MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
Este método apróximado é adequado para vigas com características não uniformes
acentuadas, ou sistemas com um número grande de massas concentradas.
Substitui-se o sistema contínuo por um sistema discreto
O sistema é representado por um conjunto de n massas discretas e rígidas
concentradas em n pontos chamados de estações
Os segmentos de veio entre as massas discretas assumem-se sem massa e com
rigidez uniforme e chama-se de campos
A equação do movimento que relaciona força com a deformação (ou
deslocamento) é substituida por equações de diferenças finitas correspondentes
A solução obtém-se passo a passo
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
A relação entre o deslocamento angular e o momento torçor é dada por:
∂ θ ( x, t ) M T ( x, t )
=
∂x
GJ (x )
(6.1)
Por outro lado, deduziu-se anteriormente a equação diferencial que governa as vibrações
torcionais livres de vigas:
∂M T ( x, t )
∂ 2θ ( x, t )
(6.2)
= I (x )
2
∂x
∂t
Como as vibrações livres do movimento síncrono são harmónicas então tem-se que o
deslocamento angular e o momento torçor são representados por:
θ ( x, t ) = Θ( x ) cos(ωt − φ )
(6.3)
M ( x, t ) = M ( x ) cos(ωt − φ )
(6.4)
Eliminando a dependência do tempo, pode-se substituir (6.1) e (6.2) por:
d Θ( x ) M ( x )
=
dx
G J (x )
dM ( x )
= −ω 2 I ( x )Θ( x )
dx
As equações anteriores são a base do método de diferenças finitas a deduzir
(6.5)
(6.6)
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
Represente-se a viga não uniforme da figura por n+1 discos rígidos ligados por veios
circulares, sem massa e com rigidez uniforme.
Os discos têm momentos polares de inércia dados por:
I1 =
Ii =
1
I ( x1 )∆x1
2
I n +1 =
1
I ( xn +1 )∆xn
2
1
I ( xi )(∆xi −1 + ∆xi ) ≅ I ( xi )∆xi
2
i = 1,2,..., n
(6.7)
(6.8)
Onde os incrementos ∆xi são suficientemente pequenos para que as aproximações em (6.7) e
(6.8) sejam válidas.
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
Adicionalmente usa-se a notação:
1
GJ i = GJ xi + ∆xi
2
i = 1,2,..., n
(6.9)
Diagrama de corpo livre da estação i e do campo i
o Os índices R e L referem-se respectivamente aos lados direitos e esquerdo da estação
o O lado esquerdo do campo i usa a notação correspondente ao lado direito da estação i
o O lado direito do campo i usa a notação correspondente ao lado esquerdo da estação i+1
estação
campo
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
Vão ser utilizadas as equações (6.5) e (6.6) para relacionar os deslocamentos angulares e os
momentos torçores nos dois lados da estação i e do campo i.
Como os discos são rígidos os deslocamentos nos dois lados da estação são iguais:
ΘiR = ΘiL = Θi
(6.10)
Por outro lado a equação (6.6) na forma incremental é:
1
∆M ( x ) = − ω 2 I ( xi )Θ( xi )(∆xi −1 + ∆xi ) ≅ −ω 2 I ( xi )Θ( xi )∆xi
2
Utilizando (6.7), (6.8) e (6.10), a expressão anterior vem:
(6.11)
(6.12)
M iR = M iL − ω 2 I i ΘiL
Como o segmento de veio associado ao campo i não tem massa, tem-se que:
M iL+1 = M iR
(6.13)
A equação (6.5) na forma incremental e quando aplicada ao campo i é:
1
1
∆Θ xi + ∆xi = M xi + ∆xi
2
2
∆xi
∆xi
1
≅ M iL+1 + M iR
1
2
GJ i
GJ xi + ∆xi
2
(
)
(6.14)
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
Utilizando a equação (6.13) a expressão (6.14) reduz-se a:
Θ iL+1 = Θ iR + ai M iR
onde:
ai =
∆xi
GJ i
(6.15)
(6.16)
representa o coeficiente de influência da flexibilidade torcional. Pode ser intrepertado como o
deslocamento angular do disco i + 1 devido a um momento unitário na estação i + 1,
mantendo o disco i sem rotação.
As equações (6.10) e (6.12) podem ser representadas na forma matricial:
θ iR
M iR
=
1
− ω 2 Ii
0 θ iL
1 M iL
(6.17)
e representam o deslocamento e torque no lado direito da estação i em termos de quantidades
semelhantes no lado esquerdo.
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
Definem-se as seguintes quantidades como vectores de estado, que são os deslocamentos
angulares e torques nos lados direito e esquerdo da estação i :
Θ iR
M iR
R
Θ
=
M
Θ iL
M iL
i
=
Θ
M
L
i
(6.18)
Define-se ainda a matriz de transferência da estação que relaciona os dois vectores de
estado (6.16):
1
0
(6.19)
[TE ]i =
2
− ω Ii 1
Deste modo a equação (6.17) pode ser escrita numa forma mais compacta:
θ
M
R
≡ [TE ]i
i
θ
M
L
(6.20)
i
De forma semelhante as equações (6.13) e (6.15) podem ser representadas por:
θ
M
onde:
L
i +1
= [TC ]i
θ
M
R
(6.21)
i
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
Onde se define a matriz de transferência do campo:
[TC ]i =
1 ai
0 1
(6.22)
Introduzindo (6.20) em (6.21) obtém-se:
L
θ
M
Onde:
L
θ
= [T ]i
(6.23)
M
i +1
i
[T ]i = [TC ]i [TE ]i
(6.24)
Representa a matriz de tranferência que relaciona o vector de estado no lado esquerdo da
estação i + 1 com o vector de estado no lado esquerdo da estação i.
Pode-se provar que começando com o primeiro disco i = 1, se tem a seguinte relação:
Θ
M
L
i +1
= [T ]i [T ]i −1...[T ]2 [T ]1
L
Θ
M
i = 1,2,..., n
(6.25)
1
Adicionalmente, observando a última figura apresentada, conclui-se que:
Θ
M
R
n +1
Θ
= [T ]
M
L
(6.26)
1
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
Onde a matriz de transferência global é:
[T ] = [TE ]n +1[T ]n [T ]n −1...[T ]2 [T ]1
(6.27)
e relaciona o vector de estado no lado esquerdo da estação 1 com o vector de estado no lado
direito da estação n + 1.
A equação (6.26) escrita na forma explícita é:
Θ nR+1 = T11Θ1L + T12 M 1L
M nR+1 = T21Θ1L + T22 M 1L
(6.28)
Onde os elementos Tij (i,j= 1,2) da matriz de transferência global [T] representam polinómios
em ω2. A equação do sistema em ordem à frequência obtém-se fazendo um dos elementos
desta matriz, ou uma combinação de elementos, igual a zero através das c.f. nos extremos da
viga.
A - Veio livre nas duas extremidades
Como não existem momentos torçores nas extremidades, as condições fronteira são:
M 1L = 0
M nR+1 = 0
Introduzindo as c.f. na segunda equação de (6.26) conclui-se que:
T21 = 0
(6.29)
MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
B - Veio encastrado numa extremidade e livre na outra
Na extremidade esquerda o deslocamento é zero e no lado direito o torque é zero:
Θ1L = 0
M nR+1 = 0
(6.30)
Neste caso tem-se que substituindo em (6.26) resulta:
T22 = 0
C - Veio encastrado nas duas extremidades
Neste caso as condições fronteira são:
Θ1L = 0
O que resulta em:
T12 = 0
Θ nR+1 = 0
(6.31)
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES À FLEXÃO (vibrações transversais de vigas)
Representa uma extensão do método de Holzer, neste caso para as vibrações
transversais de vigas
Vibrações torcionais de vigas:
Equação diferencial de 2ª ordem
Os vectores das estações são 2D, as componentes são o deslocamento
angular e o momento torçor
Vibrações transversais de vigas:
Equação diferencial de 4ª ordem
Os vectores das estações são 4D, as componentes são o deslocamento,
declive, momento flector e esforço de corte
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
Assume-se uma viga esbelta, elástica, linear e não uniforme
Representa-se a viga por um conjunto de massas concentradas
ligadas por vigas sem massa e rigidez à flexão uniforme
As massas são as estações
As vigas uniformes são os campos
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
Resumo do Método
(a) Representar a viga esbelta e não uniforme por um conjunto de massas concentradas
ligadas por segmentos de veio sem massa e com rigidez à flexão uniforme
(b) Fazer o d.c.l. da estação i e do campo i para obter uma equação do momento e outra
equação da força
(c) Campo: representar o deslocamento e a rotação em i+1 em função do deslocamento,
rotação, força e momento em i .
Oscilações livres – movimento harmónico
d)
Deduzir a matriz de transferência da estação i : passar w, Ψ , M , Q do lado
esquerdo para o lado direito da estação i
e)
Deduzir a matriz de transferência do campo i : passar
w, Ψ , M , Q do lado
esquerdo para o lado direito do campo i
f)
Deduzir uma matriz geral que relaciona w, Ψ , M , Q no lado direito da viga
com as mesmas quantidades no lado esquerdo
g)
Especificar as condições fronteira para obter a equação da frequência a partir da
equação que relaciona os v nR e v 0L
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
(b) Fazer o d.c.l. da estação i e do campo i para obter uma equação do
momento e outra equação da força
Diagrama de corpo livre da estação i e do campo i sujeitos a flexão
(a) estação i
(b) campo i
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
Da figura (a) e por haver continuidade tem-se:
wiR (t ) = wiL (t ) = wi (t ) ,
ΨiR (t ) = ΨiL (t ) = Ψi (t )
(6.32)
Onde Ψi representa o declive (tangente à curva de defleção)
Para vigas esbeltas despreza-se a inércia à rotação, logo o equilibrio de momentos para a
estação i é:
M iR (t ) = M iL (t )
(6.33)
O equilibrio de forças para a estação i é:
QiR (t ) − QiL (t ) = mi wi (t )
(6.34)
(c) Campo: representar o deslocamento e a rotação em i+1 em função do
deslocamento, rotação, força e momento em i .
Interessa definir of coeficientes de influência de flexibilidade da estação i (assumida
como restringida nos movimentos):
QiL+1 = 1
aiwQ é a translação em i+1 devido a uma força unitária em i+1,
aiwM é a translação em i+1 devido a um momento unitário em i+1, M iL+1 = 1
aiΨQ é a rotação em i+1 devido a uma força unitária em i+1,
QiL+1 = 1
aiΨM é a rotação em i+1 devido a um momento unitário em i+1,
M iL+1 = 1
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
Então da figura (b) obtém-se:
wiL+1 (t ) = wiR (t ) + ∆xi ΨiR (t ) + aiwM M iL+1 (t ) + aiwQ QiL+1 (t )
(6.35a)
ΨiL+1 (t ) = ΨiR (t ) + aiwM M iL+1 (t ) + aiwQ QiL+1 (t )
(6.35b)
Adicionalmente como as os segmentos de veio não têm massa, da fig (b) tem-se:
M iL+1 (t ) = M iR (t ) − ∆xi QiR (t )
(6.36a)
QiL+1 (t ) = QiR (t )
(6.36b)
Introduzindo as equações (6.36) em (6.35) obtém-se:
(
)
(6.37a)
ΨiL+1 (t ) = ΨiR (t ) + aiΨM M iR (t ) + aiΨQ − ∆xi aiΨM QiR (t )
(6.37b)
wiL+1 (t ) = wiR (t ) + ∆xi ΨiR (t ) + aiwM M iR (t ) + aiwQ − ∆xi aiwM QiR (t )
(
)
(d) Deduzir a matriz de transferência da estação i : passar w, Ψ , M , Q
do lado esquerdo para o lado direito da estação i
Vai-se analisar as oscilações livres sem amortecimento, logo as vibrações são
harmónicas e deste modo pode-se eliminar a dependência do tempo das eqs anteriores
Define-se os vectores da estação i como:
[
v iR = wiR ψ iR M iR QiR
]
T
e
[
viL = wiL ψ iL M iL QiL
]
T
(6.38)
onde as várias componentes representam constantes pois a dependência do tempo foi
eliminada
Deste modo as equações (6.32) a (6.34) podem ser escritas na seguinte forma:
v iR = TSi v iL
(6.39)
Onde Tsi é a matriz de transferência que permite representar o deslocamento no lado
direito da estação i em função do deslocamento no lado esquerdo:
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
Onde Tsi é a matriz de transferência que permite representar o deslocamento no lado
direito da estação i em função do deslocamento no lado esquerdo.
TSi =
1
0 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0
− ω 2 mi
0 0 1
(6.39)
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
(e) Deduzir a matriz de transferência do campo i : passar w, Ψ , M , Q
do lado esquerdo para o lado direito do campo i
Utilizando as eqs (6.36) e (6.37) deduz-se a operação de transferência do campo i:
v iL+1 = TFi v iR
TFi =
ai ∆xi / 2 − ai (∆xi ) / 6
− ai ∆xi / 2
ai
2
1 ∆xi
0 1
0
0
(6.40)
0
0
(6.41)
− ∆xi
1
1
0
Onde os coeficientes de influência são:
3
2
(
)
(
)
x
a
x
∆
∆
i
a wQ =
= i i
i
aiΨQ =
3EI i
3
(∆xi )
2
2 EI i
=
ai ∆xi
,
2
,
aiwM
aiΨM =
2
(
∆xi )
=
2 EI i
∆x
= ai
EI i
=
ai ∆xi
,
2
(6.42)
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
(f) Deduzir uma matriz geral que relaciona w, Ψ , M , Q no lado direito da
viga com as mesmas quantidades no lado esquerdo
R
L
Ou seja, deduzir uma matriz de transferência que relaciona Vn com V0 :
v nR = Tv 0L
(6.43)
Combinando (6.39) e (6.40) representa-se v no lado esquerdo do campo i+1 em função
de v no lado esquerdo de i:
v = TSi v
R
i
L
i
(6.39)
v iL+1 = TFi v iR
v iL+1 = TFiTSi v iL = Ti v iL
(6.40)
(6.44)
Prova-se que a transferência do lado esquerdo da 1ª estação para o lado esquerdo da
estação n é:
Onde:
v nL = Tn −1Tn − 2 ...T2T1v1L
(6.45a)
Ti = TFiTSi
(6.45b)
Para transferir v para o lado direito da estação n usa-se TSn:
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
Para transferir v para o lado direito da estação n usa-se TSn:
v nR = TSnTn −1Tn − 2 ...T2T1v1L
(6.46)
E a matriz de transferência que passa o vector v do lado esquerdo da estação 1 para
o lado direito da estação n é:
T = TSnTn −1Tn − 2 ...T2T1
(6.47)
MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS
(g) Especificar as condições fronteira para obter a equação da frequência a
partir da equação que relaciona os v nR e v 0L
Exemplo: viga encastrada numa extremidade e livre na outra
As cond fronteira são: w0 = 0 ,
ψ 0 = 0,
M nR = 0 ,
QnR = 0
Substituindo as c.f. na equação (6.43) resulta:
wnR
ΨnR
0
0
T11 T12 T13 T14 0
T T
T23 T24 0
= 21 22
T31 T32 T33 T34 M 0
(6.48)
T41 T42 T43 T44 Q0
Para satisfazer as duas últimas equações deve-se verificar a seguinte condição:
( )
( )
T33 ω 2
det
T43 ω 2
( )
( )
T34 ω 2
T44 ω 2
=0
(6.49)
Equação das frequências
A solução dá os valores próprios, ω12 , ω 22 ,..., ω n2