Programação não-linear
(aula 2)
Profa Ana Carla Bittencourt Reis
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Exemplos de aplicações
1- PROBLEMA DO MIX DE PRODUTOS COM ELASTICIDADE DE PREÇOS
Objetivo: determinar o mix ótimo de níveis de produção para os produtos de
uma empresa, dadas as limitações sobre os recursos necessários para
fabricar esses produtos, de modo a maximizar o lucro total da empresa.
*Em alguns casos há um lucro unitário fixo associado a cada produto, o que
implica em uma FO linear
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1- PROBLEMA DO MIX DE PRODUTOS COM ELASTICIDADE DE PREÇOS
Preço
p(x)
c
custo unitário
Demanda
x
• Na curva preço-demanda p(x) é o preço necessário para se vender x unidades
• Se o custo unitário para produzir e distribuir é fixado em “c” o lucro da empresa é
obtido pela produção e venda de “x” unidades, conforme a função não linear P(x):
P(x)=xp(x)-cx
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1- PROBLEMA DO MIX DE PRODUTOS COM ELASTICIDADE DE PREÇOS
• Se cada um dos n produtos da empresa tiver uma função de lucro similar, Pj(xj),
para produzir e vender xj unidades do produto j (j=1,2,3,...,n), então a FO é uma
soma de funções não-lineares:
n
f ( x)   Pj ( x j )
j 1
• Outra razão para o surgimento de não-linearidade na FO é o custo marginal
para produzir outra unidade do produto
• Pode haver não-linearidade nas restrições, especialmente quando o emprego de
um recurso não for estritamente proporcional aos níveis de produção
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1- PROBLEMA DO MIX DE PRODUTOS COM ELASTICIDADE DE PREÇOS
Lucro
P(x)
P( x)  x p( x)  c
Quantidade
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x
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2- PROBLEMA DE TRANSPORTE COM DESCONTOS NOS CUSTOS DE
TRANSPORTE PARA GRANDES VOLUMES
Objetivo: determinar um plano ótimo para o transporte de mercadorias de
várias origens para vários destinos, dadas as restrições de oferta e demanda,
de modo a minimizar o custo total de transporte.
•Em alguns casos os custos por unidade transportada não são fixos: são
dados descontos por volume
•Desta forma, o custo marginal de transportar mais uma unidade pode seguir o
padrão a seguir:
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2- PROBLEMA DE TRANSPORTE COM DESCONTOS NOS CUSTOS DE
TRANSPORTES PARA GRANDES VOLUMES
• Esta função representa o custo marginal para remessa
Custo marginal
6,5
5
4
3
0,6
1,5
2,7
4,5
Volume remetido
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2- PROBLEMA DE TRANSPORTE COM DESCONTOS NOS CUSTOS DE
TRANSPORTES PARA GRANDES VOLUMES
O custo resultante, C(x), de se remeter x unidades é dado então por uma FNL
18,6
Custo total
13,2
8,4
Custo marginal = 5
3,9
0,6
1,5
2,7
4,5
Volume remetido
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2- PROBLEMA DE TRANSPORTE COM DESCONTOS NOS CUSTOS DE
TRANSPORTES PARA GRANDES VOLUMES
• Se cada combinação origem-destino tiver uma função de custo em que
o custo de transportar xij unidades da origem i (i=1,2,3,...,m), para o
destino j (j=1,2,3,...,n), é dado por uma função não-linear Cij(xij), então a
função objetivo global é minimizada por:
m
f ( x)  
i 1
n
C
j 1
ij
( xij )
• Mesmo com essa FO não-linear, as restrições deste problema
geralmente são lineares
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3- SELEÇÃO DE CARTEIRAS COM TÍTULOS DE ALTO RISCO
Foco: retorno esperado e risco associado
Objetivo: determinar uma carteira que, sob certas hipóteses, forneça uma
relação ótima entre esses dois fatores.
Suponha que sejam consideradas n ações/títulos para inclusão nesta carteira e
façamos que as variáveis de decisão xj (j=1,2,3,...,n) representem o número de cotas
das ações j a serem incluídas.
Estipula-se que µj e σjj sejam, respectivamente, a média e a variância, estimadas, do
retorno sobre cada cota da ação j, em que σjj mede o risco desta ação.
Para i=1,2,3,...,n (i≠j), façamos que σij represente a covariância do retorno sobre cada
ação i e j.
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3- SELEÇÃO DE CARTEIRAS COM TÍTULOS DE ALTO RISCO
Como seria difícil estimar todos os valores σij , parte-se de certas hipóteses sobre o
comportamento do mercado para que se possa calcular σij diretamente de σii e σjj.
A seguir, o valor esperado R(x) e a variância V(x) do retorno total de toda a carteira são:
n
R( x)    j x j
j 1
n
V ( x)  
i 1
n

j 1
ij
xi x j
• V(x) mede o risco associado à carteira
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3- SELEÇÃO DE CARTEIRAS COM TÍTULOS DE ALTO RISCO
V(x) é utilizada como FO a ser minimizada e R(x) é imposta como restrição, de forma
que não seja menor que um retorno mínimo esperado aceitável.
n
n
Minim izar: V ( x)    ij xi x j
i 1 j 1
sujeito a
n

Dificuldade:
xj  L
≤
 Pj x j  B
=
≥
j 1
j
n
j 1
e
xj  0
para
b1
b2
é difícil
...
escolher L de modo a
bj
custo-benefício
obter a melhor relação
entre
R(x) e V(x).
j  1,2,...,n
Onde:
L é o retorno mínimo esperado aceitável
Pj é o preço para cota de ação j
B é o volume de dinheiro previsto para carteira
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EXERCÍCIO:
Formule um modelo de PNL para cada um dos seguintes problemas:
1. Problema do mix de produtos com elasticidade de preços
2. Problema de transporte com descontos nos custos de transportes para
grandes volumes
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