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Pró-Reitoria de Graduação
Curso de Licenciatura em Matemática
Trabalho de Conclusão de Curso
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PRÓ-REITORIA
DE GRADUAÇÃO
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TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
OBSTÁCULOS APRESENTADOS POR ALUNOS
DO 6º ANO NA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Sherley
DO CAMPO MULTIPLICATIVO
Matemática
Autor:
Daniela Fernandes Cruciol
CIFRA
DE HILL
Orientadora: Profa. MSc. Erondina Barbosa da Silva
Autor: Elaine da Silva Mantovani
Orientador: Sinval Braga de Freitas
Brasília - DF
2012
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DANIELA FERNANDES CRUCIOL
OBSTÁCULOS APRESENTADOS POR ALUNOS DO 6º ANO NA RESOLUÇÃO
DE PROBLEMAS DO CAMPO MULTIPLICATIVO
Artigo apresentado ao curso de graduação em
Matemática da Universidade Católica de
Brasília, como requisito parcial para obtenção
do Título de Licenciado em Matemática.
Orientadora: Profa. MSc. Erondina Barbosa da
Silva
Brasília
2012
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Artigo
de
autoria
de
Daniela
Fernandes
Cruciol,
intitulado
“OBSTÁCULOS
APRESENTADOS POR ALUNOS DO 6º ANO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO
CAMPO MULTIPLICATIVO”, apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de
Licenciado em Matemática da Universidade Católica de Brasília, em 26 de novembro de
2012, defendido e aprovado pela banca examinadora abaixo assinada:
_____________________________________________________
Professora Mestre Erondina Barbosa da Silva
Orientadora
Matemática – UCB
_____________________________________________________
Professor Mestre Sinval Braga de Freitas
Matemática - UCB
_____________________________________________________
Professor Mestre Vilmondes Rocha
Matemática – UCB
Brasília
2012
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OBSTÁCULOS APRESENTADOS POR ALUNOS DO 6º ANO NA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DO CAMPO MULTIPLICATIVO
DANIELA FERNANDES CRUCIOL
Resumo:
O presente trabalho teve como objetivo avaliar o nível de aprendizagem dos alunos do 6º ano
do ensino fundamental, em relação ao campo conceitual multiplicativo, principalmente no que
diz respeito à resolução de problemas, por meio da análise das estratégias e obstáculos
evidenciados na produção matemática de 12 alunos na resolução de 16 problemas que
envolviam as operações de multiplicação e divisão. A pesquisa foi fundamentada na Teoria
dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud (1990, 2009). Os dados da pesquisa foram
coletados com doze alunos de uma escola pública de uma região administrativa do Distrito
Federal. Na correção dos problemas, foram observadas a interpretação, a estratégia, a
resolução e a resposta final. Com isso, percebeu-se que esses alunos estão concluindo o 6º ano
com muitas dificuldades em interpretar um problema, executar uma estratégia que leve à
resolução e também de validar ou de avaliar a estratégia e a solução obtida.
Palavras-chave: Campo conceitual multiplicativo. Estratégias. Obstáculos.
1. INTRODUÇÃO
As operações de multiplicação e divisão são amplamente utilizadas em nosso
cotidiano. Isso significa que essas operações são usadas pelas pessoas para resolver problemas
que encontram no dia-a-dia, como mostra o exemplo abaixo:
Gabriel, Amanda e Pedro almoçaram em um restaurante e o valor da conta foi R$
81,00. Os três combinaram de pagar igualmente. Quanto ficou para cada um pagar?
Embora sejam operações muito usuais, as crianças e adolescentes têm muitas
dificuldades em resolver problemas que envolvem a multiplicação e a divisão. Não raro se
ouve de professores de matemática que os adolescentes não sabem multiplicar e nem dividir.
Quando apresentamos um problema a um aluno, como deve ser sua resposta? Esse
questionamento parece simples, mas não é nada trivial. Muitas vezes, os professores têm
dúvidas de quais foram as estratégias utilizadas pelo aluno para chegar ao resultado. E nem
sempre conseguem se debruçar sobre essas estratégias para analisar os obstáculos
apresentados.
Assim, esse trabalho de conclusão de curso teve como intenção investigar o que está
na base das dificuldades dos alunos na resolução de problemas que envolvem as operações de
multiplicação e divisão ou campo conceitual multiplicativo (VERGNAUD, 2009). As
questões que motivaram a realização da pesquisa foram: quais são as estratégias utilizadas
pelos alunos para chegar às respostas dos problemas? As estratégias revelam o tipo de
obstáculo? Que mediações podem ser feitas para elevar a competência dos alunos na
resolução de problemas dessas duas operações?
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Nesse trabalho consideramos que não existe uma “receita” de como resolver os
problemas que envolvem a multiplicação e a divisão, mas estamos considerando também que
os obstáculos podem ser superados se o professor atuar como mediador da aprendizagem do
aluno. Isso significa que é possível propor atividades para fazer os alunos avançarem na
construção dos conceitos de multiplicação e divisão ou do campo conceitual multiplicativo.
O interesse por esse tema surgiu a partir da experiência no projeto PIBID (Programa
Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência), da Universidade Católica de Brasília, que está
sendo realizado com alunos do 6º ano em uma cidade da periferia de Brasília. As observações
preliminares mostram que esses alunos têm muita dificuldade em resolver exercícios
propostos com as operações básicas, sobretudo as que envolvem multiplicação e divisão.
Assim, o propósito deste trabalho foi avaliar o nível de aprendizagem dos alunos do 6º
ano do ensino fundamental, em relação ao campo conceitual multiplicativo, principalmente no
que diz respeito à resolução de problemas. A ideia foi analisar as estratégias e os obstáculos
evidenciados na produção matemática dos alunos na resolução de problemas desse campo em
atividades que pudessem mediar à construção desses conceitos pelos alunos.
Como referencial teórico foi utilizada a Teoria dos Campos Conceituais, do psicólogo
francês Gérard Vergnaud (1990). Segundo esse teórico, as operações de multiplicação e
divisão compõem um único campo conceitual denominado campo conceitual multiplicativo.
Também foram utilizadas as ideias de Dias e Silva (2008), que discutem a resolução
de problemas em uma perspectiva metodológica.
Os dados foram coletados por meio de uma pesquisa com a observação de 12 alunos
do 6º ano do ensino fundamental, participantes do projeto. Esses alunos têm entre 12 e 13
anos e participam do Projeto Escola Integral do Governo do Distrito Federal, no qual o
projeto PBID proporciona a esses alunos aula de reforço com experimentos, jogos e resolução
de atividades, buscando melhorias no aprendizado.
Espera-se que este estudo auxilie professores a compreenderem as dificuldades dos
alunos na resolução de problemas do campo multiplicativo, para assim propor situações que
possibilitem a superação dos obstáculos e elevem a competência de resolver problemas
matemáticos.
2. TEORIA DO CAMPO CONCEITUAL
A partir dos anos 1980, quando o Movimento Matemática Moderna perde espaço no
mundo inteiro e surge o Movimento Educação Matemática (BRASIL, 1988), várias teorias,
sobretudo ligadas ao que tem sido chamada de didática da matemática francesa entraram no
Brasil. Dentre essas, há a Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud, diretor
emérito de estudos do Centro Nacional de Pesquisas Científicas (CNRS), em Paris. Formado
em Psicologia, Vergnaud foi orientando de doutorado de Jean Piaget. Mas engana-se quem
pensa que a Teoria de Vergnaud é puramente piagetiana. Hoje ele é considerado um teórico
com ideias próprias e sua teoria tem sido denominada de noepiagetiana, visto que esta amplia
o legado de Piaget porque é uma teoria com fortes implicações pedagógicas, servindo,
sobretudo, para compreender como as crianças constroem conceitos científicos. Muito embora
ela não se refira apenas à matemática, tem sido muito utilizada para elucidar a construção de
conceitos matemáticos.
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Segundo Moreira (2002, p. 7)
A teoria dos campos conceituais é uma teoria cognitivista neopiagetiana que
pretende oferecer um referencial mais frutífero do que o piagetiano ao estudo do
desenvolvimento cognitivo e da aprendizagem de competências complexas,
particularmente aquelas implicadas nas ciências e na técnica, levando em conta os
próprios conteúdos do conhecimento e a análise conceitual de seu domínio.
Como já foi dito, a Teoria dos Campos Conceituais é referencial importante para se
compreender a construção de conceitos científicos. E é por isso que as produções matemáticas
das crianças em atividades que envolvem a multiplicação e a divisão serão analisadas segundo
essa teoria.
De acordo com Vergnaud (1988, 1990), o campo conceitual das estruturas
multiplicativas consiste de todas as situações que podem ser analisadas como problemas de
proporções simples e múltiplas para os quais geralmente é necessária uma multiplicação, uma
divisão ou uma combinação dessas operações.
Para Vergnaud (1983a) o conceito de campo conceitual se dá pelas seguintes
observações: 1) um conceito não se forma dentro de um só tipo de situações; 2) uma situação
não se analisa com um só conceito; 3) a construção e apropriação de todas as propriedades de
um conceito ou todos os aspectos de uma situação são um processo de muito fôlego que se
estende ao longo dos anos, às vezes uma dezena de anos, com analogias e mal-entendidos
entre situações, entre concepções, entre procedimentos, entre significantes.
Como já foi dito, as situações propostas é que tornarão os conceitos claros e objetivos
para os alunos. O conceito matemático não deveria, portanto, ser entendido apenas como uma
descrição ou significação de um objeto, mas estar relacionado ao seu desenvolvimento em
diferentes situações dadas.
Vergnaud (1999) define o conceito como uma tríade formada pelas situações, pelas
representações simbólicas e pelas invariantes operacionais. A expressão abaixo mostra esta
tríade:
C = S, R, I
Onde, o S é “um conjunto de situações que dão sentido ao conceito”; I é “um conjunto
de invariantes (objetos, propriedades e relações) sobre os quais repousa a operacionalidade do
conceito” que são utilizados pelos sujeitos para analisar as situações a fim de dar-lhes
solução; e R “é um conjunto de representações simbólicas (linguagem natural, gráficos,
diagramas, sentenças formais, etc.)” também utilizadas pelos sujeitos e que o possibilitam
representar tanto a situação como as invariantes operacionais.
Para Moreira (2002, p. 10)
Uma definição pragmática poderia considerar um conceito como um conjunto de
invariantes utilizáveis na ação, mas esta definição implica também um conjunto de
situações que constituem o referente e um conjunto de esquemas postos em ação
pelos sujeitos nessas situações. Daí, o tripleto (S, R, I) onde, em termos
psicológicos, S é a realidade e (I, R) a representação que pode ser considerada como
dois aspectos interagentes do pensamento, o significado (I) e o significante (R).
Desta forma, é impossível pensar nos conceitos de multiplicação e divisão apenas a
partir de exercícios algorítmicos, apenas de exercícios de “arme e efetue”, de continhas soltas.
Esses conceitos devem ser pensados a partir do conjunto de situações que dão sentido a eles,
bem como dos invariantes operacionais e representações que os sujeitos utilizam nessas
situações.
Esses três componentes da tríade devem ser estudados simultaneamente se o objetivo é
compreender como o sujeito constrói os conceitos relativos ao campo conceitual
6
multiplicativo, ou como o sujeito resolve problemas que envolvem os conceitos de
multiplicação e divisão.
3. CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
MULTIPLICATIVAS
NOS
Segundo Moreira (2002, p. 9) o campo conceitual proporciona uma estrutura e um
conjunto de princípios que orientam o estudo do desenvolvimento da aprendizagem de
conhecimentos complexos. “Para tal teoria o conhecimento está organizado em campos
conceituais que o indivíduo aprende ao longo da vida”.
Na mesma direção da teoria dos campos conceituais, os Parâmetros Curriculares
Nacionais – PCN apresentam quatro tipos de situações que dariam significado à multiplicação
e divisão.
Os PCN (BRASIL, 1998) indicam que a abordagem tradicional de associar a
multiplicação a uma soma de parcelas é insuficiente para a construção do conceito, como
mostra o exemplo a seguir apresentado nos parâmetros:
Preciso tomar 2 comprimidos durante 6 dias. Quantos comprimidos serão
necessários?
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 ou 6 × 2 = 12
Segundo o PCN (BRASIL, 1998), embora 6 × 2 = 2 × 6, apenas a escrita 6 x 2 é
adequada ao problema e traduz a ideia presente. A escrita 2 × 6 indica que 6 comprimidos vão
ser tomados em duas vezes ou em dois dias.
Como foi dito, para desenvolver uma compreensão mais ampla da multiplicação é
necessário trabalhar paralelamente multiplicação e divisão. Então, a multiplicação e divisão
estão condicionadas por que apresentam esquemas próximos.
Os PCN (1998) destacam quatro significados para as operações de multiplicação e
divisão. Como mostram os exemplos a seguir, esses significados associam essas duas
operações e nesse sentido aproximam-se da teoria dos campos conceituais.
3.1 MULTIPLICAÇÃO COMPARATIVA
Nesse tipo de problema é trabalhada a relação de quantidades, conforme mostra o
exemplo abaixo:
Victor e Giovanna fazem aniversário no mesmo dia. Victor ganhou15 reais de
presente do seu pai. Já Giovanna ganhou o triplo deste valor de presente da sua mãe.
Quanto foi que Giovanna ganhou de presente de sua mãe?
A partir deste exemplo, é possível formular um problema equivalente, mas que
envolve a operação de divisão:
Victor e Giovanna fazem aniversário no mesmo dia. Giovanna ganhou 45 reais de
presente da sua mãe. Victor ganhou um terço deste valor do seu pai. Quanto Victor
ganhou de presente?
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3.2 MULTIPLICAÇÃO COM A IDEIA DE PROPORCIONALIDADE
São problemas que envolvem a comparação das razões entre si, ou seja, a relação das
quantidades. Segue exemplo:
Uma barra de chocolate custa R$ 4,50. Quanto pagarei se comprar 8 barras de
chocolate?
Com isso, é possível construir situação semelhante, mas com a operação de divisão.
Comprei 8 Barras de Chocolate de mesmo valor e paguei por elas R$ 36,00. Quanto
custou cada Barra de Chocolate?
3.3 MULTIPLICAÇÃO COM A IDEIA DE CONFIGURAÇÃO RETANGULAR
Esse significado está associado ao produto de duas medidas e evocam a ideia de área,
pois em geral, é preciso relacionar comprimento com largura, linhas e colunas, etc.
Patrícia dará uma festa de aniversário pelos seus 15 anos. Para isto, ela alugou um
salão de festa que contém 5 fileiras de mesas e cada fileira possui 6 mesas. Cada
mesa possui 4 cadeiras. Quantas cadeiras terão na festa?
O problema a seguir mostra a mesma situação para a operação de divisão.
Na festa de aniversário de 15 anos da Patrícia há 120 Cadeiras distribuídas em mesas
com 4 cadeiras. Quantas mesas há no salão de festa alugado?
3.4 MULTIPLICAÇÃO COMBINATÓRIA
Esse significado associa-se à ideia de determinar a quantidade de objetos de um
conjunto organizado de determinada maneira. Envolve as primeiras noções dos princípios de
contagem, como mostra o exemplo a seguir:
Nicolas ganhou 3 bermudas, uma preta, uma azul e uma estampada, e 2 tênis, um
branco e outro preto. De quantas maneiras ele pode se arrumar combinando uma
bermuda com um tênis?
Segue agora exemplo de uma situação similar que envolve a divisão:
Nicolas ganhou algumas bermudas e dois tênis, um branco e um preto. Ele percebeu
que poderia se arrumar de 6 maneiras diferentes, sem repetir nenhuma das peças.
Quantas bermudas ele ganhou de presente?
É importante que todos esses significados sejam trabalhados de forma interligada
desde os anos iniciais. Os PCN (1998) recomendam que as ideias sejam exploradas em
situações contextualizadas e significativas para as criança e adolescentes, a fim de que se
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desenvolva a competência de resolver problemas multiplicativos, que envolvem muito mais
do que o domínio de algoritmos.
4. A RESOLUÇÃO DE PROBLEMA COMO COMPETÊNCIA BÁSICA A SER
DESENVOLVIDA NA MATEMÁTICA
A resolução de problemas deve ser uma competência básica a ser desenvolvida pela
escola. Muito embora o desenvolvimento dessa competência não seja responsabilidade apenas
da matemática, é nessa área que ela encontra maior ressonância.
Os PCN (1998, p. 39) “apontam a resolução de problemas como ponto da atividade
matemática”. Desta forma, não é o exercício algorítmico, ou seja, não são as continhas soltas
de multiplicação e divisão que devem dar início ao estudo do campo conceitual
multiplicativo. É verdade que o domínio do algoritmo é fundamental para o desenvolvimento
da competência de resolver problemas do campo multiplicativo, mas é preciso compreender,
conforme postula Vergnaud (1999), que um conceito só adquire sentido dentro da situação e,
portanto, dentro do problema.
Ainda hoje, os problemas são tratados dentro da matemática apenas como aplicação de
uma definição. O professor explica os conteúdos, dá exemplos e, em seguida, propõe
problemas para serem resolvidos. Na perspectiva apontada pelos PCN (1998) o problema
deve iniciar a construção de um conceito.
A esse respeito Dias e Silva (2008) apontam a resolução de problemas como elemento
disparador do conceito matemático e que pode anteceder a linguagem simbólica da
matemática. Para essas autoras, a resolução de problemas é o caminho, é processo de
construção do conceito e não produto. A generalização de um conceito ocorre a partir da
resolução de problemas.
Nesse sentido, é importante compreender as etapas da resolução de problemas para se
compreender a ação do aluno. George Polya foi um matemático que, na década de 1940,
observando os seus alunos a resolver problemas, indicou quatro etapas do processo de
resolução de problemas.
Para Polya (1995) na resolução de um problema o aluno passa por quatro etapas:
ETAPAS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Etapa
Descrição
1 Compreensão do problema
É a etapa da interpretação da situação, quando o aluno vai
ler o problema e identificar os dados do problema.
2 Estabelecimento de um Nessa etapa o aluno vai traçar uma estratégia de
plano
resolução. Para traçar esse plano, o aluno mobiliza
conhecimentos anteriores e os associa aos dados
encontrados na etapa anterior.
3 Execução do plano
Etapa em que o aluno coloca em funcionamento o plano,
ou seja, executa a estratégia pensada e chega a um
resultado.
4 Retrospecto
Nessa etapa o aluno valida a resolução, ele avalia se a
solução obtida responde à situação, caso contrário retorna
à etapa inicial.
Essas etapas ocorrem de forma associada, mas é possível avaliar se os erros dos alunos
foram de interpretação, de planejamento, de execução ou de avaliação. Nesse sentido,
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compreender o processo de resolução de problemas do campo multiplicativo requer a
compreensão das etapas de resolução de problemas.
5. RESULTADOS
Para termos uma melhor compreensão dos resultados obtidos na pesquisa, foram
propostos dezesseis problemas, sendo quatro questões de cada significado das operações de
multiplicação e divisão, tendo como objetivo principal analisar as estratégias utilizadas pelos
alunos, bem como as dificuldades e obstáculos apresentados diante dos problemas propostos.
A aplicação dos problemas foi realizada com doze alunos do 6º ano do ensino
fundamental, divididos em dois grupos. Cada grupo resolveu os problemas em dias diferentes.
Durante a resolução os alunos não tiveram contato entre si.
No primeiro dia foram escolhidos seis alunos do sexto ano. A escolha foi feita pelos
próprios alunos, que manifestavam vontade de participar da pesquisa. Os alunos gastaram
aproximadamente duas horas para resolver os 16 problemas. No segundo dia, o processo de
escolha foi mantido e outros seis alunos levaram em torno de uma hora e meia para concluir
os mesmos problemas.
Durante a aplicação, observamos que os alunos tinham muitas dificuldades de
interpretar o enunciado e com isso não chegavam a uma resposta correta, sendo que muitas
vezes montavam a questão correta, mas não conseguiam chegar ao resultado correto ou
deixavam a resolução pela metade.
De cada um dos problemas foram escolhidos 3 protocolos representativos das
estratégias utilizadas pelos alunos na resolução.
4.1 PROBLEMAS APRESENTADOS SOBRE MULTIPLICAÇÃO COMPARATIVA
Foram apresentados quatro problemas envolvendo a idéia de multiplicação
comparativa. A seguir será apresentado cada um dos problemas, bem como seus resultados.
1) O supermercado Moça Chique carrega em seu caminhão 17 caixas de tomate com
14 unidades em cada uma. O supermercado vendeu certa quantia e doou a quarta
parte do total para um asilo próximo. Quantas unidades de tomates o supermercado
vendeu?
O gráfico a seguir, mostra o desempenho dos doze alunos no problema 1. Apenas um
aluno chegou ao resultado, mas não registrou a resposta correta. Cinco alunos erraram
integralmente o problema e seis conseguem efetuar a multiplicação de 17 por 14, mas não
prosseguem na resolução.
10
6
4
Certo
Errado
2
Parcial
0
Questão 3
Gráfico 1 - Desempenho dos Alunos no Problema 1
O problema relevou-se com certa complexidade para os alunos. Os alunos pesquisados
tiveram grande dificuldade nesta questão, pois realizavam a multiplicação das caixas pelas
unidades, mais não entendiam o que o problema proposto queria dizer quando falava da
quarta parte. Apenas uma aluna optou por uma estratégia que levaria à resposta correta,
conforme mostra figura 1a, a seguir. Ela chega a calcular a quarta parte, mas como não deu
resultado exato, prossegue em outras estratégias, demonstrando não saber avaliar se o
resultado estava correto ou não. A figura 1b mostra uma estratégia incompleta, ou seja, o
aluno opta pela estratégia correta de multiplicar mais não prossegue. A figura 1c mostra a
opção por uma estratégia incorreta.
Após aplicação, verificou-se que havia uma incoerência no problema, pois o resultado
era uma quantidade não inteira, o que pode ter dificultado a resolução do problema.
Fig. 1a. Estratégia
correta
Fig. 1b.
Estratégia parcial
Fig. 1c. Estratégia errada
Figura 1. Protocolos do problema 1
No problema 2, apresentado a seguir, percebemos uma grande ansiedade dos alunos,
por não saberem que quantidade deveriam triplicar. A maioria conseguiu calcular o dobro da
quantidade de bolinhas de gude de Gabriel para encontrar a quantidade de Victor, mas não
conseguiu compreender que deveria triplicar a quantidade deste último para encontrar o
número de bolinhas de gude do Nicolas.
2) Gabriel tem 23 bolinhas de gude. Victor tem o dobro de Gabriel, Nicolas tem o
triplo de Victor. Quantas bolinhas de gude têm os três juntos?
O gráfico a seguir, mostra o desempenho dos doze alunos no problema 2. Neste
problema dois alunos conseguiram chegar ao resultado, quatro alunos erraram integralmente o
problema e cinco conseguiram multiplicar a quantidade de bolinhas de gude do Gabriel, mas
não chegaram à quantidade que Nicolas possuía, logo não chegaram a um resultado
satisfatório.
11
5
4
Certo
3
Errado
2
Parcial
1
0
Questão 2
Gráfico 2 - Desempenho dos Alunos no Problema 2
Um fator que parece interferir na resolução de problemas é a vontade de concluir logo.
Com isso, os alunos optam por uma estratégia, desenvolvem essa estratégia, mas não avaliam
para ver se chegaram à resposta correta. E o que mostra a figura 2a: o aluno responde obrando
e triplicando a quantidade de bolinhas do Gabriel, o que mostra um erro de interpretação. Na
figura 2b, o aluno inicia corretamente a estratégia para encontrar o dobro e o triplo proposto
pelo problema, porém erra na soma do total de bolinhas. Já a figura 2c, mostra a opção de
uma estratégia correta que conduz a resolução do problema.
Fig. 2a. Estratégia
parcial
Fig. 2b. Estratégia
parcial
Fig. 2c. Estratégia
correta
Figura 2. Protocolos do problema 2
No problema 3, apresentado a seguir, os alunos não conseguiram entender que
estratégia deveria ser usada no problema.
3) Jéssica ganhou de sua avó 360 reais. Ela resolveu gastar a terça parte e depositar o
restante na poupança. Qual foi o valor gasto por Jéssica?
O gráfico a seguir mostra o desempenho dos doze alunos no problema 3. A resolução
deste problema é aparentemente fácil, mas os alunos tiveram muita dificuldade em saber o
que era a terça parte. Oito alunos erraram integralmente o problema, dois acharam a resolução
correta do problema e dois alunos iniciaram a resolução com estratégia correta, mas não
conseguiram êxito.
12
8
6
Certo
4
Errado
Parcial
2
0
Questão 3
Gráfico 3 - Desempenho dos Alunos no Problema 3
Para os alunos chegarem à resposta correta do problema, precisavam saber calcular a
terça parte. Na figura 3a, o aluno usou uma estratégia correta para achar a resposta, mas
cometeu um erro de interpretação, de execução e avaliação, pois não percebeu que a primeira
conta já dava o resultado correto do problema.
A figura 3b mostra uma estratégia curiosa: ao invés de utilizar uma divisão ele utiliza
uma multiplicação na primeira etapa da resolução. Esse aluno provavelmente utilizou um
cálculo mental e na hora de transmitir o cálculo, transcreveu erroneamente, fazendo por meio
de uma multiplicação (360 × 3 = 120), quando na verdade era uma divisão. Na sequência, ele
cometeu um erro ao subtrair do valor encontrado o número que corresponde à proporção do
problema. A figura 3c, mostra um aluno que interpreta, planeja e executa uma estratégia que
leva ao resultado correto.
Fig. 3a. Estratégia parcial
Fig. 3b. Estratégia
parcial
Fig. 3c. Estratégia
correta
Figura 3. Protocolos do problema 3
No problema 4, a seguir, o aluno precisava multiplicar 124 por 4 para chegar à reposta
correta. Embora muitos tenham falado que não sabiam o que era quádruplo, o resultado foi
satisfatório. Foi questionado ao final, o porquê da multiplicação por quatro, alguns
responderam que era o número que vinha a mente no momento que liam o enunciado.
4) João e Pedro colecionam selos. João tem 124 figurinhas e Pedro tem o quádruplo
da quantidade que tem João. Quantas figurinhas Pedro têm?
O gráfico a seguir, mostra o desempenho dos doze alunos no problema 4. A resolução
deste problema teve um resultado satisfatório em relação aos demais problemas, pois dez
alunos conseguiram chegar à resposta correta. Dois alunos não entenderam o que era
quádruplo e erraram integralmente o problema.
13
10
8
Certo
6
Errado
4
Parcial
2
0
Questão 4
Gráfico 4 - Desempenho dos Alunos no Problema 4
A figura 4a mostra um aluno que encontrou duas estratégias que conduzia à resposta
correta: ele multiplicou a quantidade de figurinhas por quatro e efetuou a soma do número
124 quatro vezes o que confirmou o seu resultado. A figura 4b mostra que o aluno utilizou a
estratégia da soma de parcelas iguais chegando também à resposta, mas em seguida
acrescenta 124 ao resultado, encontrando quantas figurinhas João e Pedro tinham juntos, o
que não foi solicitado no problema. Isso revela um erro de interpretação. Na figura 4c, o aluno
entendeu que quádruplo era somar os termos duas vezes não chegando à resposta correta.
Fig. 4a. Estratégia
correta
Fig. 4b. Estratégia correta
Fig. 4c. Estratégia
errada
Figura 4. Protocolos do problema 4
Muito embora os problemas de multiplicação comparativa sejam os mais simples para
os alunos, a análise revela que eles têm dificuldades, sobretudo no que envolve o conceito de
divisão. No momento da aplicação, vários alunos questionaram: “professora o que é terça
parte” e “não sei o que é triplo”. Desta forma, o resultado indica a necessidade de se
trabalhar esse significado, por meio da resolução de problemas, já que muitos demonstraram a
compreensão do algoritmo.
4.2
PROBLEMAS APRESENTADOS SOBRE MULTIPLICAÇÃO COM A IDEIA DE
PROPORCIONALIDADE
Foram apresentados quatro problemas envolvendo a ideia de multiplicação com o
significado de proporcionalidade. A seguir, será apresentado cada um dos problemas, bem
como seus resultados.
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No problema 5, apresentado a seguir, a questão pedia que o aluno multiplicasse o valor
de uma torta que custava 28,00 por 80. Apesar de ser uma situação do dia-a-dia, muitos
alunos não chegaram à resposta correta.
5) Nicolas tem uma confeitaria. Para fazer uma torta, ele gasta 28,00 reais, incluindo
todos os materiais. Para produzir uma encomenda de 80 tortas, ele irá gastar quanto?
O gráfico a seguir, mostra o desempenho dos doze alunos no problema 5. O problema
apresenta uma situação rotineira, mas quatro alunos erraram integralmente o problema, cinco
acertaram a estratégia, mas erraram a resolução e apenas três chegaram a uma resposta
correta.
5
4
Certo
3
Errado
2
Parcial
1
0
Questão 5
Gráfico 5 - Desempenho dos Alunos no Problema 5
A figura 5a mostra um aluno que somou o valor da torta com a quantidade
encomendada, chegando assim a um resultado incorreto. A figura 5b mostra que um aluno
acerta a estratégia, mas erra o cálculo, demonstrando não dominar a operação da
multiplicação. Na figura 5c, o aluno acertou a estratégia e o cálculo, obtendo o resultado
correto.
Fig. 5a. Estratégia errada
Fig. 5b. Estratégia
parcial
Fig. 5c. Estratégia correta
Figura 5. Protocolos do problema 5
No problema 6, a seguir, exige que o aluno efetue uma divisão de 640 por 128.
6) Paulo comprou uma passagem aérea no valor 640 reais, sem juros e sem entrada.
Cada parcela foi 128 reais. Em quantas parcelas Paulo pagou a passagem?
Conforme gráfico a seguir, cinco alunos acertaram o problema, seis erraram
integralmente o problema e um aluno acertou a estratégia correta, mas errou no cálculo.
15
6
5
4
Certo
3
Errado
2
Parcial
1
0
Questão 6
Gráfico 6 - Desempenho dos Alunos no Problema 6
A figura 6a mostra que um aluno usou a estratégia de divisão e confirmou o resultado
realizando a “prova real”, pela soma das parcelas. A figura 6b mostra um aluno que usa a
soma das parcelas até encontrar o valor total e assim achar o número de parcelas. Na figura
6c, a estratégia está incorreta, pois o aluno multiplicou o valor total pelo valor da parcela.
Com isso, podemos afirmar que não conseguiu interpretar o problema.
Fig. 6a. Estratégia
correta
Fig. 6b. Estratégia
correta
Fig. 6c. Estratégia Errada
Figura 6. Protocolos do problema 6
No problema 7, a seguir, os alunos apresentaram muitas dificuldades em efetuar o
cálculo.
7) Como minhas fotografias estão desorganizadas eu comprei 16 álbuns para
organizá-las. Em cada álbum cabem 48 fotos. Quantas fotografias eu poderei colar
se utilizar todos os álbuns?
A situação exigia que o aluno soubesse que em cada álbum cabem 48 fotos e que
como são 16 álbuns é preciso realizar uma multiplicação para chegar ao resultado correto.
Conforme o gráfico abaixo, dos doze alunos que responderam a pesquisa, três alunos
acertaram o problema, três alunos erraram integralmente o problema e seis escolheram a
estratégia correta, mas erraram nos cálculos ou na execução.
16
6
5
4
3
2
Certo
Errado
Parcial
1
0
Questão 7
Gráfico 7 - Desempenho dos Alunos no Problema 7
A figura 7a mostra a estratégia incorreta do aluno que soma o número de álbuns com a
quantidade de fotografias, demonstrando não interpretar corretamente a situação. A figura 7b
e 7c mostram erros de execução. Os alunos interpretam corretamente, fazem opção por uma
estratégia correta, mas erram nos cálculos, demonstrando não dominar a operação de
multiplicação.
Fig.7a. Estratégia
Fig. 7b. Estratégia
Fig. 7c. Estratégia
Errada
parcial
parcial
Figura 7. Protocolos do problema 7
No problema 8, apresentado a seguir, os alunos não conseguem entender que com 240
unidades de lápis de cor dividida por doze unidades em cada caixa, teremos um total de 20
caixas.
8) Péricles quer comprar 240 unidades de lápis de cor para seus alunos usarem na
aula de artes. Ele foi até a papelaria e percebeu que a caixa com 12 unidades de lápis
de cor custa 5 reais. Quanto Péricles irá gastar para comprar as 240 unidades?
Conforme gráfico a seguir, dez alunos erraram integralmente o problema e dois alunos
optaram pela estratégia correta, mas erraram nos cálculos. Nenhum aluno conseguiu acertar
integralmente o problema.
10
8
6
Certo
4
Errado
2
Parcial
0
Questão 8
Gráfico 8 - Desempenho dos Alunos no Problema 8
A figura 8a mostra a estratégia de um aluno que não consegue interpretar o problema e
apenas soma os dados encontrados. A figura 8b mostra também uma estratégia incorreta: o
17
aluno multiplicou a quantidade de lápis de uma caixa pelo preço da caixa, em seguida
multiplicou o resultado encontrado pela quantidade total de lápis. Já a figura 8c mostra que o
aluno opta por uma estratégia correta, mas comete um erro de execução, pois não multiplica a
quantidade de caixas pelo valor unitário.
Fig. 8a. Estratégia
Errada
Fig. 8b. Estratégia
Errada
Fig. 8c. Estratégia
Parcial
Figura 8. Protocolos do problema 8
As dificuldades dos alunos na resolução dos problemas desse grupo indicam a
necessidade de não apenas trabalhar as situações, mas também a interpretação das operações
de multiplicação e divisão. O domínio de interpretar o enunciado representou o maior
obstáculo para a resolução dos problemas deste grupo. Assim, se faz necessário um trabalho
concomitante de resolução de problemas e de acompanhamento dos alunos na execução das
operações de multiplicação e divisão.
4.3
PROBLEMAS APRESENTADOS SOBRE MULTILICAÇAO COM A IDEIA DE
CONFIGURAÇÃO RETANGULAR
Foram apresentados quatro problemas envolvendo a ideia de multiplicação com o
significado de configuração retangular. A seguir, serão apresentados os problemas, bem como
seus resultados.
No problema 9, apresentado a seguir, os alunos tiveram muita dificuldade em interpretar a
situação.
9) Maria tem 3 estantes nas quais guarda as revistas em quadrinho que coleciona.
Cada estante tem 4 prateleiras e em cada prateleira cabem 30 revistinhas. Quantas
revistinhas ele pode guardar nas 3 estantes?
A situação que envolvia duas multiplicações se revelou bastante difícil. Apenas quatro
alunos escolheram uma estratégia correta que os conduziram à resposta. Um aluno acertou a
estratégia, mas errou os cálculos e sete alunos erraram integralmente o problema.
8
6
Certo
4
Errado
2
Parcial
0
Questão 9
Gráfico 9 - Desempenho dos Alunos no Problema 9
18
A figura 9a mostra a estratégia de um aluno que provavelmente encontra o número de
prateleiras por cálculo mental. Ele multiplica a quantidade de prateleiras pela quantidade de
revistinhas chegando ao resultado correto. A figura 9b mostra uma estratégia diferente, mas
que também conduz à resposta correta.
A figura 9c mostra a estratégia de um aluno que não interpretou corretamente a
situação. Ele apenas divide a quantidade de revistas pela quantidade de estantes.
Fig. 9a. Estratégia
Correta
Fig. 9b. Estratégia
Correta
Fig. 9c. Estratégia
Errada
Figura 9. Protocolos do problema 9
O problema 10, apresentado a seguir, traz uma situação muito presente no cotidiano
dos alunos. Muitos deles utilizam ônibus e talvez por isso, a decisão de qual estratégia deveria
ser usada ficou mais clara.
10) O ônibus escolar cabe 48 estudantes sentados. Cada fileira do ônibus tem 4
poltronas. Quantas fileiras há nesse ônibus?
Conforme o gráfico abaixo, seis alunos acertaram o problema, dois acertaram a
estratégia e erraram no cálculo. Quatro erraram integralmente o problema.
6
5
4
Certo
3
2
Errado
Parcial
1
0
Questão 10
Gráfico 10 - Desempenho dos Alunos no Problema 10
A figura 10a mostra que um aluno escolheu corretamente a estratégia, mas errou o
cálculo. A figura 10b mostra uma estratégia correta, realizada com uma operação diferente da
esperada que era a divisão, o que coaduna com a perspectiva de Vergnaud (1999) para quem
as operações de multiplicação e divisão fazem parte de um mesmo campo conceitual. A figura
10c mostra que um aluno chega ao resultado correto, mas registra a resposta de forma
incorreta, demonstrando não ter retornado ao enunciado do problema para avaliar a resposta.
O correto seria responder que há 12 fileiras no ônibus.
19
Fig. 10a. Estratégia
parcial
Fig. 10b. Estratégia
correta
Fig. 10c. Estratégia
correta
Figura 10. Protocolos do problema 10
O problema 11 se revelou muito difícil, provavelmente porque exigia duas
multiplicações e uma adição.
11) O grupo de dança da escola foi convidado para apresentar sua dança no auditório
da Universidade Católica de Brasília. Chegando lá, perceberam que no auditório
existiam 10 fileiras com 24 assentos no piso superior e no piso inferior 20 fileiras de
30 assentos. Quantas pessoas poderão assistir ao espetáculo sentadas?
O gráfico a seguir mostra que dez alunos erraram integralmente o problema. Somente
um aluno conseguiu achar o resultado solicitado e um acertou parcialmente o problema, pois
não efetuou a soma dos termos.
10
8
Certo
6
Errado
4
Parcial
2
0
Questão 11
Gráfico 11 - Desempenho dos Alunos no Problema 11
A figura 11a mostra que um aluno acerta parcialmente o problema, pois efetua
corretamente as duas multiplicações, mas não soma os resultados para chegar à resposta
correta do problema. Já na figura 11b, o aluno acerta o resultado do problema. Na figura 11c o
aluno soma todos os números apresentados no enunciado do problema chegando a um
resultado incorreto.
20
Fig. 11a. Estratégia
Parcial
Fig. 11b. Estratégia
Correta
Fig. 11c. Estratégia
Errada
Figura 11. Protocolos do problema 11
No problema 12, a seguir, os alunos tiveram um resultado satisfatório.
12) O edifício Barcelona em Taguatinga ficou pronto e começaram a vender os
apartamentos. O edifício tem 18 andares. Em cada andar há 8 apartamentos. Quantos
apartamentos têm o edifício para vender?
O gráfico a seguir mostra que quatro alunos resolveram corretamente o problema,
cinco acertaram parcialmente e três erraram integralmente o problema.
5
4
Certo
3
2
Errado
1
Parcial
0
Questão 12
Gráfico 12 - Desempenho dos Alunos no Problema 12
Este problema foi um dos que teve maior índice de acerto. A figura 12a mostra que um
aluno escolheu corretamente a estratégia que conduz à resposta correta. A figura 12b mostra
que o aluno acerta na escolha da estratégia, mas erra na execução da operação. A figura 12c
mostrou uma escolha incorreta da estratégia: o aluno divide a quantidade de andares pela
quantidade de apartamentos.
Fig. 12a. Estratégia
Correta
Fig. 12b. Estratégia
Parcial
Fig. 12c. Estratégia
Errada
Figura 12. Protocolos do problema 12
21
Os resultados indicam que muitos alunos que acertaram os problemas desse grupo
resolveram utilizando a adição. Esses ainda não compreenderam que a operação de
multiplicação trata de forma econômica a mesma situação. Os resultados ainda indicam que a
habilidade de efetuar as operações de multiplicação e divisão são obstáculos à resolução de
problemas.
4.2
PROBLEMAS APRESENTADOS SOBRE MULTIPLICAÇÃO COMBINATÓRIA
Foram apresentados quatro problemas envolvendo a ideia de multiplicação
combinatória.
No problema 13, a seguir, o resultado foi insatisfatório. Durante a resolução, os alunos
falaram que não tinham visto esse conteúdo em sala de aula.
13) Camila tem que trabalhar de saia e blusa de manga comprida. Durante 20 dias,
ela não repetiu nenhuma das peças. Se ela tem 4 saias, quantas blusas ela tem?
O gráfico abaixo mostra que apenas três conseguiram chegar ao resultado do problema
e nove alunos erraram integralmente o problema
10
8
Certo
6
Errado
4
Parcial
2
0
Questão 13
Gráfico 13 - Desempenho dos Alunos no Problema 13
A figura 13a mostra que um aluno acerta a resolução dividindo o número de dias pela
quantidade de saias, assim achando a quantidade de blusas. As figuras 13b e 13c mostram
estratégias de adição e subtração que conduzem os alunos a respostas incorretas.
Fig. 13a. Estratégia correta
Fig. 13b. Estratégia
errada
Fig. 13c. Estratégia
errada
Figura 13. Protocolos do problema 13
No problema 14 os alunos apresentaram uma grande dificuldade.
22
14) Eduarda tem cinco camisetas, três calças e três pares de sapatos. De quantas
maneiras diferentes ela pode se vestir sem repetir nenhuma peça?
Conforme o seguinte gráfico, onze alunos erraram integralmente o problema e apenas
um aluno chegou a usar uma estratégia aceita neste tipo de problema, mas não conseguiu
encontrar a resposta correta.
12
10
8
Certo
6
Errado
4
Parcial
2
0
Questão 14
Gráfico 14 - Desempenho dos Alunos no Problema 14
A figura 14a mostra que o aluno tentou achar a resposta usando a estratégia de
construção de uma árvore de possibilidades, mas na hora de fazer a distribuição não obteve
êxito. Nas figuras 14b e 14c, os alunos usaram estratégias erradas para esse tipo de questão.
Fig. 14a. Estratégia
Parcial
Fig. 14b.
Fig. 14c. Estratégia Errada
Estratégia
Errada
Figura 14. Protocolos do problema 14
No problema 15, a seguir, foi o que mais teve acerto desse grupo, talvez por se tratar
de uma situação mais significativa para os alunos.
15) Mônica e Amanda resolveram ir à sorveteria e tomar um cascão com 3 bolas de
sorvete. Chegando lá, a moça informou que tinha os seguintes sabores de sorvete
morango, chocolate, sonho de valsa, maracujá, abacaxi e leite condensado. De
quantas maneiras elas poderão escolher o sabor do seu cascão de sorvete, sem repetir
nenhum sabor?
Conforme gráfico abaixo, nove alunos erraram integralmente o problema, dois alunos
acertaram o resultado do problema e um aluno acertou a estratégia parcialmente.
23
10
8
6
Certo
4
Errado
2
Parcial
0
Questão 15
Gráfico 15 - Desempenho dos Alunos no Problema 15
A figura 15a mostra que um aluno tentou chegar ao resultado utilizando uma árvore de
possibilidades, mas não logrou êxito. A figura 15b mostra que um aluno acertou a resposta do
problema usando a estratégia correta. A figura 15c, em uma estratégia errada, o aluno efetua a
adição dos sabores do sorvete com a quantidade de bolas de sorvete.
Fig. 15a. Estratégia
Parcial
Fig. 15b. Estratégia
Correta
Fig. 15c. Estratégia Errada
Figura 15. Protocolos do problema 15
No problema 16, abaixo, nenhum aluno conseguiu resolver corretamente. Um aluno
escolhe uma estratégia que poderia conduzi-lo à resposta correta, mas não dá continuidade.
16) Um restaurante serve 48 tipos de pratos de massas diferentes combinando
macarrão, molho e queijo, sem repetir nenhum desses ingredientes. Se forem 4 tipos
de macarrão e 3 tipos de molho, quantos tipos de queijo o restaurante possui?
O gráfico abaixo mostra que onze alunos erraram integralmente o problema e apenas
um escolhe uma estratégia que poderia levar à solução.
12
10
8
Certo
6
Errado
4
Parcial
2
0
Questão 16
Gráfico 16 - Desempenho dos Alunos no Problema 16
24
A figura 16a mostra que um aluno chegou a multiplicar os termos e encontrou a
quantidade de pratos de macarrão com molhos diferentes, mas não conseguiu entender que
para achar a quantidade de queijos precisava dividir 48 por 12. As figuras 16b e 16c mostram
que os alunos tentaram chegar ao resultado somando as parcelas, o que mostra a escolha de
uma estratégia incorreta.
Fig. 16a.
Estratégia Parcial
Fig.16b. Estratégia Errada
Fig. 16c. Estratégia
Errada
Figura 16. Protocolos do problema 16
O fraco desempenho dos alunos nas situações que envolvem a ideia de multiplicação
combinatória é um indício de que de fato o conteúdo não foi trabalhado e, se foi, não foi
apropriado pelos alunos. É preciso um trabalho que desenvolva essa habilidade e que mostre
que a construção de árvores de possibilidades é uma estratégia válida que pode conduzir às
respostas corretas.
4. CONCLUSÃO
Ao iniciar a presente pesquisa tínhamos como objetivo avaliar o nível de
aprendizagem dos alunos do 6º ano do ensino fundamental em relação ao campo conceitual
multiplicativo e à resolução de problemas. A ideia básica foi analisar as estratégias e os
obstáculos evidenciados na produção matemática dos alunos na resolução de problemas dos
quatro grupos de significados apontados pelos PCN (1998).
Os resultados mostram que o objetivo do trabalho foi alcançado, pois de fato foi
possível avaliar o nível de aprendizagem dos alunos do 6º ano do ensino fundamental, em
relação ao campo conceitual multiplicativo, principalmente no que diz respeito à resolução de
problemas. A impressão que se tem é que os alunos do 6º ano vão concluir o período letivo
sem terem construído habilidades básicas necessárias à resolução de problemas que envolvem
a multiplicação e a divisão.
A pesquisa de campo mostrou que os alunos apresentam um baixo desempenho na
resolução de problemas que envolvem os quatros significados do campo conceitual
multiplicativo.
Nos problemas com significado de multiplicação comparativa os alunos demonstraram
não dominar conceitos básicos como os de terça parte, triplo e quádruplo. Quanto ao
significado de proporcionalidade, os alunos demonstram não ter o domínio dos algoritmos da
multiplicação e da divisão, além de grandes dificuldades em interpretar o enunciado.
25
Os resultados dos problemas que envolviam o significado de configuração retangular
mostram que alguns alunos resolveram utilizando a adição, não sabendo que a operação
poderia usar.
Nos problemas com significado de combinatória, o resultado mostrou um fraquíssimo
desempenho dos alunos. Até mesmo o aluno que tenta resolver os problemas utilizando
árvores de possibilidades não consegue lograr êxito.
Se multiplicarmos os doze alunos da pesquisa pelos dezesseis problemas que cada um
resolveu teremos cento e noventa e dois problemas resolvidos. Desse total, teremos 45
questões respondidas corretamente (23,44%), 108 questões respondidas erradas (56,25%) e 39
questões com estratégias escolhidas adequadamente, mas contendo erros de execução
(20,31%). Tal resultado revela o baixo desempenho dos alunos na resolução de problemas
que, como foi dito, é uma competência que pode e deve ser desenvolvida pela escola.
Os resultados indicam que é preciso repensar a organização do trabalho pedagógico
em matemática. No que se refere à resolução de problemas é preciso mostrar que não há um
só jeito de resolver um problema. Como professores, temos que ser capazes de propor
situações significativas para os alunos, estimular que eles interpretem, escolham estratégias,
executem e avaliem essas estratégias. Temos que deixa-los pensar e devemos estimular que
expressem seus pensamentos, a fim de socializar outras maneiras de resolver uma mesma
situação.
Por fim, pesquisas adicionais precisam ser feitas no sentido de devolver a resolução
dos problemas para que os próprios alunos interpretem seus erros na resolução de problemas
do campo multiplicativo e reconstruam seus caminhos.
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