Efeito Casimir no Espaço-tempo da Corda
Cósmica
Eugênio R. Bezerra de Mello
Dept. de Física, UFPB
Vitória, 31/01/2014
Plano do Seminário
 Flutuação do vácuo e o Efeito Casimir (Revisão).
 Condições de contorno.
Espaço-tempo de uma corda cósmica.
 Polarização de vácuo induzida por uma fronteira plana.
Considerações finais.
Flutuações do Vácuo
O efeito Casimir é um exemplo que mostra que condições de contorno impostas
a campos quânticos modificam as flutuações do vácuo quando comparadas a
casos de espaços livres.
Quantização do Campo Eletromagnético (EM).
De acordo com a M. Q. um OHS tem níveis de energia discretos dados por:
O estado fundamental (vácuo) é caracterizado por n=0:
No contexto de TQC, o campo EM, é considerado um conjunto de OHS de
todas as frequências. Assim a energia do vácuo é dado por:
Continuação
Para o campo EM propagando-se no espaço de Minkowski livre, os modos
são rotulados por vetores de onda tri-dimensionais de espectro contínuo.
Impondo condições de contorno, algumas das componentes do vetor de onda
tornam-se discretas. Por exemplo a componente tangencial do vetor campo
elétrico, E, anula-se em uma superfície metálica, implicando que a
componente do vetor de onda perpendicular a essa superfície seja discreta.
Foi Casimir quem primeiro calculou a diferença de energia (infinita) do vácuo
de campos EM quantizado na presença de superfície metálica, da energia
(infinita) correspondente no espaço livre de Minkowski. O resultado encontrado
foi uma energia finita. A esse procedimento denomina-se por renormalização:
ERen=EF-EM
Efeito Casimir
Hendrik Casimir
Continuação
• Em 1948 H. Casimir propôs que duas placas metálicas paralelas
descarregadas próximas estão sujeitas a uma força atrativa. Essa
força somente é mensurável quando a distância entre as duas
placas é extremamente pequena, da ordem de (apenas) alguns
diâmetros atômicos. Esta atração é chamada Efeito Casimir.
• A energia de Casimir, e sua força, podem ser calculada a partir da
energia do ponto zero do campo eletromagnético entre as placas.
(kz=n/d, n=1, 2, 3, ...)
• A força de Casimir por unidade de área para placas ideais,
perfeitamente condutoras com vácuo entre si é:
• O efeito Casimir foi medido em1997 por Steve K. Lamoreaux e por
Umar Mohideen.
Modificações nas Flutuações Quântica do Vácuo
As flutuações de vácuo, podem ser modificadas devido aos seguinte fatores:
Topologia não trivial do espaço-tempo
Curvatura não-nula do espaço-tempo
Condições de contorno impostas aos campos (Efeito Casimir)
Condições de Contorno
Campo escalar.
Dirichlet: O campo se anula nas fronteira.
Neumann: A derivada normal dos campos se anulam na fronteira.
Robin: Combinção das duas condições anteriores
Equação de Klein-Gordon
A equação de movimento obedecida por um campo escalar em
um espaço-tempo curvo, admitindo um acoplamento com a
curvatura, é:
m: massa associada ao campo
x: Constante de acoplamento do campo com a geometria
x=0. Acoplamento mínimo
x=1/6. Acoplamento conforme
R: Escalar de curvatura (Ricci)
Continuação
Campo fermiônico.
M.I.T. bag. Condição de sacola do MIT
Vetor unitário normal à superfície
A equação de movimento obedecida por um campo fermiônico
em um espaço-tempo curvo é:
Cordas Cósmicas
As cordas cósmicas são defeitos topológicos da gravitação.
Esses objetos estão presentes em um contexto de teorias
grande unficadas, e podem ter sido produzidas no Universo
promóridal como consequência de um processo de quebra
espontânea de simetria de gauge.
Embora as observações da radiação cósmica de fundo tenham
discartado as cordas cósmicas como fontes primórdias para para
gerar pertubação da densidade.
As cordas cósmicas continuam ainda candidatas para geração
de uma de vários fenômenos físcos interessantes:
 Lentes gravitacionais
 Geração de ondas gravitacionais
 Raios cósmicos energéticos, etc.
Espaço-tempo de uma corda cósmica (Topologia cônica)
Modelo idealizado para uma corda cósmica:
Elemento de linha:
, onde p=1/(1-4m)  1 (G=1), r 0, e
m=densidade linear de massa
Espaço localmente plano (R=0); entretanto apresenta um
déficit de ângulo planar
singularidade
cônica (tipo-δ)
Corda
Para T.G.U,
, assim
Propriedades geradas pelo espaço-tempo de uma corda
Não há potencial
Newtoniano
•O espaço gerado por uma corda cósmica ideal é
localmente plano.
•Embora não haja potencial Newtoniano, a corda
cósmica favorece diversos fenômenos gravitacionais:
•Lentes gravitacionais.
•Auto-forças gravitacionais e eletrostáticas.
Continuação
Lentes Gravitacionais.
Duplicação de imagens: um raio de luz emitido por um quazar
chegará até o observador duplicado.
Auto-Forças Induzidas.
a=1/p
a) Gravitacional: Uma partícula de massa m fica submetida a ação de
uma auto-interação gravitacional atrativa.
b) Eletrostática: Uma partícula com carga q fica submetida a ação de
uma auto-interação eletrostática repulsiva.
Flutuações Quânticas
A topologia cônica do espaço-tempo gerado por uma corda
cósmica fornece uma distorção do ponto-zero das flutuações
de vácuo de campos quantizados
Esse fato gera valores esperados renormalizáveis no vácuo
não nulo para observáveis físicas tais como: operadores de
campo ao quadrado, do tensor energia-momento, etc.
Soluções da Eq. de K-G no Espaço-tempo da Corda Cósmica
Condições de ortonormalidade:
A função de Green, é uma função de dois pontos, e pode ser
calculada através do modo de soma:
Flutuações do vácuo: Na análise das flutuações do vácuo, dois valores
esperados no vácuo (VEV) de operadores, são de particular interesse:
 Quadrado do operador de campo:
 Operador tensor energia-momento:
Esses VEVs podem ser obtidos pelas funções de Green no limite de
coincidencia de argumentos
Cálculos dos VEV
Campo quadrado:
Tensor energia-momento (TEM):
Esses procedimentos fornecem divergências.
É requerido renormalização:
Função de Hadamard
Efeito Casimir: Condições de Contorno na Superfície Plana
Dirichlet
Neumann
Duas contribuições distintas surgem:
Solução da Eq. de Klein-Gordon No Semi-Espaço
A solução tem a forma:
C: Constante de normalização
Solução:
Continuação
Vamos considerar a Cond. de Dirichlet:
Solução regular em r=0:
Função de Green:
Caso especial: p=inteiro.
Função de Bessel Modificada:
Propriedades:
a) G(x’,x)=0 para z ou z’ iguais a zero,
b) G(x’,x) diverge para x’=x. A divergência é devido à componente k=0 da
primeira contribuição.
Podemos escrever:
Valor esperado
Formalmente temos:
Para nosso caso, podemos escrever:
Esse resultado é divergente. É preciso renormalizar.
Apenas a primeira contribuição necessita de renormalização
Análise de
O valor esperado no vácuo de
é divergente. De modo a
obtermos um resultado finito e bem definido temos que renormalizá-lo:
Casos limite:
a) Não massivo:
b) mr>>1
Análise gráfica
Gráficos para p=2,3,4. (linha contínua, ponto-linha, traço-traço)
x=mr.
Análise de
O valor esperado no vácuo é finito no limite de coincidência:
Casos limite:
a) z>>r:
b) m=0:
c) z<<r:
Obs. Se, ao invés da condição de Dirichlet, tívessemos considerado a
condição de Neumann, o valor esperado acima seria positivo.
Análise gráfica
Gráficos para p=2,3,4. (linha contínua, ponto-linha, traço-traço)
a) Painel esquerdo: Gráfico em função de mr para z fixo.
b) Painel direito: Gráfico em função de mz para r fixo.
Comentários Finais
 Nesse Seminário, demos uma breve introdução sobre um dos
exemplos mais notáveis que reforça o conceito de vácuo em TQC,
que é o Efeito Casimir.
Experimentos confirmaram as previsões teóricas.
Apesar do Efeito Casimir ter sido inicialmente proposto
considerando campos EM, a mesma idéia pode também ser aplicada
a outros tipos de campos envolvendo diferentes condições de
contorno.
 Especificamente analisamos o VEV associado a um campo escalar
massivo,
, no espaço-tempo de uma corda cósmica admitindo
que o campo obedece a condição de Dirichlet em z=0.
Duas contribuições distintas aparecem: Uma devido ao déficit de
ângulo planar, e a outra devido à condição de fronteira.
A contribuição devido ao déficit é divergente para pontos próximos
sobre a corda, anulando-se para pontos distantes da mesma.
A contribuição devido a fronteira é finita próximo à corda, porém
diverge próximo sobre a fronteira.
Obrigado