Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria. Caso notas de empenho dos Municípios
do Estado da Paraíba.
Autores
JULIANA CÂNDIDA RIBEIRO
Universidade Federal de Pernambuco
GEIZIANE BRAGA MONTEIRO
Universidade Federal de Pernambuco
JOSENILDO DOS SANTOS
Universidade Federal de Pernambuco
KÉCIA DA SILVEIRA GALVÃO
Universidade Federal de Pernambuco
Resumo
Este artigo tem como pontos norteadores: o estudo da Lei de Newcomb-Benford
(1881,1938); a apresentação do modelo contabilométrico criado por Nigrini (2000) e
aperfeiçoado por Santos et al (2003), que se fundamenta na relação entre a Lei de NewcombBenford e os Testes de Hipótese (Z-Teste e X2 - Teste) no contexto da Auditoria Contábil; e a
aplicação deste modelo a notas de empenho de 20 municípios do Estado da Paraíba. A Lei de
Newcomb-Benford é uma anomalia da probabilidade que mostra que a ocorrência dos dígitos de
1
1 a 9 não obedece a probabilidade comum que seria de , mas sim, que a ocorrência dos dígitos
9
1,2 e3 ocorrem com mais freqüências , sendo estes mais comuns que os demais. Finalmente, na
prática da Auditoria Contábil, o modelo contabilométrico aqui apresentado é aplicado em
municípios do Estado da Paraíba, Brasil (notas de empenho). Essa etapa, de natureza, prática será
realizada de forma a comprovar as premissas que serão fixadas no decorrer do desenvolvimento
deste trabalho. O raciocínio dedutivo será a linha mestra que governará todo o desenvolvimento
desta pesquisa para comprovar a veracidade dos resultados que serão obtidos.
Palavras-Chaves:
Contabilometria.
Lei
de
Newcomb-Benford;
Auditoria;
Testes
de
Hipóteses
e
a
Considerações Iniciais: Fundamentação e Referenciais Teóricos
No campo da Auditoria Contábil, muitas vezes, o auditor não consegue tomar decisões
usando apenas a análise qualitativa. No Brasil, para suprimir esta necessidade, utiliza-se à técnica
de amostragem. Mas, mesmo assim, em muitos casos, há a necessidade do profissional analisar a
população como um todo para emitir o seu parecer sobre as Demonstrações Contábeis.
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
Devido às necessidades impostas na era do conhecimento, que tem como pontos basilares
à informação e as novas tecnologias, torna-se imprescindível à aplicação de novas metodologias
científicas no contexto da Auditoria Contábil, pois esta, no Brasil, carece de técnicas
investigatórias em conformidade com esta exigência.
Diante desta dificuldade, este campo de conhecimento torna-se um local adequado à
aplicação de uma metodologia científica, a Contabilometria, com o intuito de otimizar a opinião a
ser tomada pelo Auditor.
A Contabilometria, Métodos Quantitativos aplicados a Contabilidade de forma
interdisciplinar, é uma linha de pesquisa científica das Ciências Contábeis onde as Ciências
Matemáticas estão integradas aos conceitos de mensuração contábil e aos instrumentos de
gerenciamento existente, proporcionando informações para os processos de planejamento,
controle, tomada de decisão na gestão das entidades e na detecção de desvios contábeis.
A Auditoria Contábil é uma área de conhecimento adequada à aplicação da Lei de
Newcomb-Benford em consonância com os Testes de Hipóteses (Z-Teste e X2 – Teste)
considerando o limite de uso de cada um deles, pois esta técnica introduzida por Nigrini (2000)
permitirá aos Auditores avaliarem até que ponto as diferenças encontradas entre as
probabilidades (esperadas e observadas) são provenientes da aleatoriedade, pois por meio desta
técnica, as impropriedades da amostragem, técnica utilizada no Brasil é dissolvida, quando estas
são originadas de erros sistêmicos.
A utilização deste modelo permitirá ao auditor deter-se com maior profundidade na
análise das contas e documentos pertinentes a seu trabalho, de modo que poderá saber, com
antecipação, se a empresa apresenta alta ou baixa probabilidade de irregularidades. Como
também, permitirá ao auditor, no processo decisório, trabalhar a população como o todo e não
apenas com uma amostra da mesma, o que acarretará em melhores resultados.
Desta forma, a utilização do modelo introduzido por Nigrini (2000), nos E.U.A, e
adaptado e simplificado por Santos at al (2003) para o Brasil, fundamentando-se na relação entre
a Lei de Newcomb-Benford e os Testes de Hipóteses (Z- Teste e X2 – Teste), propicia uma maior
possibilidade na detecção de desvios padrões (erros ou fraudes).
Este artigo tem como ponto norteador o estudo da Lei de Newcomb-Benford (1881,
1918), a apresentação do modelo contabilométrico criado por Nigrini (2000) que se fundamenta
na relação entre a Lei de Newcomb-Benford e Testes de Hipóteses (Z-Teste e X2 – Teste) no
contexto da Auditoria Contábil e a aplicação do modelo contabilométrico aos Municípios do
Estado da Paraíba das regiões litorânea e sertaneja através de um estudo de caso.
Proceder Metodológico
O método científico utilizado neste trabalho será o método de abordagem dedutivo,
conforme Lakatos & Marconi (1991). Este método permite que, por meio de dados gerais, tire-se
conclusão particulares. Neste aspecto, este trabalho propõe-se a disseminação de uma proposta
metodológica que tem sido pouco utilizada no campo da auditoria contábil e da auditoria digital
aqui no Brasil. A Lei de Newcomb-benford será usada como uma distribuição de medidas para
detectar desvios de padrões (erros ou fraudes).
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
A técnica a ser adotada para a realização da pesquisa será conforme Lakatos & Marconi
(1991), a documentação indireta, pois serão consultados livros, publicações científicas, artigos de
internet, papers, revistas, jornais e monografias.
Por meio da documentação direta, segundo Lakatos & Marconi (1991), se fará um estudo
de caso. Para tanto, existirá uma coleta de dados dos Municípios do Estado da Paraíba no ano de
2002. Este procedimento terá a finalidade de analisar se as distribuições de ocorrência dos valores
das notas estão em consonância com a Lei de Newcomb-Benford, ou seja, se existem nelas
indicações de desvios padrões (fraudes, erros contábeis ou de digitação), verificando, assim, a
aplicação da Contabilometria e a sua respectiva contribuição no campo da Auditoria Contábil.
A Lei de Newcomb-Benford
A Lei de Newcomb-Benford é uma ferramenta poderosa e relativamente simples para
apontar suspeita de fraudes, fraudadores, sonegação de impostos e erros de digitação. A maioria
das pessoas supõe que em uma amostra de números aleatórios de uma fonte de dados, o primeiro
dígito não sendo zero poderia ser qualquer algarismo entre 1 e 9 e todos os nove seriam
considerados igualmente prováveis. Porém, a Lei de Newcomb-Benford , uma anomalia da
teoria das probabilidades, mostra que os dígitos 1,2 e 3 são mais comuns que os dígitos 4,5,6,...9
como primeiro dígito de uma distribuição de números, de bom tamanho, isto é, ela garante que a
chance de um número ter sido tirado ao acaso e o primeiro dígito significativo ser 1,2 e 3 é
aproximadamente 60,2 %.
A evolução histórica da Lei de Newcomb-Benford
A Lei de Newcomb-Benford foi originalmente descoberta no final do século XIX
empiricamente. Entretanto, o número de trabalhos publicados sobre esta lei cresceu em
progressão geométrica a partir de 1938, década por década. Segundo Nigrini (2000) tem-se: nos
anos quarenta, apareceram só dois trabalhos; nos anos cinqüenta nada se fez; mas dos anos
sessenta até os anos noventa, sobem os totais inexoravelmente: 12, 24, 32 e 49. Alem disso, dada
a falta de estudos empíricos durante este período, é bastante notável, primeiro, que um corpo de
literatura sobre a lei de Newcomb-Benford desenvolveu-se, e segundo que a literatura foi
aprovada na teoria Matemática. Vale enfatizar que o trabalho de Benford foi o mais completo
trabalho empírico deste período, isto é, a tabela de Benford era a maior tabela de freqüência de
dígitos disponíveis para investigação até os anos noventa (Nigrini; 2000). Vale evidenciar ,
também, os trabalhos mais importantes para a Contabilidade no que se refere à evolução dos
estudos da Lei de Newcomb-Benford:
A década de 80 foi o período no qual foi publicado o 1º trabalho da aplicação da Lei de
Newcomb-Benford na Contabilidade. O autor deste trabalho foi Carslaw (1988)1, que levantou a
hipótese que quando as rendas de rede de corporação estiverem sujeita só a limites psicológicos,
1
Carslaw (1988) apud Silva (2003).
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
os gerentes tendem a ajustar estes números. Por exemplo, os números como $ 798.000,00 e $
19,97 milhões a pouco seriam batidos por números inferiores a $800.000,00 e $20 milhões
respectivamente. Estes desvios eram justificados por que em condições de percentagem eles são
apenas marginalmente mais altos. Carslaw usou as freqüências dos segundos dígitos
significativos esperados pela lei de Newcomb-Benford com um padrão para que as freqüências de
dígitos de lucros incorporados deveriam ser compatíveis. O resultado nele baseado em que rendas
líquidas informadas das companhias de Nova Zelândia mostravam que havia mais segundo dígito
“0” observado e menos segundo dígitos “9” que o esperado.
Ainda na década de 80, Hill (1988)2 mostrou evidência experimental, pois quando são
solicitados às pessoas que inventem “números fortuitos”, estes números nunca estão em
consonância com a distribuição de Newcomb-Benford, embora eles compartilhem algumas
propriedades desta Lei: Além disso, Thomas (1989)3 reproduziu os resultados de Carslaw (1988)
usando dados dos E.U.A e obteve resultados semelhantes, provando evidência adicional,
justificando que dados autênticos da contabilidade seguem sempre uma distribuição de
Newcomb- Benford.
A década de Noventa foi o Período de consolidação da aplicação da Lei de NewcombBenford na contabilidade, onde foram vistos avanços recentes na teoria de Newcomb-Benford,
junto com pesquisa extensa sobre como usar a Lei de Newcomb-Benford no contexto da
auditoria. Christian e Grupta (1993) analisaram dados de contribuintes para achar indícios de
evasão secundária. Evasão secundária acontece quando o contribuinte reduz sua renda tributável
inferior ao exercido pela tabela da receita federal. As tabelas referidas são aquelas usadas pela
receita federal nos E.U.A para declaração de impostos de rendas de contribuintes com renda
inferior a $ 100.000,00 para determinar a responsabilidade de impostos deles. Os contribuintes
têm um incentivo significante para reduzir as rendas tributáveis deste modo por causa do ganho
potencial marginal que é bastante alto nestes casos. Christian e Grupta assumem a hipótese que
no final dos dígitos de rendas tributáveis deveriam ser distribuídos uniformemente dos “99”, e
para tanto usaram a Lei de Newcomb-Benford para justificar esta suposição. Nigrini (1994)4 foi o
primeiro trabalho a utilizar a Lei de Newcomb-Benford para descobrir fraudes. Usando os
números de um caso de fraudes de folha de pagamentos, Nigrini comparou as freqüências dos
dois primeiros dígitos dos cheques fraudulentos com a correspondente distribuição segundo a Lei
de Newcomb-Benford como padrão. A premissa era que com o passar do tempo, os indivíduos
tenderiam a repetir ações deles, e, além disso, que as pessoas não podem, construir uma
irrealidade em conformidade com a Lei de Newcomb-Benford; por conseguinte, os números
inventados (manipulados) por eles são improváveis a ser compatível com a Lei de NewcombBenford. Para o período de dez anos de fraude, os números fraudulentos de folha de pagamento
divergiram significantemente da Lei de Newcomb-Benford. Também, as divergências eram
maiores nos últimos cinco anos, quando a fraude alcançou seu máximo valor.
Em Nigrini (1996)5 foi desenvolvido um modelo de fator de distorção que sinaliza se
dados parecem ter sido manipulados para cima ou para baixo. Este trabalho mostrou que
fundamentado na amostra de dígitos (distribuição de dígitos) pode-se detectar superfaturamento
ou subfaturamento. Os testes empíricos incluídos o teste digital para os dados de referente ao
2
Hill (1988) apud Silva(2003).
Thomas (1989) Apud Silva (2003).
4
Nigrini Apud Silva (2003).
5
Nigrini (1996) Apud Silva (2003).
3
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
recebimento do pagamento dos contribuintes nos U.S.A. A distribuição de interesse está “quase”
em consonância com a Lei de Newcomb-Benford, porem para a distribuição de interesse dos
recebimentos. Existe um excesso para os primeiros dígitos significativos, sugerindo um
subfaturamento. Em contraste, existia um excesso dos maiores dígitos na distribuição de interesse
de pagamento sugerindo um superfaturamento para estes números. Nigrini e Mittermaire (1997)6
propõem seis testes digital que podem ser usados por auditores externos e internos. Os auditores
externos podem usar os testes para determinar se um conjunto de dados pode ser razoável para
direcionar suas atenções para questionáveis grupos de transações. Auditores internos podem,
também, usar os testes digitais para direcionar suas atenções para tendenciosos e irregulares
dados.
Nigrini (19997) fez uma explanação intuitiva da Lei de Newcomb-Benford para mostrar
o funcionamento da mesma:
Considerando os recursos totais de um fundo mútuo que esteja crescendo em 10% por
ano, tem-se:
Quando os recursos totais são de R$100 milhões, o primeiro dígito dos recursos totais é 1.
O primeiro dígito continuará a ser 1 até que os recursos totais alcancem R$200 milhões. Isto
requererá um aumento de 100% (100 a 200). Porém, para a taxa de crescimento proposta acima,
10% ao ano, leva-se 10 anos até alcançar R$200 milhões; Com R$ 500 milhões o primeiro dígito
será 5. Crescendo a uma taxa de 10% ao ano, os recursos totais levariam 2 anos para crescer de
R$500 milhões para R$600 milhões, significando menos tempos do que os recursos fizeram para
crescer de R$100 milhões para R$200 milhões. Com R$ 900 milhões, o primeiro dígito será 9 até
que os recursos totais alcancem R$ 1 bilhão. Crescendo a taxa de 10% ao ano, os recursos totais
levariam 1 ano e 1 mês.
Podemos perceber, então, que Nigrini (1999), através da interpretação intuitiva da Lei de
Newcomb-Benford, mostrou de forma simplificada que a ocorrência dos números como primeiro
dígito não segue a teoria geral das Probabilidades, onde a probabilidade de se ter como primeiro
dígito significativo no conjunto de {1, 2,3,...,9}, seria igual a 11% confirmando , assim, que a
ocorrência dos dígitos segue a Lei de Newcomb-Benford, uma anomalia da Probabilidade, na
qual os dígitos 1,2 e 3 ocorrem com maior freqüência do que os dígitos 4,5,6,...,9, como primeiro
dígito significativo.
Lei de Newcomb-Benford aplicada à Auditoria
Segundo Nigrini (1999), a lei de Newcomb-Benford pode ser utilizada pelos auditores na
detecção de desvios Contábeis.Porém, para isto, os auditores precisam estar atentos a alguns
sinais como:
•
6
7
Os desfalques começam pequenos e depois vão aumentando;
Migrini e Mittermaire (1997) Apud Silva (2003).
Publicação on-line. Journal of Accountancy. May 1999.
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
•
A maioria das quantias é abaixo de R$100, R$1000, R$10.000 e etc., dependendo do
volume de dinheiro trabalhado pela empresa e a partir de qual quantia é feita uma
investigação minuciosa do fato gerador desta quantia.
•
Os testes padrões dos dígitos são diferentes dos da Lei de Newcomb-Benford;
•
Os números, geralmente, são escolhidos para dar a aparência de casualidade.
Analisando a utilização da Lei de Newcomb-Benford em um caso de fraude no Estado
do Arizona (Nigrini, 1999).
Em 1993, no Estado do Arizona Wayne James Nelson (Cv92- 18841), foi acusado de
tentar fraudar o Estado em quase 2 milhões. Nelson, um gerente de um escritório em Treasurer no
Estado do Arizona, falou que tinha desviado fundos a um vendedor para demonstrar a ausência
de proteções de um sistema computadorizado.
Data do cheque
9 de Outubro de 1992
Quantidade $
1.927,48
27.902,31
14 de Outubro de 1992
86.241,90
72.117,46
81.321.75
97.473,96
93.249.11
89.656,17
87.776.89
92.105,83
79.949,16
87.602,93
96.879,27
91.806,47
84.991,67
90.831,83
93.766,67
88.336,72
94.639,49
83.709,28
96.412,21
88.432,86
71.552,16
1.878.687,58
19 de Outubro de 1992
Verificando a fraude no Arizona:
A tabela ao lado lista os cheques que um gerente de um
escritório em Treasurer no Estado do Arizona fez para desviar
fundos para seu próprio uso. Os vendedores para quem os cheques
saíram eram fictícios.
Analisando os dados:
Segundo Nigrini (1999), os números inventados são
improváveis de seguir a lei de Benford, porque as escolhas
humanas não são aleatórias.
•
Como é freqüente no caso de fraudes, podemos perceber
que as quantidades começam pequenas e depois vão
aumentando.
•
A maioria das quantidades era abaixo de $ 100.000. Isto
ocorreu porque as quantidades de dinheiro mais elevadas
recebem um exame minucioso adicional, ou seja, são feitas
verificações acima dessa quantidade que requerem
assinaturas humanas em vez da assinatura automatizada da verificação. Percebe-se, então,
que o gerente tentou esconder a fraude, mantendo as quantidades abaixo do ponto
adicional do controle.
Total
•
Os testes padrões do dígito das quantidades da verificação são quase opostos àqueles da
lei de Benford. Sobre 90% tem os números 7, 8 ou 9 como o primeiro dígito. Cada
vendedor tinha sido testado de encontro à lei de Benford, este jogo de números teria baixa
conformidade, sinalizando irregularidade.
•
Os números parecem ter sido escolhidos para dá a aparência de casualidade. A lei de
Newcomb-benford é completamente contra intuição; as pessoas não supõem naturalmente
que alguns dígitos ocorrem mais freqüentemente. Nenhuma das quantidades da
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
verificação foi duplicada; não havia nenhum número do círculo; e todos os centavos
incluídos das quantidades. Entretanto, subconscientemente, o gerente repetiu alguns
dígitos e combinações do dígito. Entre os primeiros dois dígitos das quantidades
inventadas, 87, 88, 93 e 96 eram todos usados duas vezes. Para os últimos dois dígitos,
16, 67 e 83 foram duplicados. Havia uma tendência para os dígitos mais elevados; note
que 7 a 9 eram os dígitos freqüentemente mais usados, em contraste à lei de NewcombBenford. Um total de 160 dígitos foi usado nos 23 números. As contagens para os dez
dígitos de 0 a 9 eram 7, 19, 16, 14, 12, 5, 17, 22, 22 e 26, respectivamente.
O caso de fraude no Estado do Arizona (Nigrini, 1999) apresentado acima mostra a
aplicabilidade da lei de Newcomb-Benford na Auditoria. Pois se um auditor não tivesse
conhecimentos da Lei de Newcomb-Benford, este poderia passar não ter percebido este
acontecimento.
Foi Mark Nigrini da Universidade do Sul de Methodist que abriu caminho a aplicação da
Lei de Newcomb-Benford à sonegação de imposto e a detecção de fraudes e fez com que outros
profissionais ligados à área contábil pudessem utilizar-se do mesmo sistema que criou.8
A lei de Newcomb-Benford também tem aplicabilidade nos balanços e nas demonstrações
contábeis, onde a utilização deste modelo só tem a contribuir com a classe contábil, pois podem
realmente alertar os empresários de possíveis fraudes, manipulações em determinados dígitos.
Na Auditoria esta lei é utilizada no planejamento do trabalho, onde se decide qual direção
deve-se tomar e onde se aprofundar na realização dos procedimentos.
Estudo de Caso
Neste trabalho foram analisadas 104.104 notas de empenho de 20 Municípios o Estado da
Paraíba que estão localizados nas regiões do litoral e do sertão.
A partir da escolha destas cidades, considerou os valores das notas de empenho,
abstraindo-se o primeiro dígito9 do valor da despesa correspondente aquele empenho, agrupandoos a um mesmo nível de dígitos. Este procedimento foi realizado como forma para determinar o
tratamento dos dados consoante a aplicação do modelo contabilométrico aqui construído com
base na Lei de Newcomb-Benford.
Entretanto, o uso de amostras continua sendo o caminho mais lógico: quando se quer
comprovar a existência física dos dados e a sua apreciação em um tempo considerado razoável.
Todavia, com a utilização de amostras (ainda que estas sejam significativas) nos trabalhos de
auditoria, não se pode descartar a possibilidade de ocorrência de erros, que podem conduzir o
auditor a conclusões não condizentes com a realidade. Isso porque os indivíduos de uma
população (os itens que a compõe) variam.
Assim, na estimação da probabilidade de ocorrência de um determinado evento
correspondente a um dado item da população sob a experiência (partindo da amostra), devem ser
8
Nigrini criou um modelo contabilométrico fundamentado na relação entre a Lei de Newcomb-Benford e os Testes
de Hipóteses.
9
Por exemplo: o valor de R$ 563,26 foi separado o dígito “5”. E assim por diante
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
levadas em consideração essas variações e necessário se faz que o possível erro cometido seja
estimado.
Estes erros podem ocorrer ou ser considerados como função do tipo de amostra escolhida
pelo Auditor (que pode ser probabilística ou não) ou podem estar relacionados tanto à
aleatoriedade, como à não representatividade do tamanho da mesma, ou seja, o tamanho da
amostra pode não ser o suficiente para garantir conclusões fidedignas sobre a população (que é o
todo sobre o qual se pretende inferir), o que, mais uma vez, deve chamar a atenção do Auditor.
Nesta ótica, uma forma racional do Auditor se orientar é utilizar a Contabilometria como
metodologia científica, em particular, neste trabalho será utilizados Teste de Hipóteses que
permitem analisar o grau de significância das divergências que poderão ocorrer entre as
distribuições de probabilidade esperada (pe), com base na Lei de Newcomb-Benford, e as
observadas (po) do fenômeno contábil que está sob Auditoria, visando à verificação de desvios
padrões nos valores das notas de empenho da entidade acima mencionada.
Em outros termos, a análise das entidades se fundamenta nos seguintes pilares:
comparação entre as distribuições observadas e a esperada segundo a Lei de Newcomb-Benford;
e verificação da significância das diferenças entre a probabilidade observada (real), po, e a
probabilidade esperada, pe, segundo a Lei de Newcomb-Benford.
Para tanto, aplica-se Teste de Hipóteses da seguinte forma:
A hipótese nula H0 é definida como sendo: as duas distribuições de probabilidades
observadas e esperadas são iguais. Isto é,
Ho: (po) = (pe)
Para estudar o nível de significância entre as diferenças po – pe utiliza-se o Z-Teste.
Z=
p o − pe −
1
2n
pe (1 − pe )
n
onde n é o número de observações;
1
2n é o termo de correção de continuidade e só é usado quando ele é menor que p o − p e .
O nível de significância é
= 0,05 e Zc crítico é igual a 1,96.
Para estudar se as duas distribuições de probabilidade estão em conformidade uma com a
outra, ou se a distribuição de probabilidade observada (po) é “igual” a distribuição esperada (pe),
segundo a Lei de Newcomb-Benford, utiliza-se o X2 – Teste da seguinte maneira:
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
X2 = ∑
d =1
( Po − Pe ) 2
Pe
,
onde Po e Pe são proporções observadas e esperadas definidas por:
Po = (po)x (nº da população)
Pe = (pe)x (nº da população)
O nível de significância é α= 0,05, o grau de liberdade é 8 e o valor crítico do Quiquadrado é 15,507. Portanto, fazendo os cálculos a partir das informações obtidas em um
Município do Estado da Paraíba.
Seguem-se os resultados obtidos da aplicação do modelo contabilométrico aqui proposto
nos municípios do estado da Paraíba que foram objetos desta pesquisa sobre a possibilidade de
superfaturamentos nestas notas.
Caso 1: Analisando as notas de empenho da região litorânea- ano- 2002.
Tabela 1: Aplicação da lei de Niwcomb- Newcomb-Benford nos municípios da região litorâneaZ -TESTE. Z crítico 1,96
Municípios
Dígitos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
L9
L10
0,015
3,214
5,453
3,402
6,149
1,131
3,998
2,931
13,447
1,123
2,868
3,194
1,563
4,243
3,109
3,999
1,387
1,707
2,275
3,507
2,271
3,525
1,052
0,034
2,713
1,555
0,041
3,357
2,479
0,875
3,794
5,487
4,491
2,511
1,856
1,949
3,514
0,15
5,069
1,068
0,212
1,265
1,63
0,035
1,509
0,127
2,232
0,775
0,197
1,928
0,03
1,096
0,263
1,853
1,699
0,357
5,814
4,082
1,034
2,259
2,11
0,293
0,99
4,012
0,589
3,005
1,018
0,261
1,205
0,301
0,67
0,336
1,943
2,864
3,289
3,384
5,151
2,768
2,535
1,335
18,043
2,525
3,874
3,821
0,391
9,78
5,9
9,025
2,381
9,061
Tabela 2: Aplicação da lei de Newcomb-Benford nos valores das notas de empenho dos
municípios da região litorânea Ano 2002 - χ² TESTE. χ² crítico 15,507.
Municípios
Dígitos
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
L9
L10
1
2
0,00
8,35
0,97
7,03
3,851
10,112
7,924
5,041
8,897
0,017
0,00
4,3
2,003
0,071
11,395
0,268
2,648
6,671
4,258
12,027
3
4
5
26,74
10,07
35,82
8,477
2,148
16,334
4,77
10,96
0,975
0,587
13,791
28,888
23,28
0,886
0,019
0,46
0,04
3,1
30,478
14,746
1,258
8,378
0,81
0,167
9,936
9,427
23,838
13,609
0,112
90,831
6
7
8
1,06
14,37
8,12
9,85
16,051
1,679
0,003
6,569
2,259
19,192
5,826
3,4
1,701
2,44
0,019
0,01
1,11
0,11
4,498
4,439
0,047
1,604
0,058
0,33
6,827
5,977
2,163
31,378
75,935
6,301
9
Totalχ²
177,36
281,89
3,29
65,829
0,005
39,504
4,168
88,817
2,076
39,335
2,9
12,03*
1,085
58,625
0,047
23,057
317,578
385,065
76,303
310,754
Por um lado, o Z-TESTE mostra que as diferenças correspondentes aos dígitos: 1 para os
municípios L3, L4, L5, L8 e L10 são significativas; 2 para os municípios L1, L2, L3, L3, L6, L9
e L10 são significativas; 3 para os municípios L1, L2, L3, L5, L7, L8, L9 e L10 são
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
significativas; 4 para os municípios L1, L3, L4, L7 e L9; 5 para os municípios L1, L2, L4, L9 e
L10 são significativas; 6 para os municípios L2, L4, L7, L9 e L10 são significativas; 7 para os
municípios L1, L2, L3, L4, L7, L9 e L10 são significativas; 8 para os municípios L1 e L10 são
significativas e para os municípios L1, L9 e L10 são significativas. De um modo geral nestes
casos existe suficiente evidências para rejeitar a hipótese nula. Além disso, constata-se que os
dígitos que parte dos municípios tem problemas são 2,3 e 7. Porém, para o dígito 9 os municípios
L1 e L9 a medida do nível de significância Z-TESTE assume valores exagerados confirmando
uma forte tendência de super faturamento nas notas de empenho destes municípios.
Por outro lado, o χ² - TESTE mostra que existe suficiente evidência para rejeitar a
hipótese de que a distribuição dos valores das notas de empenho observada não é compatível com
a distribuição sendo a lei de Newcomb-Benford para em tela, exceto para o município L6 que tem
χ² = 12,03.
Caso 2: Analisando as notas de empenho da região sertaneja do estado da Paraíba-Ano-2002.
Tabela 3: Aplicação da lei de Newcomb-Benford nos municípios da região sertaneja- Z- TESTE.
Z crítico é 1,96.
Municípios
Dígitos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
S1
3,131
5,037
2,886
1,959
1,752
1,248
2,251
0,931
2,767
S2
3,098
3,213
1,76
3,634
0,511
1,736
0,801
0,403
2,072
S3
2,268
2,246
2,213
1,64
0,884
0,708
1,548
1,645
1,139
S4
4,223
1,627
0,355
4,001
4,855*
1,223
3,187
1,675
4,754
S5
5,88
1,615
5,794
0,847
1,894
0,378
5,303
0,044
1,196
S6
S7
S8
0,5
4,591
2,46
2,749
1,717
0,917
2,981
7,947
15,596
0,947
5,071
2,822
8,96
0,583
3,733*
1,147
1,723
3,132
2,364
3,016
3,278
2,578
7,115*
0,74
0,516
0,257
1,496
S9
S10
1,54
2,707
5,67
1,948
1,416
1,787
4,133
4,392
3,992
0,178
3,433
1,042
5,305
1,926
1,728
5,968
0,372
2,062
Tabela 4: Aplicação da lei de Newcomb-Benford nos valores das notas de empenho dos
municípios da região sertaneja- Ano 2002 - χ² TESTE. χ² crítico é 15,507.
Municípios
Dígitos
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
1
6,87
6,89
3,657
12,412
24,178*
0,19
0,621
4,166
1,689
0,027
2
20,78
8,843
3,989
2,114
2,044
16,39
21,109
7,71
6,388
10,347
3
7,37
2,883
4,189
0,165
30,349
5,77
6,804
9,705
27,846
1,207
4
3,71
11,98
2,422
14,652
0,722
7,87
74,399
6,556
3,505
24,664
5
2,87
0,229
0,612
21,129
3,409
3,05
0,351
46,449
1,732
3,878
6
1,52
3,202
0,684
1,473
0,112
1,16
13,699
0,483
3,274
2,885
7
5,31
0,821
2,31
10,214
27,621
7,24
1,302
0,316
16,478
34,306
8
0,71
0,141
2,485
3,048
0,00
62,66
3,167
0,056
17,902
0,088
9
6,88
4,325
1,475
22,662
1,277
239,96
9,351
2,279
14,428
4,436
Totalχ²
56,01
39,314
21,823*
87,869
89,712
339,27*
130,803
77,72
93,2421
81,838
A medida estatística Z-TESTE mostra que 25 diferenças Po - Pe correspondentes aos
dígitos: 1 para todos os municípios são significantes exceto no caso de S6, S9 e S10; 2 para todos
os municípios são significantes exceto para S4 e S5; 3 para todos os municípios exceto S2, S4 e
S10; 4 para os municípios S2, S4, S6, S7, S8 e S10; são significantes; 5 para os municípios S4 e S8
são significantes; 6 para, apenas, o município S7 é significante; 7 para os municípios S1, S4, S5, S6,
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
S9 e S10 são significantes; 8 para os municípios S6 e S9 são significantes; e 9 para todos os
municípios com exceção de S3, S5 e S8. De um modo geral o Z-TESTE mostra que existe
suficiente evidência para rejeitar a hipótese nula: Po - Pe.
A medida estatística - χ² Teste mostra que existe suficiente evidência para rejeitar a
hipótese de que a distribuição dos valores de notas de empenho observada não é compatível com
a distribuição segundo a lei de Newcomb-Benford para todos os municípios da região sertaneja
do estado da Paraíba estudada neste trabalho.
Vale salientar que o município que tem menor valor do - χ² Teste é o S3 com χ² = 21,823 e
o município de maior valor do- χ² Teste é S6 com χ² = 339,27. Para uma análise mais
aprofundada do teste Z e χ² leva-se a suspeitar que existe forte evidência que o município S6 tem
superfaturado as suas notas de empenho enquanto o município S3 tem fragmentado as notas de
empenho para não atingir o limite da licitação exigida por lei.
Caso 3: Analisando as notas de empenhos dos 20 municípios do estado da Paraíba por
região e na sua totalidade
Tabela 5: Região Litorânea
Dígito
Quant.
Observada
1
16.554
Lei de
NewcombBenford
0,301
0,298
2
9.602
0,176
0,173
3
6.747
0,125
0,121
4
5.046
0,097
0,091
5
4.767
0,079
6
3.912
7
3.271
Proporção
Observada
Valor de Z
Contagem
Esperada
-0,003
1,538
16.743
2,143
-0,003
1,852
9.790
3,617
-0,004
2,846
6.953
6,118
-0,006
4,774
5.396
22,667
0,086
0,007
6,113
4.394
31,583
0,067
0,07
0,003
2,821
3.727
9,189
0,058
0,059
0,001
1
3.226
0,619
Desvio
χ²
8
2.840
0,051
0,051
0
-0,01
2.837
0,003
9
2.887
0,046
0,052
0,006
6,745
2.559
42,097
Total
55.626
1
1
-
Proporção
Observada
Desvio
Valor de Z
Contagem
Esperada
χ²
0,297
0,176
0,126
0,089
0,082
0,066
0,058
0,056
0,05
1
-0,004
0
0,001
-0,008
0,003
-0,001
0
0,005
0,004
0
1,915
-0,006
0,659
5,944
2,44
0,872
-0,01
4,994
4,193
14.592
8.532
6.060
4.702
3.830
3.248
2.8’12
2.472
2.230
2,096
0,043
0,4
30,929
5,894
0,544
0,063
20,046
14,856
74,871
118,036
Tabela 6: Região Sertaneja
Dígito
Quant.
Observada
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total
14.417
8.513
6.109
4.321
3.980
3.206
2.825
2.695
2.412
48.478
Lei de
NewcombBenford
0,301
0,176
0,125
0,097
0,079
0,067
0,058
0,051
0,046
1
Tabela 7: Resumo dos municípios analisados do litoral e sertão
Dígito
Quant.
Lei de
Proporção
Desvio
Valor de
Contagem
χ²
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
Observada
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total
30.971
18.115
12.856
9.367
8.747
7.118
6.096
5.535
5.299
104.104
NewcombBenford
0,301
0,176
0,125
0,097
0,079
0,067
0,058
0,051
0,046
1
Observada
Z
0,298
0,174
0,123
0,09
0,084
0,068
0,059
0,053
0,051
1
-0,003
-0,002
-0,002
-0,007
0,005
0,001
0,001
0,002
0,005
0
Esperada
2,107
1,69
1,947
7,626
5,975
1,284
1,374
2,926
7,694
31.335
18.322
13.013
10.098
8.224
6.975
6.038
5.309
4.789
104.104
4,235
2,345
1,894
52,93
33,232
2,933
0,557
9,594
54,36
162,08
Uma visão geral dos resultados obtidos
De uma forma geral fica aqui demonstrado que a Lei de Newcomb-Benford também é
aplicável às despesas públicas consubstanciadas nas notas de empenhos. Observa-se que na
aglutinação de todos os municípios, como se verifica no quadro 03 acima, que está evidenciado
que existem problemas nos dígitos: (4), (5), (8) e (9), uma vez que os valores observados no teste
da normal estão acima de Z=1,96 (nível de significância adotado foi 5%).
O gráfico abaixo visualiza melhor a situação em comento:
Lei de Benford X Dados Observados
0,35
0,30
NB-Lei
Proporção
0,25
0,20
0,15
Observado
0,10
0,05
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1º Dígito
A análise quantitativa pelo modelo contabilométrico aqui desenvolvido nos revela apenas
que tais dígitos não estão de conformidade com o citado modelo, deste modo, os empenhos que
começam com os dígitos (4), (5), (8) e (9) tem forte indícios de terem sido manufaturados ou
fraudados.
Abaixo algumas considerações:
•
O dígito (9) revela que há uma tendência de superfaturamento nas despesas
realizadas pelos gestores dos municípios em análise;
•
O dígito (8) desvenda que há uma forte tendência do administrador público
fracionar as despesas que se situa acima de R$ 8.000,00, limite este estabelecido pela Lei Federal
nº 8.666/93 que disciplina as aquisições mediante licitação.
•
Os dígitos (4) e (5), expõe que a soma ou combinações dos mesmos resulta um
número igual ou maior do que (8), o que esclarece a hipótese acima mencionada, ou seja, tais
dígitos são reflexos do fracionamento de despesas que seriam licitadas, o que é uma prática muito
utilizada pelos gestores públicos.
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
•
Outro aspecto digno de nota é que o dígito (8) não se afasta muito da área de
aceitação delimitado pelo teste Z, (digito (8) Z= 2,93), o que não ocorrem com os dígitos (4) e
(5), uma vez que eles fracionam as despesas maiores ou iguais a R$ 8.000,00 (dígito (8)), isto é,
enquanto o dígito (8) seria utilizado uma vez, o dígito (4), por exemplo, seria utilizado no mínimo
duas vezes para subdividir as despesas acima de R$ 8.000,00.
Observa-se, ainda que de acordo com o teste do Qui-Quadrado (X2) a região do sertão
paraibano tem um comportamento, de modo geral, melhor que o da região litoral, muito embora
tais séries estejam bem acima da área de aceitação definida pelo teste (X2 = 15,507). Uma
apreciação de ordem prática que se poderia fazer, com as restrições anteriormente feitas quanto
ao subjetivismo, é que proporcionalmente as análise feitas pelo Tribunal de Contas do Estado
revelam que os municípios da região do litoral têm suas prestações contas rejeitadas com mais
freqüência do que a região do sertão paraibano.
Do ponto de vista da análise individual dos municípios ficou, constatado que apenas três
municipalidades os valores dos empenhos se comportam com a Lei de Newcomb-Benford, para
um nível de significância de 10%, são eles:
• (L6) – o que poderia ser explicado, pelo fato deste município durante todo o exercício
financeiro de 2002, estava sob intervenção judicial, e foram realizadas diversas inspeções pelo
Tribunal de Contas do Estado, inibindo assim qualquer conduta ilegal;
• (L8) – este município tem uma administração exemplar, fato este que se pode verificar
pela impressa da Paraíba, tendo este município adotado o orçamento participativo e um conselho
de contas, constituído por varias seguimentos da sociedade local.
• (S3) - este município foi recém-emancipado (1997) e neste período não se verifica
nenhuma rejeição das contas anuais.
Considerações Finais
O presente trabalho apresentou a Lei de Newcomb-Benford, uma ferramenta que pode
auxiliar a classe contábil na proteção da sociedade contra fraudes, irregularidades.
Dedutivamente, e de uma forma simples, a Lei de Newcomb-Benford é estudada neste
artigo.
A Contabilometria é uma metodologia científica proposta, por este artigo, para a auditoria
contábil, nos casos em que a análise qualitativa não assegura ao Auditor uma tomada de decisão
precisa.
A principal estratégia contabilométrica usada aqui é a integração dos métodos
quantitativos, que são a Lei de Newcomb-Benford e os Testes de Hipótese (Z-Teste e X2-Teste ),
com direcionamento aos trabalhos de planejamento da auditoria contábil tradicional e da
auditoria digital. Este método é usado nos U.S.A com certa freqüência, Nigrini (2000).
Finalmente, um estudo de caso mostra que, realmente, os propósitos teóricos acima
aludidos são alcançados. A referida metodologia foi adotada para um município do estado da
Paraíba, Brasil. Escolheu-se analisar, as notas de empenho de municípios M do Estado da
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
Paraíba, e foi constatado que existe uma forte tendência de desvios, principalmente nos valores
das notas de empenho que começam com os dígitos 8 e 9, podendo-se supor a existência de
superfaturamento.
Este trabalho torna-se relevante pois, vai de encontro à sistematização dos
direcionadores dos trabalhos da Auditoria quando da aplicação da Lei Newcomb-Benford se faz
presente, e quando um dos objetivos – da Auditoria - é detecção de evasão fiscal (indícios de
fraudes), usando como ferramenta a contabilometria. Vale não olvidar que a realização de uma
Auditoria não se reporta apenas à detecção de fraudes contábeis ou manipulação de contas. Ela
também funciona como mecanismo de controle de processos internos e externos da empresa,
servindo de instrumento de diagnóstico e correção.
Com o aprimoramento da eficiência da Lei Newcomb-Benford, em sua aplicação na
Auditoria, mediante a utilização de Testes de Hipótese, várias são as vantagens que o Auditor
pode desfrutar, das quais se pode citar a dissolução de viés em suas conclusões sobre a
verossimilhança de contas auditadas e a otimização de tempo, pois uma discrepância detectada
pela comparação das distribuições observadas (po) e esperada (pe) segundo a Lei de NewcombBenford não sugere firmemente a existência de evasão ou fraude contábil. O erro pode ser
aleatório ou decorrente do tipo de amostragem utilizada;
Portanto, com a utilização da Lei de Newcomb-Benford, o Auditor poderá imprimir
maior cientificidade em seus trabalhos emitindo seu parecer com mais consistência.
Referências Bibliográficas
¾ Benford´s Law Part 1 – How to Spot Tax fraud. Disponível em: <
http://www.intuitor.com/statistics/Benford´s%20law.html > Acesso em: 21 de maio de
2005.
¾ FIQUEREDO, Sandra; MOURA, Heber. A utilização dos métodos quantitativos pela
Contabilidade. Revista Brasileira de Contabilidade. Brasília Ano 30, nº 127. JAN/FEV
2001.
¾ LAKATOS, Eva Maria: MARCONI, Marina de Andrade. Fundamentos de metodologia
científica. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 1991.
¾ Lei de Benford. Disponível em < www.cut-the-knot.com/do_you_know/zipflaw.html>
Acesso em: 20 de maio de 2005.
¾ Lei
de
Benford.
Disponível
em
http://www.masjidtucson.org/publications/books/SP/2000/jul/page1.html >. Acesso em :
20 de maio de 2005.
¾ MENDES, Pedro Paulo Thiago Gueiros Malta – A Aplicação de Métodos Quantitativos
em Trabalhos de Auditoria Independente – TCC , Recife, 2003.
¾ NIGRINI, M.J. I´ve got your number – Online Publications- Journal of Accountancy,
May, 1999.
¾ NIGRINI, M.J.. Digital Analysis Using Benford’s Law: Tests ? Statistics for
Auditors.Global Audit Publication. Canada, 2000.
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.
Aplicação da Lei de Newcomb-Benford na Auditoria.
¾ SANTOS, Josenildo, et al. Uma anomalia da teoria das probabilidades na
contabilometria: uma medida para análise de dados no campo de auditoria. ANPAD,
2003.
¾ SILVA, Ana Cláudia Alencar da – A Lei de Newcomb-Benford Aplicada á Auditoria
Contábil e Digital.- TCC, RECIFE, 2003.
¾ WEISSTEIN´S,
Eric
“Benford´s
Law”.
Disponível
em:
http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html> Acesso em: 20 de maio de 2005.
<
¾ _________. The First Digit Phenomenon. America Scientist, 1998 Newcomb, S.: Note
on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers, AJM, 4, 39-40,
1881.
Caso notas de empenho dos Municípios do Estado da Paraíba.