Prova Agente Penitenciário Federal –2009 / FUNRIO
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(Questão 24) Uma professora formou grupos de 2 e 3 alunos com o objetivo de conscientizar a
população local sobre os cuidados que devem ser tomados para evitar a dengue. Sabendo que
dois quintos dos alunos escolhidos para realizar essa campanha são do sexo masculino, e que
cada grupo formado contém um e apenas um aluno do sexo masculino, a quantidade de
grupos de dois alunos é igual
A) à quantidade de grupos de três alunos.
B) ao dobro da quantidade de grupos de três alunos.
C) à metade da quantidade de grupos de três alunos.
D) ao triplo da quantidade de grupos de três alunos.
E) à terça parte da quantidade de grupos de três alunos.
Nível da questão: Fácil
Para facilitar os cálculos vamos tomas como quantidade de alunos o valor 5.
Desta forma, 2/5 de 5 é igual 2 que é a quantidade de alunos do sexo masculino.
E o que restou 3/5 de 5 é igual 3 que é a quantidade de alunas do sexo feminino.
O item informa que formará dois grupos de 2 e 3 alunos cada, sendo que em cada um deles
deverá ter um aluno do sexo masculino
Desta forma temos:
1º Grupo
2º Grupo
M F
M F F
Chamaremos os dois masculinos de M1 M2, os três femininos de F1, F2 e F3.
Percebam que quando M1 forma uma dupla no grupo 1 com uma das F1, F2 ou F3,
obrigatoriamente M2 terá que forma um trio com as demais meninas que restarem, vejam:
1º Grupo
M1 F1
Desta forma M2 terá que forma um trio com ele e as duas alunas que estaram que são F2 e
F3, ficando desta forma, assim ficaria:
1º Grupo
M1 F1
2º Grupo
M2 F2 F3
E assim será para qualquer escolha, sempre que formarmos o grupo 1, somente restará uma
forma para formar o grupo 2, desta informação podemos concluir que a quantidade de grupo de
dois alunos é igual a quantidade de grupo de 3 alunos.
OPÇÃO A
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(Questão 25) Sejam A e B os conjuntos dos números naturais múltiplos de 2 e 3,
respectivamente, e C o conjunto formado pela interseção de A e . Com respeito às proposições
I, II e III, apresentadas a seguir, é correto afirmar que
I- Se x pertence a A então x+1 pertence a B.
II- Se x pertence a C então x+6 pertence a C.
III- Se x pertence a A e x+1 pertence a B então x+4 pertence a C.
A) Apenas a proposição II é verdadeira.
B) Apenas a proposição III é verdadeira.
C) Apenas a proposição I é falsa.
D) Todas as proposições são verdadeiras.
E) Todas as proposições são falsas.
Nível da questão: Fácil
Antes de tudo, vamos forma o grupo A, B e C
Para os que não lembram:
Os múltiplos de 2 são os números que conseguimos a partir da multiplicação de qualquer
número inteiro por 2.
Intersecção entre um conjunto e outro, são os números em comum que esses dois conjuntos
possuem.
Desta forma, assim ficam os conjuntos:
A= 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, . . . . .
B= 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, . . . . .
C= 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, . . . . .
Agora vamos analisar as proposições I, II e III.
Proposição I: Se x pertence a A então x+1 pertence a B.
Sol. Para que essa proposição seja falsa, basta encontrarmos um x em que não satisfaça a
esta regra. Vejam:
Se escolhermos o x igual a 2, temos que x+1=3 que é um número pertencente a B.
Porém se escolhermos o x igual 4, temos que x+1=5 que não é número pertencente a B.
Logo proposição Falsa.
Proposição II: Se x pertence a C então x+6 pertence a C.
Sol. Essa proposição é simples de se verificar. Vejam:
Escolha qualquer número x em C e verificará que x+6 é igual a um número também
pertencente ao conjunto C. Por quê? Porque o conjunto C é formado pelos números múltiplos
de 6.
Logo proposição Verdadeira
Proposição III: x pertence a A e x+1 pertence a B então x+4 pertence a C.
Sol. Verifiquem que sempre que escolhermos um x em a e x+1 pertencer a B, de fato x+4
pertencerá a C: Vejam alguns exemplos:
X=2; pertencente a A x+1=3 pertencente a B, x+4=6 pertencente a C.
X=8; pertencente a A x+1=9 pertencente a B, x+4=12 pertencente a C.
E será sempre assim.
Logo proposição Verdadeira
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Como apenas a proposição I é falta o está correta a OPÇÃO C
(Questão 26) Em uma das faces de uma moeda viciada é forjado o número zero, e na outra o
número um. Ao se lançar a moeda, a probabilidade de se obter como resultado o número zero
é igual a 2/3. Realizando-se cinco lançamentos independentes, e somando-se os resultados
obtidos em cada um desses lançamentos, a probabilidade da soma ser igual a um número par
é:
A) 121/243
B) 122/243
C) 124/243
D) 119/243
E) 125/243
Nível da questão: médio
Essa questão é o tipo de questão que causa polêmica pela seguinte pergunta: O 0 é par ou o
0 é impar? Alguns afirmam que sim e outro estudiosos afirmam que não, devemos verificar as
bibliografias indicadas pela banca para saber que critério quanto ao 0 a FUNRIO utilizou. Caso
seja contrária a cobrada nesta questão, ou nada se falar no edital, cabe recurso. Mas vejamos:
A moeda foi lançada 5 vezes e queremos verificar a soma dos resultados.
Vejam que a soma dos resultados possíveis se restringem a: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Vejam que os resultados pares possíveis são:
0, 2 e 4 para os que admitem o 0 como par.
E apenas 2 e 4 para os que não admitem o 0 como par.
Para que tenhamos 2 como a soma dos resultados, temos que fazer com que ocorre o número
1 duas vezes dentre os cinco lançamentos:
Desta forma, temos que combinar a quantidade de vezes que isso vai ocorrer. Vejam:
5!
5  4  3! 20


 10 Maneiras distintas de acontecer do 1 aparecer duas vezes.
(5  2)!2! 3! 2!
2
A probabilidade de termos o número 0 é de 2/3, logo a probabilidade termos o número 1 é de
1/3.
Para descobrirmos a probabilidade da soma ser dois, fixamos a probabilidade do 1 ocorrer em
dois dos lançamentos, e nos demais a probabilidade do 0 ocorrer, em seguida multiplicamos
por 10 que é a quantidade de maneiras distintas dentre os lançamentos disto ocorrer:
1 1 2 2 2
8
8
80
, agora multiplicamos por 10 
    
10 
3 3 3 3 3 243
243
243
Com esse cálculo, concluímos a probabilidade da soma dos resultado ser 2, agora devemos
calcular a probabilidade da soma ser 0 e 4.
Para calcularmos a probabilidade da soma ser quatro faremos o mesmo processo feito em
dois. Primeiro as maneiras distintas de termos o número 1 quatro vezes como resultado:
5!
5  4! 5

  5 maneiras distintas de acontecer do 1 aparecer quatro vezes
(5  4)!4! 1 4! 1
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1 1 1 1 2
2
2
10
, agora multiplicamos por 5 
    
5 
3 3 3 3 3 243
243
243
Para os que não admitem o 0 como par, já teríamos condições de saber o resultado, somando
a probabilidade de ocorrer 2:
resultado
Como
80
10
mais a probabilidade de o ocorrer 4:
. Teríamos como
243
243
90
.
243
90
não está dentre as opções da questão, deduzimos que a banca admite o número 0
243
como par. Desta forma, vamos calcular a probabilidade da soma dos resultados dos
lançamentos ser 0.
Se a probabilidade de o 0 ocorrer é de 2/3, basta fixamos o 2/3 em todos os lançamentos.
Vejam que desta vez não calculamos a combinação, pois somente uma maneira de ocorrer o 0
em todos os lançamentos:
2 2 2 2 2 32
    
3 3 3 3 3 243
Agora vamos somar a probabilidade do 0 do 2 e do 4 ocorrerem:
80 10 32 122
+
+
=
, portanto, OPÇÃO B
243 243 243 243
(Questão 27) Os números naturais da seqüência X1, X2, X3, X4,...,XN seguem uma ordem
lógica crescente. Sabendo que a soma e o produto dos três primeiros termos dessa seqüência
valem, respectivamente, 12 e 48, e que a soma e o produto dos segundo, terceiro e quarto
termos valem 18 e 192, respectivamente, o centésimo termo dessa seqüência é igual a
A) 160.
B) 200.
C) 240.
D) 220.
E) 180.
Nível da questão: Fácil
A questão nos informa que:
x1  x 2  x3  12
x1 x 2  x3  48
; e também:
x 2  x3  x 4  18
x 2  x3  x 4  192
Antes de tudo, temos que imaginar que seqüência que satisfaça essas equações:
Isso descobrimos da base do teste: tentativa erro:
Imaginemos 3 números que a soma da 12, podemos imaginar vários:
1, 3 e 8 / 2, 4 e 6 / 3, 2 e 7, mas temos que nos lembrar que o produto também tem que dá
48.
Pensem no seguinte: se o produto de três números dá 48, logicamente, um desses três número
é 4 e o produto dos outros 2 é 12.
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Um número nos já sabemos que é o quatro, agora basta descobrirmos os outros dois números
que multiplicado um pelo outro seja 12, como não pode ser 3 e 4, pois o 4 já está entre os três
números, somente nos resta 2 e 6. desta forma dos 3 números são: 2, 4 e 6.
Vejam: 2+4+6=12 e 2.4.6=48.
2, 4 e 6 forma nessa ordem um P.A de razão 2, então o restante da sequencia será:
( 2,
4,
6,
8,
10 . . .) Vejam que
x 2  x3  x 4  18
x 2  x3  x 4  192
também conferem.
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Como já descobrimos que essa seqüência é uma P.A temos a1 que é x1 e temos a razão, basta utilizarmos a fórmula do termo geral da P.A e descobrirmos o 100º
termos dessa seqüência:
an  a1  (n  1)r  a100  2  (100  1)  2  a100  2  99  2  a100  2  198  a100  200
Logo o item correto é a OPÇÃO B
(Questão 28) Antônio, José e Paulo são professores de uma universidade da cidade de São Paulo. Paulo é Paraibano, e os outros dois são mineiro e paulista, não
necessariamente nessa ordem. Os três professores são formados em engenharia, física e matemática, mas não se sabe quem é graduado em qual curso. Sabendo que
o físico nunca mudou de cidade, e que o mineiro não é José e nem é engenheiro, é correto afirmar que
A) Antônio é mineiro e graduado em matemática.
B) José é paulista e graduado em engenharia.
C) Paulo não é engenheiro.
D) Antônio é paulista e graduado em física.
E) José é mineiro e graduado em matemática.
Nível da questão: Médio
Nesse tipo de questão é necessária a construção de três tabelas e analisar as informações fornecidas pela questão:
1º Informação: Paulo é paraibano, logo ele não é nem mineiro nem paulista e nem Antonio e José são paraibanos, desta forma assim marcamos na tabela:
Antonio
José
Paulo
Paraibano
X
X
V
Mineiro
X
Paulista
X
Física
Antonio
José
Paulo
Engenharia Matemática
Paraibano
Física
Engenharia
Matemática
Mineiro
Paulista
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2º informação: O físico nunca mudou de cidade. Pensem no seguinte: Se os três trabalham em São Paulo, e temos um paraibano, um mineiro e um paulista e o físico
nunca mudou de cidade, fica claro que o físico é o paulista. Logo ele não é nem paraibano nem mineiro e nem os formados em engenharia e matemática são paulistas.
Desta forma mascamos assim na tabela:
Antonio
José
Paulo
Paraibano
X
X
V
Mineiro
X
Paulista
X
Física
Engenharia Matemática
Antonio
José
Paulo
Física
Engenharia
Matemática
Paraibano
X
Mineiro
X
Paulista
V
X
X
3º informação: O mineiro não é Jose e nem o mineiro é engenheiro. Vejam que resta apenas mineiro e paulista para Antonio e José. Se o mineiro não é Jose, só lhe
resta ser Antonio, e o paulista ser José.
Se o mineiro não é engenheiro, só lhe resta ser matemático e o paraibano ser engenheiro.
Paraibano
Antonio
X
José
X
Paulo
V
Mineiro
V
X
X
Paulista
X
V
X
Física
Engenharia Matemática
Antonio
José
Paulo
Paraibano
Física
X
Engenharia
V
Matemática
X
Mineiro
X
X
V
Paulista
V
X
X
Vejam que completamos duas das três tabelas. Agora fica fácil, pois com as informações dessas duas tabelas conseguimos completar a terceira.
4° Se Antônio é mineiro e o mineiro é matemático, logo Antônio é Matemático.
5° Se Jose é paulista e o paulista é físico, logo José é físico.
6° Se Paulo é Paraibano e o paraibano é engenheiro, logo Paulo é engenheiro.
Antonio
José
Paulo
Paraibano
X
X
V
Mineiro
V
X
X
Paulista
X
V
X
Antonio
José
Paulo
Física
X
V
X
Engenharia Matemática
X
V
X
X
V
X
Analisando tabela já completa conseguirmos logo concluir que está certa a OPÇÃO A
Física
Engenharia
Matemática
Paraibano
X
V
X
Mineiro
X
X
V
Paulista
V
X
X
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(Questão 29) Um sistema de sinalização visual é composto por dez bandeiras, sendo quatro vermelhas,
três pretas e três brancas, as quais são hasteadas numa determinada ordem para gerar as mensagens
desejadas. Sabe-se que apenas um centésimo das mensagens que podem ser geradas por este
sistema é utilizado na prática. Deseja-se desenvolver um novo sistema de sinalização visual, composto
apenas de bandeiras de cores distintas e que seja capaz de gerar, pelo menos, a quantidade de
mensagens empregadas na prática. O número mínimo de bandeiras que se deve adotar no novo
sistema é
A) 4.
B) 6.
C) 3.
D) 7.
E) 5.
Nível da questão: Difícil
O sistema de sinalização é de 10 bandeiras, se todas as 10 bandeiras fossem distintas, bastava que
calculássemos o fatorial de 10 que já teríamos a quantidade de sinais diferentes, mas como temos
bandeiras repetidas, devemos dividir o 10 fatorial pela quantidade que cada cor se repete. Vejamos:
10!
, vejam que dividimos por 4!, 3! e 3!, pois a cor vermelha se repete 4 vezes e as cores pretas e
4!3!3!
brancas se repetem por 3 vezes. Agora vamos ao resultado:
 151.200
10! 10  9  8  7  6  5  4!

 4200

4!3!3! =
4!3!3!
36
Portanto, chegamos a conclusão que, nas circunstancias apresentadas na questão, é possível se obter
4200 sinais diferentes. Como apenas 10% dos sinais são de fato utilizados, temos que 10% de 4200 é
igual a 42 sinais.
Desta forma, temos encontrar um novo sistema de sinal, onde as bandeiras sejam diferentes e que
obtenhamos pelo menos 42 sinais.
Como o novo sistema é composto apenas de bandeiras diferentes, para calcular, bastar aplicamos o
fatorial. Vejamos:
pn  n !
p3  3  2 1  6
p4  4  3  2 1  24
p5  5  4  3  2 1  120
Percebam que com 3 e 4 bandeiras distintas não chegamos aos 42 sinais, que somente foi alcançada
com 5 bandeiras.
Portanto, o item correto é a OPÇÃO E.
(Questão 30) Um professor entregou uma lista de exercícios contendo dez questões para ser resolvida
por cada um dos vinte alunos de sua turma. Seis alunos conseguiram resolver todas as questões da
lista, dez alunos resolveram oito questões e os demais resolveram apenas duas questões. Escolhendose aleatoriamente um aluno e uma questão da lista, a probabilidade da questão escolhida não ter sido
resolvida é igual a:
A) 13/50
B) 17/50
C) 23/50
D) 27/50
E) 37/50
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Nível da questão: Médio
Estamos diante de uma questão de probabilidade onde temos que descobrir a probabilidade de dois
eventos ocorrerem simultaneamente. Para calcular esse tipo de questão devemos calcular a
probabilidade de ocorrência dos dois eventos separadamente e depois multiplicar um pelo outro.
Primeiro evento: Probabilidade de se escolher ao acaso um dos alunos que não conseguiu resolver
todas as questões. Faremos isto, porque a questão pede a probabilidade exatamente de se escolher um
aluno que não tenha resolvido também a questão escolhida do segundo evento. Vamos aos cálculos:
Grupo 1: 6 alunos resolveram todas.
Grupo 2: 10 alunos resolveram apenas 8 questões.
Grupo 3: 4 alunos resolveram apenas 2 questões.
Para resolver esta questão, apenas nos interessa o grupo 2 e 3, uma vez que no grupo 1 todos os 6
acertaram todas as questões.
Grupo 2: Como 20 alunos no total, a probabilidade de, ao se escolher ao acaso 1 aluno e ele fazer parte
Evento
10
1
P
 P  , ou seja, a probabilidade de um aluno
Amostra
20
2
escolhido ao acaso ser do grupo 2 de 1 a cada duas.
do grupo 2 é a seguinte:
P
Grupo 3: No grupo 3 temos 4 alunos, logo a probabilidade de se escolher ao acaso um aluno e ele fazer
parte do grupo 3 é de:
P
Evento
4
1
P
P
Amostra
20
5
Agora, temos que é calcular o segundo evento, ou seja, calcular a probabilidade de se escolher
uma questão ao acaso e ela não ter sido resolvida.
No grupo 2, das 10 questões, os alunos acertaram apenas 8, ou seja, erraram duas. Como são 10
questões, escolhendo-se ao acaso uma questão, a probabilidade dela ser essas duas erradas é de:
Evento
2
1
P
P P
Amostra
10
5
Neste momento começaremos a combinar essa questão com os alunos do grupo 2, como a
1
probabilidade de se escolher ao acaso um aluno e ele fazer parte do grupo 2 é de , ao
2
1
1
multiplicarmos
por teremos então a probabilidade se se escolher um aluno que faça parte
2
5
1 1
1
do grupo 2 e uma questão errada do grupo 2 também. Assim temos: P1    P 
2 5
10
No grupo 3, das 10 questões, os alunos acertaram 2 e erraram 8, desta forma, a probabilidade de
se escolher uma questão ao acaso e esta questão ser uma das 8 erradas é:
Evento
8
4
P
 P   P  . Desta forma, se quisermos calcular a probabilidade se
Amostra
10
5
escolher ao acaso um aluno e fazer parte do grupo 3 e escolher um questão errada deste grupo,
Evento
4 1
4
P  P
basta multiplicarmos as duas probabilidades: P2 
Amostra
5 5
25
Agora se somarmos a Probabilidade 1(P1) com a Probabilidade 2(P2) teremos a probabilidade
1 4 13
total de escolhermos um aluno e uma questão errada: PT  
.

10 25 50
Portanto, o item correto é a OPÇÃO A.