IGOR FERREIRA DO PRADO
CONSTRUÇÃO E CONTROLE DO SISTEMA
PÊNDULO INVERTIDO
Vitória da Conquista
Julho de 2011
IGOR FERREIRA DO PRADO
CONSTRUÇÃO E CONTROLE DO SISTEMA
PÊNDULO INVERTIDO
Projeto de PFC apresentado ao Curso de
Engenharia Elétrica do Instituto Federal da
Bahia como parte dos requisitos para a obtenção do Grau de Engenheiro Eletricista.
Orientador:
Dr. Jorge Ricardo de Araújo Kaschny
Instituto Federal da Bahia
Campus Vitória da Conquista
Coordenação do Curso de Engenharia Elétrica
Vitória da Conquista
Julho de 2011
i
Agradecimentos
Gostaria de agradecer imensamente ao meu orientador, Prof. Dr. Jorge Ricardo de
Araújo Kaschny, pela oportunidade oferecida nos projetos de pesquisa, pelo incentivo e
exemplo de profissional, pela paciência e atenção em suprir minhas duvidas, bem como
nas informações e conselhos que levarei por toda a vida.
A professora Dra. Jossana Maria de Souza Ferreira, pelo incentivo inicial ao desenvolvimento de pesquisa.
Agradecer aos meus pais (Cecı́lia e Manoel) e minha irmã (Danielle), por terem me
oferecido oportunidades de conhecimento e afeto. A minha companheira Bárbara pela
compreensão por vários momentos dedicados ao desenvolvimento desse trabalho.
Aos meus amigos Adna Luı́te, Jean Pacheco, Nara Cunha, Raissa Oliveira, Thiago
Maciel e Vinı́cius Dutra, pelo suporte, bem como nos comentários de incentivo e interesse
pelo trabalho, e em especial a Ângelo César e João Gualberto que me estimularam a
terminar o projeto com empenho e energia.
ii
Resumo
Na presente contribuição é apresentado um estudo de um problema clássico de sistema
fı́sico instável - o pendulo invertido, que é adequadamente resolvido por técnicas de controle. Isso envolve a construção de uma planta experimental, representando o sistema,
bem como o projeto de um sistema automático de controle, do tipo proporcional-integraldiferencial (PID). Neste trabalho são discutidas cada etapa de implementação, os conceitos
básicos e as técnicas envolvidas durante seu desenvolvimento. Simulações computacionais
foram empregadas para auxiliar o mapeamento dos parâmetros de controle que alimentam o algoritmo implementado no microcontrolador, presente no sistema automático de
controle. Os resultados obtidos se mostram satisfatórios para o controle de um pendulo
invertido. Contudo, algumas limitações surgiram devido à simplicidade da construção
proposta, e novas implementações são apontadas para resolver tais problemas.
iii
Abstract
In this contribution we present a study of a classical problem of unstable physical system
- the inverted pendulum, which is properly solved by control techniques. Such study
involves the construction of an experimental plant, representing the system, as well as
the design of an automatic control system, of the proportional-integral-differential (PID)
type. In this work we discuss each implementation step, the basic concepts and techniques
involved in its development. Computer simulations were used to assist the parameters
mapping which will feed the control algorithm implemented at the microcontroller, in
the automatic control system. The results prove to be satisfactory for the control of an
inverted pendulum. However, some limitations have emerged due to the simplicity of the
construction, and new implementations are pointed out to solve such problems.
iv
Sumário
Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. vi
Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. ix
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 1
2 SISTEMAS PENDULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 3
3 MODELAGEM MATEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 6
3.1
MODELAGEM FÍSICA PÊNDULO INVERTIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 6
3.2
MODELAGEM DO PÊNDULO SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 9
4 PROTÓTIPO DO PÊNDULO INVERTIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 12
4.1
PROJETO MECÂNICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12
4.2
PROJETO ELÉTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14
4.3
4.2.1
ACIONAMENTO DE MOTOR CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15
4.2.2
ACIONAMENTO DE MOTOR DE PASSOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17
SISTEMA DE CONTROLE MICROCONTROLADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19
5 CARACTERIZAÇÃO DO SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 24
5.1
PÊNDULO INVERTIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24
5.2
MOTOR DE PASSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26
6 TEORIA DE CONTROLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 28
6.1
ANÁLISE DE INSTABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28
6.2
CONTROLE PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29
Sumário
6.3
v
6.2.1
AÇÃO PROPORCIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31
6.2.2
AÇÃO INTEGRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33
6.2.3
AÇÃO DERIVATIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34
SINTONIA DE CONTROLADORES PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35
6.3.1
MÉTODO DE SINTONIA MANUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37
6.3.2
SINTONIA PELO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES . . . . . . . p. 37
7 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 43
8 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 47
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 48
APÊNDICE A -- DEMOSTRACAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 50
A.1 MOMENTO DE INERCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50
APÊNDICE B -- FIRMWARE ATMEGA8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 52
APÊNDICE C -- PROGRAMA GERAL MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 54
APÊNDICE D -- PROGRAMA SINTONIA DO CONTROLADOR PID p. 57
vi
Lista de Figuras
Figura 1 Pêndulo Simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Figura 2 Movimento de (a) pêndulo e (b) dispositivo FPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Figura 3 Deformação padrão de uma estrutura (a) sem isolamento de base e (b) com
isolamento de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Figura 4 Diagrama de representação do modelo do pêndulo invertido. . . . . . . . . . . . .
5
Figura 5 Diagrama de corpo livre do pêndulo invertido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Figura 6 Diagrama de corpo livre do pêndulo simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Figura 7 Ilustração de duas possibilidades de construção de um pêndulo invertido.
(a) tipo “carrinho”ou (b) tipo “trilho”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Figura 8 Montagem Tipo Carrinho em MDF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Figura 9 Protótipo Tipo Trilho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 10 Potenciômetro sensor de posição angular da haste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Figura 11 Ponte H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Figura 12 Circuito da ponte H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Lista de Figuras
vii
Figura 13 Circuito da ponte H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 14 Driver do motor de passo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Figura 15 (a) Motor unipolar de meio passo, (b) Motor Unipolar de passo inteiro. . 19
Figura 16 Diagrama em blocos da CPU do ATmega8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 17 Programador AVR-910-USB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 18 Circuito Pêndulo Invertido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 19 Inversão do pêndulo invertido (pêndulo simples). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 20 Gráfico do movimento do Pêndulo Simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 21 Diagrama de Blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 22 Diagrama de blocos fatorado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 23 Diagrama de polos e zeros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 24 Diagrama de blocos de um sistema de controle em malha fechada. . . . . . . . 30
Figura 25 Diagrama de blocos do controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 26 Ação de controle gerada pelo controlador proporcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 27 Efeito da redução da BP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Lista de Figuras
viii
Figura 28 Efeito da inclusão do controle integral - PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 29 Comparação de um controle P com um controle PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 30 Curva de resposta a uma entrada em degrau unitário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 31 Curvas de resposta ao degrau unitário do sistema genérico de segunda
ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 32 Lugar das raı́zes do sistema controlado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 33 Deslocamento da haste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 34 Posicionamento do carro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 35 Velocidade do carro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 36 Momento de inercia de uma barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
ix
Lista de Tabelas
1
Motor de Passo 17PM-H005-P2VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17
2
Efeito de cada parâmetro sobre o processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37
1
1
INTRODUÇÃO
A maioria dos sistemas encontrados na prática, quer sejam sistemas naturais quer
sejam de natureza técnica, são via de regra instáveis. O estudo e a implementação de
técnicas de controle são utilizadas para otimizar o uso desses sistemas, tornando-os mais
confiáveis, robustos e eficientes.
Para identificar e ter oportunidade de estudar e compensar um sistema instável é
comum utilizar-se em laboratório técnicas de estabilização de um pêndulo invertido. Este
sistema tem considerável interesse prático porque representa a idealização em laboratório
de sistemas mecânicos intrinsecamente instáveis que são encontrados em importantes
aplicações técnicas, como por exemplo, lançamento de foguetes, controle de satélites, e sistemas para proteção de edifı́cios em regiões propensas à terremotos, sendo mais utilizado
como princı́pio básico de equilı́brio de um robô bı́pede.
No presente trabalho é apresentado um problema clássico de instabilidade que é adequadamente resolvido com o uso de técnicas de controle. Abordaremos aqui a construção
de uma planta experimental de um pêndulo invertido em conjunto com a implementação
de um sistema automatizado de controle. Isso envolve a aplicação de diversos assuntos
abordados no curso de engenharia elétrica, permitindo a consolidação dos conhecimentos
adquiridos na área de controle de sistemas, através de um problema de cunho prático.
Em linhas gerais, o sistema pêndulo invertido consiste de uma haste vertical livre
para se movimentar em torno de um ponto em sua extremidade inferior. Este ponto é fixo
em uma plataforma que pode mover-se unidirecionalmente com o auxilio de um pequeno
motor. Uma vez posto na vertical, a haste tende a cair para um lado ou para o outro
caracterizando assim um sistema instável. Então dependendo do sentido de deslocamento
da plataforma é possı́vel exercer uma força que tende a contrabalançar o movimento
de queda da haste. Aqui, a ideia principal é utilizar um controlador para fazer com
que a haste fique em equilı́brio na posição vertical, sendo a posição angular da mesma
monitorada via um potenciômetro.
1 INTRODUÇÃO
2
A proposta de construção de uma planta que represente um pêndulo invertido se deu,
primeiramente, em 2007, quando, sob orientação da professora Dra. Jossana Maria de
Souza Ferreira, iniciou-se o projeto de Iniciação Cientifica (IC). Na época o intuito era
motivar o aluno a adquirir conhecimento juntamente com o desenvolvimento prático de um
projeto de automação envolvendo diversos temas de engenharia, tais como: controladores,
máquinas elétricas, transmissão de sinais e eletrônica. Os principais fundamentos teóricos
necessários para a conclusão desse projeto está disponı́vel em diversos artigos disponı́veis
na internet, além da utilização da literatura básica utilizada durante o curso de engenharia.
Os capı́tulos seguintes abordarão a modelagem fı́scia-matemática do protótipo, as
simulações computacionais para aquisição de dados com finalidade de identificação dos
parâmetros do modelo, simulação do sistema de controle, projeto do protótipo e circuitos
auxiliares, e nos últimos capı́tulos serão expostos os resultados alcançados, conclusões,
referências bibliográficas e apêndices.
3
2
SISTEMAS PENDULARES
O pêndulo simples consiste de um sistema composto por uma massa acoplada a um
pivô, através de um fio inextensı́vel e de massa desprezı́vel que permite sua movimentação
livremente. Como pode ser visto na Figura 1, a massa fica sujeita à força restauradora
causada pela gravidade. O braço executa movimentos alternados em torno da posição
central, chamada posição de equilı́brio. O pêndulo simples é muito utilizado em estudos
de movimento oscilatório e de força peso, além de ser comumente utilizado para medição
da força gravitacional em laboratórios.
Figura 1: Pêndulo Simples.
Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Pendulo.png
A descoberta da periodicidade do movimento pendular foi feita por Galileu Galilei1 .
O movimento de um pêndulo simples envolve uma grandeza chamada perı́odo (T), que é o
intervalo de tempo que o objeto leva para percorrer toda a trajetória. Como consequência
1
Galileu Galilei(1564-1642): foi um fı́sico, matemático, astrônomo e filósofo italiano que teve um papel
preponderante na chamada revolução cientı́fica.
2 SISTEMAS PENDULARES
4
dessa grandeza, existe a frequência (f), numericamente igual ao inverso do perı́odo (f =
1/T ), e que portanto se caracteriza pelo número de ciclos que o objeto percorre a trajetória
pendular num intervalo de tempo especı́fico.
Existem inúmeros pêndulos estudados por fı́sicos, alguns deles são os pêndulos fı́sicos,
de torção, cônicos, de Foucalt, de Karter e invertidos.
Como tema principal do trabalho em questão, o pêndulo invertido, por ser intrinsecamente instável, desperta grande interesse de vários pesquisadores.
Com o desenvolvimento das tecnologias que envolvem a construção civil, também se
desenvolveram técnicas para proteção de edifı́cios em áreas propensas a abalos sı́smicos que
utilizam a técnica de pêndulo invertido, como exemplo pode-se citar o Sistema Pendular
com Atrito (FPS-Friction Pendulum System).
Os aparelhos FPS apresentam um mecanismo de funcionamento semelhante a um
pêndulo. Após sofrerem um deslocamento devido a uma ação sı́smica, a estrutura volta à
sua posição inicial devido ao peso da estrutura e à geometria esférica da superfı́cie de deslizamento dos dispositivos isoladores (ESTEVES, 2010). A Figura 2 ilustra o movimento
de um pêndulo e o movimento de um apoio FPS.
Figura 2: Movimento de (a) pêndulo e (b) dispositivo FPS
Fonte: (ESTEVES, 2010)
A deformação padrão de uma estrutura de base fixa é bastante diferente comparada
com a estrutura com compensação na base. Na Figura 3 pode observar-se as deformações
padrão de uma estrutura sem compensação de base (Figura 3 (a)) e de uma estrutura com
compesação de base (Figura 3 (b)). Verifica-se que a estrutura sem compensação de base
apresenta elevado grau de deformação ao nı́vel dos pisos, ao contrário da estrutura com
compensação de base, que apenas apresenta deslocamentos laterais ao nı́vel dos apoios,
sendo que a superstrutura se comporta como um corpo rı́gido (ESTEVES, 2010).
2 SISTEMAS PENDULARES
5
Figura 3: Deformação padrão de uma estrutura (a) sem isolamento de base e (b) com
isolamento de base
Fonte: (ESTEVES, 2010)
Modelos biomecânicos do modo de caminhar dos seres humanos têm muitas aplicações
em áreas como esportes, fabricação de calçados, robótica e principalmente em próteses
de parte do corpo humano. Pesquisadores desenvolveram estudos relacionados a um
sistema minimizador de energia na caminhada propondo uma modelagem de um sistema
de pêndulo invertido. Para a caminhada durante um ciclo de passada o centro de massa
perde velocidade ao ganhar altura e vice-versa. Em contraste, a corrida é caracterizada
como um sistema massa mola, a energia elástica é adicionada na troca entre as energias
cinética e potencial (BALBINOT, 2009), como pode ser visto na Figura 4.
Figura 4: Diagrama de representação do modelo do pêndulo invertido.
Fonte: (BALBINOT, 2009)
6
3
MODELAGEM MATEMÁTICA
3.1 MODELAGEM FÍSICA PÊNDULO INVERTIDO
No estudo de sistemas de controle o modelamento matemático de um sistema dinâmico
é definido como um conjunto de equações que representam bem a dinâmica do sistema.
A dinâmica do sistema mecânico pêndulo invertido, é descrito em termos de equações
diferenciais, que são obtidas pelas leis fı́sicas que regem o sistema.
A seguir será utilizada uma abordagem matemática com a finalidade de encontrar a
função de transferência do sistema completo do pêndulo invertido, com o objetivo de se
chegar a uma análise transitória ou a resposta em frequência do sistema.
Figura 5: Diagrama de corpo livre do pêndulo invertido.
Fonte: Própria
3.1 MODELAGEM FÍSICA PÊNDULO INVERTIDO
7
Coordenadas do centro de gravidade:
XG = x + l sin(Θ)
(3.1)
ẊG = ẋ + l cos(Θ).Θ̇
(3.2)
ẌG = ẍ + l cos(Θ).Θ̈ − l sin(Θ).Θ̇2
(3.3)
YG = l cos(Θ)
(3.4)
ẎG = −l sin(Θ).Θ̇
(3.5)
ŸG = −l sin(Θ).Θ̈ − l cos(Θ).Θ̇2
(3.6)
O somatório das forças na direção X do centro de gravidade da haste do pêndulo é
dado por:
X
Fx = mX¨G
Fx = mẍ + ml cos(Θ).Θ̈ − ml sin(Θ).Θ̇2
(3.7)
(3.8)
O somatório das forças na direção Y do centro de gravidade da haste do pêndulo é
dado por:
X
Fy = m.Y¨G
Fy = −ml sin(Θ).(Θ̈) − ml cos(Θ).(Θ̇)2 + mg
O somatório dos momentos de inercia é dado por:
(3.9)
(3.10)
3.1 MODELAGEM FÍSICA PÊNDULO INVERTIDO
X
MG = I Θ̈ + BR .Θ̇
I Θ̈ + BR .Θ̇ = Fy l sin(Θ) − Fx l cos(Θ)
8
(3.11)
(3.12)
Substituindo as equações 3.8 e 3.10 na equação 36, e fazendo as devidas simplificações
matemáticas, temos:
I Θ̈ + BR .Θ̇ = −ml2 .(Θ̈) + mgl sin(Θ) − mlẍ cos(Θ)
(3.13)
Assumindo que a haste é uniforme, e que possui momento de inércia1 de ml2 /3 e
também que Θ é muito pequeno, a equação 3.13 assume a forma abaixo.
4 2
ml Θ̈(t) + BR Θ̇(t) − mglΘ(t) = −mlẍ(t)
3
(3.14)
Reescrevendo a equação 3.14 para a forma:
Θ̈(t) +
3BR
3g
−3
Θ̇(t) − Θ(t) =
ẍ
2
4ml
4l
4l
(3.15)
Visando a obtenção de uma representação padrão define-se os parâmetros da equação
3.15, como sendo:
2ζωn =
ωn2 =
3BR
4ml2
(3.16)
3g
4l
(3.17)
Khaste =
3
4l
(3.18)
A equação 3.15, ficará na forma ideal para a aplicação da transformada de Laplace.
Θ̈(t) + 2ζωn Θ̇(t) − ωn2 Θ(t) = −Kp ẍ(t)
1
(3.19)
Descrição e cálculo do momento de inércia para uma haste está demonstrado no APÊNDICE A.
3.2 MODELAGEM DO PÊNDULO SIMPLES
9
Aplicando a transformada de Laplace na equação 3.19, tem-se a função de transferência genérica para um sistema de pêndulo invertido.
Θ(s)
−Kp s2
= 2
X(s)
s + 2ζωn s − ωn2
(3.20)
3.2 MODELAGEM DO PÊNDULO SIMPLES
Para que o sistema modelado seja o mais fiel possı́vel ao modelo real, aqui utiliza-se
uma abordagem fı́sica do sistema pêndulo simples que será utilizado para a estimação dos
parâmetros do pêndulo invertido, uma vez que ambos apresentam caracterı́sticas semelhantes. Como mostrado na Figura 6, onde similarmente a Figura 5, serão equacionadas
as expressões matemáticas que regem seu movimento.
Figura 6: Diagrama de corpo livre do pêndulo simples.
Fonte: Própria
3.2 MODELAGEM DO PÊNDULO SIMPLES
10
YG = Y − l cos(Θ)
(3.21)
ẎG = Ẏ + l sin(Θ).Θ̇
(3.22)
ŸG = l sin(Θ).Θ̈ + l cos(Θ).Θ̇2
(3.23)
XG = X − l sin(Θ)
(3.24)
ẊG = Ẋ − l cos(Θ).Θ̇
(3.25)
ẌG = Ẍ − l cos(Θ).Θ̈ + l sin(Θ).Θ̇2
(3.26)
Definidas as equações para a posição, velocidade e aceleração da haste, pode-se fazer
o somatório das forças nas componentes dos eixos X e Y .
FX = −ml cos(Θ).Θ̈ + ml sin(Θ).Θ̇2
(3.27)
FY = ml sin(Θ).Θ̈ + ml cos(Θ).¨(Θ)2 + mg
(3.28)
Somatório dos momentos de inércia.
X
˙
MG = I Θ̈ + BR (Θ)
˙
−FY l sin(Θ) + FX cos(Θ) = I Θ̈ + BR (Θ)
(3.29)
(3.30)
Substituindo as equações 3.27 e 3.28 na equação 3.29, e fazendo as devidas simplificações matemáticas, temos:
(I + ml2 )Θ̈ + BR Θ̇ + mgl sin(Θ) = 0
(3.31)
3.2 MODELAGEM DO PÊNDULO SIMPLES
11
Como demonstrado no APÊNDICE A uma haste uniforme possui um momento do
inercia igual a (I = ml3 /3), e levando-se em consideração que Θ é suficientemente pequeno
para admitir que sin(Θ) ≈ Θ, a equação 3.31, toma a forma:
Θ̈ +
3BR
3g
=0
Θ̇
+
4ml2
4l
(3.32)
Substituindo os termos:
2ζωn =
ω2 =
3BR
4ml2
3g
4l
Obtém-se:
Θ̈(t) + 2ζωn Θ̇(t) + ωn2 Θ(t)
(3.33)
Através da equação:
ωd = ωn
p
1 − ζ2
(3.34)
Em geral Θ(t) apresenta uma resposta senoidal de frequência (wd /2π) amortecida com
uma envoltória exponencial e−ζωn t . Que tem como expressão geral:
Θ(t) = Ke−ζωn t sin(ωdt + a)
(3.35)
12
4
PROTÓTIPO DO PÊNDULO INVERTIDO
4.1 PROJETO MECÂNICO
O projeto mecânico constitui a implementação fı́sica do modelo do pêndulo invertido.
Em linhas gerais, o pêndulo invertido é constituı́do por uma base móvel sobre a qual
oscila uma haste com apenas um grau de liberdade. Através do deslocamento da referida
base, pretende-se manter a haste equilibrada na posição vertical. Uma analogia simples
é a brincadeira de equilibrar um cabo de vassoura na palma da mão. Para conseguir
equilibrar o cabo é necessário ficar constantemente movendo a mão de forma a manter o
eixo do cabo da vassoura nas proximidades da sua posição vertical, que é um ponto de
equilı́brio instável.
Como exemplos de tal implementação a nı́vel de laboratório, temos as Figuras 7a e 7b
a seguir. Na Figura 7a é mostrada uma implementação do tipo “carrinho”, onde temos
uma plataforma móvel similar a um carro de brinquedo, sobre a qual a haste do pêndulo
é montada. Na Figura 7b é ilustrada a concepção do tipo “trilho”, onde o pêndulo é
instalado sobre o carro móvel montado sobre um trilho guia, muito similar ao carro de
uma impressora jato de tinta.
Figura 7: Ilustração de duas possibilidades de construção de um pêndulo invertido. (a)
tipo “carrinho”ou (b) tipo “trilho”.
Fonte: Própria
4.1 PROJETO MECÂNICO
13
Inicialmente buscou-se uma montagem que fosse de construção simples, fácil com custo
acessı́vel, logo optou-se pela implementação ilustrada na Figura 7a, referente a montagem
sobre o carrinho. Tal montagem foi realizada com a utilização de madeira MDF para a
base do carrinho e para a haste do pêndulo, os eixos foram confeccionados de material
metálico e foram utilizadas rodas de skate para a locomoção, como mostrado na Figura
8.
Figura 8: Montagem Tipo Carrinho em MDF.
Fonte: Própria
Concluı́da a montagem do protótipo foi acoplado ao mesmo um motor de corrente
contı́nua em seu eixo, para a realização de testes preliminares. Como resultado pode-se
notar que a base construı́da ficou com sobre peso e que as rodas de skate não forneciam
a aderência necessária para a movimentação rápida do sistema. Em outras palavras, o
carrinho patinava, o que inviabilizou a continuação desta abordagem.
Como alternativa a implementação do sistema utilizamos a montagem sobre trilho
(Figura 7b). Para tanto utilizou-se a estrutura de uma impressora jato de tinta modelo
EPSON660 como plataforma para a construção da planta, passando a ter significativos
ganhos em precisão e robustez. Para a montagem do sistema utilizou-se o compartimento
dos cartuchos de tinta como “carrinho”, sobre o qual foi acoplado uma haste de MDF.
Para o sistema de movimentos do carrinho foi utilizado o mesmo empregado originalmente
na impressora, que usa um motor de passos para seu posicionamento. A Figura 9 mostra
4.2 PROJETO ELÉTRICO
14
o protótipo do pêndulo invertido em fase final de construção.
Figura 9: Protótipo Tipo Trilho.
Fonte: Própria
4.2 PROJETO ELÉTRICO
Nesta etapa iremos abordar os circuitos de acionamentos, sensoriamento e controle das
abordagens adotadas. Nota-se que os circuitos de sensoriamento e controle são comuns
em ambos.
Após ter sido efetuada a montagem do pêndulo, passou-se a etapa de desenvolvimento
do sistema de acionamento do motor de passos, a análise de quais componentes seriam
necessários para sensoriamento de posição da haste, além do dimensionamento do circuito
de acoplamento do sensor.
Como alternativa a implementação do sensor responsável pela medição do ângulo da
haste, em ambas montagens, utilizou-se um potenciômetro comum, na configuração de
divisor de tensão limitando a tensão máxima de 5V na entrada analógica do ATmega8.
A Figura 10, mostra o local de fixação do potenciômetro no compartimento de cartuchos
de tinta.
4.2 PROJETO ELÉTRICO
15
Figura 10: Potenciômetro sensor de posição angular da haste.
Fonte: Própria
4.2.1 ACIONAMENTO DE MOTOR CC
Diante do que foi exposto sobre a montagem do tipo carrinho, o circuito projetado
para este dispositivo foi utilizado para acionamento do sistema locomotor do pêndulo, ou
seja, foi apenas projetado um circuito de acionamento de um motor de corrente contı́nua
através da utilização de uma ponte H.
Este circuito tem o papel de controlar um motor DC a partir de sinais gerados por um
microcontrolador ou sinais de baixa potência. Devido à disposição dos seus componentes, torna-se extremamente fácil selecionar o sentido da rotação de um motor. Tal ação
pode ser feita utilizando-se quatro transistores devidamente arranjados formando a letra
“H”como ilustrado na Figura 11.
4.2 PROJETO ELÉTRICO
16
Figura 11: Ponte H.
Fonte: Própria
Para o acionamento do motor, basta acionar o par de chaves Q1 e Q2 , como exemplo
Figura 11a, que faz com que a corrente flua da esquerda para a direita, fazendo com que
o motor gire. Para inversão do sentido de rotação do motor desliga-se as chaves Q1 e Q2 ,
e aciona-se o outro par de chaves Q3 e Q4 , como mostrado na Figura 11b.
Para a implementação da ponte H, utilizou-se o circuito da Figura 12, que emprega
quatro transistores do tipo NPN (referência: TIP31), e quatro resistores de 1kΩ.
Figura 12: Circuito da ponte H.
Fonte: (BERTINI, 2007)
A Figura 13, mostra a montagem do circuito de acionamento do motor de corrente
contı́nua, ou seja, a implementação do circuito da Figura 12, bem como o motor acoplado
a transmissão no eixo do carrinho.
4.2 PROJETO ELÉTRICO
17
Figura 13: Circuito da ponte H.
Fonte: Propria
4.2.2 ACIONAMENTO DE MOTOR DE PASSOS
No presente momento será abordado o circuito relacionado com o acionamento do
motor utilizado no protótipo final do pêndulo invertido.
Aproveitando a estrutura de deslocamento do compartimento dos cartuchos de tinta
da impressora, o motor de passo bipolar original foi substituı́do por um outro motor
de passo unipolar, de caracterı́sticas informadas na Tabela 1. Essa substituição fez-se
necessário, devido a falta de informações e complexidade do circuito de acionamento do
motor original.
Tabela 1: Motor de Passo 17PM-H005-P2VA
Tensão Corrente Ângulo de passo
12V
500mA
1.8º
Fonte: Própia
O motor de passo unipolar é um dispositivo empregado na conversão de pulsos elétricos
em movimentos rotativos. Nestes, cada fase consiste de um enrolamento com derivação
central ou mesmo de dois enrolamentos separados, de forma que o campo magnético possa
ser invertido sem a necessidade de se inverter o sentido da corrente. São empregados cada
vez mais em áreas como informática e robótica pois possuem uma alta precisão em seu
movimento, além de serem rápidos, confiáveis e fáceis de controlar.
O motor de passo utilizado possue 2 bobinas com 6 fios. Cada bobina consiste de
um enrolamento com derivação central chamado de “center-tape”. O center-tape, tem
4.2 PROJETO ELÉTRICO
18
como função alimentar o motor, enquanto que os terminais quando aterrados, efetuam o
controle do movimento. Ao submeter uma das bobinas a uma tensão, o campo magnético
induzido no estador, provoca um movimento de rotação no rotor de motor até atingir um
determinado ponto de equilı́brio. Este movimento é possı́vel pois as bobinas do motor
são isoladas umas das outras. Então, ao aplicar-se uma tensão nas bobinas, o campo
magnético é invertido sem a necessidade de se inverter o sentido da corrente para efetuar
a rotação no eixo do motor.(QUEIROZ, 2002)
Para tal acionamento do motor de passo é necessário saber qual a sequência correta
que deve-se aterrar os terminais para fazer o motor girar continuamente, ou seja, saber
qual a ordem correta dos fios que a corrente fluirá para produzir um campo magnético
que atrairá o rotor do motor para que ele gire em sequência.
O driver de acionamento do motor de passo foi realizado utilizando o circuito integrado
ULN2003, que é uma matriz de transistores Darlington que podem controlar correntes de
até 500mA. O esquema do circuito em questão pode ser visualizado na Figura 14.
Figura 14: Driver do motor de passo.
Fonte: www.eleccircuit.com
Nota-se que os pinos D0 ao D3 da Figura 14, são responsáveis pela transmissão dos
sinais de acionamento do motor de passo, como descrito acima, estes precisão ser acionados
na sequencia correta para girar o motor. Sendo assim para gerar tais sinais de forma
correta com frequências de até 1kHz utilizamos um circuito microcontrolado.
O acionamento do motor de passo pode ser caracterizado pelo número de passos
possı́veis entre o rotor e as bobinas. A energização de somente uma bobina de cada vez
produz um pequeno deslocamento no rotor. Este deslocamento ocorre simplesmente pelo
fato de o rotor ser magneticamente ativo e a energização das bobinas criar um campo
magnético intenso que atua no sentido de se alinhar com os dentes do rotor. Assim,
4.3 SISTEMA DE CONTROLE MICROCONTROLADO
19
polarizando de forma adequada as bobinas, podemos movimentar o rotor entre as bobinas
(meio passo ou “half-step”Figura 15a) ou alinhadas com as mesmas (passo completo ou
“full-step”15b).
Figura 15: (a) Motor unipolar de meio passo, (b) Motor Unipolar de passo inteiro.
Fonte: (BRITES; SANTOS, 2008)
4.3 SISTEMA DE CONTROLE MICROCONTROLADO
Os avanços tecnológicos demandam cada vez mais dispositivos eletrônicos, assim a
cada dia estão sendo criados novos componentes mais poderosos e versáteis. É nesta
categoria que os microcontroladores têm alcançado grade desenvolvimento, devido a sua
facilidade de uso em ampla faixa de aplicações, o que torna relativamente rápido e fácil o
projeto de novos equipamentos.
Atualmente os microcontroladores estão presentes em inúmeros produtos, para se ter
uma ideia todos os automóveis modernos, aparelhos de controle remoto, câmeras digitais,
telefones celulares, filmadoras, refrigeradores, lava-louças, lavadoras de roupas, contêm ao
menos um microcontrolador. Basicamente, qualquer produto ou dispositivo que interaja
com o usuário possui um microcontrolador interno.
Em termos gerais um microcontrolador é um “computador de um só chip”, pois incorpora várias caracterı́sticas em comum com um computador em uma única pastilha de
silı́cio, dentre estas caracterı́sticas pode-se citar:
4.3 SISTEMA DE CONTROLE MICROCONTROLADO
20
ˆ CPU (unidade de processamento central) que executa programas;
ˆ Memória RAM (memória de acesso aleatório) onde ele pode armazenar variáveis;
ˆ Alguns dispositivos de entrada e saı́da para interagir com o meio externo.
A principal caracterı́stica dos microcontroladores é a capacidade de armazenar e executar um programa que determina como o chip deverá funcionar, ou seja, pode-se alterar
as funcionalidades de um circuito sem ter a necessidade de se alterar o hardware do
sistema, modificando apenas o firmware1 gravado no microcontrolador.
De acordo com as caracterı́sticas informadas abaixo, o microcontrolador escolhido
para a realização do projeto foi o compacto ATmega8 de 28 pinos (PDIP) da Atmel.
Caracterı́sticas do ATmega8:
ˆ baixa potência e alto desempenho, com arquitetura RISC avançada;
ˆ 130 instruções, a maior parte executada em um único ciclo de relógio;
ˆ Operação de até 16 MIPS2 a 16MHz;
ˆ 8 kbytes de memória de programa Flash;
ˆ 512 bytes de memória EEPROM;
ˆ 1 kbyte de memória SRAM;
ˆ Bits de bloqueio para proteção do software;
ˆ 23 entradas e saı́das (I/Os) programáveis;
ˆ 2 Temporizadores/Contadores de 8 bits com Prescaler;
ˆ Contador de tempo real (com cristal externo de 32.768Hz);
ˆ 3 canais PWM;
ˆ 6 canais A/D com precisão de 10bits;
ˆ Interface para dois fios orientada a byte, compatı́vel com o protocolo I2C;
1
Firmware é o conjunto de instruções operacionais programadas diretamente no hardware de um
equipamento eletrônico
2
MIPS - Milhões de instruções por segundo
4.3 SISTEMA DE CONTROLE MICROCONTROLADO
21
ˆ Interface serial USART;
ˆ Watchdog Timer com oscilador interno separado;
ˆ 1 comparador analógico.
Segundo o datasheet do ATmega8, a principal função da Unidade de Processamento
Central (CPU) é garantir a correta execução do programa, sendo capaz de acessar as
memórias, executar cálculos, controlar os periféricos e tratar interrupções. Um diagrama
em blocos mais detalhado da CPU do AVR pode ser visto na Figura 16. Nota-se que tal
configuração advem da arquitetura Harvard 3 , pois percebe-se a existência do barramento
de dados para programa e para dados.
Figura 16: Diagrama em blocos da CPU do ATmega8.
Fonte: ATMEL
Para possibilitar o desenvolvimento do protótipo, foi necessária a montagem inicial
de alguns dispositivos para compor a infra-estrutura básica. O primeiro passo consistiu a
construção de um gravador baseado na arquitetura do AVR910 (Atmel, 2002), seguindo as
modificações de firmware propostas por Leidinger (2007) e incorporando uma comunicação
3
É uma arquitetura de computador que se distingue das outras por possuir duas memórias diferentes
e independentes em termos de barramento e ligação ao processador. É utilizada nos microcontroladores,
tem como pricipal caracterı́stica acessar a memória de dados separadamente da memória de programa.
4.3 SISTEMA DE CONTROLE MICROCONTROLADO
22
USB baseada no chip FT232R fabricado pela FTDI e implementado pela TATO em um
kit de montagem compacta e de fácil acesso, tal etapa foi realizada no ano de 2009, em um
projeto de iniciação cientı́fica denominado “Desenvolvimento de Sistemas Dedicados ao
Controle e Aquisição de Dados”(PRADO, I.F., KASCHNY, J. R. A.,2009). O diagrama
esquemático deste gravador é mostrado na Figura 17 juntamente com uma foto de sua
montagem.
Figura 17: Programador AVR-910-USB.
Fonte: PRADO, I.F., KASCHNY, J. R. A., 2009
As vantagens de tal programador são muitas, entre elas destacamos a rapidez do processo de gravação/leitura e o fato de dispensar alimentação externa. Adicionalmente cabe
mencionar que, para o desenvolvimento dos programas que serão gravados nos microcontroladores (firmware), empregamos a plataforma, BASCOM AVR (versão 1.11.8.3), que
possibilita tais implementações usando uma variante da linguagem Basic.
Dando continuidade no estudo de circuitos microcontrolados, utilizou-se parte do
circuito de aquisição de dados exposto no trabalho de Prado em 2009, com as devidas
modificações para a adequação ao sistema proposto.
O circuito projetado na Figura 18 é responsável pela comunicação, controle e envio
dos sinais para o acionamento do motor de passos.
Como proposto, pode-se realizar a comunicação com o computados através de duas
4.3 SISTEMA DE CONTROLE MICROCONTROLADO
23
formas, serial e USB. No presente momento optamos por utilizar a comunicação USB,
pois fornece maior versatilidade e atualmente está disponı́vel em todos os computadores.
No circuito projetado pode-se escolher o tipo de comunicação apenas modificando os
“JUMPERS RS232/USB”.
A comunicação do circuito com o computador é gerenciada pelo ATmega8, através do
firmware dedicado para tal ação (APENDICE B).
O circuito responsável pelo controle é implementado basicamente pelo microcontrolador e componentes necessários para seu funcionamento. Nesta etapa foi realizado um
firmware dedicado ao controle do processo, em que utiliza-se como entrada o sinal do
sensor de posição, através da entrada analógica. O microcontrolador é responsável por
calcular por meio do algoritmo do controlador PID, uma ação corretiva enviada para o
motor de passos (pinos D0 ao D4).
Figura 18: Circuito Pêndulo Invertido.
Fonte: Própria
24
5
CARACTERIZAÇÃO DO SISTEMA
5.1 PÊNDULO INVERTIDO
Segundo RIBEIRO (2007), um ensaio pode ser realizado para estimar os parâmetros do
modelo necessários ao controle do sistema. Com tal objetivo o conjunto do compartimento
de cartucho foi removido da impressora posicionando assim o pêndulo invertido de cabeça
para baixo sobre a borda de um suporte, de forma que o mesmo se movimente como
um pêndulo simples. Os ensaios foram realizados posicionando-se a haste na posição de
180º (ver Figura 19), soltando-a fora da posição de equilı́brio, para que pudesse realizar
o movimento oscilatório caracterı́stico de um pêndulo simples.
Figura 19: Inversão do pêndulo invertido (pêndulo simples).
Fonte: Própria
5.1 PÊNDULO INVERTIDO
25
O sinal gerado pelo potenciômetro, utilizado como elemento sensor de posição angular, foi adquirido com o auxı́lio do circuito microcontrolado, sendo os resultados obtidos
traçados na Figura 20. Para tal foi necessário a implementação de um programa especı́fico
para a aquisição e transmissão dos dados para o computador, o firmware em questão está
detalhado no APÊNDICE B.
Os dados referentes ao posicionamento da haste são enviados para um computador, e
são armazenados em um arquivo de extensão .txt, utilizando a interface de um terminal
de acesso (HyperTerminal).
De posse destes dados pode-se facilmente traçar o gráfico abaixo, referente ao movimento real da haste do pêndulo.
Figura 20: Gráfico do movimento do Pêndulo Simples.
Fonte: Própria
5.2 MOTOR DE PASSO
26
De posse dos dados obtidos no ensaio pode-se calcular os parâmetros do modelo real,
para tanto foi desenvolvido um programa em ambiente MATLAB, o qual registra os picos
máximos do sinal resultante do ensaio para processamento das informações obtidas, e
identifica os parâmetros:
ˆ ωn : Frequência natural não amortecida;
ˆ ζ: Coeficiente de amortecimento;
ˆ ωd : Frequência natural amortecida;
ˆ BR : Constante de amortecimento viscoso do eixo da haste do pêndulo.
Inicialmente o programa traça o gráfico representado na Figura 20, em seguida identifica os pontos máximos de cada oscilação, armazenando estes pontos para obter o melhor
ı́ndice da função exponencial da equação geral da resposta senoidal do pêndulo simples
(ver Equação 3.35), para tanto utiliza-se métodos numéricos através da interpolação desses
pontos, tendo como base a função exponencial.
O programa retorna uma resposta ótima do coeficiente exponencial da Equação 3.35,
que corresponde à:
e−ξωn t = e−0,296
(5.1)
Logo abaixo, tem-se todos os parâmetros necessários para a substituição na Equação
3.20.
ωn = 6.98[rad/s]
ξ = 0, 0424
Então a função de transferência do pêndulo invertido projetado, fica da seguinte forma:
θ(s)
−5s2
= 2
X(s)
s + 0.592s − 48, 72
(5.2)
5.2 MOTOR DE PASSO
Para alterar a velocidade do motor de passo é necessário alterar a velocidade de
chaveamento das bobinas do mesmo, quanto maior a velocidade de chaveamento mais
5.2 MOTOR DE PASSO
27
rápido será a velocidade do motor.
Como explicado no Capitulo 3, o motor de passo apresenta alta taxa de precisão, para
verificar essa caracterı́stica foi realizado um ensaio em que foi selecionada a frequência
de chaveamento e o tempo de funcionamento do motor, ao final com auxı́lio de uma fita
métrica, verificou-se o deslocamento, conferindo com o resultado teórico.
De acordo com o Datasheet do motor de passo, cada passo equivale a 1.8º, logo para
se ter uma volta completa são necessários 200 passos. Uma volta completa equivale a
circunferência da engrenagem do motor que tem o valor de 4.2 cm.
Logo a expressão para o deslocamento do motor de passo tem a forma da equação
abaixo.
X = (0.21)(f requencia)(tempo)
(5.3)
Com todos os parâmetros fı́sicos mapeados matematicamente, pode-se traçar um diagrama de blocos do sistema pêndulo invertido e motor, que pode ser ilustrado na Figura
21.
Figura 21: Diagrama de Blocos.
Fonte: Própria
Logo em termos matemáticos a função de transferência de malha aberta do sistema
completo será dada pela Equação 5.4.
G(s) =
Θ(s)
0.00021
−5s2
=
. 2
F (s)
s
s + 0.592s − 48.7204
(5.4)
Tal representação em blocos é comumente utilizada em estudos de controle pois segundo OGATA (2003), esses diagramas descrevem o inter-relacionamento que existe entre
os vários componentes, e o fluxo de sinais entre eles.
28
6
TEORIA DE CONTROLE
6.1 ANÁLISE DE INSTABILIDADE
De posse dos valores numéricos do parâmetros, adquiridos no capitulo anterior, é
possı́vel analisar o comportamento dinâmico do sistema. Reconfigurando o diagrama de
blocos ilustrado na Figura 21, tem-se, a função de transferência fatorada para melhor
visualização, tal como representada na Figura 22.
Figura 22: Diagrama de blocos fatorado.
Fonte: Própria
Ao analisar o diagrama acima nota-se claramente a existência de um polo no semiplano direito do eixo imaginário, com valor igual a 6.689. Pode-se chegar a esta conclusão
também analisando o diagrama de polos e zeros do sistema, ilustrado na Figura 23. Portanto segundo OGATA (2003) esse sistema tem a caracterı́stica de instabilidade.
6.2 CONTROLE PID
29
Figura 23: Diagrama de polos e zeros.
Fonte: Própria
Consequentemente, visando a estabilização e o controle do sistema, propõe-se o emprego de controladores do tipo PID (Proporcional-Integral-Derivativo).
6.2 CONTROLE PID
Controladores do tipo PID são largamente utilizados na indústria e muito utilizados
nas disciplinas de controle na área acadêmica. Tal utilização deve-se ao fato deste controlador ser de fácil implementação, de baixo custo e versátil com capacidade de alterar
os comportamentos transitório e de regime permanente dos processos sob controle.
Atualmente, a maioria dos processos automatizados que utilizam Controladores Lógicos Programáveis (CLP’s), possuem em suas malhas de
controle algoritmos PID, cabendo aos engenheiros e técnicos responsáveis
pelo processo a tarefa de sintonia dos parâmetros dos controladores.
(ASTRÖN; HÄGGLUND, IEEE Press, 1996)
Analisando um sistema genérico pode-se observar no diagrama de blocos da Figura
24, uma representação em malha fechada.
Em geral o controlador apresentado na Figura 24, tem a finalidade de gerar um sinal
de controle u(t) que seja capaz de corrigir e se possı́vel anular o erro e(t) gerado entre o
6.2 CONTROLE PID
30
Figura 24: Diagrama de blocos de um sistema de controle em malha fechada.
Fonte: Própria
sinal de referência r(t) e o sinal de saı́da y(t).
No caso particular do controlador PID, a lei de controle descrita pelo bloco do controlador é composta de três termos, representados na Equação 6.1.
u(t) = up (t) + ui (t) + ud (t)
(6.1)
Cada um dos termos da equação 6.1 representam individualmente cada um dos tipos
de ações do controlador. Em nı́vel de blocos, o controlador PID apresentado na Figura
24, pode ser representado conforme a Figura 25.
Figura 25: Diagrama de blocos do controlador PID.
Fonte: (PEREIRA, 2003)
O bloco superior, constituı́do de uma constante K, representa a ação proporcional do
controlador, de forma análoga os blocos constituı́dos das constantes Ki e Kd , representam
respectivamente as ações integral e diferencial do controlador. O sinal de saı́da destes
6.2 CONTROLE PID
31
blocos são dados pelas Equações 6.2, 6.3 e 6.4 mostradas abaixo.
up (t) = Kp e(t)
Z
t
e(t)dt
ui (t) = Ki
(6.2)
(6.3)
0
ud (t) = Kd
de(t)
dt
(6.4)
Onde Kp , Ki eKd são os ganhos das parcelas P, I e D, e definem a intensidade de cada
ação.
O efeito de cada uma destas ações e suas implicações no comportamento dinâmico
serão apresentados a seguir.
6.2.1 AÇÃO PROPORCIONAL
A ação de controle gerada pelo modo proporcional é diretamente proporcional a sua
entrada, ou seja, ao sinal de erro em função do tempo, como mostrado na Equação 6.2.
A Figura 26 mostra a relação entre o sinal de erro e a ação de controle gerada pelo
modo de controle proporcional. Excluı́da a faixa de saturação da variável manipulada
(sinal de erro fora da banda proporcional), cada valor de erro tem um único valor correspondente de ação de controle e vice-versa.
Figura 26: Ação de controle gerada pelo controlador proporcional.
Fonte: (FACCIN, 2004)
Como o ganho do controlador é dado pela inclinação da reta sobre a banda proporci-
6.2 CONTROLE PID
32
onal percentual (BP), a relação entre ambos é dada pela Equação 6.5. Esta representação
é genérica para o caso onde a saı́da do controlador varia entre 0 e 100%. (FACCIN, 2004)
BP =
100
Kp
(6.5)
Neste caso, o controlador age apenas com um amplificador com um ganho constante,
logo, quanto maior o erro maior será a ação de controle gerada. Assim, ele provê um
rápido ajuste da variável manipulada, tornando mais rápida a dinâmica do processo.
A desvantagem deste tipo de controle é que ele apresenta um erro em regime permanente, esse erro diminui com o aumento do ganho proporcional Kp , com base na Equação
6.5, porém isto diminui a faixa correspondente à banda proporcional, tornando o controlador mais oscilatório (sujeito a oscilações).
Como pode ser observado na Figura 27, e segundo a Equação 6.5, quanto maior o valor
de Kp menor a faixa da banda proporcional (BP), e mais oscilatório o sistema ficará. Na
Figura 27A, com um ganho menor existe uma ampla faixa da banda proporcional, sendo
assim o este sistema é mais lento para atingir a estabilidade abaixo do set point desejado.
Com o aumento de Kp a banda proporcional tende a diminuir fazendo com que o sistema
alcance o set point mais rápido, porém o sistema tende a ficar mais oscilatório como pode
ser observado na Figura 27C.
Figura 27: Efeito da redução da BP.
Fonte: (NOVUS, 2003)
6.2 CONTROLE PID
33
6.2.2 AÇÃO INTEGRAL
A ação de controle gerada pelo modo integral é proporcional à integral do erro no
tempo, como mostrado na Equação 6.3. O grande benefı́cio da sua utilização é a eliminação do erro em regime permanente, contudo, ela reduz a estabilidade da malha de
controle (MOORE, 1999).
Esta equação mostra que a ação de controle depende do histórico do erro, desde
que o processo de integração foi iniciado (t = 0) até o instante atual. A ação integral
também pode ser vista como um mecanismo que atualiza automaticamente o valor base
do controlador com ação proporcional.
A ação integral não é, isoladamente, uma técnica de controle, pois não pode ser
empregado em separado a uma ação proporcional, pois tal ação visa eliminar o desvio
caracterı́stico de um controle puramente proporcional.
Na Figura 28A pode-se observar um exemplo de uma resposta de um sistema controlado apenas com a ação proporcional, nota-se que em regime permanente o valor do
set point não foi atingido, ou seja existe um erro. Utilizando o mesmo sistema agora
com as ações proporcional e integral juntas (controlador PI), nota-se uma redução do erro
estacionário, representado na Figura 28B.
Figura 28: Efeito da inclusão do controle integral - PI.
Fonte: (NOVUS, 2003)
A ação integral funciona da seguinte maneira: em intervalos regulares a ação integral
corrige o valor da variável manipulada somando a esta o desvio do erro (set point - valor
atual). O valor da intensidade da ação integral depende do valor do tempo de integração
(ti ). O valor de ti é uma constante e seu valor é ajustado pelo processo de sintonia do
controlador.
6.2 CONTROLE PID
34
6.2.3 AÇÃO DERIVATIVA
A ação de controle gerada pelo modo derivativo é proporcional à taxa de variação
do sinal de erro, ou seja, a sua derivada no tempo, segundo a Equação 6.4, que estima a tendência de aumento ou diminuição do erro futuro. Logo, pela caracterı́stica
de antecipação, aumenta-se a velocidade de correção do processo, quando são detectadas
variações no sinal de erro. Por causa disso, a ação derivativa é bastante sensı́vel a erros
de alta frequência, como ruı́dos de processo e mudanças no valor de referência da variável
manipulada.
Durante pertubações ou na partida do processo, quando o erro está variando, o termo
derivativo sempre atua no sentido de atenuar as variações, sendo portanto sua principal
função melhorar o desempenho do processo durante os transitórios (NISE, 2002).
Nota-se que o modo derivativo somente age quando há variação do erro no tempo,
ou seja, se o erro for constante, mesmo que grande, não há ação corretiva. Por isso, este
modo não é utilizado sozinho, mas associado com outros modos de controle.
Assim como a ação integral, o derivativo só pode ser empregado junto a uma ação
proporcional.
Como um exemplo genérico, a Figura 29A compara respostas hipotéticas de um processo com controle puramente proporcional, e a Figura 29B, mostra o resultado do mesmo
processo com um controlador proporcional-derivativo.
Figura 29: Comparação de um controle P com um controle PD.
Fonte: (NOVUS, 2003)
Matematicamente, a contribuição do derivativo no controle é calculada da seguinte
maneira: A intervalos regulares, o controlador calcula a variação do desvio do processo,
somando à variável manipulada o valor desta variação. A intensidade da ação derivativa
é ajustada vaiando-se o intervalo de cálculo da diferença, sendo este parâmetro chamado
6.3 SINTONIA DE CONTROLADORES PID
35
tempo derivativo (td ).
6.3 SINTONIA DE CONTROLADORES PID
Neste trabalho será implementada uma malha de controle real para o sistema pêndulo
invertido utilizando um controlador PID. Tal controlador une as três técnicas explicadas
nas seções anteriores que são:
1. A ação básica proporcional (P): rápida correção do erro.
2. A ação básica integral (I): eliminação do erro estacionário
3. A ação básica Diferencial (D): redução das oscilações.
A união destes três modos básicos de controle contı́nuo produz um dos
mais eficientes algoritmos de controle já desenvolvidos, o controlador
PID, pois ele concilia simplicidade e atendimento às necessidades de
controle para a grande maioria dos casos industriais. (FACCIN, 2004)
Mas, ao passo de se conseguir os benefı́cios da coordenação das ações de controle,
torna-se relativamente difı́cil ajustar a intensidade de cada um dos termos. Um bom
método de ajuste de parâmetros leva em conta várias dessas especificações de forma equilibrada. Apesar da existência de vários métodos de ajuste, em muitos casos, o ajuste
manual ainda é utilizado, onde os parâmetros são ajustados independentemente por tentativa e erro.
Devido à existência de várias parametrizações de controladores e do grande número
de métodos de ajuste de parâmetros, é muito importante definir ı́ndices que quantifiquem
a qualidade do comportamento dinâmico desempenhado pelo sistema de controle. É
desejável que o projeto do controlador seja tal que, quando em operação, ele leve o sistema
a apresentar respostas com valores desejados para estes ı́ndices de qualidade.
A seguir são detalhados alguns ı́ndices de qualidade clássicos, muito dos quais serão
utilizados no projeto dos parâmetros.
Os principais critérios de desempenho de um sistema de controle são mostrados a
seguir, todos com base na resposta de um sistema subamortecido tı́pico para uma entrada
do tipo degrau unitário, representado na Figura 30, onde pode-se visualizar alguns dos
critérios.
6.3 SINTONIA DE CONTROLADORES PID
36
Figura 30: Curva de resposta a uma entrada em degrau unitário.
Fonte: (OGATA, 2003)
Critérios de desempenho:
ˆ Erro em regime permanente (e∞ ): também chamado de offset, é a diferença
entre o valor em estado estacionário da variável controlada e o seu valor de referência.
É altamente desejável valor nulo, que é conseguido através do uso da ação integral
(MARLIN, 1995).
ˆ Integral do erro absoluto (IAE): integral do valor absoluto do sinal de erro
no tempo. É equivalente à soma das áreas acima e abaixo do valor de referência
(MARLIN, 1995).
ˆ Perı́odo de acomodação (ts ): tempo necessário para se ter a resposta no interior
de uma faixa percentual arbitrária do valor estacionário, no caso 5% ou 2%.
ˆ Tempo de subida (tr ): tempo requerido para que a resposta passe de 0% a 100%
do valor final (OGATA, 2003).
ˆ Tempo de pico (tp ): tempo para que a resposta atinja o primeiro pico de sobre-
sinal.
ˆ Tempo de atraso (ta ): tempo requerido para que a resposta alcance 50% de seu
valor final pela primeira vez (OGATA, 2003).
6.3 SINTONIA DE CONTROLADORES PID
37
ˆ Máximo de sobre-sinal (Mp ): valor máximo de pico da curva de resposta, medido
a partir da unidade (OGATA, 2003).
A seguir serão abordados duas metodologias de sintonia de controladores PID, uma
de forma manual e a outro com base na teoria do lugar das raı́zes.
6.3.1 MÉTODO DE SINTONIA MANUAL
Normalmente o ajuste fino é manual, e feito pelo método de tentativa e erro, aplicando
uma alteração em um dos parâmetros do PID e verificando o desempenho do sistema,
até que o desempenho desejado seja obtido. Para tal é desejável que o operador tenha
conhecimento do efeito de cada um dos parâmetros, sobre o desempenho do controle, além
de experiência em diferentes processos.
A tabela a seguir resume o efeito de cada um dos parâmetros sobre o desempenho do
processo.
Tabela 2: Efeito de cada parâmetro sobre o processo
Parâmetro
Kp
ti
td
Ao aumentar, o processo...
Torna-se mais lento.
Geralmente se torna mais estável.
Tem menos overshoot.
Torna-se mais rápido.
Fica mais instável
Tem mais overshoot
Torna-se mais lento.
Tem menos overshoot.
Ao diminuir, o processo...
Torna-se mais rápido
Fica mais instável
Tem mais overshoot
Torna-se mais lento.
Fica mais estável
Tem menos overshoot
Torna-se mais rápido.
Tem mais overshoot
Fonte: (NOVUS, 2003)
6.3.2 SINTONIA PELO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES
Partindo da função de transferência do controlador PID, dada na Equação 6.6.
G(s) = Kp (1 +
1
+ td s)
ti s
Onde:
Kp
ti
Kd = Kp .td
Ki =
(6.6)
6.3 SINTONIA DE CONTROLADORES PID
38
Aqui optou-se por utilizar uma técnica de sintonia dos parâmetros do controlador
PID, que relevasse principalmente a resposta a um entrada brusca de um sinal (degrau
unitário). Utilizando os parâmetros de desempenho como o tempo de acomodação (ts ),
tempo de pico (tp ) e o coeficiente de amortecimento (ζ), para se calcular os ganhos do
controlador.
Logo, analisando um sistema genérico de segunda ordem, com função de transferência
de malha fechada representada pela Equação 6.7.
C(s)
ωn2
= 2
R(s)
s + 2ζωn s + ωn2
(6.7)
A Equação 6.7 pode ser reescrita da forma:
ωn2
C(s)
=
R(s)
(s + ζωn + jωd )(s + ζωn − jωd )
(6.8)
Onde ωd é a frequência natural amortecida do sistema, e tem a forma da seguinte
equação:
ωd = ωn
p
1 − ζ2
(6.9)
Dando continuidade, considera-se uma entrada degrau unitário, representado na Equação
6.10.
C(s) =
1
ωn2
2
2
s + 2ζωn s + ωn s
(6.10)
Agora utilizando-se do método matemático de decomposição em frações parciais, e
posteriormente a efetuação da transformada inversa de Laplace, a Equação 6.10, toma a
seguinte forma:
e−ζωn t
c(t) = 1 − p
sin(ωd t + tan−1
2
1−ζ
p
1 − ζ2
)
ζ
(6.11)
A partir da Equação 6.11, pode-se ver que a frequência da oscilação transitória é a
frequência natural amortecida do sistema (ωn ), e assim, varia de acordo com o coeficiente
de amortecimento (ζ).
O valor do erro para esse sistema é a diferença entre a entrada e a saı́da, como
6.3 SINTONIA DE CONTROLADORES PID
39
mostrado abaixo.
e(t) = r(t) − c(t)
(6.12)
Logo, se r(t) representa o degrau unitário:
e−ζωn t
sin(ωd t + tan−1
e(t) = p
2
1−ζ
p
1 − ζ2
)
ζ
(6.13)
A Figura 31, mostra uma famı́lia de curvas c(t) como resposta ao degrau unitário para
diversos valores de ζ.
Figura 31: Curvas de resposta ao degrau unitário do sistema genérico de segunda ordem.
Fonte: (OGATA, 2003)
A partir da Figura 31, nota-se que um sistema subamortecido com ζ que varia entre
0.5 e 0.8 se aproxima mais rapidamente do valor final do que um sistema criticamente
amortecido ou superamortecido. Logo propomos o projeto do controlador de forma a
resultar em um sistema subamortecido.
Para o sistema da Equação 6.7 com raı́zes expressas por (6.14), existe uma relação
entre o máximo pico e o fator de amortecimento (ζ), dado pela Equação 6.15 ou pela
Equação 6.16, e junto com a frequência natural de oscilação (ωn ) há uma relação também
6.3 SINTONIA DE CONTROLADORES PID
40
com o tempo de acomodação dado pela Equação 6.17 (RIBEIRO, 2007).
s1,2 = −ζωn ± jωn
Mp = e
s
ζ=
p
1 − ζ2
− √ πζ
1−ζ 2
ln2 (Mp )
π 2 + ln2 (Mp )
ts =
4
ζωn
(6.14)
(6.15)
(6.16)
(6.17)
Como dito anteriormente, busca-se o projeto de um sistema subamortecido, portanto
define-se alguns parâmetros como sendo:
Mp = 0.08
ts = 0.2
Substituindo esses valores nas Equações 6.16 e 6.17, tem-se:
ζ = 0.6266
(6.18)
ωn = 31.92[rad/s]
(6.19)
Substituindo os valores das expressões 6.18 e 6.19, na Equação das raı́zes 6.14, tem-se:
s1,2 = −20 ± j24.887
(6.20)
Agora utilizando o método com base no lugar das raı́zes definido por PHILLIPS
e HARBOR (1991), as equações 6.21, 6.22 e 6.23, são usadas para calcular os ganhos
tı́picos de um controlador PID quando conhecida ou estimada a função de transferência
do processo a ser controlado.
6.3 SINTONIA DE CONTROLADORES PID
Kx lim sn G(s)H(s) =
s→0
Kp =
41
1
ess
(6.21)
− sin(∠s1 + ∠G(s1 )H(s1 )) 2Ki cos(s1 )
−
|G(s1 )H(s1 )|sin(∠s1 ))
|s1 |
(6.22)
Ki
sin(∠G(s1 )H(s1 ))
+
|s1 ||G(s1 )H(s1 )| sin(∠s1 ) |s1 |2
(6.23)
Kd =
O objetivo fundamental deste método é inserir um polo dominante (s = s1 ) na função
de transferência de malha fechada. Esta raiz da equação caracterı́stica corresponde a
determinadas especificações de performance, explicadas anteriormente.
Para que se possa efetuar o cálculo, um dos três parâmetros do controlador precisa ser
estimado ou adotado (PHILLIPS; HARBOR, 1991). Após alguns experimentos práticos
e utilização de algumas regras de sintonia manual foi selecionado o valor para o ganho
integral:
Ki = 1000
(6.24)
De posse deste valor e do valor da raiz s1 , pode-se facilmente substituir nas Equações
6.22 e 6.23 para encontrar os valores:
Kp = 2424.7
(6.25)
Kd = 898.9039
(6.26)
Com o auxı́lio do programa MATLAB, foi realizada uma rotina para os cálculos dos
parâmetros Kp e Ki e para o fornecimento do novo diagrama do lugar das raı́zes (Figura
32), sendo apresentada no APÊNDICE D.
6.3 SINTONIA DE CONTROLADORES PID
Figura 32: Lugar das raı́zes do sistema controlado.
Fonte: Própria
42
43
7
RESULTADOS
Nas etapas de ajustes e de projeto do controlador foram construı́das rotinas implementadas no software MATLAB, com finalidade de auxiliar na definição dos parâmetros
de precisão, e posteriormente para a avaliação do sistema projetado.
Para a obtenção dos gráficos de desempenho do sistema utilizou-se como entrada um
sinal degrau unitário, para a verificação da estabilidade resultante. Tais resultados foram
adquiridos com a rotina de cálculo executada no software MATLAB.
Observa-se na Figura 33 o deslocamento da haste do pêndulo diante de uma entrada
em degrau unitário, tal estabilização obedece aos critérios de projeto atingindo a estabilidade em torno de 50 iterações.
A Figura 34 mostra o posicionamento do carro quando o sistema é submetido a uma
entrada em degrau unitário.
Desse gráfico pode-se perceber que, quando uma entrada em degrau unitário é fornecida, o carro tende a se mover primeiro na direção oposta aquela da entrada por um curto
perı́odo e, em seguida, move-se na direção da entrada.
Apesar de a resposta começar na direção negativa e se manter na região negativa por
um pequeno perı́odo, a resposta volta para a região positiva e eventualmente se aproxima
da unidade.
O gráfico a segir mostra a velocidade que o carro alcançou para a estabilização da
haste na posição vertical.
7 RESULTADOS
44
Figura 33: Deslocamento da haste.
Fonte: Própria
Figura 34: Posicionamento do carro.
Fonte: Própria
7 RESULTADOS
45
Figura 35: Velocidade do carro.
Fonte: Própria
Analisando os gráficos das Figuras 33, 34 e 35, nota-se que os critérios de estabilidade,
tempo de acomodação e taxa de máximo sobre sinal que foram projetados, são realmente
encontrados no sistema projetado. Sendo assim esses gráficos demonstram a eficiência do
sistema de controle projetado.
Nota-se ainda que o sistema de controle atua sobre o carrinho (motor), que através
do sentido, velocidade e aceleração, e momento de inercia da haste, exerce uma força
resultante contrária ao movimento de “queda”, fazendo assim que a mesma fique na
posição vertical.
Além das simulações computacionais, o protótipo desenvolvido apresentou um desempenho razoável, levando em conta os materiais e custos empregados.
A abordagem empregada utilizando um motor de passos como peça fundamental de
locomoção do carrinho apresentou limitações devido a velocidade de chaveamento entre as
bobinas, ou seja, quando se precisa aumentar a velocidade o motor tende a perde torque,
e assim não consegue girar a carga acoplada. Após vários testes experimentais limitamos
a velocidade de chaveamento entre as bobinas em torno de 850Hz, como resultado notase que o sistema consegue corrigir apenas pequenas variações na angulação da haste.
Como solução para tal deficiência poderia ser utilizado um motor CC em substituição do
7 RESULTADOS
46
motor de passos, para tanto já seria necessário uma etapa de usinagem de peças para o
acoplamento do motor CC a planta projetada, além de uma modificação no firmware para
a implementação de um sistema PWM (Pulse-width modulation) para o acionamento do
motor.
Um outro fato que acrescenta um tempo de atraso ao sistema é fruto da conversão do
sinal analógico, gerado no sensor de posição, pois esta conversão é realizada a uma taxa
máxima de 200kHz (ATMEL, ), enquanto o programa executado no microcontrolador
executa a uma taxa máxima de 7,3728 MHz. Uma alternativa para a redução dessa
latência1 seria a utilização de um sensor que oferecesse uma resposta de forma digital, tal
como um encoder absoluto.
A seguir será apresentada um lista contendo todos os resultados adquiridos ao longo
do trabalho.
1. Protótipo fı́sico do pêndulo invertido;
2. Circuito eletrônico de acionamento do motor de passo;
3. Circuito eletrônico de aquisição de dados via microcontrolador;
4. Firmware dedicado a aquisição de dados utilizando o microcontrolador ATmega8;
5. Projeto do controlador PID;
6. Arquivos (.m) com finalidade de auxiliar no projeto de controladores PID;
7. Firmware com algoritmo PID para microcontrolador ATmega8;
8. Pêndulo Invertido microcontrolado utilizando o algoritmo de controle PID.
1
Latência: é a diferença gerada entre o tempo de conversão do sinal analógico e o tempo de execução
do programa. Ou é a diferença de tempo entre o inı́cio de um evento e o momento em que seus efeitos
tornam-se perceptı́veis.
47
8
CONCLUSÃO
A compilação de informações presente neste trabalho de conclusão de final de curso, é
resultado de um processo de pesquisa iniciado no ano de 2008. Logo apresenta uma vasta
informação do funcionamento e construção de um sistema tão estudado em técnicas de
controle, mais recentemente sendo aplicado a construção civil e a robótica.
Os resultados inicialmente propostos foram alcançados de forma satisfatória, atenderam aos requisitos definidos ao longo da elaboração do projeto.
O projeto fı́sico e lógico ocorreu dentro da normalidade, ressaltando o emprego de
peças (mecânicas e eletrônicos) não ideais para tal aplicação, devido a dificuldade de
acesso aos componentes.
A simulação computacional foi de grande valia, pois proporcionou o correto dimensionamento do parâmetros de controle.
Os resultados preliminares adquiridos indicam o potencial uso desse sistema na implementação de experiências práticas em disciplinas de controle do curso de engenharia
elétrica do IFBA.
Como sugestões de trabalhos futuros, o sistema construı́do poderá sofrer alterações
no sensor de angulação da haste, sendo alterado para um potenciômetro de precisão ou
até mesmo um encoder absoluto, além da mudança do motor de passo por um motor
de corrente contı́nua com acionamento em PWM. E seguindo a tendência de controle
inteligente, buscar a implementação de ouras estratégias de controle, como logica fuzzy,
algoritmos genéticos, etc.
48
REFERÊNCIAS
ASTRÖN, K. J.; HÄGGLUND, T. ”PID Control”, The Control Handbook, IEEE Press,
1996.
ATMEL. Datasheet ATmega8. [S.l.]. Disponı́vel em: <http://www.atmel.com>.
B., L. C. Os poderosos microcontroladores AVR. Florianópolis-SC: IFST, 2009.
BALBINOT. Caminhada em Velocidades Oscilantes: Implicações no Modelo do Pêndulo
Invertido. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto
Alegre, 2009.
BERTINI, L. A. Circuitos Eletrônicos na Prática. 1. ed. São Paulo: Tec, 2007.
BRITES, F. G.; SANTOS, V. P. de A. Motor de passo. PETele, 2008.
ESTEVES, N. M. Isolamento Sı́smico com Sistemas Pendulares com Atrito. Dissertação
(Mestrado) — Instituto Superior Técnico - Universidade Técnida de Lisboa, Lisboa.
Portugual, 2010.
FACCIN, F. Abordagem Inovadora no Projeto de Controladores PID. Dissertação
(Mestrado) — Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2004.
HANSELMAN, D.; LITTLEFIELD, B. MATLAB 6 Curso Completo. 1ª. ed. São Paulo:
Prentice Hall, 2003.
MARLIN, T. E. Process Control. New York: McGraw-Hill, 1995.
MOORE, C. F. Control Modes - Closed-Loop Response. 3ª. ed. Boca Raton:CRC: [s.n.],
1999.
NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
NOVUS, P. E. L. Controle pid básico. 2003.
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição. ed. São Paulo: [s.n.], 2003.
PEREIRA, L. F. A. Controladores do tipo Proporcional, Integral e Diferencial. Rio
Grande do Sul: [s.n.], 2003.
PHILLIPS, R.; HARBOR, D. Feedback Control Systems. [S.l.]: Prentice Hall, 1991.
PRADO, I.; FERREIRA, J. Construção de planta e controle do pêndulo invertido.
CONNEPI III, Fortaleza, 2008.
PRADO, I.; KASCHNY, J. R. Aplicação de microcontroladores no manejo de culturas
protegidas. CONNEPI V, Maceió, 2010.
REFERÊNCIAS
49
PRADO, I. F. do; KASCHNY, J.; DUTRA, V. Desenvolvimento de sistemas dedicados
ao controle e aquisição de dados. In: CONNEPI, I. (Ed.). [S.l.], 2009.
QUEIROZ, R. A. Motores de passo. 2002.
RIBEIRO, R. Implementação de um Sistema de Controle de um Pêndulo Invertido.
Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal de Itajubá, Itajubá-MG, 2007.
SANTOS, L. G. Desenvolvimento de hardware e software para experimentos de fı́sica via
web. Feira de Santana, 2006. Disponı́vel em: <http://physika.info/physika/>.
SOUSA, F. S. Programação BASIC para Microcontroladores 8051. 1ª. ed. São Paulo:
Érica, 2006.
50
APÊNDICE A -- DEMOSTRACAO
A.1 MOMENTO DE INERCIA
Assumindo que a haste e de material homogêneo e uniforme, ou seja, os comprimentos
são proporcionais às massas, para cada elemento de massa corresponder um elemento de
comprimento.
O momento de inercia da haste sera a soma dos momentos de inercia de cada elemento
da haste.
Figura 36: Momento de inercia de uma barra.
Fonte: Própria
Segundo a Figura 36:
L
x dx
=
M
m dm
Z
I=
Z
(A.1)
L
dI =
x2 dm
(A.2)
M
L
(A.3)
0
Z
I=
0
L
x2 dx
A.1 MOMENTO DE INERCIA
51
I=
M x3 L
|
L 3 0
1
I = M L2
3
(A.4)
(A.5)
52
APÊNDICE B -- FIRMWARE ATMEGA8
Algoritmo B.1: Calculo dos Parâmetros
1
' INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA
2
'CAMPUS − VIT. DA CONQUISTA
3
'ENGENHARIA ELÉTRICA
4
5
6
'POR: IGOR F. PRADO
7
8
'ALGORITMO: Comunicação USB
9
10
$ r e g f i l e = ” m8def.dat ”
11
$ c r y s t a l = 7372800
12
$ baud = 115200
13
$ hwstack = 32
14
$ s w s t a c k = 16
15
$ f r a m e s i z e = 32
16
17
C o n f i g P o r t d . 2 = Output
18
C o n f i g Portb = Output
19
20
'−−−−t e s t e LED−−−−
21
Portd.2 = 1
22
Wait 1
23
Portd.2 = 0
24
'−−−−−−−−−−−−−−−−−
25
26
C o n f i g Adc = S i n g l e , P r e s c a l e r = Auto , R e f e r e n c e = Avcc
27
28
Dim C As Word
29
Dim A As I n t e g e r
30
31
S t a r t Adc
APÊNDICE B -- FIRMWARE ATMEGA8
32
33
A = 0
34
Do
35
Waitms 1
36
C = Getadc ( 1 )
37
Print C
A = A + 1
38
Print A
39
40
Loop U n t i l A = 1000
41
End
53
54
APÊNDICE C -- PROGRAMA GERAL MATLAB
Algoritmo C.1: Calculo dos Parâmetros
1
% IFBA − INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO E CIÊNCIA DA BAHIA
2
% Construção e C o n t r o l e do S i s t e m a Pêndulo I n v e r t i d o
3
% I g o r F e r r e i r a do Prado
4
%=====================================================
5
%
6
7
8
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%PROGRAMA GERAL%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
9
10
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
11
% a r q u i v o com o s dados da medição do movimento da h a s t e do pendulo
12
% i n v e r t i d o . E s s a s m e d i ç õ e s foram r e a l i z a d a s a t r a v e s do ADC de 10 b i t s do
13
% ATMEGA8 com i n t e r v a l o de medição de 10 ms. t o t a l i z a n d o 201 medidas
14
15
l o a d movimento.txt − a s c i i
16
a = movimento ( : , 1 ) ;
17
f s =1/0 . 0 1 ;
18
n=s i z e ( a , 1 ) ;
19
t =0:0 . 0 1 : 2 ;
20
g r i d on
21
p l o t ( t , 0 .0048828 *a )
22
grid
%c a r r e g a m e n t o dos dados do movimento
%taxa de amostragem do s i n a l ;
%número de a mo s t ra s r e c o l h i d a s
23
24
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
25
26
% I d e n t i f i c a ç ã o dos v a l o r e s maximos da a m p l i t u d e em cada o s c i l a ç ã o
27
28
y ( 1 )=a ( 1 ) ;
29
y ( 2 ) =634;
30
y ( 3 ) =509;
31
APÊNDICE C -- PROGRAMA GERAL MATLAB
32
33
ganho = y ( 1 ) ;
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
34
35
% Metodo numérico para i d e n t i f i c a ç ã o do melhor c o e f i c i e n t e
36
% para modelagem da c o n s t a n t e de ” decaimento ” do movimento do
37
% pendulo s i m p l e s
38
39
ganho=y ( 1 ) ;
40
%
41
% C á l c u l o do melhor c o e f i c i e n t e da f u n ç ã o do pendulo s i m p l e s
42
43
otimo =0;
44
e r r =10ˆ5;
45
x = (1: length (y) ) ';
46
f o r c t e=−1. 2 5 : 0 . 0 0 1 : 10 . 1 0
47
g=exp ( c t e * ( x−1) ) ;
48
49
f o r i =1: l e n g t h ( g )
50
g ( i )=g ( i ) * ganho ;
51
end
52
e r r o =0;
53
54
f o r i =1: l e n g t h ( g )
55
e r r o = ( y ( i )−g ( i ) ) ˆ2 + e r r o ;
56
end
57
58
i f err > erro
59
err = erro ;
60
melhorcte = cte ;
61
end
62
end
63
melhorcte
64
% G r á f i c o da e n v o l t o r i a do s i n a l o r i g i n a l
65
66
g=exp ( m e l h o r c t e * ( x−1) ) ;
67
68
f o r i =1: l e n g t h ( g )
69
g ( i )=g ( i ) * ganho ;
70
end
71
72
figure
73
hold
74
plot (y)
55
APÊNDICE C -- PROGRAMA GERAL MATLAB
75
76
plot (g , '*r ' )
77
g r i d on
78
t i t l e ( ' E n v o l t ó t i a x Função E x p o n e n c i a l ' )
79
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
80
81
%D e f i n i ç ã o dos p a r â m e t r o s
82
wn = ( 2 * p i ) /0 . 9 0
%parametro o b t i d o a t r a v e s da curva [ rd ]
%o s c i l a ç ã o n a t u r a l do s i s t e m a
83
84
x i = abs ( m e l h o r c t e ) /wn
%c o n s t a n t e de amortecimento
85
l = 0 .15
%metade do comprimento da h a s t e [m]
86
m = 0 .02
%massa da h a s t e [ kg ]
87
Br = 8 * x i *wn*m* ( l ˆ 2 ) /3
%C o e f i c i e n t e de a t r i t o v i s c o s o [N/ rd / s ]
88
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
89
90
%FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PÊNDULO FÍSICO
91
p=(−3/(4 * l ) ) * 2 . 1 e −004;
92
p1=2* x i *wn ;
93
p2=−wn ˆ 2 ;
94
num = [ p 0 ] ;
95
den = [ 1 p1 p2 ] ;
96
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
97
98
99
%MODELAGEM EM ESPAÇO DE ESTADOS
[ A, B, C,D]= t f 2 s s (num , den ) ;
100
101
T=t f (num , den ) ;
102
103
Tss=s s (T) ; %TRANSFORMAÇÃO P/ ESPAÇO DE ESTADOS
104
105
Tmf=f e e d b a c k (T, 1 )
106
107
p o l e (Tmf) ;
108
109
z e r o (Tmf) ;
110
111
112
113
r l o c u s (Tmf)
% LUGAR DAS RAÍSES
g r i d on
%FUNC DE TRANS MALHA FECHADA
56
57
APÊNDICE D -- PROGRAMA SINTONIA DO
CONTROLADOR PID
Algoritmo D.1: Calculo dos Parâmetros
1
% IFBA − INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO E CIÊNCIA DA BAHIA
2
% Construção e C o n t r o l e do S i s t e m a Pêndulo I n v e r t i d o
3
% I g o r F e r r e i r a do Prado
4
% C á l c u l o dos p a r a m e t r o s do c o n t r o l a d o r PID
5
% Método do l u g a r das r a i z e s
6
%=====================================================
7
%
8
9
syms s ;
10
Hs = 1 . 0 ;
11
Mp = 0 . 0 8 ;
12
ess = 0 .05 ;
13
Ts = 0 . 2 ;
14
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
15
Gs = ( 0 . 0 0 0 2 1 / ( s ) ) * ( (−5 * s ˆ 2 ) / ( s ˆ2 + 0 . 5 9 2 * s − 48 . 7 2 ) ) ;
16
GsHs = ( 0 . 0 0 0 2 1 / ( s ) ) * ( (−5 * s ˆ 2 ) / ( s ˆ2 + 0 . 5 9 2 * s − 48 . 7 2 ) ) * Hs ;
17
%LimitGsHs = e v a l ( l i m i t ( GsHs , s , 0 ) )
18
19
Ki = 1000 %1 / ( LimitGsHs * e s s )
20
21
q s i = s q r t ( ( ( l o g (Mp) ) ˆ 2 ) / ( ( p i ˆ 2 ) + ( l o g (Mp) ) ˆ 2 ) ) ;
22
wn= 4 / ( Ts * q s i ) ;
23
s 1= −( q s i *wn) + 1 i *wn* s q r t (1− q s i ˆ 2 ) ;
24
25
mod s1=abs ( s 1 ) ;
26
a n g s 1=a n g l e ( s 1 ) ;
27
28
mod G s1 = abs ( ( 0 . 0 0 0 2 1 / ( s 1 ) ) * ( (−5 * s 1 ˆ 2 ) / ( s 1 ˆ2 + 0 . 5 9 2 * s 1 − ...
48 . 7 2 ) ) )
APÊNDICE D -- PROGRAMA SINTONIA DO CONTROLADOR PID
29
58
ang G s1 = a n g l e ( ( 0 . 0 0 0 2 1 / ( s 1 ) ) * ( (−5 * s 1 ˆ 2 ) / ( s 1 ˆ2 + 0 . 5 9 2 * s 1 − ...
48 . 7 2 ) ) )
30
31
Ki
32
Kp= ((− s i n ( a n g s 1 + ( ang G s1 * Hs ) ) ) / ( mod G s1 * Hs * s i n ...
( a n g s 1 ) ) ) − ( ( 2 * Ki * c o s ( a n g s 1 ) ) / mod s1 )
33
Kd= ( (+ s i n ( ang G s1 * Hs ) ) / ( mod s1 * mod G s1 * Hs * s i n ( a n g s 1 ) ) ...
) + ( Ki / ( mod s1 ˆ 2 ) )
34
35
36
%=======================================================
37
a=[Kd Kp Ki ] ;
38
%−−−−−−−−−−−−
39
b=[0 1 0 ] ;
40
41
42
c =[0 0 0 . 0 0 0 2 1 ] ;
43
%−−−−−−−−−−−−−−
44
d=[0 1 0 ] ;
45
46
47
48
49
e=[−5 0 0 ] ;
%−−−−−−−−−−−−−−
f =[1 0 . 5 9 2 −48 . 7 2 ] ;
50
51
g=conv ( a , c ) ;
52
num=conv ( g , e ) ;
53
54
h=conv ( b , d ) ;
55
den=conv ( h , f ) ;
56
57
58
%ESPAÇO DE ESTADOS 610 NISE
[ A, B, C,D]= t f 2 s s (num , den ) ;
59
60
T = t f (num , den ) ;
61
62
Tss=s s (T) ; %TRANSFORMAÇÃO P/ ESPAÇO DE ESTADOS
63
64
Tmf=f e e d b a c k (T, 1 )
65
66
p o l e (Tmf) ;
67
68
z e r o (Tmf) ;
%FUNC DE TRANS MALHA FECHADA
APÊNDICE D -- PROGRAMA SINTONIA DO CONTROLADOR PID
69
70
71
r l o c u s (Tmf) ;
% LUGAR DAS RAÍSES
72
73
v=[−30 30 −30 3 0 ] ;
74
axis (v) ; axis ( ' square ' )
75
grid ;
59