UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA MARCELO FERREIRA PAIVA A MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL II: utilizando conceitos da Astronomia como ferramenta no processo de ensino e aprendizagem SÃO PAULO 2013 UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA A MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL II: utilizando conceitos da Astronomia como ferramenta no processo de ensino e aprendizagem Trabalho apresentado à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante Anhanguera como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Profa. Dra. Aparecida Rodrigues Silva Duarte. SÃO PAULO 2013 Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura: _________________________________ Local e Data ____________ DEDICATÓRIA Dedico este trabalho a duas mulheres que em minha trajetória, sempre me incentivaram na busca constante pelo conhecimento: Minha esposa, Denise, pela compreensão neste período e carinho dedicado a mim e ao nosso filho Vinícius. Minha Mãe, Odete, que está descansando ao lado do meu pai Alvaro em algum lugar especial no Universo, torcendo por mim, como sempre fizeram. “As pessoas que amamos não terminam, continuam conosco e nosso coração percebe isso. Viram estrelas, e delas, de alguma forma, nos vêm força e claridade”. (Osvaldo D. Tórtora). AGRADECIMENTOS À minha orientadora Profª Drª Aparecida Rodrigues Silva Duarte, pela confiança e carinho com que abraçou meu projeto. Agradeço suas observações, desde a elaboração do projeto até a redação final, decisivos para o enriquecimento deste trabalho, assim como pelas preciosas sugestões que, sem dúvida, fizeram que essa dissertação ganhasse mais clareza, o que já basta para tê-la em enorme consideração. Aos Professores Doutores da Banca Examinadora Ubiratan D`Ambrosio e Walmir Thomasi Cardoso, pela leitura atenta na dissertação no exame de qualificação e pelos comentários e sugestões que contribuíram em muito para a evolução dessa dissertação. À coordenação, corpo docente e funcionários do Programa de PósGraduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante Anhanguera, pelo estímulo e respeito que dedicam ao corpo discente. A direção, professores e funcionários do Colégio que nos recebeu de braços abertos para a realização dessa investigação. Aos alunos que se prontificaram em participar da pesquisa. Seu comprometimento, responsabilidade e colaboração foram fundamentais para a investigação. Aos pais, por permitirem a participação dos seus filhos no projeto. Agradeço aos amigos do Grupo de Estudos e Pesquisas em Etnomatemática da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, pela amizade, ideias e sugestões que com certeza contribuíram em muito no meu trabalho. Finalmente, um agradecimento muito especial à minha esposa Denise e ao meu filho Vinícius, pelo carinho, paciência e incondicional apoio que sempre demonstraram. Muito obrigado pelas conversas e palavras de coragem nos momentos mais difíceis. Eternamente grato! "... é impossível explicar honestamente as belezas contidas nas leis da natureza de uma forma que as pessoas possam senti-las, sem que elas tenham uma boa compreensão da Matemática." Richard Feynman RESUMO Esta investigação teve como principal objetivo contribuir com subsídios para o estudo integrado de Matemática e Astronomia com alunos do 8º e 9º ano do Ensino Fundamental, avaliando de que modo a utilização de conhecimentos astronômicos em situações-problema de conteúdos matemáticos pode proporcionar aos alunos participantes da pesquisa a aquisição e produção de conhecimento, a partir da compreensão do mundo em que eles estão inseridos. Para atingir o objetivo proposto, foram desenvolvidas atividades de ensino utilizando o software Stellarium, um gnômon e o Globo Local Paralelo - GLP, dentre outros. Um dos princípios teóricos utilizados foi a transdisciplinaridade e interdisciplinaridade, em conformidade com D’Ambrosio (2009). As tarefas realizadas evidenciam que a transdisciplinaridade e a interdisciplinaridade possibilitam encontrar respostas para a compreensão de fenômenos naturais e a tomada de atitudes mais responsáveis e democráticas no mundo em que vivemos. Espera-se que os alunos participantes ampliem seus conhecimentos, tornando-se cidadãos críticos e reflexivos, conscientes da necessidade de cuidar do planeta Terra. Palavras-chave: Matemática. Astronomia. Transdisciplinaridade. ABSTRACT This research aimed to provide insight for the integrated study of mathematics and astronomy with students of 8th and 9th grade of elementary school, assessing how the use of astronomical knowledge in the problem situations in mathematical content can provide in the participants students research the acquisition and production of knowledge, from understanding the world in which they are inserted. To reach that goal, learning activities were developed using the software Stellarium a gnomon and the Globo Local Paralelo - GLP, among others. One of the theoretical principles used was the transdisciplinarity and interdisciplinarity, according with D'Ambrosio (2009). The tasks carried out show that transdisciplinarity and interdisciplinarity possible to find answers to the understanding of natural phenomenons and have more responsible attitudes and democratic in the world in which we live. It is expected that participating students expand their knowledge and become critical and reflective citizens, aware of the need to care for the planet Earth. Keywords: Mathematics. Astronomy. Transdisciplinarity. LISTA DE IMAGENS Imagem 01 Gnômon 35 Imagem 02 GLP - Globo Local Paralelo 37 Imagem 03 Duplas 01 e 02 executando exercício 01 51 Imagem 04 Aluno da Dupla 01 localizando a Holanda no Planisfério 57 Imagem 05 Alunos durante a Atividade 01 62 Imagem 06 Dupla 11 resolvendo exercício 04 63 Imagem 07 Detalhes do posicionamento do gnômon 88 Imagem 08 Dupla 03 posicionado o gnômon 89 Imagem 09 Dupla-06 traçando a sombra por volta das 9h15min 90 Imagem 10 Dupla-07 preparando para traçar sombra das 9h45min 91 Imagem 11 Aluna da Dupla-06 traçando a sombra das 13h30min 94 Imagem 12 Aluna da Dupla-03 observando as sombras traçadas, em destaque sombra traçada das 14h15min (ao fundo em verde) 95 Imagem 13 Aluna da Dupla-02 construindo a bissetriz 99 Imagem 14 Aluno da Dupla-03 prolongando as sombras traçadas 99 Imagem 15 Dupla 08 preparando para traçar a Linha Norte-Sul 100 Imagem 16 Imagem 17 Imagem 18 Imagem 19 Imagem 20 Imagem 21 Aluno da Dupla-09 observando a Linha Norte-Sul, construído por meio da bissetriz das sombras das 10h30min e 13h30min Aluno da Dupla-09 construindo a Linha Leste-Oeste perpendicular a Linha Norte-Sul Dupla 06 pintando a Linha Norte-Sul com auxílio da barra de metal Dupla 01 pintando a Linha Leste-Oeste GLP posicionado sobre as Linhas Norte-Sul e LesteOeste Aluna do Grupo 01 posicionando um gnômon sobre o GLP e verificando o comportamento da sua sombra 100 103 104 104 105 107 Imagem 22 Grupo 4 posicionando o gnômon na cidade de Alabama 109 Imagem 23 Detalhe da sombra projetada no Hemisfério Norte 112 Imagem 24 Imagem 25 Grupo-03 posicionando o gnômon. No detalhe os alunos visualizam a sombra do gnômon na cidade de Bidon/Argélia Detalhe da coluna de ferro e o muro - Atividade complementar 113 114 Imagem 26 Alunos medindo o comprimento do gnômon 116 Imagem 27 Aluno marcando no chão o limite da trena (5metros) da sombra da coluna de ferro 117 Imagem 28 Alunos medindo o restante da sombra da coluna de ferro 117 LISTA DE FIGURAS Figura 01 Triângulo da Sobrevivência 31 Figura 02 Triângulo da Transcendência 32 Figura 03 Tabela dos Pontos Cardeais 47 Figura 04 Globo Terrestre - Fusos Horários 48 Figura 05 Registro: data e horário da atividade 49 Figura 06 Atividade de Ensino 01 – Exercício 01 50 Figura 07 Resolução do Exercício 01 – Dupla 11 52 Figura 08 Resolução do Exercício 02 – Dupla 09 55 Figura 09 Resolução do Exercício 02 – Dupla 11 55 Figura 10 Representação do Planisfério do Exercício 03 58 Figura 11 Resolução do Exercício 03 – Dupla 07 59 Figura 12 Resolução do Exercício 03 – Dupla 02 59 Figura 13 Quadro de Longitudes 61 Figura 14 Atividade de Ensino 01 – Exemplo para o exercício 04 62 Figura 15 Dados do exercício 04 – item a 63 Figura 16 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 07 64 Figura 17 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 10 64 Figura 18 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 03 65 Figura 19 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 08 65 Figura 20 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 09 66 Figura 21 Resolução do exercício 04 – item a - Dupla 06 66 Figura 22 Dados do exercício 04 – item b 67 Figura 23 Resolução do exercício 04 – item b - Dupla 12 68 Figura 24 Resolução do exercício 04 – item b - Dupla 09 68 Figura 25 Resolução do exercício 04 – item b - Dupla 07 69 Figura 26 Resolução do exercício 04 – item b - Dupla 08 69 Figura 27 Resolução do exercício 04 – item b - Dupla 06 70 Figura 28 Dados do exercício 04 – item c 70 Figura 29 Resolução do exercício 04 – item c - Dupla 04 71 Figura 30 Resolução do exercício 04 – item c - Dupla 10 71 Figura 31 Resolução do exercício 04 – item c - Dupla 08 72 Figura 32 Resolução do exercício 04 – item c - Dupla 09 73 Figura 33 Resolução do exercício 04 – item c - Dupla 07 73 Figura 34 Dados do exercício 05 – item a 74 Figura 35 Resolução do exercício 05 – item a - Dupla 12 75 Figura 36 Resolução do exercício 05 – item a - Dupla 11 76 Figura 37 Resolução do exercício 05 – item a - Dupla 06 76 Figura 38 Exercício 05 – item b 77 Figura 39 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 12 78 Figura 40 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 05 78 Figura 41 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 06 79 Figura 42 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 10 79 Figura 43 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 07 80 Figura 44 Figura 45 Tela: Relógio Mundial e Mapa dos Fusos Horários Mundiais Representação do GLP colocado de forma homotética com a Terra 82 106 Figura 46 Tabela da Atividade complementar 1 115 Figura 47 Respostas dos alunos sobre a questão do "Pré Sal" 120 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 16 CAPÍTULO 1 1 PROCEDIMENTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS 22 22 1.1 Fundamentação teórica 22 1.2 Procedimentos metodológicos 34 1.2.1 O software Stellarium 34 1.2.3 O gnômon 35 1.2.3 O projeto internacional Globo Local 36 1.3 Sujeitos 39 1.4 Descrição e objetivos das Atividades de Ensino 39 2 CAPÍTULO 2 44 ATIVIDADE DE ENSINO 01 A MATEMÁTICA NAS COORDENADAS GEOGRÁFICAS 44 2.1 Descrição da Atividade 01 45 2.2 Exercício 01 49 2.3 Exercício 02 54 2.4 Exercício 03 58 2.5 Exercício 04 60 2.5.1 Exercício 04 – item a 63 2.5.2 Exercício 04 – item b 67 2.5.3 Exercício 04 – item c 70 2.6 Exercício 05 74 2.6.1 Exercício 05 – item a 74 2.6.2 Exercício 05 – item b 77 2.7 Relógio Mundial e Mapa dos Fusos Horários Mundiais 80 2.8 Considerações sobre a Atividade 01 3 82 CAPÍTULO 3 87 ATIVIDADE DE ENSINO 02 GLOBO LOCAL PARALELO 87 3.1 Apresentação da Atividade 87 3.2 Posicionando o gnômon 88 3.3 Traçando as sombras do gnômon 90 3.4 Traçando as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste 95 3.5 Atividade de Ensino 02 - itens a) e b) 104 3.6 Atividade de Ensino 02 - itens c), d) e e) Atividade complementar 1 3.7 Medindo o comprimento de uma coluna de ferro Atividade complementar 2 3.8 "Pré Sal" 106 3.9 Considerações sobre as atividades do capítulo 3 121 CAPÍTULO 4 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS 114 119 124 124 130 ANEXOS ANEXO A 135 ANEXO B 142 ANEXO C 144 ANEXO D 145 INTRODUÇÃO A Proposta Curricular do Estado de São Paulo é documento de utilização obrigatória na rede estadual de ensino e tem como objetivo estabelecer um sistema de ensino comum a todas as escolas do Estado, de modo a garantir um padrão de qualidade e subsidiar as escolas com diretrizes e orientações curriculares comuns, proporcionando ao estudante acesso aos conteúdos básicos, saberes e competências básicas e específicas para cada nível de ensino. Um dos temas que estruturam a Proposta Curricular de Matemática, para os ciclos Fundamental e Médio, vem a ser a Geometria 1, que diz respeito à observação de padrões e formas do mundo como também da relação entre formas e imagens ou representações visuais. Essa percepção do espaço, a exploração das propriedades dos objetos e a explicitação de suas relações fazem parte do dia a dia dos seres humanos. Para o Ensino Fundamental, Ciclo II, verifica-se que o documento defende um ensino de Geometria de forma ampla e diversificada. Segundo essa Proposta, os conteúdos de Geometria são assuntos indispensáveis ao currículo, uma vez que auxiliam o aluno a compreender, descrever e representar de modo organizado o mundo em que vive. Magni (2011), ao analisar a referida Proposta Curricular e os Parâmetros Curriculares, verificou que: Ambos os documentos curriculares enfatizam que a Geometria é um campo importante para ser explorado com situações-problema, e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. Ensinar noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula o aluno a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar irregularidades, entre outros. Ensinar o aluno a partir da exploração dos objetos do mundo físico – obras de arte, música, manipulação de objetos, pinturas, desenhos, esculturas – permite a ele estabelecer uma conexão entre a Matemática e as outras áreas do conhecimento (p.61-62). 1 O currículo de matemática está estruturado em quatro grandes blocos: Números, Geometria, Grandezas e Medidas, Tratamento da Informação. Magni (2011) também reforça a necessidade de fazer com que a Geometria a ser ensinada se articule com os demais ramos da Matemática. Assim sendo, deve-se evidenciar a conexão entre Álgebra e Geometria, por exemplo. A partir dessas considerações, infere-se, que utilizar conhecimentos e atividades envolvendo conceitos de Astronomia pode proporcionar situações de aprendizado da Geometria, uma vez que determinadas atividades que englobem conteúdos matemáticos e astronomia permitem o reconhecimento de formas e a exploração visual e tátil de figuras planas e espaciais. Mais que isso, o trabalho com a Astronomia configura-se como modo diferenciado e propício para o aprendizado de Matemática, pois propicia a contextualização e o estabelecimento de relações com conceitos matemáticos, oferecendo ao aluno a possibilidade de perceber como podem ser aplicados, estimulando sua curiosidade sobre o mundo da ciência. Tornou-se muito comum afirmar que a Astronomia foi o primeiro conhecimento científico criado pelo homem, além de ser importante para a vida de todos, por estar relacionada com a nossa origem, a do nosso planeta e a do Universo. Tudo o que sabemos sobre o Universo, começou a ser estudado através da contemplação do céu, proporcionando vários questionamentos: De onde viemos? Qual o tamanho do Universo? Como foram formados os planetas e as estrelas? Existe vida em outros lugares do Universo? Assim, podemos dizer que a Astronomia está presente no nosso dia a dia: as estações do ano, os movimentos de rotação e translação da Terra, as fases da Lua, a luz fornecida pelo Sol, as marés, entre outros fenômenos. Dessa forma “a astronomia representou de fato um papel essencial na construção das diversas identidades humanas em todos os lugares da Terra” (CARDOSO apud LONGHINI,2010, p.7) . A Matemática não pertence só a matemáticos, ela vem evoluindo também como parte integrante no contexto de outras ciências. Além disso, ela tem um caráter interdisciplinar, relacionando-se com outras áreas do conhecimento tais como: a Física, a Economia, a Biologia, na Lingüística e a Engenharia. Concluise, então, que, a maneira de pensar matematicamente deve ser aprendida não apenas por aqueles que irão dedicar-se à Matemática (CARNEIRO, 2005). 17 Ademais, muitos fenômenos físicos e químicos estudados na Astronomia são resolvidos e melhor compreendidos através de modelos matemáticos. Segundo Langhi (2004), com o decorrer do tempo, várias disciplinas foram supridas com informações e inspirações decorrentes da Astronomia: a Física, a Química, a Biologia, a História, a Geografia, a Navegação, a Filosofia, a Sociologia, a Música, a Poesia, a Literatura e muitas outras. Logo, podemos dizer que a Astronomia apresenta possibilidades de trabalho no ensino que ressalta esse processo interdisciplinar. Na área educacional, o estímulo por parte dos alunos sobre tópicos relacionados à Astronomia é verificado em diversos estudos, como aquele realizado por Oliveira et. al.(2007) quando constatam que “os tópicos relativos a essas questões comumente aguçam a curiosidade do jovem” (p. 82). Do mesmo modo, para Bernardes et. al. (2006), a “Astronomia é uma das áreas que mais atrai a atenção e desperta a curiosidade dos estudantes, desde os primeiros anos escolares até sua formação nos cursos de graduação, abrangendo todas as áreas, principalmente de Física” (p. 391). Entretanto, o ensino de Astronomia não deve ser tratado como um novo conteúdo a ser ensinado apenas nas aulas de Ciências Naturais. Pode, igualmente, ser tratado como um elemento motivador de conteúdos específicos a ser explorados em outras disciplinas, em particular, no ensino da Matemática. A Astronomia permite relacionar fenômenos naturais e conteúdos matemáticos, notadamente no campo da Aritmética, Álgebra e Geometria, sendo que uma das mais belas características dessa ciência é sua capacidade de explicar quantitativamente fenômenos observados (GLEISER, 2000). Tais características propiciam um tratamento interdisciplinar dos conteúdos escolares. Como sugere Marcelo Gleiser, “não existe nada mais fascinante no aprendizado da ciência do que vê-la em ação. Mais importante ainda é levar os alunos para fora da sala de aula, fazê-los observar o mundo através dos olhos de um cientista aprendiz” (2000, p.4). 18 Procura-se, a partir da utilização de conhecimentos astronômicos em situações-problema de conteúdos matemáticos, proporcionar aos alunos do Ensino Fundamental, participantes desta investigação, a aquisição e produção de conhecimento, a partir da compreensão do mundo em que estão inseridos. Para além desse processo interdisciplinar, as atividades escolares possibilitam introduzir questões relativas aos problemas que o Planeta Terra vem enfrentando, de modo a sensibilizar e conscientizar os alunos sobre sua preservação e proteção. Nesse sentido, tais ações e preocupações viabilizam uma postura transdisciplinar no ambiente educacional. No dizer de D'Ambrosio, Na sua essência, a transdisciplinaridade é transcultural. As reflexões transdisciplinares navegam por ideias vindas de todas as regiões do planeta, de tradições culturais diferentes. Repousam sobre as ideias de indivíduos de formação e experiências profissionais as mais diversas (2009, p.9-10). No que tange à universidade, D'Ambrosio aconselha que "cada aula deve ser uma oportunidade única de se ouvir o que não está nos livros, o que não está gravado em áudio ou em vídeo e que não é repetido" (2009, p. 100). Do mesmo modo, entendemos que desde as séries iniciais devemos propiciar um ambiente que estimule a criatividade dos educandos, possibilitando a criação de pensamentos originais, que os auxiliem no enfrentamento e busca de solução para problemas que a humanidade vem atravessando. Nessa perspectiva, o presente trabalho busca responder a seguinte questão de pesquisa: Como um estudo integrado de Matemática e Astronomia pode contribuir na construção dos conhecimentos de Matemática de modo que possibilite um melhor entendimento do mundo aos estudantes do 8º e 9º ano do Ensino Fundamental? Ao procurar responder a referida questão, busca-se alcançar os seguintes objetivos: Verificar, por meio de uma abordagem transdisciplinar envolvendo a Matemática, Geografia e Astronomia em aulas de Matemática, com 19 alunos do 8º ano (7ª série) e 9º ano (8ª série) do Ensino Fundamental, quais benefícios esta proposta trará na compreensão dos conteúdos de Matemática, bem como um melhor entendimento de mundo em que vivem. Realizar atividades de ensino com alunos do 8º ano (7ª série) e 9º ano (8ª série) do Ensino Fundamental, que envolvam um estudo interdisciplinar entre a Matemática, Astronomia e Geografia por meio do software Stellarium e do Projeto Internacional Globo Local. Abordar temas relacionados à Astronomia e Geografia tais como: movimento, distância, formas e tamanhos dos astros do Sistema Solar, coordenadas geográficas, distância entre astros, formas, tamanho, volume e densidade dos planetas; relacionando-os com conteúdos de Geometria como: formas, projeção, bissetriz, mediatriz, circunferência, segmento de reta, operações matemáticas com ângulos e unidades de tempo, entre outros. Além disso, abordar, de forma articulada, outros conteúdos matemáticos, quais sejam: razão e proporção, notação científica, sistema de medidas, semelhança de triângulo, etc. proporcionar ao aluno obter uma visão mais responsável sobre o mundo, mostrando como suas atitudes podem influenciar ou interferir no restante do planeta Terra. Para atingir os objetivos propostos, esta investigação encontra-se organizada em quatro capítulos, a saber: O primeiro capítulo trata dos procedimentos teórico-metodológicos adotados para a consecução dessa pesquisa. Nela, descrevemos a fundamentação teórica e a descrição dos procedimentos adotados para a realização das atividades realizadas junto aos alunos do 8º ano do Ensino Fundamental. Além disso, discorremos sobre a proposta do projeto Globo Local, bem como sobre o software Stellarium, ambos utilizados nas atividades. O segundo e o terceiro capítulo, descrevemos cada uma das atividades de ensino realizadas, efetuamos a descrição dos dados obtidos e analisamos as 20 soluções e comportamentos apresentados pelos sujeitos participantes desta investigação. Finalizando, no quarto capítulo, procuramos responder nossa questão de pesquisa, analisando os resultados obtidos durante as atividades, à luz das teorias que deram suporte à esta investigação. 21 CAPÍTULO 1 PROCEDIMENTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS 1.1 Fundamentação teórica Promover situações que envolvam a criatividade dos alunos, instigando-os a procurar soluções, formular hipóteses e comunicar-se com outros alunos, é intenção das atividades propostas neste estudo. Nessa perspectiva, esta pesquisa fundamenta-se, basicamente, nos conceitos propostos no Programa Etnomatemática, conceituado por D´Ambrosio (2005), particularmente no que tange à interdisplinaridade e a transdisciplinaridade. O Programa Etnomatemática trata da geração, organização intelectual, organização social e difusão do conhecimento. Diz respeito a um programa interdisciplinar que engloba aspectos das ciências da cognição, da epistemologia, da história, da sociologia e educação. Em todas as culturas o conhecimento está condicionado a um contexto natural, social e cultural. A etnomatemática é um conjunto de estratégias utilizadas pelos seres humanos para sobreviver, ou seja, lidar com o cotidiano, e para transcender, ou seja, explicar fatos, fenômenos e mistérios. Há inúmeras ETNOMATEMÁTICAS. Cada uma praticada de forma diferente, por grupos culturalmente identificados (profissionais, trabalhadores, jogadores, crianças brincando, grupos étnicos). É uma forma de conhecimento explicado em linguagem comum, sem formalismo e transmitido por uma pedagogia similar a do ensino mestre→aprendiz no artesanato. Assim sendo, o Programa Etnomatemática apresenta importantes implicações pedagógicas. A educação deve fornecer ao educando instrumentos que possibilitem sua sobrevivência na sociedade. Tais instrumentos só têm significado quando inseridos na cultura do aluno ou então quando se explicita de qual cultura advêm e inseridos num discurso crítico. “Fazer da Matemática uma 22 disciplina que preserve a diversidade e elimine a desigualdade discriminatória é a proposta maior de uma Matemática Humanística. A Etnomatemática tem essa característica” (D’AMBROSIO, 2006). Ubiratan D’Ambrosio (2010), mentor do termo Etnomatemática, para a composição dessa palavra, utilizou suas raízes para dar significado às várias maneiras, técnicas ou habilidades (teché=tica) de explicar, de entender, de se desempenhar na realidade (matema), dentro de um contexto cultural (etno) (p. 111). Desse modo, a Etnomatemática, arte de ensinar ou técnica de explicar, conhecer e de entender, nos diversos contextos culturais, é atualmente considerada como uma subárea da História da Matemática e da Educação Matemática, com uma relação muito natural com a Antropologia 2 e as ciências da cognição (D’AMBROSIO, 2005). A Etnomatemática exige que os educadores repensem suas práticas de ensino, entendendo que a matemática não se encontra somente no ambiente sala de aula, nos programas e currículos, mas em todos os lugares e proposta de diferentes formas. Solicita que os educadores reflitam suas práticas, sem desconsiderar suas experiências com a educação formal, mas ampliem seu conhecimento e método, adotando modos de explicar, de entender e de atuar na realidade, dentro do contexto cultural do aluno. No que diz respeito ao currículo, D'Ambrosio (1999) o define como um conjunto de estratégias que permitem atingir as metas maiores da educação e é composto por objetivos, conteúdos e métodos. Esse novo conceito de currículo não privilegia os conteúdos das disciplinas. Os saberes devem ser resultado das práticas (fazeres). Para organizar a prática educacional, D'Ambrosio (1999) propõe subdividi-la em duas vertentes. 2 Antropologia, de modo geral, pode ser definida como o estudo ou reflexão acerca do ser humano, e do lhe é característico (FERREIRA, 2008, p. 81). 23 A primeira, denominada formativa, é aquela que mais se aproxima do ensinar, no sentido tradicional, por exemplo, o ensino de uma área da matemática, como a Geometria. A vertente formativa é a essência de um novo conceito de currículo, baseado não na transmissão de conteúdos disciplinares programados, mas no fornecimento, aos alunos, de competências para acessar, socializar e ampliar o conhecimento. Nesse sentido, devem ser desenvolvidos os seguintes instrumentos: comunicativos, por meio de discussões críticas que promovam o desenvolvimento da capacidade de se comunicar. Inclui leitura, escritura, cálculo, diálogo, ecálogo, mídia, internet (LITERACIA). Por exemplo, escrever nos roteiros das atividades. No caso da geometria, comunicar forma e dimensão. analíticos, aqueles que permitem interpretar e analisar as situações, propor e utilizar modelos e simulações na vida cotidiana, elaborar abstrações sobre representações do real [MATERACIA], de modo que os alunos façam inferências, cheguem a conclusões sobre determinado assunto. materiais, quando fazem uso de instrumentos simples ou complexos, que permitam a aprendizagem, avaliando suas possibilidades suas limitações e sua adequação a necessidades e situações diversas [TECNORACIA]. tais como o computador, o atlas, o gnômon, etc. A segunda vertente, denominada informativa, fornece meios para socializar e ampliar o conhecimento, reconhecendo o fato de que as mídia, como por exemplo o rádio, o cinema, a televisão, os meios digitais, são responsáveis pela difusão atualizada da informação. Assim, o professor deve estimular a crítica sobre o que se viu, se ouviu e se observou, bem como do que se leu e do que se imaginou, de modo a permitir aos alunos fazer uso de materiais e procedimentos que mostrem os conhecimentos matemáticos que se inserem no cotidiano (D'AMBROSIO, 1999). 24 Procuramos, nas atividades propostas, contribuir para a valorização da cultura da comunidade escolar envolvida nesta investigação. O trato com a Astronomia, Geografia e a Matemática, permite essa valorização. Gerdes descreve este pensamento: Numa educação que reconhece e aproveita a existência de muitas culturas abre-se o horizonte do aluno, enriquecendo-o com experiências doutros povos e doutros tempos. Assim pode ser também na educação matemática: a matemática materna, a matemática familiar, a matemática da cultura do aluno ascender a mais conhecimentos e habilidades matemáticas, uma alavanca para poder pensar e imaginar..., inclusive para aprender mais (ideias) matemáticas, enriquecendo o horizonte matemático do aluno com experiências matemáticas doutros povos e doutros tempos (GERDES, 2007, p.160). A cultura escolar, utilizando uma proposta etnomatemática, pode promover uma matemática viva, ao lidar com situações reais no tempo e no espaço. Por meio da crítica e do questionamento, podemos praticar a dinâmica cultural. A escola constitui-se em local privilegiado para a prática de uma dinâmica cultural em que a matemática se insere como conhecimento fundamental para a vida na sociedade moderna. Para tanto, o professor deve estimular a discussão e a conversação entre os alunos. Já que o aluno também aprende junto ao outro, é importante promover a socialização do grupo, produzindo, dessa maneira, valores, linguagem e o próprio conhecimento. Nos dias de hoje, a interdisciplinaridade é muito procurada, sobretudo nas escolas, transferindo métodos de algumas disciplinas para outras, permitindo identificar novos objetos de estudos (D´AMBROSIO, 2011). Para esta investigação, estamos entendendo por interdisciplinaridade como aquela que: ... consiste em utilizar os conhecimentos de várias disciplinas para resolver um problema ou compreender um determinado fenômeno sob diferentes pontos de vista. O objetivo é contribuir para a superação do 25 tratamento estanque e compartimentado que caracteriza hoje o conhecimento escolar. (CARNEIRO, 2005, p. 11) A Interdisciplinaridade não é um estudo recente, como nos mostra D´Ambrosio: Já havia sido antecipada em 1699 por Fontenelle, Secretária da Academia de Ciências de Paris, quando dizia que “até agora a Academia considera a natureza só por parcelas.... Talvez chegará o momento em que todos esses membros dispersos [as disciplinas] se unirão em corpo regular; e se são com se deseja, se juntarão por si mesmas de certa forma. (D´AMBROSIO, 2011, s.p) Por se tratar de um trabalho que se utiliza de dados de fenômenos astronômicos que interferem direta e indiretamente na vida do planeta, este estudo caracteriza-se como um projeto que pode promover a aquisição e produção de novos conhecimentos em um ambiente escolar. Leva-se em conta que: Um resultado esperado dos sistemas educacionais é a aquisição e produção de conhecimento. Isso fundamentalmente a partir da maneira como um indivíduo percebe a realidade nas suas várias manifestações: a) uma realidade individual, nas dimensões sensorial, intuitiva, emocional, racional; b) uma realidade social, que é o reconhecimento da essencialidade do outro; c) uma realidade planetária, o que mostra sua dependência do patrimônio natural e cultural e sua responsabilidade na sua preservação; d) uma realidade cósmica, levando-o a transcender espaço tempo e a própria existência, buscando explicações e historicidade. (D' AMBROSIO, 2005, s.p) Segundo Cardoso (2010), a Astronomia auxilia na ampliação da visão que o ser humano tem do universo. Entretanto, enfatiza, quem sofre ou não modificações é a pessoa. "Quem altera a atitude é o leitor, não o texto. Quem caminha é o caminhante, não a estrada". É nessa direção que procuramos caminhar, ao tratar de conceitos de Astronomia e Matemática junto aos alunos do Ensino Fundamental, instigando-os a mudar de atitude em relação ao Planeta Terra, procurando conscientizá-los dos problemas que a Terra vem enfrentando, proporcionando-lhes oportunidade de aprender e criar estratégias de sobrevivência diante do desconhecido (CARDOSO apud LONGHINI,2010, p.10). 26 Assim sendo, a Astronomia juntamente com outras disciplinas pode contribuir para que a escola reflita sobre problemas que o Planeta Terra vem enfrentando. Destaque-se que a Matemática do Planeta Terra (APM, 2013) empenha-se na divulgação da afirmação de que “A Matemática está em todo o lado!” e no desenvolvimento de ações para a defesa do Planeta Terra. Entende que se pode fazer uso de modelos matemáticos para que ocorra um consumo responsável dos recursos naturais e de energia. Questiona sobre a gestão dos recursos naturais ou dos consumos energéticos efetuados pelos seres humanos. Mais ainda, algumas catástrofes naturais escapam das previsões, apesar das tecnologias desenvolvidas nesse sentido. Por essas razões, defende-se que a matemática pode auxiliar na prevenção e proteção do mundo em que vivemos. Essa iniciativa recebeu apoio da UNESCO, a qual reconheceu o ano de 2013 como o ano da Matemática do Planeta Terra. A Associação dos Professores de Matemática de Portugal (APM-2013) reservou um espaço para informação de atividades escolares que permitam compreender melhor o mundo em que vivemos. Os assuntos referem-se à matemática no planeta Terra, sob a perspectiva de educadores matemáticos, matemáticos, astrônomos, biólogos ou geólogos. As atividades que constam nesta investigação procuram seguir essas diretrizes, quando procuram dar aos alunos subsídios para que eles se conscientizem do uso benéfico da Matemática na solução dos problemas causados pela intervenção humana no planeta, bem como pelas catástrofes naturais, uma vez que pode fazer com que os alunos percebam a importância e a fragilidade do planeta Terra, fomentando a formação de uma postura crítica sobre sua preservação e proteção. Portugal foi quem sediou, em 1994, o I Congresso Mundial da Transdisciplinaridade, organizado pelo Centre International de Recherches et d'Etudes Transdisciplinaires (CIRET), com a parceria da UNESCO. Nesse evento, elaborou-se um documento denominado Carta da Transdisciplinaridade, a qual 27 trata de um conjunto de princípios fundamentais da transdisciplinaridade, que foi assinada por 62 participantes, de 14 países. Em seu artigo 8, a Carta reza que dignidade humana deve ir além do planeta Terra. O ser humano tem relevante papel na história do universo desde seu aparecimento. Um dos princípios da transdisciplinaridade é o reconhecimento da Terra como sua pátria. Embora a nacionalidade seja um direito, ao mesmo tempo o ser humano é um ser transnacional, ou seja, com título de habitante da Terra. Esta dupla categoria é um dos objetivos que compõe a transdisciplinaridade (NICOLESCU, 1999). Segundo D’Ambrosio (2009), para a construção do conhecimento faz-se necessário o diálogo entre as ciência e as culturas locais. Assim sendo, Todo conhecimento é o resultado de um longo processo cumulativo, compreendendo os estágios de geração, organização social e difusão. Esses estágios são estudados na teoria da cognição, na epistemologia, na história e na educação. O processo como um todo - extremamente dinâmico e jamais finalizado está sujeito a condições muito específicas de estímulo e de subordinação ao contexto natural, cultural e social. Assim é o ciclo da aquisição individual e social do conhecimento (D´AMBROSIO, 2009, p. 25-26). Assim sendo, o ato de criação é uma ação que se revela como o elemento mais importante para a aquisição do conhecimento. Manifesta-se no presente, tendo como alicerce um passado tanto individual como cultural. A aquisição e elaboração do conhecimento têm como objetivo criar estratégias de ação que se revelam no presente, delineiam o futuro e trazem alterações da realidade (D’AMBROSIO, 2009). Sob essa perspectiva, a transdisciplinaridade permite uma visão ampla de todas as consequências da ação. Possibilita uma abordagem de situações nas quais o conhecimento disciplinar é insuficiente e limitado (D´AMBROSIO, 2009). Um marco importante para as discussões sobre a transdisciplinaridade foi o "Forum de Ciências e Cultura da UNESCO" realizado em Veneza, em 1986. O tema abordado, intitulado "Encontro das Ciências e das Tradições" possibilitou reflexões transdisciplinares. Este Fórum deu origem à criação, em 1987, pelo 28 físico Basarab Nicolescu, do Centre International de Recherches et études Transdisciplinaires (CIRET), que tem sido um catalizador de pesquisas e ações transdisciplinares (D´AMBROSIO, 2011). A transdisciplinaridade é definida por Nicolescu como “aquilo que está ao mesmo tempo entre as disciplinas, através das diferentes disciplinas e além de qualquer disciplina. Seu objetivo é a compreensão do mundo presente, para o qual um dos imperativos é a unidade do conhecimento” (1999, s/p). A proposta transdisciplinar reconhece que a atual proliferação das disciplinas e especialidades acadêmicas e não-acadêmicas provoca um crescimento incontestável de poder de quem possui conhecimentos fragmentados. Os detentores desses conhecimentos fragmentados dificilmente poderão reconhecer e enfrentar os problemas e situações novas advindos da complexidade do mundo atual. Nesse contexto, as disciplinas apresentam-se como conhecimentos “engaiolados”, no que tange à sua fundamentação, critérios de verdade e de rigor e nos seus métodos, os quais apresentam um código linguístico próprio e inatingível aos principiantes (D´AMBROSIO, 2011). A esse respeito, Santos (2008) constata que, durante a prática educativa, os professores encontram um grande desafio, que é de transitar pelas diversas ciências (biologia, física, química, matemática, astronomia, filosofia, artes, geografia entre outras). Isso requer do profissional um espírito de enfrentamento do novo e do diferente, vencendo fronteiras de uma pedagogia estática. Em geral, a formação de professores assume um caráter disciplinar, de modo que, quando os professores se deparam com a transdisciplinaridade, ficam de frente a incertezas e diversidades que vão sendo corrigidas e ajustadas à medida que a transdisciplinaridade é discutida e aprofundada entre eles. Além disso, a Transdisciplinaridade exige uma postura de democracia cognitiva, já que todos os saberes são importantes, sem que exista uma hierarquização entre eles. Não possibilita julgar, como mais certo ou mais verdadeiro o modo de explicar e conviver com a realidade que está ao nosso redor (SANTOS, 2008). 29 A transdisciplinaridade maximiza a aprendizagem ao trabalhar com imagens e conceitos que mobilizam, conjuntamente, as dimensões mentais, emocionais e corporais, tecendo relações tanto horizontais como verticais do conhecimento. Ela cria situações de maior envolvimento dos alunos na construção de significados para si. Os alunos “constroem” conhecimentos, como diz Paulo Freire (1997). Trabalhar a educação com tal visão supera a mesmice do padrão educativo, encanta o aprender e resgata o prazer de aventurar-se no mundo das idéias (SANTOS, 2008, p. 76). Verificamos nesse momento o esforço da humanidade para a transcender a nossa existência (Por que?). Segundo D’Ambrosio (2009), o ser (substantivo) procura a sobrevivência, mas não se sabe qual seria o causador dessa força que está presente em todos os seres vivos. Deste modo, podemos concluir que transcendência e sobrevivência constituem a essência do ser (verbo) humano. Para entendermos sobre sobrevivência nos reportamos ao triângulo da sobrevivência (Figura 01) defendida por D`Ambrosio (2009), quando descreve as relações entre indivíduos, a sociedade e natureza (são descritos nos vértices do triângulo). Para que todas as espécies continuem a viver é necessário que o equilíbrio do triângulo seja mantido. Para tanto, deve ocorrer ao mesmo tempo um relacionamento entre os indivíduos, o ambiente e outras espécies, por meio de ações sobre a natureza na qual todos estão imersos. Os relacionamentos (representados pelos lados do triângulo) devem ser decididos coletivamente dentro da sociedade, tendo como princípios a fisiologia animal, a sociobiologia e a ecologia. 30 Figura 01 - Triângulo da Sobrevivência Fonte: D'Ambrosio (2009, p.163) D`Ambrosio (2009) chama a atenção para que tenhamos uma visão mais ampla sobre estes relacionamentos: sobrevivência individual, sobrevivência da espécie e a continuidade da espécie, os quais requer uma abordagem transdisciplinar, pois, uma abordagem disciplinar só poderia abordar um relacionamento de cada vez. Para o autor o término da vida no planeta, poderia ser motivado por qualquer um desses relacionamentos, ou seja, os lados do triângulo. D`Ambrosio (2009) relata que desde a origem do Australopiteco até o Homo sapiens, e finalmente, até nossa espécie, o Homo sapiens sapiens, surge outro triângulo que sobrepõem ao da sobrevivência. Esta última espécie Homo sapiens sapiens, denominada homem, tem suas peculiaridades internas, como lutar pela sobrevivência individual e a continuidade da espécie - características de todos os seres vivos. Desta maneira, amplia-se um comportamento característico, particular da sua espécie, deliberar sobre seu comportamento. A vontade provoca essencialmente a obrigação de explicar, entender e promover transcendência da espécie. Nesse momento, a sobrevivência recebe uma nova orientação, associando-se à transcendência. Alguns fatores são apontados por D`Ambrosio (2009) como sendo características da transcendência, como: o senso de passado e futuro, a 31 alimentação e o acasalamento. Estão relacionados ao prazer, a propriedade, a estrutura do poder e a hierarquia. Dessa forma, o triângulo da transcendência, (Figura 02) responsável por novas intermediações sobrepõem ao triângulo da sobrevivência. Sobre o triângulo da transcendência D`Ambrosio (2009), afirma que essas novas intermediações formam o núcleo do matema, isto é, um conhecimento reconhecido para a "aquisição de habilidades, capacitações, modos de fazer, explicar, entender e lidar com as necessidades da sobrevivência e transcendência" (p. 168). Figura 02 - Triângulo da Transcendência Fonte: D'Ambrosio (2009, p.168) Nessa perspectiva, acreditamos que este projeto, de um cunho transdisciplinar, com olhares para sobrevivência e transcendência, poderá permitir aos alunos uma visão mais abrangente de sua posição e importância no Planeta Terra. Pretende-se que o aluno perceba como determinadas atitudes do homem, podem afetar direta ou indiretamente o clima, tanto no presente como no futuro, no seu país como em outras regiões do mundo e vice e versa. 32 Diante de tais considerações, a proposta desta pesquisa é aproveitar esta interação entre Matemática e Astronomia, para proporcionar a compreensão de conteúdos de Geometria e Aritmética, bem como de outras situações dos alunos dentro e fora do ambiente de sala de aula. Segundo D’Ambrosio (2010), não adianta a escola trabalhar com uma apresentação do conhecimento obsoleta e ultrapassada. O uso de novas tecnologias estimula a aquisição, a organização, a geração de um conhecimento vivo, mais próximo das exigências da sociedade moderna. Assim sendo, a educação deve colocar em prática conhecimentos que sirvam para a melhoria das condições sociais: O grande desafio para a educação é por em prática hoje o que vai servir para o amanhã. Por em prática significa levar pressupostos teóricos, isto é, um saber/fazer acumulado ao longo de tempos passados, ao presente. Os efeitos da prática de hoje vão se manifestar no futuro (D’AMBROSIO, 2010, p. 80). O trabalho em um ambiente computacional, a utilização de softwares, a construção de maquetes podem proporcionar um ambiente escolar mais dinâmico, voltado para as exigências dessa sociedade denominada “sociedade do conhecimento”. (VALENTE, 1999). É nesse sentido que este trabalho faz uso do aplicativo Stellarium, de calculadoras e da internet, além de estimular os alunos integrantes dessa pesquisa a participarem do Projeto Globo Local. O envolvimento dos alunos com assuntos dessa natureza estimula a geração de um conhecimento vivo, integrado aos valores e expectativas da sociedade, em ambiente prazeroso. “O ideal é o aprender com prazer ou o prazer de aprender”, manifesta-se D’Ambrosio (2010, p. 84). Todo ser humano desenvolve conhecimento e seu comportamento reflete esse conhecimento. À medida em que vai modificando seu comportamento, os conhecimentos vão sendo modificados. Assim sendo, comportamento e 33 conhecimento são interdependentes e se encontram em permanente transformação. (D’AMBROSIO, 2005). As gerações futuras viverão em um ambiente multicultural e carregado de tecnologia. Constata D’Ambrosio: Nossa missão de educadores tem como prioridade absoluta obter a PAZ nas gerações futuras. Não podemos nos esquecer de que essas gerações viverão num ambiente multicultural, suas relações interculturais e seu dia-a-dia será impregnado de tecnologia (2005, p. 45). É levando em conta as observações efetuadas por D´Ambrosio que este estudo pretende contribuir, ainda que modestamente, para que as gerações futuras vivenciem a paz. 1.2 Procedimentos metodológicos Para atingir nossos objetivos, desenvolvemos uma sequência de atividades utilizando o software Stellarium, o gnômon e o Mapa Mundi Paralelo, os quais serão comentados a seguir. Essas atividades abordam temas da Matemática, Geografia e da Astronomia, utilizando como princípios teóricos a Interdisciplinaridade do modo como desenvolvido por D´Ambrosio (2005). Por se tratar de um trabalho que se utiliza de dados de fenômenos astronômicos que interferem direta e indiretamente na vida do planeta, este estudo referencia-se em um projeto multicultural, denominado Globo Local, que pode promover a aquisição e produção de novos conhecimentos em um ambiente escolar. 1.2.1 O software Stellarium Neste estudo, foi utilizado um simulador de planetário denominado Stellarium. Trata-se de um software livre de Astronomia para visualização do céu, nos moldes de um planetário. Entendemos que o uso deste software é uma 34 excelente ferramenta de ensino e aprendizagem em diversas áreas da Matemática, especialmente a Geometria, uma vez que esse aplicativo é capaz de simular qual nossa posição na Terra e no Sistema Solar, as posições e distâncias entre os astros, bem como simular o céu diurno, noturno, e os crepúsculos em vários lugares da Terra. 1.2.2 O gnômon Na Atividade de Ensino 2, descrita no Capítulo 3, foi utilizado um gnômon (Imagem 03), instrumento astronômico provavelmente um dos mais antigos construídos pelo ser humano. Embora tenha sido utilizado pelos egípcios antes de 1500 a.C, foram os gregos que denominaram por gnômon ao relógio de sol que chegou até eles por meio dos babilônios (COSTA, 1997). Trata-se de uma haste que deve ser colocada perpendicularmente ao solo. A observação da variação de posição da sombra da haste provocada pelos raios solares durante o dia permite encontrar a Linha Norte-sul e em seguida a Linha Leste-Oeste. Imagem 01 - Gnômon Fonte: acervo próprio 35 1.2.3 O projeto internacional Globo Local Esta pesquisa está inscrita no Projeto Internacional Globo Local que se originou na Itália e adota uma abordagem educativa, cultural e interdisciplinar que envolve a Astronomia, a Matemática, Geografia, História, a Cartografia, a fotografia, dentre outras áreas do conhecimento, promovendo uma visão democrática para o nosso planeta. O Globo Local têm como promotores: Nicoletta Lanciano, da Università di Roma “La Sapienza”, (Roma, Italia); Franco Lorenzoni, da Casa-Laboratorio di Cenci (Amelia, Italia); Horacio Tignanelli do Ministerio de Educación de la República Argentina (Buenos Aires, Argentina); Néstor Camino, da Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de la Patagonia “San Juan Bosco (Esquel, Chubut, Argentina); Enrica Giordano, da Università di Milano-Bicocca. (Milano, Italia). O projeto propõe o uso do Mapa Mundi Paralelo. É um globo livre de forma a assumir posições diferentes. Permite aos alunos ou qualquer pessoa interessada "a possibilidade de refletir sobre a sua própria posição, de uma maneira diferente daquela de todos os outros países e ajuda a perceber a Terra como uma esfera no céu" (GLOBO LOCAL, 2011b, p.1). O Mapa Mundi Paralelo apresenta diferentes denominações: Globo Paralelo ou Globo Local Paralelo - GLP (Imagem 02). Trata-se de um globo terrestre posicionado de forma homotética à Terra, respeitando a Latitude e Longitude local, os sentidos Norte, Sul, Leste e Oeste. Deve ser colocado em local ensolarado e, no entanto, não deve incidir sombra sobre ele. Desse modo, o instrumento permite ver como o Sol ilumina as diferentes regiões da Terra, promovendo a compreensão dos Fusos Horários e mudanças de estações em tempo real: De fato, no globo paralelo, colocado em uma posição homotética em relação à Terra real no espaço, a luz do sol ilumina os países, a partir da iluminação do planeta. Você pode então ver em que países naquele 36 momento o sol está nascendo e onde é noite, o polo que è iluminado e o que está na sombra, e em que países as sombras estão no meridiano local porque é meio-dia. Isso nos ajuda a compreender a mudança do dia e da noite e das estações (GLOBO LOCAL, 2011b, p. 2). Os promotores do projeto solicitam aos participantes que confeccionem o seu próprio GLP, deixando aos integrantes do projeto um arquivo texto com as instruções para a construção do mesmo. Imagem 02 - GLP - Globo Local Paralelo3 Os GLP veem sendo testados e validados através de pesquisas e atividades em locais como Itália, Espanha e Argentina principalmente na casalaboratório Cenci (Amelia, Itália) e pelo Grupo de Pesquisa sobre a Pedagogia do Céu do Movimento de Cooperação Educativa (GLOBO LOCAL, 2011a, s/p). Segundo os idealizadores do Projeto Globo Local, os valores educativos e culturais do Globo Local Paralelo tem sido intensamente testados e validados em diversas regiões do mundo. Os dados, imagens e resultados obtidos pelos grupos participantes de diferentes regiões do mundo, são compartilhados entre si. Os 3 O Globo Local Paralelo que aparece na Imagem 01 foi confeccionado pelo próprio pesquisador, com a finalidade específica de ser utilizado pelos alunos durante as atividades. 37 integrantes do projeto atestaram a eficiência do instrumento para a educação intercultural, de forma consciente e nova (GLOBO LOCAL, 2011b). De acordo com documento distribuído pela organização do Globo Local, os objetivos do projeto têm como proposta: Usar o globo paralelo como uma ferramenta para a prática didática, propagando a idéia de educação, capaz de combinar manualidade, observação, experimentação concreta e reflexão. Difundir esta ferramenta em nível internacional, particularmente nos países do sul. Partilhar experiências sobre o uso do Globo Paralelo através da captação de dados e imagens provenientes de países de longitude e latitude diferentes, para que todos possam visualizá-las e usá-las, estabelecendo o crescimento do intercâmbio e da própria ação educativa. Esclarecer as diferenças semânticas e simbólicas dos pares Norte-Sul, alto-baixo, para cima- para baixo, acima-sob, subir-descer, em diferentes línguas e culturas. Destacar o valor político do globo paralelo, como uma ferramenta para a educação intercultural, atenta às diferenças dos diversos pontos de vista locais, enfatizando a relação entre cultura e democracia, no nível local e global. (Globo Local, 2011b, s/p). No ano de 2011, o Projeto Globo Local propôs quatro dias mundiais para a prática de atividades utilizando os Globo Local Paralelo. Entre outubro de 2010 e fevereiro de 2011, foram enviadas instruções para a confecção desses mapas. Após a construção desse instrumento, foram escolhidas quatro datas: 20 de março e 23 de setembro (dias de equinócios) e 21 de junho e 22 de dezembro (dias de solstícios), para que, em escolas, parques, museus, ou qualquer outra instituição praticassem, em exposição ao Sol, as atividades recomendadas pelo Projeto, utilizando o Globo Local Paralelo. No trato com o Globo Local Paralelo e o gnômon, o estudante necessita da utilização de conceitos matemáticos, notadamente aqueles referentes à Geometria, tais como medidas de segmentos, formas, projeção, bissetriz, mediatriz, circunferência, ângulo, etc. 38 Demais aplicativos que tomarão parte das atividades: Computadores, réguas de madeira de 1 metro, nível de bolha, compasso de madeira, barbante, giz, apagador, tinta guache, pincel e massa de modelar. 1.3 Sujeitos Para a Atividade de Ensino 01, realizada em agosto de 2012, os participantes foram alunos do 8º ano (7ª série) do Ensino Fundamental II de um colégio da rede particular da cidade de Guarulhos do Estado de São Paulo. Já Atividade de Ensino 02, realizada em março de 2013, participaram os mesmos alunos, os quais foram promovidos para o 9º ano (8ª série). 1.4 Descrição e objetivos das Atividades de Ensino As atividades de Ensino foram realizadas em 4 (quatro) momentos, descritos a seguir: 1º Momento – Atividade de Ensino 01 Título: A Matemática nas Coordenadas Geográficas Duração: 2 horas e 30 minutos A atividade foi realizada com os alunos do 8º ano do Ensino Fundamental no laboratório de Informática do colégio onde se realizou a pesquisa. Para a consecução desta atividade foram utilizados os seguintes materiais: computador, aplicativo Stellarium, atlas geográfico, lápis, borracha, folha de atividade e data show conectado ao computador do pesquisador. Os próprios alunos formaram as duplas. Cada dupla teve um computador e uma Atividade de Ensino contendo 7 (sete) folhas (ANEXO A). Para uma melhor 39 visualização, o pesquisador pode desenvolver a pesquisa com um computador ligado a um projetor. Esta atividade foi dividida em três partes: 1) Explicação do funcionamento e os principais comandos do software Stellarium. 2) Breve resumo dos conceitos geográficos que seriam trabalhados nas atividades. 3) Realização dos exercícios propostos englobando de forma interdisciplinar conceitos geográficos e conceitos matemáticos. Conteúdos trabalhados: Matemática: unidades de tempo, ângulos, subdivisões de ângulo, números inteiros, operações matemáticas usando ângulos e unidades de tempo, cálculo mental, noções de direção e sentido e contagem. Geografia: coordenadas geográficas (Latitude e Longitude), hemisférios, Linha do Equador, Meridiano de Greenwich, Pontos Cardeais, Fusos Horários, Altitude e rotação da Terra. 2º Momento – Atividade de Ensino 02 Título: Globo Local Paralelo Duração: 3 horas no período da manhã e 3 horas no período da tarde Esta atividade foi realizada ao ar livre na quadra de esportes da escola, em um dia ensolarado. Os materiais utilizados foram: Globo Local Paralelo (GLP), gnômon haste (cabo de vassoura) de aproximadamente 60 cm, compasso de madeira, régua de madeira com 1 metro de comprimento, giz colorido, nível de bolha (usado por pedreiro), barbante com aproximadamente dois metros, fita adesiva, guache preto e bucha de nylon tamanho 10. 40 Os alunos se dividiram em duplas e distribuídas na quadra de esportes de forma coordenada pelo pesquisador. Cada dupla recebeu uma haste (gnômon), giz e barbante. Materiais como régua de um metro, nível de bolha, compasso de madeira (usado pelo professor na lousa) e o próprio GLP foi compartilhado entre todas as duplas. A atividade foi dividida em 6 partes. 1) Em determinada hora da manhã, marcamos um ponto com giz no solo previamente definido pelo pesquisador Em seguida, posicionamos neste ponto o gnômon. Para que o mesmo ficasse perpendicular ao solo os alunos usaram o nível de bolha e calços de papelão. 2) Ainda na parte da manhã, foi traçada no solo as sombras projetadas pelo gnômon nos horários: 9h15min, 9h45min e 10h30min. 3) No período da tarde os alunos traçaram as sombras nos horários: 13h30min e 14h15min. 4) Foi traçada com giz a Linha Norte–Sul no solo partindo das sombras do gnômon traçadas no solo usando a bissetriz. Para traçar a bissetriz os alunos puderam escolher os pares de sombras das: 10h30min com às das 13h30min ou 09h45min com às das 14h15min. Como esta Linha Norte-Sul passou por cima do ponto onde estava o gnômon, os alunos traçaram, a partir dele, uma reta perpendicular encontrando assim a Linha Leste-Oeste. 5) Foi posicionado GLP em cima do cruzamento das Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste. Em seguida foram colocadas alguns gnômons (buchas de nylon de 5 cm de comprimento) na superfície do GLP (distribuídas no Meridiano que passa pela cidade de onde se situa o colégio em que a atividade foi realizada). 6) Ao final, os alunos preencheram a Folha de Atividade 2 (ANEXO B). Conteúdos trabalhados: Matemática: operações matemáticas e arredondamento com unidades de tempo, perpendicularidade, paralelismo, mediatriz, bissetriz, simetria, 41 circunferência, ponto, reta, plano, semirreta, segmento de reta, noções direção e sentido e homotetia. Geografia: Coordenadas geográficas (Latitude e Longitude), Pontos Cardeais, Nascer e Ocaso do Sol, Estações do Ano e Polos geográficos. Astronomia: Movimento de rotação e translação da Terra, a dinâmica dos Astros do Sistema Solar. 3º Momento – Atividade complementar 1 Título: Medindo o comprimento da coluna de ferro Duração: 1 hora no período da manhã Esta atividade foi realizada ao ar livre na quadra de esportes e na sala de aula, logo após o término da Atividade 02. Os materiais utilizados foram o gnômon, giz, trena, nível de bolha e a folha contendo a atividade (ANEXO C). Devido ao pouco tempo destinado para a realização da atividade, os alunos foram divididos em dois grupos de onze alunos na quadra de esportes. Já na sala de aula mantiveram-se as mesmas duplas da Atividade 02. Descrição da atividade: 1) Verificação se o gnômon estava perpendicular ao solo. 2) Medir e anotar a altura do gnômon com o auxílio de uma trena. 3) Medir e anotar o comprimento da sombra do gnômon. 4) Medir e anotar o comprimento da sombra da coluna de ferro. 5) Medir e anotar a altura do muro, pois a coluna de ferro estava fixada em cima do muro. 6) Em sala de aula (em duplas), os alunos calcularam o comprimento da coluna de ferro de acordo com suas anotações,. 42 Conteúdos trabalhados: Matemática: operações matemáticas com números decimais, perpendicularidade, unidades de tempo, cálculo mental, razão e proporção e semelhança de triângulos. Geografia: Pontos cardeais, Linha Norte-Sul e Leste-Oeste, Astronomia: Movimento de rotação da Terra. 4º Momento – Atividade complementar 2 Título: "Pré Sal" Duração: 1 hora O desenvolvimento desta atividade se deu com a leitura feita pelos alunos, de texto intitulado "Pré Sal" (ANEXO D). Em seguida responderam ao questionamento: "No texto comenta-se que no Pré-sal nem tudo é festa. Existe a preocupação quanto a viabilidade econômica, pois, o desenvolvimento de novas tecnologias e a cotação do mercado mundial podem tornar o processo de exploração e produção inviáveis. Na sua opinião será que não devemos nos preocupar com algo mais, além da viabilidade econômica? Justifique." Conteúdos trabalhados: Geologia: Processo de formação do pré sal. Geografia: Regiões do Brasil, estados brasileiros, países produtores de petróleo, bacias hidrográficas. Matemática: Números inteiros, unidades de comprimento. 43 CAPÍTULO 2 ATIVIDADE DE ENSINO 01: A MATEMÁTICA NAS COORDENADAS GEOGRÁFICAS No dia 20 de agosto de 2012 estivemos com os alunos do 8º ano do de um colégio da rede particular do município de Guarulhos do Estado de São Paulo. Nessa nossa conversa, explicamos sobre o projeto que gostaríamos de desenvolver com eles. Pontos informados aos alunos: A importância deste trabalho para a comunidade acadêmica; O quanto eles iriam desenvolver, trabalhando dentro de áreas como Matemática, Astronomia, Geografia e História, dentre outras; Informamos que o trabalho que tem um cunho internacional, pois uma das atividades, denominada “Globo Local” tem desdobramento em outros países; Que os pais deveriam ler e assinar um termo de consentimento para que pudessem participar da pesquisa. Todos os alunos presentes aceitaram participar da pesquisa. Fizeram os seguintes questionamentos: Se a investigação seria feita na própria escola? No período de aula? Outra turma iria participar? A essas questões, respondemos que a pesquisa seria realizada na escola em período de aula e somente aquela turma participaria. O primeiro encontro ocorreu no dia 31 de agosto de 2012 às 10h00min. Constou com a presença de 24 alunos do 8º ano que foram divididos em doze duplas, escolhidas de forma aleatória, sendo que cada dupla teve acesso a um computador. Para a realização dessa atividade, contou-se com o apoio do professor de Geografia do próprio Colégio. 44 Além disso, esse encontro foi inteiramente filmado, visando o registro dos trabalhos efetuados pelos alunos, sem privilegiar qualquer dupla, independentemente do desenvolvimento de cada uma delas. Foi também utilizado um projetor multimídia conectado ao computador do pesquisador, promovendo uma melhor interação pois os alunos observavam em seus computadores o que a atividade pedia. 2.1 Descrição da atividade 01 Cada dupla recebeu a Atividade de Ensino – 01, intitulada “A matemática nas coordenadas geográficas” contendo sete páginas. (Cf. Anexo A). O início da atividade (três primeiras páginas) teve como objetivo: Familiarizar as duplas com o software Stellarium (página 01). Trabalhar conceitos da Geografia, pré-requisitos para a realização dessa atividade, dentre elas: Latitudes (paralelos), Longitudes (Meridianos), Hemisférios, Pontos Cardeais, Meridiano de Greenwich, Altitude e Fusos Horários (páginas 02 e 03). Dar subsídios para que as duplas efetuassem os problemas solicitados durante a atividade. Durante a familiarização do Stellarium, observou-se que apenas um dos alunos não conhecia o software, sendo necessário explicar seu funcionamento de forma mais detalhada, o que aconteceu de forma rápida. Assim sendo, explicamos a eles que Stellarium se tratava de um software livre, que serve como um simulador na posição (Latitude, Longitude e Altitude) e visualização (claro ou escuro) do céu em diversas cidades da Terra, na observação de diversos astros dentro do Sistema Solar e de galáxias. Nesse momento um aluno da Dupla 07, perguntou se seria possível ver dentro de outras galáxias. Demos um tempo para que algum aluno respondesse, mas não conseguimos ter sucesso. Então, dissemos que não seria possível, 45 apenas poderíamos ver as estrelas que estavam dentro da nossa galáxia, ou seja, a Via Láctea. O desenvolvimento dos conceitos de Geografia decorreu de forma que os alunos acompanhavam por meio das páginas 129 a 132 da Atividade 1, Anexo A, ou pelo telão onde se promovia a explicação. Por meio desse procedimento, procuramos promover a interdisciplinaridade entre a Geografia e a Matemática com os conteúdos dos números inteiros, operações com ângulos e produto cartesiano. O professor de Geografia acompanhou toda essa parte da Atividade 1, aquelas que continham conteúdos de sua disciplina. Em seguida, fizemos uma pergunta aos alunos: “o Brasil está no Hemisfério Norte ou Sul?”. A maioria respondeu que estava no Hemisfério Sul. Então perguntamos qual a região do Brasil estar localizado no Hemisfério Sul, quando a maioria dos alunos respondeu que estava situado abaixo da Linha (paralelo) do Equador. Neste momento informamos aos alunos que nem toda a área do território nacional estava no Hemisfério Sul. Alguns alunos ficaram intrigados com esta afirmação, mas dissemos a eles que no decorrer dessa atividade teriam oportunidade de constatar a veracidade da informação. A intenção desses questionamentos foi verificar se os alunos sabiam a localização do Brasil no globo terrestre, ou seja, que a maioria do território brasileiro encontra-se no Hemisfério Sul e uma pequena parte no Hemisfério Norte. Dessa forma, estávamos interessados em proporcionar aos participantes a oportunidade de perceber distâncias, noções de direção, sentido, posição e espaço, necessárias à compreensão de conceitos geométricos e geográficos. Chamamos a atenção dos alunos em relação ao comando do Stellarium: a Janela de Localização [F6], em que as letras maiúsculas antecedem os valores em graus das Latitudes e Longitudes. Essas letras são as abreviações em inglês dos pontos cardeais. Os pontos cardeais Norte, Sul, Leste e Oeste são escritos em inglês North, South, East e West. No software Stellarium, para direcionar as Latitudes e Longitudes são usadas suas abreviações do inglês N (North), S (South), E (East) e W (West). 46 Na tela principal do Stellarium também se destacou os pontos cardeais, que aparecem abreviados com a primeira letra na língua francesa. No exercício 01 as abreviações dos pontos cardeais tanto para o inglês como para o francês foram colocadas na seguinte tabela (Figura 03). Pontos Cardeais Português Francês Inglês Português Francês Inglês Norte Nord North Leste Est East Sul Sud South Oeste à L`ouest West Figura 03 - Tabela dos Pontos Cardeais Fonte: Atividade de Ensino 01 Durante a explicação sobre a mudança dos Fusos Horários em função das Longitudes, um aluno da Dupla 11 perguntou: – Mas, não muda o Fuso Horário, não é, quando muda as Latitudes? O aluno estava querendo confirmar se ocorre mudança de Fuso Horário em relação às Latitudes. Em resposta, dissemos que o Fuso Horário só se altera de acordo com as Longitudes. Essa mudança de horário é devido ao movimento de rotação da Terra de Oeste para Leste. Neste momento fizemos um breve comentário sobre a Conferência Internacional do Meridiano realizada em 13 de outubro 1884 (Washington/ EUA). Os 41 delegados de 25 países presentes decidiram que o Meridiano de Greenwich torna-se o Meridiano principal, e que o mesmo determinava a Longitude e estabelece os Fusos Horários pelo mundo. Nessa ocasião o mundo foi dividido em 24 Fusos Horários. O procedimento utilizado partiu que são gastos aproximadamente 24 horas para que a Terra realize seu movimento de rotação completa (360º). Desse modo, cada Fuso Horário corresponde a uma faixa de 15º de Longitude, o que equivale a uma hora. Durante a leitura da Atividade 01 (Anexo A, p. 3), os alunos acompanhavam, tanto por meio do texto e do telão, a explicação referente aos Fusos Horários. A ideia era que os alunos constatassem que, nas faixas de Fusos 47 Horários, a cada 15 graus que a Terra gira acrescenta-se uma hora, indo de Leste para Oeste. Além disso, para as cidades que estavam a Oeste do Meridiano de Greenwich os alunos deveriam subtrair uma hora e, a Leste, adicionar uma hora a cada 15 graus. Nessa perspectiva e observando a imagem do globo da página 131 (ANEXO A), alguns alunos confirmaram que as cidades brasileiras estariam com seus horários atrasados em relação às cidades a leste do Meridiano de Greenwich (Figura 04). Figura 04 - Globo Terrestre - Fusos Horários Fonte: Atividade de Ensino 01 Para iniciarmos os trabalhos, dissemos para os participantes acertarem no computador a hora e a data do computador. Assim, os computadores 48 assinalaram a data 31 de agosto de 2012 e o horário 10h50min. A data e o horário deveriam ser registrados página 03 da Atividade de Ensino (Figura 05). DATA: HORÁRIO: Figura 05 - Registro: Data e horário da atividade Fonte: Atividade de Ensino 01 2.2 Exercício 01 Quando os alunos executaram o software Stellarium, perceberam que a data e horário estavam de acordo com aquele corrigidos por eles. Logo após essa constatação, alunos das Duplas 03, 07 e 11 verificaram que a cidade que aparecia no Stellarium era Paris–França. Nesse momento explicamos que o software foi desenvolvido na França e vinha configurado para esta cidade e que deveríamos alterá-lo de acordo com a primeira cidade dada no primeiro exercício (Figura 06). O exercício 01 solicitava aos alunos que localizassem as cidades citadas informando suas Latitudes, Longitudes, Altitudes e as condições de luminosidade do céu. Como a atividade foi realizada numa escola do município de Guarulhos/SP, acreditamos ser mais coerente para os alunos a escolha desta cidade. 49 Figura 06 - Exercício 01 Fonte: Atividade de Ensino 01 Essa atividade teve como objetivo, primeiramente, executar o comando Janela de Localização. Os alunos digitaram o nome da cidade Guarulhos, conferiram o país (Brasil) e em seguida confirmaram. Assim, puderam verificar se a Latitude, Longitude e Altitude eram as mesmas descritas na primeira linha da tabela. Após essa confirmação, escreveram na última coluna da respectiva cidade, se a imagem que aparecia na tela do computador indicava se o dia estava claro ou escuro. O dia ensolarado, as informações confrontadas entre a tabela e os dados fornecidos pelo software possibilitaram a verificação de que as informações do software eram confiáveis. 50 Imagem 03 Duplas 01 e 02 executando exercício 01 A seguir, propusemos aos alunos preencher a tabela por completo. Eles puderam ver na prática o uso valores de frações de ângulos (graus, minutos e segundos), números inteiros negativos (altitudes de cidades “negativas”). 51 Figura 07 - Resolução do Exercício 01 – Dupla 11 A consecução dessa atividade provocou nos alunos alguns questionamentos, tais como: Dupla 02 Em relação à cidade de Macapá: Aluno A: Professor, como faz com 0°? Pesquisador: 0° para Latitude ou Longitude? Aluno B: Latitude. Pesquisador: Verifique na página 02, onde é 0° para Latitude. Aluno A: É na Linha do Equador. Pesquisador Exatamente. Aluno A: Não pode ser Latitude, ela passa pela Inglaterra. Greenwich não passa pelo Brasil. Pesquisador: Isso mesmo, é outro Meridiano que passa por esta cidade. 52 Dupla 06 Em relação à cidade de Toronto Aluno A: Toronto é no Canadá? Pesquisador: Sim, é no Canadá. Aluno B: É eu lembro, lembrei da Fórmula Indy. Pesquisador: Isso mesmo. Dupla 05 Em relação aos segundos da Longitude, 47,99”, da cidade de Toronto (W 79° 22’ 47,99”). Aluno A: Professor aqui arredonda, né, para 48”? Pesquisador: Perfeito, isso mesmo. Dupla 02 Em relação à cidade de Almere. Aluno A: Professor Netherlands é Holanda ou Irlanda? Pesquisador: Pessoal (chamando a atenção de todos os alunos), Netherlands é Holanda ou Irlanda? Alguns alunos Holanda. Dupla 01 Em relação à Altitude da cidade Almere. Aluno A: Professor, a cidade de Almere na Holanda é abaixo do nível do mar Pesquisador: Sim, é. Aluno A: Olha que da hora. 53 A resposta do aluno A "olha que da hora" indica que essa informação foi surpreendente para esse aluno, no sentido de descobrir a existência de cidades abaixo do nível do mar. Por essa expressão, podemos inferir que a atividade proporcionou ao aluno uma ampliação do conhecimento, pois teve acesso a algo ainda desconhecido sobre o planeta em que habita. Naquele momento, não fizemos comentários sobre essa questão. Entretanto, esse assunto foi comentado em outra ocasião, quando o professor de Geografia explanou sobre cidades que se encontram abaixo do nível do mar. Comentou que algumas cidades criam diques para conter o avanço das águas, mantendo determinadas porções de terra secas. Como se pode observar, pelos diálogos entre os alunos e com o pesquisador, houve envolvimento dos alunos durante a atividade, ocasião em que procuraram solucionar suas dúvidas, a maioria delas referentes à localização, arredondamento de números decimais e nomenclatura de termos de coordenadas geográficas. Puderam, ainda, verificar uma aplicação prática para os números inteiros não positivos, quando notaram que algumas localidades se encontram abaixo do nível do mar. Conceitos matemáticos foram trabalhados na área de Geografia, o que denota uma intencionalidade de ocorrência da interdisciplinaridade. Como o trabalho foi realizado com duplas de alunos, entendemos que, provavelmente, ocorreu a aprendizagem de conceitos matemáticos (números decimais, arredondamento, números inteiros positivos e não positivos, unidades de medida, unidades de ângulo, posto que a atividade propiciava o diálogo entre as duplas e entre o professor pesquisador e os alunos. 2.3 Exercício 02 Neste exercício, os alunos deveriam completar uma tabela retirando os dados do exercício anterior. Eles deveriam encontrar quatro cidades que atendessem as condições de Latitude e Longitude que o exercício pedia. A 54 primeira cidade deveria estar localizada com Latitude Norte e Longitude Leste, a segunda cidade Latitude Norte e Longitude Oeste, terceira Latitude Sul e Longitude Oeste e, finalmente, a quarta cidade Latitude Sul e Longitude Leste. As figuras 08 e 09 mostram respostas de algumas duplas: Figura 08 Resolução do Exercício 02 – Dupla 09 Figura 09 Resolução do Exercício 02 – Dupla 11 Pudemos verificar que os alunos tiveram facilidade para responder a esse exercício, mas acreditamos que, como as cidades foram escritas em uma tabela, eles não tiveram uma visão espacial dessas cidades distribuídas no planisfério. Prevendo essa situação, distribuímos aos alunos um Atlas cujas páginas centrais tinha um planisfério. Assim, puderam localizar com um lápis, as cidades por eles escolhidas. Assim sendo, além do Stellarium, fornecemos aos alunos um planisfério contido no Atlas Geográfico Escolar – atualizado CENSO 2010, para que os alunos tivessem uma melhor visualização dessas cidades. Isso porque, enquanto o Stellarium permite a visualização de uma cidade por vez, no planisfério é 55 possível observar várias cidades ao mesmo tempo. No caso dessa atividade, as quatro cidades escolhidas pelos próprios grupos de alunos. As cidades também foram encontradas com facilidade, com exceção de Almere, na Holanda. Sem a intervenção do pesquisador e podendo interagir entre eles, procuraram usar as coordenadas da Latitude e Longitude. Mesmo assim, algumas duplas tiveram dificuldade em localizar a referida cidade, pois um dos grampos que encadernavam o Atlas estava bem em cima da Holanda, onde se encontrava a cidade de Almere. Situação ocorrida neste exercício: Duplas 02 e 07 Localização de Almere no Planisfério Aluno A: (Dupla 07) Cadê a Holanda? Aluno A: (Dupla 02) Atrás do clipes. Aluno A: (Dupla 02) Pra cima da Espanha. Aluno A: (Dupla 07) Ha! Beleza encontrei. Nesta situação, em que os alunos perceberam que cidade de Almere não estava descrita no planisfério, as duplas localizaram o país. Esse mesmo problema ocorreu com a localização da cidade de Nagoya, no Japão, que também não estava descrita no planisfério. Na Imagem 04 é possível observar um aluno da Dupla 01 localizando a Holanda no planisfério. 56 Imagem 04 Aluno da Dupla 01 localizando a Holanda no Planisfério Essa ocorrência, embora não premeditada, permitiu uma boa interação entre as duplas. Verificou-se que, a iniciativa de indicar o país, já que não estavam conseguindo localizar a cidade, proporcionou ainda mais a motivação dos participantes em relação às atividades propostas. Nossa pretensão, desse modo, foi preparar os alunos para o próximo exercício 03, que diz respeito às coordenadas cartesianas, mais precisamente, a nomeação dos quadrantes. Em seguida, verificamos que iríamos passar do tempo previsto para a realização dessa primeira atividade, então achamos melhor liberar os alunos para descansarem por quinze minutos. Após o intervalo, os alunos realizaram os exercícios faltantes. Cumpre esclarecer que não foi possível cruzar os dados obtidos com informações colhidas pela internet ou pelo globo terrestre. Os computadores, durante essa atividade, não estavam conectados com a internet devido às condições físicas propiciadas pelo Colégio e não havia globos terrestres suficientes para todas as duplas de modo que fosse feito esse cruzamento de 57 informações. Assim, a melhor opção foi a utilização de um planisfério contido em Atlas escolar. 2.4 Exercício 03 O terceiro exercício continha uma elipse (simulando o planisfério) dentro de um retângulo dividido em quatro partes congruentes (Figura 10). Procuramos dar a ideia de quadrantes. Os alunos deveriam numerar cada uma das quatro cidades do exercício anterior nos quadrantes. Convém destacar que, para os alunos esclarecemos aos alunos que que a elipse representava a planificação do globo terrestre, razão pela qual não se apresentava como uma circunferência4. Figura 10 Representação do Planisfério do Exercício 03 Durante esse procedimento, muitos alunos perceberam que os números ficaram em ordem crescente, distribuídos no sentido anti-horário. Exemplificando: 4 Na projeção de Mollweide, a terra inteira é representada como uma elipse. Os paralelos de latitude são linhas retas paralelas ao Equador. O espaçamento dos paralelos ao longo do meridiano central é calculado para assegurar que todas as áreas no mapa sejam iguais às áreas correspondentes no esferoide (PISSARRA, 2013). 58 Figura 11 Resolução do Exercício 03 – Dupla 07 Figura 12 Resolução do Exercício 03 – Dupla 02 No primeiro quadrante, nas figuras 08 e 10, nota-se que o número 1 foi colocado próximo ao Meridiano de Greenwich e próximo da Linha do Equador, respectivamente. Perguntado sobre a razão dessas posições para o número 1, os alunos da dupla 07 responderam que Holanda está próxima do Meridiano de Greenwich, os da dupla 02 responderam que Nagoya está próxima da Linha do Equador. Ao que tudo indica, os alunos perceberam a localização das cidades sem contar com o apoio do planisfério e do Stellarium, ou seja, num plano cartesiano contendo uma elipse ao centro. Situação ocorrida neste exercício: Duplas 01, 02 e 03 Duas cidades ficarem no mesmo quadrante. 59 Aluno B: (Dupla 03) Professor ficaram duas cidades no mesmo quadrante. Pesquisador: Como isto pode ser possível, quais são as cidades? Aluno B: (Dupla 02) Rio de Janeiro e Macapá. Pesquisador: Qual a Latitude de Macapá? Aluno B (Dupla 02) Norte. Pesquisador E qual a Latitude do Rio de Janeiro? Alunos A e B: (Dupla 02) Sul. Pesquisador: Se uma cidade está na Latitude Sul e outra está no Norte como podemos colocá-las no mesmo quadrante. Aluno A: (Dupla 01) (para todos os alunos) Em cima representa o Sul (abaixo da Linha do Equador) e em cima representa o Norte. E ele colocou os dois no Sul. Pesquisador: Isso mesmo. Todos entenderam? Alunos: Sim Pudemos notar que essa dupla entendia que o Brasil está inserido totalmente no Hemisfério Sul. Essa atividade possibilitou que eles percebessem que uma pequena parte do Brasil se encontra no Hemisfério Norte, particularmente a cidade de Macapá. Dessa forma, pudemos esclarecer os alunos sobre a localização do Brasil, questão essa que havia ficado em aberto logo no início da atividade. 2.5 Exercício 04 Para este exercício e os demais dessa atividade, desenvolvemos o Quadro de Longitudes (Figura 13), que mostra todos os Fusos Horários do planisfério 60 divididos a cada 15° e o Meridiano de Greenwich dividindo o quadro em duas partes: Oeste e Leste. Este exercício tinha como objetivo trabalhar as quatro operações matemáticas básicas com ângulos inteiros e unidades de tempo bem como a noção de sentido. No que tange à Geografia, procuramos explorar o conceito de sentido Leste-Oeste, Meridianos e Fusos Horários. Como no Quadro de Longitudes não estava desenhada nenhuma área territorial, achamos melhor desenhar os Meridianos com linhas inteiras, diferentemente das linhas quebradas apresentadas nos planisférios e globos terrestres. OESTE (WEST) LESTE (EAST) Figura 13 Quadro de Longitudes Para facilitar na resolução do quarto exercício desenvolvemos um exemplo (Figura 14) no intuito de ajudar na resolução deste exercício como os demais. A explicação do exemplo foi acompanhado pelos alunos no telão. Era mostrada uma cidade (Cidade A) que estava a Longitude W 60° (Oeste 60°) cujo seu horário é de 03h00min e outra cidade (Cidade B) localizada na Longitude E 30° (Leste 30°). Os alunos puderam ver a resolução do problema no telão informando que o horário da Cidade B é 09h00min. Após explicação detalhada desse exemplo e verificação de que todos os participantes entenderam o Quadro de Longitudes, os alunos passaram a resolver dois exercícios, contendo três e dois itens respectivamente. 61 Para resolver o exercício 04, observe o exemplo: A Cidade A está 60° a oeste do meridiano de Greenwich. Longitude Horário Cidade A W 60° 3:00 horas Cidade B E 30° ? A Cidade B está a 30° a leste do meridiano de Greenwich. Logo: 60° + 30° = 90° Divide-se 90° por 15° resultando 6 (horas de diferença entre A e B). Qual é o horário na cidade B? O horário da Cidade B é de 3 + 6 = 9 horas OESTE (WEST) A LESTE (EAST) B Figura 14 - Exemplo para o exercício 04 Fonte: Atividade de Ensino 01 Imagem 05 Alunos durante a Atividade 01 62 2.5.1 Exercício 04, item a No primeiro item (Figura 15) esperava-se que os alunos encontrassem o valor 90°, referente à diferença entre a Cidade C (W 120°) e a Cidade D (W 30°). Depois, dividissem por 15°, encontrando 6 horas. Em seguida, adicionassem essas 6 horas com o horário da Cidade C (23h00min), encontrando o horário da Cidade D igual a 05h00min. a) Longitude Horário Cidade C W 120° 23:00 horas Cidade D W 30° ? Figura 15 - Dados do exercício 04 - item a Fonte: Atividade de Ensino 01 Imagem 06 Dupla 11 resolvendo exercício 04 63 As duplas 01, 02, 05 e 07 encontraram o resultado correto, a sua resolução foi fixar as cidades partindo da Cidade C para a Cidade D adicionando uma hora a cada Meridiano (15°) no sentido Leste, ou seja, fizeram um cálculo mental. Figura 16 Resolução do exercício 04.a - Dupla 07 As duplas 10, 11 e 12 fixaram as cidades no Quadro de Longitudes, mas partindo da Cidade C já somaram uma hora, resultando no final um valor errado de 06h00min. Figura 17 Resolução do exercício 04.a - Dupla 10 As duplas 03 e 04, ao fixarem as cidades em vez de adicionarem uma hora a cada 15° o fizeram a cada 30°, chegando ao valor equivocado de 02h00min. 64 Figura 18 Resolução do exercício 04.a - Dupla 03 A dupla 08 fixou as cidades corretamente e montou um algoritmo de divisão (90 ÷ 15 = 6). A este resultado adicionou 23h00min, resultando o valor correto de 05h:00min. Figura 19 Resolução do exercício 04.a - Dupla 08 A Dupla 09 fixou as cidades de maneira incorreta, de modo que a Cidade C ficou na Longitude correta, mas a Cidade D foi fixada na Longitude L 30°, ao invés de W 30°. Isso os levou a somarem as Longitudes das duas cidades. O valor encontrado, 150°, foi dividido por 15° (um Fuso Horário) resultando 6 horas, que foram adicionados às 23h00min da Cidade C. Para esta dupla o horário da Cidade D foi 09h 00min. 65 Figura 20 Resolução do exercício 04.a - Dupla 09 A única dupla que desenvolveu a resolução de modo muito parecido ao exemplo dado foi a Dupla 06. Eles montaram os três algoritmos para resolução: subtração, divisão e adição. Um fato interessante é que os alunos não fixaram as cidades no Quadro de Longitudes, mas mesmo assim chegaram ao horário correto. Figura 21 Resolução do exercício 04.a - Dupla 06 66 2.5.2 Exercício 04, item b No item (b) (Figura 22) esperava-se que os alunos encontrassem o valor 90°, que é a adição entre a Cidade E (E 60°) e a Cidade F (W 30°) depois dividissem por 15° encontrando 6 horas. Em seguida, subtraíssem do horário da Cidade E (06h00min), encontrando o horário da Cidade F igual a 00h00min. Nesse item, observou-se que algumas duplas relutaram em expor os cálculos efetuados, ou seja, frações de graus e de tempo. Após a localização das cidades, algumas duplas não utilizaram os algoritmos propostos pelo exemplo. Eles utilizaram a contagem visual, ou seja, contaram as linhas (Longitudes) que estavam entre as cidades. b) Longitude Horário Cidade E E 60° 06:00 horas Cidade F W 30° ? Figura 22 - Dados do exercício 04.b Fonte: Atividade de Ensino 01 As Duplas 01, 02, 03, 04, 05, 10, 11 e 12 chegaram ao resultado correto fixando as cidades E e F. Como o sentido das cidades era de Leste para Oeste, eles subtraíram mentalmente as horas da Cidade E, chegando ao horário correto de 00h00min. 67 Figura 23 Resolução do exercício 04.b - Dupla 12 A Dupla 09 cometeu outro erro ao fixar as cidades. A Cidade E foi anotada na Longitude (60° Oeste) em vez de (60° Leste) e a Cidade F na Longitude (30° Leste) sendo que o correto seria (30° Oeste) resultando 09h00min. Acreditamos que a dupla partiu do Oeste para Leste e contou uma hora a cada 30° de Longitude e adicionou três horas do horário da Cidade E. Figura 24 Resolução do exercício 04.b - Dupla 09 A Dupla 07 fez os cálculos mentalmente, mas responderam erroneamente. A dupla apenas localizou as cidades E e F, então, não tivemos condições de identificar o real motivo do erro. 68 Figura 25 Resolução do exercício 04.b - Dupla 07 A Dupla 08 chegou ao resultado esperado. A resolução foi muito parecida ao exemplo dado. Foram armados os três algoritmos adição, divisão e subtração e o registro das cidades E e F. Figura 26 Resolução do exercício 04.b - Dupla 08 A Dupla 06 errou no cálculo das Longitudes das cidades. Eles deveriam adicionar 90° com 30°, mas em vez disso, subtraíram esses valores chegando a um resultado errôneo. Entretanto, no local onde estava o resultado do item, a dupla escreveu a solução correta 00h00min. Além disso, deixaram em branco o 69 Quadro de Longitudes. Provavelmente, os alunos constataram o erro, refizeram os cálculos mentalmente e não corrigiram o algoritmo. Figura 27 Resolução do exercício 04.b - Dupla 06 2.5.3 Exercício 04, item c No item (c) (Figura 28) esperava-se que os alunos encontrassem o valor 180°, que é a adição entre a Cidade G (W 45°) e a Cidade H (E 135°), depois dividissem por 15° encontrando 12 horas. Em seguida adicionassem o resultado encontrado ao horário ao da Cidade G (10h00min), encontrando o horário da Cidade H igual a 22h00min. c) Longitude Horário Cidade G W 45° 10:00 horas Cidade H E 135° ? Figura 28 - Dados do exercício 04.c 70 As duplas 01, 02, 03, 04, 05 e 06 chegaram ao horário correto da Cidade H fixando as cidades e adicionando uma hora a cada um dos doze Meridianos que separam as cidades G e H. A seguir, mostramos o procedimento da dupla 04. Figura 29 Resolução do exercício 04.c - Dupla 04 As duplas 10, 11 e 12 fixaram as cidades corretamente entretanto, no momento de partir da Cidade G (Oeste 45°) para a Cidade H (Leste 135°), consideraram a Longitude da Cidade G, resultando treze horas a serem adicionadas ao horário da Cidade G que era de 10h00min. O valor encontrado por estas duplas foi 23h00min. Figura 30 Resolução do exercício 04.c - Dupla 10 71 A dupla 08 encontrou o horário 21h00min. O erro encontrado pela dupla foi no Quadro de Longitudes que deveria estar fixada na Longitude Oeste 45°, mas fixaram em Oeste 30°. Os algoritmos foram montados, mas com valores errados. Figura 31 Resolução do exercício 04.c - Dupla 08 A dupla 09 fixou as cidades corretamente no Quadro de Longitudes, mas cometeu dois erros. Primeiro, ao adicionar as Longitudes 135° e 45° encontraram o valor de 170 em vez 180. Com este resultado de 170° dividiram por 15°. O quociente desta divisão foi 13 com resto 20. A dupla colocou esta resposta no exercício, ou seja, 13h00min. 72 Figura 32 Resolução do exercício 04.c - Dupla 09 A Dupla 07 apenas desenharam a localização das cidades corretamente, mas a resposta, foi parcialmente apagada. Identificamos o horário apagado como 21h00min. Figura 33 Resolução do exercício 04.c - Dupla 07 Como se pode notar, os alunos tiveram a oportunidade de maneira prática operações na base sexagesimal (frações de ângulos e tempo). A atividade permitiu-lhes utilizar essas bases em problemas práticos. 73 2.6 Exercício 05 O quinto exercício encontra-se subdividido em dois itens. Em ambos os casos, procuramos criar uma visão mais realista, uma vez que as cidades citadas não são fictícias, como aquelas do exercício 04. Esclarecemos aos alunos participantes que, para a resolução desse tópico, não seriam levadas em consideração, também, as Latitudes das cidades. 2.6.1 Exercício 05 – item a No item (a) (Figura 34) os alunos deveriam localizar no Quadro de Longitudes as cidades de Brasília (W 47° 54' 36") e Lisboa (W 9° 8' 24"). Em seguida, eles deveriam calcular a diferença, em graus, das duas cidades. Ainda, calcular o horário de Lisboa, sabendo que o horário de Brasília é de 19h35min. As respostas dessas atividades são: 38° 46` 12” para a diferença em graus das duas cidades e 22h35min para o horário de Lisboa. 05 Resolva as situações dadas (desconsiderar as latitudes das cidades): a) Brasília está localizada na longitude W 47° 54' 36" e Lisboa W 9° 8' 24" . De acordo com as longitudes dadas, localize aproximadamente Brasília e Lisboa (Portugal) no esquema abaixo, em seguida calcule o horário de Lisboa, sabendo que o horário em Brasília é 19 h 35 min. HORÁRIO DE LISBOA Qual a diferença em graus entre as duas cidades: Figura 34 - Dados do exercício 05.a Fonte: Atividade de Ensino 01 74 Havia sido explicado aos alunos que a cidade de Brasília está na Longitude W 47° 54' 36" e o seu horário se estende até a Longitude 45°. No caso da cidade de Lisboa, com Longitude W 9° 8' 24" seu horário se estende até a Longitude 0° (Meridiano de Greenwich). Chamamos a atenção, também, que os problemas apresentados solicitavam aos alunos que respondessem a distância entre as duas cidades apenas em graus e sem apresentar suas subdivisões, minutos e segundos. Observou-se que nenhuma dupla não realizou as subtrações de Longitudes entre as cidades com as subdivisões do grau. A partir desta constatação, podemos levantar algumas hipóteses sobre os resultados apresentados pelos alunos. As duplas 01, 02, 03 04, 05, 08, 09, 10, 11, 12 responderam que a diferença em graus entre as duas cidades era de 38°. Nenhuma dessas duplas montou o algoritmo da subtração para encontrar a resposta que esperávamos. Em relação ao horário, todas as duplas posicionaram as cidades no Quadro de Longitudes corretamente, mas apresentaram os horário de 21h35min. Nas Figuras 39 e 40 é possível ver as anotações efetuadas por algumas duplas. Figura 35 Resolução do exercício 05.a - Dupla 12 75 Figura 36 Resolução do exercício 05.a - Dupla 11 A dupla 06 acertou 38º para a diferença em graus para as duas cidades, mas cometeu um erro no horário de Lisboa. O horário apresentado pelo aluno foi de 22h50min. Os cálculos feitos pela dupla foi somar 19h35min com 3h15 min. Figura 37 Resolução do exercício 05.a - Dupla 06 Provavelmente os alunos apresentaram dificuldade em operar com as subdivisões do grau e de tempo que é base 60, pois, em geral, não são operações trabalhadas no cotidiano de sala de aula. 76 2.6.2 Exercício 05 – item b Já no item (b) (Figura 38) os alunos deveriam localizar, no Quadro de Longitudes, as cidades de Quito-Equador (W 78° 30') e Nagoya-Japão (E 136° 54' 36"). Em seguida, eles deveriam calcular em graus a diferença em graus das duas cidades, bem como calcular o horário de Nagoya, sabendo que o horário de Quito é 20h00min. As respostas a serem encontradas são 215° 24` 36” para a diferença em graus das duas cidades e, para o horário aproximado de Nagoya, 10h00min. b) Quito (Equador) está localizada na longitude W 78° 30' e Nagoya (Japão) E 136° 54' 36" . De acordo com as longitudes dadas, localize aproximadamente Quito e Nagoya no esquema abaixo, em seguida calcule o horário de Nagoya, sabendo que o horário em Quito é 20 h 00 min. HORÁRIO DE NAGOYA Qual a diferença em graus entre as duas cidades: Figura 38 - Dados do exercício 05.b Fonte: Atividade de Ensino 01 As duplas 01, 02, 03 e 12, no cálculo da diferença em graus entre as duas cidades apenas somaram os graus das duas Longitudes, encontrando o valor de 214°. Já para o horário de Nagoya, eles responderam 11h00min. Acreditamos que este horário, encontrado pelos alunos, foi feito mentalmente somando uma hora a cada 15° de Longitude no sentido oeste-leste até o Fuso Horário E 135°. 77 Figura 39 Resolução do exercício 05.b - Dupla 12 A dupla 05 encontrou mentalmente o valor correto de 214°. Em relação ao horário, o procedimento foi muito parecido com os das duplas anteriores. Os alunos somaram uma hora para cada Fuso Horário. O horário encontrado pelos alunos foi de 12h00min. Acreditamos que os alunos contaram como hora quando atravessaram as Longitude 75° e 135°, ou seja, duas horas a mais da resposta correta. Figura 40 Resolução do exercício 05.b - Dupla 05 No caso da Dupla 06 também foi encontrado 214°. Verificamos, no momento em que foram calcular o horário da cidade de Nagoya, que os alunos somaram 78° com 136° (valores em graus das Longitudes das cidades Quito e Nagoya) totalizando 214°, que foram divididos por 15°. O valor encontrado por 78 eles foi 14,6 o qual foi arredondado para 15. Essa dupla, de maneira incorreta responderam que o horário de Nagoya é 15h00min. Figura 41 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 06 As duplas 09, 10 e 11 responderam corretamente tanto a diferença em graus das duas cidades como o horário de Nagoya. Essas duplas também encontraram o valor 214 graus, desconsiderando os valores dos minutos e segundos. Os valores encontrados, pelo que pode se observar, também foram encontrados mentalmente. Figura 42 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 10 Observamos uma discussão entre as duplas 07 e 08, quando dividiram o valor 214° (diferença em graus entre as duas cidades) por 15° e encontraram o quociente 14,6. Ao valor inteiro 14, adicionaram 20h00min (horário de Quito) encontrando 10h00min. Já para os 0,6 (seis décimos) fizeram uma regra de três mentalmente (proporção), imaginando que, se fosse 0,5, seria igual a 30 minutos, 79 mas como eram 0,6, daria aproximadamente 35 minutos. O valor anotado por eles foi 10h35min. Procuramos deixar as duplas desenvolverem este cálculo, mas, em seguida, explicamos a eles e aos demais alunos. Que, na prática, não é assim que funciona. As cidades estão contidas dentro de faixas (Fusos Horários). Então, todas as cidades localizadas dentro dessa faixa, obedecem ao mesmo horário. Outro fato interessante foi que a Dupla 07 usou o símbolo de aproximação ( ) antes da resposta, como é mostrado na Figura 43. Figura 43 Resolução do exercício 05 – item b - Dupla 07 Novamente, observou-se que os alunos tiveram dificuldade em trabalhar com número em bases diferentes daquelas a que estão acostumados, ou seja, a base 10. A esse respeito, procuramos sanar as dúvidas que surgiram, auxiliando e colaborando em possíveis dificuldades encontradas pelos alunos. 2.7 Relógio Mundial e Mapa dos Fusos Horários Mundiais Finalizando essa primeira atividade, apresentamos aos alunos um Relógio Mundial e Mapa dos Fusos Horários Mundiais (Figura 44). Ambos estão disponibilizados na internet no endereço http://24timezones.com/hora_certa.php. Ao expor essa página no telão, a imagem que aparece é um planisfério dinâmico 80 colorido, em que as partes claras (azul claro) indicam os locais da Terra que estão com incidência de luz solar e as partes sombreadas (azul mais escuro) indicam que os raios solares não estão incidindo naquelas regiões da Terra. Além disso, a página mostra vários pontos (em amarelo) sobre o planisfério indicando algumas cidades. Ao clicar em um dos pontos aparece no canto esquerdo inferior o nome da cidade, país, data e horário local. Tivemos como propósito motivar, de forma dinâmica, os assuntos que os alunos estiveram desenvolvendo até aquele momento, mostrando em tempo real o que estava acontecendo em outras regiões do planeta, em se tratando de horário, data e luminosidade. Algumas cidades foram escolhidas pelos alunos, como por exemplo: Melborurne/Austrália, Lisboa/Portugal, Tóquio/Japão. Estas cidades fizeram parte da Atividade 01. As Duplas 02 e 05 perguntaram: por que as linhas brancas verticais (Meridianos) faziam alguns desvios estranhos? Comentamos que esses desvios são chamados de linhas quebradas. Essas linhas provocam alterações em Fusos Horários de algumas regiões. O objetivo destas mudanças é promover uma melhor integração do país. Essas linhas quebradas geralmente acompanham as fronteiras externas e internas dos países. Alguns países também possuem grande extensão territorial no sentido leste-oeste, podendo apresentar mais de um Fuso Horário. Para comprovar estas observações nos remetemos ao Brasil. Os alunos puderam acompanhar no telão os três Fusos Horários do Brasil. Ao passar o mouse sobre o número -2 (duas horas a menos que a hora de Greenwich) este Fuso Horário apresentou uma coloração diferente, de imediato alguns alunos perceberam que neste Fuso Horário não continha nenhum estado. O aluno A da Dupla 03 comentou que devia indicar a ilha de Fernando de Noronha. Respondemos que ele estava correto e acrescentamos que outras ilhas oceânicas estão dentro desse Fuso Horário. 81 Em seguida, fomos para o Fuso Horário -3. Vários alunos iniciaram um debate em que puderam visualizar as fronteiras de alguns estados como por exemplo: Pará, Minas Gerais, São Paulo e Rio de Janeiro. No terceiro Fuso Horário -4, os alunos visualizaram os estados: Amazonas, Acre e Mato Grosso. Foi possível verificar que os alunos se esforçaram por apresentar um resultado e estavam envolvidos com a atividade, o que lhes permitiram vivenciar o trabalho de operar em outras bases numéricas e notar que essas bases também estão presentes no mundo em que vivem. Figura 44 Tela: Relógio Mundial e Mapa dos Fusos Horários Mundiais 2.8 Considerações sobre a Atividade 01 Acreditamos que conseguimos transmitir aos alunos a importância desta primeira atividade. Eles puderam entender que antes de explorar e localizar objetos no espaço, com uso conceitos matemáticos dentro de um ambiente interdisciplinar, primeiramente devem conhecer o planeta onde vivem. Desse modo, no desenvolvimento desta atividade, os alunos tiveram oportunidade de compreender que: 82 1. as linhas imaginárias que cortam os Globos Terrestres e Planisférios auxiliam a sua localização e de outras pessoas distribuídas pela superfície terrestre; 2. a Terra é aproximadamente uma esfera que tem um movimento de rotação de Oeste para Leste5; 3. diferentes cidades no mundo podem ter horários locais diferentes; 4. cidades podem ter altitudes diferentes, bem como algumas pode estar abaixo do nível do mar; 5. os principais motivos de diferentes regiões do globo terrestre estarem claro ou escuro são devido ao Sol e devido à Terra ter forma aproximadamente esférica, rotação de Oeste para Leste e inclinação de 23° 27` em relação ao Equador Celeste; 6. a importância de conceitos da Matemática já apreendidos e aqueles que ainda apreenderão são essenciais para sua compreensão do mundo que está ao seu redor. Um fato que apresentou um bom resultado para o desenvolvimento desta atividade foi iniciarmos com um resumo de alguns conceitos geográficos (Latitude, Longitude, Pontos Cardeais, Altitude e Fuso Horário). Como os alunos já tinham visto estes conteúdos em anos anteriores, nas aulas de Geografia, foi apenas uma recordação de alguns itens e de outros que foram esquecidos por eles. Nesse sentido, o auxílio do professor de Geografia foi imprescindível, tanto durante a elaboração da atividade bem como junto aos alunos, ao procurar sanar as dificuldades encontradas pelos alunos. Utilizando as ideias da Interdisciplinaridade, percebemos ligações entre a Matemática e a Geografia, onde conceitos de ângulo, operações com ângulos, números inteiros, plano cartesiano e operações com unidades de tempo trabalhadas de forma significativa mostram ao aluno que ele é capaz localizar cidades no Globo Terrestre, o horário local e, ainda, se está claro ou escuro nessas cidades. 5 Consideramos a Terra como aproximadamente uma esfera, pois neste trabalho não é exigido cálculos precisos para um modelo diferente, como por exemplo, um geoide. 83 Também o uso do ambiente virtual proporcionado pelo software Stellarium possibilitou que os alunos verificassem, de forma rápida, a localização no Planisfério (do próprio software) de algumas cidades. Além disso, também puderam se posicionar na Terra e obter outras informações. A questão levantada por um aluno da Dupla 07, sobre ser possível ver dentro de outras galáxias utilizando o software Stellarium, permitiu-nos inferir que esse questionamento mostra um certo interesse por parte desse aluno em relação a questões científicas que extrapolam assuntos normalmente discutidos em sala de aula. Revela, ao nosso ver, que o assunto provocou uma atitude reflexiva e um anseio por conhecimentos sobre o Universo que a ciência ainda não tem resposta. Abre-se uma pequena centelha rumo à questões transdiciplinares. No exercício 1, o aluno B da dupla 6 confirmou a informação dada pelo software de que Toronto fica no Canadá, com uma informação vista na televisão, no campeonato de Fórmula Indy. Dessa forma, nota-se que os alunos estão a par de eventos esportivos veiculados nos meios de comunicação, de modo que, algo do esporte, presente no dia a dia do aluno, foi lembrado em sala de aula. Essa situação nos remete às palavras de D'Ambrosio A pluralidade dos meios de comunicação de massa, facilitada pelos transportes, leva essas relações interculturais à dimensões verdadeiramente planetárias. [...] Estamos vivendo um período em que os meios de captação e processamento de informação de cada indivíduo encontram, nas comunicações e na informática, instrumentos auxiliares de alcance inimaginável em outros tempos. A interação entre indivíduos também encontram, na teleinformática, grande potencial, por ora difícil de se aquilatar, de gerar ações comuns (20009, p.33). Assim, o uso de meios tecnológicos em ambiente escolar propicia associações com informações advindas dos meios de comunicação em massa, que potencializa a conscientização sobre a vida do ser humano na Terra e também sobre o desenvolvimento de atitudes que possibilitem o desenvolvimento do conhecimento científico em prol da sobrevivência humana. Ao final da Atividade 1, retornamos ao assunto relativo aos países baixos, ou seja, aqueles que se encontram abaixo do nível do mar, ocasião em que o aluno A, surpreso, comentou: "olha que da hora" (exercício 1). Para tanto, a 84 Holanda foi tomada como exemplo e comentamos sobre a preocupação desse país quanto à proteção da população contra enchentes e também ao cuidado com a limpeza da água, já que recebe a água de outros países. Boa parte das dificuldades encontradas pelos países baixos foi resolvida pela criatividade do ser humano em construir diques, de modo a assegurar que as comportas de água estejam fechadas. Assim, essa questão permitiu dialogar com as crianças sobre os problemas enfrentados pelo Planeta Terra e enfatizar a questão do desenvolvimento sustentável, utilizando recursos naturais que não agridam o meio ambiente e preserve o planeta para as futuras gerações. As atividades desenvolvidas, no nosso entendimento, atendem aos PCN quando se manifestam: ... como as medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a interpretação deste, as possibilidades de integração da Matemática com outras áreas do Ensino Fundamental ficam evidentes, como Ciências Naturais (densidade, velocidade, energia e létrica) ou Geografia (coordenadas geográficas, densidade demográfica, escalas de mapas e guias) (BRASIL, 1998, p. 85). Assim, os trabalhos executados durante a Atividade 1 tiveram como base a Geografia e a Astronomia, de modo que pudemos desenvolver vários conceitos matemáticos, tornando a relação entre Geografia, Astronomia e Matemática coniventes de um aprendizado interdisciplinar. A atividade proposta foi planejada de forma a desafiar os estudantes a estarem abertos a novos conhecimentos, fazendo interagir os conhecimentos e experiências anteriores com os novos que lhes foram apresentadas. Por meio do uso de novas tecnologias e do trabalho em grupo, pretendeu-se provocar nos alunos uma atitude reflexiva, incentivada pelo diálogo e colaboração, que os auxiliassem a produzir conhecimento e, ao mesmo tempo, os levassem a respeitar a diversidade de ideias, valores e crenças de cada um. Entendemos, dessa forma, que as atividades desenvolvidas proporcionaram o desenvolvimento das vertentes formativa e informativa. Formativa, porquanto forneceram aos alunos competências para acessar, socializar e ampliar o conhecimento. Assim, procuramos desenvolver os 85 instrumento de comunicação, por meio das discussões ocorridas; de análise, uma vez que os alunos efetuaram os problemas propostos, preencheram os roteiros de atividades, realizaram cálculos e fizeram inferências; bem como de materiais, na medida em que fizeram uso de instrumentos que permitiram a aprendizagem, tais como o computador e o planisfério. Quanto à vertente informativa, ela se faz presente nas tentativas de estimular a crítica dos participantes sobre as atividades desenvolvidas, proporcionando a verificação de que os conhecimentos matemáticos estão presentes no cotidiano. 86 CAPÍTULO 3 ATIVIDADE DE ENSINO 02: GLOBO LOCAL PARALELO Esta atividade foi realizada com alunos do 9º ano, os mesmos que participaram da Atividade 01 (A Matemática nas coordenadas geográficas) em agosto de 2012, quando estavam no 8 º ano. Deveríamos desenvolver esta atividade próximo do dia 20 de março, início do Outono, mas nesses dias o céu se apresentou nublado ou chuvoso. Somente no dia a 27 de março, por volta das 8h00min, quando verificamos que o céu estava limpo, sem nuvens, principiamos o trabalho na quadra de esportes do Colégio. 3.1 Apresentação da Atividade Primeiramente, informamos que iríamos trabalhar com GLP - Globo Local Paralelo e, para realizar essa atividade, deveríamos encontrar as Linhas NorteSul e Leste-Oeste, para que o GLP fosse posicionado no solo de forma correta. Para traçarmos estas linhas usaríamos as sombras projetadas por um gnômon em determinados horários, recursos de construção geométrica e conhecimentos de Geografia. Também nos preocupamos em combinar os horários para a execução das atividades. Esses horários seriam aqueles em que as sombras do gnômon deveriam ser traçadas no solo. Assim, ficou combinado os seguintes horários: 9h45min, 10h30min, 13h30min e 14h15min. Nesse mesmo dia, ou seja 27 de março, nos dirigimos para a quadra de esportes, por volta das 8h30min, onde os alunos se dividiram em duplas (formaram-se 9 duplas, num total de 18 alunos). Logo após, cada dupla recebeu um gnômon que era confeccionado com a metade do cabo de uma vassoura 87 (aproximadamente 60 cm) e uma base retangular (Imagem 07). Solicitamos que os alunos posicionassem os gnômons na marca pré-determinada pelo pesquisador. Imagem 07 Detalhes do posicionamento do gnômon 3.2 Posicionando o gnômon Cada dupla (Imagem 08) posicionou seu gnômon no solo, usando o nível de bolha (para encontrar a perpendicularidade do gnômon com o solo) e pedaços pequenos de papelão que serviram para calçar a base do gnômon (para mantê-lo estável e perpendicular ao solo). Constatamos duas dificuldade dos alunos com o uso do nível de bolha: 1) Para uma melhor precisão, comentamos que o nível de bolha deveria ser 88 encostado levemente paralelo ao gnômon. Neste momento, os alunos apresentaram dúvidas sobre de que lado da base os calços deveriam ser colocados. Após algumas explicações eles conseguiram compreender o processo. 2) Para que a haste ficasse perpendicular ao solo, o nível de bolha deveria ser encostado na haste em pelo menos duas posições de direção diferentes (90º entre as duas posições). A maioria das duplas estavam posicionando o nível em lados opostos (180º). Depois de mostrar o procedimento correto, os alunos calçaram corretamente a base do gnômon, obtendo sucesso no exercício. Imagem 08 Dupla-03 posicionando o gnômon A Dupla-02 perguntou se colocar o gnômon perpendicular ao solo, seria o mesmo que colocar uma parede no prumo. Ao invés de responder, perguntamos onde a dupla tinha escutado este termo. A resposta de um dos integrantes foi que escutou seu pai conversando com um pedreiro que estava fazendo uma obra em sua casa e utilizaram essa expressão. Em seguida, respondendo afirmativamente à pergunta da dupla, asseveramos que um pedreiro usa uma ferramenta chamada prumo para encontrar a perpendicularidade entre a parede e o solo. Tanto o 89 processo quanto o instrumento, no linguajar coloquial, é denominado pelo termo "prumo". Como a quadra de esportes estava em construção, conseguimos um prumo e demonstramos para os alunos como este instrumento (prumo) é utilizado pelos pedreiros nos muros que estão ao redor da escola. Assim, os alunos puderam verificar, de forma simples, como os postes, muros e paredes são construídos de forma perpendicular ao solo. 3.3 Traçando as sombras do gnômon Como estávamos na quadra de esportes, a Dupla-04 sugeriu traçar uma sombra para treinar o manuseio do gnômon, embora o horário não fosse o combinado. Como a iniciativa foi aprovada por todas duplas, concordamos que eles traçassem a sombra, isso por volta das 9h15min (Imagem 09) . Imagem 09 Dupla-06 traçando a sombra por volta das 9h15min 90 Às 9h45min, os alunos traçaram a sombra do gnômon deste horário (Imagem 10). Percebemos que ficaram em dúvida se tinham traçado a sombra das 9h45min corretamente, pois as duas sombras (9h15min e 9h45min) estavam com tamanhos diferentes. Respondemos que estavam certos, mas gostaríamos que eles descobrissem sozinhos o motivo dessa diferença. Algumas duplas não conseguiram descobrir o motivo. Sugerimos, então, que pensassem um pouco mais e observassem melhor a próxima sombra, que seria às 10h30min. Imagem 10 Dupla-07 preparando para traçar sombra das 9h45min Por volta das 10h30min. na quadra de esportes, as duplas traçaram a sombra do gnômon daquele horário. A discussão sobre o comprimento das sombras reacendeu e as duplas iniciaram um debate sobre os motivos desse acontecimento. Apresentamos a seguir, os comentários e discussões entre as duplas: Aluno A: (Dupla 03) Professor, a sombra das 8h45min é maior do que a sombra das 10h30min. Então a sombra do meio dia será a menor de todas na parte da manhã. 91 Pesquisador: Quem poderia ajudar no esclarecimento dessa questão? Aluno A: (Dupla 09) Acho que sim, pois após o meio dia o Sol estará no Oeste, fazendo sombra (no gnômon) no Leste, ou seja, meio dia é o meio entre o Oeste e o Leste. Aluno A: (Dupla 02) Ha! Acho que este "meio" é onde a sombra passa pelo Meridiano. É onde o Sol está mais alto no céu. Aluno A Ah, entendi. Se o Sol está mais aqui no alto a sombra do gnômon vai ser a menor. Como pudemos perceber, a discussão estava se tornando muito rica para todos. Continuamos a provocá-los. Pesquisador Aluno B: (Dupla 03) Como vocês disseram, a sombra estará sendo projetada no Leste, então no final da tarde a sombra do gnômon estará maior ou menor em relação ao primeiro horário, ou seja, 13h30min? Estará maior, bem maior, até sumir. Pesquisador: Ok, a sombra irá sumir e por que ela irá sumir? Aluno A: (Dupla 01) Porque a Terra está girando, então Sol estará iluminando outras partes da Terra. Pesquisador Em que direção a Terra está girando? Aluno B (Dupla 03) Está girando para lá (apontando com as mãos para o Leste). Pesquisador Quer dizer que a Terra está girando de Oeste para Leste? Aluno B (Dupla 03) Pesquisador Dupla 04 Sim. Este movimento como se chama? Rotação. 92 Talvez por comparação entre as sombras projetadas, os alunos perceberam que, à medida que o tempo estava passando, o Sol estava ficando cada vez mais alto ( ou seja, com os raios solares perpendiculares, nas horas do meio do dia), fazendo com que as sombras ficassem cada vez menores. Nos debates acima podemos verificar que os alunos demonstraram conhecimento do movimento de rotação da Terra e indicaram com gestos em que sentido estava girando. A autonomia que tiveram para executar as tarefas propostas possibilitou que refletissem sobre o movimento de rotação da Terra e como esse movimento estabelece o dia e a noite, de modo que vissem "a ciência em ação", observando o mundo "através dos olhos de um cientista aprendiz" (GLEISER, 2000, p.4). Comentamos com os alunos que poderíamos verificar o comprimento das sombras do gnômon quando voltássemos à quadra de esportes no período da tarde. Em seguida, uma aluna da Dupla 02, perguntou se por meio do gnômon que estávamos trabalhando era possível fazer um tipo de experiência como fez Tales de Mileto6, ao medir a altura de uma pirâmide. Eles conheciam a experiência de Tales de Mileto, pois esse assunto foi conteúdo trabalhado em sala de aula pela professora de Matemática no ano anterior. Consideramos muito pertinente a observação da aluna e propomos realizar o referido experimento no próximo encontro (descrito após esta atividade). Os alunos ficaram empolgados, tanto que a Dupla 03 e 09 sugeriram usar os conceitos de razão e proporção. Como era do conhecimento dos alunos que o início do Outono tinha sido em 20 de março, explanamos que esta data é o Equinócio de Outono no hemisfério Sul e Equinócio de Primavera no hemisfério Norte. Os equinócios acontecem quando, tanto no hemisfério Sul quanto no hemisfério Norte, tem 6 Tales de Mileto (640 a.C.-564 a.C.) Considerado primeiro filósofo e matemático grego. Interessado em Astronomia, provavelmente previu um eclipse solar ocorrido em maio de 585 a.C.. Interessou-se por Geometria calculando a altura da pirâmide de Quéops por meio de triângulos semelhantes (GARBI, 2007). 93 aproximadamente a mesma incidência da luz do Sol, acarretando que o dia e a noite tenham a mesma duração. Assim, às 13h25min os alunos já estavam no Colégio e nos dirigimos à quadra de esportes. Quando o relógio marcou o horário combinado, 13h30min, todas as sombras já estavam traçadas pelos alunos. Eles estavam muito entusiasmados, uma vez que perceberam que a sombra estava aparecendo do lado oposto ao horário da manhã e de forma simétrica ao horário das 10h30min. Imagem 11 Aluna da Dupla-06 traçando a sombra das 13h30min O próximo passo era traçar a sombra das 14h15min (Imagem 12). Eles constataram que as sombras eram maiores do que a do horário anterior. 94 Imagem 12 Aluna da Dupla-03 observando as sombras traçadas, em destaque sombra traçada das 14h15min (ao fundo, em verde) Após todas as sombras estarem traçadas no solo, solicitamos aos alunos que anotassem os horários dessas sombras, de modo que respondessem as questões 01 e 02 da Atividade 01, quais sejam, "Quais foram os horários que você traçou as sombras no período da manhã?" e "Quais foram os horários que você traçou as sombras no período da tarde?". O objetivo era fazer com que os alunos registrassem esses horários, de modo que verificassem que as sombras eram simétricas nos horários das 10h30min e 13h30min e pudessem traçar a Linha Norte-Sul para, posteriormente, posicionar de forma homotética o GLP no solo. 3.4 Traçando as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste O próximo passo era encontrar a Linha Norte-Sul, mas o céu começou a apresentar muitas nuvens, e corríamos o risco de não conseguir claridade suficiente para continuarmos com a atividade naquele dia. Procuramos acelerar o passo de modo que ficassem traçadas no solo, com tinta permanente, as Linhas 95 Norte-Sul e Leste-Oeste, pois poderíamos continuar o trabalho com o GLP em outro dia ensolarado. Chamamos a atenção dos alunos sobre essas linhas prolongadas, denominadas semirretas, tendo como ponto em comum, o ponto de posição do gnômon. Queríamos que os alunos se concentrassem em duas sombras: 10h30min. e 13h:30min, pois elas formavam um ângulo e sua bissetriz serviria como apoio para construção da Linha Norte-Sul. Solicitamos aos alunos que ficassem próximos das sombras traçadas pela Dupla 05. Iniciou-se o seguinte diálogo: Pesquisador Aluno A (Dupla 03) Pesquisador (Selecionamos as sombras das 10h30min e 13h30min) Será que a sombra das 10h30min. é do mesmo tamanho da sombra das 13h30min.? Sim é o mesmo. Solicitei a este aluno que usasse uma trena para medir estas sombras. Aluno A (Dupla 03) Professor uma mede 45 cm e a outra está medindo 44 cm. Pesquisador A sombra da manhã mediu 45 cm e a sombra da tarde 44 cm. (Informei aos alunos que deve ter ocorrido um erro no momento em que os alunos traçaram as sombras) Pesquisador Qual o conceito geométrico que podemos nos referir em relação a estas igualdades: o tamanho das sombras da manhã e da tarde, o tempo de 1h30min antes e depois do meio dia? Aluno A (Dupla 09) (Depois de uns 30 segundos e conversa em voz baixa entre os alunos) Professor é a simetria. O que tem deste lado é igual ao outro lado (referindo-se às sombras da parte da manhã e da tarde) 96 O próximo passo foi fazer com que os alunos descobrissem que a Linha Norte-Sul era o prolongamento da bissetriz do ângulo formado pelas sombras projetadas das 10h30min e 13h30min. Pesquisador Alunos das Duplas 02, 03 e 08 Pesquisador Aluna A (Dupla 02) Pesquisador Aluno A (Dupla 03) Pesquisador Entre essas duas sombras temos um ângulo, precisamos traçar uma semirreta que divide este ângulo ao meio. Como é chamada esta semirreta? Bissetriz Neste caso, qual seria o procedimento para traçar esta bissetriz? (Obs.:Os alunos tem aulas de Desenho Geométrico desde o 6º ano) A aluna pegou o compasso de lousa e traçou no chão a bissetriz7 (Imagem 13). Durante os horários das 10h30min e 13h30min foram projetadas diversas sombras. Esta bissetriz traçada pode representar a sombra de que horário? A sombra do meio dia. Se prolongarmos esta bissetriz passando pelo vértice que linha encontraremos? Aluno B (Dupla 09) Greenwich. Aluno B (Dupla 03) Meridiano de Greenwich. Pesquisador Aluna A (Dupla 02) Pesquisador Onde fica a cidade de Greenwich? Fica na Inglaterra. Esse Meridiano passa na Inglaterra e em outras cidades que estão na mesma 7 Poderíamos ter usado barbante para traçar as linhas e os arcos traçados no chão. Como tínhamos pouco tempo e a escola disponibilizou régua e compasso de madeira, optamos por utilizá-los. 97 Longitude. No nosso caso este Meridiano traçado no chão está passando em que cidade? Aluno A (Dupla 03) Guarulhos Aluna A (Dupla 03) Ah! tá. Nossa, que bacana. Pesquisador Isso. Este Meridiano é o que passa aqui na marca deste gnômon. Agora, cada um de vocês vão encontrar os Meridianos que passam pelos pontos onde ficaram os seus gnômons. Aluno A (Dupla 02) Professor, este Meridiano, podemos dizer que é o eixo de simetria das sombras? Pesquisador Sim, podemos dizer. Isto é confirmado tomando como exemplo a sombra das 10h30min que é do mesmo tamanho da sombra das 13h30min. Solicitamos aos alunos que fossem para suas respectivas marcações e retirassem os gnômons. Logo após, com auxílio de giz e régua, que prolongassem as sombras até o ponto de onde foi retirado o gnômon, pois a base do mesmo encobria esse ponto (Imagem 14). Em seguida, cada dupla traçou a Linha Norte-Sul (Imagem 15 e 16). 98 Imagem 13 Aluna da Dupla-02 construindo a bissetriz Imagem 14 Aluno da Dupla-03 prolongando as sombras traçadas 99 Imagem 15 Dupla 08 preparando para traçar a Linha Norte-Sul Imagem 16 Aluno da Dupla-09 observando a Linha Norte-Sul, construído por meio da bissetriz das sombras das 10h30min e 13h30min. 100 Prosseguindo com a atividade, ficamos posicionados em uma das Linhas Norte Sul traçada pelos alunos, de forma que ficamos de frente para o Norte. Iniciamos então uma discussão: Pesquisador Diversos alunos Do nosso lado direito é Leste ou Oeste? Leste. Aluno A (Dupla 03) O Sol nasceu atrás daquele prédio e fez sombra no gnômon do outro lado (Oeste) Pesquisador Bom, todos de acordo que este lado é Leste? Alunos Pesquisador Alunos Sim. Muito bom, se este lado é Leste, este lado consequentemente é? Oeste Pesquisador (Para representar a Linha Leste Oeste colocamos uma régua em cima da marca do gnômon cruzando a Linha Norte-Sul perpendicularmente). Pesquisador O cruzamento da Linha Norte-Sul com a Linha Leste-Oeste poderia nos dar qual informação? Aluno B (Dupla 08) Pesquisador Alguns alunos Pesquisador Alguns alunos Pesquisador Aluno A Dupla 02 Pesquisador Aluno B Dupla 04 Onde você está na Terra. Podemos melhorar esta resposta. A sua localização na Terra. Só a minha localização? A nossa também. Só eu e vocês que podemos ser localizados? Não. Acho que todas as pessoas da Terra. Sim, ótimo é isso mesmo. Professor se todos nós temos nossa localização, como é que ficam as pessoas que moram em prédios? 101 Pesquisador Boa pergunta, sim é verdade. Neste caso a localização é a mesma, o que muda é altura. Aqui no colégio é um desses casos. Estamos aqui na quadra (2º andar) e temos pessoas abaixo de nós, no 1º andar e no térreo, que podem estar na mesma localização que nós. Após essa discussão, prosseguimos propondo aos alunos que deveríamos encontrar a localização do nosso gnômon. Precisávamos traçar a Linha LesteOeste e a sugestão das duplas 02 e 03 é que deveria ser traçado uma linha com 90º em relação a Linha Norte-Sul, que passasse pelo ponto onde estava o gnômon. A Dupla 03 comentou que eles, então, iriam traçar uma reta perpendicular. Procuramos deixar os alunos a vontade para fazer esta construção. Todas as duplas ficaram discutindo sobre qual o processo usariam para a construção dessa linha perpendicular. Percebemos que as dúvidas quanto ao procedimento na construção dessa linha foram sanadas entre eles, atingindo assim nosso objetivo (Figura 17). Como as técnicas trabalhadas estavam corretas, não houve necessidade de intervenção. Chamamos a atenção dos alunos que os pontos cardeais Leste e Oeste, não necessariamente são os as posições onde o Sol nasce ou se põe, e sim, as direções das linhas que eles encontraram. E que durante o ano o Sol nasce em pontos diferentes do lado nascente e se põe em pontos diferentes do poente. 102 Imagem 17 Aluno da Dupla-09 construindo a Linha Leste-Oeste perpendicular a Linha Norte-Sul Já estava previsto pintar as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste e depois trabalhar com o GLP, mas devido ao tempo nublado que se apresentava naquele momento, combinamos que iríamos continuar a atividade no dia seguinte no período da manhã, pois precisávamos de um dia ensolarado. Os alunos, então, com auxílio de um pincel, tinta preta (à base de água) e uma barra de metal pintaram suas linhas e os Pontos Cardeais respectivos (Imagem 18). A Dupla 03, comentou sobre a importância de deixar as marcações registradas no solo do quadra de esportes, pois os demais alunos das outras séries do Colégio poderiam ter contato com aquele trabalho e também ficar interessados em conhecer o projeto. Este fato nos chamou a atenção, pois se verifica uma preocupação de que estes conhecimentos adquiridos fossem também transmitidos para os demais alunos do Colégio. Denota ainda a importância dada ao trabalhado efetuado. 103 3.5 Atividade de Ensino 02 - itens a) e b) Após os alunos encontrarem as Linhas Norte e Sul, os alunos deveriam responder aos itens a) e b) da Atividade de Ensino 02 - GLP (ANEXO B). Deveriam ser anotados os horários em que as sombras foram traçadas do período da manhã e da tarde. Imagem 18 Dupla 06 pintando a Linha Norte-Sul com auxílio da barra de metal Imagem 19 Dupla 01 pintando a Linha Leste-Oeste 104 Já no dia seguinte, por volta das 08h20min, com os alunos na quadra de esportes (Imagem 20), conversamos sobre como seriam desenvolvidas as atividades daquela manhã. Todos os alunos voltaram as marcas das Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste traçadas por eles no dia anterior e novamente posicionaram os gnômons com auxílio dos níveis de bolha (esta reposição será justificada a seguir no desenvolvimento de uma atividade complementar. Como tínhamos pouco tempo para a realização da atividade (por volta de 1h30min), decidimos que esta atividade (ANEXO B e C) seria realizada com duas duplas ao mesmo tempo, ou seja, com 4 alunos. Imagem 20 GLP posicionado sobre as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste Quando percebemos que os alunos já haviam posicionado corretamente os gnômons, nos reunimos em torno de uma das marcações e posicionamos GLP. Demonstramos que a Linha Norte-Sul traçada no solo, deveria ser o mais próximo do Meridiano do GLP, ou seja, uma Longitude aproximada de 46º. Também foi usada a régua de graus do próprio GLP, rotacionando o Globo na Latitude do 105 local (23º 14"). Comentamos que o GLP estava colocado de forma homotética em relação a Terra (Figura 45). Figura 45 Representação do GLP colocado de forma homotética com a Terra 3.6 Atividade de Ensino 02 - itens c), d) e e) Iniciamos com a leitura das 3 questões faltantes da Atividade de Ensino Globo Local Paralelo. Devido ao pouco tempo que tínhamos para realizar a atividade, separamos os alunos em quatro grupos, dois com 6 alunos e os outros dois com 5 alunos, totalizando 22 alunos. O item c da Atividade 03 (Anexo B) solicitava aos grupos encontrar, no GLP, uma cidade que estivesse amanhecendo. Os alunos comentaram que seria 106 interessante encontrar uma cidade que apresentasse uma sombra bem comprida do gnômon que estavam posicionando manualmente. O relógio estava marcando 8h35min quando grupo-01 iniciou a questão 03. Como o GLP estava posicionado com seu Meridiano paralelo ao Meridiano do local, os grupos levaram seus gnômons (usaram lápis ou as buchas de nylon) para ver o comportamento das sombras. O grupo 01 escolheu a cidade de David, no Panamá. Imagem 21 Aluna do Grupo 01 posicionando um gnômon sobre o GLP e verificando o comportamento da sua sombra O grupo 02 teve certa dificuldade na escolha da cidade. Eles sabiam que no decorrer do tempo o Sol nasce em diferentes lugares no horizonte e que o Sol só nasce no Leste nos equinócios. Além disso, sabiam que os equinócios ocorrem nos meses de março e setembro, em particular, no Hemisfério Sul, o início do outono acontece no mês de março e a primavera no mês de setembro. Percebemos pela discussão do grupo que alguns componentes apontavam para esta região no céu e escolheram no GLP cidades que estavam voltadas para o Sol como, por exemplo, alguns países da África e da Europa. No momento em 107 que íamos intervir, um aluno do grupo 03 solicitou se poderia dar a sua opinião. Eis o relato do que se passou em seguida: Aluno (grupo 03) O Sol nasce a Leste, parece que o Sol vai fazendo isso, (o movimento com o braço direito - de leste para oeste), mas quem está girando é a Terra (movimento com o braço esquerdo de Oeste para Leste) Aluno (grupo 03) O Sol está parado entre aspas, a gente vai rodando, aí ele (Sol) vai subindo aqui (gesticulando com os braços) Aluno B Aqui vai diminuindo (apontando em uma região leste do globo) Aluno (grupo 03) Aluno C Aluno (grupo 03) Pesquisador Alunos Sim e vai escurecendo. A tá, beleza entendi, então tem que ser pra cá (apontando para países no oeste da América do Sul). Professor, falei certo? Sim falou, foi ótimo. Parabéns. Vamos escolher a cidade de Buenos Aires na Argentina. Destaque-se que o aluno A não era do grupo e ainda assim se propôs a ajudar os colegas. Dessa forma, observa-se que o aluno se coloca numa postura de solidariedade e colaboração com os colegas, indicando que o saber/fazer aprendido poderá ser utilizado no futuro (D'AMBROSIO, 2010). O grupo 03 foi mais rápido, logo pegou o gnômon e foi direto a alguns países no oeste da América do Sul e escolheu a cidade de Mendoza na Argentina. O grupo 04 observou cidades na América do Sul, mas percebeu que a região Oeste do Estados Unidos estava também amanhecendo e escolheu a cidade do Alabama. A esse respeito ocorreu a seguinte discussão entre alguns componentes do grupo: 108 Aluno A Olha a divisão aqui. (Mostrando uma linha paralela aos Meridianos que dividia onde estava claro e escuro). Aluno B É verdade. Mas olhem aqui nos Estados Unidos está amanhecendo (apontando para algumas regiões onde seu gnômon (Imagem 22) estava fazendo uma sombra comprida). Aluno B Aqui vai diminuindo (apontando em uma região leste do globo) Aluno C Olha no Alabama está amanhecendo. Aluno C Vamos colocar as duas cidades Grupo Ok. vamos. Imagem 22 Grupo 4 posicionando o gnômon na cidade de Alabama O item d da atividade solicitava que os grupos escolhessem uma cidade no GLP que estivesse com o Sol se pondo. Percebemos que nas discussões, os alunos fizeram a seguinte relação: as sombras ao amanhecer ficavam mais 109 compridas e estavam a Oeste, então ao entardecer as sombras também estariam compridas, só que no outro sentido, ou seja, a Leste. O grupo 01 iniciou a atividade sentando no chão e procurando uma cidade que atendia o exercício. Aluna A Aqui ó Bangkok. (apontando com caneta no GLP) Aluna B Como se escreve isso? Aluna A Bang .....kok Pesquisador Onde fica Bangkok? Alunas A e B Fica na China. Pesquisador Será que fica na China? Alunas A e B Espera um pouco (elas ficaram olhando para o GLP procurando o país correto) Bangkok fica na Tailândia. Aluno C Eu vou colocar Auden, na Rússia. Aluno do grupo Sim, podemos colocar Bangkok e Auden. Do mesmo modo, o grupo 02 escolheu a ilha de Madagascar, o grupo 03 a cidade de Daca, em Bangladesh e o grupo 04 a Ilha de Nicobar, pertencente à Índia. Durante essa atividade, as dúvidas que surgiram foram sanadas por meio de diálogos entre os componentes dos grupos e também pela ajuda de alunos dos outros grupos que já haviam terminado a atividade. O item e) solicitava aos grupos encontrar, no GLP, uma cidade onde a sombra do gnômon passasse por cima do seu Meridiano. O grupo 01, usando o gnômon, escolheu a cidade de Kaduna, na Nigéria, onde era projetada uma pequena sombra sobre seu Meridiano. Durante a escolha da cidade, pelo grupo 02, tivemos que fazer uma intervenção, usando as marcas das Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste que estavam pintadas no chão: 110 Pesquisador Alunos do Grupo 2 - Se a sombra estivesse passando sobre esta Linha (Linha Norte-Sul), que horas seria aqui em Guarulhos? Meio dia. Pesquisador Então vocês devem procurar uma cidade no GLP, onde a sombra projetada do gnômon passe por cima do Meridiano desta cidade. Aluna A Alagoas (apontando para o globo, mas sem usar o gnômon para se certificar). Aluna B Alagoas está no mesmo horário que a gente. (A aluna coloca o gnômon na cidade de Alagoas e compara a sombra projetada com a sombra de Guarulhos). Olha aí, a sombra é praticamente do mesmo tamanho. Aluna A E se escolhermos Lisboa, Portugal? Aluno C Olha que da hora, a sombra está para o Norte e não para o Sul (Imagem 23). Aluno C Ah, é porque nós estamos no Hemisfério Sul e Portugal está no Hemisfério Norte. Este exercício solicitava que os alunos encontrassem uma cidade no GLP que estivesse com o Sol se pondo. Como os alunos perceberam que as sombras ao amanhecer ficavam mais compridas e estavam em direção ao Oeste, então, concluíram que ao entardecer as sombras estariam a Leste. O grupo-01 iniciou a atividade sentando no chão e procurando uma cidade que atendia ao exercício. 111 Imagem 23 Detalhe da sombra projetada no Hemisfério Norte Trabalhando com projeções, utilizando o GLP e as Linhas Norte, Sul, Leste e Oeste traçadas no chão, procuramos fazer uma comparação entre o GLP e essas linhas. A intenção era fazer com que os alunos entendessem que, uma sombra projetada no chão, sobre a Linha Norte-Sul indica que é meio dia local, e uma sombra incidindo sobre o Meridiano que passa sobre uma cidade do GLP indica que a referida cidade também se encontra nesse mesmo horário. Enquanto alguns alunos do grupo-02 entenderam imediatamente essa constatação, o aluno A sentiu dificuldade nesse entendimento, apontando o estado de Alagoas, sem a preocupação de utilizar os gnômons para se certificar. Os próprios integrantes do grupo interviram, mostrando a ele que não era meio dia no estado de Alagoas. Os demais grupos tiveram algumas dificuldades parecidas com a do grupo 02. Uma das dificuldades referia-se ao posicionamento do gnômon, pois as sombras projetadas pelas mãos dos alunos encobriam essa sombra. Este fato foi solucionado pela intervenção do pesquisador, que recomendou aos alunos que segurassem as bases dos gnômon com as mãos mais espalmadas, possibilitando melhor visualização da sombra projetada pelo gnômon. O grupo 03, após resolver o problema da sombra da mão e do braço, que inviabilizava a projeção da sombra, optou pela cidade de Marselha, na França. O 112 grupo 04 escolheu a cidade de Bidon, na Argélia, quando a mesma não apresentava sombra do gnômon, fato este que chamou a atenção dos alunos. Imagem 24 - Grupo-03 posicionando o gnômon. No detalhe, os alunos visualizam a sombra do gnômon na cidade de Bidon/Argélia De fato, na cidade de Bidon, naquele dia e horário a sombra do gnômon estava projetada sobre o meridiano. Essa constatação respondeu a uma questão que se encontra na questão 5 da Atividade de Ensino 02 (Anexo B). Provavelmente, o GLP permitiu aos alunos uma melhor visualização local e global do mundo em que vivem. O empenho era de todos e, em certos momentos, constatamos grande entusiasmo entre os participantes gerado pela atividade, de modo que, alguns alunos munidos dos seus gnômons (bucha de nylon ou lápis) queriam verificar, todos ao mesmo tempo, como ficavam as sombras desses instrumentos pela superfície do GLP. 113 3.7 Atividade complementar 1: medindo o comprimento de uma coluna de ferro Em seguida à Atividade 02, realizamos uma outra, complementar, atendendo à solicitação de uma aluna da Dupla 02, ao questionar se seria possível calcular o comprimento de uma coluna de ferro (Imagem 25) que estava colocada em cima do muro da quadra, da mesma forma que Tales de Mileto procedeu para calcular a altura das pirâmides. Nesse sentido, elaboramos uma atividade que procurasse atender à essa reivindicação. Imagem 25 Detalhe da coluna de ferro e o muro - Atividade complementar 1 Solicitamos que todas as duplas voltassem para seus respectivos gnômons (os gnômons estavam posicionados desde o início da Atividade 2) e usassem uma trena para medir a altura do gnômon. Para essa atividade, os alunos foram divididos em 2 grupos de onze alunos, mas cada aluno recebeu uma folha 114 contendo a atividade (ANEXO C ) a ser realizada. Os alunos deveriam, com o auxílio de uma trena, fazer medições e preencher o quadro abaixo (Figura 46). a) HORÁRIO DA ATIVIDADE b) ALTURA DO GNÔMON (DO CHÃO ATÉ SUA EXTREMIDADE) metros c) COMPRIMENTO DA SOMBRA DO GNÔMON metros d) ALTURA DO MURO metros e) COMPRIMENTO DA SOMBRA COLUNA DE FERRO + MURO metros Figura 46 Tabela da Atividade complementar 1 Os três primeiros itens desta atividade foram resolvidos em duplas. No item a) foram anotados 09h07min, o comprimento dos gnômons era padrão e foram anotados 61cm. Quanto ao item c, relativo ao comprimento das sombras dos gnômons, as medidas variaram entre dois valores: 80 cm e 81 cm. Provavelmente faltou um pouco de rigor e precisão ao coletar esses valores (Imagem 26). 115 Imagem 26 Alunos medindo o comprimento do gnômon Para responder ao item d, os alunos mediram a altura do muro onde estava fixada a coluna de ferro. O valor encontrado pelos alunos foi de 1,50m. Quando os alunos foram medir o comprimento da sombra da coluna de ferro, percebemos que alguns deles já discutiam sobre o fato da medida da sombra encontrada não ser somente da coluna de ferro e sim da coluna de ferro adicionada à altura do muro. Outro detalhe que nos chamou a atenção foi que essa sombra media mais de 5 metros. Como a trena usada tinha comprimento de 5 metros, os alunos mediram a sombra até a referida medida e, em seguida, continuaram medindo o restante da sombra (Figuras 27 e 28). Os valores encontrados foram 5,34m e 5,37m. Essa diferença pode ter ocorrido devido à possível dificuldade encontrada pelos alunos durante a medição pois, por alguns minutos não tivemos claridade suficiente para projetar a sombra da coluna de ferro. 116 Imagem 27 Aluno marcando no chão o limite da trena (5metros) em relação à sombra da coluna de ferro Imagem 28 Alunos medindo o restante da sombra da coluna de ferro 117 Com todos dados obtidos para a conclusão da atividade, os alunos foram para uma sala de aula para elaborar um croquis do gnômon, da coluna de ferro com o muro e suas sombras, com seus respectivos comprimentos. Aguardamos alguns minutos e provocamos os alunos sobre como deveriam encontrar o comprimento da coluna de ferro a partir dos dados encontrados. Aluno A Aluno B Aluno A Pesquisador Alguns alunos Podemos resolver por razão e proporção. Como assim? Professor posso explicar na lousa? Sim, sem problemas. Professor, nós entendemos, podemos ir resolvendo o exercício. Pesquisador Sim, podem resolver. Pesquisador Aluno A, pode vir explicar para os demais. Aluno A A razão entre a altura do gnômon que nós medimos com a altura da coluna de ferro que nós não temos, podemos chamar de x. Proporcional entre a sombra do gnômon e a sombra da coluna de ferro. Alguns alunos Há... Lembrei. Aluno C Professor, mas tem um detalhe. Pesquisador Qual seria? (A maioria dos alunos ficaram prestando a atenção). Aluno C Se “fazermos” isso. Encontraremos a altura da coluna de ferro adicionada com a altura do muro. Pesquisador Aluno C Pesquisador Ok. O que você sugere então? Depois que a gente encontrar o valor pelo método que o Aluno A falou, devemos subtrair da altura do muro que é de.....(procurando na folha de atividades) 1,5m. Muito bom. Isso mesmo, parabéns. 118 Agora vamos todos resolver a atividade Este debate com os alunos foi muito proveitoso, pois percebemos a participação e colaboração de todos. Para altura do muro adicionado ao comprimento da coluna de ferro, alguns alunos encontraram o resultado de 3,95 m e 3,99 m. Como esses valores foram subtraídos pela altura do muro (1,50 m), os resultados finais foram 2,45 m e 2,49 m. 3.8 Atividade complementar 2: Pré Sal Em outro momento, em sala de aula, propusemos aos alunos uma atividade que envolveu a preservação a natureza (no caso os oceanos) e a exploração do petróleo. O propósito dessa atividade foi estimular os alunos a refletirem sobre o respeito que se deve ter pelo meio ambiente. Os alunos foram dispostos em duplas de forma aleatória, onde leram um texto intitulado "Pré Sal" (ANEXO D) e, em seguida, fizemos o seguinte questionamento: "No texto comenta-se que no Pré-sal nem tudo é festa. Existe a preocupação quanto à viabilidade econômica, pois, o desenvolvimento de novas tecnologias e a cotação do mercado mundial podem tornar o processo de exploração e produção inviáveis. Na sua opinião será que não devemos nos preocupar com algo mais, além da viabilidade econômica? Justifique" 8. À essa solicitação, obtivemos diversas respostas, dentre as quais destacamos as que seguem: 8 O texto "Pré Sal" foi elaborado a partir de dois outros, extraídos dos sites http://www.conexaoaluno.rj.gov.br/especial.asp?EditeCodigoDaPagina=1478 e http://pt.wikipedia. org/wiki/Camada_pr%C3%A9-sal. 119 Figura 47 Respostas dos alunos sobre a questão do "Pré Sal" As respostas dos alunos mostraram preocupação com o meio ambiente, no sentido de se perguntarem se esse tipo de exploração se faz realmente necessário, a que preço e a que risco. Os alunos fizeram comentários sobre empresários gananciosos, que visam somente lucro, sem se preocupar com possíveis desastres ecológicos, como a destruição da vida marítima e a poluição do mar e das praias. Esta preocupação vem ao encontro das ideias defendidas por D`Ambrosio (2009), explicitados em seu "Triângulo da Sobrevivência", considerando que, com a destruição da natureza não poderemos dar continuidade à espécie. Enfim, essa questão nos auxilia a perceber quando um problema é tratado com um olhar transdisciplinar, de forma que conhecimentos de diversas áreas podem ser estudados e aplicados, possibilitando explicar, entender e lidar com as necessidades de sobrevivência e de transcendência (D`AMBROSIO, 2009). 120 3.9 Considerações sobre as atividades do capítulo 3 "Quem altera a atitude é o leitor, não o texto. Quem caminha é o caminhante, não a estrada" Walmir T.Cardoso, 2010. Pudemos constatar o envolvimento e aceitação das atividades pelos alunos, quando expuseram suas opiniões, fizeram inferências e solicitaram novas atividades, utilizando conceitos trabalhados anteriormente. Do mesmo modo que na Atividade 02, no desenvolvimento desta última atividade de ensino, os alunos tiveram oportunidade de compreender que: 1. a utilização do gnômon bem como do nível de bolha, compasso e régua, possibilitou colocarem em prática conceitos matemáticos como reta, semirreta, projeção, ângulos, bissetriz, perpendicularidade, arco de circunferência, simetria, semelhança de triângulos e proporcionalidade. 2. trabalhar com o gnômon permite verificar o efeito do movimento de rotação da Terra, uma vez que a luz do sol incidindo sobre o gnômon vai projetando sombras em posições diferentes no decorrer do dia. 3. desde as primeiras horas do dia até o meio dia, as sombras vão diminuindo de tamanho e, no período da tarde, a sombra vai aumentando à medida que o sol vai se pondo. 4. o gnômon possibilitou encontrar as posições desses alunos na Terra, ao traçarem no solo as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste e os Pontos Cardeais. 5. o GLP pode proporcionar como se dá o movimento de rotação da Terra, as diferenças entre o hemisfério Sul e hemisfério Norte e como as sombras se comportam em cada um desses hemisférios. 6. ao meio dia, em alguns lugares, o gnômon não projeta sombras e em outros, a sombra está sobre o Meridiano local. A Atividade Complementar 01 originou-se da curiosidade de uma participante da pesquisa, quando fez uma comparação entre as sombras do gnômon com o feito de Tales de Mileto ao medir a altura de uma pirâmide. A 121 aluna percebeu a possibilidade de medir a altura de uma coluna de ferro que se encontrava no muro da quadra de esportes. Esse fato nos chamou a atenção, pois a referida aluna conseguiu relacionar um matemático com as atividades realizadas com o gnômon e um objeto comum nos dias de hoje, qual seja, a coluna de ferro. O anseio de conhecer mais e a iniciativa de calcular a barra de ferro utilizando o mesmo processo de Tales de Mileto foi um exercício de redescoberta da aluna, ao reviver um trabalho realizado no Egito antigo. Seu desejo contagiou os alunos participantes desta investigação. Exerceu-se, assim, a essência do aprendizado, Foi um momento privilegiado ocorrido durante a pesquisa, pois despertou nos alunos a vontade de fazer o mesmo que Tales fez. Tratou-se, então, de valorizar a dúvida dos alunos: Será que o feito de Tales funciona mesmo? Esse questionamento provocou nos alunos a curiosidade sobre conhecimentos matemáticos, mais precisamente, geométricos. Dessa forma, a Atividade de Ensino 02 sofreu dessa forma uma modificação, foi aumentada em função da dúvida e anseios dos alunos. Foi um momento de solidariedade, envolvimento e de satisfação pelos resultados obtidos. Houve a intenção de produzir um trabalho interdisciplinar na medida em que as atividades foram trabalhadas e interligadas dentro de um contexto em que as disciplinas Matemática, Geografia, História se fizeram presentes. O professor de Geografia participou da elaboração de parte das atividades desenvolvidas, aquelas referentes ao encontro das linhas Norte-Sul; Leste e Oeste; aos Pontos Cardeais e às questões que solicitavam aos alunos encontrar no GLP cidades que estavam amanhecendo ou entardecendo. Do mesmo modo como na Atividade de Ensino 01, os trabalhos realizados e descritos neste capítulo também proporcionaram o desenvolvimento das vertentes formativas e informativas, pois, relativamente ao instrumento comunicativo, observou-se que os alunos e professor discutiram, leram e escreveram durante o procedimento para determinar a altura da coluna; ao analítico, quando os alunos efetuaram cálculos, inferências e tiraram conclusões; aos materiais, quando fizeram uso do gnômon e da trena. Percebeu-se 122 igualmente a presença da vertente informativa, quando os alunos socializaram os resultados encontrados. Dessa forma, procurou-se estimular nos alunos refletir sobre questões relativas à atualidade, entendendo que existem problemas gerais e globais que merecem sua atenção. O uso do texto relativo ao Pré-Sal teve intenção de despertar nos alunos essa responsabilidade para com a sobrevivência do Planeta Terra. Tomamos como fundamento a Carta da Transdisciplinaridade destacando que um dos princípios da transdisciplinaridade é justamente o ser humano reconhecer a Terra como sua pátria e a necessidade de preservá-la. Assim sendo, procurou-se proporcionar uma visão mais ampla dos relacionamentos de sobrevivência individual, da espécie humana e de sua continuidade. O espírito de colaboração relatado neste capítulo ocorreu durante todas as suas atividades, indicando que os assuntos e modo como foram abordados propiciaram a interação, a participação, o interesse, a criatividade, a reflexão, a iniciativa e a solidariedade entre os participantes dessa investigação. 123 CAPÍTULO 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS O presente trabalho foi desenvolvido a partir de atividades de ensino que envolviam problemas que relacionavam conteúdos de Matemática com conteúdos de outras áreas do conhecimento, em particular, da Astronomia. Fundamentou-se, basicamente, no Programa Etnomatemática, elaborado por D´Ambrosio (2005), notadamente no que tange à interdisplinaridade e a transdisciplinaridade. A questão de pesquisa proposta para orientar este trabalho foi: Como um estudo integrado de Matemática e Astronomia pode contribuir na construção dos conhecimentos de Matemática de modo que possibilite um melhor entendimento de mundo aos estudantes do 8º e 9º ano do Ensino Fundamental? Para responder a esse questionamento, realizamos atividades de ensino, utilizando conceitos da Matemática e de Astronomia, dentre outras áreas do conhecimento, tendo como sujeitos alunos do 8º ano (7ª série) e 9º ano (8ª série) do Ensino Fundamental II de um colégio da rede particular do município de Guarulhos, no estado de São Paulo. As atividades foram realizadas em dois momentos. No primeiro, os alunos foram levados ao laboratório de informática onde puderam trabalhar conteúdos matemáticos bem como de Astronomia, por meio do software Stellarium e de um planisfério. No segundo, os alunos foram conduzidos para a quadra de esportes onde, por meio de um gnômon e o GLP - Globo Local Paralelo puderam refletir a respeito de sua posição e de outras pessoas sobre a superfície da Terra, conduzidos por conceitos de Matemática e Astronomia, como também de Geografia. No primeiro momento, os alunos do 8º ano foram distribuídos de forma aleatória, em duplas. Diante de um ambiente virtual propiciado pelo aplicativo 124 Stellarium os alunos tiveram a oportunidade de expor seus pensamentos, validando, ou não, suas hipóteses diante das atividades propostas. Com os instrumentos disponíveis como o computador, software Stellarium e um planisfério, os alunos participantes deveriam responder questões ligadas às coordenadas geográficas, Fusos Horários, Altitude, rotação da Terra. Para respondê-las, desenvolveram hipóteses, as quais eram conferidas no aplicativo Stellarium, discutiram seus resultados com outras duplas e eventualmente reformularam suas conjecturas. A Atividade 1 (Primeiro Momento) propiciou aos alunos a oportunidade de entrar em contato com conteúdos matemáticos como plano cartesiano, esfera e sua planificação, operações com números inteiros, ângulos e unidades de tempo. Pelo modo como a atividade transcorreu constatou-se que ideias de Interdisciplinaridade estavam presentes, quando os alunos puderam perceber ligações entre Matemática, Astronomia e também Geografia. Diante das diversas observações feitas pelos alunos, consideramos que as atividades realizadas proporcionaram aos participantes momentos de reflexão e aprendizagem, especialmente quando estavam diante de fatos ligados ao seu dia a dia, como sua localização e de outras pessoas na Terra. Esses momentos despertaram a curiosidade dos alunos, por exemplo, sobre a existência de cidades que estão abaixo do nível do mar e das linhas de Fusos Horários quebradas. No segundo momento (Atividade 2 e atividades complementares) os alunos já se encontravam no 9º ano. Boa parte das atividades foi realizada com os alunos dispostos em duplas, também formadas aleatoriamente. Nessa Atividade 2, de posse de um gnômon, giz, régua de 1 metro e nível de bolha, as duplas deveriam traçar as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste, a partir das sombras do gnômon projetadas no solo. Com estas linhas traçadas no solo foi possível posicionar o GLP - Globo Local Paralelo, permitindo assim responder as questões solicitadas na referida atividade. O GLP possibilitou aos alunos descobrir como a Terra está posicionada no espaço em relação ao Sol; que o 125 movimento de rotação da Terra é o fator determinante do dia e da noite; o que ocorre em cidades distribuídas pela superfície da Terra em relação ao horário e se é dia ou noite; que ao meio dia, em algumas cidades, o gnômon não projeta sombra, e em outras cidades, a sombra está sobre o seu Meridiano local. Pudemos observar que, neste segundo momento, à medida que eram feitas as atividades, os alunos passaram a utilizar terminologias como Longitudes, Meridianos e Linha Norte-Sul, o que nos leva a concluir que eles fizeram uma apropriação dessas nomenclaturas. Ao que tudo indica, as atividades propostas promoveram nos alunos um papel de transcendência nos seus conhecimentos. No momento em que estavam comparando as sombras do gnômon e o comprimento do mesmo, a aluna da Dupla 02, questionou sobre a possibilidade de calcular a altura de uma coluna de ferro que estava disposta em cima do muro em torno da quadra de esportes, fazendo uma analogia com a altura das pirâmides feita por Tales de Mileto. Para responder essa questão, desenvolvemos uma atividade complementar, quando utilizamos conceitos matemáticos (razão e proporção e semelhança de triângulos) e o uso dos instrumentos disponíveis (gnômon e trena). Assim as atividades propostas tiveram papel provocador na troca de ideias entre os alunos com assuntos recentes e que levaram a questões sobre o desenvolvimento sustentável, a preservação do meio ambiente, a preocupação com o planeta e o anseio por conhecimentos sobre o Universo, incluindo aqueles os quais a ciência ainda não tem resposta. Desse modo, acreditamos que essas atividades revelaram um pensamento transdisciplinar, que se manifestou no compartilhamento dos saberes apreendidos, promovendo nos alunos um papel de transcendência de seus conhecimentos. Constamos, entre os alunos, grande respeito e preocupação em ajudar os que tinham dificuldades. Acreditamos ter oferecido a eles, ainda que parcialmente, a oportunidade de repensar o mundo, de reconhecer que um depende do outro, e que devemos ter a natureza do nosso lado. Quando desrespeitamos a natureza devemos saber interpretar suas manifestações. A 126 Matemática nos deu a possibilidade de compreender fenômenos naturais durante o desenvolvimento deste trabalho. Então, como podemos usá-la em prol da natureza e de um mundo mais pacífico? Esta constatação está acordada com a afirmação de que “A Matemática está em todo o lado!” e no desenvolvimento de ações para a defesa do Planeta Terra (APM, 2013). Nesse sentido, em sala de aula, propusemos aos alunos uma atividade que envolveu a preservação da natureza (no caso a dos oceanos) e a exploração do petróleo. Dessa forma, procurou-se despertar nos alunos questões relativas à atualidade, entendendo que existem problemas gerais e globais que merecem sua atenção. O texto relativo ao Pré-Sal procura despertar nos alunos essa responsabilidade para com a sobrevivência do Planeta Terra. Tomamos como fundamento a Carta da Transdisciplinaridade destacando que um dos princípios da transdisciplinaridade é justamente o reconhecimento para o ser humano da Terra como sua pátria e a necessidade de preservá-la. Assim sendo, procurou-se proporcionar uma visão mais ampla dos relacionamentos de sobrevivência individual, da espécie humana e de sua continuidade. Concebendo o conhecimento como resultante da busca pela sobrevivência e pela transcendência (D’AMBROSIO, 2009), as atividades propostas procuraram relacionar diversos conhecimentos científicos. Ao que tudo indica, as atividades desenvolvidas proporcionaram o desenvolvimento das vertentes formativa e informativa, ao permitir aos alunos a possibilidade de acessar, sociabilizar e ampliar seus conhecimentos. No desenvolvimento deste trabalho, defrontamo-nos com as mais variadas situações, exteriorizadas nos diálogos, discussões, espontaneidades, curiosidades e solidariedades, estampadas nos rostos dos alunos, quando ficavam maravilhados por uma nova descoberta ou quando conseguiam compreender os fenômenos estudados. Assim sendo, as atividades implicaram em uma mudança no modo de ver dos alunos, não somente em relação aos conteúdos matemáticos, como também aos de outras áreas do conhecimento, possibilitando-lhes uma visão mais real e democrática do mundo, ao tentar obter respostas e realizar descobertas. 127 A nosso ver, este trabalho difere daquele que, em geral, é praticado no ensino tradicional. A forma como as atividades foram elaboradas e conduzidas, fizeram com que os alunos entrassem em ação. O manuseio de instrumentos como: gnômon, régua, compasso, GLP e trena, por diversas vezes impulsionou os alunos a ver, pensar, repensar, ouvir e discutir, validando assim, suas hipóteses ou respondendo suas questões. Também foi possível observar que os alunos fizeram uso de conceitos adquiridos nas aulas de Matemática em curso na escola. Durante o processo de encontrar e traçar as Linhas Norte-Sul e Leste-Oeste usaram conceitos de reta, segmento de reta, simetria, bissetriz e perpendicularidade, bem como manuseio de régua e compasso, necessários para a construção destes conceitos. Como impacto resultante deste estudo, destacamos que algumas semanas após a realização desse trabalho, fomos procurados por alguns pais dos alunos que participaram das atividades. Devido ao entusiasmo apresentado pelos alunos durante o trabalho desenvolvido, os pais manifestaram interesse em desenvolver atividades semelhantes aquelas desenvolvidas por seus filhos. Dessa conversa ficamos acordados que iríamos promover outras atividades, só que desta vez com a presença dos pais. Após comunicar essa notícia com a direção do colégio, agendamos para o mês de novembro de 2013, a realização de um trabalho semelhante à Atividade de Ensino 02, fazendo uso do gnômon e do GLP. O olhar dos pais para as atividades escolares de seus filhos e o desejo de obter maiores conhecimentos a respeito dos assuntos trabalhados que os empolgaram também pode ser visto como um aspecto transcendente, pois, esse olhar para ações de seus filhos, ao vê-los crescer e participar ativamente de suas atividades, lhes proporcionaram a possibilidade de refletir sobre o mundo em que vivem, a conscientização dos problemas que a Terra vem enfrentando e a criação de estratégias de sobrevivência.. Como sugestão para futuras pesquisas, propomos o estudo dos erros dos alunos cometidos ao longo do desenvolvimento da Atividade 01. Embora entendermos a importância desse tema, não nos foi possível trabalhá-lo, 128 porquanto o tempo destinado para a realização desta dissertação não nos permitiu dar prosseguimento a um estudo dessa natureza. Outro tema passível de pesquisa e que pelo mesmo motivo não foi possível trabalhar, diz respeito às diferenças entre o meio dia solar e o meio dia do relógio. Esperamos que as atividades de ensino abordadas nesta investigação despertem nos professores a possibilidade de trabalhá-las em suas aulas, de maneira que seus alunos participem de forma ativa e efetivamente da construção de sua aprendizagem, fazendo com que a interdisciplinaridade e a transdisciplinaridade se façam presentes, possibilitando a eles o encontro de respostas para a compreensão de fenômenos naturais, assumindo atitudes responsáveis e democráticas para com o mundo em que vivemos. 129 REFERÊNCIAS APM Matemática do planeta terra. in: APM. Associação de Professores de Matemática. Portugal: APM, 2013. Disponível em <http://mpt2013.apm.pt/>. Acesso em 20 jan. 2013. BERNARDES, T. O. et al. Abordando o ensino de óptica através da construção de telescópios. Revista Brasileira do Ensino da Física. 2006, vol.28, n.3, pp. 391396. Disponível em <http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11172006000300016>. Acesso em, 20 fev. 2012. BRASIL. Ministério da Educação. 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