Q T-1
Partículas do Sol
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(Pontos Totais: 10)
Fótons da superfície do Sol e neutrinos de seu centro podem nos dar informações sobre as temperaturas
solares e também confirmam que o Sol brilha por conta de reações nucleares.
Ao longo desse problema, use a massa do Sol como 𝑀⨀ = 2,00×10!" kg, seu raio, 𝑅⨀ = 7,00×10! m, sua
luminosidade (energia de radiação emitida por unidade de tempo), 𝐿⨀ = 3,85×10!" W, e a distância TerraSol, 𝑑⨀ = 1,50×10!! m.
Nota:
(i) 𝑥𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
1
− 𝑎2
𝑎
(ii) 𝑥2 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
(iii) 𝑥3 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
𝑎
𝑒𝑎𝑥 + constante
2𝑥
2
− 𝑎2 + 𝑎3 𝑒𝑎𝑥 + constante
𝑥3
𝑎
−
3𝑥2
𝑎2
6𝑥
6
+ 𝑎3 − 𝑎4 𝑒𝑎𝑥 + constante
A Radiação do Sol :
A1
Admita que o Sol irradia como um corpo negro perfeito. Use esse fato para calcular a temperatura, 𝑇s , na
superfície solar.
0.3
O espectro da radiação solar pode ser bem aproximado pela lei de distribuição de Wien. De acordo com o
mencionado, a energia solar incidente em qualquer superfície da Terra por unidade de tempo e por unidade
de intervalo de frequência, 𝑢(𝜈), é dado por
!
𝑅⨀
2𝜋ℎ
𝑢 𝜈 = 𝐴 ! ! 𝜈 ! exp(−ℎ𝜈/𝑘B 𝑇s ),
𝑑⨀ 𝑐
onde 𝜈 é a frequência e 𝐴 é a área da superfície normal à direção da radiação incidente.
Agora, considere uma célula solar que consiste de um disco fino de material semicondutor de área, 𝐴,
colocado perpendicularmente à direção dos raios solares.
A2
Usando a aproximação de Wien, expresse a potência de radiação solar total, 𝑃in , incidente na superfície da
célula solar, em termos de 𝐴, 𝑅⨀ , 𝑑⨀ , 𝑇s e das constantes fundamentais 𝑐, ℎ, 𝑘B .
0.3
A3
Expresse o número de fótons, 𝑛γ (𝜈), por unidade de tempo e por unidade de intervalo de frequência,
incidentes na superfície da célula solar, em termos de 𝐴, 𝑅⨀ , 𝑑⨀ , 𝑇s , 𝜈 e das constantes fundamentais 𝑐, ℎ,
𝑘B .
0.2
O material semicondutor da célula solar possui uma banda de energia (“band gap”) de energia, 𝐸g . Nós
assumimos o seguinte modelo: todos os fótons de energia 𝐸 ≥ 𝐸g excitam um elétron através da banda de
energia. Esse elétron contribui com energia, 𝐸g , como energia útil de saída, e o excesso de energia é
dissipado como calor (não convertida em energia útil).
A4
Defina 𝑥g = ℎ𝜈g /𝑘B 𝑇s onde 𝐸g = ℎ𝜈g . Expresse a potência útil de saída da célula, 𝑃out , em termos de 𝑥g , 𝐴,
𝑅⨀ , 𝑑⨀ , 𝑇s e constantes fundamentais 𝑐, ℎ, 𝑘B .
1.0
A5
Expresse a eficiência, 𝜂, dessa célula solar em termos de 𝑥g .
0.2
A6
Construa um esboço qualitativo do gráfico de 𝜂 versus 𝑥g . Os valores em 𝑥g = 0 and 𝑥g → ∞ devem estar
claramente mostrados. Qual a inclinação de 𝜂(𝑥g ) em 𝑥g = 0 e 𝑥g → ∞?
1.0
A7
Seja 𝑥! o valor de 𝑥g para o qual 𝜂 é máximo. Obtenha a equação cúbica para 𝑥! . Estime o valor de 𝑥!
dentro de uma precisão de ±0.25. Então calcule 𝜂(𝑥! ).
1.0
A8
A banda de energia do silício puro é 𝐸g = 1,11 eV. Calcule a eficiência, 𝜂Si , de uma célula solar de silício
usando esse valor.
0.2
No final do século dezenove, Kelvin e Helmholtz (KH) propuseram uma hipótese para explicar como o sol
brilha. Eles postularam que, iniciando como uma nuvem muito grande de matéria de massa, 𝑀⨀ , e
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densidade desprezível, o Sol tem diminuído de tamanho continuamente. O brilho do Sol seria então devido
à liberação de energia gravitacional através dessa lenta contração.
A9
Vamos assumir que a densidade da matéria é uniforme dentro do Sol. Encontre a energia potencial
gravitacional total, Ω, do Sol no presente, em termos de G, 𝑀⨀ e 𝑅⨀ .
0.3
A10
Estime o tempo máximo possível, 𝜏KH (em anos), em que o Sol tem brilhado, de acordo com a hipótese de
KH. Assuma que a luminosidade do Sol ficou constante durante esse período.
0.5
O 𝜏KH calculado acima não coincide com a idade do sistema solar estimada por estudos de meteoritos. Isso
mostra que a fonte de energia do Sol não pode ser puramente gravitacional.
B Neutrinos do Sol:
Em 1938, Hans Bethe propôs que a fusão nuclear do hidrogênio em hélio no centro do Sol é a fonte de sua
energia. A reação nuclear resultante é:
4 !H ⟶ !He + 2e! + 2𝜈e
Os neutrinos eletrônicos, 𝜈e , produzidos nessa reação podem ser considerados sem massa. Eles escapam do
Sol e a detecção deles na Terra confirma a ocorrência de reações nucleares dentro do Sol. A energia
carregada pelos neutrinos pode ser desprezada neste problema.
B1
Calcule o fluxo de densidade do número de neutrinos, Φ! , chegando na Terra, em unidade de m!! s!! . A
energia liberada na reação acima é ∆𝐸 = 4,0 𝑥 10!!" 𝐽. Assuma que a energia irradiada pelo Sol é
inteiramente devido a esta reação.
0.6
Viajando do centro do Sol para a Terra, alguns dos neutrinos eletrônicos, 𝜈! , são convertidos em outros
tipos de neutrinos, 𝜈x . A eficiência do detector para detectar 𝜈x é 1/6 da sua eficiência para detectar 𝜈e . Se
não houver nenhuma conversão de neutrinos, esperamos detectar uma media de 𝑁! neutrinos por ano. No
entanto, devido à conversão, uma media de 𝑁! neutrinos (𝜈e e 𝜈x combinados) são realmente detectados por
ano.
B2
B3
Em termos de 𝑁! 𝑒 𝑁! , calcule que fração, 𝑓, de 𝜈e é convertida em 𝜈x .
Para detectar neutrinos, grandes detectores preenchidos com água são construídos. Embora as interações de
neutrinos com o material sejam muito raras, ocasionalmente eles colidem com os elétrons, arrancando-os
das moléculas de água no detector. Esses elétrons energéticos se movem através da água com altas
velocidades, emitindo radiação eletromagnética no processo. Desde que a velocidade de tal elétron seja
maior que a velocidade da luz na água (índice de refração, 𝑛), essa radiação, chamada radiação Cherenkov,
é emitida no formato de um cone.
Admita que o elétron arrancado pelo neutrino perca energia por unidade de tempo a uma taxa constante 𝛼,
enquanto ele viaja através da água. Se esse elétron emite radiação Cherenkov por um tempo, ∆𝑡, determine
a energia fornecida para esse elétron (𝐸fornecida ) pelo neutrino, em termos de 𝛼, ∆𝑡, n, 𝑚e e 𝑐. (Admita que o
elétron estava em repouso antes da interação com o neutrino.)
0.4
2.0
A fusão de H em He dentro do Sol ocorre em vários passos. Núcleos de !Be (massa de repouso, 𝑚Be ) é
produzido em um desses passos intermediários. Subsequentemente, ele pode absorver um elétron,
produzindo um núcleo de !Li (massa de repouso, 𝑚Li < 𝑚Be ) e emitindo um 𝜈e . A reação nuclear
correspondente é:
!
Be + e! ⟶
!
Li + 𝜈e
Quando um núcleo de Be (𝑚Be = 11.65×10!!" kg) está em repouso e absorve um elétron também em
repouso, o neutrino emitido tem energia 𝐸ν = 1.44×10!!" J. Entretanto, os núcleos de Be estão em
movimento térmico aleatório devido à temperatura 𝑇c no centro do Sol, e agem como fontes de neutrino em
movimento. Como resultado, a energia dos neutrinos emitidos flutua com um valor quadrático médio (rms)
∆𝐸!"# .
B4
Se ∆𝐸!"# =5.54×10!!" J, calcule a velocidade quadrática média do núcleo de Be, 𝑉Be e então estime 𝑇c .
(Dica: ∆𝐸!"# depende da componente da velocidade quadrática media ao longo da linha de visão).
2.0