UGA AU
Met
Arg Tyr Glu
Trp Tyr Ala Tyr Indica a
Nos últimos anos, enquanto os trabalhos com células-tronco
embrionárias de origem humana permaneciam vetados, os cientistas
brasileiros não ficaram parados. Fizeram o que a legislação permitia:
desenvolveram linhas de pesquisa com células-tronco de animais e
células-tronco humanas retiradas de tecidos adultos, em geral de
medula óssea e do sangue de cordão umbilical. (...) Não há evidências
irrefutáveis de que as células-tronco adultas possam exibir a mesma
plasticidade das embrionárias. (...) Menos versáteis que as
embrionárias, as células-tronco adultas têm uma vantagem: parecem
ser mais seguras. Nas terapias experimentais são injetadas nos
pacientes células-tronco extraídas, em geral, deles mesmos.
Marcos Pivetta
(www.revistapesquisa.fapesp.br Adaptado.)
descartado metionina arginina tirosina
Considerando o texto da revista, responda:
a) O que se quer dizer ao se afirmar que as células-tronco adultas são
“menos versáteis que as embrionárias”?
b) Qual a vantagem de se injetar nos pacientes células-tronco
extraídas deles mesmos?
Resolução
a) As células-tronco adultas apresentam menor capacidade de
diferenciação que as embrionárias, pois essas últimas deverão formar
todos os tipos celulares do indivíduo, enquanto que as adultas já
apresentam um grau de diferenciação mais avançado, uma vez que
determinados genes podem ter sido ativados ou mesmo inativados.
b) A vantagem de se injetar as próprias células nos pacientes, é que o
processo de rejeição pode ser reduzido ou mesmo neutralizado,
devido ao fato de haver compatibilidade elevada ou mesmo total entre
as células extraídas e o organismo receptor.
parada
(não descarácido
tado
codifica
triptofano tirosina alanina tirosina
glutâmico
aminoácidos)
b) O vírus que causa a AIDS possui uma enzima denominada
transcriptase reversa que produz, a partir do RNA viral original,
moléculas de DNA que comandarão a síntese protéica. Já o vírus
influenza A (H1N1) produz novas fitas de RNA diretamente de seu
RNA original.
QUESTÃO 04
A tabela apresenta as características gerais de duas importantes
classes de Angiospermas.
CARACTERÍSTICAS
CLASSE I
CLASSE II
Sementes com dois cotilédones
Sementes com um cotilédone
Folhas com nervuras paralelas à
Folhas com nervuras ramificadas
nervura principal
Estruturas florais geralmente em
Estruturas florais geralmente em
número múltiplo de 4 ou 5
número múltiplo de 3
Sistema radicular pivotante
Sistema radicular fasciculado
Feixes vasculares dispostos em
Feixes vasculares dispersos
anel
QUESTÃO 03
No ano de 2009, o mundo foi alvo da pandemia provocada pelo vírus
influenza A (H1N1), causando perdas econômicas, sociais e de vidas.
O referido vírus possui, além de seus receptores protéicos, uma
bicamada lipídica e um genoma constituído de 8 genes de RNA.
Considerando:
1. a sequência inicial de RNA mensageiro referente a um dos genes
deste vírus:
Considerando as Classes I e II representadas na tabela,
a) dê, para cada uma dessas classes, um exemplo de planta cultivada
e escreva sobre sua importância econômica.
b) a rotação de culturas envolvendo uma importante família de plantas
pertencentes à Classe I e uma importante família de plantas
5’
3’
AAAUGCGUUACGAAUGGUAUGCCUACUGAAU
1
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pertencentes à Classe II, e a adubação verde são práticas agrícolas
de grande relevância ecológica. Dê dois exemplos de plantas
normalmente usadas na adubação verde e na rotação de culturas, e
mostre qual a importância dessas práticas.
Resolução
a) A classe I é a das dicotiledôneas e um exemplo de planta cultivada
é a soja, que serve de base para a produção de muitos alimentos
industrializados.
O vestibulando poderia ter escolhido também, por exemplo, um entre
os seguintes:
Vitória-régia, eucalipto, abacate, rosa, morango, pêra, maçã, feijão,
ervilha, goiaba, jabuticaba, algodão, cacau, limão, maracujá, cacto,
mamona, mandioca, seringueira, batata, mate, tomate, jacarandá,
café, abóbora, melancia, etc.
Os usos são desde alimentação (casos do cacau, limão, feijão, entre
outros) até biodiesel (caso da mamona), passando por exemplos
utilizados na ornamentação (como a rosa).
A classe II é a das monocotiledôneas e um exemplo é a cana-deacúcar, usada como fonte para a produção de açúcares (refinado,
cristal, demerara, mascavo), produção de bebidas alcoólicas e
biocombustível (álcool etílico).
O vestibulando poderia ter escolhido também, por exemplo:
• palmeiras em geral (que produzem cocos), alho, cebola, aspargo,
abacaxi, arroz, trigo, aveia, milho, os quais são importantes fontes
de alimentação;
• gengibre, utilizado na fabricação de chás;
• bambu e grama: utilizados como plantas ornamentais, sendo que o
bambu também é utilizado como alimento (brotos), na fabricação
de celuloses, de carvão e em móveis e artesanato.
b) As importantes famílias citadas são as leguminosas (Classe I) e as
gramíneas (Classe II). A rotação de culturas consiste em alternar o
plantio destas duas importantes famílias, o que melhora as
características físicas, químicas e biológicas do solo; auxilia no
controle de plantas daninhas, doenças e pragas; repõe matéria
orgânica pela fixação do nitrogênio atmosférico pelas bactérias
associadas às leguminosas e protege o solo da ação dos agentes
climáticos. Exemplos de plantas normalmente usadas na rotação de
culturas são: trigo com soja e milho com soja.
A adubação verde promove a reciclagem de nutrientes de camadas
profundas do solo para a superfície, em formas assimiláveis pelas
plantas cultivadas, quando utilizadas espécies com sistema radicular
profundo, pois a cultura é derrubada, mas não é colhida,
permanecendo no campo.
São exemplos de plantas usadas na adubação verde as leguminosas,
como o Guandu (feijão guandu) e o girassol.
forma de poeira e partículas, e constitui a única massa de ar
continental úmida que é importante para o regime de chuvas e para
regulação climática.
b) Várias diferenças encontradas entre comunidades de início e de
final de sucessão são listadas na tabela abaixo:
ATRIBUTOS DO
ECOSSISTEMA
Início
Final
Ciclo de vida
curto/simples
longo/complexo
Crescimento
rápido, alta
mortalidade
lento, maior
capacidade de
sobrevivência
competitiva
Diversidade
bioquímica
baixa
alta
Matéria orgânica
total
pouca
muita
Produtividade
primária
bruta/Respiração
>1
=1
Produtividade
primária líquida
alta
baixa
Cadeia alimentar
linear (simples)
em rede (complexa)
ESTRUTURA DA
COMUNIDADE
ENERGÉTICA DA
COMUNIDADE
(Odum 1971; Margalef 1968)
QUÍMICA
QUESTÃO 06
Na queima do cigarro, há a liberação dos gases CO, CO2 e de outras
substâncias tóxicas como alcatrão, nicotina, fenóis e amônia (NH3).
Para a conscientização sobre a toxicidade do cigarro, a campanha
antifumo do estado de São Paulo mostrava o uso do monoxímetro,
“bafômetro do cigarro”, que mede a concentração de monóxido de
carbono, em ppm (partes por milhão), no ar exalado dos pulmões do
indivíduo. A figura representa o resultado da aplicação do teste.
QUESTÃO 05
As citações:
I. “A floresta Amazônica deve ser preservada a qualquer custo. Afinal
ela é o verdadeiro pulmão do mundo”.
II. “Diante das demandas promissoras dos mercados de carbono,
algumas áreas de plantio na Amazônia têm sido abandonadas para
dar lugar a uma nova dinâmica de recolonização nessas áreas”.
foram extraídas, a primeira, de uma propaganda de TV de cunho
ambientalista, e a segunda, de uma revista de divulgação científica.
(www.bhsbrasil.com.br/monoximetro.htm Adaptado.)
a) Dado que 1 ppm de CO refere-se ao teor de 1 L de CO em 106 L de
ar e que a densidade do CO é 1,145 g/L nas condições do teste, qual
deve ser o valor de XX, indicado no visor do monoxímetro, se dois
litros de ar exalado por aquele indivíduo contêm 4,58 x 10–2 mg de
monóxido de carbono?
b) As moléculas de amônia e de gás carbônico apresentam formas
geométricas e polaridades bem distintas. Descreva essas
características.
Resolução
a) O volume ocupado pela massa de CO pode ser obtido pela
densidade:
m
m
4,58 × 10 −5
d = ⇒V = ⇒V =
⇒ V = 4 × 10−5 L
V
d
1,145
Considerando tais citações:
a) pode se falar em erro conceitual, quando se faz referências a
florestas maduras como a Amazônia, como “pulmão do mundo”?
Justifique sua resposta.
b) indique duas diferenças básicas encontradas entre comunidades de
início e de final de sucessão relacionadas com a dinâmica dos
processos ecofisiológicos em um ecossistema florestal.
Resolução
a) Sim, pode se falar em erro conceitual, pois nas florestas maduras,
que estão no final do processo de sucessão ecológica (o clímax), a
produtividade líquida tende a zero, ou seja, tudo que é produzido na
fotossíntese é consumido na respiração. Portanto, o O2, um dos
produtos da fotossíntese, não fica disponível no ambiente para a
utilização pelos demais seres vivos. É importante salientar que a
floresta amazônica constitui um enorme reservatório de carbono e,
quando queimada, produz dióxido de carbono, aumentando assim o
“efeito estufa”, além de evitar a erosão, funciona como uma “esponja”,
absorvendo substâncias trazidas pelos ventos e pelas chuvas, sob a
Desta forma, existem 4 × 10 −5 L de CO 2L de ar. Para acharmos esse
valor em ppm (partes por milhão), basta encontrar qual a quantidade
em volume de CO que estaria presente em 106 L de ar:
2
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Ar
A absorção deficiente de cálcio está associada a doenças crônicas
como osteoporose, câncer de cólon e obesidade. A necessidade de
cálcio varia conforme a faixa etária. A OMS (Organização Mundial da
Saúde) recomenda uma dose de 1000 mg/dia na fase adulta. A
suplementação desse nutriente é necessária para alguns indivíduos.
Para isso, o carbonato de cálcio pode ser apresentado em
comprimidos que contêm 625 mg de CaCO3.
a) Determine a meia-vida do radioisótopo Ca-45 e identifique o
elemento químico resultante do seu decaimento.
b) Determine o número de comprimidos do suplemento carbonato de
cálcio que corresponde à quantidade de cálcio diária recomendada
pela OMS para um indivíduo adulto.
Resolução
a) A equação de decaimento do Ca-45 pode ser escrita como:
45
45
Ca20
→ β0−1 + X 21
CO
⎪⎧ 2 L ←⎯→ 4 × 10 L ⇒ x = 20 ppm
⎨ 6
x
⎪⎩10 L ←⎯→
−5
b) A molécula de amônia apresenta geometria piramidal, como é
possível perceber de sua fórmula estrutural.
N
H H H
Uma vez que o N é mais eletronegativo que os átomos de H, existe
um dipolo resultante na molécula. Portanto a molécula de amônia é
polar.
A molécula de gás carbônico apresenta geometria linear como é
possível perceber de sua fórmula estrutural:
Consultando a tabela periódica o elemento que tem número atômico
21 é o escândio (Sc).
Através do gráfico pode-se determinar a meia-vida do radioisótopo.
O C O
Neste caso existe um dipolo entre os átomos de C e O, uma vez que o
átomo de O é mais eletronegativos que o átomo de C. Entretanto,
como existem dois dipolos na molécula em sentidos contrários eles
acabam por se cancelar o que leva um dipolo resultante igual a zero.
Como não apresenta dipolo, esta molécula é apolar.
80
t1/2
40
t1/2
20
O tempo necessário, segundo o gráfico para que a atividade caia de
80 para 20 é igual a 320 dias. Esse tempo corresponde a duas meiasvidas conforme o esquema acima. Portanto, a meia-vida do
radioisótopo Ca-45 é igual a 160 dias.
b) Vamos inicialmente determinar a massa de cálcio presente em cada
comprimido. Seja mCa a massa de cálcio em cada comprimido e
QUESTÃO 07
Em uma aula de laboratório de química, foram realizados três
experimentos para o estudo da reação entre zinco e ácido clorídrico.
Em três tubos de ensaio rotulados como I, II e III, foram colocados em
cada um 5,0 x 10–3 mol (0,327 g) de zinco e 4,0 mL de solução de
ácido clorídrico, nas concentrações indicadas na figura. Foi anotado o
tempo de reação até ocorrer o desaparecimento completo do metal. A
figura mostra o esquema dos experimentos, antes da adição do ácido
no metal.
mCaCO3 = 625 mg a massa de CaCO3 presente no comprimido.
Supondo que não há outros compostos de cálcio no comprimido,
temos:
MCa
mCa
MCa
=
⇒ mCa = mCaCO3 ⋅
⇒
MCaCO3 mCaCO3
MCaCO3
mCa = 625mg ⋅
40,1 g mol
40,1
= 625 ⋅
mg ≅ 250 mg
(40,1 + 12,0 + 3 × 16,0) g mol
100,1
Considerando a quantidade diária recomendada pela OMS, que é de
1000 mg, esta quantidade corresponde a 4 comprimidos.
QUESTÃO 09
O metabolismo humano utiliza diversos tampões. No plasma
sanguíneo, o principal deles é o equilíbrio entre ácido carbônico e íon
bicarbonato, representado na equação:
a) Qual experimento deve ter ocorrido com menor tempo de reação?
Justifique.
b) Determine o volume da solução inicial de HCl que está em excesso
no experimento III. Apresente os cálculos efetuados.
Resolução
a) Solução II, pois a concentração de HCl é maior e o zinco encontrase em pedaços ou seja, maior superfície de contato. Assim, a
velocidade é maior, portanto, o tempo da reação é menor.
b) Para o experimento III, temos:
Zn + 2HCl → ZnCl 2 + H 2
CO2 ( g) + H2O ( A ) R H2CO3 ( aq ) R H+ ( aq) + HCO3 – ( aq)
A razão ⎡⎣HCO3 − ⎤⎦ / [H2CO3 ] é 20/1.
Considere duas situações:
I. No indivíduo que se excede na prática de exercícios físicos, ocorre o
acúmulo de ácido lático, que se difunde rapidamente para o sangue,
produzindo cansaço e cãibras.
II. O aumento da quantidade de ar que ventila os pulmões é conhecido
por hiperventilação, que tem como conseqüência metabólica a
hipocapnia, diminuição da concentração de gás carbônico no sangue.
Como o número de mol de Zn colocado é igual a 5,0 x 10-3, o número
de mols de HCl necessário para reagir completamente com o zinco
deve ser o dobro ou seja, 10,0 x 10-3 mols. O volume de solução de
HCl para reagir com todo zinco é:
n
10 x10 −3
⇒ V = 2,5mL
C= ⇒4=
V
V
Como foram adicionados 4 mL de solução, há um excesso de:
Vexcesso = 4 – 2,5 ⇒ Vexcesso = 1,5 mL .
a) O que ocorre com a razão ⎡⎣HCO3 − ⎤⎦ / [H2CO3 ] no plasma sanguíneo
do indivíduo que se excedeu na prática de exercícios físicos?
Justifique.
b) O que ocorre com o pH do sangue do indivíduo que apresenta
hipocapnia? Justifique.
QUESTÃO 08
No estudo do metabolismo ósseo em pacientes, pode ser utilizado o
radioisótopo Ca-45, que decai emitindo uma partícula beta negativa, e
cuja curva de decaimento é representada na figura.
Resolução
a) O indivíduo que se excede na prática de exercícios físicos tem
aumento de ácido lático no sangue, aumentando a concentração de
H+, deslocando o equilíbrio dado para a esquerda. Assim, a
concentração de HCO3- diminui e a concentração de H2CO3 aumenta.
Portanto, a razão [HCO3-]/[H2CO3] diminui.
b) A hipocapnia corresponde à diminuição da concentração de CO2
que representa, no equilíbrio dado, um deslocamento deste para o
lado esquerdo. Com isso, a concentração de H+ diminui e o pH
aumenta.
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QUESTÃO 10
O medicamento utilizado para o tratamento da gripe A (gripe suína)
durante a pandemia em 2009 foi o fármaco antiviral fosfato de
oseltamivir, comercializado com o nome Tamiflu®. A figura representa
a estrutura química do oseltamivir.
Determine:
a) O módulo, a direção e o sentido da força magnética resultante
sobre a bobina devido à massa de 10 g colocada sobre o prato.
b) O módulo e o sentido (horário ou anti-horário) da corrente elétrica
na bobina necessária para equilibrar a massa de 10 g, bem como a
potência elétrica dissipada pela bobina nessa situação. A resistência
ôhmica R equivalente da bobina é 50 Ω.
Resolução
a) Ao voltar à posição de equilíbrio, a força magnética que surgiu
agindo sobre o conjunto deve equilibrar o peso do corpo introduzido,
assim:
JG
JG
JG
F Mag = P = m ⋅ g = 10 −2 ⋅ 10 ⇒ F Mag = 0,1 N
Uma das rotas de síntese do oseltamivir utiliza como reagente de
partida o ácido siquímico. A primeira etapa dessa síntese é
representada na equação:
a) Na estrutura do oseltamivir, identifique as funções orgânicas que
contêm o grupo carbonila.
b) Apresente a estrutura do composto orgânico produzido na reação
do ácido siquímico com o etanol.
Resolução
a) Vamos identificar apenas as funções orgânicas que apresentam o
grupo carbonila, ou seja, C=O. As funções carboniladas da molécula
são apresentadas abaixo.
A direção da força magnética é vertical e seu sentido de baixo para
cima, se opondo ao sentido da força peso.
b) Apenas a parte inferior da bobina estará imersa no campo
magnético (caso contrário a força magnética atuando no conjunto seria
nula). Sendo o comprimento do segmento inferior das espiras que
compõe a bobina igual a “L”, e como há 10 espiras na bobina:
JG
F Mag = 10 × B ⋅ i ⋅ L ⋅ sen θ
Substituindo os dados do enunciado:
Amida
O
(
O
O
Sentido da Corrente: Usando a
regra da mão esquerda, temos
que na parte da bobina imersa
no
campo
magnético
a
corrente tem sentido da direita
para a esquerda. Assim a
corrente percorrerá a bobina
no sentido horário.
HN
O
H2N
b) A reação que ocorre consiste em uma esterificação entre ácido
carboxílico e álcool gerando éster (composto orgânico) mais uma
molécula de água de acordo com a reação abaixo.
O
OH
O
+
OH
HO
OCH2CH3
i
G
B
P = R ⋅ i 2 = 50 ⋅ (0,1)2 ⇒ P = 0,5 W
H2O
QUESTÃO 12
No campeonato paulista de futebol, um famoso jogador nos
presenteou com um lindo gol, no qual, ao correr para receber um
lançamento de um dos atacantes, o goleador fenomenal parou a bola
no peito do pé e a chutou certeira ao gol. Analisando a jogada pela TV,
verifica-se que a bola é chutada pelo armador da jogada a partir do
chão com uma velocidade inicial de 20,0 m/s, fazendo um ângulo com
a horizontal de 45º para cima.
OH
HO
G
F
Já a potência é dada por:
+
CH3CH2OH
OH
)
10−1 = 10 × 2,0 ⋅ i ⋅ 5 ⋅ 10−2 ⋅ sen90o ⇒ i = 0,1 A
Éster
OH
FÍSICA
QUESTÃO 11
Em uma balança analítica eletrônica, o prato que recebe a massa M, a
ser aferida, fica sobre um suporte acoplado a uma bobina quadrada de
lado 5,0 cm e com 10 voltas, que se ajusta perpendicularmente às
JG
linhas de campo magnético B , uniforme e constante, de módulo igual
a 2,0 T, orientado para fora do plano da figura. A corrente elétrica
produzida pela célula fotoelétrica C, ao percorrer a bobina, interage
com o campo magnético, resultando em uma força magnética que
sustenta o prato e o suporte na posição de equilíbrio mecânico. A
balança está zerada quando o nível do braço indicador D coincide com
o fundo do prato vazio. Quando a massa M é colocada sobre o prato,
o conjunto sai da posição de equilíbrio e tende a mover-se para baixo,
desalinhando o braço indicador com o fundo do prato. Nesta situação
surge uma corrente elétrica na bobina fazendo com que o fundo do
prato volte à sua posição original. Considere que a balança encontrase inicialmente zerada e o fluxo do campo magnético sobre a bobina
mantenha-se constante.
Dado: g = 10,0 m/s2
Dados: g = 10,0 m/s2 e
2 = 1,4
a) Determine a distância horizontal percorrida pela bola entre o seu
lançamento até a posição de recebimento pelo artilheiro (goleador
fenomenal).
b) No instante do lançamento da bola, o artilheiro estava a 16,0 m de
distância da posição em que ele estimou que a bola cairia e, ao
perceber o início da jogada, corre para receber a bola. A direção do
movimento do artilheiro é perpendicular à trajetória da bola, como
mostra a figura. Qual é a velocidade média, em km/h, do artilheiro,
para que ele alcance a bola imediatamente antes de ela tocar o
gramado?
4
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Δx = v x ⋅ Δt = v ⋅ cos 45o ⋅ Δt
Δx =
v ⋅ 2 ⋅ Δt
2
Resolução
a) Para determinar a velocidade do garoto no ponto a 2,0 m do solo,
usamos a conservação da energia mecânica entre esse ponto e o
ponto mais alto do toboágua, de onde parte a criança:
y
V0.sen θ
Resolução
Consideramos que, para o
goleador fenomenal, ao
receber a bola, o seu pé
esteja no chão.
O alcance é dado por:
m ⋅ v 02
m ⋅v2
= m⋅g ⋅h +
⇔
2
2
v 2 = 2 ⋅ g ⋅ Δh = 2 ⋅ 10 ⋅ (6,0 − 2,0) ⇒ v 2 = 80 (m2 /s2 )
G
V0
θ
V0 .cos θ
m ⋅ g ⋅ h0 +
Δx
x
No trecho circular a única força na direção radial é a força normal,
assim ela corresponde à resultante centrípeta.
Onde v é a velocidade de lançamento. Já para determinar o tempo de
vôo, fazemos:
v 2
v y = v oy + a ⋅ t ⇔ −v ⋅ sen 45o = v ⋅ sen 45o − g ⋅ t ⇔ t =
g
JJG
JJG JJJG
JJG m ⋅ v 2 36 ⋅ 80
=
⇒ N = 3600 N
N = Fcp ⇒ N =
R
0,8
Das equações anteriores, chegamos a expressão para o alcance:
Δx =
v 2 v 2 v 2 202
⋅
=
=
⇔ Δx = 40 m
2
10
g
g
b) A desaceleração da criança ao entrar na água será:
v 2 = v o2 + 2 ⋅ γ ⋅ Δy ⇒ 02 = 10,92 + 2 ⋅ γ ⋅ 1,5 ⇒ γ = −39,6 m/s2
b) O tempo de vôo é dado por:
v 2 20 ⋅ 1,4
Δt =
=
= 2,8 s
10
g
JJG
FD
A velocidade do jogador é então dada por:
Δx 16
v=
=
≈ 5,7 m/s ⇒ v ≈ 20,5 km/h
Δt 2,8
QUESTÃO 13
Um dos brinquedos prediletos de crianças no verão é o toboágua. A
emoção do brinquedo está associada à grande velocidade atingida
durante a descida, uma vez que o atrito pode ser desprezado devido à
presença da água em todo o percurso do brinquedo, bem como à
existência das curvas fechadas na horizontal, de forma que a criança
percorra esses trechos encostada na parede lateral (vertical) do
toboágua.
JG
P
Entrando na água, duas forças atuam no garoto: a força peso e a força
de dissipativa média, assim da segunda lei de Newton:
JJJJG
G
JJG JG
G
JJG
FRES = m ⋅ a ⇒ FD − P = m ⋅ a ⇒ FD − 36 ⋅ 10 = 36 ⋅ 39,6 ⇒
JJG
FD ≈ 1786 N
QUESTÃO 14
Em uma experiência de Termologia, analisou-se a variação da
temperatura, medida em graus Celsius, de 100 g de uma substância,
em função da quantidade de calor fornecido, medida em calorias.
Durante o experimento, observou-se que, em uma determinada etapa
do processo, a substância analisada apresentou mudança de fase
sólida para líquida. Para visualizar o experimento, os dados obtidos
foram apresentados em um gráfico da temperatura da substância
como função da quantidade de calor fornecido.
(www.pt.wikipedia.org/wiki/Toboágua)
Sabendo que a criança de 36 kg parte do repouso, de uma altura de
6,0 m acima da base do toboágua, colocado à beira de uma piscina,
calcule:
Dado: g = 10,0 m/s2
Determine:
a) O calor específico da substância na fase líquida e seu calor latente
específico de fusão.
b) Após a substância atingir a temperatura de 80 ºC, cessou-se o
fornecimento de calor e adicionou-se à ela 50 g de gelo a 0 ºC.
Supondo que a troca de calor ocorra apenas entre o gelo e a
substância, determine a massa de água, fase líquida, em equilíbrio
térmico.
a) A força normal, na horizontal, exercida sobre a criança pela parede
lateral do toboágua, no ponto indicado na figura (curva do toboágua
situada a 2,0 m da sua base) onde o raio de curvatura é igual a 80 cm.
b) A força dissipativa média exercida pela água da piscina, necessária
para fazer a criança parar ao atingir 1,5 m de profundidade,
considerando que a criança entra na água da piscina com velocidade,
na vertical, aproximadamente igual a 10,9 m/s, desprezando-se, neste
cálculo, a perda de energia mecânica no impacto da criança com a
água da piscina.
Dados:
Calor latente de fusão do gelo: L = 80 cal/g
Calor específico da água: c = 1,0 cal/(g °C)
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MATEMÁTICA
Resolução
a) No trecho onde a substância se apresenta no estado líquido, após
receber uma quantidade de calor de 400 calorias, sua temperatura
sofre uma variação de 40 °C, assim:
Q = m ⋅ c ⋅ ΔT ⇔ 400 = 100 ⋅ c ⋅ 40 ⇔ c = 0,1 cal/(g °C)
Na mudança de fase (trecho com temperatura constante), a
substância também recebe 400 calorias, logo:
Q = m ⋅ LF ⇔ 400 = 100 ⋅ LF ⇔ LF = 4,0 cal/g
QUESTÃO 16
Considere, num sistema ortogonal, conforme a figura, a reta de
equação r : y = kx (k > 0 um número real), os pontos A ( x0 ,0) e
B ( x0 , kx0 ) (com x0 > 0) e o semicírculo de diâmetro AB.
b) Para todo gelo mudar de fase é necessária uma quantidade de
calor dada por:
Q = m ⋅ LF = 50 ⋅ 80 = 4000 cal
Por outro lado, para retornar a 0 °C, a substância deve perder 1000
calorias, como indicado no gráfico.
Assim, não podendo ceder todo o calor que o gelo precisa para se
fundir, a temperatura de equilíbrio será 0 C, com o gelo recebendo
essas 1000 calorias e se fundindo em parte. Nesse caso, a massa de
gelo que sofrerá fusão é dada por:
Q = m ⋅ LF ⇔ 1000 = m ⋅ 80 ⇔ m = 12,5 g
a) Calcule a razão entre a área S, do semicírculo, e a área T, do
triângulo OAB, sendo O a origem do sistema de coordenadas.
b) Calcule, se existir, o valor de k que acarrete a igualdade S = T, para
todo x0 > 0.
QUESTÃO 15
Pelo Princípio de Arquimedes explica-se a expressão popular “isto é
apenas a ponta do iceberg”, frequentemente usada quando surgem os
primeiros sinais de um grande problema. Com este objetivo realizouse um experimento, ao nível do mar, no qual uma solução de água do
mar e gelo (água doce) é contida em um béquer de vidro, sobre uma
bacia com gelo, de modo que as temperaturas do béquer e da solução
mantenham-se constantes a 0 ºC.
Resolução
a) O semicírculo de diâmetro AB tem raio R =
AB kxo
=
, logo, sua
2
2
área é igual a:
2
S=
πk 2 xo 2
1 2 1 ⎛ kxo ⎞
πR = π ⋅ ⎜
⎟ =
2
2 ⎝ 2 ⎠
8
Já o triângulo OAB tem base AO = x o e altura AB = kx o , logo, sua
área é igual a:
AO ⋅ AB xo ⋅ kxo kxo 2
=
=
2
2
2
Assim, a razão pedida é igual a:
⎛ πk 2 xo 2 ⎞
⎜
⎟
S ⎝ 8 ⎠
S kπ
=
⇒
=
2
T
T
4
⎛ kxo ⎞
⎜
⎟
2
⎝
⎠
T=
(www.bioqmed.ufrj.br/ciencia/CuriosIceberg.htm)
No experimento, o iceberg foi representado por um cone de gelo,
conforme esquematizado na figura. Considere a densidade do gelo
0,920 g/cm3 e a densidade da água do mar, a 0 ºC, igual a 1,025
g/cm3.
b) Pelo item a, temos que:
S =T ⇒
S
kπ
4
= 1⇒
= 1⇒ k =
T
4
π
QUESTÃO 17
Uma função f : \ → \ diz-se par quando f ( − x ) = f ( x ) , para todo
x ∈ \ , e ímpar quando f ( − x ) = −f ( x ) , para todo x ∈ \ .
a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam funções
pares ou funções ímpares? Justifique sua resposta.
.
a) Que fração do volume do cone de gelo fica submersa na água do
mar? O valor dessa fração seria alterado se o cone fosse invertido?
b) Se o mesmo experimento fosse realizado no alto de uma montanha,
a fração do volume submerso seria afetada pela variação da
aceleração da gravidade e pela variação da pressão atmosférica?
Justifique sua resposta.
Resolução
a) No equilíbrio do iceberg, temos o módulo da força peso igual ao da
força de empuxo, ou seja:
JG JG
JG
JG
P = E ⇔ mgelo ⋅ g = ρágua ⋅ g ⋅ Vsubmerso ⇔
ρgelo ⋅ V = ρágua ⋅ Vsubmerso ⇔ Vsubmerso =
ρgelo
ρágua
⋅V =
0,92
⋅V
1,025
Vsubmerso ≈ 0,90 ⋅ V
Ou seja, o volume submerso corresponde a 90% do volume total do
iceberg. Observamos pela demonstração que a porção submersa não
depende do formato geométrico do corpo, ou seja, a fração submersa
não é alterada se o cone for invertido.
b) Da demonstração acima, a porção submersa não depende da
aceleração da gravidade. No topo de uma montanha teremos a
diminuição da pressão atmosférica, no entanto a diferença de pressão
que dá origem à força de empuxo não depende da pressão
atmosférica local.
b) Dê dois exemplos de funções, y = f ( x ) e y = g ( x ) , sendo uma par
e outra ímpar, e exiba os seus gráficos.
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Resolução
a) De acordo com as definições, o gráfico de uma função par é
simétrico em relação ao eixo da ordenadas (eixo y) e o de uma função
impar é simétrico em relação à origem. Assim, observando os gráficos
apresentados, temos que:
Resolução
a) Pelo gráfico, temos que a função quadrática q1( x ) tem raízes
x = −1 e x = 3 , e tem concavidade voltada pra cima. Logo, podemos
escrever, na forma fatorada:
q1( x ) = a1 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 3) , com a1 > 0
I – Função par;
II – Função nem par, nem ímpar;
III – Função par;
IV – Função ímpar;
V – Função ímpar.
Já a função q2 ( x ) tem raízes x = 1 e x = 4 e tem concavidade
voltada pra baixo. Logo, escrevemos:
q1( x ) = a2 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 4) , com a2 < 0
Observação: A única função f : \ → \ que é par E ímpar
simultaneamente é a função identicamente nula, já que, nesse caso,
para ∀x ∈ \ :
⎧f ( − x ) = f ( x )
⇔ f ( x ) = −f ( x ) ⇔ 2f ( x ) = 0 ⇔ f ( x ) = 0
⎨
⎩f ( − x ) = −f ( x )
Assim, a função q( x ) é dada por:
q( x ) = q1( x ) ⋅ q2 ( x ) = a ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x − 4) ,
sendo a = a1 ⋅ a2 < 0 , pois a1 e a2 têm sinais contrários.
Assim, temos que q( x ) é uma função polinomial de 4º grau, cujas
raízes são x = −1 , x = 1 , x = 3 e x = 4 , interceptando o eixo y no
ponto q(0) = a ⋅ (0 + 1) ⋅ (0 − 1) ⋅ (0 − 3) ⋅ (0 − 4) = −12a > 0 .
b) Para a função par, um
exemplo possível seria a função
f : \ → \ dada por f ( x ) = x 2 ,
cujo gráfico está representado
ao lado:
Assim, um esboço possível do gráfico de q( x ) é:
Já para uma função ímpar, um
exemplo possível seria a função
f : \ → \ dada por f ( x ) = x 3 ,
cujo gráfico está representado
ao lado:
Observações:
(1) Toda função da forma f ( x ) = x n , com n ∈ ] , é par se n é par, e
b) De acordo com o item (a), temos que:
h( x ) = x ⋅ q( x ) = a ⋅ x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x − 4)
ímpar, se n é impar; apenas é necessário, caso se tenha n < 0 , excluir
x = 0 do domínio da função. Os nomes que dão origem a essa
classificação para as funções (par e ímpar) vêm exatamente daí.
(2) Outros exemplos comuns que poderiam ser citados:
–Funções pares: f ( x ) = cos x , f ( x ) = sec x , f ( x ) = | x | , qualquer
função constante.
f ( x ) = sen x ,
f ( x ) = tg x ,
f ( x ) = cotg x ,
–Funções
ímpares:
Temos que o quociente f ( x ) da divisão de h( x ) por k ( x ) é dado por:
f (x) =
f ( x ) = a ⋅ x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x − 4)
f ( x ) = cossec x , qualquer função do primeiro grau passando pela
origem.
Como temos f ( x ) na forma fatorada, é fácil ver que suas raízes são:
x = 0 , x =1, x = 3 e x = 4
QUESTÃO 18
Considere as funções quadráticas q1( x ) e q2 ( x ) cujos gráficos são
QUESTÃO 19
Um jovem possui dois despertadores. Um deles funciona em 80% das
vezes em que é colocado para despertar e o outro em 70% das vezes.
Tendo um compromisso para daqui a alguns dias e preocupado com a
hora, o jovem pretende colocar os dois relógios para despertar.
exibidos na figura.
a) Qual é a probabilidade de que os dois relógios venham a despertar
na hora programada?
b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos dois relógios desperte
na hora programada?
Resolução
a) Considerando os eventos independentes:
A: despertador 1 funcionar
B: despertador 2 funcionar
Então temos que a probabilidade dos dois relógios despertarem na
hora programada é:
a) Faça o esboço de um possível gráfico da função produto
q( x ) = q1( x ) ⋅ q2 ( x )
b)
Calcule
o
h( x ) a ⋅ x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x − 4)
=
⇔
k(x)
x +1
quociente
do
polinômio
h( x ) = x ⋅ q( x )
p( A ∩ B ) = p( A) ⋅ p(B ) = 80% ⋅ 70% ⇒ p( A ∩ B ) = 56%
pelo
polinômio k ( x ) = x + 1 e exiba suas raízes.
b) Sendo A e B os eventos complementares a A e B, temos que a
probabilidade de que nenhum dos relógios desperte na hora
programada é:
p( A ∩ B ) = p( A) ⋅ p(B ) = (1 − 0,8) ⋅ (1 − 0,7) ⇒ p( A ∩ B ) = 6%
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QUESTÃO 20
Um jogo eletrônico consiste de uma pista retangular e de dois objetos
virtuais, O1 e O2, os quais se deslocam, a partir de uma base comum,
com O1 sempre paralelamente às laterais da pista e O2 formando um
⎛ π⎞
ângulo x com a base, x ∈ ⎜ 0, ⎟ . Considere v1 e v2 os módulos,
⎝ 2⎠
respectivamente, das velocidades de O1 e O2. Considere, ainda, que
os choques do objeto O2 com as laterais da pista (lisas e planas) são
perfeitamente elásticos e que todos os ângulos de incidência e de
reflexão são iguais a x.
a) Exiba o gráfico da função y = f ( x ) que fornece o módulo da
componente da velocidade de deslocamento do objeto O2, no sentido
⎛ π⎞
do deslocamento do objeto O1, em função do ângulo, x ∈ ⎜ 0, ⎟ .
⎝ 2⎠
b) Se v1 = 10 m/s e v2 = 20 m/s, determine todos os valores de x,
⎛ π⎞
x ∈ ⎜ 0, ⎟ , para os quais os objetos O1 e O2, partindo num mesmo
⎝ 2⎠
instante, nunca se choquem.
Resolução
a)
O vetor velocidade v2 pode ser
JJG
decomposto em duas componentes:
v 2 ⋅ sen x v 2
uma ortogonal ao vetor v1, que é dada
x
por v 2 ⋅ cos x , e outra paralela ao vetor
v 2 ⋅ cos x
v1, que é a função f ( x ) = v 2 ⋅ sen x ,
pedida no item A.
O gráfico pedido segue abaixo (apenas a parte mais escura, um
trecho da senóide):
b) Para que O1 e O2 nunca se choquem, basta que f ( x ) ≠ v1 , pois
então um corpo sempre se afastará do outro na direção da pista (no
desenho: para cima), ou seja:
1
f ( x ) ≠ v1 ⇒ 20 ⋅ sen x ≠ 10 ⇒ sen x ≠ ⇔ x ≠ 30°
2
8