Comunicação: Cónicas: uma abordagem experimental
Autor: Ana Cristina Oliveira
Esta comunicação vem na sequência de uma Tese de Doutoramento que desenvolvi no
âmbito da Divulgação da Matemática. Dado o tempo disponível para a comunicação, cingirme-ei a uma pequeníssima parte da Tese, especificamente a parte sobre cónicas.
Um dos objectivos da minha Tese, e em particular da parte que apresentarei, é analisar
conteúdo matemático, vastamente explorado a nível da Divulgação, mas para o qual é possível
encontrar assunto matemático relevante, transmissível a um nível elementar e em geral não
explorado.
No que diz respeito ao tema das cónicas, é bastante comum o
conhecimento da existência de três tipos de definição de cónica: algébrica,
métrica e geométrica. Pretendendo enfatizar a parte geométrica, começaremos
pela definição clássica, em que se considera a cónica como a curva resultante da
intersecção de um cone com um plano (fig 1).
No caso genérico, i.e., quando o plano não passa pelo vértice do cone,
há três cenários possíveis: a cónica é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
fig 1
Centremo-nos no caso da elipse. Dados dois pontos F1 e F2 e
uma constante positiva k, superior à distância entre F1 e F2, podemos
ainda definir uma elipse como o conjunto de pontos para os quais a
soma das distâncias, respectivamente a F1 e F2, é igual a k. Esta
definição designa-se por definição métrica da elipse (fig 2).
fig 2
Porque é que a definição geométrica e a métrica são equivalentes?
Na bibliografia que consultámos, encontrámos várias referências ao porquê de a
definição geométrica implicar a métrica. Apresentaremos, de seguida, uma breve
justificação.
Na figura 3 estão representados uma elipse e o respectivo plano e cone. Passaremos
da situação descrita no espaço para um caso mais simples, no plano, seccionando os
objectos representados por um plano perpendicular ao plano da cónica e que passa
pelo eixo do cone.
fig 3
fig 4
fig 5
1
Nas figuras 4 e 5, encontram-se representadas duas geratrizes – VA e VB – do cone,
resultantes da secção referida, sendo V o vértice do cone e A e B dois pontos da elipse. A
tracejado, encontra-se ainda o eixo do cone. Note-se que existem duas, e apenas duas,
circunferências tangentes às três rectas representadas: uma no interior do triângulo e outra no
seu exterior.
Por revolução no eixo do cone, a recta VA (ou VB) gera o cone
original. Por sua vez, as circunferências dão origem a duas esferas,
designadas por esferas de Dandelin, que, em conjunto com a figura
tridimensional original, formam algo do tipo representado na figura 6. Por
construção, as esferas de Dandelin são tangentes ao cone e também ao
plano da cónica em dois pontos, F1 e F2, que designaremos por focos da
elipse.
Para explicar o motivo pelo qual a definição geométrica
implica a métrica, consideremos um ponto genérico, P, da elipse e a recta
VP, onde V é o vértice do cone. Tal recta intersecta as esferas de Dandelin em dois
pontos, respectivamente T1 e T2. Aplicando novamente o método de passagem do
espaço para o plano, consideremos o plano PT1F1 e a secção obtida por intersecção
deste plano com a figura anterior (fig 7).
fig 6
Por construção, as rectas PT1 e PF1 são ambas tangentes à circunferência, de
fig 7
onde se conclui que |PF1|=|PT1|. De modo análogo,
obtemos |PF2|=|PT2| e, portanto,
|PF1|+|PF2|=|PT1|+|PT2|=|T1T2|.
fig 8
Ora, como |T1T2| não depende do ponto P escolhido,
conclui-se que a definição geométrica implica a métrica.
O passo natural a seguir será mostrar a implicação contrária. Para tal, faremos uma
pequena interrupção para referir uma questão, aparentemente desligada da anterior,
mencionada por Lebesgue no seu livro Les Coniques [1]: dado um plano e uma elipse E
(definida geometricamente) em , quais são os cones que intersectam segundo a elipse?
Este é um problema que resolvi geometricamente. E o filme projectado durante a
comunicação apresenta uma infinidade de cones que satisfazem a propriedade indicada (ver
figs 9 e 10): note-se que todos eles contêm, em particular, os extremos do eixo maior da elipse
e são tais que o seu vértice pertence à hipérbole representada na fig 10. Por sua vez, esta
hipérbole tem como focos os extremos do eixo maior da elipse e a constante é igual à distância
entre os focos da elipse.
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Fig 9
Fig 10
Apresentemos então um método para construir tais cones (figs 11, 12, 13 e 14). Para
isso, consideremos a elipse E e a recta F1F2, representando por F1 e F2 os focos. Tal recta
intersecta, em particular, a elipse em dois pontos - A e B. Pretendendo passar do caso
tridimensional para um mais simples - o do plano, consideremos um plano, , perpendicular a
e passando por AB. Em , consideremos uma qualquer recta r que passa por A: existe uma só
circunferência tangente a r e a AB em F1.
fig 11
fig 12
fig 13
fig 14
Do mesmo modo, existe uma só recta, BV, tangente à circunferência obtida e uma só
circunferência tangente a BV e a AB em F2.
Regressando ao caso 3D, por revolução em torno de VC1, obtemos um cone que intersecta o
plano inicial segundo a elipse (E) considerada (fig 14). Este é apenas um dos cones possíveis,
uma vez que, de acordo com o filme projectado, existe uma infinidade de cones nestas
circunstâncias. Como os obter?
Note-se que, na construção utilizada, a recta r obedece apenas a uma condição: passar
por A. Assim, diferentes escolhas de r levam a diferentes cones.
Há, contudo, uma questão ainda sem resposta: qual a origem da hipérbole da figura
10? Dado o tempo disponível, tal questão não pode ser abordada na comunicação, contudo,
ao leitor interessado, sugere-se a consulta do artigo [2].
3
Um aspecto surpreendente no que diz respeito às cónicas prende-se com o facto de,
na bibliografia consultada para a Tese, não terem sido encontradas referências ao porquê de a
definição métrica implicar a geométrica, com a excepção do livro Les Coniques [1], já
mencionado. Esta questão é também abordada no artigo [2] e passa pela resolução da questão
de Lebesgue já exposta.
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Uma outra vertente que me interessou, ainda em relação às cónicas, foram actividades
hands-on associadas a este tema. A este propósito, destaco a exposição Oltre il Compasso [5],
patente no Museu Il Giardino di Archimede, em Florença. E, tendo o privilégio de trabalhar na
Associação Atractor – Matemática Viva, há vários anos, não poderia deixar de destacar os
bilhares cónicos construídos por esta Associação no âmbito da sua exposição Matemática Viva
[3], patente no Pavilhão do Conhecimento durante cerca de dez anos. Actualmente, estes
bilhares encontram-se expostos no Museu dos Transportes e Comunicações, no Porto (o
Pavilhão do Conhecimento produziu também réplicas destes módulos).
Estes bilhares ilustram as propriedades reflectoras das cónicas descritas nas imagens
ao lado. Tais propriedades apresentam inúmeras aplicações práticas conhecidas, desde os
fornos solares, aos telescópios de reflexão, à própria construção da Whispering Gallery, na
Catedral de S. Paulo em Londres.
A este propósito, aconselho vivamente uma aplicação da autoria do Atractor [4],que
permite ao utilizador construir o seu próprio bilhar virtual e jogar (fig 15). Escolhido um bilhar
elíptico, uma potencialidade muito interessante do programa consiste em mostrar as
trajectórias da bola, quer quando, inicialmente, se escolhe cruzar o interior do segmento que
une os dois focos quer quando se escolhe cruzar o seu exterior.
fig 15
REFERÊNCIAS
[1] Henri Lebesgue, Les Coniques, Gauthier-Villars, 1942.
[2] Ana Cristina Oliveira, O que é uma cónica?, Educação e Matemática, Revista da Associação
de Professores de Matemática, nº 117, 22-25, Março-Abril de 2012.
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[3] http://www.atractor.pt/matviva
[4] http://www.atractor.pt/mat/BilharesConicos
[5] http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/curve/geocurve.php
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