Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Universidade Federal de São João Del-Rei
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
André Luiz Paganotti
Cálculo e Minimização de Campo Elétrico de Linhas de Transmissão
Belo Horizonte
2012
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Universidade Federal de São João Del-Rei
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
André Luiz Paganotti
Cálculo e Minimização de Campo Elétrico de Linhas de Transmissão
Texto da Dissertação de Mestrado Submetido à Banca
Examinadora designada pelo Colegiado do Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Associação
Ampla entre a Universidade Federal de São João
Del-Rei e o Centro Federal de Educação Tecnológica de
Minas Gerais como requisito parcial para obtenção do
tı́tulo de Mestre em Engenharia Elétrica.
Linha de Pesquisa: Eletromagnetismo Aplicado.
Orientador: Prof. Dr. Márcio Matias Afonso
Co-Orientador: Prof. Dr. Marco Aurélio de Oliveira
Schroeder
Belo Horizonte
2012
”Cálculo e Minimização de Campo Elétrico de Linhas de Transmissão”
André Luiz Paganotti
Texto da Dissertação de Mestrado Submetido à Banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Associação Ampla entre a Universidade Federal de São João Del-Rei e o Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas
Gerais como requisito parcial para obtenção do tı́tulo de Mestre em Engenharia Elétrica.
Apresentada em 13 de Julho de 2012.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Márcio Matias Afonso
Orientador - PPGEL - CEFET -MG
Prof. Dr. Marco Aurélio de Oliveira Schroeder
Co-Orientador - PPGEL/UFSJ
Prof. Dr. Rodney Rezende Saldanha
PPGEE/UFMG
Prof. Dr. Leônidas Chaves de Resende
PPGEL - UFSJ
Dedido este trabalho à
memória de meu Pai Anézio
Paganotti e à vida de Minha
Mãe Maria Carmen Donateli
Paganotti.
iv
vi
Agradecimentos
Agradeço:
A Deus por ter me dado força para persistir diante das dificuldades, sabedoria e vontade de
vencer;
Aos professores que sempre foram meus incentivadores desde a graduação, Marco Aurélio de
Oliveira Schroeder e Márcio Matias Afonso;
Aos demais professores do Mestrado em Engenharia Elétrica do CEFET-MG, em especial à Professora Úrsula do Carmo Resende e ao Professor Valter Júnior de Souza Leite, pela dedicação e
boa vontade na transmissão de seus conhecimentos;
Ao professor Tarcı́sio Antônio Santos de Oliveira pelo incentivo;
Ao professor Eduardo Nunes Gonçalves pelas valiosas discussões que contribuiram para o desenvolvimento deste trabalho;
À minha famı́lia: Mãe, Arilson, Alexandre, Fernanda, Rose e Maria Vitória pelo apoio;
À minha noiva Naiara pelo amor, carinho e força durante essa etapa de minha vida;
Aos amigos de Mestrado Maicon, André Filipe, Camila, Lucas Resende, Rodrigo Guedes pela
amizade e troca de experiências;
Aos membros da banca examinadora pelos comentários, sugestões e contribuições, que ajudaram
a melhorar a qualidade e a redação final do manuscrito;
A Márcio dos Santos, do Leacopi/CEFET-MG pelo apoio;
Aos amigos de São João Del Rei: Serginho, Silvan, Felipe e Cangeré pelo apoio e acolhimento;
Ao CEFET-MG por ter me proporcionado uma formação colegial e acadêmica que me transformaram como pessoa e como profissional;
A todos que contribuı́ram de alguma forma com a realização deste trabalho, meu muito obrigado.
vii
“A vontade de se preparar precisa ser maior que a
vontade de vencer”
Bob Knight
“Quem acredita sempre alcança...”
Renato Russo
ix
Resumo
A necessidade de desenvolvimento de novas técnicas de transmissão de energia elétrica
de maneira eficiente tem se tornado cada vez mais necessárias em função da crescente
demanda no mercado consumidor e da relação desta capacidade de disponibilização
de energia com o desenvolvimento econômico local. Este trabalho apresenta as diversas etapas para o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para cálculo
e minimização do campo elétrico ao nı́vel do solo e superficial de linhas de transmissão. Esta ferramenta é de fundamental importância na busca de novos métodos
de recapacitação, como a Linha de Potência Natural Elevada - LPNE, que consiste
numa técnica de recapacitação não convencional. Este desenvolvimento tem inı́cio
a partir do conhecimento das grandezas eletromagnéticas associadas às linhas de
transmissão e das técnicas de determinação e minimização dos nı́veis de campos
elétricos observados. O desenvolvimento de um modelo eletromagnético é realizado
a partir das leis fundamentais do eletromagnetismo e de literaturas referências no
assunto. Este modelo propicia o cálculo do campo elétrico superficial, por meio do
método das Imagens Sucessivas, e ao nı́vel do solo, para linhas de transmissão reais
utilizadas pela CEMIG e FURNAS. Uma avaliação das metodologias de otimização
atualmente empregadas, propicia a decisão de minimizar os campos elétricos a partir
do método do Gradiente. Considera-se casos com altura fixa e variável ao longo do
processo de otimização desenvolvido. Os campos elétricos ao nı́vel do solo, originais e otimizados são comparados com os valores dados por norma. Enquanto que
os campos elétricos superficiais, originais e otimizados são comparados com valores
limites em função do condutor considerado. Verifica-se que os campos elétricos ao
nı́vel do solo otimizados apresentam valores inferiores aos observados inicialmente.
De maneira análoga, os campos elétricos superficiais otimizados também apresentam
ótimos minorados.
Palavras-chave: Campo Elétrico Superficial, Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo, Linhas
de Transmissão, Minimização do Campo Elétrico.
xi
Abstract
The need to development of new techniques for transmission of electric energy efficiently is becoming increasingly necessary due to growing demand in the consumer
market and the relationship of this ability to release energy to the local economic
development. This work presents the various steps to develop a computational tool
for calculating and minimizing the electric field at ground level and surface of the
transmission lines. This tool is essential in the search for new methods of retraining,
as High Surge Impendance Loading - HSIL, which is an unconventional technique
for retraining. This development starts from the knowledge of the electromagnetic
variables associated with transmission lines and techniques for determining and minimizing the levels of electric fields observed. The development of an electromagnetic
model is realized using the basic laws of electromagnetism and literature references
on the subject. This model provides the calculation of the surface electric field, by
the method of successive images, and to ground level for the actual transmission lines
used by CEMIG and FURNAS. An evaluation of optimization methods currently
used, provides the decision to minimize the electric fields with the Gradient method.
It is considered the cases with fixed height and variable during the optimization
process developed. The electric fields at ground level, original and optimized values
are compared with the data standard. While the surface electric fields, the original
and optimized fields are compared to values in function of the conductor under consideration. It appears that the electric field at ground level have optimized values
lower than those observed initially. Similarly, the surface electric fields values also
have excellent optimized minimized.
Key-words: Surface Electric Field, Electric Field at Ground Level, Transmission
Lines, Minimization of the Electric Field.
xiii
Sumário
Lista de Figuras
xxv
Lista de Tabelas
xxx
Lista de Acrônimos e Notação
xxxi
1 Introdução
1.1 Relevância do Tema Sob Investigação
1.2 Contextualização da Dissertação . . .
1.3 Objetivos Gerais e Especı́ficos . . . .
1.3.1 Objetivos Gerais . . . . . . .
1.3.2 Objetivos Especı́ficos . . . . .
1.4 Metodologia . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Organização do Texto . . . . . . . .
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7
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26
3 Ferramenta de Otimização
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Modelagem Eletromagnética das Linhas de Transmissão
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Linhas de Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Obtenção do Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Natureza do Campo Elétrico de Linhas de Transmissão Trifásicas
2.5 Determinação da Carga Elétrica do Sistema . . . . . . . . . . . .
2.6 Determinação do Campo Elétrico Máximo . . . . . . . . . . . . .
2.7 Cálculo do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo . . . . . . . . . . . .
2.8 Cálculo do Campo Elétrico Superficial . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Método da Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Método das Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Determinação do Campo Elétrico Crı́tico . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Desempenho das Linhas quanto à Formação de Corona . .
2.10 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.2
3.3
3.4
3.5
Formulação do Problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Método de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estratégia do Método de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algoritmo do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Metodologia de Cálculo do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Otimização Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Função Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Critério de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Tratamento de Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Método das Barreiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.1 Restrição 01 - Variação Horizontal da Posição dos Condutores . .
3.10.2 Restrição 02 - Distância Mı́nima Entre Fases Diferentes (dmf ) . .
3.10.3 Restrição 03 - Distância Mı́nima Entre Condutores da Mesma Fase
3.10.4 Restrição 04 - Regula a Sobreposição dos Condutores . . . . . . .
3.10.5 Restrição 05 - Altura Máxima Permitida . . . . . . . . . . . . . .
3.10.6 Restrição 06 - Altura Mı́nima Permitida . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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(dmmf)
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4 Resultados
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Validação da Metodologia de Cálculo de Campo Elétrico Superficial . . . . . . .
4.2.1 LT 500 kV com Cinco Condutores por Fase . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 LT 735 kV com Quatro Condutores por Fase . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Obtenção dos Valores de Campos Elétricos Superficiais Para Diversas Configurações
4.3.1 Caso 01: Configuração com Um Condutor por Fase . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Caso 02: Configuração com Dois Condutores por Fase . . . . . . . . . . .
4.3.3 Caso 03: Configuração com Três Condutores por Fase . . . . . . . . . . .
4.3.4 Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por Fase . . . . . . . . .
4.4 Minimização do Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Caso 01: Configuração com Um Condutor por Fase . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Caso 02: Configuração com Dois Condutores por fase . . . . . . . . . . .
4.5.3 Caso 03: Configuração com Três Condutores por Fase . . . . . . . . . . .
4.5.4 Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por Fase . . . . . . . . .
4.6 Minimização do Campo Elétrico Superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Caso 01: Configuração com Um Condutor por Fase . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Caso 02: Configuração com Dois Condutores por Fase . . . . . . . . . . .
4.6.3 Caso 03: Configuração com Três Condutores por Fase . . . . . . . . . . .
4.6.4 Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por Fase . . . . . . . . .
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5 Conclusões
109
5.1 Sı́ntese da Dissertação e Principais Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Propostas de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Referências Bibliográficas
112
A Obtenção da Distância Delta
117
B Ferramenta de Otimização
B.1 Estrutura Básica do Algoritmo de Direção de Busca
B.2 Algoritmo da Seção Áurea . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Critério de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.1 Estabilização do Valor da Função Objetivo .
B.4 Tratamento de Restrições . . . . . . . . . . . . . .
B.4.1 Método das Penalidades . . . . . . . . . . .
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C Validação da Metodologia de Cálculo de Campo Elétrico Superficial
127
D Verificação dos Potenciais Elétricos
D.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2 LT 04 Condutores por Fase 735 kV . . . . . . . . . . . .
D.3 Caso 01: Configuração Com Um Condutor por Fase . . .
D.4 Caso 02: Configuração Com Dois Condutores por Fase .
D.5 Caso 03: Configuração Com Três Condutores por Fase .
D.6 Caso 04: Configuração Com Quatro Condutores por Fase
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E Erro Entre as Metodologias de Cálculo de Campo Elétrico Superficial
E.1 Caso 02: Configuração com Dois Condutores por Fase . . . . . . . . . . . . . . .
E.2 Caso 03: Configuração com Três Condutores por Fase . . . . . . . . . . . . . . .
E.3 Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por Fase . . . . . . . . . . . . .
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137
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F Nı́veis de Referência de Campos Elétricos ao Nı́vel do Solo
141
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G Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
G.1 Caso 02: Configuração com Dois Condutores por fase . . . . . . . . .
G.1.1 Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas
dutores Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.1.2 Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas
dutores Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.2 Caso 03: Configuração com Três Condutores por fase . . . . . . . . .
G.2.1 Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas
dutores Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.2.2 Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas
dutores Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.3 Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por fase . . . . . . . .
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dos Con. . . . . . 143
dos Con. . . . . . 144
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dos Con. . . . . . 147
dos Con. . . . . . 149
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G.3.1 Minimização do Campo Elétrico Ao Nı́vel do Solo com Alturas dos Condutores Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
G.3.2 Minimização do Campo Elétrico Ao Nı́vel do Solo Com Alturas dos Condutores Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
H Campo Elétrico Superficial e o Efeito Corona
153
I
155
155
Minimização do Campo Elétrico Superficial
I.1 Caso 01: Configuração com Um Condutor por Fase . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.1 Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores
Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.2 Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores
Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2 Caso 02: Configuração com Dois Condutores por Fase . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1 Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores
Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.2 Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores
Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3 Caso 03: Configuração com Três Condutores por Fase . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.1 Minimização do Campo Elétrico Superficial Com Alturas dos Condutores
Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.2 Minimização do Campo Elétrico Superficial Com Alturas dos Condutores
Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4 Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por Fase . . . . . . . . . . . . .
I.4.1 Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores
Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.2 Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores
Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xviii
155
157
158
158
161
163
164
167
170
171
174
Lista de Figuras
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
Estrutura de Madeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estrutura de Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estrutura Metálica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Protótipo de Isoladores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cadeia de Suspensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ferragens para 4 Condutores Rail (954 MCM), respectivamente, 18”, LPNE/FEX
do 2o Circuito de Interligação N-NE e LPNE/FEX regular . . . . . . . . . . . .
Cabos Para-Raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condutor Cilı́ndrico no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Superfı́cie Gaussiana Adotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representação do Campo Elétrico para um Ponto no Espaço . . . . . . . . . . .
Ilustração do Método das Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistema Fı́sico Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistema Fı́sico Trifásico Real Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemplo de Feixe de Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condutor Múltiplo com Dois Subcondutores Isolados . . . . . . . . . . . . . . .
Cargas Imagem no Condutor A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Efeito da Introdução do Plano do Solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Segundo Estágio das Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distâncias Entre Imagens Sucessivas e o Centro do Condutor . . . . . . . . . . .
Sistema Fı́sico Resultante da Aplicação do Método das Imagens Sucessivas . . .
9
9
10
10
14
15
16
17
18
20
20
21
22
22
23
24
3.1
3.2
3.3
Exemplo da Função Barreira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Restrições Adotadas Durante o Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . .
Restrições Adotadas Durante o Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . .
36
36
38
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Configuração 500 kV - 5 condutores por fase . . . . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02 . . . . . . . .
Pontos Considerados para Obtenção dos Potenciais Elétricos . . .
LT 735 kV - 4 Condutores por Fase . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico Superficial do Condutor 05 - LT 735 kV
43
43
44
46
46
xix
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8
8
8
8
8
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
4.39
4.40
4.41
4.42
4.43
4.44
4.45
4.46
4.47
Configuração dos Condutores da LT 138 kV . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico Superficial do Condutor da Fase do Meio .
Configuração 345 kV - 2 Condutores por Fase . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico Superficial do Condutor 03 - Fase do Meio
Configuração 500 kV - 3 Condutores por Fase . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico Superficial do Condutor 04 - Fase do Meio
Configuração 500 kV - 4 Condutores por Fase . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico Superficial do Condutor 08 - Fase do Meio
Configuração dos Condutores da LT 138 kV . . . . . . . . . . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações .
Configuração dos Condutores da LT 345 kV - CEMIG . . . . . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações .
Configuração dos Condutores da LT 500 kV - CEMIG . . . . . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações .
Configuração dos Condutores da LT 500 kV - Furnas . . . . . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações .
Configuração dos Condutores da LT 138 kV - CEMIG . . . . . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 . . . . . . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 . . . . . . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 . . . . . . . . . . . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 . . . . . . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 . . . . . . . . . . . . . .
xx
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48
49
49
51
51
52
52
54
56
56
57
57
58
58
59
60
60
61
61
63
63
64
65
65
66
66
68
68
69
70
70
72
72
74
75
75
76
76
77
77
77
4.48
4.49
4.50
4.51
4.52
4.53
4.54
4.55
4.56
4.57
4.58
4.59
4.60
4.61
4.62
4.63
4.64
4.65
4.66
4.67
4.68
4.69
4.70
4.71
4.72
4.73
4.74
4.75
4.76
4.77
4.78
4.79
4.80
4.81
4.82
4.83
4.84
4.85
4.86
4.87
4.88
4.89
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03
Configuração Original - LT 345 kV . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . .
Vista Ampliada da Fase 01 . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03
Campo Elétrico Superficial - Condutor 04
Campo Elétrico Superficial - Condutor 05
Campo Elétrico Superficial - Condutor 06
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . .
Vista Ampliada da Fase 01 . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03
Campo Elétrico Superficial - Condutor 04
Campo Elétrico Superficial - Condutor 05
Campo Elétrico Superficial - Condutor 06
Configuração Original - LT 500 kV . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . .
Vista Ampliada da Fase 01 . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 Configuração Ótima Sugerida . . . . . . .
Vista Ampliada da Fase 01 Resultante . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 Configuração Ótima Sugerida . . . . . . .
xxi
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Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
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Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
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01
01
01
02
02
02
03
03
03
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01
01
01
02
02
02
03
03
03
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80
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81
81
81
81
81
83
83
83
83
84
84
84
84
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87
88
88
88
88
88
88
89
89
89
90
90
91
91
91
91
92
92
92
92
92
94
4.90 Vista Ampliada da Fase 01 Resultante . . . . . . . .
4.91 Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 01 .
4.92 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 01 .
4.93 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 01 .
4.94 Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02 .
4.95 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 02 .
4.96 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 02 .
4.97 Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 03 .
4.98 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 03 .
4.99 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03 .
4.100Configuração dos Condutores da LT 500 kV - Furnas
4.101Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . .
4.102Vista Ampliada da Fase 01 Resultante . . . . . . . .
4.103Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 01 .
4.104Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 01 .
4.105Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 01 .
4.106Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 - Fase 01 .
4.107Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02 .
4.108Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 02 .
4.109Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 02 .
4.110Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 - Fase 02 .
4.111Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 03 .
4.112Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 03 .
4.113Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03 .
4.114Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 - Fase 03 .
4.115Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . .
4.116Vista Ampliada da Fase 01 Resultante . . . . . . . .
4.117Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 01 .
4.118Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 01 .
4.119Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 01 .
4.120Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 - Fase 01 .
4.121Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02 .
4.122Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 02 .
4.123Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 02 .
4.124Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 - Fase 02 .
4.125Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 03 .
4.126Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 03 .
4.127Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03 .
4.128Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 - Fase 03 .
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105
105
105
105
105
105
A.1 Cargas Filamentares de Sinais Opostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.2 Ponto Genérico P Próximo as Linhas de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.3 Representação da Equipotencial de Uma das Linhas de Carga . . . . . . . . . . 120
xxii
B.1 Exemplo Função Penalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
C.1 Configuração 500 kV - 5 Condutores por Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
C.2 Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02 . . . . . . . . . . . . . . . . 127
G.1 Configuração Original - LT 345 kV . . . . . . . . . . .
G.2 Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . .
G.3 Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das
G.4 Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . .
G.5 Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das
G.6 Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . .
G.7 Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das
G.8 Configuração dos Condutores da LT 500 kV - CEMIG
G.9 Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . .
G.10 Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das
G.11 Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . .
G.12 Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das
G.13 Configuração dos Condutores da LT 500 kV - Furnas .
G.14 Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . .
G.15 Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das
G.16 Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . .
G.17 Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo ao Longo das
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Iterações
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Iterações
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Iterações
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Iterações
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Iterações
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Iterações
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Iterações
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151
151
152
152
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
I.6
I.7
I.8
I.9
I.10
I.11
I.12
I.13
I.14
I.15
I.16
I.17
I.18
I.19
I.20
I.21
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159
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160
160
160
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161
162
162
162
Configuração dos Condutores da LT 138 kV - CEMIG
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 . . . . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 . . . . . . .
Configuração Original - LT 345 kV . . . . . . . . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . .
Vista em Detalhe da Fase 01 . . . . . . . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 05 . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 06 . . . . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . . .
Vista Ampliada da Fase 01 Resultante . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 . . . . . . .
xxiii
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I.22
I.23
I.24
I.25
I.26
I.27
I.28
I.29
I.30
I.31
I.32
I.33
I.34
I.35
I.36
I.37
I.38
I.39
I.40
I.41
I.42
I.43
I.44
I.45
I.46
I.47
I.48
I.49
I.50
I.51
I.52
I.53
I.54
I.55
I.56
I.57
I.58
I.59
I.60
I.61
I.62
I.63
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 05 . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 06 . . . . . .
Configuração Original - LT 500 kV . . . . . . . . . .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . .
Vista em Detalhe da Fase 01 . . . . . . . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 01 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 01 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 01 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 02 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 02 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 03 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 03 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03 .
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . .
Vista Ampliada da Fase 01 Resultante . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 01 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 01 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 01 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 02 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 02 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 03 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 03 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03 .
Configuração dos Condutores da LT 500 kV - Furnas
Configuração Ótima Sugerida . . . . . . . . . . . . .
Vista Ampliada da Fase 01 Resultante . . . . . . . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 01 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 01 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 01 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 - Fase 01 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 02 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 02 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 - Fase 02 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 03 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 03 .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03 .
xxiv
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162
163
163
163
163
164
164
164
165
165
166
166
166
166
166
166
167
168
168
169
169
169
169
169
169
170
170
170
171
172
172
172
172
172
172
173
173
173
173
174
174
174
I.64
I.65
I.66
I.67
I.68
I.69
I.70
I.71
I.72
I.73
I.74
I.75
I.76
I.77
I.78
Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 Configuração Ótima Sugerida . . . . . . .
Vista Ampliada da Fase 01 Resultante . .
Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 Campo Elétrico Superficial - Condutor 04 -
xxv
Fase
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Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
Fase
03
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01
01
01
01
02
02
02
02
03
03
03
03
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174
175
175
176
176
176
176
177
177
177
177
177
177
178
178
xxvi
Lista de Tabelas
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
Erros Obtidos na Obtenção de Campos Elétricos Superficiais Via Método das
Imagens Sucessivas Calculado e Valores da Referência . . . . . . . . . . . . . .
Campos Elétricos Superficiais Máximos de Cada Condutor Calculado com os
métodos da Carga Centrada e das Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . .
Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo .
Comparativo Valor Padrão e Valor Calculado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparativo Máximo da Figura 12 da Referência e Calculado . . . . . . . . . .
Campos Elétricos Superficiais em Cada Um dos Condutores da LT Via Método
das Imagens Sucessivas e Via Método da Carga Centrada . . . . . . . . . . . .
Erro Obtido na Obtenção dos Campos Elétricos Superficiais em Cada um dos
Condutores da LT Via Lei dos Cossenos e Via Método das Imagens Sucessivas .
Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método
da Carga Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método
da Carga Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campos Elétricos Superficiais Via Lei dos Cossenos e Via Método das Imagens
Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método
da Carga Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campos Elétricos Superficiais Via Método da Lei dos Cossenos e Via Método das
Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campos Elétricos Superficiais Obtidos Via Método das Imagens Sucessivas e
Método da Carga Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campos Elétricos Superficiais Via Lei dos Cossenos e Via Método das Imagens
Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização . . . . . . . . .
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . .
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . .
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . .
Relação entre Valores Calculados e da Norma NBR 5422 para o Campo Elétrico
ao Nı́vel do Solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xxvii
42
43
45
45
46
47
47
48
49
50
51
51
52
53
55
55
56
57
58
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
4.39
4.40
4.41
4.42
4.43
4.44
4.45
4.46
4.47
4.48
4.49
4.50
Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . 59
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 60
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 61
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 62
Relação entre Valores Calculados e da Norma NBR 5422 para o Campo Elétrico
ao Nı́vel do Solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . 64
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 65
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 66
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 67
Relação entre Valores Calculados e da Norma NBR 5422 para o Campo Elétrico
ao Nı́vel do Solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . 69
Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização . . . . . . . . . . . . . . . 70
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 71
Relação entre Valores Calculados e da Norma NBR 5422 para o Campo Elétrico
ao Nı́vel do Solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . 74
Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização . . . . . . . . . . . . . . . 75
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 76
Relação entre Valores de Campos Elétricos Superficiais Máximos e Crı́ticos . . . 78
Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . 79
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 80
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 82
Relação entre Valores de Campos Elétricos Superficiais Máximos e Crı́ticos . . . 85
Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . 86
Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização . . . . . . . . . . . . . . . 87
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 90
Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização . . . . . . . . . . . . . . . 93
Relação entre Valores de Campos Elétricos Superficiais Máximos e Crı́ticos . . . 97
Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . 98
Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização . . . . . . . . . . . . . . . 99
Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . 102
Relação entre Valores de Campos Elétricos Superficiais Máximos e Crı́ticos . . . 107
A.1 Variação de h e de ro para Valores Caracterı́sticos de k . . . . . . . . . . . . . . 119
C.1 Comparativo dos Valores de Campos Elétricos Superficiais Referência e Valores
Calculados - Utilizando o Método das Imagens Sucessivas - Próximo a Estrutura 128
C.2 Campo Elétrico Superficial de Cada Condutor Considerando a Carga Centrada
e Erro Com Relação ao Método das Imagens Sucessivas- Próximo a Estrutura . 128
D.1 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo
D.2 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo
xxviii
. 129
. 130
D.3 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Carga Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.4 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.5 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.6 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Carga Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.7 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.8 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.9 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Carga Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.10 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.11 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores - Imagens Sucessivas
D.12 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Carga Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.13 Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.1 Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método
da Carga Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2 Campos Elétricos Superficiais Via Lei dos Cossenos e Via Método das Imagens
Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3 Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método
da Carga Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.4 Campos Elétricos Superficiais Via Método da Lei dos Cossenos e Via Método das
Imagens Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.5 Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método
da Carga Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.6 Campos Elétricos Superficiais Via Lei dos Cossenos e Via Método das Imagens
Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
131
131
131
132
132
133
133
134
134
135
137
137
138
138
139
139
F.1 Limites Propostos pela NBR 15145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
G.1
G.2
G.3
G.4
G.5
G.6
G.7
Configuração
Configuração
Configuração
Configuração
Configuração
Configuração
Configuração
Sugerida
Sugerida
Sugerida
Sugerida
Sugerida
Sugerida
Sugerida
pelo
pelo
pelo
pelo
pelo
pelo
pelo
Processo
Processo
Processo
Processo
Processo
Processo
Processo
de
de
de
de
de
de
de
Minimização
Minimização
Minimização
Minimização
Minimização
Minimização
Minimização
xxix
.
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144
145
146
147
149
151
152
H.1 Campos Elétricos Crı́ticos - Fórmula de Peek
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
I.6
I.7
I.8
Configuração
Configuração
Configuração
Configuração
Configuração
Configuração
Configuração
Configuração
Sugerida
Sugerida
Sugerida
Sugerida
Sugerida
Sugerida
Sugerida
Sugerida
pelo
pelo
pelo
pelo
pelo
pelo
pelo
pelo
Processo
Processo
Processo
Processo
Processo
Processo
Processo
Processo
de
de
de
de
de
de
de
de
xxx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Minimização
Minimização
Minimização
Minimização
Minimização
Minimização
Minimização
Minimização
.
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156
157
159
161
165
168
171
175
Lista de Acrônimos e Notação
LT
SEP
LPNE
CEMIG
CHESF
FURNAS
RECAP
CA
CC
FEX
SIL
CEPEL
ELETROBRAS
IEEE
ICNIRP
EPRI
CEP
TEM
Linha de Transmissão
Sistema Elétrico de Potência
Linha de Transmissão de Potência Natural Elevada
Companhia Energética de Minas Gerais
Companhia Hidrelétrica do São Francisco
Centrais Elétricas S.A
Recapacitação
Corrente Alternada
Corrente Contı́nua
Feixe Expandido
Surge Impedance Loading
Centro de Pesquisa em Energia Elétrica
Centrais Elétricas Brasileiras S.A
Institute of Electrical and Electronics Engineers
International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection
Electric Power Research Institute
Condutor Elétrico Perfeito
Onda Transversal Eletromagnética
xxxi
Capı́tulo
1
Introdução
1.1
Relevância do Tema Sob Investigação
Um paı́s de dimensões continentais como o Brasil, cuja principal matriz energética é de
origem hidrelétrica, gera a necessidade da construção de linhas de transmissão (LT 0 s) muito
extensas. Estes elementos do sistema elétrico de potência (SEP ) interligam os centros de geração aos centros de consumo. Além disso, o aumento acentuado na demanda de energia elétrica
tem ocasionado a necessidade de transmissão eficiente de blocos de energia cada vez maiores
[1]. Nota-se, também, uma grande dificuldade para a obtenção de novas faixas de passagem
necessárias à implantação de novos corredores de energia elétrica [2]. Logo, se faz necessária a
realização de estudos que propiciem um aumento na capacidade de transmissão das LT´s existentes, bem como o projeto de LT´s compactas (não convencionais) [3],[4] e [5]. Esse aumento
pode ser alcançado por meio de técnicas de recapacitação das LT’s, tais como: recondutoramento com aumento da seção dos condutores; aumento do limite térmico; modificação da tensão
operativa; lançamento de mais de um condutor por fase; entre outros [6], [7].
Uma das alternativas de recapacitação altamente viável, praticamente não utilizada no Estado de Minas Gerais, é a tecnologia LPNE (Linha de Transmissão de Potência Natural Elevada)
[8],[9]. Esta tecnologia compreende basicamente o rearranjo ou aumento do número de subcondutores por fase com vistas a realizar uma equalização do campo elétrico superficial entre os
subcondutores de cada fase [10]. A implementação da tecnologia LPNE tem como um de seus
pilares a compreensão da variação do campo elétrico superficial em cada condutor e da análise
da sensibilidade deste campo em relação à variação de parâmetros fı́sicos e geométricos da LT
[11].
O entendimento da variação do campo elétrico superficial em linhas de transmissão também
é de fundamental importância para que se possam determinar as geometrias que ocasionem
uma minimização das perdas de energia decorrentes do efeito corona. Tal fenômeno é uma
decorrência das intensidades do gradiente de potencial na superfı́cie dos condutores. Diversos
pesquisadores têm desenvolvido técnicas de determinação destes gradientes ao longo dos últimos
50 anos [1].
1
2
Capı́tulo 1. Introdução
O cálculo dos campos elétricos associados às linhas de transmissão e a sua minimização são
de grande interesse para as diversas áreas da engenharia que trabalham em sinergia para a implantação dos sistemas de transmissão. Para as concessionárias, este estudo pode representar
o surgimento de possibilidades de aplicação de uma nova técnica de recapacitação, bem mais
otimizada em resultados do que as técnicas atualmente empregadas [6], [7]. Para os órgãos ambientais, representa a possibilidade de redução de prejuı́zos à natureza, inerentes à obtenção de
faixas de passagem para a construção de LT´s novas, que podem ser evitados mediante a recapacitação proporcionada pelas geometrias associadas aos campos elétricos minimizados. Além
disso, os programas desenvolvidos podem servir como ferramentas a serem utilizadas durante a
elaboração de projetos de linhas novas, de modo que estas sejam construı́das com seus campos
elétricos otimizados.
Uma outra aplicação da pesquisa, refere-se ao projeto de LT´s compactas, presentes em
número cada vez maior em áreas urbanas com espaço relativamente reduzido para a implantação
de LT´s convencionais [12]. As configurações de transmissão compactas possuem espaçamento
entre fases reduzido e utiliza de espaçadores e isoladores especiais para que o isolamento das
estruturas seja mantido. Os fatores descritos anteriormente ilustram a relevância e importância
do tema desse trabalho.
1.2
Contextualização da Dissertação
A necessidade de desenvolvimento de novas técnicas de transmissão de energia elétrica eficientes tem se tornado cada vez mais necessárias em função da crescente demanda no mercado consumidor e da relação desta capacidade de disponibilização de energia com o progresso
econômico local.
O conhecimento do campo elétrico gerado por uma LT é de fundamental importância para
que o dimensionamento elétrico da mesma seja realizado de maneira adequada [13]. Distância
entre condutores, altura cabo-solo e previsão da necessidade de implementação de compensações devido aos efeitos capacitivos, são exemplos de elementos presentes no dimensionamento
das LT´s, que dependem do conhecimento da natureza do campo elétrico envolvido. Este contexto justifica o desenvolvimento de um trabalho com as seguintes caracterı́sticas:
• i) Desenvolva uma compreensão e quantificação dos nı́veis de campos elétricos superficiais
e ao nı́vel do solo em linhas de transmissão trifásicas aéreas de configurações geométricas
diversas operando em regime permanente;
• ii) Implemente uma ferramenta computacional para cálculo do campo elétrico superficial
utilizando uma das principais metodologias existentes na literatura [14],[15],[1];
1.3. Objetivos Gerais e Especı́ficos
3
• iii) Realize um estudo das técnicas de otimização atualmente empregadas e implemente
uma delas para a determinação da localização ótima dos condutores em cada uma das
LT´s analisadas [16], [15]e [17].
Os desenvolvimentos acima, permitem a realização da minimização da intensidade dos campos elétricos existentes, responsável pelas perdas de energia ao longo das linhas de transmissão
e consequentemente a redução da exposição dos indivı́duos que vivem próximos das LT´s.
1.3
1.3.1
Objetivos Gerais e Especı́ficos
Objetivos Gerais
Esse trabalho tem como objetivo geral o entendimento e implementação do método das Imagens Sucessivas [18], [19] para a determinação das intensidades de campos elétricos superficiais
de linhas de transmissão trifásicas reais. Esta metodologia é empregada para cômputo dos
nı́veis de campo em algumas LT’s de geometrias adotadas na atualidade. Além disso, almeja-se
também realizar um estudo das técnicas de otimização atualmente empregadas para otimização
geométrica dos condutores e, por meio da adoção de uma determinada técnica, realizar uma minimização dos nı́veis de campos elétricos superficiais e ao nı́vel do solo encontrados nos sistemas
de transmissão estudados.
1.3.2
Objetivos Especı́ficos
A fim de alcançar o objetivo geral estabelecem-se os seguintes objetivos especı́ficos:
• Modelagem eletromagnética e computacional das linhas de transmissão operando em
regime permanente: cálculo dos nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do solo e superficiais;
• Validação e análises de sensibilidade do modelo;
• Estudo e aplicação das técnicas de otimização empregadas para a determinação da localização ótima dos condutores;
• Validação e análises de sensibilidade da metodologia desenvolvida;
• Estudo das normas que regem os nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do solo e valores limites
dos campos elétricos superficiais com relação ao Efeito Corona, dados por [1],[20],[21] e
[22].
1.4
Metodologia
A Metodologia adotada neste trabalho de pesquisa inclui os seguintes estudos e realizações:
4
Capı́tulo 1. Introdução
• Revisão Bibliográfica - Estudo do Estado da Arte;
• Caracterização do comportamento eletromagnético das linhas de transmissão, operando
em regime permanente;
• Caracterização das técnicas de recapacitação atualmente empregadas pelas concessionárias
de energia, com ênfase na LPNE;
• Estudo das técnicas de otimização atualmente empregadas em problemas relacionados à
determinação da localização ótima de condutores: tais como o método do gradiente;
• Desenvolvimento de programas para: (i) cálculo dos nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do
solo e superficiais gerados pelas linhas de transmissão trifásicas de configurações diversas;
(ii) aplicação de método de otimização para a minimização do campo elétrico ao nı́vel
do solo e superficial obtido para a LT sob análise; (iii) otimização da LT considerando
as restrições de caráter fı́sico e elétrico para a obtenção do dimensionamento ótimo que
proporcione a obtenção do campo elétrico ao nı́vel do solo e superficial mı́nimo;
• Validação dos programas desenvolvidos por meio de comparação com outras metodologias
e com resultados da literatura [19] , [16] e [15];
• Análises de sensibilidade com relação às configurações geométricas das LT´s consideradas;
• Avaliação dos efeitos da modificação sugerida pelo processo de otimização nos nı́veis de
campos elétricos ao nı́vel do solo e superficiais observados no sistema antes e depois do
processo de otimização.
As configurações ótimas sugeridas pelos desenvolvimentos deste trabalho não têm a aplicabilidade verificada do ponto de vista técnico e econômico. As soluções sugeridas são ótimas sob
o ponto de vista dos campos elétricos superficiais e ao nı́vel do solo dos sistemas de transmissão analisados. Estudos de engenharia não são realizados para verificar se as configurações são
viáveis sob os diversos aspectos de engenharia inerentes à implantação ou recapacitação de uma
linha de transmissão.
1.5
Organização do Texto
O presente trabalho está organizado em 5 capı́tulos, incluindo este capı́tulo introdutório.
No capı́tulo 2 apresenta-se a metodologia de cálculo adotada neste trabalho. Inicialmente, é
apresentado o modelo eletromagnético desenvolvido para a linha de transmissão. Em seguida,
é apresentada a natureza do campo elétrico associado às linhas de transmissão trifásicas e a
maneira de obtenção da carga elétrica do sistema. A formulação para a obtenção do campo
elétrico máximo ao nı́vel do solo é apresentada. O processo de determinação do campo elétrico
superficial é apresentado por meio da Lei dos Cossenos e do método das Imagens Sucessivas.
Ao final do capı́tulo 3 é apresentado um breve estudo do comportamento dos campos elétricos
1.5. Organização do Texto
5
superficiais das linhas com relação à ocorrência do Efeito Corona.
A técnica de otimização adotada é apresentada em detalhes no capı́tulo 3. Inicia-se o capı́tulo
com uma discussão a respeito das técnicas de otimização atualmente empregadas na engenharia.
Em seguida, discute-se em detalhes o método do Gradiente adotado neste trabalho. As restrições adotadas pelo algoritmo de otimização desenvolvido também são apresentadas.
A minimização do campo elétrico ao nı́vel do solo e superficial, considerando-se altura dos
condutores fixa e variável, são apresentados no capı́tulo 4. Inicialmente, a ferramenta de cálculo
do campo elétrico superficial é validada. Os nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do solo antes
e depois do processo de otimização são comparados com os valores máximos estabelecidos por
norma. Enquanto que o campo elétrico superficial é comparado com valores limites à ocorrência
do Efeito Corona.
O capı́tulo 5 apresenta as conclusões obtidas a partir das análises realizadas e as propostas
de continuidade vislumbradas a partir das possibilidades de desdobramentos do assunto obtidas
a partir das implementações realizadas ao longo de todo o trabalho.
6
Capı́tulo 1. Introdução
Capı́tulo
2
Modelagem Eletromagnética das Linhas de
Transmissão
2.1
Introdução
Este Capı́tulo apresenta a teoria eletromagnética necessária para a determinação do campo
elétrico nas linhas de transmissão estudadas neste trabalho. Em seguida, apresentam-se as duas
modelagens adotadas para a obtenção do campo elétrico superficial. Sendo a primeira a Lei
dos Cossenos, citada nos trabalhos de Sarma, e a segunda, o método das Imagens Sucessivas,
citada por diversos autores como a que possibilita a obtenção dos resultados mais precisos
[23],[19],[24],[1]. As implicações advindas do Efeito Corona para o meio no qual a linha de
transmissão está inserida são apresentadas. Finaliza-se o capı́tulo apresentando-se as conclusões
obtidas.
2.2
Linhas de Transmissão
As linhas de transmissão são elementos fundamentais do sistema elétrico de potência, pois
são elas as responsáveis pela ligação e, consequentemente, o transporte de energia entre os centros de geração e os centros de consumo. Cada linha de transmissão apresenta, para o sistema
no qual está inserida, uma assinatura dada pelas suas caracterı́sticas geométricas, mediante a
localização de seus condutores e das distâncias entre os próprios condutores e entre os condutores e o solo.
As linhas de transmissão constituem-se basicamente de cabos condutores metálicos sustentados por estruturas. Estas estruturas podem ser de concreto, madeira ou de metal, dependendo
dos nı́veis de tensão adotados e da geografia na qual é inserida a linha de transmissão. As Figuras 2.1,2.2 e 2.3, ilustram linhas de transmissão que utilizam estruturas de madeira, estruturas
de concreto e estruturas metálicas, respectivamente [25].
Os cabos condutores constituem os elementos ativos das linhas de transmissão. A determinação de qual tipo de condutor a ser utilizado é uma decisão de engenharia que leva em conta o
7
8
Figura 2.1:
Madeira
Capı́tulo 2. Modelagem Eletromagnética das Linhas de Transmissão
Estrutura de
Figura 2.2: Estrutura de ConFigura 2.3: Estrutura Metálica
creto
nı́vel de tensão adotado, a potência a ser transmitida e outros fatores econômicos relacionados
às perdas elétricas que devem ser atendidos para que se possa adotar um condutor adequado
para cada tipo de sistema.
Os cabos, conforme pode ser observado nas Figuras 2.1 a 2.3, são sustentados pelas estruturas por meio de isoladores. Estes, como o próprio nome indica, têm a função de manter
os condutores isolados eletricamente das estruturas. Estes elementos devem suportar esforços
mecânicos realizados pelo peso dos cabos condutores e também resistir às solicitações elétricas.
Geralmente, os isoladores são fabricados utilizando-se porcelana vitrificada, vidros temperados
e, mais recentemente, vêm sendo testados isoladores feitos de materiais semicondutores. A
Figura 2.4 ilustra dois tipos de isoladores adotados atualmente [25].
Figura 2.4: Protótipo de Isoladores Compactos
Figura 2.5: Cadeia de Suspensão
Além dos isoladores, tem-se também a cadeia de suspensão, mostrada na Figura 2.5, que
deve suportar os condutores e ligá-los às cadeias de isoladores e estes às estruturas [25]. Nos
casos em que se tem mais de um condutor por fase há também a utilização de ferragens. São
elas quem ditam o formato do feixe de cada fase e a distância entre subcondutores adotada pelo
2.2. Linhas de Transmissão
9
sistema. A Figura 2.6 mostra uma ferragem adotada em sistemas de quatro condutores por fase
utilizados pela CHESF (Companhia Hidrelétrica do São Francisco) [12]. Nota-se na Figura 2.6,
que as ferragens superiores apresentam distribuição simétrica dos condutores e as ferragens do
meio e inferiores apresentam distribuição não simétrica dos condutores.
Figura 2.6: Ferragens para 4 Condutores Rail (954 MCM), respectivamente, 18”, LPNE/FEX
do 2o Circuito de Interligação N-NE e LPNE/FEX regular
[12]
Há também na parte superior das linhas de transmissão os cabos para-raios. Estes têm o
objetivo de proteger os condutores fase da linha de transmissão contra a incidência de descargas
atmosféricas. Geralmente, os cabos para-raios são mais finos que os condutores fase e adota-se
na maioria dos casos um ou dois cabos. A Figura 2.7 ilustra o cabo para-raios de um sistema
de transmissão.
Figura 2.7: Cabos Para-Raios
Uma vez apresentada a linha de transmissão e seus principais componentes, passa-se a discussão para a obtenção dos campos elétricos associados às linhas de transmissão.
10
2.3
Capı́tulo 2. Modelagem Eletromagnética das Linhas de Transmissão
Obtenção do Campo Elétrico
A determinação da expressão do campo elétrico e que é utilizada tanto para a obtenção
do campo elétrico ao nı́vel do solo quanto para a determinação do campo elétrico superficial
é obtida a seguir partindo-se de uma das leis fundamentais do eletromagnetismo, a Lei de Gauss.
Considere um condutor cilı́ndrico reto, de raio r, de grande comprimento, de forma que se
possa analisar um pedaço de comprimento l m de modo que não haja efeitos das extremidades.
Assume-se que este condutor se encontra distante de quaisquer outros condutores ou planos
condutores. Ele apresenta uma densidade linear de carga ρl C/m distribuı́da uniformemente na
sua superfı́cie; o condutor é apresentado na Figura 2.8.
Figura 2.8: Condutor Cilı́ndrico no Espaço
Com vistas a se obter, por meio da Lei de Gauss, uma expressão para o cálculo do campo
elétrico na superfı́cie do condutor adota-se a superfı́cie Gaussiana mostrada para o condutor da
Figura 2.8.
Figura 2.9: Superfı́cie Gaussiana Adotada
[26]
Observa-se, na Figura 2.9, os vetores unitários do sistema de coordenadas cilı́ndricas, o
~ juntamente com o vetor diferencial de área (dS),
~ ambos
vetor densidade de fluxo elétrico (D)
saindo da superfı́cie Gaussiana considerada. Uma vez que, devido à simetria, as componentes
da densidade de fluxo elétrico se anulam ao longo do eixo z, não há campo elétrico nas áreas
circulares da superfı́cie Gaussiana, se desprezado o efeito das bordas. Portanto, conclui-se que,
neste caso, o campo elétrico possui componente somente na direção perpendicular ao eixo do
condutor, ou seja, na direção de ~aρ .
2.4. Natureza do Campo Elétrico de Linhas de Transmissão Trifásicas
11
O elemento diferencial de área (dS) pode ser considerado como sendo o produto de ρdφdz,
que corresponde ao elemento diferencial de superfı́cie na direção definida pelo vetor ~aρ . Considerando a superfı́cie Gaussiana envolvendo todo o condutor e desprezando-se o efeito das
bordas a Lei de Gauss é aplicada e resulta:
Z
Z Z
~ · dS
~=
D
S
Dρdφdz = Q
(2.1)
S
Na equação 2.1, Q representa a carga elétrica encerrada pela Superfı́cie Gaussiana. As
variáveis densidade de campo elétrico (D) e posição ρ não variam com as variáveis de integração,
e podem ser consideradas constantes. Dessa forma, o resultado da expressão 2.1 integrando em
φ, de 0 a 2π, e em z, de 0 até o comprimento da linha, resulta na expressão para o campo
elétrico [27]:
~ =
E
ρl
~aρ
2πε0 ρ
(2.2)
Na equação 2.2, o termo ρl substitui a carga encerrada na superfı́cie, representando a densidade linear de carga do condutor. Esse parâmetro é obtido na divisão da carga pelo comprimento
da linha. Além disso, ao invés de considerar o vetor densidade de campo elétrico, é apresentado
−9
o vetor intensidade de campo elétrico, com o fator ε0 , correspondendo a 10
, evidenciando essa
36π
mudança de variáveis. Nesse caso, a permissividade relativa do meio é considerada igual a 1,
o que é válido quando o meio onde o campo é avaliado corresponde ao “ar” [27]. Sendo ρ a
distância entre o ponto fonte de campo elétrico e o ponto de observação e ~aρ o vetor unitário
correspondente. Esta expressão é obtida sem se considerar o efeito do solo, tal efeito será levado em consideração nos desenvolvimentos das próximas seções. Nota-se que esta expressão
pode ser aplicada para pontos próximos à superfı́cie do condutor, ou seja, quando se tem ρ
tendendo ao raio do condutor, e também pode ser aplicada para pontos distantes da superfı́cie
do condutor, quando ρ tende a um valor muitas vezes superior ao raio do condutor. É visto
nas próximas seções que esta expressão inicial não conduz a resultados satisfatórios para pontos
de observação próximos à superfı́cie do condutor quando se leva em conta a presença do solo e
dos demais condutores de um determinado sistema de transmissão. Esta discussão se inicia por
meio do conhecimento da natureza dos campos elétricos associados aos sistemas de transmissão
trifásicos.
2.4
Natureza do Campo Elétrico de Linhas de Transmissão Trifásicas
~ Q e V são
Em linhas de transmissão trifásicas de configurações diversas as grandezas E,
~ além de fasor, é um vetor. Uma discussão da diferença
grandezas fasoriais. O campo elétrico E,
entre uma grandeza vetorial e uma grandeza fasorial pode ser encontrada em [23],[28].
12
Capı́tulo 2. Modelagem Eletromagnética das Linhas de Transmissão
Os componentes espaciais de um vetor podem ser fasores de diferentes ângulos no tempo.
Tais vetores complexos ocorrem no estudo dos campos elétricos ao redor das linhas de transmissão trifásicas.
O campo elétrico sob estudo, com variação senoidal em estado permanente, apresenta como
cada componente espacial um fasor. Tais fasores são expressos por um valor rms (root mean
square)(“magnitude”) e por uma fase (“ângulo no tempo”), como mostrado abaixo:
−
→
E = ex (t)x̂ + ey (t)ŷ + ez (t)ẑ
(2.3)
Onde x̂,ŷ e ẑ são vetores unitários ao longo das direções X,Y e Z, respectivamente. E
ex (t),ey (t) e ez (t), são os componentes senoidais no tempo. Assim, o componente ao longo do
eixo X pode ser escrito como:
ex (t) = Ex [cos(ωt) cos(φx) − sin(ωt) sin(φx)]
(2.4)
ex (t) = Ex,r cos(ωt) + Ex,i sin(ωt)
(2.5)
→
−
Em 2.4, Ex é a magnitude de E ao longo do eixo x, φx é o ângulo no tempo (a fase de
ex (t)). Já em 2.5, Ex,r e Ex,i são, respectivamente, os componentes real e imaginário ao longo
do eixo X. A componente imaginária “aparece” no domı́nio fasorial.
Cada condutor de uma linha de transmissão é caracterizado por um fasor de tensão com
parte real e parte imaginária, V = Vr + jVi e pelo seu diâmetro. Um vez conhecida como obter
a expressão do campo elétrico em um ponto genérico do espaço e, sabendo da natureza fasorial
deste campo associado às linhas de transmissão, faz-se necessário determinar a carga elétrica
encerrada pela superfı́cie Gaussiana discutida na seção anterior.
2.5
Determinação da Carga Elétrica do Sistema
As cargas nos condutores são determinadas por meio dos fasores tensão, que são na maioria
dos casos os dados conhecidos sobre a linha de transmissão, e também por meio dos coeficientes
potenciais de Maxwell. Tais coeficientes são funções exclusivamente de caracterı́sticas construtivas da LT. A relação entre estas grandezas pode ser matricialmente relacionada da seguinte
forma [23],[28]:

 
 
ρla
Paa Pab Pac
Van
 Vbn  =  Pba Pbb Pbc  .  ρlb 
ρlc
Pca Pcb Pcc
Vcn

Onde, os elementos Pkm da matriz dos coeficientes potenciais de Maxwell, dados por:
(2.6)
2.6. Determinação do Campo Elétrico Máximo
13
1
Hkm
ln
[m/F ]
(2.7)
2π²0 Dkm
Em 2.7, Hkm é a distância entre cada condutor e sua imagem, Dkm é o raio do condutor no
caso em que k = m. Para k 6= m, Dkm é a distância entre os condutores k e m, e, Hkm é a
distância entre o condutor k e a imagem de m.
Pkm =
Da igualdade matricial, dada em 2.6, e partindo da definição de capacitância que se segue:
q = CV,
(2.8)
pode-se mostrar, mediante um algebrismo matricial, que:
[ρl] = [P ]−1 [V ].
(2.9)
Com base em 2.9 e considerando-se a natureza complexa da carga, pode-se escrever:
[ρl] = [ρlr ] + j[ρli ]
(2.10)
[ρlr ] = [P ]−1 [Vr ]
(2.11)
[ρli ] = [P ]−1 [Vi ]
(2.12)
Onde ρlr e ρli são, respectivamente, a parcela real e imaginária do fasor densidade de carga
elétrica. Por meio da resolução da equação matricial dada em 2.6, as cargas nos condutores são
conhecidas. Logo, o campo em um ponto N de coordenadas (Xn , Yn ) no espaço, pode ser calculado aplicando a expressão 2.2 apresentada anteriormente. Uma vez conhecida a maneira como
se determina a carga elétrica de um determinado sistema de transmissão e sabendo da natureza
vetorial fasorial do campo elétrico obtido, faz-se necessário que se aplique uma metodologia que
assegure a obtenção da máxima componente vetorial fasorial do campo elétrico analisado.
2.6
Determinação do Campo Elétrico Máximo
É útil visualizar o vetor campo elétrico dado em 2.3, como um vetor se movendo no espaço.
Pode ser mostrado que tal vetor rotaciona em um plano e descreve uma elipse [23], mostrado
na Figura 2.10. Surge daı́ o nome método das elipses.
O máximo componente fasorial do campo elétrico em um ponto no espaço é representado
pela magnitude e direção do maior semi-eixo do campo. Uma taxa de variação nula da magnitude do campo com respeito ao ângulo no espaço, ou com respeito ao tempo, ocorre ao longo
14
Capı́tulo 2. Modelagem Eletromagnética das Linhas de Transmissão
Figura 2.10: Representação do Campo Elétrico para um Ponto no Espaço
[23]
dos eixos da elipse [23],[28].
A componente do campo ao longo de uma direção definida pelo ângulo α, pode ser dada por
[23],[28]:
(Eα )2 = (Er,y sin(α) + Er,x cos(α))2 + (Ei,y sin(α) + Ei,x cos(α))2
(2.13)
Para se determinar os ângulos correspondentes aos campos máximo e mı́nimo deriva-se 2.13,
e iguala-se o resultado a zero:
d(Eα )2
=0
dα
(2.14)
Após manipulações matemáticas adequadas, obtém-se uma equação quadrática, com tg(α)
sendo a variável desconhecida [23],[28]:
tg 2 (α)(Ery Erx + Eiy Eix ) + tg(α)(−Eiy 2 + Eix 2 + Ery 2 + Erx 2 ) − (Ery Erx + Eiy Eix ) = 0 (2.15)
Em 2.15 há duas soluções, correspondendo ao maior e ao menor semi-eixos da elipse. As
magnitudes dos semi-eixos são avaliadas pela substituição dos valores de α obtidos em 2.15 e depois em 2.13. O método das elipses é aplicado neste trabalho para a obtenção do campo elétrico
2.7. Cálculo do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
15
resultante ao nı́vel do solo e também para o campo elétrico superficial resultante. Descreve-se
a seguir a metodologia adotada para se obter o campo elétrico ao nı́vel do solo e, em seguida, a
metodologia para a obtenção do campo elétrico superficial.
2.7
Cálculo do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
O cálculo do campo elétrico ao nı́vel do solo ocasionado por um sistema de transmissão é
determinado ao longo de toda a faixa de servidão da linha de transmissão sob estudo a 1 m do
solo. Uma vez que o condutor não se encontra em um meio composto apenas de ar e isolado
no espaço, deve ser levado em conta os efeitos do solo no cálculo do campo elétrico resultante
em um determinado ponto do espaço. O efeito do solo na determinação do campo elétrico é
inserido por meio da aplicação do Método das Imagens [27]. O solo é considerado como sendo
um condutor elétrico perfeito (CEP). Isso implica em considerar campo elétrico nulo em seu
interior e que ele se comporta como uma superfı́cie equipotencial, ou seja, não há diferença
de potencial entre dois pontos sobre este condutor [27]. O CEP apresenta resistividade nula
(ρ = 0), ou condutividade infinita (σ = ∞), que com a observação de algumas fórmulas de uso
corrente no eletromagnetismo asseguram a existência de campo elétrico nulo no interior de um
condutor elétrico perfeito [27].
O Método das Imagens é desenvolvido com base nas condições de fronteira entre dois meios, e
as relações entre os campos elétricos em cada um deles. Para os casos estudados neste trabalho,
o cálculo do campo elétrico em um ponto genérico no espaço é efetuado levando-se em conta
os efeitos de uma parcela direta de campo, oriundo da fonte de campo considerada (carga real)
e de outra parcela ocasionada pela reflexão do campo elétrico na superfı́cie do solo, oriundo
da carga imagem (carga de sinal contrário). A Figura 2.11 ilustra a aplicação do método das
imagens a um condutor no espaço localizado próximo ao solo.
Figura 2.11: Ilustração do Método das Imagens
Na parte esquerda da Figura 2.11 verifica-se uma seção transversal do sistema real, no qual
16
Capı́tulo 2. Modelagem Eletromagnética das Linhas de Transmissão
se tem um condutor posicionado a uma certa altura h em relação ao solo. Na parte direita
da Figura 2.11 é mostrado o sistema equivalente obtido por meio da aplicação do Método das
Imagens, onde o solo é considerado como sendo um condutor elétrico perfeito, e os dois meios
passam a ser o ar.
Devido à simetria dos sistemas de transmissão que são analisados neste trabalho, que são
semelhantes à observada na Figura 2.11, o cálculo da intensidade de campo elétrico em um
ponto genérico acima do nı́vel do solo, deve ser realizado mediante a substituição do sistema
de coordenadas cilı́ndricas pelo cartesiano. Um sistema composto por um condutor ao longo do
eixo z, localizado em (xi ,yi ,zi ) e sua imagem localizada em (xi ,−yi ,zi ), ocasionam um campo
elétrico em um ponto genérico localizado em (x,y,zi ), mostrados na Figura 2.12; nota-se que a
coordenada em z não interfere no cálculo realizado.
Figura 2.12: Sistema Fı́sico Equivalente
As mudanças de coordenadas obtidas a partir da observação da Figura 2.12 são apresentadas
a seguir.
ρreal =
p
(x − xi )2 + (y − yi )2
(x − xi )~ax
~aρreal = p
(x − xi )2 + (y − yi )2
ρimag =
(y − yi )~ay
+p
(x − xi )2 + (y − yi )2
p
(x − xi )2 + (y + yi )2
(x − xi )~ax
(y + yi )~ay
~aρimag = p
+p
(x − xi )2 + (y + yi )2
(x − xi )2 + (y + yi )2
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Sendo: ρreal a distância entre a carga real e o ponto P, ~aρreal o vetor unitário partindo da
carga real na direção do ponto P, ρimag a distância entre a carga imagem e o ponto P e ~aρimag
2.7. Cálculo do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
17
o vetor unitário partindo da carga imagem na direção do ponto P. Aplica-se 2.17 e 2.19 em 2.2,
obtém-se a expressão para o campo elétrico resultante para a configuração mostrada na Figura
2.12 por meio da seguinte equação [29],[30]:
¶
µ
ρl
(x − xi )~ax + (y − yi )~ay (x − xi )~ax + (y + yi )~ay
~
−
(2.20)
E=
2πε0
(x − xi )2 + (y − yi )2
(x − xi )2 + (y + yi )2
O primeiro termo da expressão 2.20 é ocasionado pelo condutor real e o segundo termo pelo
condutor imagem. Observa-se que neste caso tem-se duas contribuições para a obtenção do
campo elétrico no ponto P, uma dada pela carga real e outra por sua imagem.
Para os casos onde existem mais de um condutor, como mostrado na Figura 2.13, a mesma
metodologia pode ser aplicada para a obtenção do campo elétrico. Considerando que o meio
em que se encontram as fontes de campo elétrico seja homogêneo, linear e isotrópico, aplica-se
o princı́pio da superposição para obter o campo elétrico resultante ocasionado pelas diversas
cargas reais e suas imagens do sistema elétrico. A Figura 2.13 apresenta um sistema trifásico
com um condutor por fase. As cargas elétricas são consideradas como sendo filamentares e
localizadas no centro dos condutores analisados.
Figura 2.13: Sistema Fı́sico Trifásico Real Equivalente
Aplica-se o princı́pio da superposição ao sistema apresentado na Figura 2.13, e o campo
elétrico resultante passa a ser um somatório das contribuições de cada uma das cargas e de suas
imagens. Neste caso os pontos de interesse Pn são posicionados ao longo de uma faixa que vai
desde a localização do condutor mais à esquerda até a localização do condutor mais à direita.
A expressão para o campo elétrico resultante ao nı́vel do solo para este caso é dado por:
~ =
E
µ
¶
n X
c
X
(xp − xi )~ax + (yp − yi )~ay (xp − xi )~ax + (yp + yi )~ay
ρli
−
2 + (y − y )2
2πε
(x
−
x
)
(xp − xi )2 + (yp + yi )2
0
p
i
p
i
p=1 i=a
(2.21)
A equação 2.21 exemplifica a formulação adotada para a obtenção do campo elétrico ao nı́vel
do solo. Na expressão 2.21, c é o número de condutores e p o número de pontos de observação
18
Capı́tulo 2. Modelagem Eletromagnética das Linhas de Transmissão
considerados. Para cada tipo de linha de transmissão estudada, a expressão 2.21 é adaptada
por meio da aplicação do princı́pio da superposição. Uma vez conhecida a maneira de se obter o
campo elétrico ao nı́vel do solo parte-se agora para a determinação do campo elétrico superficial.
2.8
Cálculo do Campo Elétrico Superficial
O cálculo do campo elétrico superficial é realizado nesta dissertação de três maneiras diferentes. Primeiramente, é calculado o campo na superfı́cie dos condutores com base na formulação
desenvolvida na seção anterior deste capı́tulo. Em seguida, este campo elétrico superficial é
obtido utilizando-se o método da Lei dos Cossenos [23]. Este método exige algumas condições
para ser aplicado de maneira satisfatória e ele não leva em conta o efeito do solo e nem dos
condutores das fases vizinhas. Finalmente, realiza-se o cálculo do campo elétrico superficial por
meio do método das imagens sucessivas, que é tido como o método mais correto teoricamente e
que conduz a resultados mais apurados, mesmo para sistemas multicondutores [19]. Apresentase a seguir o método da Lei dos Cossenos e o Método das Imagens Sucessivas.
2.8.1
Método da Lei dos Cossenos
A formulação desenvolvida anteriormente para a obtenção do campo elétrico ao nı́vel do
solo não é adequada para o cálculo do campo elétrico superficial em sistemas de transmissão
multicondutores. Ou seja, a consideração da carga elétrica concentrada no centro do condutor
analisado deixa de ser adequada à medida que o raio do condutor passa a não ser desprezı́vel em
relação à distância entre condutores de uma mesma fase [19]. Uma solução para este problema
é o método da Lei dos Cossenos que consiste na adoção de uma formulação que leva em conta a
variação do campo elétrico ocorrida na periferia dos condutores por meio da lei dos cossenos [23].
Esta é aplicável apenas em sistemas nos quais os condutores estão simetricamente arranjados
em um cı́rculo [23].
Figura 2.14: Exemplo de Feixe de Condutores
2.8. Cálculo do Campo Elétrico Superficial
19
A Figura 2.14 exemplifica um arranjo de condutores com distribuição circular simétrica dos
condutores. O campo elétrico superficial em sistemas multicondutores varia com o ângulo θ e a
partir dos parâmetros discriminados abaixo pode ser dado por [23]:
d
π
E(θ) = Emédio (1 + (N − 1) sin( ) cos(θ))
s
N
(2.22)
Alternativamente, 2.22 pode ser escrita como:
E(θ) = Emédio (1 +
d
(N − 1) cos(θ))
D
(2.23)
Onde d é o diâmetro do condutor fase, s é a distância entre condutores do feixe, N é o número
de subcondutores por fase, D é o diâmetro do feixe condutor e Emédio , o módulo da equação 2.2
considerando o ponto P sobre a superfı́cie do condutor, ou seja:
ρl
.
(2.24)
2πε0 r
A equação 2.22 tem como limitação o fato dos condutores terem que estar simetricamente
arranjados [23]. O método da Lei dos Cossenos leva em conta a proximidade dos subcondutores
no feixe, mas desconsidera o efeito da existência das outras fases, dos cabos para-raios e do solo
[19]. Uma outra maneira de se obter o campo elétrico ao longo da periferia dos condutores de
sistemas multicondutores é discutida a seguir.
Emédio =
2.8.2
Método das Imagens Sucessivas
O método das Imagens Sucessivas aplica o método das imagens a um sistema de condutores
cilı́ndricos paralelos, de raios finitos e com nı́veis de tensão conhecidos. Resumidamente este
método consiste em [19]:
• Substituir a distribuição real da carga da superfı́cie dos condutores por uma série de cargas
lineares paralelas ao plano do solo;
• Calcular a distribuição do campo considerando o sistema de cargas imagens.
Para avaliação do campo elétrico, considera-se um sistema de dois subcondutores cilı́ndricos A e B, distantes do solo, equidistantes com relação a origem do sistema de coordenadas,
separados de uma distância s entre eixos, como pode ser observado na Figura 2.15.
Considerando +Q a carga de cada condutor, admite-se que a carga complementar dos dois
subcondutores seja −2Q e esteja a uma distância infinitamente grande dos mesmos. Se for
20
Capı́tulo 2. Modelagem Eletromagnética das Linhas de Transmissão
Figura 2.15: Condutor Múltiplo com Dois Subcondutores Isolados
considerado que a relação s/r (distância de separação das cargas e raio do cilindro condutor) é
muito grande, pode-se calcular o campo nas imediações do subcondutor A admitindo-se que a
carga +Q do subcondutor B está concentrada em seu centro e vice versa [19].
Para que a superfı́cie do condutor A seja mantida como uma superfı́cie equipotencial, uma
carga de −2Q deve ser posicionada no infinito e sua respectiva imagem +2Q colocada no centro
do condutor A. Além disso, a carga +Q deve ser posicionada no centro do condutor B e sua
imagem −Q, no ponto indicado do condutor A como mostrado na Figura 2.16 [18] e [19].
Figura 2.16: Cargas Imagem no Condutor A
A carga lı́quida original de cada um dos condutores deve ser mantida. Logo, a carga lı́quida
no subcondutor A continua sendo +Q. A distância entre as cargas +2Q e −Q no subcondutor
A é dada por δ1 = r2 /s [19]. A obtenção da expressão de δ pode ser verificada no Apêndice
A deste trabalho. Um sistema análogo de cargas mantém o subcondutor B também como uma
superfı́cie equipotencial.
A presença do solo pode ser computada por meio do efeito dos condutores imagens. Cada
condutor imagem tem uma carga −Q, que acarreta em cargas iguais a −2Q no centro do con-
2.8. Cálculo do Campo Elétrico Superficial
21
dutor A ou B e cargas imagem +Q, deslocadas do centro sobre os raios que ligam o condutor
A com sua imagem. A influência no condutor A da imagem do condutor B é obtida da mesma
maneira [19]. Assim, tem-se no condutor A três cargas imagens. Sendo uma −Q a δ de seu
centro e duas +Q devido às cargas imagens. A Figura 2.17 mostra o sistema resultante devido
a influência do plano do solo no sistema.
Figura 2.17: Efeito da Introdução do Plano do Solo
A partir da Figura 2.17 pode-se inferir que para um sistema condutor múltiplo com n subcondutores, se considerado a presença do solo, haverá em cada subcondutor (2n − 1) cargas
lineares imagem [19].
Para os casos em que a relação s/r for pequena, ou seja, for menor do que 10, o processo até
agora descrito é considerado insuficiente [19]. Logo, necessita-se neste caso de um método mais
exato e eficiente que consiste no método das Imagens Sucessivas [19]. Dependendo do valor da
relação s/r adotada, são introduzidas tantas imagens sucessivas quantas forem necessárias para
se conseguir a convergência para um único ponto, onde será colocada a imagem definitiva +Q.
Para explicar o método das Imagens Sucessivas, considere novamente o condutor A mostrado
na Figura 2.18. O condutor B é representado, por duas cargas lineares +2Q e −Q, ao invés
de uma carga +Q admitida anteriormente como colocada em seu centro. A imagem da carga
complementar −2Q não é naturalmente afetada. O sistema de imagens no condutor A agora é
aquele mostrado na Figura 2.18 [19].
Esse processo pode ser continuado até que a distribuição das cargas seja representada corretamente por uma série de cargas lineares. A precisão com que a distribuição das cargas é
representada aumenta à medida que a distância entre as imagens sucessivas for diminuindo,
como pode ser observado na Figura 2.19 [19].
22
Capı́tulo 2. Modelagem Eletromagnética das Linhas de Transmissão
Figura 2.18: Segundo Estágio das Imagens Sucessivas
Figura 2.19: Imagens Sucessivas
Logo, sendo k o número de imagens sucessivas adotado para um sistema de n subcondutores, há nk imagens em cada subcondutor. Se o plano do solo for levado em consideração,
então haverá (2n − 1)k imagens por subcondutor.
A obtenção de uma representação absolutamente precisa pode ser obtida através da adoção
de uma série infinita de imagens. Isto é necessário nos casos em que se têm valores baixos da
relação s/r, ou seja, inferiores a 10 [19].
Para feixe de 2 ou mais condutores, o número de imagens sucessivas necessárias para representar os condutores adequadamente depende da sua proximidade relativa. Se a distância entre
quaisquer dois condutores do sistema é grande, o processo de imagens sucessivas pode parar na
primeira ou segunda iteração. Já para condutores com elevada proximidade, pode ser necessário
prosseguir com o processo de imagens para estágios superiores.
A Figura 2.20, extraı́da da literatura, apresenta o número de imagens sucessivas necessárias
para um determinado condutor em função da relação s/r [19]. Nesta Figura a relação s/r é
representada por D/r. O eixo das abcissas informam a ordem das imagens sucessivas e o eixo
das ordenadas indica a distância da imagem sucessiva ao centro do condutor.
Observa-se que para valores de D/r maiores do que 10 a distância das imagens ao centro
do condutor é muito pequena e a carga pode ser considerada centrada. Neste caso, uma única
2.8. Cálculo do Campo Elétrico Superficial
23
Figura 2.20: Distâncias Entre Imagens Sucessivas e o Centro do Condutor
[19]
imagem é suficiente para a obtenção da convergência do sistema. Verifica-se que mesmo com
apenas uma imagem, o método apresentado conduz a resultados mais exatos do que os obtidos
pelos métodos que consideram apenas uma carga linear concentrada no centro dos condutores
[19].
Conhecida a carga, o gradiente de potencial ou campo elétrico pode ser calculado por meio
da expressão 2.25:
~ =
E
m
1 X Qi −
→
ri
2π²0 i=1 |ri |2
(2.25)
−
Onde m representa o número total de cargas imagens lineares no sistema, →
r i o raio do
vetor de cada uma das cargas lineares ao ponto em que cada uma das quantidades acima são
calculadas, Qi a carga elétrica da carga imagem e ²0 a permissividade elétrica do vácuo.
O método apresentado permite a obtenção do campo elétrico com qualquer grau de precisão desejado, ficando condicionado apenas ao número de imagens sucessivas empregado. Este
método pode ser considerado geral, pois se aplica a condutores distribuı́dos de maneira circular
ou de maneira não regular. Além disso, é aplicável para a consideração de cargas iguais ou
diferentes na superfı́cie dos subcondutores [19].
O sistema de cargas imagens lineares resultantes tem como objetivo manter a superfı́cie dos
condutores originais equipotenciais. Esta condição pode ser verificada na seção 1 do capı́tulo 5
e também no Apêndice D deste trabalho. Para ilustrar o sistema fı́sico resultante da aplicação
do método das Imagens Sucessivas quando da determinação do campo elétrico em um ponto
24
Capı́tulo 2. Modelagem Eletromagnética das Linhas de Transmissão
P, têm-se ao final do processo de imagem sucessiva de primeira ordem, o sistema mostrado na
Figura 2.21.
Figura 2.21: Sistema Fı́sico Resultante da Aplicação do Método das Imagens Sucessivas
Esta Figura mostra a complexidade computacional envolvida no método das Imagens Sucessivas para a determinação da localização das linhas de carga imagens e para a superposição
dos efeitos de cada uma das fontes de campos elétricos consideradas no sistema equivalente. A
partir do momento em que se conhece uma maneira satisfatória de se obter o campo elétrico
superficial, pode-se determinar outras grandezas que se relacionam com o campo elétrico superficial e que estão intimamente ligadas ao Efeito Corona [19].
2.9
Determinação do Campo Elétrico Crı́tico
Sabe-se que o gradiente crı́tico disruptivo do ar atmosférico é da ordem de 30, 5 kV/cm, em
atmosfera padrão de 20◦ C e pressão barométrica de 760 mmHg [18]. Para corrente alternada,
o valor eficaz do gradiente disruptivo é igual a 21, 6 kV/cm. O fenômeno das descargas de
corona somente se inicia com valores de gradientes mais elevados nas superfı́cies dos condutores,
quando também se iniciam as manifestações luminosas. Este fenômeno é denominado de gradiente crı́tico visual [18],[31],[23].
O gradiente crı́tico visual é atingido quando o gradiente crı́tico disruptivo é alcançado a uma
certa distância da superfı́cie do condutor, o que é necessário para que o campo acumule energia
suficiente para desencadear o processo. A distância de energia, em atmosfera padrão é igual a
[18],[31],[23]:
0, 301
d = √ [cm]
r
(2.26)
2.9. Determinação do Campo Elétrico Crı́tico
25
Onde r[cm] é o raio do condutor. Embora existam métodos mais elaborados para calcular o
valor do gradiente crı́tico visual adota-se ainda, em muitos casos, a seguinte equação empı́rica
[18],[31],[23]:
µ
ECRVMáx
0, 301
= 30, 5 1 + √
r
¶
(2.27)
Em termos de valores eficazes a equação 2.27 toma a seguinte forma:
µ
ECRV rms
0, 301
= 21, 6 1 + √
r
¶
(2.28)
Pretende-se, com os estudos de determinação do campo elétrico superficial e sua minimização, obter nı́veis de campos elétricos superficiais inferiores aos estabelecidos como sendo os
limitantes a um funcionamento satisfatório dos sistemas de transmissão sob o ponto de vista de
perdas por Efeito Corona e que são apresentados na próxima seção.
2.9.1
Desempenho das Linhas quanto à Formação de Corona
O Efeito Corona aparece na superfı́cie dos condutores de uma linha de transmissão quando
seu campo elétrico superficial excede o campo elétrico crı́tico disruptivo do ar. O Efeito Corona
se manifesta liberando o excesso de energia oriundo do campo elétrico superficial elevado, por
meio do calor, luz, energia acústica e radiações eletromagnéticas [18]. Toda a energia liberada
ou irradiada a partir da linha de transmissão deve provir do campo elétrico da linha e consequentemente do sistema alimentador, para o qual representa perda de energia e prejuı́zos à
concessionária de energia. Os fatores determinantes para a ocorrência do Efeito Corona estão
relacionados com a geometria dos condutores, com a tensão de operação do sistema, com os
campos elétricos superficiais existentes e também com as condições meteorológicas do ambiente
em que a linha de transmissão está inserida.
As descargas individuais ocasionadas pelo Efeito Corona provocam pulsos de tensões e correntes de curta duração ao longo das linhas, resultando na propagação de campos eletromagnéticos em suas imediações. Estes campos irradiados interferem na rádio recepção nas faixas
de frequência das transmissões em amplitude modulada (AM). Eflúvios de Corona também podem ocorrer em outros componentes das linhas tais como ferragens e isoladores. Estes eflúvios
ocasionam interferência nas faixas de frequência de FM e de TV [18].
26
Capı́tulo 2. Modelagem Eletromagnética das Linhas de Transmissão
Outra implicação do Efeito Corona e que compromete os direitos individuais das pessoas
que vivem relativamente próximas dos sistemas de transmissão é o ruı́do audı́vel, que caso
se propague além da faixa de servidão da linha de transmissão podem gerar desconforto aos
moradores da região.
Para que uma LT tenha um comportamento satisfatório face ao fenômeno do Corona faz-se
necessário que o campo elétrico na superfı́cie dos condutores, ou subcondutores, seja inferior ao
valor do gradiente crı́tico visual ou seja:
E < ECRV .
(2.29)
Estudos realizados em LT´s em operação mostram que gradientes de potencial da ordem
de 15 kV/cm são obtidos para a LT em funcionamento satisfatório [18]. Estudos mais recentes
mostram que, no que diz respeito a perdas, devido ao nı́vel de radiointerferência, um desempenho
satisfatório é alcançado para E < 17 kV/cm, [18],[31],[23]. A ocorrência do efeito Corona nos
sistemas de transmissão ocasionam uma série de consequências negativas ao sistema de transmissão e ao meio no qual este sistema está inserido [18]. Verifica-se a partir das implicações
da ocorrência do Efeito Corona a importância de se quantificar os nı́veis de campos elétricos
superficiais e de se estudar meios de se mitigar estes campos elétricos superficiais.
2.10
Conclusões
Neste capı́tulo é possı́vel obter um modelo eletromagnético para a obtenção do campo elétrico
das linhas de transmissão a partir da Lei de Gauss. O campo elétrico máximo ao nı́vel do solo
é obtido considerando-se a carga elétrica concentrada no eixo do condutor. Aplica-se também o
método das imagens e o princı́pio da superposição nesta análise. Enquanto que o campo elétrico
superficial é obtido por meio do método das Imagens Sucessivas ou por meio da Lei dos Cossenos.
Nota-se que a consideração da carga elétrica centrada nos condutores se torna inadequada para a
determinação do campo elétrico superficial à medida que os condutores se tornam mais próximos
uns dos outros. Verifica-se que a ocorrência do Efeito Corona está intimamente ligada com os
nı́veis de campos elétricos superficiais existentes no condutor.
Percebe-se a partir dos desenvolvimentos deste capı́tulo a necessidade em se estudar técnicas
de otimização que acarretem a minimização dos nı́veis de campos elétricos superficiais e ao
nı́vel do solo das linhas de transmissão. A técnica de otimização adotada neste trabalho e a
otimização implementada são apresentadas nos capı́tulos 3 e 4, a seguir.
Capı́tulo
3
Ferramenta de Otimização
3.1
Introdução
Este capı́tulo apresenta os elementos constituintes do processo de minimização do campo
elétrico desenvolvido neste trabalho. Inicialmente, são descritos de maneira sucinta os componentes de um processo de otimização. Em seguida, discute-se a estratégia de direção de busca
adotada. Além disso, são apresentadas as etapas do algoritmo aplicado e as restrições consideradas durante o processo de minimização. Finaliza-se o capı́tulo com as conclusões.
3.2
Formulação do Problema de Otimização
A otimização é aplicada aos mais diversos segmentos da engenharia e de outros ramos da
ciência. O processo de otimização é composto por um conjunto de métodos capazes de determinar as melhores configurações possı́veis para a construção ou o funcionamento de sistemas de
interesse para o ser humano [17]. Independente do contexto em que é aplicada a otimização, a
partir do modelo do problema, obtém-se na grande maioria das vezes a formulação caracterı́stica
do problema dada por [17]:
x∗ = arg min(f (x))
(3.1)
g(x) ≤ 0
(3.2)
h(x) = 0
(3.3)
Sujeito a:
Sendo: x∗ o argumento que minimiza a função objetivo f (x), g(x) uma restrição de desigualdade e h(x) uma restrição de igualdade. Cada um destes elementos são discutidos a seguir. Em
3.1, 3.2 e 3.3 as letras em negrito são vetores, ou seja, representam conjuntos de vários valores,
já as letras sem negrito são grandezas escalares, ou seja, encerra um único valor.
27
28
Capı́tulo 3. Ferramenta de Otimização
O vetor x é o vetor de variáveis de otimização, que representa o conjunto das variáveis cujos valores se busca especificar por meio do processo de otimização. Ainda, ao se analisar 3.1,
tem-se a função objetivo f (.). Esta expressão representa o ı́ndice de desempenho do sistema, a
qual almeja-se a obtenção do mı́nimo valor para que se atinja o desempenho ótimo do sistema.
Uma vez que a função objetivo está muitas vezes relacionada à obtenção de custos mı́nimos
de produção, ela é chamada por alguns autores de função custo. Convenciona-se sempre formular o problema de otimização como sendo um problema de minimização. Nos casos em que
se deseja maximizar uma determinada grandeza, basta que se minimize a função que se deseja
maximizar multiplicada por −1.
Supondo que o vetor de variáveis de otimização x seja composto de variáveis reais, existem
inúmeras maneiras diferentes de se especificar este vetor. Qual a maneira de se verificar a melhor
especificação possı́vel para x∗ ? Esta é a questão que a otimização busca encontrar por meio de
suas técnicas. Ao se retomar a expressão dada por 3.1 tem-se que [17]:
O vetor ótimo x∗ é igual ao argumento da função f (.) que faz com que essa função atinja
seu mı́nimo valor.
As equações 3.2 e 3.3 apresentam uma desigualdade e uma igualdade a que está sujeito o
resultado da otimização. Elas são as restrições do problema e ditam o que o resultado do projeto
deve atender para ser aceitável como solução.
Alguns tipos de restrição são bastante óbvias, por exemplo, na otimização das dimensões
de uma peça de um motor, mesmo que se conduza a valores da função objetivo menores, uma
dimensão negativa não é realizável. Outros tipos de restrição, embora não estejam relacionadas
com a impossibilidade de implementação, igualmente barram a solução se a restrição for violada. Cita-se como exemplo, o projeto de um carro com custo mı́nimo de fabricação, mas que
deve emitir um determinado valor máximo de poluentes. Os dois exemplos de restrição citados
anteriormente, são representáveis por:
g(x) ≤ 0
(3.4)
Convenciona-se que as restrições sejam expressadas conforme 3.4. Nos casos em que se deseja
uma restrição que seja maior ou igual a zero, basta que se proceda similarmente ao tratamento
da função objetivo para a maximização, ou seja, multiplica-se g(x) por −1.
Na maioria das vezes g(x) será um vetor, pois em boa parte dos problemas considerados, a
função objetivo está sujeito a diversas restrições. Tem-se ainda em 3.5, a restrição de igualdade
dada por:
h(x) = 0
(3.5)
3.3. Método de Otimização
29
Este tipo de restrição ocorre quando há a necessidade que certas variáveis assumam precisamente certos valores.
3.3
Método de Otimização
Os principais métodos de otimização atualmente empregados são determinı́sticos ou estocásticos. Dentre eles citam-se: os métodos de direção de busca, os métodos de exclusão de regiões
e os métodos das populações [17][32].
Devido à simplicidade, opta-se pela adoção do método do Gradiente. Este se enquadra
nos algoritmos que utilizam como estratégia de solução a direção de busca. Esta escolha se
fundamenta no menor custo computacional envolvido durante a formulação do problema. Este
trabalho tem como objetivo ser o primeiro de uma série de outros estudos a serem desenvolvidos,
que visam estudar o problema de minimização de campos elétricos associados aos sistemas de
transmissão, por meio das diferentes estratégias de otimização apresentadas por [17].
3.4
Estratégia do Método de Otimização
Os métodos pioneiros de minimização de funcionais não lineares são desenvolvidos a partir
da ideia de fazer com que o algoritmo evolua, encontrando novos pontos situados em direções
para as quais o funcional decresça em relação ao ponto corrente [17]. A versão mais primitiva
dessa famı́lia de métodos vem a ser o algoritmo do Gradiente. Neste algoritmo, dado um ponto
inicial do espaço de busca, obtém-se um novo ponto situado sobre a reta definida por este ponto
e pelo gradiente da função objetivo. O sentido contrário ao do gradiente é a direção para a
qual, localmente, a função decresce mais rapidamente. O novo ponto é determinado como sendo
aquele em que a função objetivo atinge o mı́nimo sobre essa reta. A partir desse novo ponto,
repete-se o processo, até que seja satisfeito um critério de convergência [17].
Ao longo das décadas de 50 e 60 do século XX, este método básico foi aperfeiçoado com o
intuito de que a direção de busca na qual é feito a busca unidimensional sofresse uma correção.
Esta correção além da informação do gradiente leva em conta a curvatura da função [17]. A
estrutura básica do algoritmo de direção de busca pode ser observada em detalhes no Apêndice
B.
O que difere um algoritmo de direção de busca do outro é a maneira como se calcula a direção de busca dk , ou seja, na escolha dessa função. No caso do algoritmo do Gradiente, tem-se
simplesmente que:
dk = −∇f (xk )
(3.6)
O gradiente da função é determinado por meio de diversas avaliações da função f(x). Os
elementos que formam os algoritmos de direção de busca são, portanto, dados por um método
30
Capı́tulo 3. Ferramenta de Otimização
de cálculo das direções de busca, possivelmente envolvendo o cálculo de estimativas para o gradiente da função objetivo; um método de minimização de funções unidimensional e um critério
de convergência para a parada do algoritmo. Esses elementos são discutidos nas próximas seções
deste capı́tulo.
3.5
Algoritmo do Gradiente
Uma escolha razoável para uma direção de busca dk é a da direção contrária a do gradiente
da função no ponto corrente xk . Essa escolha se fundamenta na constatação de que, localmente,
essa é a direção na qual a função decresce mais rapidamente. O algoritmo do gradiente é apresentado a seguir [17]:
Algoritmo do Gradiente:
k←0
enquanto(não critério de parada)
gk ← gradiente(f (.), xk )
dk ← −gk
αk ← arg minf (xk + αdk )
xk+1 ← xk + αk dk
k ←k+1
fim-enquanto
Sendo: k o contador de iterações, gk o gradiente da função objetivo no ponto xk , αk o passo
ao longo da direção dada pelo gradiente e xk+1 é o novo ponto obtido aplicando-se a direção
e o passo obtidos anteriormente. O algoritmo do Gradiente apresentado acima, se baseia na
informação local a respeito da variação da função em todas as direções do espaço (sintetizado
no gradiente da função). A única suposição implı́cita na aplicação desse algoritmo é a de que a
função f(x) seja diferenciável.
3.6. Otimização Unidimensional
3.5.1
31
Metodologia de Cálculo do Gradiente
O cálculo do gradiente da função objetivo é realizado numericamente. Ele é decorrência
imediata da definição do gradiente de uma função, sendo a fórmula diferencial substituı́da por
diferenças finitas. Seja X ∈ Rn o vetor de variáveis de otimização, e seja ei o vetor definido por:

0
 .. 
 . 
 
 0 
 
ei =  1 
 
 0 
 . 
 .. 
0

(3.7)
Sendo i a i-ésima posição. Considere-se um certo δ> 0, tal que δ≈ 0. O algoritmo de cálculo
do vetor gradiente g no ponto x pode ser definido por [17]:
Algoritmo de Cálculo do Gradiente:
para i de 1 até n faça
gi ←
fim-para
3.6
f (x + δei ) − f (x)
δ


g1


g ←  ... 
gn
Otimização Unidimensional
Uma vez estabelecida a direção na qual o algoritmo deve caminhar, obtido por meio do
cálculo do gradiente da função objetivo, se faz necessário a determinação de quanto se deve
caminhar ao longo desta direção, até que o ponto de mı́nimo seja obtido. A seguinte linha do
algoritmo, responsável por determinar os passos ao longo da direção dada pelo gradiente da
função objetivo é avaliada nesta seção:
αk = arg minf (xk ) + αdk
(3.8)
O cálculo de αk é feito fixando-se o ponto atual xk e uma direção de busca dk . Isso faz com
que a função objetivo, f (x), que originalmente seria de n variáveis (ou seja, dependeria de um
32
Capı́tulo 3. Ferramenta de Otimização
vetor x de dimensão n) torne-se agora uma função de uma única variável real, α [17].
A otimização de funções em uma única dimensão é tarefa substancialmente mais simples que
a otimização em diversas dimensões. Uma premissa dos métodos unidimensionais é que a função
possua um único mı́nimo local no domı́nio em questão [17]. Neste trabalho adota-se a Seção
Áurea em função do menor esforço computacional envolvido e pelo fato deste método reduzir
o problema da otimização de n variáveis para um problema de otimização unidimensional. O
algoritmo da Seção Áurea pode ser visto em detalhes no Apêndice B.
3.7
Função Objetivo
A função objetivo deste trabalho é a expressão para o cálculo do campo elétrico obtida
no capı́tulo 3. Verifica-se que o processo de minimização dos nı́veis de campos elétricos ao
nı́vel do solo são realizados considerando-se como função objetivo a expressão que calcula o
campo elétrico em um determinado ponto do espaço elevada ao quadrado [33]. Enquanto que
no processo de minimização do campo elétrico superficial considera-se a expressão de cálculo do
campo elétrico sem ser elevada ao quadrado. É obtida no capı́tulo 3 uma expressão geral para a
obtenção do campo elétrico resultante em um determinado ponto no espaço ocasionado por um
sistema de n condutores e por suas imagens. Esta expressão é novamente apresentada a seguir:
¶
µ
n
X
q
(x
−
x
)
a
~
+
(y
−
y
)
a
~
(x
−
x
)
a
~
+
(y
+
y
)
a
~
i
i
x
i
y
i
x
i
y
~ =
E
−
2πε0
(x − xi )2 + (y − yi )2
(x − xi )2 + (y + yi )2
i=1
(3.9)
Sendo n o número de condutores reais do sistema, qi a carga elétrica com componente real e
imaginária de cada condutor, ε0 é a permissividade elétrica do meio, (x, y) são as coordenadas
do ponto de interesse e (xi , yi ) as coordenadas dos condutores, fontes de campo elétrico. Uma
vez que são aplicados os conceitos de otimização escalar ou mono-objetivo inicia-se a determinação de uma função escalar que represente os efeitos do campo elétrico da expressão 3.9. Os
efeitos ocasionados pelas componentes real e imaginária do campo elétrico ao longo dos eixos
de coordenadas podem ser agrupados e dados por:
~ = (E
~ x,r + j E
~ x,i ) + (E
~ y,r + j E
~ y,i )
E
(3.10)
~ x,r a componente real do campo ao longo de x e E
~ x,i é a componente imaginária do
Sendo E
~ y,r é a componente real do campo ao longo de y e E
~ y,i é a componente
campo ao longo de x. E E
imaginária do campo ao longo de y. A resultante das componentes em cada uma das direções é
obtida por meio da expressão:
~ =(
E
q
~ x,r |2 + |E
~ x,i |2 )a~x + (
|E
q
~ y,r |2 + |E
~ y,i |2 )a~y
|E
(3.11)
3.8. Critério de Parada
33
O módulo da função campo elétrico pode ser obtida de maneira semelhante a que é utilizada
para obter a resultante em cada eixo de coordenadas, sendo dada por:
rq
q
2
2
2
~
~
~
~ y,r |2 + |E
~ y,i |2 )2
|E| = ( |Ex,r | + |Ex,i | ) + ( |E
(3.12)
Que pode ser reescrita como:
~ =
|E|
q
~ x,r |2 + |E
~ y,r |2 + |E
~ x,i |2 + |E
~ y,i |2
|E
(3.13)
A equação 3.13 pode ser reescrita após se elevar ambos os lados ao quadrado:
~ 2 = |E
~ x,r |2 + |E
~ y,r |2 + |E
~ x,i |2 + |E
~ y,i |2
|E|
(3.14)
Para uma configuração de n condutores, obtém-se após a substituição dos elementos da
equação 3.14, a função objetivo utilizada neste trabalho:
f (x, y) =
" n
X Re{qi } µ
¶#2
(x − xi )
(x − xi )
−
+
2 + (y − y )2
2 + (y + y )2
2πε
(x
−
x
)
(x
−
x
)
0
i
i
i
i
i=1
" n
¶#2
X Imag{qi } µ
(x − xi )
(x − xi )
−
+
2πε0
(x − xi )2 + (y − yi )2 (x − xi )2 + (y + yi )2
i=1
" n
¶#2
X Re{qi } µ
(y − yi )
(y + yi )
−
+
2 + (y − y )2
2 + (y + y )2
2πε
(x
−
x
)
(x
−
x
)
0
i
i
i
i
i=1
" n
¶#2
X Imag{qi } µ
(y − yi )
(y + yi )
−
2
2
2πε0
(x − xi ) + (y − yi )
(x − xi )2 + (y + yi )2
i=1
(3.15)
Tem-se com a função objetivo dada em 3.15 que ao se minimizar o quadrado da função
objetivo, minimiza-se também a própria função objetivo. Uma vez definida a estratégia de
otimização a ser adotada e a função objetivo do problema a ser minimizada, se faz necessário a
determinação de um critério de parada para o algoritmo.
3.8
Critério de Parada
Após a avaliação da função objetivo ao longo da faixa de variação das variáveis de otimização, espera-se que o algoritmo de otimização empregado conduza ou se aproxime do mı́nimo
local da função. Uma vez que esta aproximação se realiza assintoticamente, é necessário que se
34
Capı́tulo 3. Ferramenta de Otimização
defina um critério de parada para o algoritmo, sendo o valor aproximado obtido adotado como
o valor ótimo conseguido. Neste trabalho, adota-se o critério de decisão chamado de estabilização do valor da função objetivo [17]. Uma discussão detalhada do critério de parada pode ser
observado no Apêndice B.
3.9
Tratamento de Restrições
Considere-se agora o problema restrito original dado por:
x∗ = arg minf (x)
(3.16)
g(x) ≤ 0
(3.17)
h(x) = 0
(3.18)
Sujeito a:
Uma vez que se pretende resolver o problema de otimização restrito utilizando-se um algoritmo de otimização irrestrita do tipo “direção de busca”, faz-se necessário a adoção de métodos
que transformam o problema restrito em problemas irrestritos aproximadamente (ou assintoticamente equivalentes). Os principais métodos com esta finalidade atualmente utilizados são o
método das barreiras e o método das penalidades.
O problema original é transformado num problema equivalente, dado por:
min φ(x, rp ) = f (x) + rp P (x)
(3.19)
Onde φ(x, rp ) é a função pseudo-objetivo; f (x) é a função objetivo original; rp é o parâmetro
de penalização das restrições a ser utilizado no método das barreiras ou das penalidades e P (x) é
a função de penalidade definida conforme o método empregado. É discutido a seguir, o método
das Barreiras. O método das Penalidades é apresentado no Apêndice B.
3.9.1
Método das Barreiras
Este método também é denominado por alguns autores como o método de pontos interiores
ou também como o método de penalidade interior [34]. Ao se aplicar o método da Barreira, a
função objetivo é penalizada na região viável quando o ponto x se aproxima da fronteira que
limita esta região. Neste caso, as funções de restrições não são violadas. Ao se interromper o
processo, a solução encontrada é viável.
3.9. Tratamento de Restrições
35
Durante a aplicação do método da Barreira obtém-se uma sequência de soluções viáveis melhores, mas, no entanto, o problema de minimização irrestrita é mais complicado. No caso do
método da Barreira a função de penalização P(x) é definida por:
P (x) =
m
X
j=1
−
1
gj (x)
(3.20)
Com o intuito de se obter um melhor condicionamento numérico, a função P(x), proposta
por alguns autores, é dada por [34], [32]:
P (x) =
m
X
− log (gj (x))
(3.21)
j=1
O método da Barreira é indicado para os casos em que se tem restrição de desigualdade.
Enquanto que nos casos em que se tem apenas restrições de igualdade o método das penalidades,
apresentado no Apêndice B, deve ser utilizado. Logo, a função pseudo-objetivo é definida como:
n
X
1
[hk (x)]2
φ(x, rp , rp ) = f (x) + rp
−
+ rp
g
(x)
j
j=1
k=1
0
0
m
X
(3.22)
Onde gj (x) são as restrições de desigualdade e hk (x) as restrições de igualdade. Nota-se a
partir de 3.22 que a função Barreira tende a ∞ quando gj (x) tende a 0− . O termo de ajuste da
função barreira rp deve ser inicializado com um determinado valor, entre 0 e 1, e ser decrescido
ao longo das iterações do algoritmo.
A Figura 3.1 ilustra a aplicação do método das Barreiras para uma função exemplo dada
por [32]. Têm-se no eixo das ordenadas a função de penalização do método da Barreira dada
por (1/cB(x)), que corresponde ao termo rp P (x) dado por 3.19, e no eixo das abcissas têm-se
o intervalo de soluções viáveis delimitado pela Barreira. O termo c corresponde ao termo rp
também visto em 3.19.
Nota-se a partir da Figura 3.1 que à medida que a função barreira exemplo se aproxima
dos limites a e b da região factı́vel, ela tende a infinito. É importante salientar que os pontos
obtidos até se alcançar a solução ótima estão todos dentro da região factı́vel. Neste trabalho
todas as restrições existentes são de desigualdade, logo o método das barreiras é adotado. As
restrições bem como a maneira em que são escritas ao longo do algoritmo de minimização são
apresentadas na próxima seção.
36
Capı́tulo 3. Ferramenta de Otimização
Figura 3.1: Exemplo da Função Barreira
[32]
3.10
Restrições
A Figura 3.2 mostra uma seção transversal de uma linha de transmissão com um condutor
por fase. Ela é apresentada com o objetivo de facilitar a determinação das restrições deste
trabalho. Podem ser observados, nesta Figura, os limites laterais de variação das posições horizontais dos condutores dados por xe e xd . Também são expressas as distâncias entre fases
diferentes D12, distância entre as fases um e dois, D13, distância entre as fases um e três, e
D23, distância entre as fases dois e três. Mostra-se também as posições horizontais e verticais
originais dos condutores (xn ,hn ), sendo n o número de condutores do sistema.
Figura 3.2: Restrições Adotadas Durante o Processo de Otimização
3.10. Restrições
3.10.1
37
Restrição 01 - Variação Horizontal da Posição dos Condutores
Limite Esquerdo
A partir da Figura 3.2, é possı́vel obter as seguintes relações para o limite esquerdo:
x1 > xe
x2 > xe
x3 > xe
(3.23)
Após simples manipulação algébrica, resulta:
xe − x1 < 0
xe − x2 < 0
xe − x3 < 0
(3.24)
Logo, ao se aplicar a função Barreira, sendo i o indicador da iteração considerada, obtém-se:
¶
µ
1
(3.25)
rp 01e = rp (i) −
xe − xn
Limite Direito
A partir da Figura 3.2, é possı́vel obter as seguintes relações para o limite direito:
x1 < xd
x2 < xd
x3 < xd
(3.26)
Após simples manipulação algébrica, resulta:
x1 − xd < 0
x2 − xd < 0
x3 − xd < 0
(3.27)
Logo, ao se aplicar a função Barreira, sendo i o indicador da iteração considerada, obtém-se:
µ
¶
1
rp 01d = rp (i) −
(3.28)
xn − xd
3.10.2
Restrição 02 - Distância Mı́nima Entre Fases Diferentes (dmf )
A partir da Figura 3.2, é possı́vel obter as seguintes relações entre as distâncias D12, D23 e
D13:
D12 > dmf
D23 > dmf
D13 > 2dmf
(3.29)
Portanto, ao se aplicar a função Barreira, sendo i o indicador da iteração considerada, obtémse:
µ
rp 2 = rp (i) −
1
1
1
−
−
dmf − D12 dmf − D23 2dmf − D13
¶
(3.30)
38
Capı́tulo 3. Ferramenta de Otimização
Para os casos com mais de um condutor por fase, além das restrições citadas anteriormente,
são necessárias a definição de outras. Para esta situação considera-se a Figura 3.3 que mostra
a seção transversal de uma linha de transmissão com dois condutores por fase.
Figura 3.3: Restrições Adotadas Durante o Processo de Otimização
Nesta Figura têm-se os limites laterais da posição horizontal dos condutores xe e xd ; as
posições horizontais e verticais de cada um dos n condutores (xn , yn ); as distâncias entre condutores de mesma fase (d1 , d2 , d3 ) e as distâncias entre condutores de fases diferentes (Dn ).
3.10.3
Restrição 03 - Distância Mı́nima Entre Condutores da Mesma
Fase (dmmf)
Com base na Figura 3.3, é possı́vel definir as seguintes relações entre as distâncias d1, d2 e d3:
d1 > dmmf
d2 > dmmf
d3 > dmmf
(3.31)
Após manipulação algébrica, resulta:
dmmf − d1 < 0
dmmf − d2 < 0
dmmf − d3 < 0
(3.32)
Logo, ao se aplicar a função Barreira, sendo i o indicador da iteração considerada, obtém-se:
µ
¶
1
1
1
−
−
rp 3 = rp (i) −
(3.33)
dmmf − d1 dmmf − d2 dmmf − d3
3.10.4
Restrição 04 - Regula a Sobreposição dos Condutores
A partir da Figura 3.3, é possı́vel obter as seguintes relações entre as posições dos condutores:
3.10. Restrições
39
x2 − x1 < 0
x3 − x1 < 0
x4 − x1 < 0
x5 − x1 < 0
x6 − x1 < 0
x3 − x2 < 0
x4 − x2 < 0
x5 − x2 < 0
x6 − x2 < 0
x4 − x3 < 0
x5 − x3 < 0
x6 − x3 < 0
x5 − x4 < 0
x6 − x4 < 0
x6 − x5 < 0
(3.34)
Portanto, ao se aplicar a função Barreira, sendo i o indicador da iteração considerada, obtémse:
rp 4 =
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
x2 − x1 x3 − x1 x4 − x1 x5 − x1 x6 − x1 x3 − x2
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
x4 − x2 x5 − x2 x6 − x2 x4 − x3 x5 − x3 x6 − x3
1
1
1
−
−
−
)
x5 − x4 x6 − x4 x6 − x5
rp (i)(−
Embora as restrições apresentadas terem sido obtidas para os casos com um e dois condutores por fase, elas são adaptáveis para os casos com n condutores por fase.
Ao se permitir que a altura dos condutores possa ser modificada pelo processo de otimização,
se faz necessário a inserção de mais duas restrições. Elas são discutidas a seguir.
3.10.5
Restrição 05 - Altura Máxima Permitida
Considerando-se novamente a Figura 3.3, tem-se que a altura h dos condutores devem ser
inferiores a uma altura máxima hmáx que será determinada em função do sistema de transmissão
em análise:
h1 < hmáx
h2 < hmáx
h3 < hmáx
h4 < hmáx
h5 < hmáx
h6 < hmáx
(3.35)
Após simples manipulação algébrica, ao se aplicar a função Barreira, sendo i o indicador da
iteração considerada, obtém-se:
µ
¶
1
1
1
1
1
1
rp 5 = rp (i) −
−
−
−
−
−
h1 − hmáx h2 − hmáx h3 − hmáx h4 − hmáx h5 − hmáx h6 − hmáx
(3.36)
40
3.10.6
Capı́tulo 3. Ferramenta de Otimização
Restrição 06 - Altura Mı́nima Permitida
Considerando-se novamente a Figura 3.3, tem-se que a altura h dos condutores devem ser
maiores do que um determinado hmin definido pela NBR 5422 em função do nı́vel de tensão do
sistema de transmissão sob análise [21]:
h1 > hmin
h2 > hmin
h3 > hmin
h4 > hmin
h5 > hmin
h6 > hmin
(3.37)
Após simples manipulação algébrica, ao se aplicar a função Barreira, sendo i o indicador da
iteração considerada, obtém-se:
¶
1
1
1
1
1
1
rp 6 = rp (i) −
−
−
−
−
−
hmin − h1 hmin − h2 hmin − h3 hmin − h4 hmin − h5 hmin − h6
(3.38)
µ
3.11
Conclusão
Verifica-se que os métodos de otimização são atualmente empregados nos mais diversos ramos
da ciência de maneira satisfatória. Além disso, neste capı́tulo é possı́vel tomar conhecimento
da formulação matemática envolvida durante o processo de otimização. A adoção do método
do gradiente é justificada a partir do fato de representar um algoritmo considerado primitivo,
mas que apresenta potencial para solucionar os problemas deste trabalho. Nota-se que para
que o método de otimização funcione de maneira a conduzir a resultados satisfatórios, deve-se
ter restrições que atuem sobre a função objetivo e um método de parada do algoritmo que
funcionem corretamente. Verifica-se que é possı́vel se adaptar um problema restrito por um
problema irrestrito por meio da adoção do método das Barreiras. No próximo capı́tulo, obtémse os resultados a partir da aplicação das teorias e métodos descritos no capı́tulo 2 e neste
capı́tulo.
Capı́tulo
4
Resultados
4.1
Introdução
Neste capı́tulo são apresentados os resultados obtidos por meio da aplicação dos conteúdos
dos capı́tulos 2 e 3. Inicialmente é validada a ferramenta de cálculo do campo elétrico superficial desenvolvida. Esta validação é obtida por meio da comparação dos resultados obtidos neste
trabalho com aqueles obtidos por Fuchs, Sérgio e Sarma [18],[19] e [16].
Em seguida, aplica-se a ferramenta de minimização do campo elétrico ao nı́vel do solo.
Primeiro considera-se sistemas com altura fixa e em seguida sistemas de alturas variáveis. Após
a minimização do campo elétrico ao nı́vel do solo, parte-se para a minimização do campo elétrico
superficial. Novamente são tratados sistemas com alturas fixas e variáveis durante a minimização. Devido ao grande número de resultados obtidos opta-se em apresentar alguns deles nos
Apêndices.
Ao final da minimização dos campos elétricos, para cada caso, compara-se os valores obtidos
com valores tidos como referências. Sendo no caso superficial, o campo elétrico crı́tico dado por
Peek [18]. Já no caso, ao nı́vel do solo, os valores referências adotados são dados pela norma
NBR 5422 [21]. Finaliza-se o capı́tulo apresentando-se as conclusões.
4.2
Validação da Metodologia de Cálculo de Campo Elétrico
Superficial
Os valores de campos elétricos superficiais são obtidos por meio de três metodologias diferentes. A primeira consiste na metodologia do método das Imagens Sucessivas. A segunda
consiste na consideração da Carga Centrada. A terceira consiste no método conhecido como
Lei dos Cossenos, ou método clássico, e que é aplicado apenas nos casos em que a simetria da
silhueta sob estudo permita tal implementação.
O erro percentual entre as metodologias de cálculo adotadas para este primeiro caso e para
41
42
Capı́tulo 4. Resultados
os demais casos apresentados neste capı́tulo, são obtidos por meio da utilização da expressão:
Erro Percentual =
Metotodologia Referência − Metodologia(02 ou 03)
.100
Metotodologia Referência
(4.1)
Na expressão anterior, a metodologia Referência é a que utiliza o método das Imagens
Sucessivas, a segunda metodologia é a que utiliza o método da Carga Centrada e a terceira
metodologia é a que utiliza o método da Lei dos Cossenos. Estas três metodologias são descritas em detalhes no capı́tulo 3. Todas as simulações realizadas ao longo deste capı́tulo são
implementadas utilizando-se como plataforma o “software” Matlab. Considerações a respeito do
custo computacional envolvido são apresentadas em cada caso. A validação da ferramenta de
cálculo e minimização dos nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do solo e superficiais desenvolvida
neste trabalho é iniciada a seguir.
4.2.1
LT 500 kV com Cinco Condutores por Fase
Para validação da formulação do método das Imagens Sucessivas, o campo elétrico superficial
máximo calculado para uma linha de transmissão de 500 kV com 5 condutores Cucko de raio
= 0.0139 m por fase é comparado com os resultados obtidos por [16]. Estes valores de campos
elétricos superficiais máximos e as respectivas posições são listadas na Tabela 4.1.
Tabela 4.1: Erros Obtidos na Obtenção de Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas Calculado e Valores da Referência
Fase
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x[m]
h[m]
-5,854
-5,029
-5,344
-6,364
-6,679
0,000
-0,465
-0,288
0,288
0,465
5,854
5,029
5,344
6,364
6,679
10,000
10,648
11,696
11,696
10,648
12,454
12,788
13,328
13,328
12,788
10,000
10,648
11,696
11,696
10,648
Ângulo do
Campo
Máximo
Calculado [◦ ]
293,000
346,000
52,000
115,000
226,000
255,000
225,000
119,000
51,000
338,000
284,000
207,000
126,000
57,000
342,000
Valor
Campo
Máximo
Calculado
[kV /cm]
16,2325
17,5307
17,6696
15,6224
14,4296
17,8446
16,8434
16,7150
16,9084
17,5368
16,1893
17,1682
17,6089
15,7026
14,8395
Ângulo do
Campo
Máximo [◦ ]
[16]
-81,2
-11,4
45,1
118,4
-161,1
-90,0
-160,3
128,9
51,1
-19,7
-98,8
191,4
134,9
61,6
-18,9
Valor Campo
Máximo
[kV /cm]
[16]
16,20
17,80
17,80
15,68
14,86
17,80
17,79
16,93
16,93
17,79
16,20
17,80
17,80
15,68
14,86
Erro Percentual
Campo Máximo
0,2006
1,5129
0,7326
0,3673
2,8964
0,2506
5,3210
1,2699
0,1276
1,4233
0,0660
3,5494
1,0736
0,1441
0,1380
4.2. Validação da Metodologia de Cálculo de Campo Elétrico Superficial
43
Observa-se que o erro percentual máximo é da ordem de 5% e ocorre para o condutor 7. A
disposição geométrica para os condutores é mostrada na Figura 4.1. O perfil do campo elétrico
superficial, para o condutor extremo inferior da fase central, é apresentado na Figura 4.2.
Figura 4.1: Configuração 500 kV - 5 condutores por fase
Figura 4.2: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02
Os campos elétricos superficiais máximos também são obtidos considerando-se a carga elétrica
centrada em cada um dos condutores. As magnitudes e os erros obtidos com relação ao método
das Imagens Sucessivas podem ser observados na Tabela 4.2.
Tabela 4.2: Campos Elétricos Superficiais Máximos de Cada Condutor Calculado com os métodos da Carga Centrada e das Imagens Sucessivas
Fase
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x[m]
-5,854
-5,029
-5,344
-6,364
-6,679
0,000
-0,465
-0,288
0,288
0,465
5,854
5,029
5,344
6,364
6,679
h[m]
10,000
10,648
11,696
11,696
10,648
12,454
12,788
13,328
13,328
12,788
10,000
10,648
11,696
11,696
10,648
Ângulo do
Campo
Máximo [◦ ]
280,000
350,000
46,000
119,000
200,000
271,000
201,000
130,000
52,000
341,000
262,000
192,000
136,000
63,000
342,000
Campo Máximo C.
Centrada
[kV /cm]
16,3190
17,8654
17,8641
15,8111
15,0046
17,4961
17,4809
16,6725
16,6725
17,4809
16,3190
17,8654
17,8641
15,8111
15,0046
Campo Máximo Via M.I.S
[kV /cm]
16,2325
17,5307
17,6696
15,6224
14,4296
17,8446
16,8434
16,7150
16,9084
17,5368
16,1893
17,1682
17,6089
15,7026
14,8395
Erro %
0,5329
1,9092
1,1008
1,2079
3,9849
1,9530
3,7849
0,2543
1,3952
0,3188
0,8011
4,0610
1,4493
0,6910
1,1126
A geometria da configuração adotada na validação aqui realizada não possibilita a realização
dos cálculos dos campos elétricos superficiais considerando a formulação simplificada, denominada Lei dos Cossenos, que será aplicada aos demais casos analisados neste capı́tulo. Outra
44
Capı́tulo 4. Resultados
validação realizada para a configuração de cinco condutores, anteriormente apresentada, consiste na determinação do campo elétrico máximo próximo às estruturas. Esta validação também
obteve resultados praticamente iguais aos obtidos pela referência e pode ser observada em detalhes no Apêndice C.
Como uma maneira de se verificar se a localização das cargas lineares equivalentes, obtidas
pelo método das Imagens Sucessivas, estão em posições satisfatórias, opta-se por se obter o
potencial elétrico ao nı́vel do solo e na superfı́cie dos condutores de cada uma das linhas de
transmissão. A Figura 4.3 mostra os pontos considerados para a determinação do potencial
elétrico neste caso.
Figura 4.3: Pontos Considerados para Obtenção dos Potenciais Elétricos
A Tabela 4.3 apresenta o potencial elétrico obtido ao nı́vel do solo e na superfı́cie de cada
um dos condutores da configuração de cinco condutores por fase apresentada anteriormente.
Verifica-se a partir dos valores de potencial elétrico obtidos para pontos situados ao longo
da superfı́cie dos condutores e ao nı́vel do solo, mostrados na Tabela 4.3, que a metodologia
adotada respeita a condição de potencial nulo na superfı́cie do solo e de potencial elétrico nominal
√
dividido por 3 na superfı́cie de cada um dos condutores. Uma segunda validação é realizada a
partir da comparação dos resultados obtidos neste trabalho e os apresentados no artigo em que
se propõe o método das Imagens Sucessivas[19].
4.2. Validação da Metodologia de Cálculo de Campo Elétrico Superficial
45
Tabela 4.3: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo
Pontos
Considerados
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
P19
P20
P21
P22
P23
P24
P25
P26
P27
P28
P29
P30
4.2.2
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x[m]
h[m]
-5,854
-5,029
-5,344
-6,364
-6,679
0,000
-0,465
-0,288
0,288
0,465
5,854
5,029
5,344
6,364
6,679
-5,854
-5,029
-5,344
-6,364
-6,679
0,000
-0,465
-0,288
0,288
0,465
5,854
5,029
5,344
6,364
6,679
10,000
10,648
11,696
11,696
10,648
12,454
12,788
13,328
13,328
12,788
10,000
10,648
11,696
11,696
10,648
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
Valor
Esperado
[V ]
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
2,8868E+05
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
Valor Obtido
[V ]
2,8833E+05
2,8837E+05
2,8854E+05
2,8853E+05
2,8799E+05
2,8786E+05
2,8717E+05
2,8813E+05
2,8856E+05
2,8833E+05
2,8817E+05
2,8779E+05
2,8831E+05
2,8852E+05
2,8865E+05
4,3004E-08
4,6773E-08
4,3584E-08
4,2235E-08
4,5158E-08
4,0284E-08
4,6552E-08
4,3971E-08
4,2963E-08
4,4743E-08
4,4963E-08
4,7210E-08
4,2601E-08
4,3848E-08
4,5349E-08
Erro %
0,1108
0,1005
0,0416
0,0416
0,2182
0,2598
0,4815
0,1490
0,0312
0,0797
0,1663
0,2875
0,1108
0,0450
0,0000
LT 735 kV com Quatro Condutores por Fase
A Figura 4.4 mostra a localização dos condutores para a LT Quebec-Hydro’s de 735 kV[19].
A tensão considerada para este caso nas análises realizadas é de 789.6 kV. O perfil do campo
elétrico obtido para o condutor cinco da LT sob análise pode ser observado na Figura 4.5.
A primeira validação pretendida consiste na obtenção do valor de campo elétrico máximo
para o condutor cinco da LT 735 kV - Quebec-Hydro’s apresentada na referência [18]. Calcula-se
neste trabalho o campo elétrico em pontos considerados na superfı́cie do condutor analisado,
considera-se um total de 360 pontos. O valor calculado neste trabalho e o valor padrão apresentado pela referência podem ser observados na Tabela 4.4 [18].
Tabela 4.4: Comparativo Valor Padrão e Valor Calculado
Condutor 5 - Fase 02 [kV/cm]
Calculado
17,2343
Fuchs [18]
17,225
46
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.4: LT 735 kV - 4 Condutores por
Fase
Figura 4.5: Perfil do Campo Elétrico Superficial do Condutor 05 - LT 735 kV
Outra validação consiste na comparação entre o campo elétrico superficial máximo calculado
pela ferramenta desenvolvida e o valor apresentado na referência [19]. Para se fazer esta comparação considera-se que a fase 2, fase do meio, tem um potencial de 1V enquanto que as demais
fases 1 e 3, tem potenciais iguais a −0.5V de maneira semelhante a realizada na referência [19].
A Tabela 4.5, mostra os valores máximos calculado e o apresentado na referência.
Tabela 4.5: Comparativo Máximo da Figura 12
Condutor 5 - Fase 02
Valor Calculado
Valor Máximo Figura 12 [19]
da Referência e Calculado
[kV/cm]
0,04057
0,04100
Os erros obtidos entre os campos elétricos superficiais máximos obtidos para cada um dos
condutores da LT, utilizando-se o método das Imagens Sucessivas e o método da Carga Centrada podem ser observados na Tabela 4.6.
Verifica-se a partir da Tabela 4.6 que o erro existente em se adotar o método da carga
centrada para a obtenção do campo elétrico superficial máximo pode chegar até a 9%, para a
configuração da referência [19]. Diante desta magnitude de erro encontrada, justifica-se neste
caso a adoção do Método das Imagens Sucessivas.
Desprezando-se a existência das outras fases e do solo, ou seja, aplicando o método da Lei
dos Cossenos, obtém-se os valores de campos elétricos superficiais apresentados na Tabela 4.7
[23].
Verifica-se a partir dos erros mostrados na Tabela 4.7, que erros da ordem de até 15 % foram
obtidos entre a adoção da metodologia das imagens sucessivas e da Lei dos Cossenos.
De maneira análoga ao caso anterior, obtém-se para a configuração adotada, o potencial
elétrico na superfı́cie de cada um dos condutores da LT e também ao nı́vel do solo. É verificado
que os potenciais obtidos na superfı́cie dos condutores e ao nı́vel do solo estão bem próximos dos
4.3. Obtenção dos Valores de Campos Elétricos Superficiais Para Diversas Configurações
47
Tabela 4.6: Campos Elétricos Superficiais em Cada Um dos Condutores da LT Via Método das
Imagens Sucessivas e Via Método da Carga Centrada
Fase
Condutor
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x[m]
h[m]
-15,4686
-15,4686
-15,0114
-15,0114
-0,2286
-0,2286
0,2286
0,2286
15,0114
15,0114
15,4686
15,4686
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
Campo
Máximo Via
M.I.S.
[kV /cm]
Ângulo [◦ ]
155,000
110,000
316,000
290,000
157,000
112,000
315,000
283,000
178,000
113,000
314,000
177,000
15,7960
16,8501
17,8401
15,4759
17,2343
18,3390
18,9618
16,4863
16,3320
17,1869
17,4538
15,1704
Ângulo [◦ ]
227,000
135,000
317,000
45,000
226,000
136,000
316,000
46,000
225,000
137,000
315,000
47,000
Campo
Máximo Via
C. Centrada
[kV /cm]
15,8696
15,8298
16,2380
16,2009
17,2600
17,2509
17,2600
17,2509
16,2380
16,2009
15,8696
15,8298
Erro %
0,4659
6,0552
8,9803
4,6847
0,1491
5,9333
8,9749
4,6378
0,5756
5,7369
9,0765
4,3466
Tabela 4.7: Erro Obtido na Obtenção dos Campos Elétricos Superficiais em Cada um dos
Condutores da LT Via Lei dos Cossenos e Via Método das Imagens Sucessivas
Fase
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x[m]
h[m]
-15.4686
-15.4686
-15.0114
-15.0114
-0.2286
-0.2286
0.2286
0.2286
15.0114
15.0114
15.4686
15.4686
19.5814
20.0386
19.5814
20.0386
19.5814
20.0386
19.5814
20.0386
19.5814
20.0386
19.5814
20.0386
Campo Via Lei
dos Cossenos
[kV /cm]
14.6658
15.9745
15.0150
14.9831
15.9745
15.9667
15.9745
15.9667
15.0150
14.9831
14.6997
14.6658
Campo Via
M.I.S.
[kV /cm]
15,7960
16,8501
17,8401
15,4759
17,2343
18,3390
18,9618
16,4863
16,3320
17,1869
17,4538
15,1704
Erro %
7,1550
5,1964
15,8357
3,1843
7,3098
12,9358
15,7543
3,1517
8,0639
12,8226
15,7794
3,3262
valores esperados. Os potenciais elétricos obtidos podem ser observados no Apêndice D deste
trabalho.
4.3
4.3.1
Obtenção dos Valores de Campos Elétricos Superficiais Para Diversas Configurações
Caso 01: Configuração com Um Condutor por Fase
Para esta análise é utilizada a LT de 138 kV da Cemig, com um condutor por fase, cuja
configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.6 [35]. O perfil do campo elétrico superficial observado para o condutor da fase do meio pode ser observado na Figura 4.7. Utiliza-se
48
Capı́tulo 4. Resultados
para que se tenha as situações de maiores intensidades de campos elétricos superficiais a tensão
máxima operativa do sistema que é de 145 kV.
Figura 4.6: Configuração dos Condutores da
LT 138 kV
Figura 4.7: Perfil do Campo Elétrico Superficial do Condutor da Fase do Meio
Os valores dos campos elétricos superficiais obtidos para cada um dos condutores da LT
utilizando-se o método das Imagens Sucessivas e o método da Carga Centrada, e também os
erros obtidos podem ser observados na Tabela 4.8.
Tabela 4.8: Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método da
Carga Centrada
Fase
1
2
3
Condutor
1
2
3
x[m]
-3
0
3
h[m]
14,01
14,01
14,01
Angulo
[◦ ]
1,000
170,000
181,000
Campo
Via
M.I.S.
[kV /cm]
15,0117
16,1561
15,0117
Angulo [◦ ]
Campo Via
C.
Centrada
[kV /cm]
1,000
12,000
181,000
14,9761
16,1555
14,9761
Erro %
0,2371
0,0037
0,2371
Verifica-se a partir da Tabela 4.8 que no caso em que se tem apenas um condutor por fase, as
distâncias entre condutores são muitas vezes maiores do que os raios dos condutores envolvidos.
Isso implica numa relação d/r (distância entre condutores/raio do condutor) muito maior do
que 10. Esta constatação assegura que neste caso a adoção do método de cálculo considerando
a carga centrada conduz a resultados satisfatórios, conforme pode ser observado na Tabela 4.8.
Neste caso como não se tem um feixe de condutores por fase, ou seja, não há como distribuir
os condutores da fase analisada ao longo de um cı́rculo imaginário. A partir deste fato não se
aplica o método da Lei dos Cossenos com um condutor por fase.
4.3. Obtenção dos Valores de Campos Elétricos Superficiais Para Diversas Configurações
49
Resultados adicionais para este caso, como a verificação dos potenciais ao nı́vel do solo e na
superfı́cie de cada um dos condutores, podem ser encontrados no Apêndice D.
4.3.2
Caso 02: Configuração com Dois Condutores por Fase
Para esta análise é utilizada a LT São Gotardo 02 - Três Marias, de 345 kV da Cemig, dois
condutores por fase, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.8 [36]. O
perfil do Campo Elétrico Superficial para o condutor 03, ou seja, o condutor a esquerda na fase
do meio pode ser observado na Figura 4.9. Utiliza-se para que se tenha a situação de maior
intensidade de campos elétricos superficiais a tensão de operação máxima do sistema de 345 kV
que é de 362 kV.
Figura 4.8: Configuração 345 kV - 2 Condutores por Fase
Figura 4.9: Perfil do Campo Elétrico Superficial do Condutor 03 - Fase do Meio
Os erros máximos e mı́nimos obtidos na determinação das intensidades de campos elétricos
superficiais em cada um dos condutores da LT de 345 kV por meio do método das Imagens
Sucessivas e do método da Carga Centrada, podem ser observados na Tabela 4.9.
Tabela 4.9: Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método da
Carga Centrada
Fase
1
3
Condutor
1
5
x[m]
-10,478
10,021
h[m]
14,290
14,290
Ângulo [◦ ]
181,000
181,000
Campo Via
M.I.S
[kV /cm]
15,0148
15,2506
Ângulo [◦ ]
181,000
181,000
Campo Via
C. Centrada
[kV /cm]
14,2443
14,4287
Erro %
[kV /cm]
5,1316
5,3893
Verifica-se através da Tabela 4.9 que para o caso com dois condutores por fase, o erro encontrado ao se adotar as diferentes metodologias é bem mais expressivo do que no caso com apenas
50
Capı́tulo 4. Resultados
um condutor por fase.
O campo elétrico superficial também é calculado por meio do método da Lei dos Cossenos, os
erros máximos e mı́nimos observados em relação a metodologia referência podem ser observados
na Tabela 4.10.
Tabela 4.10: Campos Elétricos Superficiais Via Lei dos Cossenos e Via Método das Imagens
Sucessivas
Fase
1
3
Condutor
1
5
x[m]
-10,478
10,021
h[m]
14,290
14,290
Campo Via
Lei dos
Cossenos
[kV /cm]
Campo Via
M.I.S.
[kV /cm]
13,4636
13,6070
15,0148
15,2506
Erro%
10,3311
10,7773
Verifica-se que a adoção da metodologia da Lei dos Cossenos, com relação ao método das
Imagens Sucessivas, conduz mesmo para um sistema com apenas dois condutores por fase a
erros da ordem de 10%. Os potenciais elétricos nas superfı́cies de cada um dos condutores e
ao nı́vel do solo também são calculados e podem ser observados no Apêndice D. As Tabelas
completas com as magnitudes de campos elétricos superficiais de cada um dos condutores e com
os erros obtidos podem ser observados no Apêndice E.
4.3.3
Caso 03: Configuração com Três Condutores por Fase
Para esta análise é utilizada a LT São Gonçalo do Pará - Ouro Preto de 500 kV da Cemig,
três condutores por fase, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.10 [37].
O perfil do Campo Elétrico Superficial para o condutor 04, ou seja, o condutor a esquerda na
fase do meio pode ser observado na Figura 4.11. Utiliza-se para que se tenha a situação de
maior intensidade de campos elétricos superficiais a tensão de operação máxima do sistema que,
para a LT de 500 kV, é de 525 kV.
Os erros máximos e mı́nimos obtidos na determinação dos campos elétricos superficiais máximos de cada um dos condutores da LT de 500 kV, obtidos por meio do método das Imagens
Sucessivas e do método da Carga Centrada são apresentados na Tabela 4.11.
Verifica-se que para três condutores por fase, os erros obtidos entre o método das Imagens
Sucessivas e o método da Carga Centrada, são superiores aos obtidos nos casos anteriores com
um e dois condutores por fase.
Considerando-se apenas o efeito dos condutores do mesmo feixe, obtém-se os seguintes erros
máximos e mı́nimos de gradientes de potencial superficiais, mostrados na Tabela 4.12.
4.3. Obtenção dos Valores de Campos Elétricos Superficiais Para Diversas Configurações
Figura 4.10: Configuração 500 kV - 3 Condutores por Fase
51
Figura 4.11: Perfil do Campo Elétrico Superficial do Condutor 04 - Fase do Meio
Tabela 4.11: Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método
da Carga Centrada
Fase
3
3
Condutor
7
8
x[m]
10,021
10,250
h[m]
16,530
16,758
Angulo [◦ ]
224,000
68,000
Campo Via
M.I.S.
[kV /cm]
17,8590
16,6382
Angulo [◦ ]
Campo Via
C.
Centrada
[kV /cm]
204,000
93,000
17,4993
15,4523
Erro %
2,0141
7,1276
Tabela 4.12: Campos Elétricos Superficiais Via Método da Lei dos Cossenos e Via Método das
Imagens Sucessivas
Fase
2
3
Condutor
5
8
x[m]
0
10,250
h[m]
16,758
16,758
Campo Via
Lei dos
Cossenos
[kV /cm]
Campo Via
Lei M.I.S.
[kV /cm]
16,4289
14,4279
17,5067
16,6382
Erro %
6,1565
13,2845
Verifica-se a partir dos valores de erros apresentados na Tabela 4.12, que para o caso com
três condutores por fase, os valores são maiores do que os obtidos para os casos com um e dois
condutores por fase. Resultados adicionais para este caso, como a verificação dos potenciais ao
nı́vel do solo e na superfı́cie de cada um dos condutores, podem ser encontrados no Apêndice
D. O campo elétrico superficial obtido para cada um dos condutores da LT e o respectivo erro
podem ser encontrados no Apêndice E.
52
Capı́tulo 4. Resultados
4.3.4
Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por Fase
Para esta análise é utilizada uma LT de 500 kV, quatro condutores por fase, do sistema
de Furnas, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.12 [38]. O perfil do
Campo Elétrico Superficial para o condutor 08, ou seja, o condutor inferior esquerdo na fase do
meio pode ser observado na Figura 4.13.
Figura 4.12: Configuração 500 kV - 4 Condutores por Fase
Figura 4.13: Perfil do Campo Elétrico Superficial do Condutor 08 - Fase do Meio
Os erros máximos e mı́nimos obtidos pela metodologia das Imagens Sucessivas e a metodologia da Carga Centrada são apresentados na Tabela 4.13. Utiliza-se, para que se tenha a situação
de maior intensidade de campos elétricos superficiais, a tensão de operação máxima para este
sistema, que é de 525 kV.
Tabela 4.13: Campos Elétricos Superficiais Obtidos Via Método das Imagens Sucessivas e
Método da Carga Centrada
Fase
1
3
Condutor
1
9
x[m]
-7,975
7,025
h[m]
18,45
18,45
Angulo [◦ ]
122,000
130,000
Campo Via
M.I.S.
[kV /cm]
14,4394
15,4303
Angulo [◦ ]
131,000
137,000
Campo Via
C. Centrada
[kV /cm]
14,0938
14,8712
Erro %
2,3935
3,6234
O campo elétrico superficial também é obtido pelo método da Lei dos Cossenos. Os erros
máximos e mı́nimos obtidos com esta metodologia, podem ser observados na Tabela 4.14.
Verifica-se que neste caso, a adoção da metodologia da Lei dos Cossenos, ou seja, que desconsidera o efeito do solo e das demais fases acarreta erros de 5 a 10% com relação aos valores
obtidos pelo Método das Imagens Sucessivas. Resultados adicionais para este caso, como a
4.4. Minimização do Campo Elétrico
53
Tabela 4.14: Campos Elétricos Superficiais Via Lei dos Cossenos e Via Método das Imagens
Sucessivas
Fase
1
3
Condutor
4
12
x[m]
-7,975
7,025
h[m]
17,5
17,5
Campo Via
Lei dos
Cossenos
[kV /cm]
Campo Via
M.I.S.
[kV /cm]
13,2961
13,2961
14,0804
14,8099
Erro %
5,5702
10,2215
verificação dos potenciais ao nı́vel do solo e na superfı́cie de cada um dos condutores, podem ser
encontrados no Apêndice D. O campo elétrico superficial obtido para cada um dos condutores
da LT e o respectivo erro podem ser encontrados no Apêndice E.
Uma vez determinado os nı́veis de campos elétricos superficiais das configurações originais
utilizando-se dos conhecimentos do capı́tulo 3 parte-se, na próxima seção, para a aplicação
da ferramenta de minimização dos nı́veis de campos elétricos nas configurações anteriormente
apresentadas.
4.4
Minimização do Campo Elétrico
Durante o processo de minimização do campo elétrico, o efeito dos cabos para-raios, das estruturas das LT´s e de quaisquer outros elementos próximos as LT´s são desprezados. Verifica-se
que a presença dos cabos para-raios alteram em muito pouco os cálculos realizados. A partir da
literatura verifica-se que erros da ordem de no máximo 2% são obtidos ao se desprezar o efeito
dos cabos para-raios [30] [23].
O método de otimização adotado é o método do Gradiente que é descrito em detalhes no
capı́tulo 4. O parâmetro da precisão adotada é modificado em alguns dos casos para que se
tenha uma convergência com um menor número de iterações. No entanto, esta adequação não
compromete os resultados obtidos. Outro parâmetro que é alterado, de um caso para o outro,
é o passo a ser adotado pelo algoritmo da Seção Áurea. Esta adequação se faz necessária, pois
em alguns casos um valor elevado do passo pode acarretar em soluções em que a função barreira
não atua e as restrições não são respeitadas.
Utiliza-se para a determinação do campo elétrico ao nı́vel do solo o método da Carga Centrada e para a determinação do gradiente de tensão superficial é utilizado o método das Imagens
Sucessivas de primeira ordem.
As distâncias entre condutores e, entre condutores e solo, adotadas através das restrições
do problema de otimização, são obtidas a partir das referências [21][15]. Estas distâncias são
apresentadas nas seções a seguir.
54
4.5
Capı́tulo 4. Resultados
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
O processo de minimização ao nı́vel do solo é inicialmente realizado com altura dos condutores fixa e em seguida é permitido que a altura dos condutores seja modificada pelo processo
de otimização. Nas subseções a seguir são apresentados os resultados obtidos para linhas de
transmissão reais com um, dois, três e quatro condutores por fase.
Os nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do solo obtidos para os sistemas originais e otimizados
são comparados com os valores limites adotados por normas brasileiras ao final de cada uma
das seções a seguir. Verifica-se, se a configuração sugerida apresenta nı́veis de campos elétricos
ao nı́vel do solo aceitáveis. Os nı́veis de referência adotados para o processo de minimização do
campo elétrico ao nı́vel do solo, podem ser verificados no Apêndice F.
O tempo gasto pelo algoritmo desenvolvido é da ordem de poucos segundos, em cada um
dos casos analisados a seguir. O estudo da viabilidade técnica e econômica das soluções ótimas
sugeridas pelo processo de otimização implementado não são realizadas nesta dissertação.
4.5.1
Caso 01: Configuração com Um Condutor por Fase
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas dos Condutores Fixas
Para esta análise é utilizada a LT de 138 kV da Cemig, com um condutor por fase, cuja
configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.14 [35].
Figura 4.14: Configuração dos Condutores da LT 138 kV
Considera-se a altura dos condutores constante ao longo do processo de otimização. Conforme visto no capı́tulo 4, o passo da otimização no algoritmo da Seção Áurea desempenha um
papel importante durante o processo de minimização realizado a partir do método do Gradiente. É este parâmetro que garante que o algoritmo respeite as restrições dadas pelas funções
barreiras utilizadas. O valor do passo da Seção Áurea adotado é de 0, 2. Os parâmetros que são
utilizados nesta seção, tais como: nı́vel de tensão adotado(VF F ); número de condutores por fase
(ns ); distância mı́nima entre fases adotadas(dmf); limites laterais (xe e xd ) e limites verticais
4.5. Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
55
(Hmin e Hmáx ) podem ser observados na Tabela 4.15.
Tabela 4.15: Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização
VF F [kV ]
ns
dmf [m]
xe [m]
xd [m]
Hmin[m]
Hmáx[m]
138
1
1,5 - 1,2
-3
3
7
15,01
As posições sugeridas pelo processo de otimização e o campo elétrico máximo ao longo do
processo de minimização do campo elétrico ao nı́vel do solo podem ser observados na Tabela 4.16.
Tabela 4.16: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
103
x1 [m]
-3
-1,5710
x2 [m]
0
0,0238
x3 [m]
3
1,6666
Emáx
[V/m]
459,24
252,67
Na Tabela 4.16, tem-se na primeira coluna a indicação da iteração considerada. Nas colunas
centrais tem-se as posições horizontais sugeridas pelo algoritmo, e na última coluna tem-se o
valor de campo elétrico máximo ao nı́vel do solo obtido na respectiva iteração. A configuração
inicial e a final, sugerida pelo processo de otimização, podem ser observadas na Figura 4.15.
Nota-se a partir da Figura 4.15 que a configuração sugerida atende as restrições implementadas
no algoritmo e que são apresentadas anteriormente na Tabela 4.15. Os perfis de campos elétricos
ao nı́vel do solo ao longo do processo de minimização podem ser observados na Figura 4.16.
É mostrado na Figura 4.16 o perfil do campo elétrico original ao nı́vel do solo, dado pela
linha formada de ◦. Em uma linha contı́nua de cor mais clara o resultado final do processo de
minimização é apresentado.
Verifica-se, por meio da observação dos perfis de campos elétricos apresentados na Figura
4.16, que há uma redução significativa dos nı́veis de campos elétricos originalmente observados.
Nota-se que o campo máximo passa de próximo de 430 V/m para 250 V/m. Para valores do
passo do algoritmo da Seção Áurea superiores a 0, 2, para este caso, observa-se que as restrições
não são atendidas. Isso acontece, pois a partir de um determinado valor de passo as funções
barreiras não conseguem atuar.
Ainda para o caso com um condutor por fase, considera-se uma nova situação em que é
permitida uma maior compactação da LT. Permite-se ao algoritmo que se atinja uma distância
56
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.16: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
Figura 4.15: Configuração Ótima Sugerida
mı́nima entre fases diferentes(dmf) reduzida igual a 1, 2 m. Neste caso, o passo adotado no
algoritmo da Seção Áurea continua sendo 0, 2. As posições sugeridas ao longo das iterações e o
campo máximo podem ser observados na Tabela 4.17.
Tabela 4.17: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
103
x1 [m]
-3
-1,2725
x2 [m]
0
0,0264
x3 [m]
3
1,6666
Emáx
[V/m]
458,96
216,01
A configuração final obtida pelo processo de minimização e o perfil do campo elétrico obtido
ao longo do processo de minimização podem ser observados nas Figuras 4.17 e 4.18, respectivamente.
É mostrado na Figura 4.18 o perfil do campo elétrico ao nı́vel do solo, dado pela linha formada de ◦. O resultado final do processo de minimização é apresentado pela linha contı́nua
clara. Pode ser verificado que a adoção da distância mı́nima entre fases reduzida, que passa
de 1, 5 m para 1, 2 m, ocasiona maiores reduções dos nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do
solo, conforme se observa na Figura 4.18. Nota-se que o campo elétrico máximo que antes está
próximo de 430 V/m passa a ter um valor próximo de 210 V/m.
Em função do grande número de resultados obtidos, algumas das análises das próximas
seções deste capı́tulo, são apresentadas nos Apêndices G e I. Após se realizar a minimização
do campo elétrico ao nı́vel do solo com altura dos condutores fixas, surge o questionamento de
qual o efeito de se ter a altura modificada pelo processo de otimização implementado. Logo,
realiza-se ainda para o caso com um condutor por fase o processo de minimização com altura
4.5. Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
Figura 4.17: Configuração Ótima Sugerida
57
Figura 4.18: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
variável.
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas dos Condutores
Variáveis
Os parâmetros e distâncias considerados são aqueles encontrados na Tabela 4.15. A altura
é permitido variar de 7 a 15, 01 m. O passo do algoritmo da Seção Áurea adotado é de 0, 1. As
posições sugeridas ao longo do processo de otimização e o campo elétrico máximo obtido podem
ser observados na Tabela 4.18.
Tabela 4.18: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
200
x1 [m]
-3
-2,1836
x2 [m]
0
0,1864
x3 [m]
3
2,9195
h1 [m]
h2 [m]
14,0100
14,8260
14,0100
14,1960
h3 [m]
14,0100
13,9290
Emáx
[V/m]
458,60
426,44
Tem-se na Tabela 4.18 na primeira coluna as iterações consideradas. Nas três primeiras
colunas centrais a esquerda tem-se as posições horizontais sugeridas pelo algoritmo. Nas outras três colunas centrais a direita tem-se as posições verticais sugeridas pelo algoritmo, e na
última coluna tem-se os campos elétricos máximos ao nı́vel do solo respectivos a cada iteração
mostrada. A configuração ótima sugerida pode ser visualizada na Figura 4.19 e os perfis do
campo elétrico ao longo das iterações podem ser verificados na Figura 4.20.
Verifica-se a partir da Figura 4.20, que há uma redução do campo elétrico ao nı́vel do solo.
No entanto, esta redução é menos significativa do que a redução obtida com altura fixa para o
mesmo caso.
58
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.19: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.20: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
Constata-se que para valores do passo da Seção Áurea superiores ao considerado no caso
com altura variável, ou seja, superior a 0, 1, ocasiona em reduções mais significativas do campo
elétrico. No entanto, as configurações sugeridas não atendem as restrições impostas pelo algoritmo.
A Tabela 4.19, apresenta uma relação dos máximos campos elétricos ao nı́vel do solo obtidos
com relação ao valor referência dado pela NBR 5422 [21].
Tabela 4.19: Relação entre Valores Calculados e da Norma NBR 5422 para o Campo Elétrico
ao Nı́vel do Solo
Altura Fixa
Altura Variável
Emáx Original
[kV/m]
Emáx Otimizado
[kV/m]
Emáx Original
[kV/m]
Emáx Otimizado
[kV/m]
Emáx Referência
[kV/m]
Análise 01
0,4235
0,2526
0,4235
0,4264
5
Análise 02
0,4235
0,2160
Na Tabela 4.19, tem-se com altura dos condutores fixas, a Análise 01 realizada com distância
entre condutores diferentes(dmf) de 1, 5 m e na Análise 02, considera-se uma distância entre
condutores diferentes de 1, 2 m. Nas Análises 01 e 02 com altura fixa o passo do algoritmo da
Seção Áurea adotado é 0, 1. Já no caso com altura variável, a Análise 01 corresponde ao caso
com passo da Seção Áurea de 0, 1 e dmf de 1, 5 m. Verifica-se a partir da Tabela 4.19 que os
perfis dos campos elétricos ao nı́vel do solo obtidos antes e após o processo de minimização do
4.5. Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
59
campo elétrico estão abaixo do valor máximo estabelecido pela norma NBR 5422 [21].
4.5.2
Caso 02: Configuração com Dois Condutores por fase
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas dos Condutores Fixas
Para esta análise é utilizada a LT São Gotardo 02 - Três Marias, de 345 kV da Cemig, dois
condutores por fase, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.21 [36].
Figura 4.21: Configuração dos Condutores da LT 345 kV - CEMIG
As dimensões e parâmetros que são utilizados pelo algoritmo de minimização do campo
elétrico, com altura dos condutores fixa, para o caso com dois condutores por fase, podem ser
observados na Tabela 4.20.
Tabela 4.20: Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização
VF F [kV ]
ns
dmf [m]
dmmf [m]
xe [m]
xd [m]
hmin [m]
hmáx [m]
345
2
8,1
0,225
-10,59
10,36
8,10
15,29
Na Tabela 4.20 apresenta-se o nı́vel de tensão adotado(VF F ), o número de condutores por
fase (ns ), a distância mı́nima entre fases diferentes(dmf), a distância mı́nima entre condutores
da mesma fase(dmmf), os limites laterais (xe e xd ) e limites verticais (hmin e hmáx ).
Considera-se nesta primeira análise, um passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 3, e a faixa
de variação dos parâmetros geométricos na LT conforme apresentados na Tabela 4.20. Esta
primeira análise é realizada com a altura dos condutores mantida fixa. As posições sugeridas
pelo processo de otimização e o campo elétrico máximo ao nı́vel do solo em cada iteração pode
60
Capı́tulo 4. Resultados
ser verificado na Tabela 4.21.
Tabela 4.21: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
103
x1 [m]
-10,593
-8,290
x2 [m]
-10,364
-4,145
x3 [m]
-0,114
-0,869
x4 [m]
0,114
0,381
x5 [m]
0,130
4,122
x6 [m]
10,364
7,960
Emáx
[V/m]
6377,7
2068,6
Na Tabela 4.21, tem-se na primeira coluna a indicação da iteração considerada. Nas colunas
centrais tem-se as posições horizontais sugeridas pelo algoritmo, e na última coluna tem-se o
valor de campo elétrico máximo ao nı́vel do solo obtido na respectiva iteração. A configuração
ótima sugerida e os perfis do campo elétrico ao nı́vel do solo podem ser observados nas Figuras
4.22 e 4.23.
Figura 4.22: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.23: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
É mostrado na Figura 4.23 o perfil do campo elétrico original ao nı́vel do solo, dado pela
linha formada de ◦. O resultado final do processo de minimização é apresentado pela linha contı́nua mais clara. Verifica-se por meio da observação da Figura 4.22 que a configuração ótima
sugerida está dentro dos limites compreendidos pelos condutores extremos laterais da LT. No
entanto, a distância mı́nima entre fases adotada neste caso não é respeitada. Este fato, exige que
o resultado apresentado antes de ser aplicado passe por estudos que verifiquem se a distância
obtida não acarreta em problemas de caráter de isolamento elétrico entre as fases.
Ao se constatar, em análises anteriores, que a redução da distância entre fases ocasiona
em reduções do campo elétrico ao nı́vel do solo mais significativas do que aquelas com as distâncias convencionais. Este fato, demonstra uma das tendências atuais da compactação das
4.5. Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
61
linhas de transmissão que consiste na redução das distâncias entre fases. Logo, decide-se novamente realizar o processo de minimização do campo elétrico com o passo da Seção Áurea
de 0, 1, distância mı́nima entre fases diferentes(dmf ) de 7 m e distância mı́nima entre condutores na mesma fase(dmmf) de 0, 225. As posições sugeridas pelo processo de minimização e
o campo elétrico ao nı́vel do solo máximo em cada iteração podem ser verificados na Tabela 4.22.
Tabela 4.22: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
103
x1 [m]
-10,593
-10,694
x2 [m]
-10,364
-6,563
x3 [m]
-0,114
-0,529
x4 [m]
0,114
0,293
x5 [m]
10,136
6,627
x6 [m]
10,364
10,464
Emáx
[V/m]
6370,3
2640,5
A configuração ótima sugerida e os perfis do campo elétrico obtido ao longo do processo de
minimização podem ser observados nas Figuras 4.24 e 4.25, respectivamente.
Figura 4.24: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.25: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
Neste caso, verifica-se a partir da Figura 4.24 que a localização dos condutores atende as
restrições impostas pelo algoritmo de minimização do campo elétrico. Nota-se que há uma
tendência em se aumentar a distância entre os condutores de mesma fase e diminuir a distância
entre fases diferentes. Estas duas modificações observadas, são as bases das linhas de potência
natural elevada, que por meio destas modificações, podem acarretar em aumentos significativos
da potência natural dos sistemas de transmissão.
Resultados adicionais para este caso, obtidos com os mesmos parâmetros da Tabela 4.20,
porém, com um passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 1 podem ser verificados no Apêndice
G.
62
Capı́tulo 4. Resultados
Após se realizar a minimização do campo elétrico com passos do algoritmo da Seção Áurea
diferentes e também com distância mı́nima entre fases diferentes, surge o questionamento de
qual resultado é obtido se for permitido ao algoritmo de otimização modificar a altura dos condutores do sistema sob análise.
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas dos Condutores
Variáveis
A variação da altura e as distâncias mı́nimas adotadas são aquelas dadas na Tabela 4.20. A
altura é permitida variar de 8, 10 a 15, 29 m. A minimização do campo elétrico é realizada com
um passo da Seção Áurea de 0, 01. A distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) considerada
é de 8, 10 m e a distância mı́nima entre condutores na mesma fase(dmmf) adotada é de 0, 225.
As posições sugeridas pelo algoritmo e o campo máximo obtido ao longo do processo de minimização podem ser observados na Tabela 4.23.
Tabela 4.23: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
100
Iteração
1
100
x1 [m]
-10,593
-10,106
h1 [m]
14,29
14,776
x2 [m]
-10,364
-9,6488
h2 [m]
14,29
15,005
x3 [m]
-0,1143
-0,0678
h3 [m]
14,29
14,336
x4 [m]
0,1143
0,4419
h4 [m]
14,29
14,618
x5 [m]
10,136
10,048
h5 [m]
14,29
14,202
x6 [m]
10,364
10,333
h6 [m]
14,29
14,258
Emáx
[V/m]
6375,3
3004
Emáx
[V/m]
6375,3
3004
Tem-se na Tabela 4.23, na primeira coluna a indicação da iteração considerada e na última
coluna o campo elétrico máximo ao nı́vel do solo obtido em cada iteração. Ainda na Tabela
anterior, nas linhas dois e três tem-se as posições horizontais e nas linhas cinco e seis as posições
verticais, ambas sugeridas pelo algoritmo. A configuração ótima sugerida e os perfis do campo
elétrico podem ser observadas nas Figuras 4.26 e 4.27, respectivamente.
Verifica-se a partir da Figura 4.26 que a configuração sugerida atende a todas as restrições,
o que demonstra que as funções barreira atuam de maneira satisfatória. Nota-se na Figura 4.27
que a redução do campo elétrico ao nı́vel do solo é menos significativa neste caso ao se adotar
um passo do algoritmo da Seção Áurea menor.
Resultados adicionais para este caso, com a realização da minimização do campo elétrico ao
nı́vel do solo, considerando-se um passo do algoritmo de minimização maior e uma distância
entre fases diferentes reduzida, podem ser encontradas no Apêndice G. A Tabela 4.24 mostra
uma relação entre os campos máximos ao nı́vel do solo obtidos e o valor máximo determinado
4.5. Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
Figura 4.26: Configuração Ótima Sugerida
63
Figura 4.27: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
por norma. Tem-se na Tabela a seguir as Análises 01 e 03 realizadas com altura fixa, que adotam distância mı́nima entre fases diferentes(dmf ) de 7 m e distância mı́nima entre condutores
da mesma fase(dmmf ) de 0, 225 m e são obtidas com passo da Seção Áurea de 0, 3 e 0, 1, respectivamente. Já a Análise 02 com altura fixa, e 03 com altura variável, adotam dmf de 7 m
e dmmf de 0, 225 m, ambos com passo do algoritmo de otimização igual a 0, 1. Enquanto que
as Análises 01 e 02 de altura variável, são obtidas com passos de 0, 1 e 0, 01, respectivamente.
Ambas considerando dmf de 8, 10 m e dmmf de 0, 225 m.
Tabela 4.24: Relação entre Valores Calculados e da Norma NBR 5422 para o Campo Elétrico
ao Nı́vel do Solo
Altura Fixa
Altura Variável
Emáx Original
[kV/m]
Emáx Otimizado
[kV/m]
Emáx Original
[kV/m]
Emáx Otimizado
[kV/m]
Emáx Referência
[kV/m]
Análise 01
3,0561
2,7938
3,0561
3,0026
5
Análise 02
3,0561
2,0686
3,0561
3,0040
5
Análise 03
3,0561
2,6405
3,0561
2,9116
5
Nota-se a partir da Tabela 4.24 que neste caso com 2 condutores por fase o campo elétrico
ao nı́vel do solo, antes e após a otimização, estão dentro dos limites estabelecidos pela NBR
5422[21].
64
4.5.3
Capı́tulo 4. Resultados
Caso 03: Configuração com Três Condutores por Fase
Para esta análise é utilizada a LT São Gonçalo do Pará - Ouro Preto de 500 kV da Cemig,
três condutores por fase, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.28 [37].
Figura 4.28: Configuração dos Condutores da LT 500 kV - CEMIG
As distâncias mı́nimas e máximas adotadas pelo processo de minimização podem ser observadas na Tabela 4.25 [15].
Tabela 4.25: Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização
VF F [kV ]
ns
dmf [m]
dmmf [m]
xe [m]
xd [m]
hmin [m]
hmáx [m]
500
3
CV - CP
10 - 5,5
0.35
-10,47
10,47
8,50
17,76
Na Tabela 4.25, apresenta-se o nı́vel de tensão adotado(VF F ), o número de condutores por
fase (ns ), a distância mı́nima entre fases diferentes(dmf), a distância mı́nima entre condutores
da mesma fase(dmmf ), os limites laterais (xe e xd ) e limites verticais (hmin e hmáx ).
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas dos Condutores Fixas
São analisadas para este caso com três condutores por fase, uma distância mı́nima entre
fases com um valor intermediário entre o valor convencional e o compacto mostrado na Tabela
4.25, adota-se 8, 5 m e também é adotado o valor da configuração compacta, ou seja, de 5, 5
m. Nesta primeira análise, adota-se uma distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) de 8, 5
4.5. Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
65
m, distância entre condutores da mesma fase(dmmf) de 0, 35 m e passo do algoritmo da Seção
Áurea de 0, 4.
A configuração sugerida pelo algoritmo e o campo elétrico máximo obtido ao longo do processo de otimização podem ser verificados na Tabela 4.26. Sendo xn a posição horizontal de
cada um dos condutores determinada pelo algoritmo de minimização do campo elétrico. As
iterações são mostradas na primeira coluna da Tabela e o campo elétrico máximo ao nı́vel do
solo é mostrado na última coluna da Tabela. Nas colunas intermediárias da Tabela tem-se as
posições horizontais sugeridas pelo algoritmo.
Tabela 4.26: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
103
x1 [m]
x2 [m]
-10,479
-9,5726
-10,25
-9,1707
x3 [m]
-10,022
-8,7342
x4 [m]
-0,2285
-0,4594
x5 [m]
0
0,0654
x6 [m]
0,2285
0,0442
x7 [m]
10,022
8,796
x8 [m]
10,25
9,1833
x9 [m]
10,479
9,5132
Emáx
[V/m]
4275,4
3687,6
A configuração ótima sugerida e os perfis do campo elétrico ao nı́vel do solo obtidos podem
ser observados nas Figuras 4.29 e 4.30.
Figura 4.29: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.30: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
Nota-se na Figura 4.30 que o perfil do campo elétrico original é apresentado por meio das ◦,
enquanto que o campo elétrico resultante é representado pela linha contı́nua clara. Verifica-se a
partir da Figura 4.29 que uma vez que o algoritmo só pode modificar a posição dos condutores
horizontalmente ele tende a compactar as dimensões da linha de transmissão. Nota-se na Figura
4.30 que a nova configuração sugerida acarreta em redução dos nı́veis de campo elétrico ao nı́vel
do solo.
66
Capı́tulo 4. Resultados
Resultados adicionais para este caso, com a realização da minimização do campo elétrico ao
nı́vel do solo, considerando-se as mesmas distâncias adotadas anteriormente mas com um passo
da Seção Áurea de 0, 9 podem ser encontradas no Apêndice G.
A partir das caracterı́sticas dos resultados apresentados anteriormente para este caso com
três condutores por fase analisa-se agora o caso adotando-se como parâmetros a distância mı́nima
entre fases diferentes(dmf) como sendo 5, 5 m, distância entre condutores de mesma fase(dmmf)
de 0, 65 m e o passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 4. A configuração sugerida e o máximo
campo elétrico obtidos ao longo do processo de minimização podem ser observados na Tabela
4.27.
Tabela 4.27: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
103
x1 [m]
-10,479
-7,0629
x2 [m]
-10,25
-6,223
x3 [m]
-10,022
-5,4228
x4 [m]
-0,2285
-0,5157
x5 [m]
0
0,1601
x6 [m]
0,2285
0,3010
x7 [m]
10,022
5,8746
x8 [m]
10,25
6,6126
x9 [m]
10,479
6,8175
Emáx
[V/m]
4416,6
2885,8
A configuração ótima sugerida e os perfis de campo elétrico ao nı́vel do solo obtidos podem
ser observados nas Figuras 4.31 e 4.32, respectivamente.
Figura 4.31: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.32: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
Verifica-se a partir da Figura 4.31 que as restrições são todas respeitadas pelo processo de
minimização. Nota-se que neste caso a configuração ótima acarreta em uma redução expressiva do campo elétrico ao nı́vel do solo. Nota-se na Figura 4.32 que o campo elétrico máximo
passa de 4000 V/m para próximo de 2800 V/m. Considera-se que as dimensões compactas são
aceitáveis do ponto de vista do isolamento elétrico entre as fases.
4.5. Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
67
A partir das análises realizadas até o momento para o caso com três condutores por fase
surge novamente a hipótese de se verificar o efeito da inclusão no algoritmo desenvolvido da
possibilidade da modificação da altura original dos condutores. Esta hipótese é verificada na
próxima seção deste trabalho.
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo Com Alturas dos Condutores
Variáveis
Nesta primeira análise com altura variável considera-se distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) de 8, 5 m, distância mı́nima entre condutores da mesma fase(dmmf) de 0, 35 m e
um passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 4. A altura dos condutores é permitida variar de
8, 5 a 17, 76 m. As posições dos condutores sugeridas ao longo do algoritmo e o campo máximo
obtido podem ser observados na Tabela 4.28. Tem-se na Tabela a seguir, na primeira coluna a
indicação da iteração considerada e na última coluna o campo elétrico máximo ao nı́vel do solo
obtido em cada iteração. Ainda na Tabela , nas linhas dois e três tem-se as posições horizontais
e nas linhas cinco e seis as posições verticais, ambas sugeridas pela otimização.
Tabela 4.28: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
200
Iteração
1
200
x1 [m]
-10,479
-9,9106
x2 [m]
-10,25
-9,432
x3 [m]
-10,022
-9,3420
x4 [m]
-0,2285
-0,2172
x5 [m]
0
0,3488
x6 [m]
0,2285
0,4992
x7 [m]
x8 [m]
10,022
10,0206
10,25
10,3658
x9 [m]
10,479
10,434
Emáx
[V/m]
4269
3916,55
h1 [m]
h2 [m]
h3 [m]
h4 [m]
h5 [m]
h6 [m]
h7 [m]
h8 [m]
h9 [m]
Emáx
[V/m]
16,53
17,0979
16,759
17,5765
16,53
17,2095
16,53
16,5413
16,759
17,1074
16,53
16,8007
16,53
16,5291
16,759
16,8743
16,53
16,4855
4269
3916,55
A configuração ótima obtida e os perfis do campo elétrico ao nı́vel do solo podem ser verificados nas Figuras 4.33 e 4.34.
Nota-se que a Figura 4.33 sugere uma configuração nem um pouco convencional. No entanto,
suas dimensões atendem as restrições adotadas pelo processo de minimização do campo elétrico.
Verifica-se na Figura 4.34 que o perfil do campo elétrico ao nı́vel do solo apresenta uma pequena
redução para este primeiro caso analisado com altura variável.
Resultados adicionais para este caso, são obtidos adotando-se uma distância mı́nima entre
fases(dmf) de 5, 5 m, distância entre condutores de mesma fase(dmmf) de 0, 65 m e o passo do
algoritmo da Seção Áurea de 0, 4. As posições obtidas ao longo do processo de otimização e o
campo máximo obtido podem ser observados no Apêndice G.
68
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.33: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.34: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
Uma análise entre os nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do solo obtidos anteriormente nesta
seção e o limite estabelecido por norma, dado pelo Apêndice F, pode ser verificado na Tabela
4.29. Tem-se nesta Tabela as Análises 01 e 02, realizadas com altura dos condutores fixas,
distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) de 8, 5 m, distância entre condutores de mesma
fase(dmmf) de 0, 35 m e passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 40 e 0, 9, respectivamente.
Já as Análises 03 com altura fixa e a Análise 02 com altura variável consideram dmf de 5, 5
m, dmmf de 0, 65 m e passo da Seção Áurea de 0, 40. Ainda na Tabela tem-se a Análise 01
de altura variável que é obtida com uma dmf de 8, 5 m, uma dmmf de 0, 35 m e um passo do
algoritmo de otimização de 0, 35.
Tabela 4.29: Relação entre Valores Calculados e da Norma NBR 5422 para o Campo Elétrico
ao Nı́vel do Solo
Altura Fixa
Altura Variável
Emáx Original
[kV/m]
Emáx Otimizado
[kV/m]
Emáx Original
[kV/m]
Emáx Otimizado
[kV/m]
Emáx Referência
[kV/m]
Análise 01
3,9647
3,6876
3,9647
3,9165
5
Análise 02
3,9647
3,5756
3,9647
3,7043
5
Análise 03
3,9647
2,8858
5
Por meio da Tabela 4.29 nota-se que todos os perfis de campos elétricos ao nı́vel do solo
4.5. Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
69
originais e otimizados estão abaixo do valor limite estabelecido por norma [21].
4.5.4
Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por Fase
Para esta análise é utilizada uma LT de 500 kV, quatro condutores por fase, do sistema de
Furnas, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.35 [38].
Figura 4.35: Configuração dos Condutores da LT 500 kV - Furnas
Esta configuração é denominada por alguns autores de configuração triângulo e é fruto de estudos relacionados ao melhoramento do comportamento do sistema de transmissão com relação
as perdas ocasionadas por Efeito Corona e capacidade de transmissão do sistema. A Tabela
4.30 resume os parâmetros e distâncias utilizadas ao longo do processo de otimização.
Tabela 4.30: Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização
VF F [kV ]
ns
dmf [m]
dmmf [m]
xe [m]
xd [m]
hmin [m]
hmáx [m]
500
3
CV - CP
10 - 5,5
0,90
-7,98
7,98
8,50
26,95
Na Tabela 4.30, apresenta-se o nı́vel de tensão adotado(VF F ), o número de condutores por
fase (ns ), a distância mı́nima entre fases diferentes(dmf); a distância mı́nima entre condutores
da mesma fase(dmmf ), os limites laterais (xe e xd ) e limites verticais (hmin e hmáx ).
70
Capı́tulo 4. Resultados
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo Com Alturas dos Condutores
Fixas
Adota-se na análise a seguir, uma distância mı́nima entre fases mı́nima(dmf) de 5, 5 m e uma
distância entre condutores de mesma fase(dmmf) de 0, 9 m. Adota-se nesta primeira análise um
passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 5. As posições sugeridas pelo processo de minimização
e o campo elétrico ao nı́vel do solo obtidos podem ser observados na Tabela 4.31.
Tabela 4.31: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
x1 [m]
x2 [m]
x3 [m]
x4 [m]
x5 [m]
x6 [m]
x7 [m]
x8 [m]
x9 [m]
x10 [m]
x11 [m]
x12 [m]
Emáx
[V/m]
1
200
-7,975
-6,995
-7,025
-5,831
-7,025
-4,998
-7,975
-7,567
-0,475
-1,985
0,475
0,4216
0,475
2,132
-0,475
-0,292
7,025
6,213
7,975
7,448
7,975
6,531
7,025
5,249
5234
3963,5
Tem-se na Tabela anterior, na primeira coluna a indicação da iteração considerada, nas colunas intermediárias as posições horizontais sugeridas pelo algoritmo e na última coluna o campo
máximo ao nı́vel do solo obtido. A configuração ótima sugerida e os perfis do campo elétrico
obtido, podem ser observados nas Figuras 4.36 e 4.37, respectivamente.
Figura 4.36: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.37: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
Verifica-se a partir da Figura 4.36 que a configuração sugerida atende as restrições do algoritmo. Nota-se pequenas mudanças nas posições dos condutores que apontam para uma
tendência de maior compactação da linha de transmissão. Nota-se na Figura 4.37 que o perfil
do campo elétrico original é apresentado por meio das ◦, enquanto que o campo elétrico resultante é representado pela linha contı́nua clara. Na Figura 4.37 nota-se que há melhorias no
perfil do campo elétrico ao nı́vel do solo com relação aos máximos apresentados anteriormente
4.5. Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
71
e uma pequena piora com relação ao mı́nimo apresentado inicialmente.
A configuração original é uma configuração tı́pica dos sistemas de Furnas em 500 kV e é fruto
de pesquisas realizadas entre pesquisadores de Furnas e do CEPEL [38]. No entanto, acredita-se
já se tratar de uma configuração com dimensões da linha e localizações dos condutores já obtidos
através de algum processo de otimização utilizado pelos projetistas.
Resultados adicionais para este caso são obtidos considerando-se a mesma distância entre
fases diferentes(dmf) de 5, 5 m e uma distância entre condutores da mesma fase(dmmf) igual a
0, 475 m. Neste caso é adotado um passo da Seção Áurea de 0, 5. As posições dos condutores
sugeridas ao longo do processo de minimização e o campo máximo obtido podem ser observados
no Apêndice G.
Após a realização destas duas simulações falta averiguar qual o efeito de se permitir que a
altura dos condutores também seja determinada pelo processo de minimização. Esta verificação
é realizada na próxima seção.
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo Com Alturas dos Condutores
Variáveis
Considera-se o mesmo sistema de quatro condutores descrito anteriormente. Adota-se uma
altura dos condutores variável de 8, 5 a 26, 95 m. De maneira análoga à simulação feita com
altura não variável é adotado uma distância entre condutores de fases diferentes(dmf) de 5, 5
m e uma distância entre condutores da mesma fase(dmmf) de 0, 90 m. São testados diversos
valores do passo do algoritmo da Seção Áurea, dentre os valores testados o valor que conduz a
uma solução em que as restrições são respeitadas é de 0, 01. As posições sugeridas e o campo
elétrico máximo obtido, ao longo do processo de otimização, podem ser observados na Tabela
4.32.
Tabela 4.32: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
200
Iteração
1
200
x1 [m]
x2 [m]
x3 [m]
x4 [m]
x5 [m]
-7,975
-7,579
-7,025
-6,282
-7,025
-6,619
-7,975
-7,866
-0,475
-0,482
h1 [m]
h2 [m]
h3 [m]
h4 [m]
h5 [m]
h6 [m]
h7 [m]
18,45
18,846
18,45
19,193
17,5
17,905
17,5
17,609
25,95
25,943
25,95
26,328
25
24,987
x6 [m]
0,475
0,853
x7 [m]
0,475
0,461
x8 [m]
-0,475
-0,875
h8 [m]
25
24,6
x9 [m]
7,025
6,935
h9 [m]
18,45
18,36
x10 [m]
x11 [m]
x12 [m]
Emáx
[V/m]
7,975
7,968
7,975
7,889
7,025
6,753
5237,3
4301,8
h10 [m]
h11 [m]
h12 [m]
Emáx
[V/m]
18,45
18,444
17,5
17,415
17,5
17,228
5237,3
4301,8
Tem-se na Tabela 4.32, na primeira coluna a indicação da iteração considerada e na última
coluna tem-se o valor de campo elétrico máximo ao nı́vel do solo obtido na respectiva iteração.
72
Capı́tulo 4. Resultados
Na mesma Tabela, nas linhas 02 e 03, tem-se as posições horizontais, e nas linhas 05 e 06 as
posições verticais, sugeridas. A configuração ótima sugerida e os perfis do campo elétrico ao
nı́vel do solo obtidas podem ser observados nas Figuras 4.38 e 4.39, respectivamente.
Figura 4.38: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.39: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
Na Figura 4.38 verifica-se uma pequena variação da posição dos condutores. Isto já é esperado em função do passo pequeno adotado pelo algoritmo de otimização. Na Figura 4.39 nota-se
uma pequena redução do perfil do campo ao nı́vel do solo e uma pequena elevação do valor
mı́nimo do campo elétrico.
Adota-se a seguir uma distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) de 5 m e mantém-se a
distância entre subcondutores(dmmf) sendo 0, 90 m. Neste caso o passo do algoritmo da Seção
Áurea adotado é de 0, 05. As posições dos condutores sugeridas pelo processo de minimização
e o campo elétrico máximo obtido podem ser observados no Apêndice G.
Uma análise entre os nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do solo obtidos anteriormente nesta
seção e o limite estabelecido por norma pode ser verificado na Tabela 4.33. A Análise 01 e 02
realizadas com altura fixa, consideram passo da Seção Áurea de 0, 5, distância mı́nima entre
fases diferentes(dmf) de 5, 5 m, e distância mı́nima entre condutores de mesma fase(dmmf) de
0, 9 e 0, 475 m, respectivamente. Nas Análises 01 e 02 com altura variável, tem-se passo da Seção
Áurea de 0, 01 e 0, 05, respectivamente. As distâncias mı́nimas entre condutores de mesma fase
adotadas é de 0, 90 m nos dois casos e adota-se uma distância mı́nima entre fases diferentes de
5, 5 e 5, 0 m, respectivamente.
Por meio da Tabela 4.33 nota-se que todos os perfis de campos elétricos ao nı́vel do solo
originais e otimizados estão abaixo do valor limite estabelecido pela NBR 5422. No entanto,
caso seja adotado como referência os valores apresentados na proposta da NBR 15145, verifica-se
que há uma pequena violação para este sistema de quatro condutores por fase.
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
73
Tabela 4.33: Relação entre Valores Calculados e da Norma NBR 5422 para o Campo Elétrico
ao Nı́vel do Solo
Altura Fixa
Altura Variável
Emáx Original
[kV/m]
Emáx Otimizado
[kV/m]
Emáx Original
[kV/m]
Emáx Otimizado
[kV/m]
Emáx Referência
[kV/m]
Análise 01
4,2442
3,9635
4,2442
4,3018
5
Análise 02
4,2442
3,9127
4,2442
4,2361
5
4.6
Minimização do Campo Elétrico Superficial
A minimização do campo elétrico superficial é realizada primeiramente considerando-se a
altura dos condutores fixa. Em seguida, implementa-se a minimização com a altura dos condutores variável. São minimizados nas próximas seções os campos elétricos superficiais de linhas
de transmissão com um, dois, três e quatro condutores por fase.
Durante o processo de minimização, o campo elétrico superficial é calculado ao longo de
toda a superfı́cie de cada um dos condutores, de cada uma das linhas de transmissão. O campo
elétrico é obtido em 360 pontos, ou seja, o campo elétrico superficial é calculado a cada 1 grau
ao longo da circunferência do condutor. Utiliza-se o método das Imagens Sucessivas de primeira
ordem, descrito em detalhes no capı́tulo 3, para se obter o campo elétrico superficial em cada
um dos pontos considerados.
Uma vez que são analisadas os nı́veis de campos elétricos superficiais em cada um dos condutores dos sistemas de transmissão, opta-se por uma avaliação dos nı́veis de campos elétricos
superficiais obtidos com relação ao campo elétrico crı́tico. Este campo crı́tico é obtido através
da fórmula empı́rica de Peek [18], mostrada no capı́tulo 3. Espera-se que os sistemas otimizados
apresentem um campo elétrico superficial máximo inferior ao campo elétrico crı́tico, para que se
tenha deste modo um comportamento satisfatório com relação a ocorrência do Efeito Corona.
Uma breve discussão a respeito do campo elétrico superficial e do Efeito Corona é apresentado
no Apêndice H.
O custo computacional envolvido em cada uma das simulações realizadas é apresentada ao
longo das seções a seguir. O estudo da viabilidade técnica e econômica das soluções ótimas
sugeridas pelo processo de otimização implementado não são realizadas nesta dissertação.
74
4.6.1
Capı́tulo 4. Resultados
Caso 01: Configuração com Um Condutor por Fase
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores Fixas
Para esta análise é utilizada a LT de 138 kV da Cemig, com um condutor por fase, cuja
configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.40 [35].
Figura 4.40: Configuração dos Condutores da LT 138 kV - CEMIG
Os parâmetros e distâncias considerados ao longo do processo de otimização podem ser observados na Tabela 4.34. Os parâmetros que são utilizados nesta seção, são: nı́vel de tensão
adotado(VF F ), número de condutores por fase (ns ), distância mı́nima entre fases diferentes adotadas(dmf), limites laterais (xe e xd ) e limites verticais (Hmin e Hmáx ).
Tabela 4.34: Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização
VF F [kV ]
ns
dmf [m]
xe [m]
xd [m]
Hmin[m]
Hmáx[m]
145
1
1,5 - 1,2
-3
3
7
15,01
Nesta primeira análise, a altura do condutor é mantida fixa. Adota-se uma distância mı́nima
entre fases(dmf) de 1, 5 m e um passo do Algoritmo de Otimização de 0, 1. A posição sugerida
e o campo máximo superficial obtido podem ser observados na Tabela 4.35. Tem-se na Tabela
a seguir, na primeira coluna a iteração considerada, da segunda até a quarta coluna são apresentadas as posições horizontais sugeridas, e nas três últimas colunas são apresentados o campo
elétrico superficial máximo obtido em cada um dos condutores. O algoritmo gasta 1 minuto e
43 segundos para convergir neste caso.
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
75
Tabela 4.35: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
100
x1 [m]
-3
-3,5496
x3 [m]
x2 [m]
0
-0,3426
3
2,9843
E1máx
[kV/cm]
14,996
14,983
E2máx
[kV/cm]
16,14
16,142
E3máx
[kV/cm]
14,99
14,982
A partir da Tabela 4.35, verifica-se que o algoritmo coloca um dos condutores fora do limite
dado por xe. Ao se observar os máximos obtidos ao longo da superfı́cie de cada um dos condutores dados pela Tabela 4.35, não se tem uma noção exata da modificação realizada no perfil
do campo elétrico superficial resultante. A configuração ótima sugerida pode ser observada na
Figura 4.41.
Figura 4.41: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.42: Campo Elétrico Superficial Condutor 01
Logo, nas Figuras 4.42, 4.43 e 4.44 mostra-se os perfis dos campos elétricos superficiais das
configurações antes e após a aplicação do processo de minimização. A linha mais espessa formada por ◦ indica o perfil do campo elétrico superficial original do sistema. Já a linha contı́nua
mais clara indica o perfil do campo elétrico superficial otimizado.
Verifica-se a partir das Figuras 4.42, 4.43 e 4.44 que o processo de minimização fornece uma
configuração que apresenta um perfil do campo elétrico superficial ligeiramente menor do que
a do sistema original. Resultados adicionais para este caso, com vistas a obtenção de uma
configuração que atenda as restrições, podem ser observadas no Apêndice I.
Surge o questionamento do efeito sob os nı́veis de campos elétricos superficiais se for permitido ao algoritmo que altere as alturas originais dos condutores. Na próxima seção esta
possibilidade é estudada.
76
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.43: Campo Elétrico Superficial - Figura 4.44: Campo Elétrico Superficial Condutor 02
Condutor 03
Minimização do Campo Elétrico Superficial Com Alturas dos Condutores Variáveis
Nesta análise considera-se a mesma configuração inicial estudada anteriormente considerando
agora a altura dos condutores variáveis. É permitido a altura variar de 7 a 15, 01 m. Considerase, nesta análise inicial, uma distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) de 1, 2 m e passo do
algoritmo da Seção Áurea de 0, 01. As posições sugeridas e o campo elétrico superficial máximo
obtidos ao longo do processo de minimização podem ser observados na Tabela 4.36.O algoritmo
gasta 1 minuto e 23 segundos para convergir neste caso.
Tabela 4.36: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
100
x1 [m]
-3
-3,0262
x2 [m]
0
-0,02058
x3 [m]
3
2,9983
h1 [m]
14,01
13,984
h2 [m]
14,01
13,989
h3 [m]
14,01
14,008
E1máx
[kV/cm]
14,996
14,977
E2máx
[kV/cm]
16,14
16,129
E3máx
[kV/cm]
14,99
14,974
Na Tabela 4.36, tem-se na primeira coluna a indicação da iteração considerada. Nas colunas
2 até 4 tem-se as posições horizontais sugeridas e nas colunas 5 a 7 as posições verticais também
sugeridas. As três ultimas colunas indicam os campos elétricos superficiais máximos obtidos em
cada um dos condutores. A configuração ótima sugerida pelo processo de otimização pode ser
observada na Figura 4.45.
Nota-se a partir da Figura 4.45 que houve uma redução da altura dos condutores. Tal redução respeita a altura mı́nima dada pela NBR 5422 que é de 7 m para sistemas de 138 kV
nominais [21]. Os perfis do campo elétrico superficial em cada um dos condutores podem ser
observados nas Figuras 4.46, 4.47 e 4.48.
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
77
Figura 4.46: Campo Elétrico Superficial Figura 4.45: Configuração Ótima Sugerida Condutor 01
Figura 4.47: Campo Elétrico Superficial - Figura 4.48: Campo Elétrico Superficial Condutor 02
Condutor 03
Verifica-se que a configuração sugerida pelo processo de otimização, dada pela Figura 4.45,
acarreta em redução dos nı́veis de campos elétricos superficiais em todos os condutores do sistema sob análise.
Resultados adicionais para este caso são obtidos, mantém-se as mesmas distâncias adotadas
anteriormente, no entanto é adotado um passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 1. As posições
sugeridas pelo processo de minimização e o campo elétrico superficial máximo obtido podem ser
observados no Apêndice I.
É realizada uma análise de sensibilidade do algoritmo de minimização e verifica-se que para
valores de passo do algoritmo da Seção Áurea superiores a 0, 1 obtém-se reduções mais significativas dos perfis dos campos elétricos superficiais. No entanto, nestes casos as configurações
sugeridas não respeitam as restrições do problema, violam fortemente as restrições. Isto ocorre
em função do passo adotado no processo de minimização, que faz com que as funções barreiras
78
Capı́tulo 4. Resultados
não atuem corretamente.
Uma relação das magnitudes de campos elétricos superficiais obtidos e o campo elétrico
crı́tico máximo para esta configuração, apresentada no Apêndice H, pode ser observada na
Tabela 4.37.
Tabela 4.37: Relação entre Valores de Campos Elétricos Superficiais Máximos e Crı́ticos
Condutor
1
2
3
Emáx Crı́tico
[kV/cm]
Emáx Sup. Original [kV/cm]
15, 008
16,161
15,008
40,094
Altura Fixa
Análise 01
Emáx Sup. Otimizado [kV/cm]
14, 983
16,142
14,982
40,094
Análise 02
Emáx Sup. Otimizado [kV/cm]
14, 982
16,142
14,986
40,094
Altura Variável
Análise 01
Emáx Sup. Otimizado [kV/cm]
14, 977
16,129
14,974
40,094
Análise 02
Emáx Sup. Otimizado [kV/cm]
14, 756
15,889
14,809
40,094
Verifica-se, a partir da Tabela 4.37 que os valores máximos dos campos elétricos superficiais
estão abaixo do valor obtido pela expressão de Peek [1]. Nota-se também que os nı́veis de campos elétricos superficiais otimizados apresentam reduções em relação aos nı́veis originais.
4.6.2
Caso 02: Configuração com Dois Condutores por Fase
Para esta análise é utilizada a LT São Gotardo 02 - Três Marias de 345 kV da Cemig, dois
condutores por fase, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.49 [36].
As dimensões e parâmetros que são utilizados pelo algoritmo de otimização do campo elétrico,
podem ser observados na Tabela 4.38.
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
79
Figura 4.49: Configuração Original - LT 345 kV
Tabela 4.38: Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização
VF F [kV ]
ns
dmf [m]
dmmf [m]
xe [m]
xd [m]
hmin [m]
hmáx [m]
362
2
8,1
0,225
-10,59
10,36
8,10
15,29
Os parâmetros e distâncias considerados ao longo do processo de minimização podem ser
observados na Tabela 4.38. Os parâmetros que são utilizados nesta seção, são: nı́vel de tensão
adotado(VF F ), número de condutores por fase (ns ), distância mı́nima entre fases diferentes adotadas(dmf), distância mı́nima entre condutores de mesma fase(dmmf), limites laterais (xe e xd )
e limites verticais (hmin e hmáx ).
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores Fixas
Inicialmente os condutores são considerados com altura fixa durante todo o processo de minimização. Adota-se nesta primeira análise uma distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) de
8, 10 m e uma distância entre condutores de mesma fase(dmmf) de 0, 225. O passo do algoritmo
da Seção Áurea adotado é de 0, 01. Nesta seção adota-se um critério de precisão inferior aos
adotados anteriormente para obter uma convergência mais rápida dos sistemas analisados.
As posições sugeridas pelo processo de otimização e os campos elétricos superficiais máximos
obtidos podem ser observados na Tabela 4.39. O algoritmo gasta 20 segundos para convergir
neste caso.
Na Tabela 4.39 tem-se na primeira coluna a indicação da iteração considerada. Nas linhas
2 e 3 tem-se as posições horizontais sugeridas e nas linhas 5 e 6 as posições verticais sugeridas.
A configuração ótima sugerida e uma vista em detalhe de uma das fases podem ser observadas
80
Capı́tulo 4. Resultados
Tabela 4.39: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
6
Iteração
1
6
x1 [m]
-10,479
-10,458
E1máx
[kV/cm]
30,666
14,753
x3 [m]
x2 [m]
-10,250
-10,26
-0,228
-0,213
E2máx
[kV/cm]
20,896
15,575
0
-0,015
E3máx
[kV/cm]
15,650
14,458
x4 [m]
E4máx
[kV/cm]
14,925
14,457
x5 [m]
10,022
10,023
E5máx
[kV/cm]
14,566
15,556
x6 [m]
10,250
10,241
E6máx
[kV/cm]
15,367
14,613
nas Figuras 4.50 e 4.51.
Figura 4.50: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.51: Vista Ampliada da Fase 01
Verifica-se a partir das Figuras 4.50 e 4.51 que a configuração resultante não extrapola os
limites laterais xe e xd considerados. Os perfis de campos elétricos superficiais obtidos a partir
da configuração ótima sugerida podem ser verificadas nas Figuras a seguir.
Nota-se na Figura 4.52 que o perfil do campo elétrico original é dado pela linha formada por
◦. A linha contı́nua mais clara indica o perfil do campo elétrico otimizado.
Verifica-se a partir das Figuras 4.52 e 4.53 que há na fase 01 uma diminuição dos máximos
e uma elevação dos mı́nimos ao longo dos perfis dos campos elétricos superficiais observados.
Verifica-se nas Figuras 4.54 e 4.55 que nesta fase há uma redução significativa dos máximos
observados na configuração original.
O comportamento do campo elétrico superficial da fase três é semelhante ao observado para
a fase 01, ou seja, obteve-se uma redução dos máximos e uma elevação dos mı́nimos. Diante dos
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
Figura 4.52: Campo Elétrico Superficial Condutor 01
81
Figura 4.53: Campo Elétrico Superficial Condutor 02
Figura 4.54: Campo Elétrico Superficial - Figura 4.55: Campo Elétrico Superficial Condutor 03
Condutor 04
Figura 4.56: Campo Elétrico Superficial - Figura 4.57: Campo Elétrico Superficial Condutor 05
Condutor 06
82
Capı́tulo 4. Resultados
resultados apresentados, opta-se em se realizar mais uma simulação com dimensões mais compactas entre fases e menos compactas entre os condutores de uma mesma fase para se observar
a minimização que é obtida.
Resultados adicionais são obtidos para este caso, adota-se um passo do algoritmo de minimização de 0, 1. A distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) adotada é de 7 m e a distância
mı́nima entre subcondutores(dmmf) é de 0, 45 m. As posições sugeridas ao longo do processo
de minimização e os campos máximos obtidos podem ser observados no Apêndice I.
Diante das simulações realizadas para o caso com dois condutores por fase surge o questionamento do efeito de se permitir que o processo de otimização determine a altura dos condutores
resultante.
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores Variáveis
A configuração para a minimização do campo elétrico superficial com alturas dos condutores variáveis é a mesma considerada a pouco com altura não variável. A variação da altura
considerada é de 8, 10 a 15, 29 m. Adota-se como distância mı́nima entre fases diferentes(dmf)
8, 1 m e como distância mı́nima entre condutores da mesma fase (dmmf) 0, 225 m. As posições
sugeridas e o campo elétrico superficial máximo obtidos ao longo do processo de minimização
com o passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 1, podem ser observados na Tabela 4.40. O
algoritmo gasta 35, 5 segundos para convergir neste caso.
Tabela 4.40: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
8
Iteração
1
8
Iteração
1
8
x1 [m]
-10,479
-10,168
h1 [m]
14,29
14,60
E1máx
[kV/cm]
20,896
13,624
x2 [m]
-10,250
-10,459
h2 [m]
14,29
14,081
E2máx
[kV/cm]
15,65
14,561
x3 [m]
-0,228
-0,2823
h3 [m]
14,29
14,236
E3máx
[kV/cm]
14,925
14,075
x4 [m]
0
0,0534
h4 [m]
14,29
14,343
E4máx
[kV/cm]
14,566
14,072
x5 [m]
10,022
9,8331
h5 [m]
14,29
14,102
E5máx
[kV/cm]
15,367
14,658
x6 [m]
10,250
10,431
h6 [m]
14,29
14,471
E6máx
[kV/cm]
30,666
13,745
Nota-se na Tabela 4.40, que na primeira coluna é apresentada a iteração considerada, nas
linhas 2 e 3 as posições horizontais sugeridas são apresentadas, nas linhas 5 e 6 tem-se as posições
verticais sugeridas e nas linhas 8 e 9 os campos elétricos superficiais máximos obtidos em cada
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
83
condutor. A configuração ótima sugerida pode ser observada na Figura 4.58 e uma vista ampliada da fase 01 pode ser verificada na Figura 4.59.
Figura 4.58: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.59: Vista Ampliada da Fase 01
Verifica-se a partir da Tabela 4.40 que o algoritmo sugere que o condutor 02 da fase 01 troque
de lugar com o condutor 01. Nota-se a partir da Figura 4.58 que um dos condutores da Fase
03 extrapola o limite direito em poucos centimetros. Os perfis dos campos elétricos superficiais
obtidos podem ser observados nas Figuras 4.60 a 4.65.
Figura 4.60: Campo Elétrico Superficial Condutor 01
Figura 4.61: Campo Elétrico Superficial Condutor 02
Verifica-se a partir das Figuras 4.60 e 4.61 que através do método de minimização implementado consegue-se para os condutores da fase 01 uma variação bem menor dos nı́veis de campos
elétricos superficiais observados.
Verifica-se nas Figuras 4.62 e 4.63 que na fase central consegue-se por meio da minimização
implementada obter uma redução dos campos elétricos superficiais máximos existentes na con-
84
Figura 4.62: Campo Elétrico Superficial Condutor 03
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.63: Campo Elétrico Superficial Condutor 04
figuração original.
Figura 4.64: Campo Elétrico Superficial Condutor 05
Figura 4.65: Campo Elétrico Superficial Condutor 06
Nota-se nas Figuras 4.64 e 4.65 que na fase 03 há uma redução menos expressiva dos máximos observados na configuração original. Verifica-se nesta fase uma diminuição da variação do
perfil do campo elétrico superficial apresentado.
Uma segunda análise, para a mesma configuração de dois condutores por fase é realizada.
Adota-se no entanto uma distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) de 7 m e uma distância
mı́nima entre condutores da mesma fase (dmmf) de 0, 45 m. O passo do algoritmo da Seção
Áurea adotado é de 0, 1. As posições sugeridas ao longo do processo de minimização e o campo
elétrico superficial máximo calculado podem ser observados no Apêndice I.
Com o intuito de se verificar o comportamento da linha de transmissão com relação ao Efeito
Corona, uma relação entre os perfis de campos elétricos superficiais obtidos e o campo elétrico
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
85
crı́tico, obtido a partir do Apêndice H, é apresentado na Tabela 4.41.
Tabela 4.41: Relação entre Valores de Campos Elétricos Superficiais Máximos e Crı́ticos
Condutor
1
2
3
4
5
6
Emáx Crı́tico
[kV/cm]
Emáx Sup. Original
[kV/cm]
14, 990
15,221
16,103
16,098
15,224
14,997
38,158
Altura Fixa
Análise 01
Emáx Sup. Otimizado
[kV/cm]
14, 753
15,575
14,458
14,457
15,556
14,613
38,158
Análise 02
Emáx Sup. Otimizado
[kV/cm]
13, 884
14,786
14,378
14,376
14,764
13,856
38,158
Altura Variável
Análise 01
Emáx Sup. Otimizado
[kV/cm]
13, 624
14,561
14,075
14,072
14,658
13,745
38,158
Análise 02
Emáx Sup. Otimizado
[kV/cm]
13, 641
14,574
14,374
14,374
14,630
13,713
38,158
Nota-se pela observação da Tabela 4.41 que os valores dos campos elétricos superficiais
resultantes são inferiores ao campo elétrico crı́tico, obtido para os condutores desta linha de
transmissão.
4.6.3
Caso 03: Configuração com Três Condutores por Fase
Para esta análise é utilizada a LT São Gonçalo do Pará - Ouro Preto de 500 kV da Cemig,
três condutores por fase, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.66 [37].
As distâncias mı́nimas e máximas adotadas pelo processo de otimização implementado podem ser observadas na Tabela 4.42. Nota-se duas distâncias(dmf) entre condutores de fases
diferentes sendo mostradas. Sendo CV a distância convencional e CP a distância adotada por
um sistema compacto, obtido da referência [15].
86
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.66: Configuração Original - LT 500 kV
Tabela 4.42: Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização
VF F [kV ]
ns
dmf [m]
dmmf [m]
xe [m]
xd [m]
hmin [m]
hmáx [m]
525
3
CV - CP
10 - 5,5
0,35
-10,47
10,47
8,50
17,76
Os parâmetros e distâncias considerados ao longo do processo de minimização podem ser
observados na Tabela 4.42. Os parâmetros que são utilizados nesta seção, são: nı́vel de tensão
adotado(VF F ), número de condutores por fase (ns ), distância mı́nima entre fases diferentes adotadas(dmf), distância mı́nima entre condutores de mesma fase(dmmf), limites laterais (xe e xd )
e limites verticais (hmin e hmáx ).
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores Fixas
Uma primeira análise do campo elétrico superficial da LT de três condutores por fase com
altura dos condutores fixa durante o processo de minimização é apresentada a seguir. Considerase uma distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) de 8, 5 m e uma distância mı́nima entre
condutores de mesma fase(dmmf) de 0, 35 m. As posições sugeridas pelo processo de otimização implementado, considerando-se um passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 25 e o campo
elétrico superficial máximo obtido em cada condutor podem ser observados na Tabela 4.43. O
algoritmo gasta 1 minuto e 31 segundos para convergir neste caso.
Na Tabela 4.43, as iterações consideradas estão na primeira coluna. Na mesma Tabela, nas
linhas 2 e 3 são apresentadas as posições horizontais sugeridas pela otimização. E nas linhas 5
e 6 os campos elétricos superficiais máximos são apresentados. A configuração ótima sugerida e
uma vista ampliada da fase 01 podem ser observadas nas Figuras 4.67 e 4.68, respectivamente.
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
87
Tabela 4.43: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
6
-10,479
-10,323
Iteração
1
6
x1 [m]
E1máx
[kV/cm]
53,738
15,932
x2 [m]
-10,25
-10,555
E2máx
[kV/cm]
17,62
17,455
x3 [m]
-10,022
-9,6225
E3máx
[kV/cm]
17,011
16,415
x4 [m]
-0,2285
-0,2182
E4máx
[kV/cm]
14,84
14,913
x5 [m]
0
0,0001
E5máx
[kV/cm]
15,662
15,671
x6 [m]
0,2285
0,2186
E6máx
[kV/cm]
14,867
14,933
x7 [m]
10,022
9,8263
E7máx
[kV/cm]
16,997
16,758
x8 [m]
10,25
10,428
E8máx
[kV/cm]
17,633
17,541
x9 [m]
10,479
10,245
E9máx
[kV/cm]
73,77
16,1965
Nota-se nestas Figuras que o perfil do campo elétrico superficial original é dado por uma linha
formada por ◦. Enquanto que o perfil do campo elétrico otimizado é dado pela linha contı́nua
mais fina.
Figura 4.67: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.68: Vista Ampliada da Fase 01
Os perfis dos campos elétricos superficiais de cada um dos condutores antes e após o processo de minimização do campo elétrico superficial podem ser observados nas Figuras 4.69 a 4.76.
Verifica-se na Figura 4.70 que no condutor 02, ou seja, no condutor central da fase 01, que
não há redução do campo elétrico superficial. No entanto, os condutores 01 e 03 da fase 01,
apresentam uma redução dos nı́veis de campos elétricos superficiais máximos, mostrados nas
Figuras 4.69 e 4.71.
Nota-se que nos condutores da fase 02, ou seja, nas Figuras 4.72, 4.73 e 4.74, que há uma
redução considerável nos nı́veis de campos elétricos máximos superficiais obtidos em cada um
dos condutores da fase central.
Por meio das Figuras 4.75, 4.76 e 4.77 nota-se um comportamento dos campos elétricos
88
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.69: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 01
Figura 4.70: Campo Elétrico Superficial Condutor 02 - Fase 01
Figura 4.71: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 01
Figura 4.72: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 02
Figura 4.73: Campo Elétrico Superficial Condutor 02 - Fase 02
Figura 4.74: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 02
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
Figura 4.75: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 03
89
Figura 4.76: Campo Elétrico Superficial Condutor 02 - Fase 03
Figura 4.77: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03
superficiais máximos observados semelhantes aos observados para os condutores da fase 01.
Nota-se uma redução dos perfis dos campos elétricos dos condutores laterais e aumento do perfil
do campo elétrico superficial no condutor central da fase 03.
Resultados adicionais para este caso, são obtidos no Apêndice I, adota-se uma distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) de 5, 5 m e uma distância mı́nima entre condutores de mesma
fase (dmmf) de 0, 65 m e um passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 2.
Após a realização das análises anteriores surge o questionamento do efeito de se permitir que
o algoritmo varie a posição vertical dos condutores ao longo do processo de minimização.
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores Variáveis
A configuração para a minimização do campo elétrico superficial com altura dos condutores
variável é a mesma considerada a pouco com altura não variável. A altura é permitido variar
90
Capı́tulo 4. Resultados
de 8, 50 a 17, 76 m. É adotado nesta primeira análise com altura variável uma distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) de 8, 5 m e uma distância mı́nima entre condutores da mesma
fase(dmmf) de 0, 35 m. O passo do algoritmo da Seção Áurea adotado é de 0, 1. As posições
sugeridas ao longo do processo de minimização e os campos elétricos superficiais máximos obtidos podem ser observados na Tabela 4.44. O algoritmo gasta 1 minuto e 57 segundos para
convergir neste caso.
Tabela 4.44: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
1
7
Iteração
1
7
Iteração
1
7
x1 [m]
x2 [m]
-10,479
-10,506
-10,25
-10,141
h1 [m]
h2 [m]
x3 [m]
-10,022
-10,007
h3 [m]
x4 [m]
-0,2285
-0,2474
h4 [m]
x5 [m]
0
0,0186
h5 [m]
x6 [m]
0,2285
0,2287
h6 [m]
x7 [m]
10,022
10,013
h7 [m]
x8 [m]
10,25
10,161
h8 [m]
x9 [m]
10,479
10,42
h9 [m]
16,53
16,503
16,759
16,868
16,53
16,545
16,53
16,511
16,759
16,777
16,53
16,53
16,53
16,522
16,759
16,669
16,53
16,471
E1máx
[kV/cm]
E2máx
[kV/cm]
E3máx
[kV/cm]
E4máx
[kV/cm]
E5máx
[kV/cm]
E6máx
[kV/cm]
E7máx
[kV/cm]
E8máx
[kV/cm]
E9máx
[kV/cm]
53,739
20,799
17,62
22,7197
17,011
20,426
14,84
19,11
15,662
20,699
14,867
18,684
16,997
20,519
17,633
21,758
73,77
19,878
Nota-se na Tabela 4.44, que na primeira coluna é apresentada a iteração considerada, nas
linhas 2 e 3 as posições horizontais sugeridas são apresentadas, nas linhas 5 e 6 tem-se as
posições verticais sugeridas e nas linhas 8 e 9 os campos elétricos superficiais máximos obtidos em cada condutor. A configuração sugerida pelo processo de minimização implementado
e uma vista ampliada da fase 01, podem ser observados nas Figuras 4.78 e 4.79, respectivamente.
Figura 4.78: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.79: Vista Ampliada da Fase 01 Resultante
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
91
A Figura 4.78 mostra que a configuração sugerida atende as restrições estabelecidas inicialmente. Além disso, percebe-se que a solução apresentada consiste numa configuração com
distribuição de condutores em cada fase não simétrica. Os perfis dos campos elétricos superficiais obtidos em cada um dos condutores podem ser observados nas Figuras 4.80 a 4.88.
Figura 4.80: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 01
Figura 4.81: Campo Elétrico Superficial Condutor 02 - Fase 01
Figura 4.82: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 01
Figura 4.83: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 02
Verifica-se a partir das Figuras 4.80 a 4.82 que na fase 01 houve redução em alguns pontos
ao longo do perfil do campo elétrico superficial originalmente observado.
Nota-se a partir das Figuras 4.83 a 4.85 que na fase 02 a redução do campo elétrico superficial obtida é mais significativa do que a obtida para os condutores da fase 01.
Nos condutores da fase 03, obteve-se redução do campo elétrico superficial nos condutores
01 e 03, mostrados nas Figuras 4.86 e 4.88, respectivamente. Enquanto que no condutor dois da
92
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.84: Campo Elétrico Superficial Condutor 02 - Fase 02
Figura 4.85: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 02
Figura 4.86: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 03
Figura 4.87: Campo Elétrico Superficial Condutor 02 - Fase 03
Figura 4.88: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
93
fase 03, mostrado na Figura 4.87 não é possı́vel verificar melhorias do perfil do campo elétrico
superficial apresentado originalmente.
Resultados adicionais para este caso, são apresentados no Apêndice I, considerando-se as
mesmas distâncias mı́nimas entre fases diferentes e entre condutores de mesma fase, adotadas
durante a primeira análise, mas com um passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 2.
Uma terceira simulação para o caso com três condutores por fase é realizada, no entanto
considerando-se uma distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) de 5, 5 m e uma distância
mı́nima entre condutores de mesma fase (dmmf) de 0, 65 m. O passo do algoritmo da Seção
Áurea considerado é de 0, 15. As posições sugeridas ao longo do processo de minimização e o
campo elétrico superficial máximo obtido para cada um dos condutores, podem ser observados
na Tabela 4.45. O algoritmo gasta 2 minutos e 22 segundos para convergir neste caso.
Tabela 4.45: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
9
Iteração
1
9
Iteração
1
9
x1 [m]
x2 [m]
-10,479
-10,659
-10,25
-9,7252
h1 [m]
h2 [m]
x3 [m]
-10,022
-10,217
h3 [m]
x4 [m]
-0,2285
-0,2312
h4 [m]
x5 [m]
0
0,0004
h5 [m]
x6 [m]
0,2285
0,2316
h6 [m]
x7 [m]
10,022
9,8257
h7 [m]
x8 [m]
10,25
10,543
h8 [m]
x9 [m]
10,479
10,214
h9 [m]
16,53
16,35
16,759
17,283
16,53
16,335
16,53
16,527
16,759
16,759
16,53
16,533
16,53
16,334
16,759
17,052
16,53
16,266
E1máx
[kV/cm]
E2máx
[kV/cm]
E3máx
[kV/cm]
E4máx
[kV/cm]
E5máx
[kV/cm]
E6máx
[kV/cm]
E7máx
[kV/cm]
E8máx
[kV/cm]
E9máx
[kV/cm]
53,739
16,069
17,62
17,271
17,011
16,386
14,84
14,959
15,662
15,644
14,867
14,937
16,997
16,627
17,633
17,321
73,77
16,092
A configuração ótima sugerida e uma vista ampliada da fase 01, podem ser observadas nas
Figuras 4.89 e 4.90, respectivamente.
Nota-se que a configuração ótima sugerida apresenta praticamente todos os condutores dentro da área de variação permitida pelo algoritmo, apenas o condutor 01 da fase 01 extrapola o
limite em 0, 02 m, diante das dimensões da faixa de passagem da linha de transmissão este valor
passa a ser desprezı́vel. Os perfis dos campos elétricos superficiais obtidos para cada um dos
condutores podem ser observados nas Figuras 4.91 a 4.99. Nota-se nestas Figuras que o perfil
do campo elétrico superficial original é dado por uma linha espessa formada por ◦. Enquanto
que o perfil do campo elétrico superficial otimizado é dado pela linha contı́nua mais fina.
Verifica-se nas Figuras 4.91 a 4.93 que de maneira semelhante ao que ocorre na análise anterior, há redução no perfil do campo elétrico superficial nos condutores 01 e 03. Enquanto que
94
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.89: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.90: Vista Ampliada da Fase 01 Resultante
Figura 4.91: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 01
Figura 4.92: Campo Elétrico Superficial Condutor 02 - Fase 01
Figura 4.93: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 01
Figura 4.94: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 02
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
95
no condutor 02 não é observado redução do perfil do campo elétrico superficial.
Figura 4.95: Campo Elétrico Superficial Condutor 02 - Fase 02
Figura 4.96: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 02
Na fase 02, os perfis dos campos elétricos superficiais observados nas Figuras 4.94 a 4.96
apresentam redução expressiva em relação ao campo elétrico originalmente obtido.
Figura 4.97: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 03
Figura 4.98: Campo Elétrico Superficial Condutor 02 - Fase 03
Embora a fase 03 resultante apresente configuração diferente da fase 01 obtida nota-se que
houve um comportamento semelhante dos perfis de campos elétricos superficiais observados.
Nota-se redução dos nı́veis de campos elétricos superficiais nos condutores 01 e 03 da fase 03 e
elevação no condutor 02.
Na Tabela 4.46 se relaciona os máximos campos elétricos superficiais obtidos com o campo
elétrico crı́tico calculado em função do raio do condutor adotado.
96
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.99: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03
Verifica-se neste caso, a partir dos dados da Tabela 4.46, que o campo elétrico superficial
máximo não é superior ao campo elétrico crı́tico. No entanto, conforme descrito no capı́tulo 3,
é desejado que para que o sistema tenha um comportamento satisfatório com relação as perdas
por Efeito Corona que se tenha um campo elétrico superficial máximo inferior a 17 kV/cm, o
que não ocorre em alguns dos condutores deste sistema.
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
97
Tabela 4.46: Relação entre Valores de Campos Elétricos Superficiais Máximos e Crı́ticos
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Emáx
Crı́tico
[kV/cm]
Emáx Sup.
Original
[kV /cm]
17, 523
15,951
18,020
18,556
17,528
19,176
17,358
16,134
17,489
38,158
Altura Fixa
Análise 01
Emáx Sup.
Otimizado
[kV/cm]
15,932
17,455
16,415
14,913
15,671
14,933
16,758
17,541
16,196
38,158
Análise 02
Emáx Sup.
Otimizado
[kV/cm]
16,563
18,566
16,364
14,891
16,560
14,370
16,816
18,104
16,173
38,158
Altura Variável
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Emáx
Crı́tico
[kV /cm]
Análise 01
Emáx Sup.
Otimizado
[kV /cm]
20,799
22,719
20,426
19,110
20,699
18,684
20,519
21,758
19,878
38,158
Análise 02
Emáx Sup.
Otimizado
[kV /cm]
16,007
17,295
16,332
14,607
15,676
14,729
16,503
17,302
15,975
38,158
Análise 03
Emáx Sup.
Otimizado
[kV /cm]
16,269
17,476
16,622
14,809
15,541
14,849
16,924
17,552
16,427
38,158
4.6.4
Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por Fase
Para esta análise é utilizada uma LT de 500 kV, quatro condutores por fase, do sistema de
Furnas, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura 4.100 [38].
Esta configuração denominada por alguns autores de configuração triângulo é fruto de estu-
98
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.100: Configuração dos Condutores da LT 500 kV - Furnas
dos relacionados ao melhoramento do comportamento do sistema de transmissão com relação
ao Efeito Corona e de melhoramento com relação a capacidade de transmissão do sistema. A
Tabela 4.47 resume os parâmetros e distâncias utilizadas ao longo do processo de otimização.
Tabela 4.47: Distâncias e Parâmetros Adotados pelo Processo de Otimização
VF F [kV ]
ns
dmf [m]
dmmf [m]
xe [m]
xd [m]
hmin [m]
hmáx [m]
525
4
CV - CP
10 - 5,5
0,90
-7,98
7,98
8,50
26,95
Os parâmetros e distâncias considerados ao longo do processo de otimização podem ser observados na Tabela 4.47. Os parâmetros que são utilizados nesta seção, são: nı́vel de tensão
adotado(VF F ); número de condutores por fase (ns ); distância mı́nima entre fases diferentes adotadas(dmf); distância mı́nima entre condutores de mesma fase(dmmf); limites laterais (xe e xd )
e limites verticais (hmin e hmáx ).
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores Fixas
A primeira análise do campo elétrico superficial com altura dos condutores fixa é realizada
considerando-se uma distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) de 5, 5 m e uma distância
mı́nima entre condutores de mesma fase (dmmf) de 0, 90 m. O passo do algoritmo da Seção
Áurea adotado é de 0, 1. As posições sugeridas ao longo do processo de minimização e o campo
elétrico superficial máximo obtido podem ser observados na Tabela 4.48. O algoritmo gasta 3
minutos e 10 segundos para convergir neste caso.
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
99
Tabela 4.48: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
x1 [m]
x2 [m]
x3 [m]
x4 [m]
x5 [m]
x6 [m]
x7 [m]
x8 [m]
x9 [m]
x10 [m]
x11 [m]
x12 [m]
1
7
-7,975
-8,057
-7,025
-7,024
-7,025
-6,950
-7,975
-8,139
-0,475
-0,479
0,475
0,478
0,475
0,478
-0,475
-0,478
7,025
6,964
7,975
8,143
7,975
8,163
7,025
6,874
Iteração
E1máx
E2máx
E3máx
E4máx
E5máx
E6máx
E7máx
E8máx
E9máx
E10máx E11máx E12máx
[kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm]
[kV/cm] [kV/cm] [kV/cm]
1
7
45,027
14,703
14,429
14,234
16,656
15,742
31,68
15,705
16
15,996
14,455
14,39
15,402
15,338
15,078
15,058
17,199
15,747
45,746
15,236
48,576
16,103
15,333
14,943
A configuração ótima sugerida e uma vista ampliada da fase 01 podem ser verificadas nas
Figuras 4.101 e 4.102, respectivamente.
Figura 4.101: Configuração Ótima Sugerida
Figura 4.102: Vista Ampliada da Fase 01 Resultante
Os perfis dos campos elétricos superficiais podem ser observados nas Figuras 4.103 a 4.114.
Verifica-se a partir das Figuras 4.103 a 4.106 que na fase 01, há redução do campo elétrico
superficial nos condutores 02 e 03, enquanto que nos condutores 01 e 04 há redução em pequenas
regiões do perfil do campo elétrico superficial obtido.
Nota-se a partir das Figuras 4.107 a 4.110 que há na fase 02, alteração de todos os perfis
de campos elétricos observados. Em todos os condutores observa-se redução do campo elétrico
superficial máximo, exceto no condutor 01 desta fase.
Na fase 03, cujos perfis de campos elétricos superficiais obtidos são apresentados nas Figuras
4.111 a 4.114, nota-se que há alteração dos perfis dos campos elétricos superficiais originais.
No entanto, em alguns dos condutores a modificação ocasiona em aumento do campo elétrico
100
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.103: Campo Elétrico Superficial - Figura 4.104: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 01
Condutor 02 - Fase 01
Figura 4.105: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 01
Figura 4.106: Campo Elétrico Superficial Condutor 04 - Fase 01
Figura 4.107: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 02
Figura 4.108: Campo Elétrico Superficial Condutor 02 - Fase 02
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
101
Figura 4.109: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 02
Figura 4.110: Campo Elétrico Superficial Condutor 04 - Fase 02
Figura 4.111: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 03
Figura 4.112: Campo Elétrico Superficial Condutor 02 - Fase 03
Figura 4.113: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 03
Figura 4.114: Campo Elétrico Superficial Condutor 04 - Fase 03
102
Capı́tulo 4. Resultados
superficial máximo.
Resultados adicionais para este caso, podem ser verificados no Apêndice I, obtidos com uma
distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) de 5, 5 m e uma distância mı́nima entre condutores
da mesma fase (dmmf) de 0, 475 m. O passo do algoritmo da Seção Áurea considerado é de 0, 1.
Diante das análises anteriormente apresentadas, falta verificar qual o efeito da inclusão da
variação da posição vertical dos condutores ao algoritmo de minimização.
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos Condutores Variáveis
Considera-se a mesma configuração de quatro condutores por fase analisada anteriormente.
Nesta primeira análise com altura dos condutores sendo determinada pelo processo de minimização, considera-se uma distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) de 5, 5 m e uma distância
mı́nima entre condutores da mesma fase(dmmf) de 0, 90 m. A altura dos condutores é permitida
variar de 8, 5 a 26, 95 m. O passo do algoritmo da Seção Áurea adotado é de 0, 1. As posições
sugeridas pelo processo e o campo elétrico superficial máximo obtido podem ser observados na
Tabela 4.49. O algoritmo gasta 3 minutos e 15 segundos para convergir neste caso.
Tabela 4.49: Configuração Sugerida pelo Processo de Otimização
Iteração
x1 [m]
x2 [m]
x3 [m]
x4 [m]
x5 [m]
x6 [m]
x7 [m]
x8 [m]
x9 [m]
x10 [m]
x11 [m]
x12 [m]
1
6
-7,975
-8,048
-7,025
-7,024
-7,025
-6,953
-7,975
-8,142
-0,475
-0,475
0,475
0,476
0,475
0,474
-0,475
-0,476
7,025
7,026
7,975
8,101
7,975
8,121
7,025
6,950
Iteração
h1 [m]
h2 [m]
h3 [m]
h4 [m]
h5 [m]
h6 [m]
h7 [m]
h8 [m]
h9 [m]
h10 [m]
h11 [m]
h12 [m]
1
6
18,45
18,376
18,45
18,451
17,5
17,571
17,5
17,332
25,95
25,95
25,95
25,952
25
25
25
24,998
18,45
18,451
18,45
18,576
17,5
17,646
17,5
17,425
Iteração
E1máx
E2máx
E3máx
E4máx
E5máx
E6máx
E7máx
E8máx
E9máx
E10máx E11máx E12máx
[kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm]
[kV/cm] [kV/cm] [kV/cm]
1
6
45,027
14,919
14,429
14,032
16,656
15,711
31,68
15,573
15,999
15,989
14,455
14,342
15,401
15,297
15,077
15,051
17,2
16,186
45,746
15,508
48,576
16,323
15,33
14,835
Nota-se na Tabela 4.49, que na primeira coluna é apresentada a iteração considerada, nas
linhas 2 e 3 as posições horizontais sugeridas são apresentadas, nas linhas 5 e 6 tem-se as posições
verticais sugeridas e nas linhas 8 e 9 os campos elétricos superficiais máximos obtidos em cada
condutor. Verifica-se a partir da Tabela 4.49 que o resultado obtido é praticamente o mesmo
obtido com altura fixa durante o processo de otimização. Este fato pode ser explicado em razão
de se adotar um passo do algoritmo da Seção Áurea pequeno. Esta consideração objetiva que
as posições sugeridas atendam as restrições inicialmente consideradas. Outra hipótese que se
infere é o fato da configuração originalmente adotada já ser uma configuração otimizada, o que
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
103
acarreta ao algoritmo poucas modificações a serem sugeridas. A configuração ótima sugerida é
apresentada na Figura 4.115 e uma vista ampliada da fase 01 é dada na Figura 4.116.
Figura 4.116: Vista Ampliada da Fase 01 ReFigura 4.115: Configuração Ótima Sugerida sultante
Os perfis dos campos elétricos superficiais de cada um dos condutores da linha de transmissão são apresentados a seguir.
Figura 4.117: Campo Elétrico Superficial - Figura 4.118: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 01
Condutor 02 - Fase 01
Verifica-se que nos condutores 01 e 02, mostrados nas Figuras 4.117 e 4.118, que há redução
do campo elétrico superficial máximo nos dois condutores.
Nos condutores 03 e 04, mostrados nas Figuras 4.119 e 4.120, nota-se que há redução do
campo elétrico superficial em alguns pontos, mas ocorre elevação do máximo campo elétrico
superficial observado.
104
Capı́tulo 4. Resultados
Figura 4.119: Campo Elétrico Superficial - Figura 4.120: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 01
Condutor 04 - Fase 01
Figura 4.121: Campo Elétrico Superficial - Figura 4.122: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 02
Condutor 02 - Fase 02
Nos condutores 01 e 02 da segunda fase percebe-se comportamentos diferentes dos perfis
dos campos elétricos superficiais. No condutor 01 da fase 02, mostrado na Figura 4.121, há
uma redução do campo elétrico superficial em boa parte da superfı́cie do condutor, mas há
um novo máximo, superior ao original. Enquanto que no condutor 02 da segunda fase, é obtida
uma redução do perfil do campo elétrico superficial, inclusive do máximo inicialmente observado.
Verifica-se que o máximo campo elétrico superficial nos condutores 03 e 04 da segunda fase
são reduzidos, como pode ser observado nas Figuras 4.123 e 4.124.
Nas Figuras 4.125 e 4.126, têm-se os perfis dos campos elétricos superficiais dos condutores
01 e 02 da terceira fase. Verifica-se que não houve redução do campo elétrico superficial máximo
nestes dois condutores.
Verifica-se nas Figuras 4.127 e 4.128, que há nos condutores 03 e 04 da terceira fase, uma
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
105
Figura 4.123: Campo Elétrico Superficial - Figura 4.124: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 02
Condutor 04 - Fase 02
Figura 4.125: Campo Elétrico Superficial - Figura 4.126: Campo Elétrico Superficial Condutor 01 - Fase 03
Condutor 02 - Fase 03
Figura 4.127: Campo Elétrico Superficial - Figura 4.128: Campo Elétrico Superficial Condutor 03 - Fase 03
Condutor 04 - Fase 03
106
Capı́tulo 4. Resultados
mudança do perfil do campo elétrico superficial dos condutores, sendo reduzido em alguns pontos. Observa-se que os condutores, em que o perfil do campo elétrico superficial, obtido ao final
do processo de minimização não têm seus máximos reduzidos são os condutores que violam levemente as posições máximas horizontais e que são penalizados pelas funções barreiras inseridas
no algoritmo de minimização.
Uma segunda análise é realizada a partir da mesma configuração original adotada anteriormente. Mantêm-se a distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) de 5, 5 m e reduz-se a
distância mı́nima entre condutores da mesma fase (dmmf) para 0, 475 m . Utiliza-se neste caso
um passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 1. A configuração ótima sugerida e os perfis de
campos elétricos superficiais minimizados podem ser observados no Apêndice I.
Os campos elétricos superficiais obtidos nas análises anteriores realizadas nesta seção devem
estar abaixo de determinados valores, dados pelo campo elétrico crı́tico, calculado no Apêndice
H, para que se tenha um comportamento satisfatório com relação ao Efeito Corona. A Tabela
4.50 apresenta uma relação entre estas magnitudes.
Verifica-se a partir da Tabela 4.50 que os nı́veis de campos elétricos superficiais em cada um
dos condutores analisados não apresenta nı́veis de campos elétricos superficiais superiores ao
campo elétrico crı́tico.
4.6. Minimização do Campo Elétrico Superficial
107
Tabela 4.50: Relação entre Valores de Campos Elétricos Superficiais Máximos e Crı́ticos
Condutor
Emáx
Sup.
Original
[kV /cm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14, 559
15,479
15,025
14,171
14,704
14,828
15,743
15,647
15,548
14,662
14,288
14,899
Emáx
Crı́tico
[kV /cm]
37,762
Altura Fixa
Análise
01
Emáx
Sup.
Otimizado
[kV /cm]
Análise
02
Emáx
Sup.
Otimizado
[kV /cm]
14,703
14,234
15,742
15,705
15,996
14,390
15,338
15,058
15,747
15,236
16,103
14,943
14,714
13,839
15,735
15,715
15,964
14,307
15,258
15,050
15,703
15,222
16,077
14,918
37,762
37,762
Altura Variável
Condutor
Análise
01
Emáx
Sup.
Otimizado
[kV /cm]
Análise
02
Emáx
Sup.
Otimizado
[kV /cm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14,919
14,032
15,711
15,573
15,989
14,342
15,297
15,051
16,186
15,508
16,323
14,835
14,927
13,842
15,705
15,582
15,982
14,313
15,259
15,058
15,585
15,151
15,972
14,663
Emáx
Crı́tico
[kV /cm]
37,762
37,762
108
Capı́tulo 4. Resultados
Capı́tulo
5
Conclusões
5.1
Sı́ntese da Dissertação e Principais Resultados
Neste trabalho são determinados os campos elétricos superficiais e ao nı́vel do solo de linhas
de transmissão trifásicas reais com um, dois, três e quatro condutores por fase. Em seguida
estes nı́veis de campos elétricos obtidos são otimizados.
A determinação do campo elétrico ao nı́vel do solo é realizada considerando-se a carga concentrada no eixo dos condutores. Esta consideração se torna não adequada para a determinação
do campo elétrico superficial, pois a medida que o raio dos condutores deixa de ser desprezı́vel
com relação a distância entre os condutores, as metodologias que consideram a carga concentrada no centro dos condutores deixa de conduzir a bons resultados.
Ao se avaliar o campo elétrico superficial por meio do método da Lei do Cossenos, do método
da Carga Centrada e do método das Imagens Sucessivas, nota-se que a medida que o número de
condutores é aumentado, os erros obtidos entre as diferentes metodologias aumenta. Isto ocorre
em função do aumento da proximidade entre os condutores da mesma fase, que ocorre a medida
que o número de subcondutores do feixe aumenta. Os erros obtidos neste trabalho justificam a
adoção do método das Imagens Sucessivas para os sistemas que tem a partir de dois condutores
por fase. Embora neste trabalho o método das Imagens Sucessivas tenha sido aplicado inclusive
no caso com um condutor por fase.
Durante as otimizações realizadas neste trabalho é possı́vel notar a grande influência de
alguns parâmetros do processo de otimização para com os resultados encontrados. Verifica-se
que a escolha do passo do algoritmo da Seção Áurea, adotado pelo algoritmo de otimização
unidimensional, é de fundamental importância para a obtenção de resultados satisfatórios. Isso
ocorre, pois dependendo da magnitude do passo adotado o algoritmo do Gradiente extrapola as
restrições consideradas inicialmente. Caso ele seja muito pequeno, as soluções sugerem mudanças
geométricas muito pequenas. Caso ele seja elevado, as restrições não são atendidas. Portanto,
busca-se um valor de passo que ocasione uma solução efetiva, mas que acarrete uma solução
dentro das restrições inicialmente consideradas. Outro fator importante durante o processo
de otimização realizado são as restrições. Nota-se que para um mesmo caso, adotando-se um
mesmo passo da Seção Áurea, distâncias mı́nimas e máximas diferentes adotadas ocasionam em
soluções diferentes, seja para o campo elétrico superficial ou ao nı́vel do solo.
109
110
Capı́tulo 5. Conclusões
Na otimização ao nı́vel do solo, verifica-se que nos casos em que se manteve a altura não
variável ao longo da otimização, que há uma tendência a compactação das linhas. No caso de
um condutor por fase, as maiores reduções dos nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do solo são
obtidas considerando-se altura constante dos condutores. As configurações ótimas sugeridas
com altura constante também propiciam melhores resultados, para o caso com dois condutores
por fase. De maneira semelhante aos casos anteriores, no sistema com três condutores por fase,
a maior redução de campo elétrico observada é obtida na condição de maior compactação da
linha e altura fixa dos condutores. Para quatro condutores por fase, a minimização ao nı́vel do
solo, com altura fixa ou variável, são praticamente as mesmas. Nota-se que para a minimização do campo elétrico ao nı́vel do solo, para as configurações analisadas neste trabalho, que os
melhores resultados são obtidos considerando-se altura fixa dos condutores. Os perfis de campos elétricos máximos obtidos ao nı́vel do solo, estão abaixo do valor limite dado pela NBR 5422.
Na otimização do campo elétrico superficial verifica-se que, em alguns casos, o comportamento dos perfis dos campos elétricos superficiais otimizados são diferentes para cada condutor
de uma mesma fase. Para um condutor por fase, considerando-se altura constante, as soluções
obtidas permitindo-se maior compactação da linha acarretam campo elétrico superficial levemente reduzido em todos os condutores do sistema. Verifica-se que neste caso, ao se permitir
a variação vertical da posição dos condutores obtém-se uma redução bem mais significativa do
campo elétrico superficial, do que a observada anteriormente. No caso de dois condutores por
fase, com altura fixa, nota-se uma suavização dos perfis originalmente observados de todos os
condutores. Ao se permitir a variação da altura dos condutores, tem-se um comportamento
semelhante. Observa-se uma tendência a se obter um perfil mais suave do campo elétrico superficial. Para três condutores por fase, considerando altura fixa, tem-se uma minimização mais
efetiva na fase central. Ela também ocorre nas fases laterais, exceto nos condutores centrais
destas fases. Ao se permitir a variação da altura dos condutores neste caso, nota-se que há uma
redução do campo elétrico superficial em algumas regiões do perfil apresentado. Observa-se que,
no caso com quatro condutores por fase e altura fixa, há também uma maior minimização na
fase central da linha. Neste caso, nas fases laterais também há redução em regiões dos perfis
de todos os condutores. Ao se permitir que a altura varie é obtida a diminuição em algumas
regiões dos perfis originalmente observados. Do ponto de vista do comportamento com relação
ao Efeito Corona nota-se que das configurações analisadas, apenas a de três condutores por fase
apresenta em alguns de seus condutores um campo elétrico superficial superior ao desejável.
5.2
Propostas de Continuidade
A partir das análises realizadas verifica-se a existência de lacunas que podem ser abordadas
em trabalhos futuros. Dentre os assuntos a ser estudados, destacam-se:
• Análise da capacidade de transmissão das linhas de transmissão originais e otimizadas;
• Aplicação da otimização multiobjetivo para os campos elétricos superficiais e ao nı́vel do
5.2. Propostas de Continuidade
111
solo;
• Aplicação de outros métodos de otimização mais robustos, tais como os métodos de exclusão de semi-espaços e os métodos de populações;
• Estudo do Método das Imagens Sucessivas para ordens superiores ou de outras técnicas
numéricas para avaliação de sistemas de transmissão com elevado número de subcondutores por fase;
• Inserção no processo de otimização de outros parâmetros da linha de transmissão, além
das posições geométricas, tais como: nı́vel de tensão aplicado, número de condutores e
raio dos condutores;
• Estudo técnico e econômico da engenharia envolvida na implantação das configurações
ótimas sugeridas pelo atual processo de otimização;
• Estudo de planejamento e expansão do sistema de energia elétrica considerando as configurações antes e após o processo de otimização;
• Inserção de padrões de assimetria a serem seguidos ao longo do processo de otimização
geométrica dos condutores.
112
Referências Bibliográficas
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Apêndice
A
Obtenção da Distância Delta
Considere inicialmente duas linhas de carga representadas por cilindros com seções infinitesimais, infinitamente longos, paralelos entre si, separados por uma distância 2d e cada um
possuindo uma densidade linear de carga de módulo ql e de sinais contrários, como mostrado
na Figura A.1.
Figura A.1: Cargas Filamentares de Sinais Opostos
Considerando-se a referência de potencial a uma distância r1 de ql+ em um ponto a uma
distância d1 da mesma, o potencial elétrico V é dada por [39]:
Z
d1
V =
r1
V =
ql 1
dr
2πε0 r
ql
r1
ln
2πε0 d1
(A.1)
(A.2)
Por superposição é possı́vel calcular o potencial produzido pelas duas linhas de carga em um
ponto situado a d1 de ql+ e a d2 de ql−, sendo o referencial de potencial considerado no infinito:
Z
d1
V =
r1
ql 1
dr −
2πε0 r
117
Z
r1
d2
ql 1
dr
2πε0 r
(A.3)
118
V =
ql
d2
ln
2πε0 d1
(A.4)
Verifica-se que para os pontos em que d1 = d2 o potencial será nulo (plano médio entre as
linhas de carga), considerando o referencial de potencial no infinito. As linhas equipotenciais
são definidas como o lugar geométrico em que o potencial é constante. Para se obter este lugar
geométrico faz-se V constante e manipula-se a equação anterior, tendo-se então:
d2 = kd1
(A.5)
Sendo k uma constante positiva para qualquer ponto do espaço considerado. Considerandose a Figura A.2 nota-se que para pontos do espaço esquerdo ao plano médio que divide a Figura,
tem-se k maior do que 1 (d1 < d2) e para o lado direito tem-se k maior que 0 e menor do que
1. No plano médio tem-se k = 1, pois neste caso d1 = d2.
Figura A.2: Ponto Genérico P Próximo as Linhas de Carga
Para um ponto P genérico de coordenadas (x,y), como mostrado pela Figura A.2, as distâncias d1 e d2 podem ser obtidas como:
d1 =
d2 =
p
(d + x)2 + (y)2
p
(d − x)2 + (y)2
Sabendo- se que:
d2 = kd1
d2 2 = k 2 d1 2
119
Substitui-se as expressões anteriores e obtém-se:
(d − x)2 + (y)2 = k 2 ((d + x)2 + (y)2 )
Desenvolve-se essa equação obtendo:
((d)2 + (x)2 + (y)2 )(k 2 − 1) + 2dx(k 2 + 1) = 0
Dividindo a equação anterior por (k 2 − 1) e reescrevendo a equação têm-se:
((x − h)2 + (y)2 ) = r0
Sendo h dado por:
h = d.
k2 + 1
k2 − 1
Sendo r0 dado por:
r02 = h2 − d2
Nota-se a partir das expressões obtidas que o lugar geométrico das equipotenciais são circunferências de raios r0 , com cada centro em x = h e y = 0.
Uma análise de sensibilidade para as expressões de h e r0 , para valores de k caracterı́sticos
pode ser observado na Tabela??.
Tabela A.1: Variação de h e de ro para Valores Caracterı́sticos de k
k
h
ro
0
-d
0
1 Inf Inf
Inf d
0
A partir da observação da Figura A.3, novas variáveis podem ser definidas.
Define-se a distância Delta (4) como:
4=h−d
(A.6)
A distância D entre uma das linhas de carga e o centro de uma equipotencial, é dado por:
D =h+d
(A.7)
120
Figura A.3: Representação da Equipotencial de Uma das Linhas de Carga
Após substituições na fórmula de Delta tem-se:
p
h2 − ro2
(A.8)
h2 − ro 2 = (h − ∆)2
(A.9)
∆2 − 2∆h2 + ro 2 = 0
(A.10)
∆=h−
Das equações anteriores tem-se que:
h=
D+∆
2
(A.11)
A substituição de h acarreta em:
∆2 − 2∆
D+∆
+ ro 2 = 0
2
(A.12)
Ao se resolver esta equação obtém-se:
ro 2
(A.13)
D
Logo, obtém-se a expressão para cálculo de Delta (∆) que é utilizada durante o processo de
implementação do método de Imagens Sucessivas para o cálculo do campo elétrico superficial
realizado no capı́tulo 5 deste trabalho.
∆=
Apêndice
B
Ferramenta de Otimização
B.1
Estrutura Básica do Algoritmo de Direção de Busca
Dado o problema de otimização mono-objetivo irrestrito:
x∗ = arg minf (x)
(B.1)
E dado um ponto inicial x0 6= x∗ , obtém-se uma sequência xk tal que xk tende a x∗ (xk 7→ x∗ ).
A famı́lia dos algoritmos de direção de busca apresenta a estrutura dada por [17]:
Algoritmo de Direção de Busca:
k←0
enquanto(não critério de parada)
dk ← h(x1 , ..., xk , f (x1 ), ..., f (xk ))
αk ← arg minf (xk + αdk )
xk+1 ← xk + αk dk
k ←k+1
fim-enquanto
Sendo: k o contador de iterações, dk a direção de busca dada pela avaliação de f (xk ), αk
fornece o passo a ser tomado na direção determinada por dk e xk+1 é o novo ponto obtido a
partir da aplicação de dk e de αk ao ponto inicial considerado xk . No Algoritmo de Direção
de Busca, tem-se uma função recursiva h(., ..., .), que não depende explicitamente dos pontos
anteriores, mas armazena a influência deles em variáveis intermediárias [17].
121
122
B.2
Algoritmo da Seção Áurea
O algoritmo da Seção Áurea utilizado neste trabalho é obtido a partir do teorema a seguir
[17]:
Sejam uma função f (.) : R 7→ R. Seja um domı́nio [a, b] ⊂ R, no qual f possui um único
mı́nimo local x∗ . Sejam ainda dois pontos xa e xb , tais que:
a < x a < xb < b
(B.2)
f (xa ) < f (xb )
(B.3)
Se ocorrer:
Então a solução minimizante x∗ não se encontra no intervalo [xb , b], e se ocorrer:
f (xa ) > f (xb )
(B.4)
Então a solução minimizante x∗ não se encontra no intervalo [a, xa ].
A partir deste teorema é possı́vel construir um algoritmo que se baseia na lógica de excluir, a
cada passo, um trecho do segmento considerado, de forma a fazê-lo contrair-se. A convergência
para o ponto de mı́nimo ocorre quando o segmento estiver suficientemente pequeno, ou seja,
quando o critério de parada tiver sido atendido.
As maneiras de se escolher os pontos xa e xb dentro do segmento, com o intuito de se minimizar o número de iterações necessário para se atingir determinada precisão é definida pela
Seção Áurea [17]. Escolhem-se xa e xb de forma que:
xb − a = 0.618(b − a)
(B.5)
b − xa = 0.618(b − a)
(B.6)
O fator 0.618 corresponde à “Razão Aúrea”, utilizada pelos antigos gregos para definir a
razão dos lados adjacentes de um retângulo que é “perfeita” sob o ponto de vista estético [17].
Adotando-se a Razão Aúrea, o algoritmo de minimização de uma função real no intervalo
[a, b] para se atingir uma precisão de ε/2 pode ser definido pelo algoritmo [17]:
Algoritmo da Seção Áurea
xa ← b − 0.618(b − a)
xb ← a + 0.618(b − a)
123
fa ← f (xa )
fb ← f (xb )
enquanto
b−a>ε
se
fa < f b
então
b ← xb
xb ← xa
xa ← b − 0.618(b − a)
fb ← fa
fa ← f (xa )
senão
a ← xa
xa ← xb
xb ← a + 0.618(b − a)
fa ← fb
fb ← f (xb )
fim-se
fim-enquanto
α←
a+b
2
Outros algoritmos, mais eficientes podem ser construidos, para a otimização de funções de
uma única variável, apresentados em detalhes por [32].
124
B.3
B.3.1
Critério de Parada
Estabilização do Valor da Função Objetivo
Ao se avaliar a função objetivo, em um certo número de iterações, e se verificar que não há
uma variação maior que certo percentual da diferença entre seu valor máximo ocorrido em todo
o processo de otimização e seu valor mı́nimo verificado também em todo o processo, é possı́vel
interromper o algoritmo a partir da constatação de que dificilmente pode ocorrer melhorias significativas da função objetivo com a continuidade do algoritmo [17].
O algoritmo do critério de parada adotado neste trabalho pode ser observado a seguir [17]:
Critério de Parada: Função Objetivo
∆f ← fmáx − fmin
f5+ ← máx (f (xk ), f (xk−1 ), f (xk−2 ), f (xk−3 ), f (xk−4 ), f (xk−5 ))
f5− ← min (f (xk ), f (xk−1 ), f (xk−2 ), f (xk−3 ), f (xk−4 ), f (xk−5 ))
δf ← f5+ − f5−
se
δf < 0, 001∆f
então parada ← verdadeiro
senão parada ← falso
O algoritmo mostrado acima, exemplifica o critério de parada adotado neste trabalho, que
consiste na consideração da função objetivo estabilizada, como sendo aquela que varia nas
últimas 5 iterações menos de 0, 1% da amplitude ∆f da função objetivo, sendo fmáx e fmin
respectivamente o máximo e o mı́nimo valor ocorrido para a função objetivo durante toda a
implementação do algoritmo de otimização. Tem-se também que f5+ e f5− , são os valores máximos e mı́nimos obtidos nas últimas cinco iterações do algoritmo, e 0, 001 é o critério de precisão
adotado.
B.4
B.4.1
Tratamento de Restrições
Método das Penalidades
Este método também é denominado de método de penalidade exterior [34]. A função objetivo é penalizada na região inviável, ou seja, somente quando alguma restrição é violada. Neste
125
caso, a função P (x) é dada por:
P (x) =
m
n
X
X
{máx[0, gj (x)]}2 +
[hk (x)]2
j=1
(B.7)
k=1
Onde gj (x) são as restrições de desigualdade e hk (x) as restrições de igualdade. Quando
todas as restrições são satisfeitas P (x) = 0, e neste caso a função pseudo-objetivo equivale à
função objetivo original. Se uma ou mais restrições são violadas o quadrado dessas funções é
adicionado à função pseudo-objetivo.
Eleva-se as restrições ao quadrado para se assegurar que a tangente à função de penalidade seja nula sobre a fronteira da região viável. Com isto pode-se assegurar a continuidade
da derivada da função pseudo-objetivo. Este método é considerado um dos mais fáceis de ser
incorporado ao processo de otimização [34]. A Figura B.1, ilustra a função penalidade para uma
determinada função exemplo dada por [32]. Têm-se no eixo das ordenadas, a função penalidade
multiplicada pelo fator de penalização c, que equivale ao parâmetro rp . No eixo das abcissas
têm-se a região de atuação das funções penalidades.
Figura B.1: Exemplo Função Penalidade
[32]
Nota-se, a partir da Figura B.1, que o aumento de c ocasiona em uma maior proximidade da
região factı́vel. Idealmente quando c 7→ ∞ o ponto de solução da função penalidade convergirá
para a solução do problema restrito [32].
126
Apêndice
C
Validação da Metodologia de Cálculo de Campo
Elétrico Superficial
A configuração utilizada para validação da ferramenta computacional desenvolvida é obtida
dos trabalhos de Sérgio [16], a configuração e o perfil do campo elétrico para o condutor 01 da
fase 02 são apresentados a seguir.
Figura C.1: Configuração 500 kV - 5 Condutores por Fase
Figura C.2: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02
Para se analisar o campo próximo as estruturas soma-se as alturas consideradas anteriormente uma flecha de 15 m. A Tabela C.1 apresenta um comparativo entre os valores obtidos
pelo programa desenvolvido neste trabalho e os apresentados por Sérgio[16].
Verifica-se que os erros obtidos são aceitáveis do ponto de vista da engenharia, o erro máximo
observado na Tabela C.1 é de pouco mais de 5%. O campo elétrico superficial próximo às
estruturas também é calculado considerando-se a carga elétrica centrada. O erro obtido entre a
adoção da metodologia da carga centrada e por meio do método das Imagens Sucessivas podem
ser observados na Tabela C.2.
127
128
Tabela C.1: Comparativo dos Valores de Campos Elétricos Superficiais Referência e Valores
Calculados - Utilizando o Método das Imagens Sucessivas - Próximo a Estrutura
Fase
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
X[m]
Y[m]
-5,854
-5,029
-5,344
-6,364
-6,679
0,000
-0,465
-0,288
0,288
0,465
5,854
5,029
5,344
6,364
6,679
10,000
10,648
11,696
11,696
10,648
12,454
12,788
13,328
13,328
12,788
10,000
10,648
11,696
11,696
10,648
Ângulo
Calculado [◦ ]
293,000
347,000
52,000
115,000
223,000
255,000
225,000
119,000
51,000
338,000
283,000
204,000
126,000
59,000
343,000
Campo
Máximo
Calculado
[kV /cm]
15,4380
16,9968
17,2430
15,0693
13,6711
18,1317
17,0875
16,9275
17,1318
17,7938
15,3913
16,6689
17,2013
15,1325
14,0496
Campo
Máximo
[kV /cm]
[16]
Ângulo [◦ ]
[16]
-79,6
-10,3
44,9
116,8
-161,9
-90
-160,2
128,9
51,1
-19,8
-100,4
190,3
135,1
63,2
-18,1
15,41
17,28
17,38
15,12
14,07
18,08
18,05
17,15
17,15
18,05
15,41
17,28
17,38
15,12
14,07
Erro %
0,1817
1,6389
0,7883
0,3353
2,8351
0,2860
5,3324
1,2974
0,1061
1,4194
0,1213
3,5365
1,0282
0,0827
0,1450
Tabela C.2: Campo Elétrico Superficial de Cada Condutor Considerando a Carga Centrada e
Erro Com Relação ao Método das Imagens Sucessivas- Próximo a Estrutura
Fase
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
X[m]
-5,854
-5,029
-5,344
-6,364
-6,679
0,000
-0,465
-0,288
0,288
0,465
5,854
5,029
5,344
6,364
6,679
Y[m]
10,000
10,648
11,696
11,696
10,648
12,454
12,788
13,328
13,328
12,788
10,000
10,648
11,696
11,696
10,648
Ângulo [◦ ]
Campo Máximo C.
Centrada
[kV /cm]
281,000
351,000
46,000
118,000
199,000
271,000
201,000
130,000
52,000
341,000
261,000
191,000
136,000
64,000
343,000
14,7874
16,5148
16,6101
14,5120
13,5363
16,9294
16,8895
16,0877
16,0877
16,8895
14,7874
16,5148
16,6101
14,5120
13,5363
Campo Máximo Via M.I.S
[kV /cm]
15,4380
16,9968
17,2430
15,0693
13,6711
18,1317
17,0875
16,9275
17,1318
17,7938
15,3913
16,6689
17,2013
15,1325
14,0496
Erro %
4,2143
2,8358
3,6705
3,6982
0,9860
6,6309
1,1587
4,9612
6,0945
5,0821
3,9236
0,9245
3,4369
4,1004
3,6535
Nota-se a partir da Tabela C.2 que neste caso a adoção do método da carga centrada acarreta em um erro um pouco mais elevado do que o obtido adotando-se o método das Imagens
Sucessivas.
Apêndice
D
Verificação dos Potenciais Elétricos
D.1
Introdução
Neste Apêndice são apresentados os potenciais elétricos obtidos para a configuração de quatro condutores por fase 735 kV e para as configurações com um, dois, três e quatro condutores
por fase também analisadas ao longo do capı́tulo 5 [19] .
D.2
LT 04 Condutores por Fase 735 kV
A Tabela D.1 apresenta o potencial elétrico considerando-se um ponto na superfı́cie de cada
condutor e ao nı́vel do solo, para a LT de quatro condutores por fase, 735 kV [19].
Tabela D.1: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo
Pontos
Considerados
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X[m]
-15,4686
-15,4686
-15,0114
-15,0114
-0,2286
-0,2286
0,2286
0,2286
15,0114
15,0114
15,4686
15,4686
-15,4686
-15,0114
-0,2286
0,2286
15,0114
15,4686
Y[m]
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
129
Valor
Esperado
[V ]
Valor
Obtido
[V ]
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
0,0000E+00
0,0000E+00
0,0000E+00
0,0000E+00
0,0000E+00
0,0000E+00
4,5958E+05
4,5980E+05
4,5866E+05
4,5473E+05
4,5866E+05
4,5887E+05
4,5770E+05
4,5336E+05
4,5905E+05
4,5982E+05
4,5868E+05
4,5475E+05
1,6247E-07
1,6374E-07
1,6379E-07
1,6412E-07
1,6386E-07
1,6179E-07
Erro %
0,8116
0,8599
0,6098
0,2523
0,6098
0,6559
0,3992
0,5528
0,6954
0,8643
0,6142
0,2479
130
Ao se considerar pontos ao longo de toda a superfı́cie dos condutores, obtém-se os valores
de potencial elétrico apresentados na Tabela D.2.
Tabela D.2: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo
Pontos
Considerados
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
D.3
Condutor
X[m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-15,4686
-15,4686
-15,0114
-15,0114
-0,2286
-0,2286
0,2286
0,2286
15,0114
15,0114
15,4686
15,4686
Y[m]
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
19,5814
20,0386
Valor
Esperado
[V ]
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
4,5588E+05
Valor Obtido
[V ]
Erro %
4,5418E+05
4,5682E+05
4,5742E+05
4,5318E+05
4,5289E+05
4,5565E+05
4,5635E+05
4,5169E+05
4,5499E+05
4,5675E+05
4,5735E+05
4,5317E+05
1,3293
0,8950
0,6625
1,5991
1,1714
0,6910
0,4628
1,4631
1,1648
0,8950
0,6734
1,5969
Caso 01: Configuração Com Um Condutor por Fase
Considerando a Carga Elétrica Centrada nos Condutores, obtém-se os potenciais mostrados
na Tabela D.3:
Tabela D.3: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Carga Centrada
Pontos
Considerados
Condutor
P1
P2
P3
P4
P5
P6
1
2
3
Solo
Solo
Solo
X[m]
-3
0
3
-3
0
3
Y[m]
14,01
14,01
14,01
0
0
0
Valor
Esperado
[V ]
7,9674E+04
7,9674E+04
7,9674E+04
0
0
0
Valor Obtido
[V ]
7,9704E+04
7,9611E+04
7,9704E+04
1,1400E-06
1,1400E-06
1,1400E-06
Erro %
0,0377
0,0791
0,0377
Para o mesmo caso, mas através do método das Imagens Sucessivas de primeira ordem,
considerando-se apenas o potencial em um ponto da superfı́cie de cada um dos condutores. Os
resultados obtidos podem ser observados na TabelaD.4.
De maneira análoga, utilizando-se do método das Imagens Sucessivas de primeira ordem, e
percorrendo pontos ao longo de toda a superfı́cie do condutor, obtém-se os resultados apresentados na Tabela D.5.
131
Tabela D.4: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas
Pontos
Considerados
Condutor
P1
P2
P3
P4
P5
P6
1
2
3
Solo
Solo
Solo
X[m]
-3
0
3
-3
0
3
Y[m]
14,01
14,01
14,01
0
0
0
Valor
Esperado
[V ]
7,9674E+04
7,9674E+04
7,9674E+04
0
0
0
Valor Obtido
[V ]
7,9704E+04
7,9611E+04
7,9704E+04
1,1524E-08
1,1595E-08
1,1488E-08
Erro %
0,0377
0,0791
0,0377
Tabela D.5: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas
D.4
Pontos
Considerados
Condutor
P1
P2
P3
1
2
3
X[m]
-3
0
3
Y[m]
14,01
14,01
14,01
Valor
Esperado
[V ]
8,3715E+04
8,3715E+04
8,3715E+04
Valor Obtido
[V ]
8,3747E+04
8,3649E+04
8,3747E+04
Erro %
0,0382
0,0788
0,0382
Caso 02: Configuração Com Dois Condutores por
Fase
Considerando a Carga Elétrica Centrada nos Condutores, obtém-se os potenciais mostrados
na Tabela D.6:
Tabela D.6: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Carga Centrada
Pontos
Considerados
Condutor
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
1
2
3
4
5
6
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
X[m]
-10,478
-10,250
-0,228
0,000
10,021
10,250
-10,478
-10,250
-0,228
0,000
10,021
10,250
Y[m]
14,290
14,290
14,290
14,290
14,290
14,290
0
0
0
0
0
0
Valor
Esperado
[V ]
1,9918E+05
1,9918E+05
1,9918E+05
1,9918E+05
1,9918E+05
1,9918E+05
0
0
0
0
0
0
Valor Obtido
[V ]
1,9914E+05
1,9914E+05
1,9914E+05
1,9914E+05
1,9914E+05
1,9914E+05
4,6000E-03
4,6000E-03
4,6000E-03
4,6000E-03
4,6000E-03
4,6000E-03
Erro %
0,0201
0,0201
0,0201
0,0201
0,0201
0,0201
Para o mesmo caso, com dois condutores por fase, mas através do método das Imagens
132
Sucessivas de primeira ordem, considerando-se apenas o potencial em um ponto da superfı́cie
de cada um dos condutores. Os resultados obtidos podem ser observados na Tabela D.7.
Tabela D.7: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas
Pontos
Considerados
Condutor
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
1
2
3
4
5
6
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
X[m]
-10,478
-10,250
-0,228
0,000
10,021
10,250
-10,478
-10,250
-0,228
0,000
10,021
10,250
Y[m]
14,290
14,290
14,290
14,290
14,290
14,290
0
0
0
0
0
0
Valor
Esperado
[V ]
1,9918E+05
1,9918E+05
1,9918E+05
1,9918E+05
1,9918E+05
1,9918E+05
0
0
0
0
0
0
Valor Obtido
[V ]
1,9944E+05
1,9944E+05
1,9934E+05
1,9943E+05
1,9948E+05
1,9948E+05
3,7673E-08
3,7218E-08
3,7935E-08
3,7608E-08
3,8251E-08
3,7882E-08
Erro %
0,1305
0,1305
0,0803
0,1255
0,1506
0,1506
De maneira análoga, utilizando-se do método das imagens sucessivas de primeira ordem, e
percorrendo pontos ao longo de toda a superfı́cie do condutor, obtém-se os resultados apresentados na Tabela D.8.
Tabela D.8: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas
D.5
Pontos
Considerados
Condutor
P1
P2
P3
P4
P5
P6
1
2
3
4
5
6
X[m]
-10,478
-10,250
-0,228
0,000
10,021
10,250
Y[m]
14,290
14,290
14,290
14,290
14,290
14,290
Valor
Esperado
[V ]
2,0900E+05
2,0900E+05
2,0900E+05
2,0900E+05
2,0900E+05
2,0900E+05
Valor Obtido
[V ]
2,0927E+05
2,0927E+05
2,0926E+05
2,0926E+05
2,0932E+05
2,0932E+05
Erro %
0,1292
0,1292
0,1244
0,1244
0,1531
0,1531
Caso 03: Configuração Com Três Condutores por
Fase
Considerando a Carga Elétrica Centrada nos Condutores, em um ponto da superfı́cie dos
condutores, obtém-se os potenciais mostrados na Tabela D.9.
Para o mesmo caso, com três condutores por fase, mas através do método das Imagens
Sucessivas de primeira ordem, considerando-se apenas o potencial em um ponto da superfı́cie
de cada um dos condutores. Os resultados obtidos podem ser observados na Tabela D.10.
133
Tabela D.9: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Carga Centrada
Pontos
Considerados
Condutor
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
X[m]
-10,478
-10,250
-10,021
-0,228
0
0,228
10,021
10,250
10,478
-10,478
-10,250
-10,021
-0,228
0
0,228
10,021
10,250
10,478
Y[m]
16,530
16,758
16,530
16,530
16,758
16,530
16,530
16,758
16,530
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Valor
Esperado
[V ]
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Valor Obtido
[V ]
2,9227E+05
2,9971E+05
2,9758E+05
2,8736E+05
2,8948E+05
2,8736E+05
2,9758E+05
2,9971E+05
2,9727E+05
9,0810E-03
9,0810E-03
9,0810E-03
9,0810E-03
9,0810E-03
9,0810E-03
9,0810E-03
9,0810E-03
9,0810E-03
Erro %
1,2471
3,8244
3,0866
0,4538
0,2806
0,4538
3,0866
3,8244
2,9792
Tabela D.10: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas
Pontos
Considerados
Condutor
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
X[m]
-10,478
-10,250
-10,021
-0,228
0
0,228
10,021
10,250
10,478
-10,478
-10,250
-10,021
-0,228
0
0,228
10,021
10,250
10,478
Y[m]
16,530
16,758
16,530
16,530
16,758
16,530
16,530
16,758
16,530
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Valor
Esperado
[V ]
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
2,8867E+05
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Valor Obtido
[V ]
2,9783E+05
2,9821E+05
2,9814E+05
2,8791E+05
2,8794E+05
2,8802E+05
2,9810E+05
2,9825E+05
2,9788E+05
9,1467E-08
9,2015E-08
9,0698E-08
9,0696E-08
9,1117E-08
9,0732E-08
9,0079E-08
8,9978E-08
9,1416E-08
Erro %
3,1732
3,3048
3,2806
0,2633
0,2529
0,2252
3,2667
3,3187
3,1905
De maneira análoga, utilizando-se do método das imagens sucessivas de primeira ordem,
e percorrendo pontos ao longo de toda a superfı́cie dos condutores, obtém-se os resultados
apresentados na Tabela D.11.
134
Tabela D.11: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores - Imagens Sucessivas
D.6
Pontos
Considerados
Condutor
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X[m]
-10,478
-10,250
-10,021
-0,228
0
0,228
10,021
10,250
10,478
Y[m]
16,530
16,758
16,530
16,530
16,758
16,530
16,530
16,758
16,530
Valor
Esperado
[V ]
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
Valor Obtido
[V ]
3,1269E+05
3,1311E+05
3,1312E+05
3,0363E+05
3,0382E+05
3,0228E+05
3,1429E+05
3,1460E+05
3,1280E+05
Erro %
3,1606
3,2991
3,3024
0,1716
0,2342
0,2738
3,6884
3,7907
3,1969
Caso 04: Configuração Com Quatro Condutores por
Fase
Considerando a Carga Elétrica Centrada nos Condutores, em um ponto da superfı́cie dos
condutores, obtém-se os potenciais mostrados na Tabela D.12.
Tabela D.12: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Carga Centrada
Pontos
Considerados
Condutor
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
X[m]
-7,975
-7,025
-7,025
-7,975
-0,475
0,475
0,475
-0,475
7,025
7,975
7,975
7,025
-7,975
-7,025
-0,475
0,475
7,025
7,975
Y[m]
18,45
18,45
17,5
17,5
25,95
25,95
25
25
18,45
18,45
17,5
17,5
0
0
0
0
0
0
Valor
Esperado
[V ]
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
0
0
0
0
0
0
Valor Obtido
[V ]
2,9778E+05
2,9648E+05
2,9678E+05
2,9806E+05
3,2743E+05
3,2624E+05
3,2516E+05
3,2637E+05
2,9773E+05
2,9681E+05
2,9709E+05
2,9802E+05
0,0642
0,0642
0,0642
0,0642
0,0642
0,0642
Erro %
1,7584
2,1873
2,0870
1,6657
8,0226
7,6303
7,2743
7,6732
1,7733
2,0778
1,9861
1,6796
De maneira análoga, utilizando-se do método das Imagens Sucessivas de primeira ordem,
e percorrendo pontos ao longo de toda a superfı́cie dos condutores, obtém-se os resultados
apresentados na Tabela D.13.
135
Tabela D.13: Potencial Elétrico Calculado na Superfı́cie dos Condutores e ao Nı́vel do Solo Imagens Sucessivas
Pontos
Considerados
Condutor
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X[m]
-7,975
-7,025
-7,025
-7,975
-0,475
0,475
0,475
-0,475
7,025
7,975
7,975
7,025
Y[m]
18,45
18,45
17,5
17,5
25,95
25,95
25
25
18,45
18,45
17,5
17,5
Valor
Esperado
[V ]
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
3,0311E+05
Valor Obtido
[V ]
2,9757E+05
2,9718E+05
2,9745E+05
2,9787E+05
3,2718E+05
3,2691E+05
3,2586E+05
3,2608E+05
2,9732E+05
2,9731E+05
2,9759E+05
2,9772E+05
Erro %
1,8267
1,9571
1,8660
1,7268
7,9411
7,8526
7,5046
7,5775
1,9099
1,9115
1,8208
1,7769
136
Apêndice
E
Erro Entre as Metodologias de Cálculo de
Campo Elétrico Superficial
E.1
Caso 02: Configuração com Dois Condutores por
Fase
Tabela E.1: Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método
da Carga Centrada
Fase
1
1
2
2
3
3
Condutor
1
2
3
4
5
6
X[m]
-10,478
-10,250
-0,228
0,000
10,021
10,250
Y[m]
14,290
14,290
14,290
14,290
14,290
14,290
Ângulo [◦ ]
181,000
1,000
181,000
1,000
181,000
1,000
Campo Via
M.I.S
[kV /cm]
15,0148
15,2456
16,1193
16,1144
15,2506
15,0240
Ângulo [◦ ]
181,000
1,000
181,000
1,000
181,000
1,000
Campo Via
C. Centrada
[kV /cm]
14,2443
14,4265
15,2685
15,2684
14,4287
14,2466
Erro %
[kV /cm]
5,1316
5,3727
5,2781
5,2500
5,3893
5,1744
Tabela E.2: Campos Elétricos Superficiais Via Lei dos Cossenos e Via Método das Imagens
Sucessivas
Fase
1
1
2
2
3
3
Condutor
1
2
3
4
5
6
X[m]
-10,478
-10,250
-0,228
0,000
10,021
10,250
Y[m]
14,290
14,290
14,290
14,290
14,290
14,290
137
Campo Via
Lei dos
Cossenos
[kV /cm]
Campo Via
M.I.S.
[kV /cm]
13,4636
13,6049
14,4146
14,4146
13,6070
13,4658
15,0148
15,2456
16,1193
16,1144
15,2506
15,0240
Erro%
10,3311
10,7618
10,5755
10,5483
10,7773
10,3714
138
E.2
Caso 03: Configuração com Três Condutores por
Fase
Tabela E.3: Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método
da Carga Centrada
Fase
1
1
1
2
2
2
3
3
3
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X[m]
-10,478
-10,250
-10,021
-0,228
0
0,228
10,021
10,250
10,478
Y[m]
16,530
16,758
16,530
16,530
16,758
16,530
16,530
16,758
16,530
Angulo [◦ ]
206,000
90,000
337,000
225,000
68,000
335,000
224,000
68,000
335,000
Campo Via
M.I.S.
[kV /cm]
17,9847
16,4480
18,5411
18,5336
17,5067
19,1524
17,8590
16,6382
17,9504
Angulo [◦ ]
Campo Via
C.
Centrada
[kV /cm]
206,000
89,000
338,000
205,000
205,000
337,000
204,000
93,000
336,000
16,9503
15,4523
17,4993
18,1613
18,1613
18,1613
17,4993
15,4523
16,9503
Erro %
5,7516
6,0536
5,6189
2,0088
3,7391
5,1748
2,0141
7,1276
5,5715
Tabela E.4: Campos Elétricos Superficiais Via Método da Lei dos Cossenos e Via Método das
Imagens Sucessivas
Fase
1
1
1
2
2
2
3
3
3
E.3
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X[m]
-10,478
-10,250
-10,021
-0,228
0
0,228
10,021
10,250
10,478
Y[m]
16,530
16,758
16,530
16,530
16,758
16,530
16,530
16,758
16,530
Campo Via
Lei dos
Cossenos
[kV /cm]
Campo Via
Lei M.I.S.
[kV /cm]
15,9593
14,4279
16,4289
17,0717
16,4289
17,0717
16,4289
14,4279
15,9593
17,9847
16,4480
18,5411
18,5336
17,5067
19,1524
17,8590
16,6382
17,9504
Erro %
11,2618
12,2817
11,3920
7,8878
6,1565
10,8639
8,0077
13,2845
11,0922
Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por
Fase
139
Tabela E.5: Campos Elétricos Superficiais Via Método das Imagens Sucessivas e Via Método
da Carga Centrada
Fase
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X[m]
-7,975
-7,025
-7,025
-7,975
-0,475
0,475
0,475
-0,475
7,025
7,975
7,975
7,025
Y[m]
18,45
18,45
17,5
17,5
25,95
25,95
25
25
18,45
18,45
17,5
17,5
Angulo [◦ ]
122,000
45,000
319,000
240,000
128,000
45,000
313,000
236,000
130,000
51,000
313,000
232,000
Campo Via
M.I.S.
[kV /cm]
14,4394
15,3608
14,9342
14,0804
15,4100
15,5410
16,3018
16,1976
15,4303
14,5407
14,1949
14,8099
Angulo [◦ ]
131,000
45,000
321,000
228,000
140,000
42,000
313,000
229,000
137,000
51,000
314,000
221,000
Campo Via
C. Centrada
[kV /cm]
14,0938
14,8712
14,4361
13,7415
15,0347
15,0347
15,7931
15,7931
14,8712
14,0938
13,7415
13,7415
Erro %
2,3935
3,1873
3,3353
2,4069
2,4354
3,2578
3,1205
2,4973
3,6234
3,0734
3,1941
2,5240
Tabela E.6: Campos Elétricos Superficiais Via Lei dos Cossenos e Via Método das Imagens
Sucessivas
Fase
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
Condutor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X[m]
-7,975
-7,025
-7,025
-7,975
-0,475
0,475
0,475
-0,475
7,025
7,975
7,975
7,025
Y[m]
18,45
18,45
17,5
17,5
25,95
25,95
25
25
18,45
18,45
17,5
17,5
Campo Via
Lei dos
Cossenos
[kV /cm]
Campo Via
M.I.S.
[kV /cm]
13,6192
14,3288
13,9322
13,2961
14,5363
14,5363
15,2294
15,2294
14,3288
13,6192
13,2961
13,2961
14,4394
15,3608
14,9342
14,0804
15,4100
15,5410
16,3018
16,1976
15,4303
14,5407
14,1949
14,8099
Erro %
5,6803
6,7184
6,7094
5,5702
5,6697
6,4648
6,5784
5,9774
7,1386
6,3374
6,3319
10,2215
140
Apêndice
F
Nı́veis de Referência de Campos Elétricos ao
Nı́vel do Solo
No Brasil, existem algumas publicações que tratam da questão dos limites dos nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do solo ao longo da faixa de servidão da linha de transmissão. É adotada
neste trabalho como referência as considerações apresentadas na NBR 5422 - “Projeto de Linhas
Aéreas de Transmissão de Energia Elétrica”, de 1985, publicada pela ABNT [21]. Esta norma
estabelece no item 12.5.1 que: “O valor do campo elétrico ao nı́vel do solo, no limite da faixa de
segurança, não deve ultrapassar 5 kV/m”.
Em 2006, é proposta a NBR 15145 - “Métodos de Medição e Nı́veis de Referência para Exposição a Campos Elétricos e Magnéticos na Frequência de 50 e 60 Hz” [20]. Nesta proposta não
se define o limite de exposição para o público ocupacional, pois, diz tratar-se de responsabilidade
do Ministério do Trabalho e Emprego nas suas normas regulamentadoras. Na proposta na NBR
- 15145, utiliza-se como referência os valores sugeridos pela ICNIRP (International Commission
on Non-Ionizing Radiation Protection) para definição dos limites de exposição do público geral,
em torno das instalações de geração, transmissão e distribuição de energia elétrica [40]. Para
campos de 60 Hz, que são os estudados nesta dissertação, os valores sugeridos são apresentados
na Tabela F.1.
Tabela F.1: Limites Propostos pela NBR 15145
Valores
Limites
Intensidade Intensidade
E [kV/m]
H [A/m]
Fluxo
B[µT ]
[41]
Público
em Geral
4,16
66,67
83,33
Ao final de cada uma das seções do capı́tulo 5, onde teremos a determinação dos nı́veis de
campos elétricos antes e após a aplicação do processo de minimização, as magnitudes dos campos
141
142
elétricos ao nı́vel do solo encontrados são comparados com os valores de referência determinados
a pouco.
Apêndice
G
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo
G.1
Caso 02: Configuração com Dois Condutores por
fase
Para esta análise é utilizada a LT São Gotardo 02 - Três Marias de 345 kV da Cemig, dois
condutores por fase, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura G.1 [36].
Figura G.1: Configuração Original - LT 345 kV
G.1.1
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas
dos Condutores Fixas
Considera-se nesta análise, um passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 1. A distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) considerada é de 8, 10 m e a distância mı́nima entre condutores na
mesma fase (dmmf) adotada é de 0, 225 m. Esta análise é realizada com a altura dos condutores
fixa ao longo do processo de minimização. As posições sugeridas pelo processo de otimização e
o campo elétrico máximo ao nı́vel do solo em cada iteração podem ser verificados na Tabela G.1.
143
144
Tabela G.1: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
103
x1 [m]
-10,593
-10,139
x2 [m]
-10,364
-8,1685
x3 [m]
-0,1143
-0,4944
x4 [m]
0,1143
0,1885
x5 [m]
10,136
8,2182
x6 [m]
10,364
9,9141
Emáx
[V/m]
6433
2803,1
A configuração sugerida e os perfis do campo elétrico podem ser observados nas Figuras G.2
e G.3, respectivamente.
Figura G.2: Configuração Ótima Sugerida
Figura G.3: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
Verifica-se a partir da Figura G.2 que os condutores da fase do meio praticamente permanecem com suas posições inalteradas enquanto que os condutores das fases laterais tem suas
posições modificadas. Nota-se a partir da Figura G.3 que há redução dos nı́veis de campos
elétricos ao nı́vel do solo.
G.1.2
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas
dos Condutores Variáveis
Em continuação ao estudo da minimização do campo elétrico ao nı́vel do solo com altura dos
condutores variável. Considera-se uma distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) de 8, 10
m e uma distância entre condutores de mesma fase (dmmf) de 0, 225 m. A altura pode variar
de 8, 10 a 15, 29 m. A configuração sugerida pelo processo de minimização e o campo elétrico
máximo ao nı́vel do solo em cada iteração, obtidos com passo do algoritmo da Seção Áurea igual
a 0, 1, podem ser observados na Tabela G.2.
A configuração ótima sugerida e o perfis do campo elétrico podem ser observados nas Figuras
145
Tabela G.2: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
100
Iteração
1
100
x1 [m]
-10,593
-9,826
h1 [m]
14,29
15,056
x2 [m]
-10,364
-9,489
h2 [m]
14,29
15,164
x3 [m]
-0,1143
0,1847
h3 [m]
14,29
14,589
x4 [m]
0,1143
0,6884
h4 [m]
14,29
14,864
x5 [m]
10,136
10,299
h5 [m]
14,29
14,453
x6 [m]
10,364
11,299
h6 [m]
14,29
15,225
Emáx [V/m]
6430,6
2861,7
Emáx [V/m]
6430,6
2861,7
G.4 e G.5.
Figura G.4: Configuração Ótima Sugerida
Figura G.5: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
Verifica-se a partir da Figura G.4 que a configuração ótima sugerida apresenta o condutor
lateral direito fora dos limites. Isso ocorre pois mesmo devido ao pequeno valor do passo da
Seção Áurea considerado, a função barreira não consegue atuar satisfatoriamente neste condutor. No entanto, verifica-se que as alturas sugeridas pelo processo de minimização atendem aos
limites estabelecidos pelas restrições do algoritmo. Na Figura G.5, observa-se uma redução do
campo elétrico ao nı́vel do solo inferior a obtida com os condutores de altura fixa.
De maneira análoga ao caso com altura fixa, realiza-se também uma minimização do campo
elétrico ao nı́vel do solo, considerando-se uma distância entre fases diferentes reduzida, ou seja,
adota-se (dmf ) sendo 7 m. As posições ótimas sugeridas e o perfil do campo elétrico ao nı́vel
do solo resultante podem ser observados na Tabela G.3.
A configuração ótima sugerida e os perfis do campo elétrico ao nı́vel do solo, podem ser
observados nas Figuras G.6 e G.7.
Verifica-se a partir da Figura G.6 que a configuração sugerida adotando-se uma distância
146
Tabela G.3: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
100
Iteração
1
100
x1 [m]
-10,593
-10,659
h1 [m]
14,29
14,224
x2 [m]
-10,364
-9,4423
h2 [m]
14,29
15,212
x3 [m]
-0,1143
-0,05073
h3 [m]
14,29
14,354
Figura G.6: Configuração Ótima Sugerida
x4 [m]
0,1143
0,3198
h4 [m]
14,29
14,496
x5 [m]
10,136
10,266
h5 [m]
14,29
14,42
x6 [m]
10,364
11,25
h6 [m]
14,29
15,176
Emáx
[V/m]
6423,2
2913,2
Emáx
[V/m]
6423,2
2913,2
Figura G.7: Perfil do Campo Elétrico ao Nı́vel
do Solo ao Longo das Iterações
entre fases reduzida é praticamente a mesma obtida com a distância entre fases convencional
adotada anteriormente. Nota-se que o perfil do campo elétrico ao nı́vel do solo apresentado na
Figura G.7 ocasiona em uma redução dos nı́veis de campos elétricos não muito expressivas.
G.2
Caso 03: Configuração com Três Condutores por fase
Para esta análise é utilizada a LT São Gonçalo do Pará - Ouro Preto de 500 kV da Cemig,
três condutores por fase, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura G.8 [37].
147
Figura G.8: Configuração dos Condutores da LT 500 kV - CEMIG
G.2.1
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas
dos Condutores Fixas
Considera-se nesta segunda análise, uma distância mı́nima entre fases diferente (dmf) de 8, 5
m, distância entre condutores da mesma fase (dmmf) de 0, 35 m e passo do algoritmo da Seção
Áurea de 0, 9. As posições sugeridas ao longo do processo de otimização e o campo elétrico
máximo ao nı́vel do solo podem ser observados na Tabela G.4.
Tabela G.4: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
Iteração
103
x1 [m]
-10,479
x2 [m]
-10,25
x1 [m]
x2 [m]
-9,5966
-9,2423
x3 [m]
-10,022
x3 [m]
-7,8106
x4 [m]
-0,2285
x4 [m]
-0,4762
x5 [m]
0
x6 [m]
0,2285
x5 [m]
0,4852
x6 [m]
0,9587
x7 [m]
10,022
x7 [m]
6,5329
x8 [m]
10,25
x8 [m]
9,8555
x9 [m]
10,479
x9 [m]
9,2702
Emáx
[V/m]
4275,4
Emáx
[V/m]
3575,6
A configuração ótima sugerida e os perfis do campo elétrico obtidos ao longo do processo de
minimização do campo elétrico podem ser observados nas Figuras G.9 e G.10.
Verifica-se a partir da Figura G.9 que neste caso a configuração obtida apresenta um maior
espaçamento entre os condutores de uma mesma fase. Nota-se que com esta modificação sugerida pelo algoritmo juntamente com a aproximação entre as diferentes fases que é possı́vel obter
uma maior redução do campo elétrico ao nı́vel do solo. Esta verificação pode ser feita por meio
da Figura G.10.
148
Figura G.9: Configuração Ótima Sugerida
Figura G.10: Perfil do Campo Elétrico ao
Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações
149
G.2.2
Minimização do Campo Elétrico ao Nı́vel do Solo com Alturas
dos Condutores Variáveis
De maneira análoga ao caso com altura não variável adota-se uma distância mı́nima entre
fases (dmf) de 5, 5 m, distância entre condutores de mesma fase (dmmf) de 0, 65 m e o passo
do algoritmo da Seção Áurea de 0, 4. As posições obtidas ao longo do processo de otimização e
o campo máximo obtido podem ser observados na Tabela G.5.
Tabela G.5: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
200
Iteração
1
200
x3 [m]
x1 [m]
x2 [m]
-10,479
-9,9620
-10,25
-9,3259
h1 [m]
h2 [m]
h3 [m]
16,53
17,0464
16,759
17,6826
16,53
17,5961
-10,022
-8,9554
x4 [m]
-0,2285
-0,1294
h4 [m]
16,53
16,629
x5 [m]
0
0,4874
h5 [m]
16,759
17,246
x6 [m]
0,2285
1,2076
h6 [m]
16,53
17,509
x7 [m]
x8 [m]
10,022
10,4528
10,25
11,1716
h7 [m]
h8 [m]
16,53
16,961
16,759
17,680
x9 [m]
10,479
10,386
h9 [m]
16,53
16,4375
4410,4
3790,8
Emáx
[V/m]
4410,4
3790,8
A configuração ótima sugerida e os perfis do campo elétrico ao nı́vel do solo podem ser observados nas Figuras G.11 e G.12.
Figura G.11: Configuração Ótima Sugerida
Figura G.12: Perfil do Campo Elétrico ao
Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações
Nota-se na Figura G.11 que a configuração sugerida apresenta uma das fases praticamente
com o mesmo aspecto da fase original, mas deslocada da sua posição original. Verifica-se em
uma das fases a violação do limite direito da faixa de variação horizontal. A partir da Figura
G.12 é percebida uma redução maior do campo elétrico ao nı́vel do solo comparando-se com
a situação anteriormente analisada. É possı́vel notar também que diante da possibilidade da
150
variação horizontal da posição dos condutores o algoritmo não realiza a compactação do sistema
sob análise como havia sido observado nos casos com altura não variável.
G.3
Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por
fase
Para esta análise é utilizada uma LT de 500 kV, quatro condutores por fase, do sistema de
Furnas, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura G.13 [38].
Figura G.13: Configuração dos Condutores da LT 500 kV - Furnas
G.3.1
Minimização do Campo Elétrico Ao Nı́vel do Solo com Alturas
dos Condutores Fixas
Como forma de se verificar o efeito da modificação das restrições adotadas considera-se nesta
análise a mesma distância entre fases diferentes (dmf) sendo 5, 5 m e uma distância entre condutores da mesma fase (dmmf) igual a 0, 475 m. Neste caso é adotado um passo da Seção Áurea
de 0, 5. As posições dos condutores sugeridas ao longo do processo de minimização e o campo
máximo obtido podem ser observados na Tabela G.6.
A configuração ótima sugerida e os perfis do Campo Elétrico podem ser observados nas Figuras G.14 e G.15.
A configuração ótima sugerida pela Figura G.14 mostra que o algoritmo mantém a organização das fases laterais e compacta a linha de transmissão. Enquanto que na fase central realiza
um afastamento entre os condutores desta fase. Na Figura G.15 nota-se que há uma redução
151
Tabela G.6: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
x1 [m]
x2 [m]
x3 [m]
x4 [m]
x5 [m]
x6 [m]
x7 [m]
x8 [m]
x9 [m]
x10 [m]
x11 [m]
x12 [m]
Emáx
[V/m]
1
200
-7,975
6,5117
-7,025
-5,669
-7,025
-5,657
-7,975
-6,505
-0,475
-1,668
0,475
0,5697
0,475
1,844
-0,475
-0,415
7,025
5,614
7,975
6,502
7,975
6,503
7,025
5,596
4329,9
3911,8
Figura G.14: Configuração Ótima Sugerida
Figura G.15: Perfil do Campo Elétrico ao
Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações
dos nı́veis de campos elétricos ao nı́vel do solo em boa parte do perfil do campo elétrico do
sistema original.
G.3.2
Minimização do Campo Elétrico Ao Nı́vel do Solo Com Alturas dos Condutores Variáveis
Adota-se a seguir uma distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) de 5 m e mantém-se a
distância entre subcondutores (dmmf) sendo 0, 90 m. Neste caso o passo do algoritmo da Seção
Áurea adotado é de 0, 05. As posições dos condutores sugeridas pelo processo de minimização
e o campo elétrico máximo obtido podem ser observados na Tabela G.7.
A configuração ótima sugerida e os perfis do campo elétrico podem ser observados nas Figuras G.16 e G.17.
Verifica-se por meio da Figura G.16 que a configuração sugerida é bem próxima da obtida
anteriormente. No entanto, devido a pequenas diferenças nas distâncias obtidas pelo processo
de minimização obtém-se uma ligeira melhora do perfil do campo elétrico ao nı́vel do solo, como
pode ser observado na Figura G.17.
152
Tabela G.7: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
x1 [m]
x2 [m]
x3 [m]
x4 [m]
x5 [m]
x6 [m]
x7 [m]
x8 [m]
x9 [m]
x10 [m]
x11 [m]
x12 [m]
Emáx
[V/m]
1
200
-7,975
-7,421
-7,025
-6,043
-7,025
-6,445
-7,975
-7,787
-0,475
-0,489
0,475
0,9034
0,475
0,4509
-0,475
-0,945
7,025
6,9283
7,975
7,9866
7,975
7,8839
7,025
6,7556
5226,2
4236,1
Iteração
h1 [m]
h2 [m]
h3 [m]
h4 [m]
h5 [m]
h6 [m]
h7 [m]
h8 [m]
h9 [m]
h10 [m]
h11 [m]
h12 [m]
Emáx
[V/m]
1
200
18,45
19,003
18,45
19,431
17,5
18,08
17,5
17,688
25,95
25,936
25,95
26,378
25
24,976
25
24,529
18,45
18,353
18,45
18,462
17,5
17,409
17,5
17,231
5226,2
4236,1
Figura G.16: Configuração Ótima Sugerida
Figura G.17: Perfil do Campo Elétrico ao
Nı́vel do Solo ao Longo das Iterações
Apêndice
H
Campo Elétrico Superficial e o Efeito Corona
Uma vez que são analisadas no capı́tulo 5 os nı́veis de campos elétricos superficiais em cada
um dos condutores dos sistemas de transmissão analisados. Opta-se em se fazer ao final de
cada uma das seções uma avaliação dos nı́veis de campos elétricos superficiais obtidos com
relação ao campo elétrico crı́tico. Este campo crı́tico é obtido através da fórmula empı́rica
de Peek, mostrada no capı́tulo 3 [18]. Espera-se que os sistemas otimizados apresentem um
campo elétrico superficial máximo inferior ao campo elétrico crı́tico, para que se tenha deste
modo um comportamento satisfatório com relação a ocorrência do Efeito Corona. A Tabela H.1
mostra o campo elétrico crı́tico obtido para cada um dos sistemas de transmissão analisados
neste trabalho, que como pode ser observado no capı́tulo 3 depende do raio do condutor adotado.
Tabela H.1: Campos Elétricos Crı́ticos - Fórmula de Peek
Nı́vel de
Tensão
raio [cm]
Emáx Crı́tico
[kV /cm]
138
0,9155
40,0948
345
1,4370
38,1584
500
1,4370
38,1584
500
1,5980
37,7624
[18]
Nas seções do capı́tulo 5, referentes a minimização do campo elétrico superficial, os perfis
dos campos elétricos superficiais antes e após o processo de minimização são analisados com
relação aos valores de campos elétricos crı́ticos obtidos na Tabela H.1.
153
154
Apêndice
I
Minimização do Campo Elétrico Superficial
I.1
Caso 01: Configuração com Um Condutor por Fase
Para esta análise é utilizada a LT de 138 kV da Cemig, com um condutor por fase, cuja
configuração geométrica pode ser observada na Figura I.1 [35].
Figura I.1: Configuração dos Condutores da LT 138 kV - CEMIG
I.1.1
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos
Condutores Fixas
Como forma de se tentar obter uma configuração que atenda as restrições, analisa-se novamente a mesma configuração mostrada no capı́tulo 5, no entanto adota-se uma distância mı́nima
entre fases diferentes (dmf) de 1, 2 m e o passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 1. As posições
sugeridas e os campos superficiais máximos obtidos ao longo do processo de minimização podem
ser observados na Tabela I.1. O algoritmo gasta 1 minuto e 56 segundos para convergir neste
caso.
155
156
Tabela I.1: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
100
x1 [m]
-3
-3,5574
x2 [m]
0
-0,3260
x3 [m]
3
2,964
E1máx
[kV/cm]
14,996
14,982
E2máx
[kV/cm]
16,14
16,141
E3máx
[kV/cm]
14,99
14,982
A configuração ótima sugerida pode ser observada na Figura I.2.
Figura I.2: Configuração Ótima Sugerida
Figura I.3: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01
Figura I.4: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.5: Campo Elétrico Superficial - Condutor 02
dutor 03
Verifica-se a partir das Figuras I.3 a I.5 que neste caso, obteve-se praticamente a mesma redução observada para a situação anterior, apresentada no capı́tulo 5. No entanto, nesta análise
embora também haja violação de um dos limites de variação horizontal dos condutores, têm-se
157
uma violação inferior a observada anteriormente para o mesmo caso analisado.
I.1.2
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos
Condutores Variáveis
A minimização do campo elétrico superficial é novamente realizada, mantém-se as mesmas
distâncias adotadas anteriormente, ou seja, distância mı́nima entre fases diferentes(dmf) de 1, 2
m. No entanto é adotado um passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 1. As posições sugeridas
pelo processo de minimização e o campo elétrico superficial máximo obtido podem ser observados na Tabela I.2. O algoritmo gasta 2 minutos e 3 segundos para convergir neste caso.
Tabela I.2: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
100
x1 [m]
-3
-3,3049
x2 [m]
0
0,021773
x3 [m]
3
3,22
h1 [m]
14,01
13,705
h2 [m]
14,01
14,032
h3 [m]
14,01
14,23
E1máx
[kV/cm]
14,996
14,756
E2máx
[kV/cm]
16,14
15,889
E3máx
[kV/cm]
14,99
14,809
A configuração ótima sugerida pode ser observada na Figura I.6.
Figura I.6: Configuração Ótima Sugerida
Figura I.7: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01
Os perfis de campo elétrico superficial podem ser observados nas Figuras I.7,I.8 e I.9.
Nota-se a partir da Figura I.6 que a configuração sugerida viola um pouco os limites laterais
xe e xd, considerados inicialmente. É possı́vel verificar que neste caso a adoção do passo do algoritmo de 0, 1 ocasiona em uma redução significativa dos nı́veis de campos elétricos superficiais
em cada um dos condutores na linha sob estudo. Este fato é evidenciado nas Figuras I.7, I.8 e
158
Figura I.8: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.9: Campo Elétrico Superficial - Condutor 02
dutor 03
I.9 apresentadas a pouco.
I.2
Caso 02: Configuração com Dois Condutores por Fase
Para esta análise é utilizada a LT São Gotardo 02 - Três Marias de 345 kV da Cemig, dois
condutores por fase, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura I.10 [36].
Figura I.10: Configuração Original - LT 345 kV
I.2.1
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos
Condutores Fixas
Realiza-se novamente a minimização, no entanto adota-se um passo do algoritmo de minimização de 0, 1. A distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) adotada é de 7 m e a distância
159
mı́nima entre subcondutores (dmmf) é de 0, 45 m. As posições sugeridas ao longo do processo
de minimização e os campos máximos obtidos podem ser observados na Tabela I.3. O algoritmo
gasta 37 segundos para convergir neste caso.
Tabela I.3: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
9
Iteração
1
9
x1 [m]
-10,479
-10,579
E1máx
[kV/cm]
30,162
13,884
x3 [m]
x2 [m]
-10,250
-10,049
-0,228
-0,22819
E2máx
[kV/cm]
20,518
14,786
E3máx
[kV/cm]
15,434
14,378
x4 [m]
0
-0,0002
E4máx
[kV/cm]
14,36
14,376
x5 [m]
10,022
9,8068
E5máx
[kV/cm]
14,366
14,764
x6 [m]
10,250
10,36
E6máx
[kV/cm]
15,441
13,856
A configuração ótima sugerida pode ser visualizada na Figura I.11. Uma ampliação para
que se possa visualizar a configuração sugerida em uma das fases, pode ser verificada na Figura
I.12.
Figura I.11: Configuração Ótima Sugerida
Figura I.12: Vista em Detalhe da Fase 01
Verifica-se a partir da Figura I.11 e I.12 que os condutores extremos a direita e a esquerda da
linha de transmissão sob análise estão levemente fora dos limites estabelecidos. No entanto, esta
configuração permite obter os perfis de campo elétricos superficiais apresentados nas Figuras
I.13 a I.18.
Verifica-se a partir das Figuras I.13 e I.14 que o perfil do campo elétrico superficial dos
condutores da fase 01 tem um perfil mais comportado. Ou seja, verifica-se uma diminuição do
campo elétrico superficial máximo e uma elevação do mı́nimo.
160
Figura I.13: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01
Figura I.14: Campo Elétrico Superficial - Condutor 02
Figura I.15: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03
Figura I.16: Campo Elétrico Superficial - Condutor 04
A partir das Figuras I.15 e I.16 nota-se que há uma redução significativa dos máximos do
perfil do campo elétrico superficial obtido em ambos os condutores.
Nas Figuras I.17 e I.18 percebe-se um comportamento semelhante ao obtido na primeira
fase. Há uma redução dos máximos e um aumento dos mı́nimos observados ao longo dos perfis
de campos elétricos superficiais obtidos.
161
Figura I.17: Campo Elétrico Superficial - Condutor 05
I.2.2
Figura I.18: Campo Elétrico Superficial - Condutor 06
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos
Condutores Variáveis
A configuração utilizada para a minimização do campo elétrico superficial com altura dos
condutores variável é a mesma considerada a pouco com altura não variável. Nesta análise para
a mesma configuração de dois condutores por fase, adota-se no entanto uma distância mı́nima
entre fases diferentes (dmf) de 7 m e uma distância mı́nima entre condutores da mesma fase
(dmmf) de 0, 45 m. O passo do algoritmo da Seção Áurea adotado é de 0, 1. As posições sugeridas ao longo do processo de minimização e o campo elétrico superficial máximo calculado
podem ser observados na Tabela I.4. O algoritmo gasta 46 segundos para convergir neste caso.
Tabela I.4: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
13
Iteração
1
13
Iteração
1
13
x1 [m]
-10,479
-10,182
h1 [m]
14,29
14,586
E1máx
[kV/cm]
20,518
13,641
x2 [m]
-10,250
-10,445
h2 [m]
14,29
14,095
E2máx
[kV/cm]
15,434
14,574
x3 [m]
-0,228
-0,2281
h3 [m]
14,29
14,29
E3máx
[kV/cm]
14,36
14,374
x4 [m]
0
-0,0004
h4 [m]
14,29
14,29
E4máx
[kV/cm]
14,366
14,374
x5 [m]
10,022
9,809
h5 [m]
14,29
14,077
E5máx
[kV/cm]
15,441
14,63
x6 [m]
10,250
10,458
h6 [m]
14,29
14,498
E6máx
[kV/cm]
30,162
13,713
A configuração ótima sugerida e uma visão ampliada da fase 01 podem ser observadas nas
Figuras I.19 e I.20, respectivamente.
162
Figura I.19: Configuração Ótima Sugerida
Figura I.20: Vista Ampliada da Fase 01 Resultante
Neste caso, novamente tem-se a partir da Tabela I.4 a constatação de que um dos condutores
da fase da direita extrapola a fronteira lateral direita, mas de maneira branda. Novamente, é
sugerido pelo algoritmo a troca de posições entre os subcondutores da fase 01. Os perfis do
campo elétrico em cada um dos condutores podem ser observados nas Figuras I.21 a I.26.
Figura I.21: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01
Figura I.22: Campo Elétrico Superficial - Condutor 02
Na fase 01, que tem os perfis obtidos apresentados nas Figuras I.21 e I.22, nota-se uma redução da variação dos nı́veis de campos elétricos superficiais ao longo dos condutores analisados.
Na fase central, cujos perfis podem ser observados nas Figuras I.23 e I.24, nota-se que há
uma redução significativa dos valores de máximos campos elétricos superficiais observados para
os condutores desta fase.
163
Figura I.23: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03
Figura I.24: Campo Elétrico Superficial - Condutor 04
Figura I.25: Campo Elétrico Superficial - Condutor 05
Figura I.26: Campo Elétrico Superficial - Condutor 06
Verifica-se nas Figuras I.25 e I.26 que neste caso há uma redução na variação do campo
elétrico ao longo da superfı́cie do condutor considerado.
I.3
Caso 03: Configuração com Três Condutores por Fase
Para esta análise é utilizada a LT São Gonçalo do Pará - Ouro Preto de 500 kV da Cemig,
três condutores por fase, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura I.27 [37].
164
Figura I.27: Configuração Original - LT 500 kV
I.3.1
Minimização do Campo Elétrico Superficial Com Alturas dos
Condutores Fixas
Nesta segunda análise considera-se a mesma configuração inicial adotada anteriormente. No
entanto, neste caso, adota-se uma distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) de 5, 5 m e uma
distância mı́nima entre condutores de mesma fase (dmmf) de 0, 65 m. Nesta análise adota-se
um passo do algoritmo da Seção Áurea de 0, 2. A configuração ótima sugerida e uma vista em
detalhe da terceira fase, podem ser observadas nas Figuras I.28 e I.29.
Figura I.28: Configuração Ótima Sugerida
Figura I.29: Vista em Detalhe da Fase 01
Verifica-se nas Figuras I.28 e I.29 que o condutor central da terceira fase troca de lugar com
o condutor extremo da direita da terceira fase. Nota-se na Figura I.29 que na primeira fase,
um dos condutores extrapola levemente o limite lateral esquerdo(xe). As posições sugeridas ao
longo do processo de minimização e os campos elétricos superficiais máximos obtidos podem ser
observados na Tabela I.5. O algoritmo gasta 1 minuto e 28 segundos para convergir neste caso.
165
Tabela I.5: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
6
Iteração
1
6
x1 [m]
-10,479
-10,522
E1máx
[kV/cm]
53,906
16,563
x2 [m]
-10,25
-10,155
E2máx
[kV/cm]
17,611
18,566
x3 [m]
-10,022
-9,873
E3máx
[kV/cm]
17,069
16,364
x4 [m]
-0,2285
-0,2249
E4máx
[kV/cm]
14,937
14,891
x5 [m]
0
-0,0015
E5máx
[kV/cm]
15,645
16,56
x6 [m]
0,2285
0,2271
E6máx
[kV/cm]
14,926
14,37
x7 [m]
10,022
9,8904
E7máx
[kV/cm]
17,095
16,816
x8 [m]
10,25
10,452
E8máx
[kV/cm]
17,618
18,104
x9 [m]
10,479
10,211
E9máx
[kV/cm]
73,98
16,1731
Os perfis dos campos elétricos superficiais obtidos em cada um dos condutores do sistema
de transmissão estudado podem ser observados nas Figuras I.30 a I.38.
Figura I.30: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 01
Figura I.31: Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 01
Verifica-se a partir das Figuras I.30, I.31 e I.32 o comportamento do perfil do campo elétrico
superficial nos condutores da fase 01. Nota-se que em dois dos condutores da fase há redução
do campo elétrico superficial máximo, enquanto que no condutor central da primeira fase não
há melhorias observadas.
Percebe-se nas Figuras I.33, I.34 e I.35 que na fase do meio é possı́vel obter redução dos nı́veis
dos campos elétricos superficiais nos três condutores. Nota-se que a redução é mais acentuada
nos condutores laterais, onde há redução do máximo e do mı́nimo campo elétrico superficial
originalmente observado.
166
Figura I.32: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 01
Figura I.33: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02
Figura I.34: Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 02
Figura I.35: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 02
Figura I.36: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 03
Figura I.37: Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 03
167
Figura I.38: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03
Nos condutores da fase 03, verifica-se a partir das Figuras I.36, I.37 e I.38 um comportamento análogo ao observado para os condutores da primeira fase. Nota-se uma redução do perfil
do campo elétrico superficial nas Figuras I.36 e I.38. Enquanto que na Figura I.37 o perfil do
campo elétrico obtido não apresenta melhorias em relação ao campo elétrico original.
I.3.2
Minimização do Campo Elétrico Superficial Com Alturas dos
Condutores Variáveis
A configuração utilizada para a minimização do campo elétrico superficial com altura dos
condutores variável é a mesma considerada a pouco com altura não variável. Realiza-se nesta
segunda análise a minimização do campo elétrico superficial, considerando-se as mesmas distâncias mı́nimas entre fases diferentes e entre condutores de mesma fase, adotadas durante a
primeira análise. Adota-se distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) de 8, 5 m e uma distância mı́nima entre condutores da mesma fase (dmmf) de 0, 35 m. No entanto com um passo
do algoritmo da Seção Áurea de 0, 2. As posições sugeridas pelo processo de minimização e
os campos elétricos superficiais máximos calculados podem ser observados na Tabela I.6. O
algoritmo gasta 1 minuto e 52 segundos para convergir neste caso.
A configuração ótima sugerida e uma vista ampliada da fase 01, podem ser verificadas nas
Figuras I.39 e I.40. Deve ser observado que o algoritmo sugere a troca de posições entre os
condutores 02 e 03 da fase 01 e entre os condutores 02 e 03 da terceira fase.
Verifica-se a partir das Figuras I.39 e I.40, que os condutores extremos laterais extrapolam
um pouco os limites estabelecidos pelo algoritmo. No entanto, como pode ser observado nas
Figuras I.41 a I.49, nota-se que com o passo considerado neste caso, a redução do perfil do
campo elétrico superficial é substancialmente superior ao obtido anteriormente.
Verifica-se a partir das Figuras I.41 a I.43 que a configuração otimizada acarreta em redução
168
Tabela I.6: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
1
7
Iteração
1
7
Iteração
1
7
x1 [m]
x2 [m]
-10,479
-10,606
-10,25
-9,8078
h1 [m]
h2 [m]
x3 [m]
-10,022
-10,137
h3 [m]
x4 [m]
-0,2285
-0,2743
h4 [m]
x5 [m]
0
0,0662
h5 [m]
x6 [m]
0,2285
0,2090
h6 [m]
x7 [m]
10,022
9,7819
h7 [m]
x8 [m]
10,25
10,542
h8 [m]
x9 [m]
10,479
10,224
h9 [m]
16,53
16,402
16,759
17,201
16,53
16,415
16,53
16,484
16,759
16,825
16,53
16,511
16,53
16,29
16,759
17,051
16,53
16,275
E1máx
[kV/cm]
E2máx
[kV/cm]
E3máx
[kV/cm]
E4máx
[kV/cm]
E5máx
[kV/cm]
E6máx
[kV/cm]
E7máx
[kV/cm]
E8máx
[kV/cm]
E9máx
[kV/cm]
53,739
16,007
17,62
17,295
17,011
16,332
14,84
14,607
15,662
15,676
14,867
14,729
16,997
16,503
17,633
17,302
73,77
15,975
Figura I.39: Configuração Ótima Sugerida
Figura I.40: Vista Ampliada da Fase 01 Resultante
dos nı́veis de campos elétricos superficiais nos condutores 01 e 03, enquanto que no condutor 02
a minimização não acarreta em redução do perfil do campo elétrico superficial observado.
Nota-se nas Figuras I.44 a I.46 que o perfil do campo elétrico superficial na fase do meio
apresenta redução dos nı́veis de campos elétricos superficiais nos três condutores.
Verifica-se nas Figuras I.47 a I.49 que de maneira semelhante ao observado na fase 01, há
redução do perfil do campo elétrico superficial nos condutores 01 e 03 e elevação dos nı́veis de
campos elétricos superficiais no condutor 02.
169
Figura I.41: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 01
Figura I.42: Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 01
Figura I.43: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 01
Figura I.44: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02
Figura I.45: Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 02
Figura I.46: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 02
170
Figura I.47: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 03
Figura I.48: Campo Elétrico Superficial - Condutor 02 - Fase 03
Figura I.49: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03
I.4
Caso 04: Configuração com Quatro Condutores por
Fase
Para esta análise é utilizada uma LT de 500 kV, quatro condutores por fase, do sistema de
Furnas, cuja configuração geométrica pode ser observada na Figura I.50 [38].
171
Figura I.50: Configuração dos Condutores da LT 500 kV - Furnas
I.4.1
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos
Condutores Fixas
Uma segunda análise é apresentada a seguir. Considera-se uma distância mı́nima entre fases
diferentes (dmf) de 5, 5 m e uma distância mı́nima entre condutores da mesma fase (dmmf) de
0, 475 m. O passo do algoritmo da Seção Áurea considerado é de 0, 1. As posições sugeridas
pelo processo de otimização e o campo elétrico superficial máximo obtido podem ser observados
na Tabela I.7. O algoritmo gasta 3 minutos e 49 segundos para convergir neste caso.
Tabela I.7: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
x1 [m]
x2 [m]
x3 [m]
x4 [m]
x5 [m]
x6 [m]
x7 [m]
x8 [m]
x9 [m]
x10 [m]
x11 [m]
x12 [m]
1
7
-7,975
-8,056
-7,025
-7,025
-7,025
-6,950
-7,975
-8,139
-0,475
-0,475
0,475
0,4749
0,475
0,4749
-0,475
-0,474
7,025
6,9644
7,975
8,1426
7,975
8,1651
7,025
6,876
Iteração
E1máx
E2máx
E3máx
E4máx
E5máx
E6máx
E7máx
E8máx
E9máx
E10máx E11máx E12máx
[kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm]
[kV/cm] [kV/cm] [kV/cm]
1
7
45,456
14,714
13,844
13,839
16,651
15,735
32,112
15,715
15,943
15,964
14,302
14,307
15,263
15,258
15,059
15,05
17,159
15,703
46,262
15,222
49,081
16,077
15,301
14,918
A configuração ótima sugerida e uma vista ampliada da fase 01 resultante pode ser verificada
nas Figuras I.51 e I.52, respectivamente.
Os perfis dos campos elétricos superficiais de cada um dos condutores da configuração original, e da configuração ótima sugerida podem ser visualizados nas Figuras I.53 a I.64.
172
Figura I.51: Configuração Ótima Sugerida
Figura I.52: Vista Ampliada da Fase 01 Resultante
Figura I.53: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.54: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 01
dutor 02 - Fase 01
Figura I.55: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.56: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 01
dutor 04 - Fase 01
173
Nota-se a partir das Figuras I.53 a I.56 que na fase 01 os condutores apresentam comportamentos diferentes com relação ao processo de otimização implementado. Verifica-se que no
condutor 01 há uma inversão entre as regiões de máximos e mı́nimos. No condutor 02 conseguese uma redução expressiva do perfil do campo elétrico superficial. Enquanto que nos condutores
03 e 04 é possı́vel obter melhora em pequenas regiões dos perfis originalmente observados.
Figura I.57: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.58: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02
dutor 02 - Fase 02
Figura I.59: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.60: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 02
dutor 04 - Fase 02
Verifica-se a partir das Figuras I.57 a I.60 que o máximo campo elétrico superficial originalmente observado é reduzido em três dos quatro condutores da segunda fase.
Verifica-se a partir das Figuras I.61 a I.64 que na fase 03 há uma inversão entre a localização
de máximos e mı́nimos nos condutores 02, 04 e 04. Em todos os condutores da terceira fase
observa-se redução dos perfis dos campos elétricos ao longo de algumas regiões do perfil originalmente observado.
174
Figura I.61: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.62: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 03
dutor 02 - Fase 03
Figura I.63: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.64: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03
dutor 04 - Fase 03
I.4.2
Minimização do Campo Elétrico Superficial com Alturas dos
Condutores Variáveis
Considera-se a mesma configuração de quatro condutores por fase analisada anteriormente
com a altura dos condutores fixa durante o processo de minimização. Nesta segunda análise,
mantêm-se a distância mı́nima entre fases diferentes (dmf) de 5, 5 m e reduz-se a distância mı́nima entre condutores da mesma fase (dmmf) para 0, 475 m. Utiliza-se neste caso um passo do
algoritmo da Seção Áurea de 0, 1.
As posições sugeridas pelo processo de minimização e o campo elétrico máximo obtido podem ser observados na Tabela I.8. O algoritmo gasta 3 minutos e 59 segundos para convergir
neste caso.
A configuração ótima sugerida e uma vista ampliada da fase 01, podem ser visualizadas nas
Figuras I.65 e I.66.
175
Tabela I.8: Configuração Sugerida pelo Processo de Minimização
Iteração
x1 [m]
x2 [m]
x3 [m]
x4 [m]
x5 [m]
x6 [m]
x7 [m]
x8 [m]
x9 [m]
x10 [m]
x11 [m]
x12 [m]
1
7
-7,975
8,0568
-7,025
-7,024
-7,025
-6,950
-7,975
-8,139
-0,475
-0,475
0,475
0,474
0,475
0,4749
-0,475
-0,474
7,025
6,9539
7,975
8,1497
7,975
8,1664
7,025
6,8775
Iteração
h1 [m]
h2 [m]
h3 [m]
h4 [m]
h5 [m]
h6 [m]
h7 [m]
h8 [m]
h9 [m]
h10 [m]
h11 [m]
h12 [m]
1
7
18,45
18,368
18,45
18,45
17,5
17,574
17,5
17,335
25,95
25,95
25,95
25,95
25
25
25
25
18,45
18,379
18,45
18,625
17,5
17,691
17,5
17,353
Iteração
E1máx
E2máx
E3máx
E4máx
E5máx
E6máx
E7máx
E8máx
E9máx
E10máx E11máx E12máx
[kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm] [kV/cm]
[kV/cm] [kV/cm] [kV/cm]
1
7
45,466
14,927
13,831
13,842
16,651
15,705
32,122
15,582
15,941
15,982
Figura I.65: Configuração Ótima Sugerida
14,3
14,313
15,26
15,259
15,058
15,058
17,16
15,585
46,274
15,151
49,092
15,972
15,3
14,663
Figura I.66: Vista Ampliada da Fase 01 Resultante
Os perfis dos campos elétricos superficiais antes e após o processo de minimização do campo
elétrico superficial, podem ser verificados nas Figuras I.67 a I.78.
Verifica-se nas Figuras I.67 a I.70 que o comportamento do perfil do campo elétrico superficial
de cada um dos condutores depois do processo de minimização é diferenciado. No condutor 01,
mostrado na Figura I.67, há uma inversão do perfil do campo elétrico superficial, com mudança
entre a região de máximos e mı́nimos. No condutor 02, mostrado na Figura I.68, nota-se que
há uma redução considerável do perfil do campo elétrico superficial. Nos condutores 03 e 04,
mostrados nas Figuras I.69 e I.70, obteve-se uma redução do perfil do campo elétrico superficial
em poucos pontos.
176
Figura I.67: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.68: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 01
dutor 02 - Fase 01
Figura I.69: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.70: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 01
dutor 04 - Fase 01
Nota-se que o perfil do campo elétrico superficial de cada um dos condutores da segunda fase,
mostrados nas Figuras I.71 a I.74, apresentam um máximo campo elétrico superficial inferior ao
máximo apresentado pelo sistema inicial, exceto no condutor 01.
Verifica-se a partir das Figuras I.75 a I.78 que o perfil do campo elétrico superficial nos
condutores 01 e 04 apresentam uma redução mais significativa do que a redução observada para
os condutores 02 e 03.
177
Figura I.71: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.72: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 02
dutor 02 - Fase 02
Figura I.73: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.74: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 02
dutor 04 - Fase 02
Figura I.75: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.76: Campo Elétrico Superficial - Condutor 01 - Fase 03
dutor 02 - Fase 03
178
Figura I.77: Campo Elétrico Superficial - Con- Figura I.78: Campo Elétrico Superficial - Condutor 03 - Fase 03
dutor 04 - Fase 03
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André Luiz Paganotti

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