IDENTIFICAÇÃO DE FALHAS DE CONTATO EM
COMPÓSITOS LAMINADOS
Luiz Alberto da Silva Abreu
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de
Pós-graduação
em
Engenharia
Mecânica,
COPPE, da Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Doutor em Engenharia
Mecânica.
Orientadores:
Helcio Rangel Barreto Orlande
Marcelo José Colaço
Rio de Janeiro
Dezembro de 2014
IDENTIFICAÇÃO DE FALHAS DE CONTATO EM
COMPÓSITOS LAMINADOS
Luiz Alberto da Silva Abreu
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ
COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM
CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Marcelo José Colaço, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Carlos José Santos Alves, Ph.D.
________________________________________________
Prof. João Marcos Alcoforado Rebello, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Nilson Costa Roberty, D.Sc.
________________________________________________
Profª. Carolina Palma Naveira-Cotta, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
DEZEMBRO DE 2014
Abreu, Luiz Alberto da Silva
Identificação de falhas de contato em Compósitos
Laminados/ Luiz Alberto da Silva Abreu. – Rio de
Janeiro: UFRJ/COPPE, 2014.
XX, 174 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Helcio Rangel Barreto Orlande
Marcelo José Colaço
Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Mecânica, 2014.
Referências Bibliográficas: p. 157-162.
1. Problemas Inversos. 2. Condutância Térmica de
Contato. 3. Funcional de Reciprocidade. 4. MetropolisHastings. I. Orlande, Helcio Rangel Barreto et al. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,
Programa de Engenharia Mecânica. III. Titulo.
iii
“Nada te perturbe,
nada te amedronte.
Tudo passa,
a paciência tudo alcança.
A quem tem Deus nada falta.
Só Deus basta!”
Santa Teresa D Ávila
.
Dedico este trabalho à Deus,
minha esposa Milena
e à minha família.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pelo dom de minha vida e por tantas oportunidades que tenho
recebido, pelo seu amor incondicional e perceptível.
Agradeço a minha esposa Milena, que com carinho e paciência me motiva a
cada dia, sem ela todo esforço em concluir este trabalho seria em vão.
Agradeço ainda ao aluno de graduação Gabriel Werneck, que tive a honra de ser
seu co-orientador em sua iniciação científica, juntamente com Prof. Helcio Orlande. Sua
participação durante a montagem experimental foi de enorme importância.
Agradeço ao meu orientador em Lisboa, Prof. Carlos Alves, que sempre motivou
o trabalho e deu o suporte acadêmico necessário para que meu período de estudo em
Portugal tivesse grande aproveitamento.
Agradeço ao meu orientador Prof. Marcelo Colaço pelo incentivo e ajuda em
muitas etapas deste trabalho, especialmente por proporcionar a oportunidade única de
trabalhar com o método de funcionais de reciprocidade em Lisboa e na COPPE.
Agradeço ao meu orientador, Prof. Helcio Orlande, não apenas pela sua
excelência acadêmica, mas por sua disponibilidade durante todo o trabalho. Agradeço
ainda pela paciência e amizade demonstradas em muitos momentos, felizes e difíceis.
Agradeço aos amigos do LabMEMS, Professora Carolina Palma Naveira-Cotta,
Professor Renato Machado Cotta e ao Mr. José Martim pela construção das amostras
utilizadas neste trabalho.
Agradeço aos colaboradores, amigos e professores: Prof. Diego Campos Knupp
(IPRJ/UERJ), Prof. Wellington Bettencourt (UFES), Prof. João Marcos A. Rebello
(UFRJ), César Pacheco (COPPE/LMT), Marcella Grosso (UFRJ/LNDC), Prof. Marcelo
Rainha (UNIRIO).
Finalmente agradeço aos amigos do LTTC: Diego C. Estumano, José Mir Costa,
Gino Andrade, Maycon Magalhães, Bernard Lamien, Milena França, Rafael F.
Mendonça, Rodrigo Basto, Marcos Curi, Ricardo Padilha, Júlio César, Paulo Veiga,
Paulo César, Evanise, Luciana.
v
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
IDENTIFICAÇÃO DE FALHAS DE CONTATO EM COMPÓSITOS LAMINADOS
Luiz Alberto da Silva Abreu
Dezembro/2014
Orientadores:
Helcio Rangel Barreto Orlande
Marcelo José Colaço
Programa: Engenharia Mecânica
Neste trabalho foi resolvido um problema inverso de condução de calor para a
identificação da condutância térmica de contato entre as camadas de materiais
compósitos laminados. Esta condutância térmica pode ser diretamente associada à
qualidade da adesão entre as camadas destes materiais. Foram utilizadas e comparadas
duas técnicas para a solução deste problema inverso. A primeira delas é formulada
através da aplicação de um funcional de reciprocidade (RF). Nesta abordagem,
tipicamente é preciso solucionar problemas de Cauchy, que são mal-postos e que
necessitam de métodos específicos de solução, como o método das soluções
fundamentais (MFS). Desta forma, neste trabalho propõe-se uma abordagem que
transforma os problemas de Cauchy em problemas de Laplace, que podem ser
resolvidos através de diversos métodos tradicionais. Uma segunda abordagem do
problema inverso é Bayesiana, utilizando o método de Monte Carlo com Cadeias de
Markov (MCMC) e fazendo uso de um modelo de priori não informativo de Variação
Total dos Parâmetros (TVF). Neste trabalho, as temperaturas medidas disponíveis são
comprimidas por transformação integral e o problema inverso é solucionado com os
modos transformados destas temperaturas. Nesta abordagem obtêm-se grande redução
do custo computacional. Os resultados, utilizando medidas simuladas e reais obtidas em
um experimento desenvolvido neste trabalho, mostram que ambos os métodos são
capazes de qualitativamente e quantitativamente identificar falhas em compósitos
laminados através da identificação da condutância térmica de contato.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
IDENTIFICATION OF CONTACT FAILURES IN LAMINATED COMPOSITES
Luiz Alberto da Silva Abreu
December /2014
Advisors:
Helcio Rangel Barreto Orlande
Marcelo José Colaço
Department: Mechanical Engineering
This work deals with the solution of an inverse heat conduction problem of
identifying the interface thermal contact conductance between layers of multi-layered
composite materials. This interface thermal contact conductance can be directly
associated to the quality of the adhesion between the composite layers, so that we can
use this approach to create a non-destructive method for detection of failures in
laminated composites. Two techniques are used and compared for the solution of the
inverse problem. One of these techniques is formulated in terms of a reciprocity
functional approach (RF). In this approach typically are solved Cauchy problems, which
can be unstable and require specific methods for its solution, such as the method of
fundamental solutions (MFS). This work proposes the transformation of the Cauchy
problems into Laplace problems that can be solved by traditional methods. The other
technique used to solve the inverse problem in this work is the Markov chain Monte
Carlo (MCMC) method, within the Bayesian framework, where a Total Variation
Function (TVF) was used as the prior information. In this work we compress the
measured data by using Integral Transformation and the inverse problem is solved with
transformed modes of the measured temperature, thus obtaining significant reduction of
the computational time using the MCMC method. The results, using simulated and real
measurements obtained in an experiment developed in this work, reveals that both
methods are capable of qualitatively and quantitatively failures in composite laminates,
by identifying the thermal contact conductance.
vii
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ................................................................................... 1
1.1
MOTIVAÇÃO ............................................................................................... 1
1.2
OBJETIVOS .................................................................................................. 2
1.3
ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ............................................................ 3
CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA............................................................. 5
2.1
MATERIAIS COMPOSTOS OU COMPÓSITOS ....................................... 5
2.2
PROBLEMAS INVERSOS ......................................................................... 10
CAPÍTULO 3 - PROBLEMA FÍSICO ........................................................................ 15
CAPÍTULO 4 - PROBLEMA DIRETO ...................................................................... 18
4.1
MÉTODO HÍBRIDO – GITT/MDF ............................................................ 18
CAPÍTULO 5 - PROBLEMA INVERSO .................................................................... 24
5.1
O MÉTODO MCMC ................................................................................... 27
5.2
MÉTODO MCMC COM MEDIDAS TRANSFORMADAS ..................... 31
5.3
SOLUÇÃO DO PROBLEMA INVERSO VIA RF .................................... 34
CAPÍTULO 6 - CONFIGURAÇÃO EXPERIMENTAL ............................................ 46
6.1
TERMOGRAFIA POR INFRAVERMELHO ............................................ 46
6.2
DESCRIÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL .................................... 48
CAPÍTULO 7 - RESULTADOS E DISCUSSÕES ..................................................... 59
7.1
MEDIDAS SIMULADAS DE TEMPERATURA ...................................... 60
7.2
MEDIDAS REAIS DE TEMPERATURA ................................................ 121
CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES .................................................... 154
CAPÍTULO 9 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................. 157
APÊNDICE A - Método das Soluções Fundamentais ................................................ 163
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1 - Meio compósito laminado constituído por ‘lmax’ camadas. ........................ 15
Figura 3.2 - Meio compósito laminado constituído por 2 camadas. .............................. 17
Figura 5.1 – Esquema de distribuição das medidas discretas (pixels)............................ 26
Figura 6.1 – Câmeras termográficas empregadas nos experimentos: (a) FLIR SC-660
(b) FLIR A325sc. .................................................................................... 47
Figura 6.2 – Vista geral da bancada experimental.......................................................... 48
Figura 6.3 - Sistema de aquecimento. ............................................................................ 50
Figura 6.4 – Exemplos de Amostras fabricadas em acrílico. ......................................... 51
Figura 6.5 – Amostra pintada com tinta grafite (Graphit 33, Kontact Chemie). ............ 52
Figura 6.6 - Configuração experimental supondo superfície inferior isolada. ............... 52
Figura 6.7 - Configuração experimental supondo superfície inferior a uma temperatura
prescrita. .................................................................................................. 53
Figura 6.8 - Configuração experimental supondo superfície inferior e superior expostas
a convecção natural. ................................................................................ 54
Figura 6.9 - Tela do software FLIR ResearchIR™, durante a aquisição de medidas de
uma amostra sem falhas de contato. ....................................................... 56
Figura 6.10 - Tela do software FLIR ResearchIR™, durante a aquisição de medidas de
uma amostra com falha de contato circular. ........................................... 56
Figura 6.11 - Analise da distância entre as camadas de uma amostra, com falha
retangular, unida apenas com clorofórmio. A figura (a) mostra as regiões
aproximadas onde foram feitas as análises das figuras (b),(c) e (d). ...... 58
Figura 7.1 - Distribuição de temperatura na superfície, no tempo final t = 20000s. ...... 62
Figura 7.2 - Analise de convergência do MDF em t e z. (a) Análise do transiente até 10s.
(b) Análise da distribuição das temperaturas em z, para o regime
permanente (tf=20000s)........................................................................... 63
Figura 7.3 - Condutância térmica exata para os quatro casos analisados nesta seção. ... 67
Figura 7.4 – Perfil de Temperaturas exatas para o CASO 1........................................... 68
Figura 7.5 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 1. ............................... 69
Figura 7.6 – Condutância térmica estimada, para o CASO 1. ........................................ 70
Figura 7.7 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 1. ....................... 71
ix
Figura 7.8 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 1. Em (a) com início da cadeia
de Markov em Bic=1 e em (b) com início da cadeia de Markov em
Bic=15...................................................................................................... 71
Figura 7.9 – Histogramas para um ponto na região de contato, para o CASO 1. .......... 72
Figura 7.10 – Histogramas para um ponto na região de falha, para o CASO 1. ............ 73
Figura 7.11 – Perfil de Temperaturas exatas para o CASO 2. ....................................... 73
Figura 7.12 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 2. ............................. 74
Figura 7.13 – Condutância térmica estimada, para o CASO 2. ...................................... 75
Figura 7.14 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 2. ....................................... 75
Figura 7.15 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 2. ..................... 76
Figura 7.16 – Histogramas para um ponto na região de falha e outro na de contato, para
o CASO 2. ............................................................................................... 76
Figura 7.17 – Perfil de Temperaturas exatas para o CASO 3. ....................................... 77
Figura 7.18 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 3. ............................. 78
Figura 7.19 – Condutância térmica estimada, para o CASO 3. ...................................... 78
Figura 7.20 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 3. ....................................... 79
Figura 7.21 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 3. ..................... 79
Figura 7.22 – Histogramas para um ponto na região de falha e um na de contato, para o
CASO 3. .................................................................................................. 79
Figura 7.23 – Perfil de Temperaturas exatas para o CASO 4. ....................................... 80
Figura 7.24 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 4.a. ........................... 81
Figura 7.25 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 4.b. .......................... 81
Figura 7.26 – Condutância térmica estimada, para o CASO 4.a. ................................... 82
Figura 7.27 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.a. .................. 82
Figura 7.28 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.a...................................... 82
Figura 7.29 – Histogramas para um ponto na região de falha e um na região de contato,
para o CASO 4.a. .................................................................................... 83
Figura 7.30 – Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b. ................................... 83
Figura 7.31 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.b. .................................... 84
Figura 7.32 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b. .................. 84
Figura 7.33 – Histogramas para uma região de falha e uma de contato, para o CASO
4.b............................................................................................................ 85
Figura 7.34 – Condutância térmica estimada, para o CASO 1, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 86
x
Figura 7.35 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 1, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 86
Figura 7.36 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 1, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 86
Figura 7.37 – Histogramas para um ponto na região de falha e um na de contato, para o
CASO 1, estimando o hiperparâmetro γ. ................................................ 87
Figura 7.38 – Convergência da cadeia de Markov, para o CASO 1, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 87
Figura 7.39 – Histograma para o hiperparâmetro , para o CASO 1. ........................... 88
Figura 7.40 – Condutância térmica estimada, para o CASO 2, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 88
Figura 7.41 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 2, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 89
Figura 7.42 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 2, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 89
Figura 7.43 - Condutância térmica estimada, para o CASO 3, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 90
Figura 7.44 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 3, estimando o
hiperparâmetro γ ..................................................................................... 90
Figura 7.45 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 3, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 91
Figura 7.46 Condutância térmica estimada, para o CASO 4.a, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 91
Figura 7.47 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.a, estimando o
hiperparâmetro γ ..................................................................................... 91
Figura 7.48 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.a, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 92
Figura 7.49 - Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 92
Figura 7.50 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b, estimando o
hiperparâmetro γ ..................................................................................... 93
Figura 7.51 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.b, estimando o
hiperparâmetro γ. .................................................................................... 93
xi
Figura 7.52 – Analise dos modos transformados ........................................................... 95
Figura 7.53 – Analise de modos transformados maiores do que 50, até o tempo
adimensional que corresponde a 10s....................................................... 95
Figura 7.54 – Perfil de Temperatura exata e medida para o CASO 1. ........................... 96
Figura 7.55 – Recuperação do perfil de temperaturas através da equação da Inversa,
utilizando diferentes números de modos transformados. ........................ 97
Figura 7.56 - Condutância térmica estimada, para o CASO 1,utilizando diferentes
números de modos transformados das medidas. ..................................... 98
Figura 7.57- Estados da cadeia de Markov, para o CASO 1, utilizando modos
transformados das medidas. .................................................................... 99
Figura 7.58 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 1, utilizando
modos transformados das medidas. ........................................................ 99
Figura 7.59 - Condutância térmica estimada, para o CASO 2,utilizando 50 modos
transformados das medidas. .................................................................. 100
Figura 7.60 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 2, utilizando modos
transformados das medidas. .................................................................. 101
Figura 7.61- Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 2, utilizando
modos transformados das medidas. ...................................................... 101
Figura 7.62 - Condutância térmica estimada, para o CASO 3,utilizando 40 modos
transformados das medidas. .................................................................. 102
Figura 7.63 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 3, utilizando 40 modos
transformados das medidas. .................................................................. 102
Figura 7.64 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 3, utilizando 40
modos transformados das medidas. ...................................................... 103
Figura 7.65 - Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b,utilizando 50 modos
transformados das medidas. .................................................................. 103
Figura 7.66 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4., utilizando 50 modos
transformados das medidas. .................................................................. 104
Figura 7.67 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b, utilizando 50
modos transformados das medidas. ...................................................... 104
Figura 7.68 - Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b,utilizando 30 modos
transformados das medidas. .................................................................. 104
Figura 7.69 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.b, utilizando 30 modos
transformados das medidas. .................................................................. 105
xii
Figura 7.70 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b, utilizando 30
modos transformados das medidas. ...................................................... 105
Figura 7.71 – Condutância térmica exata para o CASO 5............................................ 106
Figura 7.72 – Perfil exato de temperaturas para o CASO 5.a, tempo final 10s............ 107
Figura 7.73 – Perfil exato de temperaturas para o CASO 5.a, tempo final 1000s........ 108
Figura 7.74 – Convergência da temperatura no tempo para a posição x= 0 e y = 0, para o
CASO 5.a. ............................................................................................. 108
Figura 7.75 – Perfil de Temperaturas simuladas, em (a) em t = 10s e em (b) em t =
1000s, com desvio padrão das medidas σ = 0.1°C, para o CASO 5.a. . 109
Figura 7.76 – Condutância térmica estimada, para o CASO 5.a, com medidas no campo
da temperatura e sem estimar o hiperparâmetro γ. ............................... 109
Figura 7.77 – Convergência da temperatura no tempo para a posição x= 0 e y = 0, para o
CASO 5.b. ............................................................................................. 110
Figura 7.78 – Perfil de Temperaturas simuladas, em (a) em t = 10s e em (b) em t = 200s,
com desvio padrão das medidas σ = 0.1°C, para o CASO 5.b. ............ 110
Figura 7.79 – Condutância térmica estimada, para o CASO 5.b, com medidas no campo
da temperatura e sem estimar o hiperparâmetro γ. ............................... 111
Figura 7.80 – Analise de recuperação do condições de contorno, problema auxiliar w1,
CASO 5a. .............................................................................................. 113
Figura 7.81 – Comparação entre os resultados obtidos com os métodos MCMC, RF e
MRF, para o CASO 5.a. ........................................................................ 113
Figura 7.82 – Comparação entre os resultados obtidos com os métodos MCMC, RF e
MRF, para o CASO 5.b......................................................................... 114
Figura 7.83 – Funções de condutância térmica de contato, usadas em COLAÇO e
ALVES (2013). ..................................................................................... 115
Figura 7.84 – Temperaturas simuladas nos CASOS 6.a-f com desvio padrão dos erros
de σ = 0.5%. .......................................................................................... 116
Figura 7.85 – Resultados obtidos para determinação do h(x) nos CASOS 6.a-f, com
desvio padrão dos erros de σ = 0.5% da temperatura máxima. ............ 117
Figura 7.86 – Resultados obtidos para determinação do (T2-T1) nos CASOS 6.a-f, com
desvio padrão dos erros de σ = 0.5% da temperatura máxima. ............ 118
Figura 7.87 – Resultados obtidos para determinação do (−k2∂nT2) nos CASOS 6.a-f,
com desvio padrão dos erros de σ = 0.5% da temperatura máxima. .... 119
Figura 7.88 – Temperatura medida e filtrada para o CASO 6.a com RF ou MRF. ...... 120
xiii
Figura 7.89 - Imagem termográfica obtida através da câmera FLIR A325sc no
experimento utilizando amostra sem falhas de contato. ....................... 123
Figura 7.90 – Imagens termográficas na amostra sem falhas para: (a) tempo inicial e (b)
após 100 segundos de experimento....................................................... 124
Figura 7.91 – (a) Evolução das medidas de temperatura no tempo para uma tensão
elétrica de 100V. (b) Histograma produzido nos 10s iniciais de
experimento........................................................................................... 124
Figura 7.92 - (a) Evolução no tempo da temperatura estimada e de temperaturas
medidas em diferentes posições. (b) Diferença entre a temperatura
estimada e a temperatura medida em diferentes posições. .................. 126
Figura 7.93 - Fluxo de calor com variação no tempo estimado para o caso com tensão
elétrica de 100V, utilizando o método MCMC. .................................... 128
Figura 7.94 – Estados da cadeia de Markov em dois tempos discretos, para a estimativa
do fluxo de calor através do método MCMC, com tensão elétrica
aplicada de 100V................................................................................... 128
Figura 7.95 – Histogramas em dois tempos discretos, para a estimativa do fluxo de calor
através do método MCMC, com tensão elétrica aplicada de 100V. ..... 129
Figura 7.96 – Desvio padrão, σq, obtido para o fluxo de calor através do método
MCMC. ................................................................................................. 129
Figura 7.97 - (a) Evolução no tempo da temperatura estimada e de temperaturas
medidas em diferentes posições. (b) Diferença entre a temperatura
estimada e a temperatura medida em diferentes posições. .................. 130
Figura 7.98 – Comparação entre o fluxo de calor estimado com o método MCMC e com
o método de PACHECO et al. (2014). ................................................. 131
Figura 7.99 – Resultados obtidos com o Código de PACHECO et al. (2014) para o
fluxo de calor, utilizando tensão elétrica de 100V. ............................... 132
Figura 7.100 – Distribuição espacial do fluxo de calor ................................................ 133
Figura 7.101 – Avaliação da repetitividade experimental, resultados obtidos para 3
experimentos distintos. ......................................................................... 134
Figura 7.102 – Resultados para estimativa do fluxo de calor com superfície inferior
isolada e com aplicação de tensão elétrica de 80V. .............................. 135
Figura 7.103 – Comparação de temperaturas e resíduos para o caso com superfície
inferior isolada e com aplicação de tensão elétrica de 80V. ................. 136
xiv
Figura 7.104 – (a) Fluxo de calor até regime permanente e (b) desvio padrão do fluxo,
para superfície inferior com temperatura prescrita e com aplicação de
tensão elétrica de 80V. .......................................................................... 137
Figura 7.105 - (a) Evolução da temperatura no tempo até regime permanente e (b)
analise de resíduos. Para o caso com superfície inferior com temperatura
prescrita e com aplicação de tensão elétrica de 80V............................. 138
Figura 7.106 – Validação problema direto com método Híbrido utilizando neste
trabalho, para tensão de 100V e assumindo Bic= 0. ............................. 139
Figura 7.107 – Validação problema direto com método Híbrido utilizando neste
trabalho, para tensão de 100V e assumindo Bic=12. ............................. 140
Figura 7.108 – Temperatura medida após 100s de experimento com falha circular e
tensão 100V. ......................................................................................... 142
Figura 7.109 – Analise de modos transformados falha circular, V=100V. .................. 143
Figura 7.110 – Imagem filtrada de temperaturas, utilizando 50 modos transformados.
............................................................................................................... 144
Figura 7.111 – Estimativa da condutância térmica de contato para amostra com falha
circular, com V=100V. ......................................................................... 145
Figura 7.112 – Histogramas dos 10 segundos iniciais das medidas transformadas para o
caso experimental estudado 1, com V=100V. ...................................... 145
Figura 7.113 – Convergência da Posteriori para o caso experimental 1, com falha
circular e tensão aplicada de 100V. ...................................................... 146
Figura 7.114 – Convergência da cadeia de Markov para região de falha e de contato
perfeito para o caso experimental 1, com V=100V. ............................. 146
Figura 7.115 – Histogramas para uma região de falha e uma região de contato, para o
caso experimental 1 com V=100V. ....................................................... 147
Figura 7.116 – Comparação entre as temperaturas medidas e estimadas e a diferença
entre elas, para o caso experimental 1. ................................................. 147
Figura 7.117 – Fluxo de Calor médio dado como entrada e fluxo estimado, para caso
experimental 1, com aplicação de tensão elétrica de 100V. ................. 148
Figura 7.118 – Medidas de temperatura: (a) após 100s com V=100V; (b) após 3500s
com V=80V; ......................................................................................... 148
Figura 7.119 – Temperatura filtrada para o caso com falha retangular ........................ 149
Figura 7.120 – Condutância térmica de contato estimada para o caso experimental 2,
com falha retangular e tensão aplicada de 100V. ................................. 149
xv
Figura 7.121 – Comparação entre as temperaturas medidas e estimadas e a diferença
entre elas, para o caso experimental 2. ................................................. 150
Figura 7.122 Convergência da posteriori para o caso experimental 2, com falha
retangular e tensão aplicada de 100V. .................................................. 151
Figura 7.123 - Convergência da cadeia de Markov para região de falha e de contato
perfeito para o caso experimental 2, com V=100V. ............................. 151
Figura 7.124 – Histogramas para uma região de falha e uma região de contato, para o
caso experimental 2 com V=100V. ....................................................... 152
Figura 7.125 - Fluxo de Calor médio dado como entrada e fluxo estimado, para caso
experimental 2. ...................................................................................... 152
Figura 7.126 – Resultados obtidos para a estimativa da condutância térmica de contato
utilizando o método MCMC e o método MRF. .................................... 153
Figura 7.127 - Resultados obtidos para determinação do (T2-T1) na interface e para
(k2 nT2 ) . ................................................................................................
153
Figura 8.1 – Corpo de Prova cedido pelo Laboratório LNDC, confeccionados em resina
epóxi, reforçada com fibra de vidro e unidos com uma resina epoxílica.
............................................................................................................... 156
Figura 9.1 – Esquema de distribuição de pontos de colocação nos contornos (linha
inteira) e dos pontos fonte, externos ao domínio (linha tracejada). ...... 164
Figura 9.2 – Geometria bidimensional de um meio composto por duas camadas. ...... 166
Figura 9.3 - Esquema de distribuição de pontos de colocação nos contornos (linha
inteira) e dos pontos fonte, externos ao domínio (linha tracejada) para o
caso bidimensional em geometria retangular. ....................................... 169
xvi
LISTA DE TABELAS
Tabela 5.1 – Resumo dos Problemas Auxiliares I e II, com problemas de Cauchy
(COLAÇO e ALVES, 2013). .................................................................. 41
Tabela 5.2 – Resumo dos Problemas Auxiliares I e II, com problemas de Laplace
(ABREU et al., 2014b). .......................................................................... 43
Tabela 5.3 – Resumo dos Problemas Auxiliares I e II, com problemas de Laplace
(ABREU et al., 2014b), para o caso particular onde k1=k2. .................... 44
Tabela 6.1 – Dados técnicos das câmeras termográficas FLIR A325sc e FLIR SC660. 48
Tabela 7.1 – Materiais Compostos analisados................................................................ 59
Tabela 7.2 - Propriedades termofísicas dos materiais utilizados. ................................... 60
Tabela 7.3 - Análise de convergência da série em X e Y, para o teste 1 em regime
permanente. ............................................................................................. 62
Tabela 7.4 - Tabela de temperatura versus posição para um
hc
alto, em regime
permanente. ............................................................................................. 63
Tabela 7.5 - Análise de convergência da série em X e Y para o CASO 1 em t=10s....... 69
Tabela 7.6 - Análise de convergência da série em X e Y para o CASO 2 em t=10s....... 74
Tabela 7.7 - Análise de convergência da série em X e Y, para o CASO 3. .................... 77
Tabela 7.8 - Análise de convergência da série em X e Y, para CASO 4. ....................... 80
Tabela 7.9 – Resultados obtidos para a estimativa de fluxo constante......................... 125
xvii
LISTA DE SÍMBOLOS
SÍMBOLOS LATINOS
a, b, c
- Dimensões do compósito laminado, [m].
A, B, C
- Números adimensionais referentes às dimensões a, b, c.
Bi
- Número de Biot.
Bic
- Condutância térmica, adimensional, no contato.
D
- Número total de medidas.
h
- Coeficiente de transferência de calor, [W/m2 K].
hc
- Condutância térmica no contato entre camadas [W/m2 K].
IC
- Intervalos de Confiança.
IJF
- Número máximo de modos transformados reordenados.
k
- Condutividade térmica [W/mK].
LMM
- Levenberg-Marquardt Method
M
- Número de elementos na malha espacial (pixels).
nmáx
- Número de medidas transientes.
N
- Integrais de normalização.
P
- Vetor de parâmetros.
p
- Função de distribuição proposta
q
- Fluxo de calor [W/m2].
RH
- Razão de Hastings.
s
- Posições fora do domínio.
t
- tempo [s].
T
- Temperatura [°C].
VR
- Valores de Referência.
W
- Inversa da matriz de covariância dos erros de medição.
x, y, z
- Coordenadas espaciais.
X ,Y , Z
- Coordenadas espaciais adimensionais.
x, X
- Vetores contendo coordenadas espaciais.
Y
- Vetor de temperaturas medidas.
xviii
SÍMBOLOS GREGOS
- Difusividade térmica [m2/s].
- Autovalores para a direção x.
- Autovalores para a direção y.
- Temperaturas adimensionais.
- Autovalores reordenados.
- Média dos parâmetros da informação a priori Gaussiana.
- Desvio padrão das medidas [°C].
- Tempo adimensional.
- Domínios do compósito laminado.
- Superfícies do compósito laminado.
SUBSCRITOS
1, 2
- Componente 1 e 2 do compósito laminado.
i, j, m, u
- Ordem dos autovalores nas direções X e Y.
ij, mu
- Ordem dos autovalores reordenados.
l
- número de camadas.
conv
- Indica um valor/parâmetro relacionado com convecção.
ref
- Valores de referência.
- Superfície inferior.
- Superfície superior.
c
- Superfície de contato entre camadas.
max
- indica um valor/parâmetro máximo.
ini
- indica temperaturas iniciais.
SOBRESCRITOS
t
- Estados da Cadeia de Markov
- Transformação Integral nas direções x e y.
*
- Indica propriedades ou parâmetros adimensionais.
i, j, ij
- Funções de base nas direções x, y e vetor agrupando as duas,
respectivamente
T
- Matriz transposta.
xix
ABREVIATURAS
GITT
- Generalized Integral Transform Technique
CITT
- Classical Integral Transform Technique
TVF
- Total Variation Function
RF
- Reciprocity Functional
MFS
- Modified Functional Reciprocity
END
- Ensaios Não destrutivos
MCMC
- Markov Chain Monte Carlo Method.
TSVD
- Truncated Singular Value Decomposition
PMMA
- Polimetil-metacrilato, acrílico
xx
CAPÍTULO 1 1.1
INTRODUÇÃO
MOTIVAÇÃO
A formulação e solução de problemas que permitam avaliar a adesão entre dois
ou mais materiais tem grande importância em diversas áreas do conhecimento, como a
eletrônica, telecomunicação, aviação, indústrias da defesa e petrolífera, entre muitas
outras.
Em transferência de calor pode-se analisar esta adesão através da avaliação da
resistência térmica de contato entre os materiais unidos. Esta análise, entretanto, pode
ser empregada em diversas outras aplicações, uma vez que consiste na determinação da
resistência térmica de contato entre as camadas do composto. A avaliação de contato
entre componentes eletrônicos e sistemas de resfriamento, reatores nucleares ou na
detecção de falhas na junção entre materiais que formam compósitos laminados são
algumas das aplicações comuns (ABREU, 2011).
Em aplicações utilizando a técnica de termografia por infravermelho para a
detecção não intrusiva de falhas entre juntas de compósitos laminados é muito comum
que a avaliação seja puramente qualitativa. Existem hoje esforços para que o
conhecimento sobre transferência de calor seja aplicado, neste sentido, para que as
analises realizadas apenas qualitativamente sejam realizadas quantitativamente. De fato,
nem sempre apenas com ensaios qualitativos é possível identificar falhas de adesão ou
aderência. Muitas vezes os gradientes de temperatura provocados por regiões de falhas
são muito pequenos ou mesmo em algumas situações a espessura dos materiais e suas
temperaturas de transição vítrea impedem que grandes gradientes sejam provocados e as
falhas
sejam
identificadas
apenas
pela
imagem
termográfica
(MEOLA
e
CARLOMAGNO, 2004; ABREU et al., 2014a).
A aplicação de materiais compósitos tem crescido devido principalmente as
possibilidades de se ajustar às características dos componentes construídos de forma a
terem desempenho otimizado, sejam eles tubos, paredes ou outros.
Nos casos citados é essencial que o conhecimento sobre transferência de calor
em meios compostos seja aplicado de forma a otimizar a aplicação do fluxo de calor no
ensaio não destrutivo utilizando termografia por infravermelho e ainda a garantir que as
os resultados e as conclusões sejam corretos.
1
Na dissertação de mestrado do autor desta tese, foi iniciado um trabalho de
análise de falhas na junção entre camadas de compósitos laminados (ABREU, 2011).
Através da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) foi resolvido um
problema direto de transferência calor tridimensional em regime transiente.
Considerou-se naquele trabalho a existência de uma resistência térmica de contato entre
as interfaces das placas que compõem os compósitos laminados analisados, com
variação espacial da mesma. No referido trabalho iniciou-se ainda a solução do
problema inverso, através da estimativa de parâmetros da formulação do problema,
utilizando o método de Monte Carlo com Cadeia de Markov (MCMC).
Aquele trabalho demonstrou grandes possibilidades para trabalhos futuros, tais
como: utilização de modelos de informação a priori do tipo Markov Random Field,
solução do problema inverso usando modos transformados das medidas, compactando
assim as medidas utilizadas, além da possibilidade de comparar os resultados obtidos
com uma nova abordagem utilizando funcionais de reciprocidade (RF).
1.2
OBJETIVOS
O objetivo deste trabalho é a detecção qualitativa e quantiva da condutância
térmica de contato na interface entre camadas de materiais multicamadas, fazendo uso
da solução de um problema inverso de transferência de calor. A identificação da
condutância térmica de contato na interface entre camadas de materiais compósitos
laminados permite que a técnica não intrusiva de termografia por infravermelho possa
ser utilizada de forma quantitativa na analise de falhas nestes materiais.
Como contribuição deste trabalho considera-se especialmente a transformação
integral bidimensional das medidas experimentais, que possibilitarão a compressão de
dados obtidos com a câmera de termografia por infravermelho e assim a utilização dos
modos transformados na solução do problema inverso via inferência Bayesiana. Esta
compressão de dados permite manter as características das medidas e possibilita um
aumento da velocidade computacional na solução do problema inverso. Como
contribuição deste trabalho, inclui-se ainda um estudo matemático com componente
numérica e computacional, com vista a estabelecer, através de um funcional de
reciprocidade, uma relação entre as medições efetuadas e a resistência térmica de
contato entre as placas solucionando dois problemas auxiliares de Laplace. Isso permitiu
2
desenvolver um algoritmo numérico de identificação através de funções de base
apropriadas, que foi implementado computacionalmente. Foi realizada uma comparação
entre os dois métodos e os resultados foram validados experimentalmente utilizando um
aparato experimental totalmente desenvolvido neste trabalho, para analisar as
metodologias propostas para a detecção de falhas em amostras de materiais compostos
contendo falhas com formato controlado.
1.3
ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
No capítulo 2 apresenta-se uma revisão bibliográfica sobre assuntos pertinentes
e relacionados com o presente trabalho. Buscou-se especificamente referências que
tratam de técnicas de estatística Bayesiana e analíticas na solução de problemas
inversos, especificamente aquelas que utilizam métodos de Monte Carlo com Cadeias
de Markov (MCMC) e aplicação de funcionais de reciprocidade (RF). Foram estudados
trabalhos anteriores para detecção da condutância térmica de contato e analises
quantitativas de falhas em meios compostos. Desta forma, pôde-se situar o presente
trabalho no atual contexto dos estudos existentes na literatura.
No capítulo 3 é proposto um modelo físico e matemático para o problema direto
de condução de calor tridimensional transiente através de um meio composto, com
coeficiente de transferência de calor no contato. Este coeficiente tem variação na seção
transversal do material, o que distingue o presente trabalho da maior parte dos trabalhos
realizados neste contexto. Propõe-se uma formulação geral e outra particularizada para
um caso envolvendo um material composto por duas camadas.
No capítulo 4, o problema direto é solucionado para o caso particular
envolvendo duas camadas de um compósito laminado, através de um método híbrido
(analítico/numérico) que combina o método de diferenças (MDF) com a técnica de
transformada integral generalizada (GITT).
No capítulo 5 é apresentada a solução do problema inverso de transferência de
calor, utilizando dois métodos: o método de Monte Carlo com Cadeia de Markov
(MCMC) e um método utilizando funcionais de reciprocidade (RF).
No Capítulo 6 é apresentada a montagem do aparato experimental desenvolvido
para a realização de experimentos que visam validar e avaliar os métodos propostos
neste trabalho.
3
No Capítulo 7 são apresentados e discutidos os resultados obtidos. Utilizando a
solução do problema direto, foram simuladas medidas de temperatura com erros
controlados para gerar resultados de alguns casos da solução do problema inverso,
envolvendo materiais comumente utilizados na indústria. Neste capítulo também são
analisados casos envolvendo medidas experimentais reais obtidas no aparato descrito no
Capítulo 7, para amostras fabricadas com falhas de contato controladas.
O capítulo 8 apresenta as conclusões do trabalho, contendo um balanço daquilo
que foi realizado e propondo possíveis futuros trabalhos.
4
CAPÍTULO 2 -
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste capítulo pretende-se apresentar a revisão da literatura deste trabalho
considerando os diferentes aspectos tratados no mesmo. Desta forma, são aspectos
considerados importantes: estudos relacionados com materiais compósitos, o estudo da
resistência térmica de contato, transferência de calor em meios compostos, problemas
inversos em transferência de calor (via inferência Bayesiana e via funcional de
reciprocidade), técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) e finalmente o
Método das Soluções Fundamentais (MFS). Focou-se, portanto, nas referencias
bibliográficas que estão diretamente relacionadas com os materiais e técnicas utilizadas
neste trabalho.
2.1
MATERIAIS COMPOSTOS OU COMPÓSITOS
Um material composto ou compósito é definido como resultado da combinação
de diferentes materiais cujas propriedades, em algum sentido, são melhores do que às
dos materiais que os constituem. Diferente do caso da formação de ligas metálicas,
neste caso trata-se da combinação de materiais que quando unidos preservam
individualmente suas propriedades mecânicas, químicas, físicas, etc. Desta forma, podese considerar que trata-se então de um meio heterogêneo onde a combinação das
características de seus materiais constituintes apresenta um desempenho diferente
daqueles dos materiais constituintes (JONES, 1975; CAMPBELL, 2003). Avanços nos
processos de fabricação e a necessidade de que existam materiais específicos, com
características ótimas em sua aplicação, têm feito com que a procura e aplicação deste
tipo de material venha crescendo significativamente. Classifica-se atualmente os
materiais compósitos basicamente em: Compósitos Fibrosos; Compósitos Particulados e
Compósitos Laminados (GIBSON, 1994).
Os compósitos laminados são formados pela laminação de materiais distintos em
diferentes camadas (por exemplo, fibra de vidro, resinas, etc). O objetivo da
combinação destas camadas é produzir um novo material cujas características são
melhoradas de acordo com a expectativa de aplicação do mesmo (GIBSON, 1994).
Algumas características frequentemente necessárias nas indústrias aeronáutica,
petrolífera ou naval são: aumento da resistência mecânica, durabilidade, resistência à
corrosão, menor peso, maior facilidade na instalação entre outras (ONKAR et al.,
2007).
5
Nos processos automáticos de laminação, que de fato são os mais utilizados pela
indústria, existe controle da temperatura e a pressão de maneira reduzir a ocorrência de
falhas internas. Um dos tipos de compósitos laminados mais comum é aquele formado
por estruturas em sanduíche. A ideia de sanduíche se deve ao fato de que um
componente apresenta duas camadas externas feitas, no caso, de laminados de materiais
compostos, e um núcleo, normalmente feito com alguma forma de espuma expansível
(poliestireno, poliuretano) ou o “honeycomb”, ou “colméia” (GAY et al., 2003).
É comum que as camadas dos compósitos laminados sejam reforçadas com
fibras e outros materiais, que vistos microscopicamente são meios heterogêneos. Uma
vez que neste trabalho estas camadas serão analisadas apenas do ponto de vista
macroscópico, as mesmas serão tratadas como meios homogêneos(REDDY, 1997).
Desta forma, as propriedades serão analisadas através de seus valores efetivos em cada
camada do material. Destaca-se que do ponto de vista macroscópico, o tratamento dado
para os compósitos laminados pode ser dado a qualquer material composto constituído
por várias placas.
Entre as inúmeras razões para o surgimento de falhas em compósitos laminados,
destaca-se aquelas provocadas por danos provenientes do processo de fabricação e a
presença de tensões internas entre as camadas do compósito ou nas fibras que estas
contêm em sua construção (LIU, 1988). Os danos encontrados em compósitos
laminados normalmente estão presentes internamente no material e são observados
externamente apenas em situações extremas (MORAES, 1999). Existem diferentes
classificações para os tipos de danos em materiais compósitos laminados. De maneira
geral os principais termos são: “delaminations” ou “disbonds”, “debonds” e “kissing
bonds” (GAY et al., 2003).
Delaminação referem-se ao descolamento de uma lâmina ou uma parte de uma
lâmina que compõe o material compósito laminado. Debonds é o termo utilizado
quando esta falha ocorre numa região onde já havia sido realizado um reparo e,
finalmente, kissing bonds é o termo utilizado para falhas ocorridas por falta de material
aderente entre as interfaces (GAY et al., 2003). Entretanto estas são apenas as mais
utilizadas, já que existem inúmeras outras nomenclaturas utilizadas para diferentes
casos de falhas em compósitos laminados.
Conclui-se que é de grande importância conhecer, quantificar e qualificar estas
falhas internas devido às diversas aplicações envolvendo grandes custos, transporte de
materiais com alto risco para o meio ambiente,(como na indústria petrolífera),
6
segurança aérea e outros. Para detectar falhas em compósitos laminados, grandes
esforços vêm sendo realizados atualmente. Em especial, utilizando métodos não
destrutivos, cita-se: Exames de ultrassonografia do tipo “C-Scanning”, de radiografia,
inspeção visual, exame por transmissão de luz, microscopia, termografia de
infravermelho, etc., (MORAES, 1999).
De acordo com FRANCO et al. (2006), a caracterização de fraturas de
laminados de tecidos de fibras de vidro-epóxi, através de técnicas de investigação e
análise de falhas, permite estabelecer o início da falha e qual a sequência de falhas no
laminado.
Os autores observaram através múltiplos cisalhamentos do ensaio de
cisalhamento interlaminar, além de cisalhamento intralaminar nos compósitos
analisados. Neste referido trabalho, a microscopia eletrônica de varredura não pode
determinar a direção ou modo da falha.
De acordo com GAY et al. (2003), existem muitos métodos para detecção de
falhas em compósitos laminados, através de diversos tipos de END’s. Entretanto,
poucos são eficientes aos detectar delaminações. Em seu trabalho, SCHÖNTAG et al.
(2010) proposeram um estudo para caracterizar a profundidade em que se localizam
defeitos internos em materiais compósitos, apresentando um estudo sobre shearografia
associada ao carregamento vibracional.
Segundo HUNG et al. (2007), existe a possibilidade de se detectar a
profundidade da falha de maneira inversa, quando é conhecida a temperatura do
material e as propriedades do mesmo (o que é proposto neste trabalho). Entretanto,
encontrou-se naquele trabalho apenas a metodologia direta, onde aplica-se calor
uniformemente sobre a superfície do material a ser avaliado e monitora-se as alterações
na distribuição de temperaturas por um determinado período de tempo.
Nos métodos diretos, aplica-se uma fonte uniforme de calor numa superfície e,
utilizando uma câmera termográfica, monitora-se a mesma. Desta forma, quando uma
estrutura está livre de falhas, a distribuição de temperaturas não muda conforme a
superfície se aquece e se resfria, e permanece uniforme. Entretanto, as áreas com falha
se aquecem mais em comparação com áreas bem coladas, devido a um baixo coeficiente
de troca térmica de contato entre as placas do material. Nestas abordagens, a região
superficial onde existe falha é determinada, mas a profundidade onde esta falha ocorre
não é mensurada, diferente do que ocorre na abordagem através do problema inverso.
Assim, de maneira simplificada, conhecer a profundidade onde a falha se encontra
7
significa determinar a posição exata onde a mesma ocorre e assim todas as suas
dimensões.
Em diversas aplicações de engenharia, a transferência de calor acontece através
de um meio composto por várias camadas, seja através de um material compósito
laminado como paredes de aviões, seja através da junção de dois materiais, como em
tubos recobertos por isolantes ou ainda em juntas de tubulações. Desta forma, são
inúmeras as ocorrências em engenharia onde camadas de materiais, diferentes ou não,
são unidas.
Soluções analíticas para problemas de difusão de calor são encontradas na
literatura (ÖZIŞIK, 1993) para diversos casos de equações diferenciais parciais
(homogêneas e não homogêneas), inclusive para problemas de difusão de calor em
meios compostos. No referido trabalho, é utilizada a técnica de separação de variáveis e
a Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT). Encontram-se soluções para o
meio composto por um único material para diversas classes de problemas, com modelos
transientes uni, bi e tridimensionais com condições de contorno homogêneas e nãohomogêneas (ÖZIŞIK, 1993), inclusive para alguns casos onde o meio é considerado
heterogêneo e suas propriedades termofísicas variam em seu interior.
Foram obtidas ainda (ÖZIŞIK, 1993) soluções para meios compostos por várias
camadas de materiais diferentes, cujas propriedades são constantes dentro de cada uma
delas (abordagem a ser utilizada no presente trabalho para o problema de difusão de
calor em compósitos laminados). Para este caso, as soluções são mais restritas devido à
complexidade do mesmo. São encontradas soluções analíticas apenas para problemas
unidimensionais, com a existência de uma resistência de contato constante ou problemas
tridimensionais onde considerou-se a hipótese de contato térmico perfeito.
Soluções analíticas para problemas de difusão de calor estão compiladas
considerando sete classes de formulações (MIKHAILOV e ÖZIŞIK, 1984). As soluções
obtidas para os materiais compostos são considerados como um caso especial do
problema de classe II. Nestes casos existe a necessidade da solução de um problema de
autovalor associado e de uma busca por seus autovalores. Este trabalho é de grande
complexidade, pois envolve equações transcendentais que dificultam muito a busca por
estes autovalores (COTTA, 1993). Nestes casos precisa-se de uma técnica mais acurada
para encontrar os autovalores, como a contagem de sinais ou a Transformada Integral
Generalizada (COTTA, 1993), que constitui um avanço na solução de problemas de
Sturm-Liouville. A técnica da Transformada Integral Clássica posteriormente foi
8
acrescida de uma abordagem híbrida, dando origem à Técnica da Transformada Integral
Generalizada (GITT), oferecendo assim a possibilidade de resolver problemas antes
tratados como não transformáveis, através de uma abordagem numérico-analítica
(COTTA, 1993).
Soluções puramente numéricas utilizando métodos de diferenças finitas,
volumes finitos ou elementos finitos são encontrados na literatura para casos
envolvendo transferência de calor tridimensional ou em meios compostos. Observou-se
que o custo computacional destas técnicas é alto (WANG et al., 2003). Tal custo
computacional torna difícil a solução do problema inverso através do método MCMC
(KAIPIO e SOMERSALO, 2005), o qual necessita da solução do problema direto
milhares de vezes durante sua execução.
Problemas de autovalor envolvendo meios heterogêneos, com propriedades
internas dos meios variando unidimensionalmente, foram resolvidos (NAVEIRACOTTA et al., 2011), inclusive expandindo as propriedades termofísicas do meio em
autofunções, permitindo uma abordagem totalmente analítica do sistema transformado.
A técnica da transformada integral generalizada (GITT) foi aplicada na análise dos
problemas direto e inverso de condução de calor em meios heterogêneos, incluindo uma
abordagem de análise inversa no campo transformado, realizando a transformação integral
unidimensional dos dados experimentais (NAVEIRA-COTTA et al., 2011).
Quando um sistema térmico composto é formado, duas superfícies de materiais
são unidas, seja através de algum adesivo, solda ou simplesmente por meio de pressão.
Microscopicamente, apenas frações destes materiais estão realmente em contato entre si,
havendo uma mudança de temperatura através da interface de contato entre as
superfícies. Atribui-se esta mudança de temperatura na interface ao que é conhecido na
literatura como resistência térmica de contato, Rc, ou sua inversão que é conhecida
como condutância térmica de contato hc=1/Rc.
Em geral, quando existe a união de dois materiais sólidos, a resistência térmica
de contato é provocada principalmente pela rugosidade dos materiais unidos, ou seja, o
contato direto entre as camadas acontece microscopicamente em apenas algumas
regiões, sendo que nas outras os espaços são preenchidos pelo fluido ambiente ou mais
comumente por ar.
Visando a previsão da resistência térmica de contato, existem muitos trabalhos
teóricos e experimentais de análise. Em geral, os mais utilizados em projetos práticos
são os trabalhos experimentais. Entretanto, determinar a variação espacial da resistência
9
térmica na superfície de contato é uma tarefa bastante difícil e, em geral, muitos
trabalhos determinam valores globais desconsiderando esta variação. O método da placa
quente normatizado pode ser utilizado para determinar descontinuidades de temperatura
na interface entre materiais, com a desvantagem de prever apenas valores globais da
resistência térmica de contato e de requerer aparelhos experimentais complicados,
associados ou não a medições intrusivas de temperatura (WOLFF e SCHNEIDER,
1998; COLAÇO e ALVES, 2013).
Medidas não-invasivas, através do método de flash de laser com o método de
Gauss, foram utilizados para estimar a resistência de contacto entre dois sólidos
(MILOSEVC et al., 2002; MILOSEVIC et al., 2003). Para amostras de materiais com
condutividade térmica alta ou para materiais com pequenas espessuras da camada, foi
possivel estimar valores constantes da condutância térmica de contato. Não obteve-se
bons resultados quando as regiões de mau contato termico eram pequenas.
Pode-se encontrar ainda métodos semi-analíticos para solucionar estes
problemas. Entretanto, estes métodos fazem uso de casos onde a solução fundamental
está disponível e onde as funções relacionadas com o problema são contínuas (ALVES
e LEITÃO, 2006). Como este trabalho tem o interesse de detectar descontinuidades na
região de interface entre camadas de compostos laminados, é essencial que o método de
solução do problema direto permita a existência de funções descontínuas.
2.2
PROBLEMAS INVERSOS
Problemas inversos em transferência de calor tratam essencialmente da
estimativa de termos desconhecidos, encontrados em formulações matemáticas de
problemas físicos em ciências térmicas, utilizando medições que podem ser de fluxo de
calor, temperaturas, intensidades de radiação, etc. A análise inversa tem sido
frequentemente utilizada para a solução de problemas que abrangem desde a estimativa
de parâmetros constantes em transferência de calor até um mapeamento do espaço e no
tempo para funções, tais como: fontes de calor, fluxos, e propriedades termofísicas, etc
(ORLANDE, 2012).
Este trabalho está focado na solução de um problema inverso de condução de
calor com o objetivo de utilizar medidas de temperatura para determinar
qualitativamente e quantitativamente falhas em compósitos laminados. Como já foi dito
anteriormente, a solução particular deste problema inverso é de grande interesse para as
indústrias de materiais, petrolífera e aeroespacial, entre outras.
10
Existem diversas obras literárias clássicas sobre problemas inversos em
transferência de calor. Destacam-se inicialmente alguns trabalhos pioneiros, os quais
venceram as primeiras grandes dificuldades impostas pelo caráter mal posto típico desta
classe de problemas. Entre os cientistas pioneiros pode-se citar: A. N. Tikhonov, O.M.
Alifanov e J. V. Beck (ÖZIŞIK e ORLANDE, 2000). Os conceitos fundamentais sobre
problemas inversos de condução de calor podem ser encontrados em ÖZIŞIK e
ORLANDE (2000), juntamente com quatro técnicas de solução de problemas inversos
em transferência de Calor, tanto para estimativa de parâmetros como para estimativa de
funções, além de soluções de interesse prático na engenharia envolvendo problemas de
condução, convecção e radiação.
Na estatística Bayesiana tenta-se utilizar toda a informação disponível a fim
reduzir a quantidade de incertezas em um problema. Ou seja, enquanto a informação
nova é obtida, com ela será combinada toda a informação precedente, dando a base para
procedimentos estatísticos. O mecanismo formal usado para combinar a informação
nova com a informação previamente disponível é o teorema de Bayes (WINKLER,
2003; TAN et al., 2006; KAIPIO e SOMERSALO, 2005).
O algoritmo de Metropolis-Hastings é um dos Métodos de Monte Carlo com
Cadeias de Markov (MCMC) (KAIPIO e SOMERSALO, 2005). A cadeia de Markov é
um caso particular de um processo estocástico com estados discretos e apresenta a
propriedade Markoviana (uma homenagem ao matemático Andrei A. Markov). Esta
propriedade, também chamada de memória Markoviana, define que os estados
anteriores são irrelevantes para a predição dos estados seguintes, desde que o estado
atual seja conhecido. Desta forma o processo Markoviano futuro depende apenas do
estado atual (GAMERMAN e LOPES, 2006; ORLANDE et al., 2008).
Técnicas Bayesianas foram utilizadas para identificar simultaneamente a
condutividade térmica, a capacidade térmica e um fluxo de calor, num problema inverso
unidimensional não-linear de transferência de calor. Utilizou-se para isto o algoritmo
Metropolis-Hastings, citado anteriormente (MOTA et al., 2010). Neste trabalho
utilizou-se uma informação a priori de campo aleatório Markoviano (MRF- Markov
Randon Field)
Na identificação de propriedades e parâmetros termofísicos variáveis, utilizando
técnicas Bayesianas de estimativa de parâmetros e funções, o erro da técnica de
termografia por infravermelho é de grande interesse, fornecendo uma quantidade
representativa de medidas, tanto no espaço quanto no tempo, criando assim novos
11
horizontes na análise da condução de calor em meios heterogêneos (FUDYM, 2006;
FUDYM et al., 2007).
Um problema inverso de condução de calor foi solucionado (FIEBERG e
KNEER, 2008) para estimar o fluxo de calor na interface entre dois sólidos. Foram
realizadas medidas de temperatura por uma câmara de infravermelho na interface,
exigindo que houvesse algum acesso direto à mesma.
Foi resolvido um problema inverso de condução de calor para estimar a
distribuição espacial da resistência de contato (GILL et al., 2009). Os autores
mencionam o fato de que os modelos mais comuns consideram a resistência térmica de
contato constante. Os resultados obtidos foram sensíveis a erros de medição, sendo
necessárias tecnicas de regularização. As temperaturas foram medidas muito perto da
interface, tornando o método bastante intrusivo. No entanto, a principal contribuição
deste trabalho foi estimar a variação espacial da resistência térmica de contato em vez
de usar um valor constante.
Em ABREU (2011) e ABREU et al. (2011) foi realizada a detecção e analise de
falhas em compósitos laminados utilizando medidas simuladas de temperatura. Estes
trabalhos tratam da solução de um problema direto de transferência calor tridimensional
em regime transiente de transferência de calor, que foi solucionado através de um
método híbrido utilizando transformada integral generalizada (GITT) juntamente com o
método de diferenças finitas. Considerou-se nestes trabalhos a existência de uma
resistência térmica de contato entre as interfaces das placas que compõem os
compósitos laminados analisados, variando espacialmente. No trabalho de ABREU
(2011) foi proposta uma solução do problema inverso através da estimativa deste
coeficiente de troca térmica no contato, utilizando o método de Monte Carlo com cadeia
de Markov. Foram estudados casos pouco complexos onde até mesmo com informações
a priori não informativas permitiam boas estimativas da condutância termica de contato.
Em ABREU et al. (2014a) o mesmo problema foi tratado utilizando abordagem
Bayesiana com uma informação a priori do tipo variação total dos parâmetros (TVF),
onde obteve-se resultados para casos mais complexos do que aqueles tratados em
ABREU et al. (2011) para a estimativa bidimensional da condutância térmica de contato
em meios compositos laminados. Utilizando medidas simuladas de temperatura,
examinou-se diferentes tamanhos e formas de falhas de interface obtendo excelentes
resultados mesmo em casos onde a região de falha era pequena.
12
Numa outra abordagem para analise de falhas de interface, são utilizados
funcionais de reciprocidade para obter informação interna pelo uso simultâneo das
fórmulas de Green e através de uma escolha apropriada de funções teste, em uma
perspectiva semelhante a uma formulação fraca, adequada ao problema inverso em
análise. Dessa forma, podem se estabelecer resultados teóricos de unicidade que
asseguram quais as medições que levam a uma identificação única das falhas internas.
Uma das primeiras aplicações desta técnica pode ser encontrada para uma localização
parcial de falhas internas por inspeção térmica (BEN ABDA e ANDRIEUX, 1996). A
escolha apropriada de funções teste para o funcional de reciprocidade estabelece uma
relação direta entre as medições e as alterações na resistência térmica de contato,
levando a um algoritmo de identificação cuja implementação será algo semelhante à já
efetuada noutros problemas (ROBERTY e ALVES, 2008), mas com as necessárias
adaptações.
Nas soluções utilizando funcionais de reciprocidade (RF), tipicamente aparecem
problemas de Cauchy auxiliares. Através da literatura, sabe-se que o método das
soluções fundamentais (MFS) é bastante eficiente para solucionar tais problemas de
Cauchy (ALVES e MARTINS, 2009). Sendo assim, ao utilizar os funcionais de
reciprocidade deve prever-se uma resolução a priori de problemas de Cauchy para a
construção das funções teste envolvidas na solução do problema inverso.
Um problema inverso de transferência de calor para determinação da resistência
térmica de contato foi solucionado através da aplicação de um funcional de
reciprocidade associado a soluções de problemas de Cauchy (COLAÇO e ALVES,
2013). Considerou-se a condução de calor em um material formado por duas camadas e
o problema foi solucionado em regime permanente, sem variação espacial do fluxo de
calor imposto numa das faces do material estudado. Neste trabalho, foram obtidos bons
resultados em problemas bidimensionais para diversas possíveis funções da resistência
térmica de contato.
Em ABREU et al. (2014b) foi proposta uma extensão para a metodologia de
solução do problema inverso solucionado em COLAÇO e ALVES (2013). Na solução
do problema original eram solucionados dois problemas auxiliares de Cauchy e na
metodologia proposta uma relação linear foi aplicada para transformar os mesmos em
problemas de Laplace. Os resultados mostraram que a nova metodologia é mais estável
e permitirá que diferentes métodos possam ser aplicados na solução destes problemas
auxiliares.
13
Em COLAÇO et al. (2014) foi proposta uma extensão para o trabalho de
COLAÇO e ALVES (2013). Neste artigo é apresentada uma abordagem aplicando
funcionais de reciprocidade, na estimativa da condutância térmica de contato com
variação unidimensional, num problema de transferência de calor em regime transiente.
No artigo original o problema era solucionado em problemas de transferência de calor
em regime permanente. Os resultados, utilizando medições simuladas de temperatura,
mostraram a robustez do método nos casos estudados e mostraram ainda que existe
pouca acurácia na estimativa de funções descontínuas da condutância térmica de
contato.
No presente trabalho, o problema inverso de transferência de calor solucionado
por (ABREU, 2011) será resolvido, aplicando a abordagem proposta por (NAVEIRACOTTA, 2009). A solução do problema inverso de transferência de calor será então
solucionada através do método MCMC utilizando modos de medidas transformadas.
Como caráter inédito considera-se a transformação bidimensional das temperaturas
através do método da transformada integral generalizada e a aplicação, neste problema,
de informações a priori não informativas do tipo Total Variation Function (TVF).
Outro aspecto inédito do presente trabalho consiste em um método que permite
utilizar a abordagem de solução via funcionais de reciprocidade proposta por COLAÇO
e ALVES (2013), sem que sejam resolvidos problemas auxiliares de Cauchy. A
abordagem proposta no presente trabalho, permite que os problemas de Cauchy sejam
transformados em problemas de Laplace, eliminando possíveis limitações geradas pelo
mau condicionamento associado à resolução de problemas de Cauchy.
14
CAPÍTULO 3 -
PROBLEMA FÍSICO
Considera-se um meio composto por lmax camadas, cuja soma de suas espessuras
cl resulta em uma espessura total c. Todas as placas, nesta abordagem terão o mesmo
comprimento a e a mesma largura b, tal como ilustrado na Figura 3.1. Pode-se então
definir um domínio Ω total, formado pelos subdomínios Ωl, que representam cada
camada do compósito. Neste capítulo, o subscrito l = 1, 2, ... , lmax corresponderá ao
número de cada camada que compõe o compósito.
Figura 3.1 - Meio compósito laminado constituído por ‘lmax’ camadas.
Na superfície de contato Гc,l entre cada uma das l camadas, assume-se a
existência de uma condutância térmica, modelada através de um coeficiente de
transferência de calor de contato hc,l(x,y). Tal coeficiente é muito pequeno nas posições
onde houver falha e muito grande onde houver contato térmico perfeito entre as
camadas. Por simplicidade, será utilizado o sistema cartesiano de coordenadas
retangulares (vetor posição dado por x = {x,y,z}) e serão consideradas propriedades
térmicas constantes dentro de cada camada que constitui o compósito laminado.
Nas superfícies laterais Гl, a perda de calor é considerada desprezível e as
superfícies inferior e superior, respectivamente Гo e Гoo estarão submetidas à troca de
calor por convecção, sendo na superfície inferior com um meio a uma temperatura
ambiente To e na superfície superior, com um meio a uma temperatura diferente, Too.
15
Considera-se ainda a imposição de fluxo de calor q(x,y,t) sobre a superfície
superior, conforme indicado na figura 3.1. O compósito estará sujeito a uma
temperatura inicial uniforme.
A formulação matemática de transferência de calor, considerando um problema
geral de transferência de calor em regime transiente num meio com lmax camadas, com
variação espacial do coeficiente de troca térmica na interface, pode ser escrita da
seguinte forma (ÖZIŞIK, 1993):
tTl x, t l 2Tl x, t
em l , para t 0 (3.1.a)
k1 nT1 x, t ho To T1 x, t
em o , para t 0
(3.1.b)
klmax nTlmax x, t hoo Too Tlmax x, t q x, y, t
em oo , para t 0
(3.1.c)
kl nTl x, t kl 1 nTl 1 x, t
em c,l , para t 0
(3.1.d)
kl nTl x, t hc,l x, y Tl 1 x, t Tl x, t
nTl x, t 0
em c,l , para t 0 (3.1.e)
em l , para t 0
(3.1.f)
onde α é a difusividade térmica, k corresponde a condutividade térmica e h corresponde
ao coeficiente de troca térmica. Considera-se que o material estará inicialmente a uma
temperatura constante:
Tl x, t Tini To
para t 0, em l
(3.1.g)
Particularizando-se a formulação geral dada pelo problema (3.1) para o caso
envolvendo apenas duas camadas (ilustrado na figura 3.2), o qual será abordado neste
estudo, o mesmo será reescrito da seguinte forma:
16
tT1 x, t 12T1 x, t
em 1 , para t 0
(3.2.a)
tT2 x, t 22T2 x, t
em 2 , para t 0
(3.2.b)
k1 nT1 x, t ho To T1 x, t
em o , para t 0
(3.2.c)
k2 nT2 x, t hoo Too T2 x, t q x, y, t em oo , para t 0
(3.2.d)
k1 nT1 x, t k2 nT2 x, t
em c , para t 0
(3.2.e)
k1 nT1 x, t hc x, y T2 x, t T1 x, t
em c , para t 0
(3.2.f)
nT1 x, t 0
em 1 , para t 0
(3.2.g)
nT2 x, t 0
em 2 , para t 0
(3.2.h)
O problema está sujeito à condição inicial, em todo o domínio:
T1,2 x, t Tini To
para t 0, em 1 e 2
Figura 3.2 - Meio compósito laminado constituído por 2 camadas.
17
(3.2.i)
CAPÍTULO 4 4.1
PROBLEMA DIRETO
MÉTODO HÍBRIDO – GITT/MDF
Nesta seção apresenta-se uma técnica de solução para o problema direto (sistema
de equações 3.2) cujo objetivo é determinar o campo de temperaturas no meio
composto, onde são consideradas conhecidas: a geometria das camadas, suas
propriedades termofísicas, as condições de contorno e as condições iniciais.
Este problema será solucionado utilizando um método híbrido, onde a técnica da
transformada integral generalizada (GITT) será empregada nas direções x e y e o
método das diferenças finitas será empregado na direção z (ABREU, 2011).
Nesta solução, visando retirar algumas não homogeneidades nos contornos,
acelerando assim a convergência e o tempo de CPU gasto na solução do problema direto
transiente (ABREU, 2011), definem-se os seguintes grupos adimensionais:
T To
Tref
q* q
k
kref
*
k*
X
c
kref Tref
(4.1.a,b)
ref
(4.1.c,d)
x
y
z
a
b
Y
Z
A
B
c
c
c
c
c
(4.1.e-i)
h x, y c
kref
(4.1.j,k)
ref t
c2
Bi X , Y
onde o subscrito ref indica que são parâmetros de referência, os quais serão definidos
numericamente na apresentação dos resultados. Os sobrescritos * indicam propriedades
ou parâmetros adimensionais. Com estes grupos adimensionais tem-se a versão
adimensional do problema (3.2):
1 X, 1*21 X,
em 1 , para 0
(4.2.a)
2 X, 2*22 X,
em 2 , para 0
(4.2.b)
18
onde o domínio Ω1 representará a região referente ao material inferior delimitada por
0 X A , 0 Y B e 0 Z C1 e o domínio Ω2 representará a região do material
superior, delimitada por 0 X A , 0 Y B e C1 Z 1 . Define-se ainda como C1 a
espessura adimensional do material 1 e C2 a espessura adimensional do material 2,
assim C C1 C2 1 . Para a superfície o , definida na região inferior de 1 , tem-se
k1* Z1 X, Bio1 X, 0
em o , para 0
(4.2.c)
Na superfície de interface entre os domínios 1 e 2 , c . As condições de
interface são escritas como:
k1* Z1 X, k2* Z2 X,
em c , para 0
(4.2.d)
k1* Z1 X, Bic X , Y 2 X, 1 X,
em c , para 0
(4.2.e)
enquanto na superfície, oo , definida na região superior de 2 , tem-se
k2* Z2 X, Bi 2 X, q* X , Y ,
onde
oo
para
To Too
pode-se
escrever
que
em , para 0 (4.2.f)
Tref To Too
então
Too To Too To
*
1. Para o caso onde To Too então Tref T e assim oo 0 .
Tref
To Too
Em toda a superfície lateral dos domínios 1 e 2 , respectivamente 1 e 2 ,
as perdas de calor são consideradas desprezíveis. Portanto, pode-se considerar que estas
regiões estão isoladas termicamente:
n1 X, 0
em 1 , para 0
(4.2.g)
n2 X, 0
em 2 , para 0
(4.2.h)
19
Para a condição inicial, em todo domínio, tem-se
*
1,2
T * To To To
0
Tref
Tref
para 0, em 1 e 2
(4.2.i)
O problema (4.2) será então transformado nas direções X e Y utilizando o
seguinte par transformada-inversa:
Transformada
A
1,2 i , j , Z ,
B
X, dYdX
i
j 1,2
(4.3.a)
X 0 Y 0
1,2 X, i j1,2 i , j , Z ,
Inversa
(4.3.b)
i 0 j 0
resultando então em um seguinte sistema de equações acopladas, para i 0,
, e
j 0, , . Pode-se escrever o problema transformado como:
1 i , j , Z , 1* Z , Z1 i2 2j 1
em 1 , para 0
2 i , j , Z , 2* Z , Z2 i2 2j 2
em 2 , para 0 (4.4.b)
k1* Z1 i , j , Z , Bio1 i , j , Z , 0
em o , para 0
k2* Z2 i , j , Z , Bioo2 i , j , Z , di , j
(4.4.c)
em oo , para 0 (4.4.d)
k1* Z1 i , j , Z , k2* Z2 i , j , Z ,
(4.4.a)
k1* Z1,(i , j ) Ai , j ,m,u 2,( m,u ) 1,( m,u )
m0 u 0
em c , para 0
(4.4.e)
em c , para 0
(4.4.f)
onde
A
di , j
B
q* X , Y , i j dYdX Bioooo
X 0 Y 0
A
B
dYdX
i
j
(4.5.a)
X 0 Y 0
e
A
Ai , j ,m,u
B
i
ju Bic X , Y dYdX
m
X 0 Y 0
20
(4.5.b)
Para a condição inicial transformada, em todo o domínio Ω1, Ω2 e para 0 :
1* 2* 0
para 0, em 1 e 2
(4.4.g)
As autofunções normalizadas podem ser obtidas diretamente de ÖZIŞIK (1993).
Por simplicidade de notação considera-se que 1 i , j , Z , 1,(i , j ) . Desta forma, com
i 0, ..., e j 0, ..., , estas autofunções podem ser definidas como:
i
cos X i
j
Ni
cos Y j
(4.6.a,b)
Nj
enquanto as respectivas integrais de normalização são dadas por:
Ni A
para
i 0,
Ni
A
2
para
i 1,
Nj B
para
j 0,
Nj
B
2
para
j 1,
,
,
(4.7.a)
(4.7.b)
e seus autovalores são:
i
i
A
para
i 0,
,
(4.8.a)
j
j
B
para
j 0,
,
(4.8.b)
A equação (4.4.f) foi obtida substituindo a fórmula de inversão (4.3.b) no termo
não transformável, referente ao coeficiente de troca térmica de contato variável nas
direções X e Y, Bic X , Y . As integrais foram solucionadas através de quadraturas
Gaussianas. Entretanto, poderiam ter sido resolvidas através de outros métodos, como
por exemplo, aproximações por Cubic Splines ou ainda através de integração semianalítica. As integrais das equações (4.5.a) para o caso particular onde o fluxo de calor é
constante foi ser obtida analiticamente, assim como para outras funções de fluxo
conhecidas. (ABREU et al., 2011)
21
Optou-se por não utilizar a técnica da transformada integral generalizada na
direção Z devido à grande dificuldade em encontrar os autovalores associados às
soluções obtidas com este método. Como existe uma variação espacial do Bic X , Y ,
haveria um grande tempo computacional que seria gasto em determinar estes
autovalores em cada uma das vezes que o problema direto fosse resolvido no método
estocástico usado no problema inverso, como pode ser visto na literatura (ABREU,
2011; ABREU et al., 2011).
Desta forma, o sistema infinito acoplado de equações diferenciais parciais,
equações (4.4.a-g), para os campos transformados 1,2 i , j , Z , , foi discretizado
usando o método implícito de diferenças finitas na direção Z. Os somatórios duplos
foram reordenados na forma de um somatório simples, usando os autovalores referentes
às direções X e Y, em ordem crescente (CORREA et al., 1997).
Considerando então esta discretização (já com os autovalores reordenados) e que
ij i2 2j e ij=(i,j), as equações governantes transformadas podem ser reescritas para
um tempo discretizado n :
n 1
n
n 1
n 1
ij , k ij , k R1 ij , k 1 R1 ij , k 1 S1,(ij )
.para 1 k kc
n
Z1
n 1
n 1
n 1
n 1
ij , kc ij , kc 2 R1ij , kc 1 2 R1 * Aij , mu mu , kc 1 mu , kc S1,(ij )
k1 mu 0
Z
n 1
n 1
2 R n 1
ijn , k1c 1 ijn , kc 1 2 R2 * 2 Aij .mu mu
S
2 ij , kc 2
2,( ij )
, kc 1
mu , kc
k
2 mu 0
n 1
n
n 1
n 1
ij , k ij , k R2 ij , k 1 R2 ij , k 1 S2,(ij )
.para kc 1 k kmáx
Z
Z
ijn , k1máx ijn , kmáx 2 R2 ijn , k1máx 1 2 R2 * 2 dij S 2,(ij ) 2 R2 * 2 Bioo
k
k
2
2
ijn ,01 ijn ,0 2 R1ijn ,11 S1,(ij ) 2 R1
*
onde R1,2 1,2
Z1 Bio
k1*
(4.9.a-f)
*
ij 1 , para k 0,..., kc , kc 1, ...kmáx ,
, S1,2,(ij ) 2 R1,2 1,2
2
Z1,2
sendo kc e kc 1 as posições de interface e n 1,..., nmax o tempo discretizado.
22
O sistema (4.9.a-f) foi resolvido numericamente em ambiente de programação
FORTRAN. Para isto, foi utilizado o método de Gauss-Seidel com SOR (successive
over relaxation), que é uma técnica utilizada comumente para acelerar a convergênca de
métodos iterativos de ponto fixo como o Gauss-Seidel (CONTE e DE BOOR, 1980).
A solução final do problema direto é obtida ao substituir os resultados obtidos
pelo método de diferenças finitas na fórmula da inversa, equação (4.3.b). Por fim, esta
solução numérica foi obtida truncando o sistema infinito de equações acopladas para um
número finito suficientemente grande de equações. Essa série de equações, bem como o
número de nós espaciais e temporais no método de diferenças finitas, foi escolhida de
modo a que os campos de temperatura calculados tenham convergido, para uma
tolerância prescrita.
Esta solução do problema direto foi severamente verificada em diferentes casos
particulares, onde soluções analíticas poderiam ser obtidas (ABREU, 2011).
23
CAPÍTULO 5 -
PROBLEMA INVERSO
O problema inverso de transferência de calor envolvido neste trabalho consiste
em estimar a condutância térmica de contato na interface entre camadas de materiais
multicamadas, utilizando medidas de temperatura obtidas de forma não intrusiva na
superfície superior do material, onde será imposto um fluxo de calor.
Serão utilizadas duas abordagens para a solução deste problema inverso de
transferência de calor. Uma delas consiste em utilizar um método totalmente analítico
formulado em termos da aplicação de um funcional de reciprocidade (RF) associado
com o método das soluções fundamentais (MFS). O outro método utilizado consiste em
utilizar uma abordagem dentro da estatística Bayesiana, através do método de Monte
Carlo com cadeias de Markov (MCMC).
Neste trabalho, destaca-se novamente como importante contribuição do mesmo
na aplicação do primeiro método, o desenvolvimento de uma extensão do trabalho
realizado por (COLAÇO e ALVES, 2012) permitindo que o método seja utilizado em
conjunto com qualquer método de solução de equações diferenciais parciais. O trabalho
original exigia a solução de problemas de Cauchy que são mais complexos de serem
solucionados.
Na aplicação do segundo método, uma importante contribuição deste trabalho
consistiu em aplicar a técnica da transformada integral generalizada (GITT) nas
temperaturas medidas, realizando uma compressão bidimensional dos dados medidos na
superfície e assim possibilitar que o problema inverso via inferência Bayesiana seja
solucionado utilizando os modos transformados das temperaturas medidas. Este trabalho
mostra que esta abordagem é capaz de reduzir significativamente o tempo
computacional e ainda de preservar a informação espacial que é necessária para que a
função a ser estimada, hc(x,y), seja corretamente recuperada.
Neste trabalho, utilizando medidas experimentais simuladas, assumiu-se que as
propriedades de cada placa que compõem o material composto são conhecidas
deterministicamente, assim como o fluxo de calor imposto na superfície superior. As
dimensões da placa a, b e c, as temperaturas impostas na superfície inferior e superior
(To e Too) e seus respectivos coeficientes de troca térmica (ho e hoo), são também
considerados deterministicamente conhecidos. Desta forma, foi possível avaliar
diferentes configurações e o comportamento do código computacional em situações
mais gerais.
24
Entretanto, na utilização de medidas experimentais reais, foram reproduzidos
especificamente dois casos particulares do problema geral apresentado no capítulo 3,
com os quais se pode ainda determinar o fluxo de calor real imposto e validar o aparato
experimental. Nestas configurações, os coeficientes de troca térmica por hipótese
puderam ser retirados da formulação geral. Assim, definem-se duas diferentes
configurações experimentais: 1-a base inferior da amostra permaneceu isolada
termicamente; 2- a temperatura prescrita distribuída uniformemente na superfície
inferior.
O fluxo de calor imposto durante o experimento e as propriedades termofísicas
associadas aos materiais utilizados foram inicialmente estimados através da realização
de experimentos complementares. Para a estimativa do fluxo de calor propõe-se um
estudo avaliando a evolução do mesmo no tempo e sua variação na superfície. Este
estudo foi realizado solucionando o problema inverso de estimativa do fluxo
espacialmente uniforme através de dois métodos propostos neste trabalho (MCMC e
Levenberg-Marquardt) e comparando a solução obtida com estes métodos com a
metodologia proposta por PACHECO et al. (2014), onde o fluxo de calor é estimado
com variação no tempo e na superfície.
Na solução do problema direto e inverso, considera-se que as medidas de
temperatura sejam realizadas utilizando uma câmera de infravermelho e que as medidas
de temperatura estejam disponíveis em pequenas regiões da superfície que
correspondem aos pixels desta câmera, distribuído assim por uma malha (frame), cujos
pontos centrais são ( X I , YJ ) , onde X I I X , YJ J Y , I 1,
, I f , J 1,
,Jf . O
espaçamento entre estes pontos é dado por X A / I f e Y B / J f . Desta forma, o
número total de pontos medidos na superfície superior , é M I f J f . Estas posições
correspondem ainda aos pixels onde será estimada a condutância térmica de contato.
Em casos onde forem detectados problemas causados, por exemplo, pelo custo
computacional ou pelo caráter mal posto do problema inverso, a malha computacional
será menor do que a resolução obtida pela câmera. Neste caso, as medições localizadas
nos pontos da ( X I , YJ ) podem ser obtidas através do cálculo da média espacial ou por
interpolação das leituras obtidas com a câmara de infravermelho, que é capaz de
proporcionar uma resolução espacial mais refinada do que a utilizada na discretização
do domínio, nas soluções do problema inverso estudadas neste trabalho.
25
Considera-se, portanto, que o vetor contendo as temperaturas medidas seja
escrito como:
YT Y1 , Y2 , ... , Ynmax
(5.1)
onde Yn contém as medidas de temperatura em cada um dos M elementos da malha no
tempo discretizado tn , para n 1,
, nmax , ou seja,
Yn Yn1 , Yn 2 , ... , YnM
(5.2)
Desta forma, existe um número total de medidas dado por: D M nmax .
A condutância térmica de contato será determinada em regiões discretas da
superfície c , que é a interface entre as camadas do material. Estas regiões estão
distribuídas por uma malha, cujos pontos centrais são ( X I , YJ ) , ou de forma análoga à
distribuição das regiões onde as temperaturas são tomadas, podendo ou não
corresponder às mesmas posições onde as mesmas foram tomadas.
PT Bic1 , Bic 2 ,..., BicM
Figura 5.1 – Esquema de distribuição das medidas discretas (pixels).
26
(5.3)
5.1
O MÉTODO MCMC
Embora o uso de algumas distribuições a priori resulte em distribuições a
posteriori analíticas, permitindo assim que estimadores baseados em técnicas de
minimização possam ser usados, na função objetivo maximum a posteriori, casos gerais
requerem integrações de funções aleatórias. Nestes casos, é interessante gerar amostras
da distribuição a posteriori de modo que inferência sobre a distribuição seja obtida
através de inferência sobre tais amostras (GAMERMAN e LOPES, 2006; MIGON e
GAMERMAN, 1999; KAIPIO e SOMERSALO, 2005).
A solução dos problemas inversos utilizando-se inferência Bayesiana, foi obtida
através do algoritmo de Metropolis-Hastings, que é uma implementação do Método de
Monte Carlo baseado em Cadeias de Markov (MCMC - Markov Chain Monte Carlo).
A principal ideia destes métodos consiste em se obter amostras da distribuição a
posteriori e calcular estimativas de características desta distribuição utilizando técnicas
de simulação iterativa, baseadas em cadeias de Markov. Assim, a solução do problema
inverso é obtida atraves de inferência estatística analisando a densidade de
probabilidade a posteriori.
A densidade de probabilidade a posteriori consiste na probabilidade condicional
dos parâmetros, dadas às medidas realizadas. A verossimilhança é a probabilidade
condicional das medidas experimentais, dados os parâmetros; este é o modelo
probabilístico que incorpora as incertezas associadas à medição. Nas técnicas
estatísticas Bayesianas, tenta-se utilizar toda a informação disponível a priori, a fim de
reduzir a incerteza atual em um problema. Ou seja, quando a informação nova é obtida,
ela é combinada com toda a informação precedente, dando base para procedimentos
estatísticos. O mecanismo formal usado para combinar a informação nova (medidas)
com a informação previamente disponível (priori) é o teorema de Bayes:
posteriori (P) (P Y)
(P) (Y P)
( Y)
(5.4)
onde posteriori P é a densidade de probabilidade a posteriori, P é a densidade de
probabilidade a priori, Y | P é a função de verossimilhança e Y é a densidade
27
de probabilidade marginal das medidas, a qual desempenha o papel de constante de
normalização.
Os algoritmos de Metropolis-Hastings estão entre os algoritmos MCMC mais
conhecidos e usados. Estes algoritmos adotam uma ideia semelhante a dos métodos de
aceitação/rejeição, onde um valor é gerado a partir de uma distribuição auxiliar e aceito
com uma determinada probabilidade. Com este mecanismo de correção procura-se
garantir a convergência da cadeia de Markov para a distribuição de equilíbrio, que é,
neste caso, a distribuição a posteriori (GAMERMAN e LOPES, 2006).
O Método de Monte Carlo com Cadeias de Markov, através do algoritmo de
Metropolis-Hastings, é então utilizado com o objetivo de gerar as amostras da
distribuição posteriori. Este algoritmo é iniciado com a escolha de uma função de
distribuição proposta
p(P* , P(t 1) ) , que será utilizada para gerar novos pontos
candidatos P* a partir do estado atual da cadeia de Markov, P(t 1) . Estes novos pontos
serão aceitos com probabilidade dada pela Razão de Hastings, RH. Em geral espera-se
que seja simples gerar amostras da distribuição proposta. Neste trabalho considerou-se o
modelo Random-Walk como distribuição proposta.
O algoritmo de Metropolis-Hastings pode ser resumido nos seguintes passos
(KAIPIO e SOMERSALO, 2005):
1. Gere um ponto candidato P* a partir da distribuição proposta p P* , P
t 1
;
2. Calcule a Razão de Hastings:
P* | Y p P* , Pt 1
RH min 1,
t 1
t 1 *
P | Y p P , P
(5.5)
3. Gere um valor U ~ U 0,1 .
4. Se U RH , faça P P* , caso contrário faça P P
t
t
t1
.
5. Retorne ao passo 1.
A sequência {P(1) , P(2) ,
, P(tmax ) } , gerada através deste algoritmo, representará a
distribuição a posteriori. Pode-se então realizar inferência estatística sobre estas
amostras, ou seja, à medida que o número de iterações da cadeia de Markov aumenta, a
cadeia tende a esquecer de forma gradual os primeiros estados gerados. Assim, a partir
28
de uma determinada iteração a cadeia converge para uma distribuição de equilíbrio e
permanece gerando valores em torno deste equilíbrio.
As amostras geradas até a convergência da cadeia (conhecidas como amostras de
aquecimento ou burn-in-period) deverão ser descartadas. As amostras geradas após a
convergência serão geradas a partir da distribuição a posteriori dos parâmetros e, desta
forma, qualquer inferência a respeito delas pode ser feita, incluindo a média e os
intervalos de confiança (KAIPIO e SOMERSALO, 2005; GAMERMAN e LOPES,
2006).
Nos casos onde a distribuição proposta escolhida for simétrica, como por
exemplo,
o
modelo
Random-Walk,
temos
p(P* , P(t 1) ) p(P(t 1) , P* )
que
(GAMERMAN e LOPES, 2006; KAIPIO e SOMERSALO, 2005). Pode-se então
reduzir a equação (5.5) a:
P* | Y
RH min 1,
Pt 1 | Y
lembrando que: P* | Y (P* ) (Y P* ) e que P
t 1
(5.6)
| Y (P
t 1
) (Y P
t 1
) .
Assumindo que os erros de medição são variáveis aleatórias Gaussianas, com
média zero e matriz de covariância W conhecidas e que os erros de medição são
aditivos e independentes dos parâmetros P, a função de verossimilhança pode ser
expressa por (KAIPIO e SOMERSALO, 2005):
(Y P) (2 ) D / 2 W
1/ 2
T
1
exp Y - Θ P W 1 Y - Θ P
2
(5.7)
onde Θ(P) é a solução do problema direto dado pelas equações (4.2.a-i), o vetor P é
definido pela equação (5.3) e W é a inversa da matriz de covariância dos erros de
medição. Para medidas não correlacionadas, esta matriz é dada por:
29
12
22
W
0
0
D2
(5.8)
onde σ é o desvio padrão das medidas.
Pode-se então escrever a verossimilhança, (Y P) , como:
2
I f J f nmax
Y I , J , n - I , J , n
1
Y P exp
2 I 1 J 1 n 1
2
(5.9)
Neste trabalho, para a estimativa da condutância térmica de contato, através do
método MCMC, utilizou-se como priori a Variação Total dos Parâmetros (Total
Variation Function – TVF) juntamente com uma restrição de positividade dos mesmos.
A Variação Total dos Parâmetros é um modelo de informação a priori de campo
aleatório Markoviano (Markov Random Field). Este modelo pode ser considerado
qualitativamente bem adequado para a avaliação da uma condutância de contato entre as
camadas do meio composto, onde podem existir algumas regiões de falha de contato
(KAIPIO e SOMERSALO, 2005).
A priori de variação total dos parâmetros é escrita como:
P exp TV P
(5.10)
onde:
I f 1 J f 1
TV (P) Y Bic X I , YJ Bic X I 1 , YJ Bic X I , YJ Bic X I 1 , YJ
I 2 J 2
X Bic X I , YJ Bic X I , YJ 1 Bic X I , YJ Bic X I ,YJ 1
30
(5.11)
Desta
forma,
utilizando
a
informação
a
priori
juntamente
com
a
verossimilhança, pode-se escrever a posteriori como:
T
1
Y - Θ(P) W1 Y - Θ(P) TV (P)
2
(P Y) exp
(5.12)
O parâmetro γ, que aparece na priori, pode ser tratado como um hiperparâmetro.
Este termo pode então ser estimado, num modelo hierárquico, como parte da solução do
problema de inferência Bayesiana. Desta forma, também haverá uma informação a
priori para este hiperparâmetro, uma hiperpriori, que é dada neste trabalho por uma
2
distribuição Rayleigh, hiper ( ) exp[0.5( 0 ) ] (KAIPIO e SOMERSALO, 2005).
Pode-se reescrever a posteriori utilizando esta hiperpriori, sabendo ainda que o
hiperparâmetro sempre assumirá valores positivos, como:
2
1
1
T
1
( , P Y) exp Y - Θ(P) W Y - Θ(P) TV (P) (5.13)
2 0
2
onde 0 é a moda da distribuição Rayleigh.
É importante ressaltar que a constante de normalização relacionada com a
hiperpriori, que é dada por uma distribuição Rayleigh, também contém o
hiperparâmetro a ser estimado. Entretanto, esta constante foi suprimida dos cálculos
uma vez que ela é obtida através de uma integral imprópria, que não tem convergência
garantida no contexto de aplicação da mesma. Desta forma, o hiperparâmetro é obtido a
menos desta constante de normalização. Entretanto, o objetivo desta abordagem não é
estimar o hiperparâmetro, mas dar mais liberdade de ajuste do mesmo, de maneira que
haja uma melhor estimativa dos parâmetros de interesse do problema, que neste caso é
Bic(X,Y).
5.2
MÉTODO MCMC COM MEDIDAS TRANSFORMADAS
O método MCMC, embora seja um método muito utilizado e com grande
acurácia, é tipicamente um método de solução de problemas inversos conhecido por ter
um alto custo computacional. Neste trabalho, a fim de reduzir este custo computacional,
propõe-se uma abordagem utilizando a técnica da transformada integral generalizada
31
como forma de comprimir os dados de temperatura medidos na superfície, sem perda de
informações relevantes necessárias a solução do problema inverso. As temperaturas
foram transformadas através da aplicação da equação (4.3.a), onde os dados
experimentais são integrados em X e Y e para cada tempo. Nesta abordagem, os modos
transformados das temperaturas serão utilizados na solução do problema inverso, tal
como em NAVEIRA-COTTA et al. (2011).
Considerando os autovalores reordenados, onde ij i2 2j e ij i, j , podese aplicar a fórmula da transformada e inversa na equação (4.3.a,b), obtendo um vetor
com os modos transformados das temperaturas medidas e sua respectiva fórmula de
inversa, como pode ser visto a seguir:
A
B
(Ytransf )(ij ,n )
X 0 Y 0
ij
Yn dYdX
(5.14.a)
M 1
Yn ij (Ytransf )(ij ,n )
(5.14.b)
ij 0
onde ij 0,1,
, M 1 , ij i j .
O vetor contendo os modos transformados terá tamanho M , que corresponde ao
número de autovalores suficiente para que a série existente na fórmula da inversa
convirja, equação (5.14.b). Desta forma, utilizando estes modos considera-se possível
manter todas as características da função transformada para a solução do problema
inverso. A partir do desvio padrão das medidas, σ, em cada modo transformado e
considerando medidas não correlacionadas, define-se uma matriz de covariâncias
transformadas, W , a partir de:
ij2
A
B
ij
2
dYdX
(5.15.a)
X 0 Y 0
M 1
2 ij ij2
(5.15.b)
ij 0
Alternativamente, o desvio padrão dos modos transformados pode ser obtido das
medidas transformadas em condição de regime permanente no experimento.
32
Serão obtidos modos transformados para cada tempo discretizado tn . Desta
forma o número total de medidas utilizando o campo transformado será: D M nmax .
Assim (NAVEIRA-COTTA, 2009):
YT Y1 , Y2 , ... , Ynmax
(5.16)
Utilizando o novo vetor de medidas, equação (5.16), pode-se obter estimativas
utilizando os modos transformados das temperaturas, sem que sejam realizadas
alterações na descrição geral do método MCMC usando o algoritmo MetropolisHastings (NAVEIRA-COTTA, 2009).
Estas integrais podem ser obtidas analiticamente ou numericamente, por
exemplo, através de quadraturas Gaussianas ou integrações numéricas que utilizam
interpolações por Cubic Splines (CONTE e DE BOOR, 1980). Novamente os
somatórios duplos são reordenados na forma de um somatório simples, usando os
autovalores referentes às direções X e Y, i j , em ordem crescente (CORREA et al.,
1997).
Nota-se que as medidas são suavizadas e uma parte dos ruídos é filtrada quando
se escolhe os autovalores mais importantes para representar a função nas equações
(5.14.a,b). Sendo assim, a informação a priori TVF pode inclusive ser substituída por
uma informação a priori Uniforme, pouco informativa, inclusive para casos com erros
relacionados às medias de ordem de grandeza alta, ou seja, considera-se um intervalo
onde todos os valores de Bic X , Y são equiprováveis. Neste caso, o limite inferior
deste intervalo é tomado como sendo zero, já que fisicamente tem-se Bic X , Y 0 . O
limite superior deste intervalo é tomado como um valor suficientemente grande de
Bic X , Y que caracterize numericamente um contato perfeito para o conjunto de
materiais que formam as camadas do composto laminado. A probabilidade da
ocorrência de Bic X , Y fora deste intervalo é nula.
33
5.3
SOLUÇÃO DO PROBLEMA INVERSO VIA RF
Uma solução do problema inverso de determinação do hc ( x, y) , utilizando a
aplicação de um funcional de reciprocidade (RF), foi obtida por COLAÇO e ALVES
(2013) onde o problema direto pode ser representado na presente formulação
considerando que o problema esteja em equilíbrio térmico, ou seja, tT1,2 (x, t ) 0 nos
domínios 1 e 2 . Considerando a formulação do trabalho citado e reescrevendo-a é
obtida uma solução para o problema inverso a partir da solução de dois problemas
auxiliares de Cauchy.
Problemas de Cauchy são mal condicionados devendo ser
evitados, ainda que o Método das Soluções Fundamentais (MFS) se revele um método
com boas potencialidades para a resolução destes problemas (COLAÇO e ALVES,
2013). Para evitar possíveis limitações, impostas pelo mau condicionamento associado à
solução de problemas de Cauchy, uma contribuição deste trabalho consiste em propor
um método alternativo, que é mais flexível e se mostra bastante adequado, por permitir
que os problemas sejam reduzidos a problemas de fronteira habituais (Problemas de
Laplace), que podem ser resolvidos com qualquer método clássico (separação de
variáveis, diferenças finitas, elementos finitos, etc.).
A principal ideia deste método consiste em definir as funções base sobre a
fronteira de medição e não sobre a fronteira de contato, como foi feito em COLAÇO e
ALVES (2013). Dessa forma, a solução do problema direto leva a novas funções base
sobre a fronteira de contato, e a aproximação da condutância térmica de contato, h, será
definida a partir dessas novas funções base, através da aplicação de um método de
mínimos quadrados no ajustamento dos dados na fronteira de medição, com as funções
base escolhidas. Espera-se assim ampliar a performance do método, evitando a
resolução de sucessivos problemas de Cauchy.
Desta forma, o funcional de reciprocidade (RF) para uma função teste v pode ser
definido como:
R v
v x T x T x v x d
n
n
oo
34
(5.17)
onde v(x) são funções teste auxiliares e T(x) em oo serão, neste trabalho, as
medições de temperatura, que são dadas em posições discretas pelo vetor Yn perm
na
equação (5.1).
As funções teste v serão definidas com a intenção de estabelecer uma relação
direta da função que se deseja determinar, hc ( x, y) , com as temperaturas medidas na
superfície de contato quando o problema atinge regime permanente, Yn perm . Essa
construção implica em que estas funções verifiquem as condições de contorno
adequadamente sobre as diversas superfícies e eventuais resoluções de problemas de
Laplace ou de Cauchy. Os problemas de Cauchy, especificamente, serão solucionados
pelo método das soluções fundamentais (MFS). Já os problemas de Laplace poderão ser
solucionados por outros métodos tradicionais, ou mesmo pelo método híbrido, utilizado
na solução do problema direto, GITT e Diferenças finitas.
Através do RF é possível estabelecer expressões que relacionam as
descontinuidades térmicas na superfície de contato e as medições observadas. Isto
permitirá, não só formular os resultados de identificação, mas também implementar um
algoritmo de reconstrução das diferenças térmicas estabelecidas na superfície de
contato.
Assume-se inicialmente um caso particular do problema geral, sendo um
problema em regime permanente e modificando as condições de contorno em o e oo
de acordo com as equações descritas no problema 5.18, equações (5.18.b,c):
2T1,2 x, t 0,
em
1, 2
(5.18.a)
T1 x 0,
em
o
(5.18.b)
k2 nT2 x q x, y ,
em
oo
(5.18.c)
k1 nT1 x, t k2 nT2 x, t ,
em
c
(5.18.d)
k1 nT1 x, t hc x, y T2 x, t T1 x, t ,
em
c
(5.18.e)
nT1 x, t 0,
em
1
(5.18.f)
nT2 x, t 0,
em
2
(5.18.g)
35
Para facilitar as analises que serão realizadas com o funcional de reciprocidade
designa-se, neste capitulo, RF (Reciprocity Functional) o método elaborado em
COLAÇO e ALVES (2013) e por MRF (Modified Reciprocity Functional) o método
proposto neste trabalho que elimina a necessidade de que sejam resolvidos problemas de
Cauchy.
Será transcrita inicialmente a metodologia proposta em COLAÇO e ALVES
(2013) e em seguida o método para utilização de problemas de Laplace em substituição
dos problemas de Cauchy será descrito. Para solucionar este caso, serão definidos os
seguintes problemas auxiliares, formados pelas seguintes funções harmônicas
(COLAÇO e ALVES, 2013):
2v1 x 0
em
1
(5.19.a)
nv1 x 0
em
1
(5.19.b)
v1 x 0
em
o
(5.19.c)
k1 nv1 x j
em
c
(5.19.d)
2v2 x 0
em
2
(5.20.a)
nv2 x 0
em
2
(5.20.b)
k2 nv2 x j ,
em
c
(5.20.c)
v2 x v1 x ,
em
c
(5.20.d)
juntamente com,
Inicialmente no primeiro problema auxiliar, equações (5.19.a-c), só mantém um
grau de liberdade. Para as equações (5.20.a,b), supõe-se inicialmente que existem dois
graus de liberdade. Considerando o segundo teorema de Green, que é definido como:
T v v T d T v v T d
2
2
n
pode-se escrever para o domínio 2 :
36
n
(5.21)
k2 v22T2 T2 2v2 d 2 k2
2
v T
2
n 2
T2 nv2 d 2 0
(5.22)
2
e ainda:
k2
v T
2
n 2
T2 nv2 d 2 k2
2
v T
2
n 2
T2 nv2 d 2 0
(5.23)
2 c
Usando as condições de contorno em 2 , pode-se reescrever a equação (5.23)
como:
k2
v T
2
n 2
T2 n v2 d 2 0
(5.24)
c oo
ou seja,
k2
v T
2
oo
n 2
T2 n v2 d oo k2 v2 nT2 T2 nv2 d c 0
(5.25)
c
Lembrando que o funcional de reciprocidade para v2 é escrito como:
R v2 k2
v T
2
n 2
T2 n v2 d oo
(5.26)
oo
e como no contorno em oo considera-se que T2 Yn perm e que nT2 q x / k2 , então:
R v2 k2
v
2
oo
q x
Yn perm n v2 d oo
k2
(5.27)
Assim, reescrevendo a equação (5.25), tem-se que:
k2
v
2
oo
q x
Yn perm n v2 d oo k2 v2 nT2 T2 n v2 d c 0
k2
c
37
(5.28)
Utilizando agora o problema auxiliar 1 para o domínio 1 , pode-se escrever:
k1 v12T1 T12v1 d 1 k1
1
v T T v d 0
1 n 1
1 n 1
1
(5.29)
1
e usando o segundo teorema de Green:
k1
v T T v d k
1 n 1
1 n 1
1
1
v T T v d 0
1
1 n 1
1 n 1
1
(5.30)
1 c o
Utilizando as equações de contorno para o , 1 e 1 , pode-se reescrever a
equação (5.30) como (COLAÇO e ALVES, 2013):
k1 v1 nT1 T1 nv1 d c 0
(5.31)
c
Uma vez que k1 e k 2 são constantes, pode-se juntar as equações (5.28) e (5.31):
k2
v q x Y
2
oo
n perm
n v2 d oo k2 v2 nT2 T2 n v2 d c 0 k1 v1 nT1 T1 n v1 d c
c
(5.32)
c
Usando os contornos em c , define-se v1 v2 e obtêm-se:
R v2 k2
v q x Y
2
n perm
nv2 d
k T v
1 1 n 1
k2T2 nv2 d c
(5.33)
c
onde o funcional de reciprocidade R v2 foi definido em termos das funções auxiliares
v2 . Desta forma, o problema auxiliar descrito previamente nas equações (5.19) para v1
estará completamente definido através do contorno v1 v2 em Γc, juntamente com as
demais condições de contorno. Impondo a condição de contorno de continuidade de
fluxo em Γc para este problema auxiliar, ou seja, k1 n v1 k2 nv2 em Γc, deixa-se livre
apenas o contorno oo . Assim:
38
R v2 k2
v q x Y
2
n perm
oo
n v2 d oo
k v T
2
n 2
2
T1 d c
(5.34)
c
ou seja,
R v2 k2
v q x Y
2
n perm
oo
n v2 d oo T2 T1 , k2 nv2
L2 c
(5.35)
Para a solução do funcional de reciprocidade R v2 não é necessária nenhuma
informação prévia no contorno Γc. Após serem definidos os problemas auxiliares para
v1 e v2 , basta que sejam informados o fluxo de calor imposto, a medida superficial de
temperaturas, e a condutividade térmica dos materiais k 2 .
Para um sistema de base ortonormalizada j (por exemplo, séries de Fourier ou
de Chebyshev), pode-se encontrar a função
T2 T1 ,
considerando as medidas
realizadas em oo :
R v2 k2
v q x Y
2
oo
n perm
nv2 d oo T2 T1 , j
(5.36)
L2 c
ou seja, através de uma relação linear, fazendo a projeção da equação (5.36) sobre j e
resolvendo o sistema normal:
T2 T1 T2 T1 , j
j
L2 c
Ψ j R v2j Ψ j
(5.37)
j
Para calcular o hc , é necessário que de forma análoga ao processo anterior,
também seja obtida uma forma de aproximar o termo k2 nT2 x , através das medidas
em oo . Desta forma, para obter esta aproximação, define-se um outro problema
auxiliar como:
2 w2 x 0
em
2
(5.38.a)
n w2 x 0
em
2
(5.38.b)
n w2 x 0,
em
c
(5.38.c)
w2 x j ,
em
c
(5.38.d)
39
De forma análoga ao processo anterior, ou seja, utilizando os contornos
disponíveis, pode ser obtida a seguinte relação:
k2
w
2
oo
q x
Yn perm n w2 d oo k2 T2 n w2 w2 nT2 d c
k2
c
(5.39)
Impondo-se a seguinte condição de contorno a este problema auxiliar:
n w2 x 0
em
c
(5.40)
pode-se definir um funcional de reciprocidade R w2 em termos das funções teste w2 ,
desta forma, obtêm-se:
R w2 k2
w
2
oo
q x
Yn perm n w2 d oo k2 w2 nT2 d c
k2
c
(5.41)
ou seja,
R w2 k2
q x
w2 k2 Ynperm n w2 d oo k2 nT2 , w2
oo
L2 c
(5.42)
Para um sistema de base ortonormalizada, assim como foi feito anteriormente,
pode-se encontrar a função k2 nT2 , considerando as medidas realizadas em oo :
R w2 k2
w
2
oo
q x
Yn perm n w2 d oo k2 nT2 , j
k2
L2 c
(5.43)
através de uma relação linear, fazendo a projeção da equação (5.43) sobre j e
resolvendo o sistema normal:
k2 nT2 k2 nT2 , j
j
40
L2 c
Ψ j R w2j Ψ j
j
(5.44)
Quando T2 T1 , o valor do coeficiente de troca térmica de contato, hc x , é
obtido, através dos contornos em c do problema original:
hc x
k2 nT2 x
T2 x T1 x
(5.45)
No caso em que T2 T1 existe contato térmico perfeito, então a determinação da
condutância térmica de contato se faz desnecessária. Em resumo, para solucionar o
problema inverso através do RF é necessário que sejam solucionados dois problemas
auxiliares de Cauchy, em termos de v(x) e em termos de w(x), descritos nas equações
5.19 e 5.20 e nas equações 5.38, respectivamente.
Tabela 5.1 – Resumo dos Problemas Auxiliares I e II, com problemas de Cauchy (COLAÇO e ALVES,
2013).
PROBLEMA I.1
PROBLEMA I.2
PROBLEMA II
2v1 x 0
em 1
2v2 x 0
em 2
2 w2 x 0
em 2
nv1 x 0
em 1
nv2 x 0
em 2
n w2 x 0
em 2
k1 n v1 x j
em c
k2 n v2 x j
em c
n w2 x 0
em c
v1 x 0
em o
v2 x v2 x
em c
w2 x j
em c
Os problemas auxiliares I e II são problemas de Cauchy, onde não existem
condições de contorno em uma das superfícies e existem duas condições de contorno
numa mesma superfície. No Problema de Laplace cada superfície tem uma condição de
contorno imposta.
Como dito anteriormente, a solução de problemas de Cauchy traz instabilidade
numérica e exige a utilização de métodos específicos de solução, como o método das
soluções fundamentais. Neste trabalho, optou-se por utilizar o método das soluções
fundamentais (MFS) para solucionar estes problemas auxiliares, uma vez que os
problemas de Cauchy foram solucionados através deste método.
Verificou-se que para aproximações com funções base de Fourier em
frequências mais elevadas (valores altos de j) existem limitações impostas pelo mau
condicionamento dos problemas de Cauchy, especialmente no problema auxiliar II.
41
Embora isto não inviabilize a utilização deste método e que bons resultados possam ser
obtidos, mesmo para estas frequências elevadas (COLAÇO e ALVES, 2013), existem
casos onde existe grande perda de informação durante o processo de regularização para
melhorar o condicionamento e permitir que haja a resolução destes problemas de
Cauchy. Isto ocorre devido à necessidade de que sejam utilizados métodos de
regularização fazendo com que os problemas solucionados percam suas características
originais, especificamente, quando é necessário que seja somado um termo de
penalização muito alto, como na regularização de Tikonov, por exemplo.
Como já foi dito, como uma das contribuições deste trabalho, a seguir será
proposto um método, utilizando sistemas lineares, que procura ampliar a performance
obtida pelo método proposto por COLAÇO e ALVES (2013), transformando os
problemas de Cauchy em problemas de Laplace. Isto diminui o mau condicionamento
relacionado com a resolução dos problemas de Cauchy e amplia a gama de métodos que
podem ser utilizados para solucionar os problemas auxiliares I e II.
Inicialmente, alterou-se o problema auxiliar II, de forma a modificar o problema
de Cauchy e transformá-lo num problema de Laplace. Isto é feito ao assumir que as
funções de base, j , estão aplicadas em oo e não em c .
Para obter os valores das funções de base projetadas em c , designa-se que j
sejam os valores de w2j em Γc associados a cada j e então desenvolveu-se uma base
ortonormalizada, através da resolução do seguinte sistema normal:
i , j
L2 c
wj R w2j
(5.46)
onde
R w2j k2
q x Y
j
oo
n perm
n j d oo k2 nT2 , j
L2 c
(5.47)
obtendo:
k2 nT2 wj j
j
42
(5.48)
Alterou-se ainda o problema auxiliar I de forma a modificar também seu
respectivo problema de Cauchy, transformando-o também num problema de Laplace.
Assume-se que as funções de base, j , estão aplicadas em oo e não em Γc e designaj
se novamente j sendo os valores de k2 n v2 x em Γc associados a cada j .
Desenvolveu-se outra base ortonormalizada resolvendo o seguinte sistema normal:
i , j
L2 c
vj R v2j
(5.49)
2
onde
R v2j k2
q x Y
j
oo
n perm
n j d oo T2 T1 , j
(5.50)
L2 c
obtendo:
T2 T1 vj2 j
(5.51)
j
Em resumo, após realizar as alterações descritas os problemas são alterados e
podem ser reescritos como na Tabela 5.2.
Tabela 5.2 – Resumo dos Problemas Auxiliares I e II, com problemas de Laplace (ABREU et al., 2014b).
PROBLEMA I.1
PROBLEMA I.2
PROBLEMA II
2v1 x 0
em 1
2v1 x 0
em 1
2 w2 x 0
em 2
nv1 x 0
em 1
nv1 x 0
em 1
n w2 x 0
em 2
k1 n v1 x j
em c
v1 x 0
em o
n w2 x 0
em c
v1 x 0
em o
k1 n v1 k2 n v2
em c
w2 x j
em oo
v2 x v1 x
em c
2v2 x 0
em 2
nv2 x 0
em 2
v2 x
em oo
j
43
Nesta abordagem, quando os materiais que compõem o meio composto forem
iguais, basta que sejam solucionados os problemas de Laplace descritos na Tabela 5.3:
Tabela 5.3 – Resumo dos Problemas Auxiliares I e II, com problemas de Laplace (ABREU et al., 2014b),
para o caso particular onde k1=k2.
ROBLEMA I
PROBLEMA II
2v1 x 0
em 1 2
2 w2 x 0
em 2
nv1 x 0
em 1 2
n w2 x 0
em 2
v1 x 0
em
o
n w2 x 0
em c
v2 x j
em
oo
w2 x j
em oo
Como foi dito anteriormente, espera-se resolver uma versão do problema inverso
mais geral. Propõe-se então nova modificação na solução proposta em COLAÇO e
ALVES (2013) para alterar as condições de contorno do problema. Assim, considera-se
que o material composto está submetido a um mesmo fluido nas superfícies superior e
inferior, ou seja, To Too e ho hoo .
Pode-se redefinir o problema estudado, considerando condições de contorno de 3
tipo, ou seja:
2T1,2 x, t 0,
em
1, 2
(5.52.a)
k1 nT1 (x) ho To T1 (x) ,
em
o
(5.52.b)
k2 nT2 (x) ho To T2 (x) q( x, y),
em
oo
(5.52.c)
k1 nT1 x, t k2 nT2 x, t ,
em
c
(5.52.d)
k1 nT1 x, t hc x, y T2 x, t T1 x, t ,
em
c
(5.52.e)
nT1 x, t 0,
em
1
(5.52.f)
nT2 x, t 0,
em
2
(5.52.g)
Realizando uma transformação, considera-se que:
T1 T1 To
(5.53.a)
T2 T2 To
(5.53.b)
44
A metodologia de solução deste problema inverso, considerando esta
transformação, é semelhante à solução obtida anteriormente, mas a única alteração
ocorre no contorno referente à superfície . Isto aplica-se em todos os casos estudados
anteriormente neste trabalho, envolvendo funcional de reciprocidade. Desta forma,
reescrevendo a equação de contorno referida, com a devida modificação:
nv1j x hov1j x
em
o
(5.54)
lembrando que em oo :
T x T2 To
(5.55)
T x T2 To
(5.56)
A solução aproximada dos problemas teste auxiliares é obtida através do método
das soluções fundamentais (MFS), conforme descrito no apêndice A.
45
CAPÍTULO 6 -
CONFIGURAÇÃO EXPERIMENTAL
Neste capítulo será apresentada a configuração experimental desenvolvida neste
trabalho, que permite utilizar a técnica não intrusiva de medição de temperaturas através
de termografia por infravermelho na solução do problema inverso de transferência de
calor proposto. A solução destes problemas visará quantificar e qualificar falhas de
adesão entre meios compostos, especificamente através da identificação da condutância
térmica de contato entre as interfaces deste meio. Esta configuração experimental
representará o modelo físico matemático descrito no Capítulo 3. Amostras com
geometria retangular e com falhas construídas controladamente foram fabricadas e
analisadas experimentalmente. Utilizou-se também uma amostra sem falhas para avaliar
e quantificar o fluxo de calor imposto.
6.1
TERMOGRAFIA POR INFRAVERMELHO
Neste trabalho serão utilizadas principalmente medidas de temperatura obtidas
através de câmeras termográficas que possibilitam alta resolução espacial e frequência
de amostragem. As medições realizadas com termopares e outros sensores de contato
são muitas vezes de difícil execução e a inserção destes sensores muitas vezes causa
perturbações, que podem ampliar as dificuldades de análises dos problemas térmicos
estudados. As técnicas termográficas já são bastante consolidadas e vem sendo
utilizadas há muitos anos em diversas aplicações, científicas ou não (MEOLA e
CARLOMAGNO, 2004). Destaca-se uma enorme gama de aplicações em diferentes
áreas para estas técnicas, entre elas seu uso na medicina, agricultura, manutenção
industrial, termodinâmica, ensaios não-destrutivos e diversas outras aplicações em
engenharias e demais áreas do conhecimento. Atualmente, continuam sendo feitos
grandes esforços científicos com a intenção de que a técnica seja utilizada em novas
aplicações, especialmente em métodos quantitativos e não apenas qualitativos. O
presente trabalho se insere neste contexto, onde as medições realizadas de forma não
intrusiva na superfície de meios compostos serão utilizadas para determinar
quantitativamente a distribuição da resistência térmica de contato entre as camadas
deste meio. Existem atualmente poucos métodos quantitativos com esta finalidade. A
determinação desta condutância/resistência térmica de contato é assim utilizada ainda
para detectar quantitativamente possíveis falhas de adesão e aderência em meios
compostos.
46
A termografia por infravermelho possibilita medir a temperatura de superfícies a
partir da radiação na faixa do infravermelho que é emitida pelas mesmas. Sabe-se que
qualquer objeto acima do zero absoluto (-273°C) emite radiação eletromagnética. A
radiação na faixa do infravermelho é uma parte desta radiação e seu comprimento de
onda é maior do que a luz visível ao olho humano. Um sensor de radiação infravermelha
converte a energia radiativa incidente em sinal elétrico, que é transformado numa
imagem que pode ser vista e representada em níveis de cores correspondente a
distribuição bidimensional da energia radiante ou diretamente à temperatura dos corpos
filmados, cuja conversão é realizada diretamente pela câmera.
Neste trabalho utilizou-se duas câmeras de alto desempenho. Na figura 6.1.a
pode ser vista a câmera FLIR SC 660 e na figura 6.2 a câmera FLIR A325sc. Estas
câmeras possuem características diferentes. Especificamente, a resolução espacial da
câmera FLIR A325sc é de 320×240 pixels, enquanto a resolução da FLIR SC 660 é de
640×480 pixels. Esta alta resolução é de fato uma vantagem. Entretanto, para um grande
número de medições no tempo realizadas com alta frequência de aquisição, o tamanho
do arquivo computacional gerado pode ser demasiadamente grande para ser lido e
tratado. Neste sentido, em experimentos em que são armazenados mais do que 400
imagens (frames) utilizou-se a câmera FLIR A325sc.
(a)
(b)
Figura 6.1 – Câmeras termográficas empregadas nos experimentos: (a) FLIR SC-660 (b) FLIR A325sc.
47
Na tabela 6.1 são apresentados alguns dos dados técnicos das câmeras utilizadas.
Tabela 6.1 – Dados técnicos das câmeras termográficas FLIR A325sc e FLIR SC660.
Resolução
Amplitude de Temperatura
Resposta Espectral
Foco
Frequência de Aquisição
Interfaces
Temperatura de operação
Temperatura de armazenagem
6.2
FLIR A325sc
FLIR SC660
320 × 240 pixels
-20°C a 350°C
7.5 – 13.0 μm
Automático ou Manual
30 Hz
Gigabit Ethernet Port
-15°C a 50°C
-40°C a 70°C
640 × 480 pixels
-40°C a 1500°C
7.5 – 13.5 μm
Automático ou Manual
30Hz
USB-mini, USB-A, Firewire
-15°C a 50°C
-40°C a 70°C
DESCRIÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL
O aparato experimental utilizado em todos os experimentos deste trabalho, para
representar os modelos físicos matemáticos descritos no Capitulo 3, pode ser visto na
Figura 6.2 e é composto por: a) Câmera termográfica; b) Suporte vertical para câmera c)
Sistema de aquecimento; d) Amostras; e) Suporte de amostras; f) Sistema de aquisição
de dados (Agilent 34970-A); g) Microcomputador para aquisição e tratamento dos
dados; h) Cúpula em acrílico.
Figura 6.2 – Vista geral da bancada experimental.
48
Foram utilizados 5 termopares do tipo E para: medir a temperatura ambiente, a
temperatura na superfície inferior da amostra, temperatura do suporte de resistências,
temperatura da câmera termográfica e um termopar na superfície superior da amostra
como referência. O termopar de referência foi utilizado apenas nos primeiros
experimentos, garantindo que a calibração da câmera estava correta e que as medidas
fornecidas pela mesma eram coerentes. O termopar colocado na câmera é utilizado para
garantir que a mesma esteja funcionando dentro das condições recomendadas pelo
fabricante. Estes termopares são analisados no microcomputador através do sistema de
aquisição de dados Agilent 34970-A.
Uma cúpula em acrílico foi utilizada para evitar a interferência de radiação
externa e reduzir as perturbações provocadas devido ao processo de convecção natural,
que ocorre junto às placas (ver Figura 6.2). O aparato experimental conta ainda com
uma mesa experimental que permite que os experimentos sejam repetidos com precisão.
Em ensaios utilizando câmeras termográficas para detecção de falhas ou
anomalias na aderência de meios compostos o aquecimento das amostras deve ser
uniforme. Na análise qualitativa e quantitativa das imagens, fluxos de calor distribuídos
não uniformemente na superfície, sem serem adequadamente considerados na
formulação matemática envolvida, podem provocar gradientes de temperatura que
omitem possíveis falhas internas ou mesmo que criem a falsa existência de falhas. Nos
estudos realizados para a construção da bancada experimental considerou-se diferentes
possíveis fontes de calor. Notou-se que o fluxo de calor gerado por lâmpadas gerava
reflexos que interferiam nas analises. Desta forma, o sistema de aquecimento proposto
neste trabalho consistiu de uma resistência elétrica fixada num suporte fabricado em
alumínio, conforme o esquema da Figura 6.3.a e a foto da Figura 6.3.b. Neste sistema de
aquecimento, espera-se que o calor produzido pela resistência elétrica seja difundido
para a placa de alumínio e se distribua uniformemente sobre o mesmo. A superfície
inferior do suporte, paralela e mais próxima à amostra, foi pintada com tinta de grafite
(ver detalhe na Figura 6.3.c). Isto aumentou a absorção de calor, ampliando assim a
uniformidade do mesmo pelo suporte. As laterais deste suporte foram mantidas sem
pintar e polidas, fazendo com que o calor gerado pela resistência se concentrasse na
região interior do suporte. A resistência foi fixada através de isoladores cerâmicos
fixados na parte superior de estrutura de alumínio, como pode ser visto no detalhe da
Figura 6.3.c.
49
As bases do suporte foram fabricadas em Teflon resistente a 600°C, evitando
que houvesse perda de calor para a bancada (ver Figura 6.3.b-c). Este formato para o
suporte da resistência foi definido com o objetivo de fornecer um fluxo de calor
suficientemente uniforme e, ao mesmo tempo, manter a área central da amostra livre
para que as medidas sejam tomadas pela câmera na mesma superfície que está sendo
aquecida.
(a)
(b)
(c)
Figura 6.3 - Sistema de aquecimento.
Com vista a serem realizados experimentos controlados de detecção de falha
através dos métodos propostos neste trabalho foram confeccionadas amostras quadradas
(Figura 6.4). As amostras foram fabricadas no laboratório LABMEMs/UFRJ. Optou-se
por utilizar como matéria prima para a construção destas amostras o acrílico (Polimetil50
metacrilato (PMMA)) devido à experiência dos técnicos do referido laboratório e ainda
por haver disponibilidade do material para a construção das amostras. Naturalmente,
seria possível a utilização de diferentes materiais, entretanto, neste caso seria necessária
a compra da matéria prima e ainda que os equipamentos fossem ajustados de acordo
com os materiais escolhidos.
Diferentes formatos de falhas de interface foram produzidos através de técnicas
de fabricação de microcanais. Assim, pequenas regiões onde existem descontinuidades
no contato entre as camadas dos materiais representam as falhas, cujo formato é
controlado. A profundidade destas falhas é de cerca de 100µm a 150 µm, as amostras
têm lados a = b = 0.04m e cada camada possui espessura de c1=c2=0.002m. Estas
dimensões foram escolhidas por corresponderem às mesmas dimensões utilizadas em
COLAÇO e ALVES (2013). Uma amostra sem falhas (Figura 6.4.a) composta por
apenas uma camada cuja espessura é c1= 0.002m foi confeccionada para realizar a
analise e estimativa do fluxo de calor imposto na superfície superior das amostras.
(a)
(b)
(c)
Figura 6.4 – Exemplos de Amostras fabricadas em acrílico.
Como mostra a Figura 6.5, a superfície superior das amostras, onde serão
tomadas as medidas de temperatura, receberam uma fina camada de tinta grafite
(Graphit 33, Kontact Chemie). Isto é um procedimento comum em experimentos
utilizando termografia para que a emissividade seja aproximadamente uniforme em toda
superfície e com valor conhecido e relativamente alto (ε ≈ 0.97, de acordo com os dados
técnicos do fabricante), o que reduz erros provocados pela variação da emissividade.
Entretanto, acúmulo ou ausência de tinta, em algum ponto especifico da superfície pode
causar valores discrepantes nas medidas.
51
(a)
(b)
Figura 6.5 – Amostra pintada com tinta grafite (Graphit 33, Kontact Chemie).
Com a finalidade de reproduzir experimentalmente as condições de contorno
propostas na formulação Físico-Matemática do Capítulo 3, foram idealizadas três
configurações distintas para posicionar a amostra no aparato experimental, como
mostram as Figuras 6.6-6.8. Na primeira configuração proposta, Figura 6.6, a amostra é
colocada sobre um bloco de isopor, com o objetivo de isolar a superfície inferior. Neste
caso, não se utilizou pasta térmica no contato entre amostra e isopor, uma vez que o ar a
interface também auxilia no isolamento térmico.
Figura 6.6 - Configuração experimental supondo superfície inferior isolada.
52
Para facilitar a repetitividade do experimento e garantir a hipótese de que as
perdas de calor nas laterais são desprezíveis, utilizou-se ainda um gabarito
confeccionado em acrílico, como mostra a Figura 6.6. Outro gabarito foi confeccionado
ainda para fixar o bloco de alumínio/isopor à mesa experimental e garantir que esta
posição seja repetida em cada experimento realizado.
Na segunda configuração, Figura 6.7, a amostra é colocada sobre um bloco de
alumínio de grande volume. Como este bloco possui uma alta capacidade térmica
volumétrica e uma alta condutividade térmica, espera-se que a temperatura inferior da
amostra esteja sujeita a uma temperatura prescrita e uniformemente distribuída na
superfície inferior (cuja temperatura é medida por um termopar tipo E posicionado
abaixo da amostra). Para melhorar o contato entre o alumínio e a amostra foi utilizada
ainda pasta térmica da marca implastec. Nos procedimentos experimentais executados,
não foram observadas discrepâncias significativas entre a temperatura do termopar
posicionado abaixo da amostra e a temperatura do termopar posicionado na lateral da
amostra. Desta forma, considerou-se que a temperatura inferior esteve distribuída
uniformemente na superfície inferior e sem variação no tempo. Este resultado pode
depender da temperatura ambiente do local onde os experimentos são realizados,
especialmente em experimentos de longa duração (mais de 3 horas) em ambientes com
fortes mudanças de temperatura.
Figura 6.7 - Configuração experimental supondo superfície inferior a uma temperatura prescrita.
53
Na terceira e última configuração, Figura 6.8, a amostra foi colocada dentro de
uma moldura fabricada em acrílico, deixando livre a superfície inferior para trocar calor
com o ambiente por convecção natural.
(a)
(b)
Figura 6.8 - Configuração experimental supondo superfície inferior e superior expostas a convecção
natural.
Em todos os experimentos manteve-se a distância de 400mm entre a superfície
medida da amostra e à câmera e uma distância de 100mm entre a amostra e o sistema de
aquecimento. A amostra foi posicionada no centro do sistema de aquecimento como foi
mostrado na Figura 6.2.a.
O procedimento experimental é composto pelos seguintes passos:
1.
Os sistemas de aquisição de dados da câmera termográfica e dos termopares
utilizados são simultaneamente iniciados num horário pré-definido. O
software Agilent 34970-A faz a aquisição das temperaturas pelos termopares
e o software FLIR ResearchIR™ faz a aquisição das temperaturas medidas
pela câmera.
54
2.
Durante 10 segundos são tomadas medidas de temperatura, com as quais
pode-se calcular o desvio padrão das medidas com base na temperatura
inicial da amostra.
3.
Uma tensão elétrica alternada pré-determinada é aplicada à resistência
elétrica de 22Ω que compõe o sistema de aquecimento das mostras. A
potência dissipada por esta resistência é de aproximadamente 323W, quando
a tensão aplicada é de 80V e 397W quando a tensão é de 100V.
4.
São tomadas medidas de temperatura com um intervalo pré-determinado até
que um tempo final de experimento tf é atingido.
Os arquivos de temperaturas obtidos nos experimentos são transformados em
arquivos com extensão ‘.mat’ para serem tratados e analisados na plataforma de
programação Mathematica 10.0. Neste software, inicialmente é definida a região da
imagem total que corresponde à superfície da amostra. São então determinados o desvio
padrão das medições e a temperatura inicial a serem utilizados posteriormente nos
códigos computacionais. Esta temperatura inicial corresponde à média amostral no
tempo e espaço das medidas realizadas durante os 10 segundos iniciais de experimento.
As medições realizadas apenas na região de interesse (amostra) são exportadas em
formato adequado para serem então lidas nos códigos construídos na linguagem de
programação Fortran, que fará a solução dos problemas inversos.
Como na solução do problema inverso correspondente à determinação da
condutância térmica de contato o fluxo de calor é considerado conhecido, um
experimento contendo uma amostra de apenas uma camada e sem falhas (Figura 6.4.a) é
realizado para que este fluxo possa ser identificado, também através da solução de um
problema inverso. Após este experimento, são realizados os experimentos com as
demais amostras, sempre posicionadas exatamente na mesma região onde o primeiro
experimento foi realizado para que o fluxo determinado seja de fato válido. Entre cada
experimento é necessário o resfriamento total da bancada experimental até a
temperatura inicial do primeiro experimento. Este resfriamento é monitorado pela
própria câmera termográfica e por termopares.
A Fig. 6.9 ilustra a tela do software FLIR ResearchIR™ durante a aquisição de
medidas de temperatura na amostra sem falhas (Figura 6.4.a), onde pode ser vista a tela
após 120 segundos da gravação ser iniciada. Nesta figura pode ser vista uma análise
realizada no software durante a aquisição de medidas. A imagem mostra excelente
uniformidade da distribuição de temperaturas em diferentes linhas traçadas na região da
55
imagem correspondente à amostra. Nesta imagem pode ser visto ainda a evolução no
tempo do perfil de temperaturas, em pontos definidos previamente, para que durante o
experimento esta evolução possa ser acompanhada. No experimento da imagem em
questão, Figura 6.9, acompanhou-se a evolução no tempo do valor médio das
temperaturas na região da amostra e diferentes pontos escolhidos aleatoriamente na
região da amostra. Nesta figura pode ser visto ainda um termopar de regerência ao lado
da amostra.
Figura 6.9 - Tela do software FLIR ResearchIR™, durante a aquisição de medidas de uma amostra sem
falhas de contato.
A Figura. 6.10 ilustra a tela do software FLIR ResearchIR™ durante a aquisição
de medidas de temperatura na amostra com falha circular com 150mm de diâmetro
(Figura 6.4.b), após 120 segundos de aquecimento. Neste caso pode ser visto claramente
a região de falha apenas através da termografia.
Figura 6.10 - Tela do software FLIR ResearchIR™, durante a aquisição de medidas de uma amostra com
falha de contato circular.
56
Na Figura 6.10 pode ser visto o perfil de temperaturas numa linha traçada na
região central onde a amostra continha falha e acompanhou-se a evolução das
temperaturas no tempo em dois pontos distintos: o primeiro num ponto sem falha e o
segundo no ponto central, onde existe falha. As imagens visualizadas na tela do
programa, Figura 6.10, mostram que a região com falha de fato tem maior aquecimento
do que as regiões sadias. Uma análise quantitativa e mais detalhes destes experimentos
serão visualizados adiante na seção de resultados.
No processo de fabricação das amostras utilizou-se duas técnicas distintas para
realizar o processo de união das camadas do meio composto. Na primeira, a peça passa
por um processo de selagem, onde as camadas são quimicamente unidas de forma que
apenas a região com falha controlada fica sem contato entre as camadas. Entretanto,
muitas peças que passaram por este processo ficaram deformadas (perdendo suas
dimensões originais) ou tiveram a região de falha deformada. Isto ocorreu devido à
dificuldade em realizar os ajustes necessários no processo de selagem.
Na segunda técnica utilizada para unir as peças, utilizou-se a aplicação de
clorofórmio nos cantos superiores e inferiores das peças. O clorofórmio produz uma
ligação química nas regiões onde existe contato entre o mesmo e as partes a serem
unidas, fazendo a aderência das camadas. Neste caso, tanto as falhas quanto as peças
mantêm suas dimensões originais. No entanto, nesta segunda técnica a desvantagem
consiste em que a superfície de interface entre as camadas não fica completamente
unida quimicamente nas regiões onde deveria haver contato perfeito. De fato, as
camadas estão separadas, em algumas regiões de interface, por pequenas distâncias
provocadas pela falta de clorofórmio. Isto foi confirmado através de análise realizada
com um microscópio digital 3D Hirox, onde foram feitas imagens na lateral exterior das
amostras (como mostra a Figura 6.11). Não foi possível realizar a avaliação interna
destas regiões por técnicas tradicionais. Na Figura 6.11 são mostradas imagens
ilustrativas da superfície lateral das amostras, feitas para avaliar a existência de
pequenas distâncias entre as camadas do meio composto. Na imagem mostrada na
Figura 6.11.a pode ser visto uma ilustração de uma região onde foi feita uma imagem.
Na Figura 6.11.b é mostrado um exemplo de região onde houve união química entre as
camadas e nas Figuras 6.11.c-d são vistos dois exemplos de regiões onde não houve
contato.
57
Espera-se que a temperatura medida na amostra utilizando apenas clorofórmio
seja maior (ABREU, 2011) do que aquela medida nas amostras utilizando o processo
de selagem, devido à existência desta resistência térmica em toda a interface.
(a) Exemplo de regiões analisadas
(b) Região aderida quimicamente
(c) Distância de 85μm
(d) Distância de 90μm
Figura 6.11 - Analise da distância entre as camadas de uma amostra, com falha retangular, unida apenas
com clorofórmio. A figura (a) mostra as regiões aproximadas onde foram feitas as análises das figuras
(b),(c) e (d).
58
CAPÍTULO 7 -
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos para a solução do
problema direto e inverso de transferência de calor. A partir do problema físico de
transferência de calor em meios compostos descrito no capítulo 3, foram formulados e
solucionados os problemas direto e inverso, que estão descritos respectivamente nos
Capítulos 4 e 5. Este capítulo será subdividido em duas partes principais: na primeira
parte, a condutância térmica de contato será determinada utilizando medidas simuladas
de temperatura e na segunda serão utilizadas medidas reais obtidas na bancada
experimental desenvolvida, que é descrita no Capítulo 6.
Na primeira parte, são avaliados os métodos e códigos computacionais através
de medições simuladas onde os erros de medições são controlados. Nestes casos
estudados, supõe-se que as propriedades dos materiais envolvidos, o fluxo de calor e as
condições do ambiente são deterministicamente conhecidos. Foram analisados
diferentes meios compostos denominados MC1, MC2 e MC3, como estão descritos na
tabela 7.1. Os materiais analisados com medidas simuladas foram escolhidos por serem
comumente utilizados em aplicações reais de engenharia. No primeiro caso um material
tipicamente utilizado em indústria aeronáutica, no segundo um aço muito utilizado em
diversas outras áreas de engenharia e o material composto MC3, utilizado nas amostras
fabricadas para os experimentos, foi escolhido devido a sua disponibilidade no
LabMEMS, onde as amostras foram fabricadas.
Na segunda parte, além da estimativa da condutância térmica de contato, a
validação experimental do código de solução do problema direto será realizada
inicialmente em conjunto com a estimativa do fluxo de calor que é aplicado nas
amostras durante os experimentos. Em seguida, são realizados experimentos nas
amostras com falhas controladas, para que seja obtida a estimativa da condutância
térmica de contato que será realizada simultaneamente com a estimativa do fluxo de
calor.
Tabela 7.1 – Materiais Compostos analisados.
Material em Ω1
Material em Ω2
MC1
Epóxi com fibra de grafite
Titânio
MC2
Aço AISI 1050
Aço AISI 1050
MC3
Acrílico (PMMA)
Acrílico (PMMA)
Material Composto
59
As propriedades termofísicas dos materiais utilizados neste trabalho podem ser
observadas na tabela 7.2. Os valores foram obtidos apenas da literatura nos casos
simulados. Para os casos com medidas experimentais reais, além dos valores da
literatura, foram ainda medidos experimentalmente no do Laboratório de Transmissão e
Tecnologia do Calor (LTTC), através dos métodos Flash e DSC, a difusividade térmica
e o calor especifico. A densidade das amostras foi obtida através do cálculo realizado
utilizando o volume medido as amostras e seu respectivo peso.
Tabela 7.2 - Propriedades termofísicas dos materiais utilizados.
Material
α
(m2/s)
k
(W/mK)
cp
(J/kgK)
ρ
(kg/m3)
¹ Epóxi com fibra de grafite
0.66×10-7
0.87
935
1400
9.32×10
-6
21.9
522
4500
¹ Aço AISI 1050
1.47×10
-5
54.0
465
7833
¹ Acrílico (PMMA)
[ 0.98-1.44 ] ×10-7
[ 0.17-0.25 ]
1460
1190
0.22
1450
1150
¹ Titânio
² Acrílico (PMMA)
1.31×10
-7
¹ Obtidos a partir da Literatura (INCROPERA e DE WITT, 2003) e (CALLISTER e WILLIAM, 2002).
² Medidos experimentalmente no LTTC/UFRJ.
7.1
MEDIDAS SIMULADAS DE TEMPERATURA
7.1.1 VERIFICAÇÃO DO PROBLEMA DIRETO
Nos resultados desta seção considerou-se um meio composto por duas camadas
com espessuras iguais (c 1 =c 2 =0.005m), que resultam em uma espessura total
c=0.01m. As camadas deste meio composto têm o mesmo comprimento e a mesma
largura (a=b=0.1m). Considerou-se ainda que um fluxo de calor de 25000W/m2 foi
uniformemente imposto sobre a superfície superior do material composto Γoo.
O método de solução do problema direto, descrito no Capítulo 4, foi largamente
analisado em (ABREU, 2011). No trabalho citado, foram resolvidos diversos casos
particulares do problema geral onde foi possível realizar comparações com soluções
puramente analíticas (ABREU, 2011), verificado assim este método de solução e seu
respectivo código computacional. Desta forma, como o presente trabalho faz uso do
mesmo código de solução do problema direto, o mesmo não será analisado novamente
60
em situações críticas. Entretanto, um problema permanente analítico será utilizado,
apenas para ilustrar sua convergência e acurácia.
Assume-se nesta verificação do problema direto, através da comparação com o
problema em regime permanente, que a condução do calor ocorrerá apenas na direção z,
uma vez que além das superfícies laterais serem isoladas, são considerados constantes e
uniformemente distribuídos os coeficientes de troca térmica nas superfícies superior e
inferior, bem como o fluxo de calor imposto. Espera-se verificar, como foi dito
anteriormente, a acurácia da solução obtida para o problema geral quando o mesmo
atinge regime permanente, comparando o valor obtido com a solução obtida no
problema analítico equivalente (ABREU, 2011). Nesta comparação são avaliados
resultados para o Material Composto (MC1) definido conforme a tabela 7.1. Neste
material, assume-se que sua superfície inferior esteja exposta a um meio na temperatura
ambiente To = 25°C, com coeficiente de troca térmica ho=10W/m2K e que a superfície
superior esteja à exposta a um meio na temperatura ambiente To = 30°C
com
coeficiente de troca térmica hoo=100W/m2K. Foram escolhidos valores que possam
representar casos reais.
A temperatura inicial é considerada igual à temperatura imposta na superfície
inferior. Neste caso, assume-se contato térmico perfeito em toda a interface entre os
materiais que compõem o meio composto. Desta forma, pode-se avaliar a solução do
problema direto conforme foi feito em ABREU (2011).
Na figura 7.1, pode ser visto o perfil de temperaturas exatas obtidas na superfície
superior, obtidos com uma função constante da condutância térmica de contato
adimensionalizada para um valor suficientemente alto, Bic=12, que caracteriza contato
térmico perfeito. As temperaturas obtidas numericamente foram iguais a uma constante
em toda a superfície, como pode ser notado na figura 7.1.a e pode-se verificar que o
problema está em regime permanente pela Figura 7.1.b. Pode-se ainda perceber que 200
termos na série foi suficiente para a convergência da mesma, uma vez que não são
observadas oscilações característica na falta de termos em resultados obtidos através de
expansão em séries trigonométricas, como as utilizadas no problema direto na técnica
GITT. Pode-se comprovar pela tabela 7.3 a convergência do método GITT em três
posições diferentes da superfície superior fixando z = c. Nota-se que existe um pequeno
erro entre o valor obtido com o código híbrido, que pode ser atribuído ao fato de que o
código desenvolvido resolve um problema transiente, enquanto a solução analítica é
para regime permanente.
61
T [°C]
392
390
388
386
384
382
392
390
388
386
384
382
0
0.02
0.04
x [m]
0.06
0.08
0.1
0
0.1
0.08
0.06
0.04
y [m]
0.02
(a)
400
350
T [ °C ]
300
250
200
150
100
50
0
0
5000
10000
15000
20000
t[s]
(b)
Figura 7.1 - Distribuição de temperatura na superfície, no tempo final t = 20000s.
Tabela 7.3 - Análise de convergência da série em X e Y, para o teste 1 em regime permanente.
Número máximo
de termos
tf = 20000s
X =Y = 0
X =A/2, Y = B/2
X=A,Y=B
IJF = 1
381.596
381.596
381.596
IJF = 10
383.722
383.722
383.722
IJF = 50
386.125
386.125
386.125
IJF = 100
387.146
387.146
387.146
IJF = 200
387.152
387.152
387.152
Solução analítica
387.161
387. 161
387. 161
A convergência das aproximações por diferenças finitas pode ser vista na Figura
7.2, onde em escala gráfica observa-se excelente concordância dos gráficos obtidos de
temperatura versus tempo (a) e temperatura versus posição (b). Na Figura 7.2, como se
simula a existência de uma resistência térmica de contato de hc=1000W/m2K,
62
característica em interface de materiais, existe uma diferença de temperaturas observada
na posição de interface em z. A diferença de temperatura apresentada na figura é
considerada razoável para os materiais envolvidos e simula o que fisicamente é
atribuído à resistência térmica típica nesta união de materiais. Valores de condutância
térmica de contato mais altos levariam a temperaturas de interface ainda mais próximas
entre si, mas tornariam o problema menos realístico. Na Figura 7.2.a, avaliou-se os 10
segundos iniciais do regime transiente de temperaturas, na superfície superior do
problema estudado nesta seção (correspondente aos 10 segundos iniciais mostrados na
Figura 7.1), apenas para demonstrar a convergência gráfica do método de diferenças
finitas no tempo. Na Figura 7.2.b é mostrada uma análise da distribuição de
temperaturas na direção z para o mesmo problema, entretanto em regime permanente
(tf=20000s). Considerou-se na análise mostrada na Figura 7.2 um número total de 200
termos na solução do problema transformado e analisou-se a região central da placa, ou
seja, x=a/2 e y = b/2.
50
400
380
45
360
T[°C]
T [ °C ]
340
40
35
320
300
280
t = 0.1
t = 0.01
t = 0.001
30
25
0 1
2
3
4 5
6
7 8
260
analítico
numérico 21 nós
240
220
9 10
0
t[s]
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01
z[m]
(a)
(b)
Figura 7.2 - Analise de convergência do MDF em t e z. (a) Análise do transiente até 10s. (b) Análise da
distribuição das temperaturas em z, para o regime permanente (tf=20000s).
Lembra-se que na direção z e no tempo foi aplicado o método implícito de
diferenças finitas. O método converge e é estável, com erro de aproximação de primeira
ordem no tempo e segunda ordem no espaço (PLETCHER e ANDERSON, 1997). Pela
Tabela 7.4, nota-se ainda que como os erros relacionados com a solução obtida são
pequenos, não é necessário um refinamento maior neste método, uma vez que o custo
computacional na solução de problemas inversos por MCMC é tipicamente alto
(PLETCHER e ANDERSON, 1997; KAIPIO e SOMERSALO, 2005).
Tabela 7.4 - Tabela de temperatura versus posição para um hc alto, em regime permanente.
63
Resultado Numérico
T (ºC)
Resultado Analítico
T (ºC)
Erro Rel.
(%)
k=1
239.030
239.217
0.08
k = kc
362.044
362.331
0.08
k = kc+1
382.548
382.929
0.10
k = kf
387.550
387.820
0.07
7.1.2 PROBLEMA INVERSO
Neste trabalho inicialmente foram utilizadas medidas experimentais simuladas,
obtidas a partir da solução do problema direto, cujo desvio padrão do erro é controlado.
Para isto, a partir da solução do problema direto, Capítulo 4, solucionou-se o problema
direto com uma função definida para a condutância térmica de contato,
adimensionalmente definida como Bic ( X , Y ) .
Como foi dito no Capítulo 5, a função da condutância térmica de contato será
determinada em regiões discretas do domínio c , na superfície de interface entre as
camadas do material. Estas regiões estão distribuídas por uma malha, cujos pontos
centrais são ( X I , YJ ) , de forma análoga à distribuição das regiões onde as temperaturas
serão tomadas.
PT Bic1 , Bic 2 ,..., BicM Bic X I , YJ
onde X I I X , YJ J Y , I 1,
, I f , J 1,
(7.1)
, J f . O espaçamento entre estes
pontos é dado por X A / I f e Y B / J f . Desta forma, o número total de pontos
avaliados para a condutância térmica de contato é M I f J f .
Supõe-se que as medições estão localizadas nos mesmos pontos da malha
(XI,YJ), onde foram definidos os pontos discretos do Bic ( X I , YJ ) . Considera-se,
portanto, que o vetor contendo as temperaturas medidas seja escrito como:
YT Y1 , Y2 , ... , Ynmax
(7.2)
onde Yn contém as medidas de temperatura em cada um dos M elementos da malha no
tempo discretizado tn , para n 1,
, nmax . E ainda,
64
Yn Yn1 , Yn 2 , ... , YnM
(7.3)
desta forma, existe um número total de medidas dado por: D M nmax .
As medidas foram simuladas solucionando o problema direto com uma função
de condutância térmica predefinida e acrescentando um número randômico ω N 0,1
com um desvio padrão dos erros de medição igual a σ:
Y T Pexato ω
(7.4)
Com a finalidade de evitar que haja crime inverso (ÖZIŞIK e ORLANDE, 2000;
KAIPIO e SOMERSALO, 2005), estas foram geradas solucionando o problema direto
com 200 autovalores no sistema de equações acopladas e com um número espacial de
100 nós na direção z de diferenças finitas. Por outro lado, utilizou-se apenas 100
autovalores e 21 nós na implementação do algoritmo de Metropolis-Hastings. Ao
solucionar o problema inverso com RF não houve crime inverso, pois os métodos de
solução foram completamente diferentes, isto é, no problema direto utilizou-se GITT
juntamente com diferenças finitas, enquanto no problema inverso todos os problemas
auxiliares foram resolvidos com o método das soluções fundamentais (MFS).
Os resultados obtidos nesta seção foram quantitativamente avaliados através do
cálculo do erro RMS da função estimada, que é definido como:
If
ERMS
Jf
Bi X
I 1 J 1
c ,ex
I
, YJ Bic ,est X I , YJ
If Jf
2
(7.5)
Os dois métodos de solução do problema inverso (MCMC e RF) serão estudados
em seguida e será feita uma comparação para os meios compostos indicados na tabela
7.1. Desta forma, os coeficientes de transferência de calor nas superfícies superior e
inferior (ho e hoo), as temperaturas as quais estas superfícies estão expostas (To e Too),
assim como a temperatura inicial Tini serão definidos de acordo com cada caso estudado.
65
7.1.3 Método MCMC
No método MCMC, considerou-se uma informação a priori pouco informativa
de variação total dos parâmetros e estimou-se a função de condutância térmica de
contato em casos com 441 e 961 pontos discretos. Na utilização deste método, uma
contribuição inovadora deste trabalho consiste na compressão bidimensional dos dados
de temperatura medida superficialmente através da aplicação da fórmula da
transformada (método GITT), realizando a solução do problema inverso utilizando os
modos transformados das temperaturas.
Nos casos 1 a 4 analisados nesta seção será considerado o Material Composto
(MC1) definido conforme a tabela 7.1. Nele assume-se que a superfície inferior esteja
exposta a um ambiente com temperatura To 25 C com coeficiente de troca térmica
ho 100W/m2 K e que a superfície superior esteja à exposta a um ambiente com
temperatura Too 30°C com coeficiente de troca térmica hoo 10W/m2 K . A
temperatura inicial é considerada igual à temperatura imposta na superfície inferior. As
funções da condutância térmica de contato analisadas em cada um dos 4 casos
estudados nesta seção são mostradas na Figura 7.3.
Em todos os casos estudados utilizando o método de Monte Carlo com Cadeias
de Markov definiu-se funções adimensionais Bic X I , YJ para a condutância térmica de
contato. Consideram-se funções descontínuas onde
Bic X I , YJ 12 nas regiões de
contato térmico perfeito e Bic X I , YJ 0 nas regiões onde existe falha de contato.
Deve-se levar em consideração, entretanto, que quando dois materiais são unidos, pode
existir uma função de condutância térmica neste contato, que existe devido à rugosidade
dos materiais, pressão exercida na junção, etc. O foco deste trabalho não foi determinar
a resistência térmica de contato devido a estes fenômenos, mas detectar regiões de falha
de adesão ou aderência entre as camadas, considerando grandes variações entre a região
de contato e a região de falha de contato.
A avaliação dos resultados referentes à estimativa da condutância térmica de
contato será realizada adimensionalmente. Através dos valores de referência, definidos
nos grupos adimensionais. Verificou-se que o valor adimensional 12 é uma
aproximação razoável para o contato térmico perfeito entre os diferentes materiais
estudados, já que a diferença de temperatura entre as duas superfícies no contato tornase insignificante.
66
10
20
10
8
16
8
16
6
12
6
12
4
8
4
8
2
4
2
4
0
0
20
"biotex.dat"
Y
Y
"biotex.dat"
0
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
X
8
10
X
(a) CASO 1
10
6
(b) CASO 2
20
10
8
16
8
16
6
12
6
12
4
8
4
8
2
4
2
4
0
0
20
"biotex.dat"
Y
Y
"biotex.dat"
0
0
2
4
6
8
10
0
0
X
2
4
6
8
10
X
(c) CASO 3
(d) CASO 4
Figura 7.3 - Condutância térmica exata para os quatro casos analisados nesta seção.
Em todos os casos envolvendo o método MCMC, utilizou-se para o Bic uma
proposta simétrica, do tipo Random Walk, para gerar os pontos candidatos, onde
Pt=Pt−1+w(2U−1), w=0.05 e U é um vetor de números randômicos uniformemente
distribuídos no intervalo (0,1). Estes valores foram definidos através de testes
numéricos resultando em percentuais de aceitação dos valores gerados pela distribuição
de proposta entre 20 e 40%. Percentuais de aceitação muito altos ou muito baixos
podem fazer com que a cadeia demore muito tempo para estabilizar e o valor w está
diretamente associado com este percentual de aceitação (GAMERMAN e LOPES,
2006; KAIPIO e SOMERSALO, 2005).
Em todos os casos estudados, iniciou-se a cadeia de Markov considerando
contato térmico perfeito em toda a interface de contato, com um valor Bic ( X I , YJ ) 15 .
Deve-se ressaltar que valores mais altos deste parâmetro também indicam contato
perfeito, uma vez que na interface, as temperaturas de cada material são cada vez mais
próximas. Assim, em casos com informação a priori pouco informativa pode acontecer
67
de serem gerados valores acima de 12, o que indica igualmente que as temperaturas são
suficientemente iguais na interface significando contato térmico perfeito e, portanto,
ausência de falha. Assim, valores maiores, podem não fazer nenhuma diferença
numérica quando um contato perfeito é atingido.
Após serem realizadas todas estas considerações, define-se o CASO 1, referente
a uma função Bic ( X I , YJ ) , conforme a figura 7.3.a, onde I f J f 21 , ou seja, 441
parâmetros. Este caso diz respeito a um problema envolvendo apenas uma falha
quadrada no contato entre as camadas do compósito estudado, com tamanho de 0.015m.
Utilizando esta função exata para a condutância térmica, através da solução do
problema direto de transferência de calor obteve-se perfil de temperaturas exatas no
tempo final do experimento simulado que é apresentado na figura 7.4, obtidas na
superfície superior Γoo do composto laminado. Os perfis de temperatura serão
apresentados na forma dimensional, uma vez que estas temperaturas representam as
temperaturas que serão medidas experimentalmente.
Considerou-se uma frequência de aquisição de 10 Hz no tempo e o tempo final
do experimento foi de tf =10s após o aquecimento ter sido iniciado.
T[°C]
52
51
50
49
48
52
51
50
49
48
0
0.02
0.04
x[m]
0.06
0.08
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
y[m]
Figura 7.4 – Perfil de Temperaturas exatas para o CASO 1.
A análise de convergência para a solução do problema direto neste caso pode ser
vista na tabela 7.5, onde se percebe que o problema já esta convergido com 1 casa de
precisão em 100 termos da série. Na construção dos dados de temperatura simulados
utilizou-se 200 termos, mas a solução do problema inverso foi obtida com 100 termos
na série. Como foi dito anteriormente no método de diferenças finitas utilizou-se 21
pontos em z e um intervalo de medidas temporais Δt=10s no problema inverso e um
número dez vezes maior de pontos na malha do que na solução do problema direto.
68
Tabela 7.5 - Análise de convergência da série em X e Y para o CASO 1 em t=10s.
t =10s
Número de termos
IJF = 10
x = 0.0 mm
y = 0.0 mm
48.837
x = 50 mm
y = 50 mm
49.119
x = 100 mm
y = 100 mm
48.981
IJF = 50
48.797
49.208
48.921
IJF = 100
48.866
49.208
48.873
IJF = 150
48.889
49.226
48.878
IJF = 200
48.884
49.221
48.878
Como pode ser observado na figura 7.4, existe uma notável diferença de
temperatura entre a região de contato perfeito e de falha, provocada pela função definida
para a condutância térmica de contato. Pode-se então definir um desvio padrão
σ=0.05°C, ou seja, de 4% da maior diferença de temperatura medida. Nota-se que esta
maior temperatura ocorre no tempo final, ou seja, nos estados iniciais este desvio padrão
será relativamente muito maior do que 4%. Este desvio padrão é utilizado juntamente
com a equação (7.4) para gerar medidas de temperatura simuladas (figura 7.5).
T[°C]
52
51
50
49
48
52
51
50
49
48
0
0.02
0.04
x[m]
0.06
0.08
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
y[m]
Figura 7.5 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 1.
Nota-se que este desvio padrão forneceu pouca diferença nas temperaturas no
tempo final em relação às temperaturas exatas (ver Figura 7.4), sendo até possível
inferir que existe falha na região com maior temperatura medida, apenas pela análise do
campo de temperaturas. Entretanto, esta informação qualitativa não foi utilizada nas
soluções descritas neste trabalho, uma vez que adiante, serão mostrados casos onde o
nível de ruído é muito maior e não se obtêm nenhuma informação qualitativa a partir da
simples observação das medidas de temperatura.
69
Obteve-se a recuperação da função da condutância térmica de contato (figura
7.6), utilizando a implementação do método MCMC, através do algoritmo MetropolisHastings e da informação a posteriori definida pela equação (5.12) onde se utilizou
como informação a priori um modelo com variação total dos parâmetros (TVF)
associado ao fato da função Bic sempre ser positiva. Nesta informação a priori,
utilizou-se um hiperparâmetro fixo γ=0.05, definido após vários testes numéricos. Este
hiperparâmetro age diretamente no resultado, suavizando a derivada total que aparece
na informação a priori TVF.
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.6 – Condutância térmica estimada, para o CASO 1.
Comparando a função estimada para a condutância térmica de contato (figura
7.6) com sua respectiva função exata (figura 7.3) pode-se notar uma excelente
recuperação da função original. Isto é comprovado pelo baixo erro RMS para este caso
ERMS 0.99 . Para obter esta estimativa, considerou-se a convergência da posteriori a
partir de 20000 estados da cadeia de Markov (figura 7.7 e 7.8), onde os estados iniciais
foram descartados e não foram utilizados para fazer qualquer inferência sobre a função
a ser estimada. A figura 7.7 apresenta a variação do logaritmo da distribuição a
posteriori. A Figura 7.8.a mostra o início da cadeia de Markov em Bic=1 e a Figura
7.8.b mostra o início da cadeia de Markov em Bic=15. Quando se inicia a cadeia de
Markov num ponto afastado do valor a ser convergido, em geral, são necessários mais
estados da cadeia. Pode-se aumentar a velocidade de convergência da cedeia de Markov
nestes casos alterando o fator de aceitação, w, ampliando o desvio padrão dos valores
estimados (KAIPIO e SOMERSALO, 2005).
70
2.0E+005
Posteriori
log(
( , P | Y ))
0.0E+000
-2.0E+005
-4.0E+005
-6.0E+005
-8.0E+005
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.7 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 1.
Na figura 7.8, a convergência da posteriori pode ser comprovada mostrando a
convergência de duas cadeias de Markov, uma delas numa posição de contato e outra
gerada numa posição de falha.
16
Falha de Contato
Contato Perfeito
14
Bi c (X,Y)
12
10
8
6
4
2
0
0
25000
50000
75000
100000
Estados da Cadeia de Markov
(a)
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
Estados da Cadeia de Markov
(b)
Figura 7.8 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 1. Em (a) com início da cadeia de Markov em
Bic=1 e em (b) com início da cadeia de Markov em Bic=15.
71
Para cada posição discreta da função estimada, utilizando as amostras geradas da
distribuição a posteriori convergida, pode-se realizar inferência estatística obtendo,
através da média da distribuição marginal para cada ponto, uma aproximação para a
função Bic ( X I , YJ ) .
Uma das formas típicas de análise da convergência da cadeia consiste em gerar
histogramas com os valores gerados a partir de dois pontos diferentes na cadeia, onde
considera-se que houve convergência (GAMERMAN e LOPES, 2006). Espera-se que
estes histogramas tenham características semelhantes. Nas figuras 7.9 (a) e 7.10 (a)
pode ser visto o histograma gerado nas duas regiões descritas, com histogramas gerados
através dos valores da cadeia de Markov entre o estado 20000 e o estado 25000. Nas
figuras 7.9 (b) e 7.10 (b) são realizados novos histogramas considerando os valores
entre o estado 20000 e o estado 30000. Como pode ser visto, os histogramas mantêm as
mesmas características, comprovando a convergência da cadeia (GAMERMAN e
LOPES, 2006).
O valor médio observado nestas figuras está de acordo com as expectativas para
cada região. O histograma da região de contato mostra uma distribuição
caracteristicamente Gaussiana enquanto a região de falha mostra um histograma que
pode ser atribuído a uma distribuição Gaussiana truncada. Em relação à região de falha
de contato, considera-se que a distribuição teve esta característica uma vez que os
valores negativos gerados pela distribuição proposta foram descartados, pois
fisicamente a condutância térmica de contato não assume valores negativos.
Região de Contato
1.0
Densidade
0.0
0.5
1.0
0.5
0.0
Densidade
1.5
1.5
Região de Contato
12.6 12.8 13.0 13.2 13.4 13.6 13.8
Bic X Y
13.0
(a)
13.5
Bic X Y
14.0
(b)
Figura 7.9 – Histogramas para um ponto na região de contato, para o CASO 1.
72
Região de Falha
6
2
4
Densidade
6
4
0
0
2
Densidade
8
8
Região de Falha
0.00
0.05
0.10 0.15
Bic X Y
0.20
0.25
0.00
0.05
(a)
0.10 0.15
Bic X Y
0.20
0.25
(b)
Figura 7.10 – Histogramas para um ponto na região de falha, para o CASO 1.
Considera-se agora o CASO 2, para o material composto MC1, onde aumentouse o número de medidas para I f = J f = 3 1 (961 medidas espaciais) e consequentemente
um numero de 961 parâmetros a serem estimados. Define-se uma função exata para a
condutância térmica de contato contendo duas descontinuidades quadradas, de tamanho
0.01m (figura 7.3.b). Estas descontinuidades, portanto, são menores do que aquela que
havia no CASO 1. Espera-se verificar como o método se comporta aumentando o
número de parâmetros estimados.
Na figura 7.11 pode ser visto o perfil exato de temperaturas medidas na
superfície superior, gerado a partir da função da condutância de contato exata ilustrada
na figura 7.3.b, no tempo final tf=10s. Nota-se que neste caso a máxima diferença de
temperaturas observada entre a região de contato e a região de falha é de 1.19°C.
Manteve-se uma frequência de amostragem de 10Hz.
T [°C]
52
51
50
49
48
52
51
50
49
48
0
0.02
0.04
x [m]
0.06
0.08
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
y [m]
Figura 7.11 – Perfil de Temperaturas exatas para o CASO 2.
73
0.1
Na tabela 7.6 pode ser vista a análise de convergência da série referente ao
problema direto, para o CASO 2.
Tabela 7.6 - Análise de convergência da série em X e Y para o CASO 2 em t=10s.
t=10s
Número de termos
IJF = 1
IJF = 10
IJF = 50
IJF = 100
IJF = 200
x = 0.0 mm
y = 0.0 mm
48.918
x = 50 mm
y = 50 mm
48.918
x = 100 mm
y = 100 mm
48.918
48.907
48.954
48.972
48.854
49.323
49.451
48.876
49.704
50.211
48.881
49.724
50.265
No CASO 2, para gerar as medidas de temperatura simuladas, utilizou-se um
desvio padrão de 0.05°C, que corresponde a 4% da máxima diferença de temperatura.
Novamente, o nível de ruído adicionado é considerado baixo. De fato, simplesmente
através da analise das imagens termográficas, seria possível obter alguma informação a
respeito da região de falha, como mostra a figura 7.12. Entretanto esta informação
qualitativa não foi utilizada nas solução descritas neste trabalho, uma vez que serão
solucionados problemas com nível de ruído muito maiores adiante.
T [°C]
52
51
50
49
48
52
51
50
49
48
0
0.02
0.04
x [m]
0.06
0.08
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
y [m]
Figura 7.12 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 2.
Novamente ao comparar a função estimada com a função exata, respectivamente
figuras 7.13 e 7.3.b, observa-se uma excelente concordância entre as regiões de contato
e as regiões de falha em cada uma destas figuras. A cadeia de Markov converge para o
valor exato da condutância térmica de contato em cada pixel estimado como ilustra a
figura 7.14.
74
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.13 – Condutância térmica estimada, para o CASO 2.
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.14 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 2.
A convergência da cadeia de Markov também pode ser confirmada através da
analise da convergência do logaritmo da distribuição a posteriori, apresentada na figura
7.15. Considerou-se como período de aquecimento os primeiros 20000 estados da
cadeia. Este número pode ter sido alto em virtude da escolha da distribuição de
proposta. Entretanto, a mesma foi escolhida por ser simétrica e simples para gerar
amostras.
75
2.0E+005
Posteriori
log(
( , P | Y ))
0.0E+000
-2.0E+005
-4.0E+005
-6.0E+005
-8.0E+005
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.15 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 2.
A partir do CASO 2, será mostrado apenas um histograma para um ponto na
região de contato e um histograma para um ponto na região de falha. A análise descrita
anteriormente para o CASO 1 foi feita para todos os casos demostrados neste trabalho.
Entretanto, como o procedimento é o mesmo, optou-se para ilustração deste
procedimento, mostrar um his tograma para a região de convergência da distribuição a
posteriori como ilustra a figura 7.16, para o CASO 2.3
Região de Contato
4
0
0
1
1
2
3
Densidade
3
2
Densidade
5
6
4
7
Região de Falha
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Bic X Y
0.5
0.6
12.15
(a)
12.25
12.35
Bic X Y
12.45
(b)
Figura 7.16 – Histogramas para um ponto na região de falha e outro na de contato, para o CASO 2.
No CASO 3, será analisado um teste com grandes erros de medida, considerando
a máxima diferença de temperatura existente entre a região de falha e a região de
contato térmico perfeito. Trata-se de um problema cuja função Bic exata possui duas
pequenas falhas quadradas de tamanho 0.005m, conforme mostra a figura 7.3.c.
76
Na figura 7.17 pode ser visto o perfil de temperaturas exatas na superfície
superior no tempo final tf=10s. Manteve-se uma frequência de amostragem de 10Hz.
Nota-se que neste caso a máxima diferença de temperaturas observada entre a região de
contato e a região de falha é de 0.25°C. A tabela de convergência do problema direto
pelo método GITT pode ser vista na tabela 7.7.
T [°C]
52
51
50
49
48
52
51
50
49
48
0
0.02
0.04
x [m]
0.06
0.08
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
y [m]
Figura 7.17 – Perfil de Temperaturas exatas para o CASO 3.
Tabela 7.7 - Análise de convergência da série em X e Y, para o CASO 3.
tf=10s
Número de termos
IJF = 1
IJF = 50
IJF = 100
IJF = 150
IJF = 200
x = 0.0 mm
y = 0.0 mm
48.889
x = 50 mm
y = 50 mm
48.889
x = 100 mm
y = 100 mm
48.889
48.887
48.884
48.875
48.885
48.895
48.877
48.874
48.894
48.884
48.881
48.890
48.877
Para gerar as medidas simuladas (figura 7.18), considerou-se novamente um
desvio padrão igual a σ = 0.05°C. Entretanto, neste caso o desvio padrão do erro das
medidas corresponde a 20% da máxima diferença de temperatura entre a região de
contato perfeito e a região de falha de contato. Na realidade, considerando um intervalo
de confiança de 99%, os erros das medidas podem alcançar até 51.5% da máxima
diferença de temperatura. Sendo assim, a figura 7.18 mostra que as medidas de
temperatura para este caso não revelam nenhuma possível informação qualitativa sobre
a posição das falhas de contato, diferente do que vinha ocorrendo nos casos anteriores,
com pequenos erros relativos.
77
T [°C]
52
51
50
49
48
52
51
50
49
48
0
0.02
0.04
x [m]
0.06
0.08
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
y [m]
Figura 7.18 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 3.
Na figura 7.19 pode ser vista a função da condutância de contato estimada para o
CASO 3. Este resultado revela que apesar de grandes erros relativos associados com as
medidas, as regiões com falhas de contato podem ser precisamente determinadas onde
os valores obtidos são suficientemente pequenos na região com falha para caracterizar
fisicamente que existe perda de contato.
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.19 – Condutância térmica estimada, para o CASO 3.
A convergência da cadeia de Markov pode ser observada na figura 7.20 e 7.21,
onde são apresentados pontos na região de contato perfeito e de falha de contato.
78
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.20 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 3.
2.0E+005
Posteriori
( , P | Y ))
-1.0E+005
log(
1.0E+005
-2.0E+005
0.0E+000
-3.0E+005
-4.0E+005
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.21 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 3.
Os primeiros 20000 estados da cadeia de Markov foram descartados por serem
estados de aquecimento. Com os demais estados, foram gerados os histogramas (a) e (b)
da figura 7.22, respectivamente para um ponto na região de falha e na região de contato.
Região de Contato
3
2
Densidade
1.0
0
0.0
1
0.5
Densidade
4
1.5
5
Região de Falha
4.4
4.6
4.8
5.0
Bic X Y
5.2
5.4
10.8
10.9
11.0
11.1
Bic X Y
11.2
(a)
(b)
Figura 7.22 – Histogramas para um ponto na região de falha e um na de contato, para o CASO 3.
79
A acurácia desta presente abordagem para detecção de falhas em compostos com
duas camadas pode ser evidenciada ainda no CASO 4, onde uma falha retangular é
analisada. Na figura 7.3.d pode ser vista a função da condutância térmica de contato
exata para uma falha retangular com 0.005m de largura por 0.06m de comprimento.
O perfil exato de temperaturas na superfície Γoo como pode ser visto na figura
7.23, onde é observada uma diferença de temperatura de 0.9°C entre a região de falha e
a região de contato térmico perfeito.
T [°C]
52
51
50
49
48
52
51
50
49
48
0
0.02
0.04
x [m]
0.06
0.08
0.1
0
0.1
0.08
0.06
0.04
y [m]
0.02
Figura 7.23 – Perfil de Temperaturas exatas para o CASO 4.
A convergência da solução problema direto neste CASO 4, obtida através do
método apresentado no capítulo 4, pode ser vista na tabela 7.8.
Tabela 7.8 - Análise de convergência da série em X e Y, para CASO 4.
tf=10s
Número de termos
IJF = 1
IJF = 50
IJF = 100
IJF = 150
IJF = 200
x = 0.0 mm
y = 0.0 mm
48.921
x = 50 mm
y = 50 mm
48.921
x = 100 mm
y = 100 mm
48.921
48.896
49.335
48.852
48.891
49.509
48.876
48.887
49.632
48.869
48.883
49.653
48.881
Para este caso, foram geradas medidas de temperatura simuladas com dois níveis
diferentes de ruído: no CASO 4.a com desvio padrão de 0.05°C e no CASO 4.b com
desvio padrão de 0.2°C. O perfil de temperaturas simuladas pode ser visualizado para o
CASO 4.a na figura 7.24 e para o CASO 4.b na figura 7.25, no tempo t=10s.
80
T [°C]
52
51
50
49
48
52
51
50
49
48
0
0.02
0.04
x [m]
0.06
0.08
0.1
0
0.1
0.08
0.06
0.04
y [m]
0.02
Figura 7.24 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 4.a.
T [°C]
52
51
50
49
48
52
51
50
49
48
0
0.02
0.04
x [m]
0.06
0.08
0.1
0
0.1
0.08
0.06
0.04
y [m]
0.02
Figura 7.25 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 4.b.
O desvio padrão para o CASO 4.a corresponde a 5.6% da máxima diferença de
temperatura registrada entre a região de falha e a região de contato. Neste caso a falha
de contato pode ser detectada qualitativamente apenas através da imagem termográfica,
o que não ocorre no CASO 4.b, onde o desvio padrão empregado corresponde a 22.2%
desta máxima diferença de temperaturas. A estimativa da condutância térmica para o
CASO 4.a pode ser vista na figura 7.26, a convergência da posteriori pode ser vista na
figura 7.27 e a convergência da cadeia de Markov, para uma região de falha e uma de
contato esta na figura 7.28 e seus respectivos histogramas na figura 7.29.
81
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.26 – Condutância térmica estimada, para o CASO 4.a.
Nas figuras 7.26 e 7.3.d pode ser observada uma grande concordância entre a
função exata e a função estimada.
2.0E+005
Posteriori
log(
( , P | Y ))
0.0E+000
-2.0E+005
-4.0E+005
-6.0E+005
-8.0E+005
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.27 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.a.
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.28 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.a.
82
Região de Contato
1.5
0.5
1.0
Densidade
1.5
1.0
0.0
0.0
0.5
Densidade
2.0
2.0
2.5
Região de Falha
1.2
1.4
1.6
1.8
Bic X Y
2.0
2.2
11.2
11.4
11.6
11.8
Bic X Y
12.0
(a)
(b)
Figura 7.29 – Histogramas para um ponto na região de falha e um na região de contato, para o CASO 4.a.
Pela estimativa obtida para o CASO 4.b, mostrada figura 7.30, observa-se que
mesmo com os grandes erros experimentais associados às medições, é possível detectar
a região de falha através da solução do problema inverso. A convergência da posteriori
pode ser vista na figura 7.32 e a convergência da cadeia de Markov, para uma região de
falha e uma de contato esta na figura 7.31 e seus respectivos histogramas na figura 7.33.
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.30 – Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b.
A estimativa deste caso não foi tão boa quanto às estimativas anteriores devido
ao grande erro associado às medições, de mais de 20% da máxima diferença de
temperatura entre a região de contato e a região de falha. Na figura 7.31, referente à
convergência da cadeia de Markov, considerou-se neste caso 20000 estados iniciais
83
como sendo o período de aquecimento. Considerando a ordem de grandeza do erro
adicionado pode-se, afirmar que houve uma excelente recuperação da função da
condutância térmica de contato.
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.31 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.b.
Na figura 7.32, pode ser visto pela convergência da posteriori que a cadeia
converge. Nos histogramas da figura 7.33, onde destaca-se que quando na região de
falha a convergência não ocorre para uma moda 0, a distribuição tem características de
distribuição normal, assim como na região de contato.
-2.0E+004
Posteriori
( , P | Y ))
-4.0E+004
log(
-3.0E+004
-7.0E+004
-5.0E+004
-6.0E+004
-8.0E+004
-9.0E+004
-1.0E+005
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.32 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b.
84
Região de Contato
0.20
Densidade
0.00
0.10
1.0
0.5
0.0
Densidade
1.5
0.30
Região de Falha
1.4
1.6
1.8
2.0 2.2
Bic X Y
2.4
2.6
2.8
12
(a)
13
14
15
Bic X Y
16
17
18
(b)
Figura 7.33 – Histogramas para uma região de falha e uma de contato, para o CASO 4.b.
7.1.4 Método MCMC com estimativa do hiperparâmetro 𝛄
Como foi dito no capitulo 5, o parâmetro γ que aparece na formulação da priori
de variação total dos parâmetros, TVF, pode ser tratado como um hiperparâmetro
desconhecido e ser estimado como parte do problema de inferência Bayesiana num
modelo hierárquico. O foco desta abordagem, entretanto, não está em estimar um valor
para este hiperparâmetro, mas em permitir que o mesmo tenha liberdade para se ajustar
na priori TVF, realizando a suavização da derivada total, permitindo assim que sejam
obtidas melhores estimativas.
Utilizando as medidas de temperatura simuladas para os CASOS 1, 2, 3, 4.a e
4.b, serão obtidas estimativas para a condutância térmica de contato utilizando esta nova
abordagem, onde o hiperparâmetro γ é estimado como parte do problema de inferência
Bayesiana. A informação a posteriori para esta abordagem esta na equação 5.13, onde
além da informação a priori TVF para o parâmetro Bic ( X , Y ) , existe uma hiperpriori
proporcional à distribuição Rayleigh para o hiperparâmetro γ. O escalar γ0 encontrado
nesta equação consiste na moda da distribuição Rayleigh. Utilizou-se o valor de γ0=0.05
que foi o valor de fixo de γ que forneceu as melhores estimativas na abordagem anterior.
Para o CASO 1, como pode-se observar na figura 7.34, que da mesma forma que
na abordagem anterior, a condutância térmica de contato foi obtida de forma excelente,
em comparação com a função exata (ver Figura 7.3.a).
85
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.34 – Condutância térmica estimada, para o CASO 1, estimando o hiperparâmetro γ.
Observa-se pela figura 7.35, que a cadeia de Markov converge mais rapidamente
do que na primeira abordagem onde o vinha sendo considerado apenas um parâmetro
fixo da informação a priori TVF. A figura 7.36 mostra a convergência da posteriori.
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.35 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 1, estimando o hiperparâmetro γ.
2.0E+005
Posteriori
log(
( , P | Y ))
0.0E+000
-2.0E+005
-4.0E+005
-6.0E+005
-8.0E+005
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.36 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 1, estimando o hiperparâmetro γ.
86
Dois histogramas são mostrados na figura 7.37 para ilustrar a convergência da
cadeia de Markov. A analise é idêntica a que foi realizada para os casos anteriores, ou
seja, a distribuição numa posição de contato teve aspecto de distribuição normal e na
região de falha, devido a imposição da priori de que a condutância térmica não pode ser
um numero negativo, obteve-se uma distribuição semelhante a uma normal truncada.
Região de Contato
1.0
Densidade
0.5
6
4
0
0.0
2
Densidade
8
10
1.5
12
Região de Falha
0.00
0.10
0.20
Bic X Y
0.30
13.0
(a)
13.5
Bic X Y
14.0
(b)
Figura 7.37 – Histogramas para um ponto na região de falha e um na de contato, para o CASO 1,
estimando o hiperparâmetro γ.
Na figura 7.38, pode ser visto que o hiperparametro, converge para um valor
fixo.
0.3
hiperparametro
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.38 – Convergência da cadeia de Markov, para o CASO 1, estimando o hiperparâmetro γ.
Para este hiperparâmetro, optou-se por duas abordagens diferentes de densidade
de proposta. Na primeira, que será demonstrada aqui, optou-se por utilizar um modelo
Random-Walk, como foi feito para os parâmetros P. Numa segunda abordagem
utilizou-se como proposta uma distribuição proporcional a distribuição Rayleigh,
87
mantendo o parâmetro γ0 fixo. Desta forma, esta proposta é simétrica e permite algum
grau de liberdade para o hiperparâmetro se ajustar em cada estado da Cadeia de
Markov. Optou-se por demonstrar os resultados com distribuição baseada num passeio
aleatório devido aos melhores resultados obtidos.
Fazendo um histograma com os valores gerados após o período de aquecimento
de 10000 estados da cadeia, obteve-se o histograma da figura 7.39.
300
0
100
Density
500
Hiperparâmetro
0.2580
0.2590
0.2600
Hiperparâmetro
0.2610
Figura 7.39 – Histograma para o hiperparâmetro
, para o CASO 1.
Como o objetivo deste trabalho não é a estimativa do hiperparâmetro γ, a partir
deste ponto serão analisados apenas os parâmetros relacionados com a condutância
térmica de contato. Mesmo nos casos onde não houve boa convergência do
hiperparâmetro, apenas pela sua movimentação foi possível obter convergência da
posteriori mais rapidamente.
No CASO 2, a estimativa do Biot de contato foi igualmente muito boa, como
pode ser visto na figura 7.40.
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.40 – Condutância térmica estimada, para o CASO 2, estimando o hiperparâmetro γ.
88
Pelas figuras 7.41 e 7.42, considerou-se os 15000 primeiros estados como sendo
o período de aquecimento da cadeia de Markov. Observa-se grande velocidade de
convergência da cadeia de Markov.
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.41 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 2, estimando o hiperparâmetro γ.
2.0E+005
Posteriori
log(
( , P | Y ))
0.0E+000
-2.0E+005
-4.0E+005
-6.0E+005
-8.0E+005
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.42 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 2, estimando o hiperparâmetro γ.
No CASO 3, novamente foi obtido um resultado bastante satisfatório
considerando o grande erro relativo associado às medidas. A estimativa da condutância
térmica de contato pode ser vista na figura 7.43.
89
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.43 - Condutância térmica estimada, para o CASO 3, estimando o hiperparâmetro γ.
Considerou-se como período de aquecimento as primeiras 20000 iterações da
cadeia de Markov, a convergência da cadeia nas regiões de falha foi suficiente para
distingui-las das regiões de contato térmico perfeito. Embora pela figura 7.44 a
convergência não esteja muito clara, através de severos testes, com até 200000 estados
da cadeia, notou-se que de fato os valores convergem a partir dos 20000 estados,
conforme pode ser comprovado na figura 7.45 que mostra a distribuição a posteriori.
Valores menores do parâmetro w e do hiperparâmetro γ0 geram resultados mais suaves,
porém provocam o aumento da taxa de aceitação e consequentemente necessitam de
mais estados da cadeia de Markov, sem que haja, entretanto, uma melhora significativa
nos resultados apresentados.
20
Falha de Contato
Contato Perfeito
18
Bi c (X,Y)
16
14
12
10
8
6
0
10000
20000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.44 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 3, estimando o hiperparâmetro γ
90
2.0E+005
Posteriori
( , P | Y ))
-1.0E+005
log(
1.0E+005
-2.0E+005
0.0E+000
-3.0E+005
-4.0E+005
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.45 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 3, estimando o hiperparâmetro γ.
No CASO 4.a, com erro relativo baixo, como no caso com gama fixo obteve-se
excelente recuperação da função da condutância térmica de contato (ver Figura 7.3.d e
7.46). Neste caso, apenas com o perfil de temperaturas já seria possível realizar alguma
analise qualitativa da região de falha; desta forma, estes bons resultados eram esperados.
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.46 Condutância térmica estimada, para o CASO 4.a, estimando o hiperparâmetro γ.
2.0E+005
Posteriori
log(
( , P | Y ))
0.0E+000
-2.0E+005
-4.0E+005
-6.0E+005
-8.0E+005
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.47 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.a, estimando o hiperparâmetro γ
91
Novamente, pela análise convergência da distribuição a posteriori (figura 7.47) e
da convergência da cadeia de Markov (figura 7.48), pode-se notar uma melhora discreta
na velocidade de convergência da cadeia de Markov em relação ao caso com
hiperparâmetro fixo.
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.48 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.a, estimando o hiperparâmetro γ.
Nas figuras 7.49-7.51 pode ser visto os resultados obtidos para o CASO 4.b.
Neste caso, como pode ser visto na figura 7.49, a recuperação da condutância térmica de
contato não foi tão boa quanto no CASO 4.a. Entretanto considerando os altos níveis de
erros de medição introduzidos, pode-se considerar que houve uma excelente
recuperação da função.
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.49 - Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b, estimando o hiperparâmetro γ.
92
Nas figuras 7.50 e 7.51 é mostrada a convergência da distribuição a posteriori e
da cadeia de Markov, respectivamente.
-4.0E+004
Posteriori
log(
( , P | Y ))
-5.0E+004
-6.0E+004
-7.0E+004
-8.0E+004
-9.0E+004
-1.0E+005
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.50 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b, estimando o hiperparâmetro γ
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.51 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.b, estimando o hiperparâmetro γ.
Deve-se ainda destacar que, uma vez que o problema direto é bastante
complexo, o custo computacional para solucionar o problema inverso é bastante alto. O
tempo computacional para os resultados apresentados nesta seção chega a 6 dias de
processamento num PC com processador Pentium i.5 com 4Gb de memória RAM. Para
reduzir o tempo computacional na solução do problema inverso via inferência
Bayesiana, aplica-se a metodologia proposta em (NAVEIRA-COTTA et al., 2011) num
caso bidimensional, conforme mostrado a seguir.
93
7.1.5 MCMC Modos Transformados
Uma das contribuições deste trabalho consistiu na compressão bidimensional das
medidas experimentais através do método da Transformada Integral Generalizada
(GITT). Para isto, a equação (4.3.a) foi aplicada para transformação das medidas
simuladas realizadas na superfície, obtendo-se os modos transformados(equação
(5.14.a)), para cada instante de tempo. Lembra-se que, como o problema direto foi
solucionado adimensionalmente, as comparações são realizadas na equação da
posteriori da mesma forma, inclusive com as medidas transformadas.
Na solução do problema inverso de transferência de calor fez-se uso destes
modos transformados no método MCMC. Nesta abordagem existe uma considerável
economia do custo computacional, uma vez que no problema direto associado à solução
do problema inverso a equação da inversa deixa de ser aplicada reduzindo o número de
operações matemáticas realizadas pelo código. Além disso, conforme mostrado a seguir,
o número de modos transformados usados na solução do problema inverso é
sensivelmente menor que o número de medidas sobre a placa.
Será apresentada em seguida a analise dos modos transformados obtidos com a
equação (5.14.a). Apenas os resultados da análise do CASO 1 com material compósito
MC1, descrito na tabela 7.1, serão apresentados uma vez que o procedimento de análise
é exatamente o mesmo em todos os CASOS estudados.
Na figura 7.52.a pode-se observar o gráfico de temperaturas adimensionais
transformadas para o primeiro e quinto modo “transformado" e na figura 7.52.b para
diferentes modos transformados. Nota-se por esta figura que os modos estão ordenados
crescentemente, devido ao reordenamento dos autovalores descrito na solução do
problema direto, ou seja, os modos mais relevantes e com maior ordem de grandeza são
os primeiros.
Para definir um número de modos transformados, M , a ser utilizado na solução
do problema inverso, deve-se notar que os valores obtidos nesta figura a partir de 50
modos estão em torno de zero e provavelmente contribuirão menos na solução do
problema inverso. Quando a equação da inversa foi aplicada na solução do problema
direto de transferência de calor (capitulo 4 e seção 7.1 do presente capitulo), ela
representava uma função exata onde infinitas autofunções e autovalores levariam a
melhor representação da função de temperaturas. O truncamento era realizado tendo em
vista a ordem de grandeza das precisões desejadas para a solução do problema
94
associado. Entretanto neste caso, a determinação da ordem de truncamento deste
somatório não ocorre desta maneira, uma vez que as medidas simuladas contem erros
100
0
-100
-200
-300
-400
-500
-600
-700
-800
Y Transf.
Y Transf.
numéricos de medição.
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
7
Modo T ransformado
Modo T ransformado
1°
5°
5°
20°
100°
200°
10°
50°
100°
400°
(a)
(b)
Figura 7.52 – Analise dos modos transformados
Na figura com escala ampliada 7.53.a e 7.53.b pode ser observado que de fato as
temperaturas transformadas ficam em torno de zero com um ruído randômico, ou seja,
não é interessante de fato que estes termos sejam utilizados para solucionar o problema
inverso. Isto é resultado da existência de erros associados às medidas efetuadas, ou seja,
pode-se explicar a falta de definição do perfil de temperaturas transformadas,
apresentadas na figura 7.53 a partir de 50 autofunções, com a constatação de que o erro
associado às medidas ter desvio padrão com ordem de grandeza superior a função de
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
0.015
0.01
Y Transf.
Y Transf.
temperaturas transformadas nestes modos.
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
Modo T ransformado
50°
100°
200°
Modo T ransformado
400°
50°
(a)
100°
200°
400°
(b)
Figura 7.53 – Analise de modos transformados maiores do que 50, até o tempo adimensional que
corresponde a 10s.
95
Isto pode ser confirmado, quando o perfil de temperaturas exatas (figura 7.54.a)
e de temperaturas medidas (7.54.b) é comparado com sua recuperação através da
formula da inversa (equação 7.14.b) com diferentes ordens de truncamento M (número
de modos transformados).
0.1
51.5
"temp_exata.dat"
0.1
51
0.08
50.5
0.06
Y
Y
51
0.08
50.5
0.06
51.5
"temp_medida.dat"
50
0.04
50
0.04
49.5
0.02
49.5
0.02
49
0
48.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
49
0
0.1
48.5
0
X
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
X
(a)
(b)
Figura 7.54 – Perfil de Temperatura exata e medida para o CASO 1.
Pela sequencia de imagens demostrada nas figuras 7.55.a-f observa-se que a
partir da utilização de 200 modos transformados na equação da inversa o perfil de
temperaturas medidas é recuperado perfeitamente. Entretanto, quando são utilizados os
50 mais significantes, pode-se representar um perfil suavizado de temperaturas, que
neste caso, devido ao baixo nível de ruído, corresponde ao perfil exato de temperaturas.
Assim, pode-se concluir que quando a inversa é truncada num valor M 50 (figura
7.58.c), obtêm-se uma representação da distribuição de temperaturas mais interessante
para a solução do problema inverso do que quando foram utilizados 400 modos
transformados (7.58.f), uma vez que com mais de 200 modos deixa-se de recuperar a
função suavizada e recupera-se a função acrescida dos erros de medição. Esta analise
pode ser utilizada como forma de filtrar os ruídos existentes nas medidas, retirando os
autovalores que contem erros numéricos associados. Desta forma, deve-se escolher o
número de modos transformados que contêm informações relevantes sobre a função a
ser representada. Para isto, pelos testes numéricos realizados, maiores desvios padrão
dos erros de medição levam a um número menor de modos transformados sem
deformações que comprometam a recuperação das temperaturas medidas. Nesta
abordagem nota-se ainda, que a informação a priori TVF tem sua atuação reduzida, uma
vez que o problema fica suavizado ao serem utilizados os autovalores mais importantes.
96
0.1
51.5
"fort.401"
0.1
51
0.08
50.5
0.06
Y
Y
51
0.08
50.5
0.06
51.5
"fort.401"
50
0.04
50
0.04
49.5
0.02
49.5
0.02
49
0
48.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
49
0
0.1
48.5
0
0.02
0.04
0.06
X
X
(a) M 10
(b) M 25
0.1
51.5
"fort.401"
0.1
51
0.08
51.5
"fort.401"
51
50.5
0.06
Y
Y
0.1
0.08
50.5
0.06
0.08
50
0.04
50
0.04
49.5
0.02
49.5
0.02
49
0
48.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
49
0
0.1
48.5
0
0.02
0.04
0.06
X
X
(c) M 50
(d) M 100
0.1
51.5
"fort.401"
0.1
51
0.08
51.5
"fort.401"
51
50.5
0.06
Y
Y
0.1
0.08
50.5
0.06
0.08
50
0.04
50
0.04
49.5
0.02
49.5
0.02
49
0
48.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
49
0
0.1
48.5
0
X
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
X
(e) M 200
(f) M 400
Figura 7.55 – Recuperação do perfil de temperaturas através da equação da Inversa, utilizando diferentes
números de modos transformados.
A seguir serão apresentados os resultados obtidos para os mesmos casos
estudados anteriormente. Considerando o CASO 1 descrito anteriormente, para o
material MC1 com erro de medição, pode-se observar na figura 7.56.a que se obteve
excelente recuperação qualitativa da função da condutância térmica de contato na
interface ao serem utilizados 50 modos transformados. Nota-se que neste caso a priori
TVD, no cálculo da distribuição a posteriori, teve uma ordem de grandeza 105 enquanto
a verossimilhança teve ordem de grandeza de 1034. Concluiu-se que apenas com a
escolha de um número de modos adequado da medida transformada, houve
regularização do problema inverso, tal como ocorre em métodos como Truncated
97
Singular Value Decomposition (T.S.V.D.) ou Proper Orthogonal Decomposition
(P.O.D.) (AIT-YAHIA e PALOMO DEL BARRIO, 1999; DAUVERGNE e PALOMO
DEL BARRIO, 2010). Isto é comprovado na figura 7.56, onde são mostradas diferentes
recuperações da condutância térmica de contato para o CASO 1, usando diferentes
escolhas de M e mantendo a mesma ordem de grandeza para a priori TVF (deixando
sua atuação anulada no problema inverso). Nota-se que utilizando 200 ou mais modos o
problema não fica regularizado e utilizando 10 modos o problema fica regularizado, a
falha pode ser encontrada, mas existe perda de informação necessária para estimar
adequadamente a função. Deve-se ressaltar que com 50 modos a, função foi obtida com
grande acurácia na determinação da região de falha e ainda que a falta de acurácia na
determinação das regiões de contato pode ser explicada devido ao fato de que nestas
regiões, de fato, existe contato térmico perfeito para todos os valores de Bic ( X , Y ) 12 .
A análise do número de modos adequado em cada caso estudado a seguir não será
mostrada, uma vez que o procedimento é idêntico ao que foi mostrado para o CASO 1.
10
20
10
8
16
8
16
6
12
6
12
4
8
4
8
2
4
2
4
0
0
0
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
X
9
6
8
10
X
(a) 50 modos transformados
(b) 10 modos transformados
20
"biot1.dat"
9
8
20
"biot.dat"
8
16
7
6
6
12
5
8
4
3
16
7
Y
Y
20
"biot.dat"
Y
Y
"biot.dat"
12
5
8
4
3
4
2
4
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
9
0
1
X
2
3
4
5
6
7
8
9
X
(c) 200 modos transformados
(d) 400 modos transformados
Figura 7.56 - Condutância térmica estimada, para o CASO 1,utilizando diferentes números de modos
transformados das medidas.
98
Nas equações 5.12 e 5.13, espera-se que as temperaturas medidas sejam
satisfatoriamente semelhantes às temperaturas estimadas, isto ocorre neste caso para
valores de Biot maiores do que doze. Este limite não foi determinado como informação
a priori e o inicio da cadeia de Markov foi Bic ( X , Y ) 15 em todos os casos. Logo, nas
regiões de contato perfeito a função oscilou em torno deste valor desde o inicio da
cadeia de Markov, como mostra a figura 7.57. Nas regiões de falha de contato, a função
logo convergiu para zero, caracterizando descontinuidade completa de contato.
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.57- Estados da cadeia de Markov, para o CASO 1, utilizando modos transformados das medidas.
Na figura 7.57 e ainda na figura 7.58, pode ser visto que houve grande
velocidade para a convergência da cadeia de Markov. Deve-se ainda notar que o tempo
computacional foi bastante reduzido em comparação com os casos anteriores, onde as
temperaturas não eram comparadas no campo transformado. Descartou-se em todos os
casos estudados as 10000 primeiras amostras por constituírem os estados de
aquecimento da cadeia de Markov. O tempo computacional anteriormente ficava em
torno de 5 a 10 dias enquanto neste caso fica em torno de 30 minutos a 24 horas.
2.0E+034
Posteriori
log(
( , P | Y ))
0.0E+000
-2.0E+034
-4.0E+034
-6.0E+034
-8.0E+034
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.58 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 1, utilizando modos transformados
das medidas.
99
A seguir é apresentada a recuperação da função de condutância térmica de
contato adimensionalizada, Bic ( X , Y ) , para o CASO 2 utilizando novamente 50 modos
transformados.
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.59 - Condutância térmica estimada, para o CASO 2,utilizando 50 modos transformados das
medidas.
Novamente obteve-se uma excelente recuperação da função, considerando ainda
que neste caso, devido à diminuição da região de falha, o desvio padrão relativo foi bem
maior do que no primeiro caso. Observa-se que nos casos estudados até o momento,
com as temperaturas no campo transformado, a recuperação da função do Biot de
contato foi melhor do que quando se utilizou apenas a priori TVF. Como se esperava o
tempo de CPU foi bem menor do que na solução do problema inverso do CASO 2 sem
utilização dos modos transformados.
Este fato pode ser relacionado com o efeito de suavização que as medidas
assumem quando é utilizado um número otimizado de modos transformados M , que
permite que os modos contendo maior ruído não sejam utilizados e assim obtendo
melhores estimativas.
Na figura 7.60 e 7.61, pode ser vista a convergência da cadeia de Markov e da
posteriori respectivamente. Nesta figura 7.60, é possível verificar que novamente a
cadeia de Markov convergiu rapidamente, inclusive com maior velocidade do que havia
convergido nas abordagens anteriores do método MCMC (ver Figuras 7.14 e 7.41). Isto
pode ser comprovado na figura 7.61 para a informação a posteriori. Pode ser visto,
entretanto, que no campo transformado, a posteriori assume ordem de grandeza bem
maior do que nos casos onde não foram utilizadas as temperaturas transformadas.
100
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.60 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 2, utilizando modos transformados das
medidas.
2.0E+034
Posteriori
( , P | Y ))
-1.0E+034
log(
1.0E+034
-2.0E+034
0.0E+000
-3.0E+034
-4.0E+034
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.61- Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 2, utilizando modos transformados
das medidas.
Nos casos utilizando medidas transformadas foram realizadas analises
envolvendo diferentes justes do parâmetro γ da priori TVF com vista a melhorar as
estimativas. Após serem realizados severos testes numéricos, para diferentes valores do
parâmetro, não se obteve melhores resultados do que estes apresentados. A provável
causa, como dito anteriormente, é que com a escolha correta do número de modos já
existe regularização e as medidas ficam suavizadas e com pouco ruído.
Para o CASO 3, com uma falha de contato de apenas 5mm, também se obteve
igualmente bons resultados, utilizou-se 40 modos transformados. Como pode ser visto
na figura 7.62, a região de falha ficou bem determinada (ver figura 7.3.c) e os valores
obtidos para a mesma são suficientes para considerar que existe descontinuidade de
temperatura.
101
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.62 - Condutância térmica estimada, para o CASO 3,utilizando 40 modos transformados das
medidas.
Neste caso, o desvio padrão relativo associado com as medidas é bastante alto e
pelo perfil de distribuição de temperaturas não é possível qualquer identificação da
região de falha e mesmo com a solução exata do problema direto quase não existe
diferença perceptível entre a região de falha e a região de contato.
Pela figura 7.63 pode ser visto que a cadeia de Markov convergiu rapidamente e
com estabilidade numérica. Quando foram considerados resultados com um número
maior de amostras da cadeia de Markov não se observou melhoria na convergência.
Portanto, decidiu-se em utilizar apenas 50000 amostras e descartar as 10000,
considerando-as como parte dos estados iniciais de aquecimento da cadeia de Markov.
20
Falha de Contato
Contato Perfeito
18
Bi c (X,Y)
16
14
12
10
8
6
4
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.63 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 3, utilizando 40 modos transformados das
medidas.
102
Pode ser visto ainda que a posteriori de fato convergiu pela figura 7.64, onde a
partir de 10000 estados já é possível realizar procedimentos estatísticos sobre a
distribuição de interesse, que simule dados da função a ser estimada.
Posteriori
log(
( , P | Y ))
-4.0E+032
-6.0E+032
-8.0E+032
-1.0E+033
-1.2E+033
-1.4E+033
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.64 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 3, utilizando 40 modos
transformados das medidas.
Como já foi demonstrado, a presente abordagem é bastante robusta em relação
aos erros relacionados as medidas superficiais de temperatura. Sendo assim, no
CASO 4, será abordado apenas o CASO 4.b onde o desvio padrão das medidas foi de
0.2°C, que corresponde a 22.2% da máxima diferença de temperaturas. Na figura 7.65
pode ser visto que a função foi melhor recuperada do que nas abordagens anteriores (ver
figuras 7.30 e 7.49). Nas figuras 7.66 e 7.67 pode ser visualizada a rápida convergência
da cadeia de Markov, principalmente na região de falha onde o valor da condutância
térmica de contato chega rapidamente a zero, configurando falha de contato. Utilizou-se
nesta primeira análise 50 modos transformados.
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.65 - Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b,utilizando 50 modos transformados das
medidas.
103
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.66 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4., utilizando 50 modos transformados das
medidas.
2.0E+034
Posteriori
( , P | Y ))
-1.0E+034
log(
1.0E+034
-2.0E+034
0.0E+000
-3.0E+034
-4.0E+034
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.67 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b, utilizando 50 modos
transformados das medidas.
Continuando a análise do presente CASO 4.b, obteve-se uma nova estimativa,
diminuindo o numero de modos transformados utilizado para 30, isto resultou numa
melhor recuperação da função (Figura 7.68).
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.68 - Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b,utilizando 30 modos transformados das
medidas.
104
Pela figura 7.69 pode ser visto que a região de falha ficou bem definida e
convergiu para zero, mesmo com grande desvio padrão associado.
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.69 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.b, utilizando 30 modos transformados das
medidas.
A convergência da informação a posteriori pode ser observada na figura 7.70 a
seguir, onde observa-se que a cadeia converge a partir de 20000 estados da cadeia de
Markov.
2.0E+034
Posteriori
( , P | Y ))
-1.0E+034
log(
1.0E+034
-2.0E+034
0.0E+000
-3.0E+034
-4.0E+034
0
10000
20000
30000
40000
50000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.70 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b, utilizando 30 modos
transformados das medidas.
Nos resultados obtidos com o campo transformado obteve-se uma significante
redução do tempo computacional. Considerando o pior caso utilizando medidas não
transformadas, utilizou-se 6 dias de CPU num PC com 2.4 GHz de CPU e 3Gb de
RAM, para obtenção dos resultados apresentados, enquanto no campo transformado
utilizou-se algumas horas.
105
7.1.6 MCMC e Método RF
O segundo método analisado neste trabalho envolve a aplicação de funcionais de
reciprocidade, através de uma extensão da solução obtida em (COLAÇO e ALVES,
2013). No trabalho citado faz-se necessária a solução de problemas de Cauchy que são
mal postos e cuja solução exige utilização de métodos mais específicos, como método
das soluções fundamentais (MFS). Como contribuição do presente trabalho incluiu-se
uma abordagem onde os problemas de Cauchy podem ser transformados em problemas
de Laplace, que são mais estáveis e permitem ser solucionados não apenas pelo MFS,
mas também pelos métodos tradicionais de solução de equações diferenciais parciais.
Nesta seção serão solucionados dois casos através do método utilizando
funcionais de reciprocidade, os quais serão comparados com resultados obtidos
utilizando o método MCMC. Além disso, a condutância térmica com variação
bidimensional foi obtida com o método RF utilizando as abordagens de COLAÇO e
ALVES (2013) e a nova abordagem proposta neste trabalho.
Os sistemas lineares que são necessários para a solução via funcional de
reciprocidade são tipicamente mal condicionados. Este mau condicionamento aumenta
consideravelmente quando um número alto de funções de base é necessário para
recuperar a função da condutância térmica de contato. Desta forma, obteve-se com o
método inverso via aplicação de funcional de reciprocidade bons resultados apenas na
recuperação unidimensional da função da condutância térmica de contato variando em
apenas uma direção, i.e., hc(x).
Define-se como CASO 5 a função para condutância térmica de contato com
variação apenas em uma direção, como mostra a figura 7.71.
10
20
"biotex.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.71 – Condutância térmica exata para o CASO 5.
106
Para analisar o método, foram utilizadas novamente medidas simuladas de
temperatura utilizando o método direto descrito no capítulo 4. No CASO 5 considerouse na superfície inferior uma temperatura ambiente igual a zero e um valor muito alto
para o coeficiente de troca térmica (ho=1010W/m2K e To=0°C). Na superfície superior
considerou-se um valor muito baixo do coeficiente de troca térmica, hoo=10-10W/m2K.
Com estas considerações, pode-se comparar as soluções obtidas neste trabalho
com soluções obtidas pelo método de COLAÇO e ALVES (2013). A falha de contato
proposta para esta comparação, publicada em ABREU et al. (2013), tem 1.5cm de
largura em x, centralizada na posição a/2 e cobre toda a extensão da placa no sentido y.
Desta forma, pode ser considerada com uma representação bidimensional ao ser
analisada em um ponto fixo na direção y. Considera-se então, y = 0.5b e 0 < x < a.
No CASO 5.a o utilizou-se o Material Composto (MC1) definido conforme a
tabela 7.1. Na solução utilizando o método MCMC utilizou-se as temperaturas até o
tempo de 10s de experimento simulado e na solução via RF tomou-se as medidas no
tempo final após o regime permanente ser atingido, isto é, 1000s para o (MC1).
Considerou-se uma malha superficial de 21×21 pixels nas direções x e y, ou seja, um
total de 441 medidas tomadas com frequência de 10Hz para o caso transiente usando
MCMC.
Pode-se observar a distribuição de temperaturas superficiais exatas para o CASO
5.a nas figuras 7.72 e 7.73 onde se confirma que utilizando a função de condutância
térmica de contato da figura 7.71 é obtido um perfil de temperaturas que varia apenas na
direção x. Na figura 7.72 é mostrado o perfil de temperaturas após 10s de experimento
simulado e na figura 7.73 após o problema atingir o regime permanente em 1000s.
0.1
24
0.08
23.5
0.06
T [°C]
y [m]
24.2
24
23.8
23.6
23.4
23.2
23
22.8
22.6
22.4
22.2
22
24.5
"temp_exata.dat"
23
0.04
22.5
0.02
22
0
21.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0
x [m]
0.02
0.04
0.06
0.08
x [m]
(a) Perfil de temperaturas em Гoo.
(b) Perfil de temperaturas em y = 0.05m
Figura 7.72 – Perfil exato de temperaturas para o CASO 5.a, tempo final 10s.
107
0.1
Pelo perfil exato de temperaturas, nota-se que existe uma diferença de
temperaturas entre a região de falha e de contato de 2°C em 10s e de 30°C em 1000s.
Desta forma, no regime permanente fica mais definida a região de falha do que em 10s.
Assim, o ruído adicionado no regime permanente será relativamente menor do que o
ruído adicionado em 10s, fixando um valor constante para o mesmo.
Deve-se notar ainda pelas figuras 7.72 e 7.73 que as temperaturas no regime
permanente podem ficar muito altas, podendo atingir temperaturas de fusão. Além
disso, a diferença de temperatura no regime permanente entre um ponto com falha de
contato e um ponto de contato é muito maior do que após apenas 10s.
0.1
"temp_medida.dat"
225
220
220
215
215
210
210
205
205
200
200
195
195
190
190
T [°C]
0.06
0.04
0.02
0
185
0
0.02
0.04
0.06
0.08
185
0.1
0
0.02
0.04
x [m]
0.06
0.08
0.1
x [m]
(a)
(b)
Figura 7.73 – Perfil exato de temperaturas para o CASO 5.a, tempo final 1000s.
Na figura 7.74 pode ser vista a convergência no tempo para a posição x = 0 e y =
0 para o material MC1, confirmando que temperatura atinge regime permanente a partir
de t = 600s. Assim, em t = 1000s o problema está em regime permanente.
200
180
160
140
T [ °C ]
y [m]
0.08
225
120
100
80
60
40
20
0
0
200
400
600
800
1000
t[s]
Figura 7.74 – Convergência da temperatura no tempo para a posição x= 0 e y = 0, para o CASO 5.a.
108
Para o CASO 5.a foram geradas medidas de temperaturas simuladas.
Considerou-se um desvio padrão das medidas de 0.1 °C, com o qual se obteve o perfil
de temperaturas simuladas mostrado nas figuras 7.75.a, no tempo t = 10s, e na figura
7.75.b para o tempo t = 1000s quando o equilíbrio térmico já foi estabelecido.
0.1
24.5
"temp_medida.dat"
0.08
23.5
23
215
210
0.06
y [m]
0.06
225
"temp_medida.dat"
220
24
0.08
205
0.04
0.04
200
22.5
0.02
0
190
21.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
195
0.02
22
0
0.1
185
0
0.02
0.04
0.06
x [m]
x [m]
(a)
(b)
0.08
0.1
Figura 7.75 – Perfil de Temperaturas simuladas, em (a) em t = 10s e em (b) em t = 1000s, com desvio
padrão das medidas σ = 0.1°C, para o CASO 5.a.
Como pode ser visto, para o regime permanente houve pouca influencia gráfica
relativa à adição do ruído experimental em relação à distribuição exata de temperatura
(ver figura 7.73 e 7.75.b). Utilizando as variações de temperatura até 10s, obteve-se a
recuperação da condutância térmica de contato para o método MCMC demonstrada na
figura 7.76.
10
20
"biot.dat"
8
16
6
12
4
8
2
4
Y
y [m]
0.1
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.76 – Condutância térmica estimada, para o CASO 5.a, com medidas no campo da temperatura e
sem estimar o hiperparâmetro γ.
109
Como foi dito anteriormente, o segundo caso a ser estudado nesta seção,
CASO 5.b, será um estudo dos dois métodos considerando materiais bons condutores de
calor. Será então utilizada a mesma função de condutância térmica de contato da figura
7.71 e serão obtidas medidas simuladas de temperatura para o material MC2, que
corresponde a um aço nas duas camadas, conforme a tabela 7.1.
Neste CASO 5.b, o regime permanente é atingido com aproximadamente 150s,
como pode ser visto na figura 7.77. Serão construídas medidas simuladas de
temperatura a partir da solução do problema direto (Capitulo 4) com a adição de ruído,
conforme foi descrito anteriormente.
35
30
T [ °C ]
25
20
15
10
5
0
0
50
100
150
200
t[s]
Figura 7.77 – Convergência da temperatura no tempo para a posição x= 0 e y = 0, para o CASO 5.b.
Para este caso, o perfil de temperaturas simuladas pode ser visto na figura 7.78,
10s (a) e em 200s (b), onde considera-se que o regime permanente já foi atingido.
0.1
15
"temp_medida.dat"
0.08
14
y [m]
0.06
44
"temp_medida.dat"
42
14.5
0.08
y [m]
0.1
40
38
0.06
13.5
0.04
36
0.04
34
13
0.02
0
30
12
0
0.02
0.04
0.06
0.08
32
0.02
12.5
0
0.1
28
0
0.02
0.04
0.06
x [m]
x [m]
(a)
(b)
0.08
0.1
Figura 7.78 – Perfil de Temperaturas simuladas, em (a) em t = 10s e em (b) em t = 200s, com desvio
padrão das medidas σ = 0.1°C, para o CASO 5.b.
110
Utilizando estes perfis de temperatura, obteve-se a recuperação da condutância
térmica de contato, utilizando o método MCMC demonstrada na figura 7.79. Para a
obtenção desta condutância térmica de contato manteve-se todos os parâmetros já
descritos anteriormente, obtendo uma taxa de aceitação no algoritmo de MetropolisHastings de 20 a 30%. Utilizou-se nestes resultados o método MCMC no campo de
temperaturas e sem a estimativa de hiperparâmetro. Os casos estudados foram os
mesmos já publicados em ABREU et al (2013), acrescentando nas comparações do
referido trabalho os resultados do MRF.
10
20
"biot.dat"
16
6
12
4
8
2
4
Y
8
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.79 – Condutância térmica estimada, para o CASO 5.b, com medidas no campo da temperatura e
sem estimar o hiperparâmetro γ.
Observando as figuras 7.76 e 7.79 nota-se que obteve-se boa recuperação da
condutância térmica de contato para os dois casos estudados. Sendo assim, para obter as
soluções do problema inverso através do MRF e compará-los com o método RF
(COLAÇO e ALVES, 2013) e com o método MCMC, devem ser obtidas as soluções
dos problemas auxiliares descritos no capitulo 5. Com esta finalidade, utilizou-se o
método das soluções fundamentais (MFS) que além de ser um método que permite
solucionar todos os problemas envolvidos no MRF e no RF (COLAÇO e ALVES,
2013), foi o método utilizado especificamente para solucionar os problemas de Cauchy
no referido artigo.
111
Pelo capítulo 5, onde o MFS foi descrito em detalhes, sabe-se que para avaliar a
convergência do MFS essencialmente basta que as condições de contorno sejam
verificadas. Desta forma, será analisada graficamente a recuperação das condições de
contorno em posições diferentes daquelas definidas para os pontos de colocação,
necessários para a solução através deste método. Para a solução dos problemas
auxiliares via MFS utilizou-se entre 100 e 300 pontos fontes na fronteira e o mesmo
número de pontos fora da fronteira, como foi mostrado na figura 5.1 do capitulo 5, onde
foi visto um exemplo considerando 20 pontos de colocação em cada contorno.
Sabe-se que a distância entre a fronteira e os pontos fora da mesma pode ser
modificada dinamicamente para obter melhores condicionamentos da solução do
sistema linear envolvido da solução via MFS. Entretanto, optou-se por manter esta
distância fixa, uma vez esta consideração influenciou pouco nos resultados obtidos em
relação a testes com movimentação dinâmica da mesma.
Os problemas auxiliares serão solucionados um número de vezes suficientes
para que a função de condutância térmica seja recuperada. O número de soluções
depende do nível de ruído experimental existente nas medidas e da possibilidade de que
sejam obtidas soluções razoáveis para os problemas auxiliares. A solução destes
problemas auxiliares fica mais complicada de ser obtida à medida que o numero de
funções de base aumenta muito, especificamente, neste caso, onde se utiliza uma base
de Fourier. Considera-se uma base de Fourier, para recuperação unidimensional da
função de condutância térmica de contato, na forma:
1, para j 0
2 x
j sin j
, para j 1, 2,...
a
2 x
cos j
, para j 1, 2,...
a
(7.6)
Na figura 7.80, é mostrada a verificação dos contornos para o problema auxiliar
w1 do CASO 5.a. Nesta figura observa-se que existe boa concordância gráfica nos
contornos, o que mostra que o MFS teve boa aproximação deste problema auxiliar
(ALVES, 2009). Esta analise foi aplicada em cada problema auxiliar usando MFS.
112
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
x[m]
n
w1(x) exata
w1(x) em
x[m]
w1(x) numérica
n w1(x) em 1
n
w1(x) exata
w1(x) em
w1(x) numérica
n w1(x) em 1
(a) Para J = 2
(b) Para J = 10
Figura 7.80 – Analise de recuperação do condições de contorno, problema auxiliar w1, CASO 5a.
Considerando o desvio padrão dos erros simulados de 0.1ºC e 0.01ºC, obteve-se
então resultados com o MRF para os casos estudados no artigo ABREU et al. (2013),
que correspondem neste trabalho aos CASOS 5.a e 5.b. Na figura 7.81 pode ser visto
que nesta nova abordagem existe alguma melhoria nos resultados dos casos estudados
no referido artigo. Para possibilitar a comparação, optou-se por não utilizar a função de
Biot, que corresponde à condutância térmica adimensional, nos casos a seguir.
4000
2000
2000
1000
1000
0
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
RF
Exact
MCMC
MRF
3000
h [W/(m2K)]
3000
h [W/(m2K)]
4000
RF
Exact
MCMC
MRF
0.1
0
x [m]
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
x [m]
(a) σ = 0.01ºC
(b) σ = 0.1ºC
Figura 7.81 – Comparação entre os resultados obtidos com os métodos MCMC, RF e MRF, para o
CASO 5.a.
No CASO 5.a, a posição em x da falha foi mais bem recuperada utilizando o
MRF do que com o RF, como mostra as figuras 7.81. Especificamente na posição de
descontinuidade, quando os valores individuais de (T2-T1) são muito baixos e o fluxo
nesta mesma posição é alto, verifica-se um pico mais acentuado nas soluções utilizando
RF, que pode ser atribuído ao fenômeno de Gibbs. Este efeito foi mais suave utilizando
o MRF.
113
As instabilidades numéricas foram menores com o MRF e a função recuperada
teve melhor acurácia do que a solução obtida com o RF, como pode ser visto pela figura
7.81 e 7.82, em geral a dificuldade em obter uma boa recuperação de funções
descontínuas se deve a utilização de funções de base de Fourier ou similares.
4000
2000
2000
1000
1000
0
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
RF
Exact
MCMC
MRF
3000
h [W/(m2K)]
3000
h [W/(m2K)]
4000
RF
Exact
MCMC
MRF
0.1
0
0.02
0.04
x [m]
0.06
0.08
0.1
x [m]
(a) σ = 0.01ºC
(b) σ = 0.1ºC
Figura 7.82 – Comparação entre os resultados obtidos com os métodos MCMC, RF e MRF, para o
CASO 5.b.
No método MRF utilizou-se o MFS para solucionar os problemas auxiliares
relacionados com o MRF, no RF apenas para os problemas de Cauchy (ABREU et al.,
2013).
Após obter a solução dos problemas auxiliares para certo número jmax de funções
de base, a solução do problema inverso considerando o mesmo domínio e material é
obtida, para diferentes medições de temperatura, apenas resolvendo as integrais
relacionadas com os funcionais de reciprocidade definidos nas equações (5.36) e (5.42).
Nota-se nas figuras 7.81 e 7.82 que o método MCMC recuperou com acurácia a
condutância térmica de contato utilizando apenas as medições realizadas durante os 10
segundos iniciais.
A seguir serão analisados em sequência os resultados obtidos com o MRF para
as mesmas funções de condutância térmica de contato do artigo original de COLAÇO e
ALVES (2013). Com esta finalidade será considerado o material MC2 com dimensões a
= b = 0.04m e c = 0.02, onde a espessura de cada camada é considerada igual a c1 = c2 =
0.01m e o fluxo de calor prescrito é de q = 10W/m2. Foram definidas diferentes funções
exatas de condutância térmica de contato com variação apenas ao longo de x, conforme
os casos de COLAÇO e ALVES (2013) apresentados na figura 7.83.
114
0.04
1000
"biotex.dat"
800
600
0.02
1000
"biotex.dat"
800
0.03
y[m]
0.03
y[m]
0.04
600
0.02
400
0.01
0.01
200
0
0
0
0.01
0.02
0.03
200
0
0.04
0
0
0.01
0.02
0.03
x[m]
x[m]
(a) CASO 6.a
(b) CASO 6.b
0.04
1000
"biotex.dat"
0.04
800
600
0.02
0.04
1000
"biotex.dat"
800
0.03
y[m]
0.03
y[m]
400
600
0.02
400
0.01
0.01
200
0
0
0
0.01
0.02
0.03
200
0
0.04
0
0
0.01
0.02
0.03
x[m]
x[m]
(c) CASO 6.c
(d) CASO 6.d
0.04
1000
"biotex.dat"
0.04
800
600
0.02
0.04
1000
"biotex.dat"
800
0.03
y[m]
0.03
y[m]
400
600
0.02
400
0.01
400
0.01
200
0
0
0
0.01
0.02
0.03
200
0
0.04
0
0
0.01
0.02
0.03
x[m]
x[m]
(e) CASO 6.e
(f) CASO 6.f
0.04
Figura 7.83 – Funções de condutância térmica de contato, usadas em COLAÇO e ALVES (2013).
Utilizando estas funções de condutância térmica de contato foram obtidas as
seguintes temperaturas simuladas no regime permanente utilizando a solução do
problema direto do capitulo 4 (Figura 7.87), acrescentando um ruído cujo desvio padrão
dos erros foi de σ = 0.5% da máxima temperatura medida.
115
0.04
0.027
"temp_medida.dat"
0.02
0.03
0.025
y[m]
0.025
0.027
"temp_medida.dat"
0.026
0.026
0.03
y[m]
0.04
0.02
0.024
0.024
0.01
0.023
0.01
0.023
0
0.022
0.022
0
0.04
0.01
0.02
0.03
0
0.04
0.021
0
0.01
0.02
0.03
x[m]
x[m]
(a) CASO 6.a
(b) CASO 6.b
0.02
"temp_medida.dat"
0.04
0.04
0.0186
"temp_medida.dat"
0.0184
0.03
0.03
0.0182
y[m]
y[m]
0.019
0.02
0.018
0.02
0.0178
0.0176
0.018
0.01
0.01
0.0174
0.0172
0
0.017
0
0.04
0.01
0.02
0.03
0
0.04
0.017
0
0.01
0.02
0.03
x[m]
x[m]
(c) CASO 6.c
(d) CASO 6.d
0.0122
"temp_medida.dat"
0.04
0.04
0.023
"temp_medida.dat"
0.022
0.03
0.03
0.021
y[m]
y[m]
0.012
0.02
0.02
0.02
0.019
0.0118
0.01
0.018
0.01
0.017
0
0.0116
0
5
0.01
0.02
0.03
0
0.04
0.016
0
x[m]
0.01
0.02
0.03
0.04
x[m]
(e) CASO 6.e
(f) CASO 6.f
Figura 7.84 – Temperaturas simuladas nos CASOS 6.a-f com desvio padrão dos erros de σ = 0.5%.
Considerou-se uma malha cujo número de pontos (pixels) foi de 120×20 para
gerar as medidas, com um refinamento menor na direção y, uma vez que o problema a
ser solucionado teria variação apenas na direção x. Todos os problemas auxiliares foram
resolvidos utilizando o MFS, tanto para o RF quanto para o MRF. Para todos os casos
tratados aqui, foi necessário solucionar diversos sistemas lineares, que mesmo para os
problemas de Laplace, são mal condicionados, não simétricos e na solução dos
problemas auxiliares através do MFS são ainda retangulares. Para solucionar estes
sistemas considerou-se o método dos mínimos quadrados, com precisão em 10-8. Em
116
alguns casos utilizou-se ainda o método de regularização de Tikhonov, conforme foi
descrito em detalhes no capítulo 5.
A seguir na figura 7.85 são apresentados os resultados utilizando RF e MRF,
para as funções descritas na figura 7.83, obtidos com as temperaturas medidas na
posição central em y = 0.02m.
2000
Exact
RF
MRF
1600
h [w/(m2K)]
1600
h [w/(m2K)]
2000
Exact
RF
MRF
1200
800
400
0
1200
800
400
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0
0.01
x [m]
(a) CASO 6.a
2000
0.04
0.03
0.04
0.03
0.04
Exact
RF
MRF
1600
h [w/(m2K)]
h [w/(m2K)]
2000
1200
800
400
0
1200
800
400
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0
0.01
x [m]
2000
(d) CASO 6.d
2000
Exact
RF
MRF
Exact
RF
MRF
1600
h [w/(m2K)]
1600
0.02
x [m]
(c) CASO 6.c
h [w/(m2K)]
0.03
(b) CASO 6.b
Exact
RF
MRF
1600
0.02
x [m]
1200
800
400
0
1200
800
400
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0
x [m]
0.01
0.02
x [m]
(e) CASO 6.e
(f) CASO 6.f
Figura 7.85 – Resultados obtidos para determinação do h(x) nos CASOS 6.a-f, com desvio padrão dos
erros de σ = 0.5% da temperatura máxima.
O resultado obtido em cada um destes casos é excelente, tendo em vista o nível
de ruído adicionado e os resultados observados na literatura para o RF (ABREU et al.,
2013; COLAÇO e ALVES, 2013; COLAÇO et al., 2013).
117
Nota-se que nas funções descontínuas, nas figuras 7.85 (a), (b) e (f), a função é
suavizada e existe pouca definição da região de falha, para os dois métodos em questão.
Tal fato não aconteceu com o método MCMC nos casos estudados nas figuras 7.81 e
7.82. Entre as causas prováveis pode-se citar que o cálculo da integral numérica
relacionada com as soluções pode suavizar os resultados e ainda a utilização de funções
de base de Fourier.
A recuperação individual das funções (T2−T1) e (−k2∂nT2) também foi analisada,
sendo apresentadas respectivamente nas figuras 7.86 e 7.87. Obteve-se boa recuperação
destas funções, especialmente quando as mesmas são continuas.
0.028
(T 2-T 1) [ºC]
(T 2-T 1) [ºC]
0.028
0.024
0.02
Exact
RF
MRF
0.016
0
0.01
0.02
0.024
0.02
Exact
RF
MRF
0.016
0.03
0.04
0
0.01
x [m]
(a) CASO 6.a
0.018
0.018
0.04
0.03
0.04
0.03
0.04
Exact
RF
MRF
0.017
0.017
(T 2-T 1) [ºC]
(T 2-T 1) [ºC]
0.03
(b) CASO 6.b
Exact
RF
MRF
0.0175
0.02
x [m]
0.0165
0.016
0.0155
0.016
0.015
0.015
0.0145
0.014
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0
0.01
x [m]
(c) CASO 6.c
0.0108
0.024
Exact
RF
MRF
0.022
(T 2-T 1) [ºC]
(T 2-T 1) [ºC]
(d) CASO 6.d
Exact
RF
MRF
0.0104
0.02
x [m]
0.01
0.02
0.018
0.016
0.0096
0.014
0.0092
0.012
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0
x [m]
0.01
0.02
x [m]
(e) CASO 6.e
(f) CASO 6.f
Figura 7.86 – Resultados obtidos para determinação do (T2-T1) nos CASOS 6.a-f, com desvio padrão dos
erros de σ = 0.5% da temperatura máxima.
118
20
Exact
RF
MRF
10
-K 2 T 2/ n [W/m2]
-K 2 T 2/ n [W/m2]
20
0
-10
-20
-30
Exact
RF
MRF
10
0
-10
-20
-30
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0
0.01
x[m]
-K 2 T 2/ n [W/m2]
-K 2 T 2/ n [W/m2]
20
0
-10
-20
-30
0.03
0.04
Exact
RF
MRF
10
0
-10
-20
-30
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0
0.01
x[m]
20
(d) CASO 6.d
20
-K 2 T 2/ n [W/m2]
Exact
RF
MRF
10
0.02
x[m]
(c) CASO 6.c
-K 2 T 2/ n [W/m2]
0.04
(b) CASO 6.b
Exact
RF
MRF
10
0.03
x[m]
(a) CASO 6.a
20
0.02
0
-10
-20
-30
Exact
RF
MRF
10
0
-10
-20
-30
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0
0.01
x [m]
0.02
0.03
0.04
x [m]
(e) CASO 6.e
(f) CASO 6.f
Figura 7.87 – Resultados obtidos para determinação do (−k2∂nT2) nos CASOS 6.a-f, com desvio padrão
dos erros de σ = 0.5% da temperatura máxima.
Os resultados mostram que o MRF é equivalente ao RF quando o mesmo
método (nestes casos MFS) é utilizado para solucionar os problemas auxiliares.
Em todos os casos considerou-se um numero de funções de base j que resultasse
em uma função com valor estável. Isto foi avaliado para cada um dos casos envolvendo
o RF (equações 5.37 e 5.44) ou o MRF (equações 5.48 e 5.51).
119
Em todos os casos utilizando funcionais de reciprocidade as temperaturas
medidas foram filtradas utilizando MFS, com a intenção de reduzir o mau
condicionamento do problema inverso. Este filtro consiste em solucionar um problema
de Cauchy com duas condições de contorno na superfície superior, a primeira impondo
as medições consideradas e a segunda condição de contorno o fluxo de calor imposto.
Desta forma solucionou-se o problema 7.6.a-d e obteve-se medidas suavizadas de
temperatura, utilizando informações que são consideradas conhecidas do problema de
transferência de calor (COLAÇO e ALVES, 2013).
2T2 x, t 0
em
2
(7.6.a)
k2 nT2 x, t hoo Too T2 x, t q x, y, t
em
oo
(7.6.b)
T2 x, t Ynperm
em
oo
(7.6.c)
nT2 x, t 0
em
2
(7.6.d)
Na figura 7.88 pode ser visto o resultado da aplicação do filtro descrito
anteriormente para o CASO 6.a.
0.027
T [ºC]
0.026
0.025
Medida
Filtrada
0.024
0
0.01
0.02
0.03
0.04
x[m]
Figura 7.88 – Temperatura medida e filtrada para o CASO 6.a com RF ou MRF.
120
7.2
MEDIDAS REAIS DE TEMPERATURA
Nesta seção serão apresentados os resultados obtidos experimentalmente
utilizando a bancada experimental e as amostras descritas no Capítulo 6. O fluxo de
calor aplicado na superfície superior dos meios compostos será estimado e analisado e
por fim será realizada a estimativa da condutância térmica de contato para diferentes
amostras.
Nos resultados desta seção consideraram-se as amostras descritas no Capítulo 6,
sem falhas e com apenas uma camada de espessura c1 = 0.002m e com falhas
controladas num meio composto por duas camadas com espessuras iguais (c1 = c2 =
0.002m), que resultam em uma espessura total c = 0.004m. Todas as amostras
examinadas têm o mesmo comprimento e a mesma largura, a = b = 0.04m. Considerouse ainda que o coeficiente de troca térmica na superfície superior estará
matematicamente incluído na estimativa do termo fonte do fluxo de calor, q.
Na superfície inferior serão analisados dois casos específicos, onde se pode
desconsiderar o coeficiente de troca térmica nesta superfície. No primeiro caso, sugerese que a superfície inferior da amostra esteja isolada termicamente, assim ho → 0. Na
segunda abordagem considera-se que em toda a superfície inferior esteja com
temperatura prescrita To, neste caso ho → ∞. Para representar estes casos particulares,
assumiu-se, respectivamente, na formulação geral proposta valores do coeficiente de
troca térmica iguais a hₒ = 1.0×10-20 e hₒ = 1.0×1020.
Em todos os resultados experimentais utilizou-se como matéria prima para a
construção das amostras o Polimetil-metacrilato (PMMA), conhecido comercialmente
como acrílico. Suas propriedades térmicas podem ser vistas na Tabela 7.2. As amostras
com duas camadas correspondem ao material composto MC3 da Tabela 7.1. Em todos
os resultados experimentais considerou-se como temperatura inicial a temperatura
ambiente então, T*=To e ainda uma vez que To≈ Too. Utilizou-se em todos os casos uma
temperatura de referência Tref = To, obtida a partir da média dos 10 primeiros segundos
de experimento, onde a câmera foi ligada sem que houvesse aplicação de fonte de calor.
Analisou-se casos onde a tensão elétrica aplicada foi de 100V e casos onde foi
de 80V. Utilizaram-se diferentes frequências de aquisição das medidas e diferentes
tempos finais de experimento. Sendo assim, estes valores, juntamente com a
temperatura ambiente de cada experimento, serão apresentados para cada caso estudado.
121
7.2.1 ESTIMATIVA DO FLUXO DE CALOR
Nos resultados analisados anteriormente, com medidas simuladas, considerou-se
um fluxo de calor constante e conhecido deterministicamente. Entretanto, nos casos
experimentais estudados a seguir é necessário que este fluxo de calor seja determinado e
analisado. Isto será realizado através da solução de um problema inverso de
transferência de calor num meio composto apenas por uma camada (amostra da Figura
6.4.a).
Serão analisados casos onde a superfície inferior esteja termicamente isolada
(configuração experimental demonstrada na Figura 6.6.a) e onde a superfície inferior
esteja sujeita a uma temperatura prescrita (configuração experimental demonstrada na
Figura 6.6.b). Nesta segunda opção o fluxo será estimado até que o problema atinja o
regime permanente.
Solucionou-se o problema inverso de transferência de calor para estimativa de
fluxo através de 3 diferentes métodos: no primeiro, estimou-se um fluxo de calor
constante através do método Levenberg-Marquardt; no segundo utilizou-se o método
MCMC para estimar um fluxo de calor com variação no tempo e; no terceiro, utilizouse o código computacional de PACHECO et al. (2014) para estimar um fluxo de calor
com variação no tempo e no espaço. Esta analise foi feita, pois se espera utilizar a
formulação matemática mais simples que seja capaz de representar adequadamente os
fenômenos físicos tratados nos experimentos. Formulações complexas, embora sejam
mais realísticas, aumentam o custo computacional e o carácter mal posto dos problemas
inversos envolvidos.
Inicialmente serão analisados casos onde a superfície inferior esteja
termicamente isolada. Desta forma, a amostra foi posicionada sobre um bloco de
material isolante (Poliestireno Expandido–EPS). Esta amostra foi aquecida pelo sistema
térmico apresentado no Capitulo 6 e utilizou-se na análise do fluxo de calor duas
tensões elétricas diferentes 80V e 100V. Para validar o aparato experimental e a
formulação matemática adotada para solução do problema direto, no capítulo 4,
utilizou-se o fluxo de calor estimado com variação no tempo e se comparou os valores
de temperatura obtidos com os valores medidos em diferentes posições.
A analise do procedimento experimental, apresentado a seguir, foi executada
utilizando uma tensão elétrica de 100V ± 1V no sistema térmico (apresentado na Figura
6.3). O tempo final de experimento foi de 100 segundos.
122
Foram tomadas medidas de temperatura através dos termopares com intervalos
de 1s e com a câmera termográfica a cada 0.111s, que corresponde no software FLIR
ResearchIR™ à opção de 9fps (frames per second).
A seguir pode ser vista a imagem termográfica total (320×240 pixels) obtida
através da câmera FLIR A325sc no tempo final deste experimento, 100s. Nesta Figura
7.89 pode ser vista a região correspondente a amostra, que tem um número total de
pixels de 60×60.
240
110
100
192
90
80
T [°C]
144
70
60
96
50
40
48
30
20
64
128
192
256
320
pixels, direção x
Figura 7.89 - Imagem termográfica obtida através da câmera FLIR A325sc no experimento utilizando
amostra sem falhas de contato.
Nesta Figura 7.89 pode ser visto o termopar de referência e os suportes
utilizados para garantir que a amostra seja sempre fixada na mesma posição x, y da
bancada. Os círculos com temperaturas mais altas correspondem aos parafusos de
fixação e a linha aquecida corresponde a uma parte da resistência que pôde ser vista na
imagem.
A Figura 7.90.a-b mostra respectivamente a imagem termográfica referente à
amostra sem falhas no tempo inicial (Figura 7.90.a) e final em t=100s (7.90.b).
123
0.04
0.02
0.01
0
0
0.01
0.02
0.03
58
57.5
0.03
57
56.5
y[m]
0.03
y[m]
0.04
26
25.95
25.9
25.85
25.8
25.75
25.7
25.65
25.6
25.55
25.5
0.02
56
55.5
0.01
55
54.5
0
54
0
0.04
0.01
0.02
x[m]
x[m]
(a)
(b)
0.03
0.04
Figura 7.90 – Imagens termográficas na amostra sem falhas para: (a) tempo inicial e (b) após 100
segundos de experimento.
Em seguida, na Figura 7.91.a pode ser visto o perfil de temperaturas no tempo
em um pixel localizado no centro da amostra, sendo comparado com a média de
temperaturas em toda a amostra em cada tempo. A Figura 7.91.b mostra o histograma
produzido pela média de temperaturas no tempo e na superfície da amostra durante os
10 segundos iniciais do experimento, antes que o aquecimento fosse iniciado.
14
50
10
8
4
35
6
Densidade
40
30
25
0
10
20
30
40
50
60
70
80
2
Medida em x=0.02, y=0.02
Média das Temperaturas
0
T [ °C ]
12
45
90
25.24
25.28
25.32
25.36
T(x,y,t) [°C]
t[s]
(a)
(b)
Figura 7.91 – (a) Evolução das medidas de temperatura no tempo para uma tensão elétrica de 100V. (b)
Histograma produzido nos 10s iniciais de experimento.
Neste experimento (como pode ser visto no histograma da Figura 7.94.b) o
desvio padrão das medidas de temperatura foi de σ = 0.024°C, comprovando que existiu
uma boa uniformidade espacial do aquecimento. Este histograma demonstra ainda que a
distribuição das temperaturas tem de fato um padrão Gaussiano. A excelente
uniformidade espacial do fluxo de calor sobre a amostra também fica evidente pela
análise da figura 7.91.a, que mostra que a temperatura do ponto central da amostra é
idêntica à temperatura média sobre a mesma.
124
A seguir o fluxo de calor foi considerado constante e foi estimado utilizando as
medidas de temperatura após ser iniciado o aquecimento (10s), pelo método de
Levenberg-Marquardt (ABREU et al., 2014c). Considerando então que q(x,y,t) = q, e
que neste caso, estuda-se uma amostra com apenas uma camada, sem falhas, pode-se
escrever a formulação matemática particular deste problema utilizando a equação de
condução unidimensional de calor (ÖZIŞIK, 1993):
tT z, t z , zT z, t ,
0 z c1,
t 0
(7.1.a)
zT z, t 0,
z 0,
t 0
(7.1.b)
k zT z, t q,
z c1,
t 0
(7.1.c)
T z, t T * T ,
0 z c1,
t 0
(7.1.d)
O problema direto 7.1 foi solucionado utilizando o método de diferenças finitas
nesta análise. Na solução deste problema inverso, estimou-se o fluxo de calor e também
a difusividade térmica da amostra sem falhas (ABREU et al., 2014c). Os resultados
podem ser vistos na Tabela 7.9 onde VR são valores de referência retirados da literatura.
Tabela 7.9 – Resultados obtidos para a estimativa de fluxo constante.
Parâmetro
Difusividade térmica, α ×10-7 (m2/s)
Fluxo de Calor, q (W/m2)
¹VR
Estimado
Intervalo de
Confiança de 99%
1.31
1.4331
(1.4327, 1.4335)
-
871.33
(863.60, 879.06)
¹ Medido experimentalmente no LTTC/UFRJ, através do método Flash.
Utilizando os valores estimados pode-se analisar a distribuição do fluxo de calor
através dos resíduos obtidos em diferentes pixels da imagem da amostra. O valor obtido
para a temperatura, utilizando o fluxo de calor estimado e a difusividade térmica
estimada, foi comparado com perfil de temperaturas médio na placa e com o perfil de
temperaturas em posições distintas da placa. Estes resultados podem ser vistos na Figura
7.92.a-b.
125
55
50
T [ °C ]
45
40
Medida em x=0.02, y=0.02
Medida em x=0.01, y=0.01
Medida em x=0.03, y=0.03
Valor médio
Estimada
35
30
25
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
t[s]
(a)
1
Resíduos [ °C ]
0.5
0
-0.5
-1
x=0.02, y=0.02
x=0.01, y=0.01
x=0.03, y=0.03
Valor médio
-1.5
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
t[s]
(b)
Figura 7.92 - (a) Evolução no tempo da temperatura estimada e de temperaturas medidas em diferentes
posições. (b) Diferença entre a temperatura estimada e a temperatura medida em diferentes posições.
Como pode ser observado nas Figuras 7.92.a-b, os resultados mostram que
existe graficamente pouca variação do fluxo de calor na superfície. Tanto os resíduos
quanto as temperaturas medidas tiveram grande concordância para todas as posições
espaciais analisadas, inclusive quando os resultados foram comparados com a média
espacial de temperaturas. Os resíduos também se mostraram muito semelhantes para as
diferentes posições analisadas. Entretanto, estes são correlacionados e grandes no início
do aquecimento. Estes resultados revelam que este fluxo de calor não é o mais adequado
para representar matematicamente o problema físico estudado e indica ainda que o fluxo
de calor deve ter variação no tempo, embora não varie espacialmente de forma
significativa.
126
As correlações observadas nos resíduos podem ser atribuídas ao tempo
necessário para que todo o sistema de aquecimento se aquecesse e começasse a irradiar
calor para a amostra. Embora a estrutura seja confeccionada em alumínio e tenha sido
pintada para que este fenômeno seja reduzido, ainda sim os resíduos demonstraram que
existe uma variação temporal do fluxo, especialmente no início do aquecimento.
Uma vez que os resultados para fluxo de calor constante não foram satisfatórios
nos instantes de tempo iniciais, uma abordagem utilizando o método de Monte Carlo
com Cadeias de Markov foi aplicado para solucionar o problema inverso de estimativa
do fluxo de calor com variação no tempo, mas uniforme sobre a placa. Pode-se escrever
este problema de transferência de calor como:
tT z, t z , zT z, t ,
0 z c1,
t 0
(7.2.a)
zT z, t 0,
z 0,
t 0
(7.2.b)
k zT z, t q(t ),
z c1,
t 0
(7.2.c)
T z, t T * To ,
0 z c1 ,
t 0
(7.2.d)
O problema direto 7.2 foi solucionado utilizando o método de diferenças finitas
nesta análise. As mesmas análises foram realizadas e neste caso, como se considerou a
variação no tempo do fluxo de calor, pode-se utilizar as medidas de temperatura desde o
início da gravação onde o sistema térmico permaneceu desligado por 10 segundos.
Nesta abordagem utilizou-se o método MCMC juntamente com o algoritmo de
Metropolis-Hastings. Isto foi realizado de forma análoga à descrição da estimativa da
condutância térmica de contato no Capítulo 5. A solução de problemas inversos cujo
objetivo é estimar o fluxo de calor com variação no tempo já foi obtida em outros
trabalhos, como em MOTA et al (2010). Como o objetivo deste trabalho consiste na
estimativa da condutância térmica de contato, os detalhes sobre a solução destes
problemas inversos de estimativa do fluxo podem ser visualizados nos artigos de
referência citados (MOTA et al., 2010; ABREU et al., 2014c; ÖZIŞIK e ORLANDE,
2000).
Considerou-se para o fluxo de calor um vetor de parâmetros discretos que
representa o fluxo de calor em toda a superfície superior para cada tempo discreto tn:
127
qT (q1, q2 ,..., qnmax )
(7.3)
Neste caso, assumiu-se uma priori para o fluxo de calor do tipo Campo
Aleatório de Markov (MRF) conforme aplicado em MOTA et al. (2010) e obteve-se a
estimativa para o fluxo de calor com variação no tempo mostrada na Figura 7.93.
1200
q(t) [ W/m2 ]
1000
800
600
400
200
MCMC-MRF
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
t[s]
Figura 7.93 - Fluxo de calor com variação no tempo estimado para o caso com tensão elétrica de 100V,
utilizando o método MCMC.
A Figura 7.94 mostra a evolução dos estados da cadeia de Markov. Esta figura
demonstra a convergência da cadeia em dois tempos discretos: 5 segundos e 80
segundos. Nesta figura pode-se observar ainda que os estados iniciais que devem ser
descartados são aqueles anteriores ao estado 50000.
2000
1800
tempo = 5s
tempo = 80s
q(t) [W/m2]
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
30000
60000
90000
120000
150000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.94 – Estados da cadeia de Markov em dois tempos discretos, para a estimativa do fluxo de calor
através do método MCMC, com tensão elétrica aplicada de 100V.
128
Os histogramas construídos com os valores gerados pela cadeia de Markov, nos
tempos discretos correspondentes a 5 segundos e 80 segundos, podem ser vistos na
Figura 7.95.a-b. Utilizou-se os estados da cadeia de Markov entre 60000 e 150000 para
gerar o histograma e realizar as analises estatísticas. Os histogramas revelam ainda uma
distribuição aproximadamente Gaussiana para os valores estimados do fluxo de calor.
t = 80s
0.015
0.005
0.010
Densidade
0.2
0.0
0.000
0.1
Densidade
0.3
0.020
t = 5s
49
50
51
52
53
q(t) [ W m2 ]
54
780
800
820 840 860
q(t) [ W m2 ]
(a)
880
900
(b)
Figura 7.95 – Histogramas em dois tempos discretos, para a estimativa do fluxo de calor através do
método MCMC, com tensão elétrica aplicada de 100V.
Na Figura 7.96 pode ser visto o desvio padrão obtido para cada um dos pontos
discretos estimados. Os valores máximos estão em torno de 3 % dos valores estimados o
que mostra que houve boa convergência de fato da cadeia de Markov e está num valor
excelente considerando o desvio padrão das medidas que corresponde a 2.5%.
35
30
W/m2 ]
20
q[
25
15
10
5
Desvio Padrão
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t[s]
Figura 7.96 – Desvio padrão, σq, obtido para o fluxo de calor através do método MCMC.
129
A seguir pode ser visto na Figura 7.97.a avaliação das estimativas utilizando a
temperatura estimada com o fluxo obtido utilizando o método MCMC. Na Figura 7.97.a
pode ser vista a excelente concordância gráfica entre a temperatura obtida com o fluxo
de calor estimado e os valores medidos em diferentes posições da superfície da amostra.
Pode ser visto nesta figura a comparação da temperatura estimada com a média
superficial das temperaturas, comprovando que obteve-se uma ótima recuperação do
fluxo de calor neste caso, o que pode ser comprovado na analise dos resíduos na Figura
7.97.b. Neste caso os resíduos foram baixos e pouco correlacionados em todos os pontos
estimados, havendo um pico no momento em que a fonte de calor foi ligada em 10s.
50
T [ °C ]
45
40
35
Medida em x=0.02, y=0.02
Medida em x=0.01, y=0.01
Medida em x=0.03, y=0.03
Valor Médio
Estimada
30
25
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t[s]
(a)
1
Resíduos [ °C ]
0.5
0
-0.5
-1
x=0.02, y=0.02
x=0.01, y=0.01
x=0.03, y=0.03
Valor Médio
-1.5
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t[s]
(b)
Figura 7.97 - (a) Evolução no tempo da temperatura estimada e de temperaturas medidas em diferentes
posições. (b) Diferença entre a temperatura estimada e a temperatura medida em diferentes posições.
130
Pode-se comparar as estimativas de fluxo obtidas neste experimento, onde a
superfície inferior esteve isolada, com as soluções obtidas utilizando a rotina
computacional de PACHECO et al. (2014). O trabalho citado estima um fluxo de calor
com variação temporal e espacial, utilizando filtros de Kalman e aplicando ainda uma
técnica Bayesiana que avalia os erros de modelo chamada approximation error model
(AEM), num problema semelhante ao tratado nesta seção.
A formulação matemática do problema direto de PACHECO et al. (2014), num
meio composto apenas por uma camada, pode ser escrita da seguinte forma:
1tT x, t 2T x, t ,
em ,
t 0
(7.4.a)
nT x, t 0,
em o ,
t 0
(7.4.b)
k nT x, t q( x, y, t ),
em oo ,
t 0
(7.4.c)
nT x, t 0,
em ,
t 0
(7.4.d)
T x, t T * To ,
em ,
t 0
(7.4.e)
A estimativa do fluxo de calor obtida com o método MCMC no ponto central da
amostra será comparada na Figura 7.98 com a estimativa do fluxo de calor obtida por
PACHECO et al. (2014) na posição central da amostra e com a média do fluxo obtido
no espaço. A Figura 7.98 confirma que de fato existe pouca variação espacial do fluxo
de calor, como já foi visto através da analise dos resíduos para o método MCMC e de
Levenberg-Marquardt.
1200
q(t) [ W/m2 ]
1000
800
600
400
200
Kalman em x=0.02,y=0.02
Kalman valor médio espacial
MCMC-MRF em x=0.02,y=0.02
0
-200
0
10
20
30
40
50
60
70
80
t[s]
Figura 7.98 – Comparação entre o fluxo de calor estimado com o método MCMC e com o método de
PACHECO et al. (2014).
131
Os resíduos e a estimativa do fluxo de calor obtido pelo código de PACHECO et
al. (2014), na posição central da amostra, podem ainda ser vistos na Figura 7.99 a
seguir.
1200
q(t) [ W/m2 ]
1000
800
600
400
200
0
Kalman
Kalman IC 99%
-200
0
10
20
30
40
50
60
70
80
t[s]
(a)
0.02
Resíduos [ °C ]
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
x=0.02, y=0.02
Valor Médio
-0.015
-0.02
0
10 20 30 40 50 60
70 80
90 100
t[s]
(b)
Figura 7.99 – Resultados obtidos com o Código de PACHECO et al. (2014) para o fluxo de calor,
utilizando tensão elétrica de 100V.
A distribuição do Fluxo de calor obtido com o código referido pode ser vista na
Figura 7.100.a-b nos tempos t=30s e t=80s. Esta figura mostra que de fato o fluxo de
calor se distribuiu uniformemente na superfície da amostra. Alguns pontos onde os
valores fogem do desvio padrão se devem a pequenas falhas na pintura das amostras que
causam discrepâncias nos valores medidos nestes pontos.
132
0.04
1000
950
0.03
y[m]
900
0.02
850
800
0.01
750
0
700
0
0.01
0.02
0.03
0.04
x[m]
(a)
0.04
1000
950
0.03
y[m]
900
0.02
850
800
0.01
750
0
700
0
0.01
0.02
0.03
0.04
x[m]
(b)
Figura 7.100 – Distribuição espacial do fluxo de calor
A repetibilidade dos resultados obtidos com a bancada experimental é
demonstrada a seguir, comparando a estimativa do fluxo de calor obtida com o método
MCMC para 3 experimentos diferentes (Figura 7.101.a). A temperatura medida no
ponto central destes 3 experimentos é mostrada na Figura 7.101.b Naturalmente, como
houve variação da temperatura inicial, os gráficos de temperatura mostram os valores de
temperatura subtraída da temperatura inicial. Os resultados mostram excelente
repetibilidade dos experimentos.
133
1400
q(t) [ W/m2 ]
1200
1000
800
600
400
Experimento 1
Experimento 2
Experimento 3
200
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
t[s]
(a)
25
T-T o [ °C ]
20
15
10
5
Experimento 1
Experimento 2
Experimento 3
0
-5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t[s]
(b)
Figura 7.101 – Avaliação da repetitividade experimental, resultados obtidos para 3 experimentos
distintos.
Será considerado a seguir a aplicação de uma tensão elétrica de 80V sobre a
amostra sem falhas de contato, que estará mantida sob as mesmas condições de
contorno da seção anterior. O fluxo de calor estimado para esta tensão elétrica, que
produz uma potência dissipada pela resistência de 323W pode ser visto na Figura
7.102.a e o desvio padrão para cada tempo discreto pode ser visto na Figura 7.102.b.
Observa-se novamente que os resíduos foram baixos, mesmo comparando os resultados
com temperaturas medidas em diferentes posições (Figura 7.103.a-b).
134
Nota-se que as mesmas constatações realizadas anteriormente se aplicam neste
caso e que o perfil do fluxo de calor se mostrou muito similar àquele onde a tensão
elétrica foi de 100V. Na Figura 7.102.a ainda é mostrada ainda a comparação da
estimativa utilizando o método MCMC com o método utilizando Filtros de Kalman,
obtida com o código de PACHECO et al. (2014) no ponto central da superfície e na
média dos valores superficiais, a concordância entre os valores com os diferentes
métodos é excelente.
600
q(t) [ W/m2 ]
500
400
300
200
100
Kalman em x=0.02,y=0.02
Kalman valor médio espacial
MCMC-MRF em x=0.02,y=0.02
0
-100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
t[s]
(a)
25
q[
W/m2 ]
20
15
10
5
Desvio Padrão
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t[s]
(b)
Figura 7.102 – Resultados para estimativa do fluxo de calor com superfície inferior isolada e com
aplicação de tensão elétrica de 80V.
135
42
40
38
T [ °C ]
36
34
32
Medida em x=0.02, y=0.02
Medida em x=0.01, y=0.01
Medida em x=0.03, y=0.03
Valor Médio
Estimada
30
28
26
24
0
20
40
60
80
100
120
140
t[s]
(a)
1
Resíduos [ °C ]
0.5
0
-0.5
-1
x=0.02, y=0.02
x=0.01, y=0.01
x=0.03, y=0.03
Valor Médio
-1.5
-2
0
20
40
60
80
100
120
140
t[s]
(b)
Figura 7.103 – Comparação de temperaturas e resíduos para o caso com superfície inferior isolada e com
aplicação de tensão elétrica de 80V.
Em seguida, avaliou-se o fluxo de calor no regime permanente utilizando um
intervalo de medidas de 10s e considerando novamente uma tensão elétrica de 80V. Esta
tensão elétrica produz uma potência dissipada menor e desta forma o limite máximo de
temperatura que a amostra de acrílico suporta não foi atingido. Considerou-se neste
estudo que a superfície inferior da amostra esteve sob uma temperatura prescrita igual à
temperatura inicial.
A formulação matemática unidimensional deste problema é escrita como:
tT z, t z , zT z, t ,
0 z c1,
t 0
(7.5.a)
T z, t To ,
z 0,
t 0
(7.5.b)
k zT z, t q(t ),
z c1,
t 0
(7.5.c)
T z, t T * To ,
0 z c1 ,
t 0
(7.5.d)
136
Neste caso utilizou-se a metodologia que aplica o método MCMC e devido à
condição de contorno da equação (7.5.b) não foi possível à comparação com o código
utilizando filtros de Kalman (PACHECO et al., 2014), conforme foi feito anteriormente.
O problema inverso foi resolvido utilizando as medidas transientes até que o regime
permanente fosse aproximadamente atingido.
Observa-se pela Figura 7.104.a-b o fluxo de calor obtido até o regime
permanente. Na Figura 7.105.a-b pode ser vista a comparação das temperaturas obtidas
utilizando o fluxo estimado com a temperatura medida em diferentes posições. Pode-se
ver ainda nesta figura que os resíduos ficaram baixos e houve boa uniformidade do
fluxo na superfície da amostra.
4000
3500
q(t) [ W/m2 ]
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
MCMC-MRF
-500
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000
t[s]
(a)
10
q[
W/m2 ]
8
6
4
2
Desvio Padrão
0
0
2000
4000
6000
8000
10000 12000
t[s]
(b)
Figura 7.104 – (a) Fluxo de calor até regime permanente e (b) desvio padrão do fluxo, para superfície
inferior com temperatura prescrita e com aplicação de tensão elétrica de 80V.
137
80
T [ °C ]
70
60
50
Medida em x=0.02, y=0.02
Medida em x=0.01, y=0.01
Medida em x=0.03, y=0.03
Valor Médio
Estimada
40
30
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000
t[s]
(a)
0.6
Resíduos [ °C ]
0.4
0.2
0
-0.2
x=0.02, y=0.02
x=0.01, y=0.01
x=0.03, y=0.03
Valor Médio
-0.4
-0.6
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000
t[s]
(b)
Figura 7.105 - (a) Evolução da temperatura no tempo até regime permanente e (b) analise de resíduos.
Para o caso com superfície inferior com temperatura prescrita e com aplicação de tensão elétrica de 80V.
7.2.2 ESTIMATIVA DA CONDUTÂNCIA TÉRMICA
Para a estimativa da condutância térmica de contato, decidiu-se utilizar a
estimativa do fluxo com variação no tempo e sem variação espacial. Validou-se a
solução do problema direto, utilizada para a estimativa da condutância térmica de
contato e demostrada no capítulo 4, com as medidas experimentais onde foi aplicada a
tensão elétrica de 100V. Utilizando o fluxo de calor estimado com o método MCMC
para este caso (Figura 7.93), avaliou-se o problema direto para dois casos particulares
Bic= 0 e Bic→ ∞.
138
Considerando então que a condutância de contato seja Bic=0 em toda a
superfície de contato, pode-se representar o caso particular do problema direto com a
amostra sem falhas, assumindo que o material tem duas camadas de espessura iguais a
c1=c2=0.002m. Como Bic= 0 espera-se que o calor não seja transferido para a camada
fictícia inferior. Comparou-se o resultado obtido para este problema direto com as
medidas de temperatura reais e com a temperatura estimada utilizando o método de
diferenças finitas 1D (MDF utilizado na solução do problema inverso com MCMC) na
Figura 7.106. Considerou-se 200 modos transformados na solução desse problema
direto com método descrito no Capítulo 4, considerando a analise de convergência
realizada anteriormente.
50
T [ °C ]
45
40
35
Medida em x=0.02, y=0.02
Valor Médio Medido
Estimada PD MDF
Estimado PD Hibrido
30
25
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t[s]
(a)
1
Resíduos [ °C ]
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
x=0.02, y=0.02
x=0.01, y=0.01
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t[s]
(b)
Figura 7.106 – Validação problema direto com método Híbrido utilizando neste trabalho, para tensão de
100V e assumindo Bic= 0.
139
Em seguida realizou-se uma analise semelhante, agora para Bic=12. Neste caso
para que a amostra sem falhas seja representada corretamente, considera-se que a
amostra tem duas camadas de espessura c1=c2=0.002m e que o calor deva ser
transmitido de forma excelente entre as camadas, ocorrendo isolamento apenas na
superfície inferior.
50
T [ °C ]
45
40
35
Medida em x=0.02, y=0.02
Valor Médio Medido
Estimada PD MDF
Estimado PD Hibrido
30
25
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t[s]
(a)
1
Resíduos [ °C ]
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
x=0.02, y=0.02
x=0.01, y=0.01
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t[s]
(b)
Figura 7.107 – Validação problema direto com método Híbrido utilizando neste trabalho, para tensão de
100V e assumindo Bic=12.
Valores maiores do que Bic=12 produziram resultados similares, o que
confirmou que este valor é suficientemente alto para ser considerado contato térmico
perfeito (ver Figura 7.107). Com estes dois casos validou-se o problema direto que será
utilizado para solução do problema inverso de estimativa da condutância térmica de
contato com medidas experimentais.
140
Para a estimativa das falhas de contato com medidas reais serão utilizados o
método utilizando o funcional de reciprocidade num caso que a condutância térmica de
contato possa ser avaliada bidimensionalmente no regime permanente e nos demais
casos analisados utilizando o método MCMC com priori de variação total dos
parâmetros para a condutância térmica de contato e utilizando medidas transformadas
de temperatura.
Utilizou-se no método com funcional de reciprocidade o valor do fluxo de calor
em regime permanente obtido anteriormente, com valor q=3500W/m2 (ver Figura
7.104.a), sendo este, distribuído de forma uniforme na superfície. Nas estimativas
utilizando o método MCMC, entretanto, acrescentou-se a estimativa do fluxo de calor
na resolução do problema inverso. Neste caso, os resultados obtidos através da
estimativa única do fluxo de calor com variação temporal, descritas anteriormente, foi
utilizada com informação a priori Gaussiana (conforme os histogramas mostram)
utilizando à média e desvio padrão em cada ponto discreto, para esta variável. Esta
estimativa do fluxo de calor realizada simultaneamente visa levar em conta incertezas
no fluxo que possam ocorrer, por exemplo, devido às variações do coeficiente de troca
térmica para o ambiente. Espera-se que estas mudanças estejam dentro do desvio padrão
obtido para o mesmo. Desta forma, pode-se reescrever a informação a posteriori,
acrescentando a seguinte informação a priori Gaussiana para o fluxo de calor:
(q) (2 ) D
med
/2
Wq
1/ 2
1
exp (q - μ q )T Wq 1 (q - μ q )
2
(7.6)
onde μq e Wq são respectivamente a média e a matriz de covariância de q composta pelo
desvio padrão de q definido como σq . O vetor de parâmetros para o fluxo q foi definido
na equação (7.3). Utilizou-se ainda densidade proposta Gaussiana para o fluxo de calor.
7.2.2.1 FALHA CIRCULAR
O primeiro caso a ser analisado, com as amostras com falhas construídas
controladamente, consiste na amostra com falha circular de diâmetro 0.015m,
posicionada no centro da amostra (já mostrada na Figura 6.4.b). Este caso será
denominado Caso Experimental 1 (CE1) para simplificar a notação e foi realizado
utilizando a superfície inferior da amostra isolada. Foi realizada a estimativa de falhas
141
neste caso com aplicação de 100V sobre a amostra. Como se esperava, a diferença de
temperaturas causada pela falha é facilmente visualizada nas temperaturas medidas,
como mostra a imagem das mesmas no tempo final de experimento utilizado para a
solução do problema inverso de tf=100s (Figura 7.108). Isto ocorre pois a amostra não
tem grande espessura e o tempo em que o fluxo de calor foi imposto foi suficiente para
que o calor se difundisse até a região de interface. O tamanho da falha é outro fator que
facilitou esta visualização, uma vez que é suficientemente grande para gerar um grande
gradiente de temperaturas. Para fluxos de calor menores, esta visualização não é tão
clara. Em cada caso deve haver uma analise de qual o maior fluxo pode ser imposto
para que o calor se difunda na placa sem que se ultrapasse a temperatura máxima
permitida no material.
0.04
46
45.5
0.03
y[m]
45
0.02
44.5
44
0.01
43.5
0
43
0
0.01
0.02
0.03
0.04
x[m]
Figura 7.108 – Temperatura medida após 100s de experimento com falha circular e tensão 100V.
Será analisado o número de modos necessários para reconstruir satisfatoriamente
a imagem medida (de forma análoga ao procedimento demonstrado em detalhes na
seção 7.1.5), sem que sejam perdidas informações importantes e procurando retirar os
modos que apenas acrescentarão ruídos a imagem. Desta forma, a Figura 7.109.a mostra
o primeiro modo transformado e na Figura 7.109.b podem ser vistos os modos 2, 5, 10,
20 e 50. Pode-se concluir, pela ordem de grandeza dos valores, que mais do que 50
modos não serão necessários.
142
Y Transf.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Modo T ransformado
1°
(a)
0.04
0.02
Y Transf.
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
0
100 200 300 400 500 600 700 800
Modo T ransformado
2°
5°
10°
20°
50°
(b)
Figura 7.109 – Analise de modos transformados falha circular, V=100V.
Obtêm-se a distribuição de temperatura filtrada mostrada na figura 7.110, para as
respectivas posições onde o fluxo será estimado numa malha 21×21, com 50 modos
transformados. O procedimento necessário para a escolha do número de modos
transformados adequado a cada caso foi descrito em detalhes na seção 7.1.5.
143
0.04
46
45.5
0.03
45
0.02
44.5
44
0.01
43.5
0
43
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Figura 7.110 – Imagem filtrada de temperaturas, utilizando 50 modos transformados.
Como foi feito nas medidas simuladas, assumiu-se que a partir de Bic=12 existe
contato perfeito (isto foi mostrado também no inicio da seção 7.2.2). Assim, em casos
com informação a priori pouco informativa pode acontecer de serem gerados valores
acima de Bic=12. Isto indica que as temperaturas são suficientemente iguais na
interface, significando contato térmico perfeito e, portanto, ausência de falha.
Após serem realizadas estas considerações, a condutância térmica de contato
para o caso experimental 1 (com falha circular), foi estimada considerando uma malha
de 21×21 pixels, assim I f J f 21 que corresponde efetivamente a 441 parâmetros.
Deve-se lembrar que ao número de parâmetros referente ao Biot de contato, deve-se
somar o número de parâmetros para o ajuste do fluxo transiente de calor, que é estimado
distribuído uniformemente na superfície para cada tempo discreto. Utilizou-se um
intervalo de medidas de 0.111s, produzindo um total de 910 medições discretas no
tempo e consequentemente o mesmo número de parâmetros estimados para o fluxo de
calor. Isto torna o problema muito mal-posto. Entretanto o objetivo aqui é apenas ajustar
o valor estimado do fluxo para as condições de ambiente de cada experimento,
utilizando a priori Gaussiana da equação (7.6).
Na Figura 7.111 pode ser vista a recuperação da condutância térmica de contato
para este caso, onde nota-se que a mesma foi muito alta na região onde não haviam
falhas de interface e muito baixa na região onde foi produzida a falha controlada
circular. Deve-se notar que este primeiro caso corresponde ao CASO 1 analisado com
temperaturas simuladas. Este caso tratava de uma falha quadrada, com tamanho de falha
de 0.015m de lado, neste primeiro caso mostra-se então que o método é capaz de
144
identificar o formato da falha para um caso de falha de tamanho similar com formato
diferente. Seriam necessários mais pixels para melhorar a definição do formato da
região circular, que é mostrada pela linha desenhada em azul, na figura 7.111.
25
8
20
6
15
4
10
2
5
Y
10
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.111 – Estimativa da condutância térmica de contato para amostra com falha circular, com
V=100V.
Para esta estimativa optou-se por utilizar o desvio padrão das temperaturas
transformadas, calculando este desvio padrão com as medidas transformadas nos 10
segundos iniciais do experimento (antes do início do aquecimento). A transformação do
desvio padrão nos casos reais aqui tratados, levavam a valores de ordem de grandeza
muito baixa que geravam erros numéricos e irreais. O histograma, referente aos 10
segundos inicias das temperaturas transformadas, é mostrado na Figura 7.112.a-b
respectivamente para o primeiro e segundo modos transformados.
Modo Transformado 2
300
Densidade
20
15
0
0
5
100
10
Densidade
25
500
30
35
Modo Transformado 1
0.02
0.04
0.06
0.08
Ytransf
0.10
-0.003
(a)
-0.002
-0.001
Ytransf
0.000
0.001
(b)
Figura 7.112 – Histogramas dos 10 segundos iniciais das medidas transformadas para o caso experimental
estudado 1, com V=100V.
145
A seguir mostra-se na Figura 7.113 a convergência da posteriori demonstrando
que os valores gerados após sua convergência são aqueles que se esperava. Na figura
7.114 pode ser visto que a cadeia de Markov convergiu após 8000 estados, estes estados
iniciais foram descartados e os demais estados foram utilizados para construir a média e
demais analises estatísticas das soluções obtidas. Os histogramas obtidos com os
estados 8000 a 30000 podem ser visualizados na Figura 7.115.a-b, para um ponto na
log( , (q, , P | Y ))
região de falha e um ponto na região sem falha.
-2.0E+006
-3.0E+006
-4.0E+006
-5.0E+006
-6.0E+006
-7.0E+006
-8.0E+006
-9.0E+006
-1.0E+007
-1.1E+007
-1.2E+007
-1.3E+007
Posteriori
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.113 – Convergência da Posteriori para o caso experimental 1, com falha circular e tensão
aplicada de 100V.
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.114 – Convergência da cadeia de Markov para região de falha e de contato perfeito para o caso
experimental 1, com V=100V.
146
Região de Contato
3
0
0
5
1
2
Densidade
15
10
Densidade
20
25
Região de Falha
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12
Bic X Y
8.7
(a)
8.8
8.9 9.0 9.1
Bic X Y
9.2
9.3
(b)
Figura 7.115 – Histogramas para uma região de falha e uma região de contato, para o caso experimental 1
com V=100V.
A comparação entre a temperatura estimada e medida e a diferença entre elas
podem ser vistas na Figura 7.116. Os resíduos se mostraram pequenos mas
correlacionados, provavelmente pela utilização de apenas 50 modos transformados na
estimativa dos parâmetros. Desta forma, seria esperado que houvesse esta correlação,
cujo erro absoluto percentual máximo no intervalo avaliado foi de 5% em 40 segundos.
60
3
50
2.5
30
20
10
0
Exp. x=0.00, y=0.00
Est. x=0.00, y=0.00
Exp. x=0.02, y=0.02
Est. x=0.02, y=0.02
2
Resíduos [ °C ]
T [ °C ]
40
1.5
1
0.5
0
-0.5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
x=0.00, y=0.00
x=0.02, y=0.02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
t[s]
t[s]
(a)
(b)
Figura 7.116 – Comparação entre as temperaturas medidas e estimadas e a diferença entre elas, para o
caso experimental 1.
Como esperado o fluxo de calor estimado variou muito pouco em relação ao
fluxo médio inicial (Figura 7.117). Isto também era esperado uma vez que se utilizou
uma priori gaussiana com média em torno deste valor. Isto foi feito para reduzir
alterações no fluxo que poderiam aparecer devido a mudanças nas condições ambientais
em cada experimento realizado.
147
1400
1200
q(t) [W/m2]
1000
800
600
400
200
Inicial
Estimado
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
t [s]
Figura 7.117 – Fluxo de Calor médio dado como entrada e fluxo estimado, para caso experimental 1, com
aplicação de tensão elétrica de 100V.
7.2.2.2 FALHA RETANGULAR
Analisou-se em seguida a amostra com falha retangular, Caso Experimental 2
(CE2) que foi utilizada para avaliar o método MRF e o método MCMC. Neste caso
aplicou-se novamente uma tensão de 100V num primeiro experimento com frequência
de aquisição de 0.111s com tempo final de 100s e isolando a superfície inferior. Um
segundo experimento nesta amostra foi realizado com tensão de 80V e mantendo a
superfície inferior a uma temperatura prescrita igual a temperatura ambiente. Este
segundo experimento utilizou frequência de 10s entre cada medição e teve como tempo
final 3500s, para que o regime permanente se estabelecesse e então o método com
aplicação de funcionais de reciprocidade pudesse ser aplicado.
Na Figura 7.118 pode ser visto o perfil de temperaturas no tempo final de cada
um destes experimentos, respectivamente tf=100s e tf=3500s.
0.04
46
0.04
67
45.5
66
45
0.03
65
44.5
0.02
44
y[m]
y[m]
0.03
64
0.02
63
43.5
0.01
43
62
0.01
61
42.5
0
42
0
0.01
0.02
0.03
0
0.04
60
0
0.01
0.02
x[m]
x[m]
(a)
(b)
0.03
0.04
Figura 7.118 – Medidas de temperatura: (a) após 100s com V=100V; (b) após 3500s com V=80V;
148
Utilizando 60 modos transformados neste caso, obteve-se o perfil de
temperaturas mostrado na Figura 7.119. Isto foi feito apenas para as medidas tomadas
para a aplicação do método MCMC. Novamente obteve-se um perfil suavizado em
relação àquele que havia sido medido.
0.04
47
46.5
46
0.03
45.5
45
0.02
44.5
44
0.01
43.5
43
0
42.5
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Figura 7.119 – Temperatura filtrada para o caso com falha retangular
A estimativa da condutância térmica de contato utilizando o método MCMC
pode ser vista na Figura 7.120. Nesta Figura pode ser visto que existe uma região com
falha próximo a borda inferior da amostra. Como foi dito anteriormente isto poderia
ocorrer devido ao processo de fabricação adotado. A recuperação da região de falha é
bem nítida. Na Figura 7.120 a linha preta marca a região exata da falha construída.
25
8
20
6
15
4
10
2
5
Y
10
0
0
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.120 – Condutância térmica de contato estimada para o caso experimental 2, com falha retangular
e tensão aplicada de 100V.
149
Os resíduos para este caso, mostrados na figura 7.121 são pequenos mas
correlacionados, conforme ocorreu no caso circular (ver Figura 7.116). Uma pequena
diferença no tamanho da região de falha pode aumentar em alguns graus a temperatura
medida na superfície. Assim, uma recuperação incompleta da região de falha pode
fornecer esta correlação observada nos resíduos.
60
2
1.5
50
30
20
Exp. x=0.00, y=0.00
Est. x=0.00, y=0.00
Exp. x=0.02, y=0.02
Est. x=0.02, y=0.02
10
0
0
20
40
60
80
1
Resíduos [ °C ]
T [ °C ]
40
0.5
0
-0.5
-1
x=0.00, y=0.00
x=0.02, y=0.02
-1.5
-2
100
120
0
t[s]
20
40
60
80
100
120
t[s]
Figura 7.121 – Comparação entre as temperaturas medidas e estimadas e a diferença entre elas, para o
caso experimental 2.
Os resíduos apresentados nas Figuras 7.116 e 7.121 mostram ainda uma
correlação característica do uso de modos transformados. Como já foi dito, para evitar
esta correlação seria necessário utilizar os infinitos modos transformados que
recuperariam completamente as medidas de temperatura. Do ponto de vista de detecção
de falhas isto nem mesmo é interessante, uma vez que a suavização obtida com uma
quantidade de modos que remova os ruídos das imagens permite que a falha fique mais
nítida e fácil de identificar. Na Figura 7.122 mostra-se a convergência da distribuição a
posteriori e na Figura 7.123 a convergência da cadeia de Markov em dois pontos
analisados, um deles numa região com falha de contato e outro numa região de contato.
A cadeia de Markov neste caso precisou de mais termos do que no caso circular.
Considera-se que a cadeia convergiu a partir de 30000 estados no caso retangular.
150
-1e+007
log( , (q, , P | Y ))
-1.2e+007
-1.4e+007
-1.6e+007
-1.8e+007
-2e+007
-2.2e+007
-2.4e+007
-2.6e+007
Posteriori
-2.8e+007
0
25000
50000
75000
100000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.122 Convergência da posteriori para o caso experimental 2, com falha retangular e tensão
aplicada de 100V.
30
Falha de Contato
Contato Perfeito
25
Bi c (X,Y)
20
15
10
5
0
-5
0
25000
50000
75000
100000
Estados da Cadeia de Markov
Figura 7.123 - Convergência da cadeia de Markov para região de falha e de contato perfeito para o caso
experimental 2, com V=100V.
Os histogramas obtidos nestes dois pontos citados pode ser visto na Figura
7.124, mostrando uma distribuição próxima da Gaussiana na região de contato e uma
distribuição Gaussiana truncada na região de falha, como já havia ocorrido com as
medidas simuladas.
151
Região de Contato
10000
Densidade
5000
10000
0
0
5000
Densidade
15000
15000
20000
20000
Região de Falha
0.0
0.1
0.2
0.3 0.4
Bic X Y
0.5
0.6
13.5
14.0
14.5
Bic X Y
15.0
Figura 7.124 – Histogramas para uma região de falha e uma região de contato, para o caso experimental 2
com V=100V.
O fluxo de calor, da mesma forma que ocorreu no caso CE1, convergiu para a
média da informação a priori utilizada. Ou seja, resultados com desvio padrão menor
mas mantendo a mesma média, como era esperado.
1400
1200
q(t) [W/m2]
1000
800
600
400
200
Inicial
Estimado
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
t [s]
Figura 7.125 - Fluxo de Calor médio dado como entrada e fluxo estimado, para caso experimental 2.
Pode-se agora comparar os resultados obtidos com o método MCMC com os
obtidos utilizando funcional de reciprocidade, com medidas tomadas no regime
permanente na posição y=0.02m que corresponde à metade da amostra. Esta falha foi
construída de forma a representar este caso bidimensional e permitir a comparação entre
os métodos. Esta comparação pode ser vista na Figura 7.126, onde os dois métodos
recuperaram a região correta de falha, entretanto tiveram valores divergentes para a
condutância térmica de contato e; MRF apresentou maiores oscilações na região de
contato e não recuperou baixos valores de Bic na região de falha. Possivelmente o MRF
não recuperou estes valores baixos devido ao problema não estar completamente em
regime permanente. Experimentalmente, existe grande dificuldade em atingir de fato o
152
regime permanente. Isto pode exigir um tempo experimental muito grande e, durante
este tempo, qualquer alteração no ambiente pode interferir (por exemplo, mudanças na
temperatura ambiente provocada pelo ar condicionado do laboratório, etc).
40
Bi c(X,Y)
30
20
10
0
MRF
MCMC
-10
0
2
4
6
8
10
X
Figura 7.126 – Resultados obtidos para a estimativa da condutância térmica de contato utilizando o
método MCMC e o método MRF.
A Figura 7.127 mostra a recuperação da diferença entre as temperaturas na
interface e o fluxo de calor na interface utilizando o método MRF. Analisando apenas a
diferença entre as temperaturas na interface é possível identificar com precisão a região
de falha e quantifica-la. Entretanto, como houve oscilações muito grandes na estimativa
do fluxo de calor na interface (Figura 7.27.b) a estimativa do hc utilizando a formulação
9
-3250
8
-3300
-k 2 T 2/ n [W/m2]
(T 2-T 1) [ºC]
matemática descrita na seção 5.3, neste caso, não foi tão boa quanto o método MCMC.
7
6
5
4
3
-3350
-3400
-3450
-3500
-3550
MRF
2
0
0.01
0.02
MRF
-3600
0.03
0.04
0
x [m]
0.01
0.02
0.03
0.04
x[m]
(a)
(b)
Figura 7.127 - Resultados obtidos para determinação do (T2-T1) na interface e para (k2 nT2 ) .
153
CAPÍTULO 8 -
CONCLUSÕES E SUGESTÕES
Neste trabalho foi solucionado um problema inverso de transferência de calor,
cujo objetivo foi estimar a condutância térmica de contato entre duas camadas de um
material composto. Utilizou-se com esta finalidade dois métodos diferentes: um com
abordagem estocástica, utilizando o Método de Monte Carlo com Cadeias de Markov
(MCMC); e outro com abordagem analítica (RF), através da aplicação de funcionais de
reciprocidade. Considerou-se neste trabalho a aplicação da estimativa da condutância
térmica de contato na detecção de falhas de adesão entre meios compostos laminados.
Foram avaliadas falhas de diferentes formas e tamanhos para diferentes materiais, onde
foram consideradas funções de condutância térmica de contato localmente descontinuas.
Uma bancada experimental foi construída de forma a atender as condições
físico-matemáticas propostas. Os resultados obtidos com sua utilização possibilitaram a
validação dos métodos diretos e inversos aplicados neste trabalho. O fluxo de calor
neste caso foi determinado utilizando diferentes métodos de solução dos problemas
inversos demonstrando que o aparato experimental fornece um fluxo de calor com
considerável variação no tempo e espacialmente uniforme.
A solução do problema direto foi obtida através de uma técnica híbrida, que já
havia sido aplicada anteriormente em ABREU (2011), a mesma foi verificada
severamente para diferentes casos. Esta técnica faz uso da Transformada Integral
Generalizada (GITT) e do método de diferenças finitas (MDF), considerando um
coeficiente de troca térmica no contato dependente da posição na superfície, hc (x,y).
Como contribuições deste trabalho, utilizou-se um modelo de Variação Total dos
parâmetros como informação a priori pouco-informativa. Ainda aplicou-se a técnica da
transformação integral generalizada nas medidas de temperatura, que desta forma,
foram comprimidas espacialmente. A função de condutancia térmica de contato com
variação bidimensional na superficie de interface entre as camadas do material
composto foi muito bem recuperada em todos estes casos, utilizando medidas simuladas
de temperatura.
Na abordagem utilizando a compressão das temperaturas reduziu-se o tempo
computacional, no caso mais severo, de 72 horas para apenas 1 hora, em um
computador com processador Intel i5 com 2.5GHz de velocidade com 4 Gb de memória
RAM. O método MRF precisa de apenas uma fração de segundos para resolver o
problema inverso após os problemas auxiliares necessários serem resolvidos.
154
As soluções obtidas via abordagem Bayesiana mostraram que o método é
robusto, sendo capaz de detectar falhas de contacto mesmo para severas condições de
erros de medição.
O problema inverso de determinação da condutância térmica de contato foi ainda
solucionado utilizando uma abordagem analítica, através da aplicação de funcionais de
reciprocidade para determinação do fluxo de calor e da diferença de temperaturas na
interface entre duas camadas do meio composto. Nesta abordagem, considera-se como
contribuição deste trabalho uma modificação na abordagem proposta em COLAÇO e
ALVES (2013) que permitiu resolver o problema inverso sem a necessidade de
solucionar problemas de Cauchy. Esta abordagem foi comparada com a abordagem
original do artigo de COLAÇO e ALVES (2013) e mostrou-se ser equivalente, com
grandes possibilidades de viabilizar soluções puramente analíticas para os problemas
auxiliares envolvidos. Foi comparada ainda com a abordagem Bayesiana e mostrou-se
bastante acurada e mais estável numericamente do que a abordagem de COLAÇO e
ALVES (2013).
Considerando o objetivo principal de detectar falhas de contato, estes métodos
são mais eficientes em diferentes situações reais de aplicação. No Método RF, após
serem solucionados alguns problemas auxiliares, existe grande velocidade de solução e
obtenção de resultados atualizados. Este problema é solucionado no regime permanente
e pode ser diretamente aplicado a uma situação prática onde este regime já estiver sido
estabelecido e deseja-se avaliar se existe ou não o aparecimento de falhas para que
sejam realizadas manutenções preventivas.
O método MCMC exigiu um maior tempo computacional, mas demonstrou ser
bastante eficaz mesmo em casos onde existem falhas pequenas, detectando com
precisão inclusive o formato das mesmas. Neste método foi necessário um tempo
experimental muito curto, de apenas 100 segundos e as temperaturas máximas obtidas
foram baixas. Isto permite que os experimentos sejam realizados garantindo que as
temperaturas máximas permitidas para os materiais analisados não sejam atingidas. Por
outro lado, o método MRF analisado neste trabalho exigiu um tempo computacional
muito menor. Porém, o regime permanente pode levar muito tempo experimental para
ser de fato atingido e suas respectivas temperaturas medidas na superfície são muito
altas. Deve-se citar que, atualmente, já existem novas formulações utilizando funcionais
de reciprocidade onde são utilizadas medidas transientes de temperatura.
155
Propõe-se para a continuidade deste trabalho que o aparato experimental e as
técnicas desenvolvidas e validadas sejam aplicadas para detecção quantitativa e
qualitativa de falhas reais. Na figura 7.1 pode ser visto um corpo de prova, cedido pelo
laboratório de ensaios não-destrutivos, corrosão e soldagem (LNDC) da UFRJ. Propõese que sejam realizados ensaios experimentais neste corpo de prova (figura 8.1) com a
finalidade de detectar falhas de adesão na interface entre o tubo e a luva através dos
métodos propostos neste trabalho. Esta seção de junta é composta por uma luva e um
tubo confeccionados em resina epóxi, reforçada com fibra de vidro, unidos com uma
resina epoxílica e consiste num material utilizado em campo pela empresa Petrobras
S.A.
Figura 8.1 – Corpo de Prova cedido pelo Laboratório LNDC, confeccionados em resina epóxi, reforçada
com fibra de vidro e unidos com uma resina epoxílica.
Por fim, espera-se que os resultados obtidos com o aparato experimental sejam
utilizados nos demais trabalhos utilizando outros métodos com aplicação de funcionais
de reciprocidade que já vem sendo desenvolvidos.
Propõe-se ainda que a técnica de aplicação de aproximação de erros de modelo
seja aplicada aos resultados utilizando o método MCMC, desta forma, reduzindo
possíveis erros de modelo cometidos na realização das hipóteses e melhorando
principalmente a concordância dos resultados no tempo.
156
CAPÍTULO 9 -
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABREU, L. A. S. Abordagem Bayesiana para Identificação de Falhas em
Compósitos Laminados Através da Transferência de Calor. Dissertação de
M.Sc.,COPPE/UFRJ. Rio de janeiro,RJ,Brasil. 2011.
ABREU, L. A. S., ALVES, C. J. S., COLAÇO, M. J. et al. "A Non-Intrusive Inverse
Problem TEchnique for the Identification of Contact Failures in Double-Layered
Composities". In: 15th International Heat Transfer Conference. Kyoto,
Japan. 2014b.
ABREU, L. A. S., COLAÇO, M. J., ORLANDE, H. R. B. et al. "A comparison of two
inverse problem techniques for the identification of contact failures in multilayered composites". In: 22nd International Congress of Mechanical
Engineering (COBEM 2013). November 3-7,Ribeirão Preto, SP, Brazil. 2013.
ABREU, L. A. S., ORLANDE, H. R. B., COLAÇO, M. J. et al. "Detection of contact
failures in laminated composites by infrared thermography: description of the
experimental apparatus and initial results". In: 15th Brazilian Congress of
Thermal Sciences and Engineering (ENCIT). Belém, Pará, Brazil. 2014c.
ABREU, L. A. S., ORLANDE, H. R. B., KAIPIO, J. et al. "Identification of Contact
Failures in Multilayered Composites With the Markov Chain Monte Carlo
Method". J. Heat Transfer, 136, July 29, 2014a.
ABREU, L. A. S., ORLANDE, H. R. B., NAVEIRA-COTTA, C. P. et al.
"Identification of Contact Failures in Multi-Layered Composites". In: ASME
2011 International Design Engineering Technical Conferences and
Computers and Information in Engineering Conference: 31st Computers
and Information in Engineering Conference, Parts A and B. Washington,
DC, US. August 29-31 2011. p. 479-487.
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162
APÊNDICE A -
Método das Soluções Fundamentais
O método das soluções fundamentais foi proposto inicialmente em 1964
(KRUPADZE e ALEKSIDZE, 1964), e consiste num método numérico sem malha para
solução de problemas de valor inicial e de contorno em equações diferenciais parciais
onde a solução fundamental envolvida é disponível. O MFS, portanto, não requer a
utilização de malhas sobre o domínio e também dispensa cálculos de integrações,
resultando em grande simplicidade de implementação computacional. Ainda existem
questões sobre convergência e estabilidade do método. Entretanto, sabe-se que como
desvantagem existe seu caráter mal condicionado, cujas matrizes associadas à relação
linear envolvida com determinantes muito pequenos (ALVES, 2009).
A ideia principal do MFS consiste em aproximar a solução do problema através
de uma combinação linear entre a solução fundamental e alguns pontos de colocação,
que são colocados em um limite fictício fora do domínio (ver linha tracejada da Figura
A.1). Bons resultados são normalmente obtidos com pontos de colocação distribuídos
igualmente nos contornos e uma distribuição semelhante de pontos na fronteira artificial
(ALVES, 2009) (ver Figura A.1). Para a avaliação dos resultados obtidos com este
método, uma vez que a solução fundamental por definição já verifica a função dentro
dos domínios, basta verificar as aproximações nos contornos do problema, escolhendo
pontos diferentes dos pontos de colocação para avaliar esta aproximação. O número e
posição de pontos fonte s1,2(i) e dos pontos nos contornos influenciam a qualidade da
aproximação obtida. Um maior número de pontos de colocação no contorno e na
fronteira artificial em geral aumenta as chances de melhores resultados, porém números
muito altos aumentam o mau condicionamento do método, podendo inviabilizar boas
soluções do sistema linear intrínseco a ser resolvido (ALVES, 2009).
A partir da literatura, (ALVES, 2009), o algoritmo clássico MFS pode ser
resumido nos seguintes três passos, para um problema num domínio Ω com contorno
∂Ω:
(I – Definir pontos fonte) - Deve-se definir um número de pontos de colocação nos
contornos envolvidos x {x1 , x 2 ,, x imax } e ainda pontos de colocação (pontos
fonte) externos ao domínio Ω envolvido s {s1 , s 2 ,
, s jmax } , conforme mostra a
Figura A.1. Define-se ainda o contador j=1,...,jmax, que indica os pontos fonte fora do
domínio e o contador i=1,...,imax, que indica pontos de colocação nos contornos.
163
Considerando que a aproximação de uma função qualquer u(x) seja obtida pela
relação linear:
jmax
u j x j j x s j
(A.1)
j 1
que são soluções particulares de Δu(x)=0.
Figura 9.1 – Esquema de distribuição de pontos de colocação nos contornos (linha inteira) e dos pontos
fonte, externos ao domínio (linha tracejada).
(II – Solucionar Sistema Linear) - Deve-se então impor as condições de contorno nos
pontos de colocação, B u( x) g :
jmax
B
j 1
e encontrar os coeficientes
j
j
j x i s j g xi
(A.2)
que satisfazem a relação (Equação A.2). Nota-se que
pode ocorrer que imax jmax . Neste caso, pode-se recorrer ao método dos mínimos
quadrados (com ou sem regularização) ou outros métodos de solução, como o método
de decomposição em valores singulares truncados. Sendo B um operador geral de
condição de contorno. Em problemas escalares, se a matriz M for definida como:
M i , j B j xi s j
164
(A.3)
sendo a o vetor definido pelos coeficientes j e g o vetor definido por g(xi), pode-se
escrever que os coeficientes poderão ser encontrados solucionando o sistema Ma=g.
Neste caso é possível ainda realizar uma abordagem empregando o método de
regularização de Tikhonov:
I M M a M g
T
T
(A.4)
Uma vez que este sistema é tipicamente mal condicionado, pode-se reescrevê-lo
através do método dos mínimos quadrados como MT Ma MT g . Pode-se então
considerar a adição de um parâmetro escalar ε, inicialmente muito pequeno (de ordem
de grandeza ε=10-8) e sendo atualizado para valores maiores enquanto o princípio da
discrepância de Morozov falhar ou se o inverso do número de condição de MTM for
zero em representação de ponto flutuante (COLAÇO e ALVES, 2013; ALVES, 2009).
Uma segunda possibilidade consiste em solucionar o sistema Ma=g
decompondo M em valores singulares e truncar os seus autovalores menos significantes
de forma a selecionar os coeficientes a mais relevantes na solução do sistema linear,
através de uma solução utilizando sua pseudo-inversa (ALVES e MARTINS, 2009;
KAIPIO e SOMERSALO, 2005).
(III – Verificar as aproximações) - Uma vez que os coeficientes
j
tenham sido
obtidos, obtém-se uma aproximação de u(x) como:
jmax
u x j j x s j
(A.5)
j 1
que satisfaz 2u(x)=0 em Ω. A qualidade das aproximações para a função u(x)
dependem apenas que as condições de contorno sejam verificadas em pontos diferentes
dos pontos de colocação definidos anteriormente (ALVES, 2009).
165
Solução do Problema Direto e dos Problemas Auxiliares
Através do método das soluções fundamentais (MFS), serão obtidas soluções
para o problema direto bidimensional estacionário descrito nas Equações (5.18) e para
os problemas auxiliares I e II, descritos na tabela 5.2.
Considera-se então um meio retangular composto por 2 camadas, cuja soma de
suas espessuras cl resulta em uma espessura total c. Todas as placas, nesta abordagem
terão mesma largura a, tal como ilustrado na Figura A.1. Define-se um domínio Ω total,
formado pelos subdomínios Ω1 e Ω2, que representam as duas camadas do meio
composto. Define-se ainda as superfícies inferior Γo, superior Γoo, de contato Γc e as
superfícies laterais Γ1 e Γ2.
Figura 9.2 – Geometria bidimensional de um meio composto por duas camadas.
Reescrevendo o problema direto bidimensional estacionário, antes descrito nas
Equações (5.18):
2T1 x, t 0,
em
1
(A.6.a)
2T2 x, t 0,
em
2
(A.6.b)
T1 x 0,
em
o
(A.6.c)
k2 nT2 x q,
em
oo
(A.6.d)
k1 nT1 x, t k2 nT2 x, t ,
em
c
(A.6.e)
k1 nT1 x, t hc x, y T2 x, t T1 x, t ,
em
c
(A.6.f)
nT1 x, t 0,
em
1
(A.6.g)
nT2 x, t 0,
em
2
(A.6.h)
166
Juntamente com o problema auxiliar I.1:
2v1 x 0
em
1
(A.7.a)
nv1 x 0
em
1
(A.7.b)
v1 x 0
em
o
(A.7.c)
k1 nv1 x j
em
c
(A.7.d)
2v1 x 0
em
1
(A.8.a)
2v2 x 0
em
2
(A.8.b)
nv1 x 0
em
1
(A.8.c)
nv2 x 0
em
2
(A.8.d)
v1 x 0
em
o
(A.8.e)
k1 nv1 x k2 nv2 x
em
c
(A.8.f)
v1 x v2 x
em
c
(A.8.g)
v2 x j
em
oo
(A.8.h)
2 w2 x 0
em
2
(A.9.a)
n w2 x 0
em
2
(A.9.b)
n w2 x 0,
em
c
(A.9.c)
w2 x j ,
em
oo
(A.9.d)
com o problema auxiliar I.2:
e ainda com o problema auxiliar II:
167
A solução utilizando o algoritmo clássico do MFS para o problema direto
descrito nas equações (A.6) pode ser obtida aplicando as seguintes relações lineares:
jmax
T1 x 1j x s1j
(A.10.a)
j 1
jmax
T2 x 2j x s2j
(A.10.b)
j 1
Da mesma forma para a solução dos problemas auxiliares I.1, I.2 e II (descritos
nas equações (A.7, A.8 e A.9))
jmax
v1 x 1j x s1j
(A.11.a)
j 1
jmax
v2 x 2j x s2j
(A.11.b)
j 1
jmax
w2 x 2j x s2j
(A.11.c)
j 1
onde Φ é a solução fundamental da equação de Laplace, s1j e s2j são respectivamente
pontos fora dos domínios Ω1 e Ω2 , 1j e 2j são os coeficientes a serem determinados de
forma a verificar as condições de contorno requeridas.
A solução fundamental da equação de Laplace, para o caso bidimensional é
definida como:
x
1
ln x
2
no R 2
(A.12.a)
Para os dois domínios Ω1 e Ω2 deve-se definir um número de pontos de
colocação nos respectivos contornos envolvidos x1, 2 {x1 , x 2 ,, ximax } 1, 2 . Definese também pontos de colocação (pontos fonte) externos a cada um destes domínios Ω1 e
Ω2, s1,2 {s1, s 2 ,
, s jmax } e,1,2 , conforme mostra a Figura A.3.
168
(a)
(b)
Figura 9.3 - Esquema de distribuição de pontos de colocação nos contornos (linha inteira) e dos pontos
fonte, externos ao domínio (linha tracejada) para o caso bidimensional em geometria retangular.
O número de pontos fora do domínio, nos problemas estudados, corresponderá à
metade do número de pontos fonte definidos nos contornos. Estes pontos foram
definidos a uma distância do contorno que corresponde à metade do tamanho do
material na direção envolvida.
Para o problema direto, considerando que a solução fundamental descrita na
equação (A.7.a) verifica a solução do problema dentro dos domínios Ω1 e Ω2, então os
parâmetros ξ1 e ξ2 deverão ser determinados para que a solução nos contornos ∂Ω1 e
∂Ω2 também sejam também verificados. Desta forma, como descrito na equação A.2,
para cada contorno do problema direto:
x s 0,
j
1
para xo (A.13.a)
j
1
j
j
1
n x s1j 0,
para x1 (A.13.b)
j
k1 1j n x s1j k2 2j n x s2j 0,
j
j
169
para xc (A.13.c)
k1 1j n x s1j hc x x s1j 2j hc x x s2j 0,
j
para xc (A.13.d)
j
j
2
n x s2j 0,
para x2 (A.13.e)
j
x s g,
j
2
para xoo (A.13.f)
j
2
j
Para facilitar a notação, a matriz M descrita na equação A.3 será subdividida
para cada contorno, ou seja:
M1j o x s1j ,
x o
(A.14.a)
M1j 1 n x s1j ,
x 1
(A.14.b)
M1j c,1 k1 n x s1j ,
x c
(A.14.c)
M2j c,1 k2 n x s2j ,
x c
(A.14.d)
M1j c,2 k1 n x s1j hc x x s1j ,
x c
(A.14.e)
M2j c,2 hc x x s2j ,
x c
(A.14.f)
M2j 2 n x s2j ,
x 2
(A.14.g)
M2j oo x s2j ,
x oo
(A.14.h)
É importante notar ainda que no contorno Γc existem duas condições de
interface, optou-se então por representar estas condições com índice Γc,1 e Γc,2 . Desta
forma, o sistema linear para a determinação dos coeficientes ξ1 e ξ2 é escrito como:
M1j 1 o
j 1
M1 1
M1j 1 c,1
j 1
M1 c,2
0
0
M1jmax o
0
jmax
M1 1
0
M1jmax c,1 M 2j 1 c,1
M1jmax c,2 M 2j 1 c,2
M 2j 2
M 2j oo
0
0
j 1 0
1
0
jmax
j
j
M 2 c,1 1 max 0
M 2jmax c,2 2j 1 0
0
M 2jmax 2
j j
M 2jmax oo 2 max q
0
0
a
M
onde os termos fonte g são iguais a 0 exceto para a superfície Γoo, ou seja,
170
g
(A.15)
para x oo
q,
g
0,
(A.16)
para x oo
Para a solução do problema auxiliar I.1 o procedimento para a determinação do
coeficiente ξ1 é análogo. Pode-se obter os coeficientes, considerando que este problema
é definido apenas no domínio Ω1 como:
x s 0,
j
1
j
1
para xo
(A.17.a)
para x1
(A.17.b)
para xc
(A.17.c)
j
j
1
n x s1j 0,
j
k1 1j n x s1j ,
j
Desta forma, o sistema linear para a determinação dos coeficientes ξ1 para a
solução do problema auxiliar I.1 é escrito como:
M1j 1 o
j 1
M1 1
M1j 1 c
M1jmax o 1j 1 0
M1jmax 1
0
jmax
j
j
max
M1 c
1
a
M
(A.18)
g
onde:
M1j o x s1j ,
x o
(A.19.a)
M1j 1 n x s1j ,
x 1
(A.19.b)
M1j c k1 n x s1j ,
x c
(A.19.c)
e os termos fonte g são iguais a 0 exceto para a superfície Γc, ou seja,
,
g
0,
para x c
para x c
lembrando que nos problemas auxiliares, Ψ corresponde à funções de base.
171
(A.20)
Para a solução do problema auxiliar I.2, considerando que este problema é
definido nos dois domínios Ω1 e Ω2, escreve-se que:
x s 0,
j
1
j
1
para xo
(A.21.a)
para x1
(A.21.b)
para xc
(A.21.c)
para xc
(A.21.d)
para x2
(A.21.e)
para xoo
(A.21.f)
j
j
1
n x s1j 0,
j
k1 1j n x s1j k2 2j n x s2j 0,
j
j
x s x s 0,
j
1
j
1
j
2
j
j
2
j
j
2
n x s2j 0,
j
x s ,
j
2
j
2
j
Para facilitar a notação, a matriz M descrita na equação A.3 será subdividida
para cada contorno, ou seja:
M1j o x s1j ,
x o
(A.22.a)
M1j 1 n x s1j ,
x 1
(A.22.b)
M1j c,1 k1 n x s1j ,
x c
(A.22.c)
M2j c,1 k2 n x s2j ,
x c
(A.22.d)
M1j c,2 x s1j ,
x c
(A.22.e)
M2j c,2 x s2j ,
x c
(A.22.f)
M2j 2 n x s2j ,
x 2
(A.22.g)
M2j oo x s2j ,
x oo
(A.22.h)
Desta forma, o sistema linear para a determinação dos coeficientes ξ1 e ξ2 é
escrito como:
172
M1j 1 o
j 1
M1 1
M1j 1 c,1
j 1
M1 c,2
0
0
M1jmax o
0
jmax
M1 1
0
jmax
j 1
M1 c,1 M 2 c,1
j 1 0
1
0
jmax
j
j
max
M 2 c,1 1
0
jmax
M 2 c,2 2j 1 0
0
M 2jmax 2
j j
M 2jmax oo 2 max
0
0
M1jmax c,2 M 2j 1 c,2
M 2j 2
M 2j oo
0
0
a
M
(A.23)
g
onde os termos fonte g são iguais a 0 exceto para a superfície Γoo, ou seja,
,
g
0,
para x oo
(A.24)
para x oo
Finalmente, para a solução do problema auxiliar II o procedimento para a
determinação do coeficiente ξ2 é análogo. Pode-se obter os coeficientes, considerando
que este problema é definido apenas no domínio Ω2 como:
para xc
(A.25.a)
para x2
(A.25.b)
para xoo
(A.25.c)
j
2
n x s2j 0,
j
2
n x s2j 0,
j
j
x s ,
j
2
j
2
j
Desta forma, o sistema linear para a determinação dos coeficientes ξ1 para a
solução do problema auxiliar I.1 é escrito como:
M 2j 1 c
j 1
M 2 2
M 2j 1 oo
M 2jmax c 2j 1 0
M 2jmax 2
0
jmax
j
j
max
M 2 oo 2
a
M
(A.26)
g
onde:
M2j c n x s2j ,
x c
(A.27.a)
M2j 2 n x s2j ,
x 2
(A.27.b)
M2j oo x s2j ,
x oo
(A.27.c)
173
e os termos fonte g são iguais a 0 exceto para a superfície Γoo, ou seja,
,
g
0,
para x oo
para x oo
174
(A.28)
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