Administração
Prof. Kaká
Aplicações de derivadas
na administração
Introdução
9Analisaremos alguns usos mais importantes
das derivadas em administração.
9Estudaremos o significado econômico da
marginalidade avaliando o custo marginal,
custo médio marginal, receita marginal e lucro
marginal.
9Elasticidade do preço da demanda.
Funções marginais
A função CUSTO MARGINAL é a
derivada da função Custo.
A RECEITA MARGINAL é a derivada da
função Receita.
O LUCRO MARGINAL é a derivada da
função Lucro.
Custo e receita
Dada a função CUSTO para a produção de
camisetas, vamos analisar agora a função
RECEITA obtida com a comercialização
das unidades.
Para um produto, a receita R é dada pela
multiplicação do preço unitário p, pela
quantidade q, ou seja:
R=p.q
Lucro
Função Lucro é obtida fazendo “Função
Receita menos Função Custo”
L=R–C
CUSTO
MARGINAL
Em uma empresa de confecção têxtil, o
custo, em reais, para produzir “q” calças é
dado por:
C(q) = 0,001q3 – 0,3q2 + 45q +5000
a)Obtenha a Função Custo Marginal.
b)Obtenha o Custo Marginal aos níveis q =
50, q = 100 e q = 200, explicando os seus
resultados.
c)O valor real para produzir q = 201 e
compare o resultado com o obtido no item
anterior.
A função custo dada:
C ( q ) = 0,001q 3 − 0,3q 2 + 45q + 5000
a) A função custo marginal é:
0,001q 3
3 × 0,001q 3−1
0,3q 2
45q1
5000
0,003q 2
0,003q 2
2 × 0,3q 2−1
0,6q1
0,6q
1× 45q1−1
45q 0
45
0
C ′(q) = 0,003q 2 −
0,6q
+
45
b) Obtenha o custo marginal aos
níveis q = 50, q = 100 e q = 200,
explicando os seus significados.
C ′( q ) = 0,003q 2 − 0,6 q + 45
Para: q = 50
C ′(50) = 0,003 × 50 2 − 0,6 × 50 + 45
C ′(50) = 0,003 × 2500 − 30 + 45
C ′(50) = 7,5 − 30 + 45
C ′(50) = 7,5 + 15
C ′(50) = 22,50
b) Obtenha o custo marginal aos
níveis q = 50, q = 100 e q = 200,
explicando os seus significados.
C ′( q ) = 0,003q 2 − 0,6 q + 45
Para: q = 100
C ′(100 ) = 0,003 × 100 2 − 0,6 × 100 + 45
C ′(100 ) = 0,003 × 10000 − 60 + 45
C ′(100 ) = 30 − 60 + 45
C ′(100 ) = 15,00
b) Obtenha o custo marginal aos
níveis q = 50, q = 100 e q = 200,
explicando os seus significados.
C ′( q ) = 0,003q 2 − 0,6 q + 45
Para: q = 200
C ′( 200) = 0,003 × 200 2 − 0,6 × 200 + 45
C ′( 200) = 0,003 × 40000 − 120 + 45
C ′( 200 ) = 120 − 120 + 45
C ′( 200) = 45,00
Explicação
Para: q = 50 ⇒ C ′(50) = 22,50
Para: q = 100 ⇒ C ′(100 ) = 15,00
Para: q = 200 ⇒ C ′( 200) = 45,00
Assim R$ 22,50; R$ 15,00 e R$ 45,00 são
valores aproximados para produzir
respectivamente, a 51ª a 101ª e a 201ª calça.
c) O valor real para produzir q = 201
calças e compare o resultado
com o obtido no item anterior.
Solução: É necessário calcular a diferença dos
custos C(201) – C(200).
C ( q ) = 0 , 001 q 3 − 0 , 3 q 2 + 45 q + 5000
C ( 201) = 0,001 × 2013 − 0,3 × 2012 + 45 × 201 + 5000
C ( 201) = 10.045,301
C ( 200) = 0,001 × 200 3 − 0,3 × 200 2 + 45 × 200 + 5000
C ( 200) = 10.000,00
Solução: É necessário calcular a
diferença dos custos C(201) – C(200).
C ( 201) = 10.045,301
C ( 200) = 10.000,00
C ( 201) − C ( 200) = 10.045,301 − 10.000,00
C ( 201) − C ( 200) ≅ 45,30
Nota-se que o valor real, R$ 45,30, difere
do valor encontrado no C’(200) = 45,00,
em apenas R$ 0,30.
EXERCÍCIO
DE
FIXAÇÃO
Em uma empresa, o custo, em reais, para
produzir q unidades de televisores é dado
por:
C(q) = 0,02q3 – 6q2 + 900q +10000
a)Obtenha a Função Custo Marginal.
b)Obtenha o Custo Marginal aos níveis q
= 50, q = 100 e q = 200, explicando os
seus resultados.
c)O valor real para produzir q = 201 e
compare o resultado com o obtido no item
anterior.
A função custo dada:
C ( q ) = 0,02 q 3 − 6q 2 + 900 q + 10000
a) A função custo marginal é:
0,02q 3
3 × 0,02q 3−1
0,06q 2
0,06q 2
6q 2
2 × 6q 2−1
12q1
12q
1× 900q1−1
900q 0
900
900q1
10000
C ′(q) =
0
0,06q 2 −
+
12q
900
b) Obtenha o custo marginal aos
níveis q = 50, q = 100 e q = 200,
explicando os seus significados.
C ′( q ) = 0,06 q 2 − 12 q + 900
Para: q = 50
C ′(50) = 0,06 × 50 2 − 12 × 50 + 900
C ′(50) = 0,06 × 2500 − 600 + 900
C ′(50) = 150 − 600 + 900
C ′(50) = 450,00
b) Obtenha o custo marginal aos
níveis q = 50, q = 100 e q = 200,
explicando os seus significados.
C ′( q ) = 0,06 q 2 − 12 q + 900
Para: q = 100
C ′(100 ) = 0,06 × 100 2 − 12 × 100 + 900
C ′(100) = 0,06 × 10000 − 1200 + 900
C ′(100 ) = 600 − 1200 + 900
C ′(100 ) = 300 ,00
b) Obtenha o custo marginal aos
níveis q = 50, q = 100 e q = 200,
explicando os seus significados.
C ′( q ) = 0,06 q 2 − 12 q + 900
Para: q = 200
C ′( 200) = 0,06 × 200 2 − 12 × 200 + 900
C ′(200) = 0,06 × 40000 − 2400 + 900
C ′( 200 ) = 2400 − 2400 + 900
C ′(200) = 900,00
Explicação
Para: q = 50 ⇒ C ′(50) = 450,00
Para: q = 100 ⇒ C ′(100) = 300,00
Para: q = 200 ⇒ C ′( 200) = 900,00
Assim R$ 450,00; R$ 300,00 e R$ 900,00
são valores aproximados para produzir
respectivamente, a 51º a 101º e a 201º
televisores.
c) O valor real para produzir q = 201
calças e compare o resultado
com o obtido no item anterior.
Solução: É necessário calcular a diferença dos
custos C(201) – C(200).
C ( q ) = 0 , 02 q 3 − 6 q 2 + 900 q + 10000
C ( 201) = 0,02 × 2013 − 6 × 2012 + 900 × 201 + 10000
C ( 201) = 110 .906,02
C ( 200) = 0,02 × 200 3 − 6 × 200 2 + 900 × 200 + 10000
C ( 200) = 110.000,00
Solução: É necessário calcular a
diferença dos custos C(201) – C(200).
C ( 201) = 110.906,02
C ( 200) = 110.000,00
C ( 201) − C ( 200) = 110 .906,02 − 110 .000,00
C ( 201) − C ( 200) = 906,02
Nota-se que o valor real, R$ 906,02, difere
do valor encontrado no C’(200) = 900,00,
em apenas R$ 6,02.
INTERVALO
RECEITA
MARGINAL
Receita marginal
Vale relembrar que a receita na
venda de um produto é dada por:
R = p×q
Onde p é o preço em função da
quantidade demandada q.
Receita marginal é obtida a partir da
derivada da receita.
Em uma fábrica de pneus, o preço de um
tipo de pneu é dado por:
p = – 0,4q + 400
a)Obtenha a Função Receita.
b)Obtenha a Função Receita Marginal.
c) Obtenha a Receita Marginal aos níveis
q = 400, q = 500 e q = 600, interpretando
os seus resultados.
A função preço dada:
p = −0,4q + 400
a) A função Receita é:
R = p × q ⇒ R = (− 0 , 4 q + 400 )× q
R = −0,4q 2 + 400q
R = −0,4q 2 + 400q1
b) A função Receita Marginal é:
R′ = −2 × 0,4q 2−1 + 1× 400q1−1
R′ = −2 × 0,4q1 + 1× 400q 0
R′ = −0,8q + 400
A Receita Marginal aos níveis:
q = 400
q = 500
q = 600
R′ = −0,8q + 400
R′ = −0,8 × 400 + 400
R′ = −320 + 400
R′ = 80
Assim, R$ 80,00 é o valor aproximado da
receita na venda do 401º pneu.
A Receita Marginal aos níveis:
q = 400
q = 500
q = 600
R′ = −0,8q + 400
R′ = −0,8 × 500 + 400
R′ = −400 + 400
R′ = 0
Obtemos uma receita marginal nula, quando q = 500 a
receita é máxima e, para essa função, vendas em níveis
superiores a 500 pneus resultarão em receitas menores,
pois o preço é decrescente de acordo com a demanda.
A Receita Marginal aos níveis:
q = 400
q = 500
q = 600
R′ = −0,8q + 400
R′ = −0,8 × 600 + 400
R′ = −480 + 400
R′ = −80
9 Para q = 600 a receita marginal é negativa.
9 O valor – 80,00 indica que, na venda acima de 600
haverá um decréscimo da receita de acordo com a
demanda.
EXERCÍCIO
DE
FIXAÇÃO
Em uma fábrica de eletrônicos, o preço de
um tipo de eletrônico é dado por:
p = – 0,1q + 400
a)Obtenha a Função Receita.
b)Obtenha a Função Receita Marginal.
c) Obtenha a Receita Marginal aos níveis
q = 1000, q = 2000 e q = 4000,
interpretando os seus resultados.
A função preço dada:
p = −0,1q + 400
a) A função Receita é:
R = p×q ⇒
R = −0,1q 2 + 400q
R = (− 0 ,1q + 400 )× q
R = −0,1q 2 + 400q1
b) A função Receita Marginal é:
R′ = −2 × 0,1q 2−1 + 1× 400q1−1
R′ = −2 × 0,1q1 + 1× 400q 0
R′ = −0,2q + 400
A Receita Marginal aos níveis:
q = 1000
q = 2000
q = 4000
R′ = −0,2q + 400
R′ = −0,2 ×1000 + 400
R′ = −200 + 400
R′ = 200
Assim, R$ 200,00 é o valor aproximado da
receita na venda do 1000º componente
eletrônico.
A Receita Marginal aos níveis:
q = 1000
q = 2000
q = 4000
R′ = −0,2q + 400
R′ = −0,2 × 2000 + 400
R′ = −400 + 400
R′ = 0
Obtemos uma receita marginal nula, quando q = 2000 a
receita é máxima e, para essa função, vendas em níveis
superiores a 2000 unidades de componentes eletrônicos
resultarão em receitas menores, pois o preço é
decrescente de acordo com a demanda.
A Receita Marginal aos níveis:
q = 1000
q = 2000
q = 4000
R′ = −0,2q + 400
R′ = −0,2 × 4000 + 400
R′ = −800 + 400
R′ = −400
9 Para q = 4000 a receita marginal é negativa.
9 O valor – 400,00 indica que, na venda acima de 4000
haverá um decréscimo da receita de acordo com a
demanda.
LUCRO
MARGINAL
Lucro marginal
Vale relembrar que a receita na
venda de um produto é dada por:
L = R −C
Onde R é a receita e C o custo.
Lucro marginal é obtida a partir da
derivada do lucro.
Uma fábrica de pneus tem a receita na
venda e seu custo de um tipo de pneu
dada, respectivamente por:
R(q) = – 0,4q2 + 400q
C(q) = 80q + 28000
a)Obtenha a Função Lucro.
b)Obtenha a Função Lucro Marginal.
c) Obtenha o Lucro Marginal aos níveis q
= 300, e q = 600, interpretando os seus
resultados.
d)Obtenha a quantidade que dá lucro
máximo a partir das derivadas do lucro.
Obtenção da função Lucro
Já vimos que L = R – C
R = −0,4q 2 + 400q
C = 80q + 28000
Portanto:
L = R−C
L = −0,4q + 400q − (80q + 28000)
2
L = −0,4q 2 + 400q − 80q − 28000
L = −0,4q 2 + 320q − 28000
Obtenção da função
Lucro Marginal
Dada a Função Lucro
L = −0,4q 2 + 320q1 − 28000
Função Marginal
L′ = −0,2 × 4q 2−1 + 1× 320q1−1 − 0
L′ = −0,8q1 + 320q 0 − 0
L′ = −0,8q + 320 × 1
L′ = −0,8q + 320
Função Marginal aos níveis q = 300 e
q = 600 interpretando os resultados
L′ = −0,8q + 320
q = 300
q = 600
L′ = −0,8 × 300 + 320
L′ = −240 + 320
L′ = 80
Assim, R$ 80,00 é o valor aproximado do
lucro na venda do 301º pneu.
Função Marginal aos níveis q = 300 e
q = 600 interpretando os resultados
L′ = −0,8q + 320
q = 300
L′ = −0,8 × 600 + 320
L′ = −480 + 320
q = 600
L′ = −160
O valor –160,00 indica que, na venda no 601º
pneu, haverá um decréscimo de R$ 160,00 no
lucro, pois o lucro marginal é negativo, o que
indica lucro decrescente.
Qual a quantidade que dá lucro
máximo a partir do lucro marginal?
Solução:
Devemos igualar o lucro marginal a zero.
L′ = 0
⇒ − 0,8q + 320 = 0
320 = 0,8q ⇒ 0,8q = 320
320
q=
0,8
q = 400
INTERVALO
EXERCÍCIO
DE
FIXAÇÃO
Em uma indústria têxtil, o preço na venda
de um tipo de toalha e seu custo é dada
respectivamente por:
p = – 0,001q + 10
C(q) = 2q + 12000
a)Obtenha a Função Lucro.
b)Obtenha a Função Lucro Marginal.
c) Obtenha o Lucro Marginal aos níveis q
= 3.000, e q = 5.000, interpretando os seus
resultados.
d)Obtenha a quantidade que dá lucro
máximo a partir das derivadas do lucro.
Obtenção da função Lucro
p = −0,001q + 10
C = 2q + 12000
Já vimos que R = p x q
R = p × q ⇔ R = (− 0,001q + 10 )× q
R = −0,001q 2 + 10q
Já vimos que L = R – C
L = R−C
L = −0,001q 2 + 10q − (2q + 12000)
L = −0,001q 2 + 10q − 2q − 12000
L = −0,001q 2 + 8q − 12000
Obtenção da função
Lucro Marginal
Dada a Função Lucro
L = −0,001q 2 + 8q1 − 12000
Função Marginal
L = −2 × 0,001q 2−1 + 1× 8q1−1 − 0
L = −0,002q1 + 8q 0
L = −0,002q + 8 × 1
L = −0,002q + 8
Função Marginal aos níveis q = 3.000 e
q = 5.000 interpretando os resultados
L′ = −0,002q + 8
q = 3000
q = 5000
L′ = −0,002 × 3000 + 8
L′ = −6 + 8
L′ = 2
Assim, R$ 2,00 é o valor aproximado do
lucro na venda do 3001º toalha.
Função Marginal aos níveis q = 300 e
q = 600 interpretando os resultados
L′ = −0,002q + 8
q = 3000
L′ = −0,002 × 5000 + 8
L′ = −10 + 8
q = 5000
L′ = −2
O valor –2,00 indica que, na venda no 5001º
toalha, haverá um decréscimo de R$ 2,00 no lucro,
pois o lucro marginal é negativo, o que indica lucro
decrescente.
Qual a quantidade que dá lucro
máximo a partir do lucro marginal?
Solução:
Devemos igualar o lucro marginal a zero.
L′ = 0
⇒ − 0,002q + 8 = 0
8 = 0,002q ⇒ 0,002q = 8
q=
8
0,002
q = 4000
Outras aplicações
de derivadas
A aplicação das derivadas está
associada na economia e na
administração, que está ligado
diretamente no preço, demanda de
um produto e sua relação com a
receita.
A demanda para um certo produto é
dada por q = 100 – 5p, onde o preço
varia no intervalo de [0; 20].
a) Obtenha a função que dá
elasticidade-preço da demanda
para cada preço.
b) Obtenha a elasticidade para os
preços p = 5, p = 10 e p = 15 e
interprete as respostas.
Elasticidade - preço
da demanda
q′ = 0 − 5 ⇒ −5
q = 100 − 5 p
E = q′ ×
E = −5 ×
p
q
−5p
p
⇒E=
100 − 5 p
100 − 5 p
Cálculo da Elasticidade
E=
p =5⇒ E =
−5p
100 − 5 p
− 25
− 5× 5
− 25
= − 0,33
=
=
75
100 − 5 × 5 100 − 25
p = 10 ⇒ E =
− 5 ×10
− 50
− 50
=
=
= −1
100 − 5 ×10 100 − 50
50
p = 15 ⇒ E =
− 5 ×15
− 75
− 75
=
=
=−3
100 − 5 ×15 100 − 75
25
Cálculo da Elasticidade
p = 5 ⇒ − 0,33
Indica que, se ocorrer um aumento de preço
p = 5,00, a demanda diminuirá em 0,33%.
p = 10 ⇒ − 1
Indica que, se ocorrer um aumento de preço
p = 10,00, a demanda diminuirá em 1%.
p = 15 ⇒ − 3
Indica que, se ocorrer um aumento de preço
p = 15,00, a demanda diminuirá em 3%.
A demanda para um certo produto é
dada por q = 1000 – 20p, onde o
preço varia no intervalo de [0; 50].
a) Obtenha a função que dá
elasticidade-preço da demanda
para cada preço.
b) Obtenha a elasticidade para os
preços p = 5, p = 25 e p = 45 e
interprete as respostas.
Elasticidade - preço
da demanda
q = 1000 − 20 p q′ = 0 − 20 ⇒ −20
E = q′ ×
E = −20 ×
p
q
p
− 20 p
⇒ E=
1000 − 20 p
1000 − 20 p
Cálculo da Elasticidade
E=
− 20 p
1000 − 20 p
p =5⇒ E =
E=
− 20 × 5
1000 − 20 × 5
− 100
− 100
=
= − 0,11
1000 − 100 900
Cálculo da Elasticidade
E=
− 20 p
1000 − 20 p
p = 25 ⇒ E =
E=
− 20 × 25
1000 − 20 × 25
− 500
− 500
=
= −1
1000 − 500
500
Cálculo da Elasticidade
E=
− 20 p
1000 − 20 p
p = 45 ⇒ E =
E=
− 20 × 45
1000 − 20 × 45
− 900
− 900
=
= −9
1000 − 900
100
Cálculo da Elasticidade
p = 5 ⇒ − 0,33
Indica que, se ocorrer um aumento de preço
p = 5,00, a demanda diminuirá em 0,33%.
p = 25 ⇒ − 1
Indica que, se ocorrer um aumento de preço
p = 25,00, a demanda diminuirá em 1%.
p = 45 ⇒ − 9
Indica que, se ocorrer um aumento de preço
p = 45,00, a demanda diminuirá em 3%.