Séries infinitas
{uk} = {u1, u2, u3, ..., un ...} é uma sequência infinita
A soma dos termos dessa sequência é uma série infinita
∞
π‘’π‘˜ = 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 + … + π‘’π‘˜ + …
π‘˜=1
∞
uk são os termos da série infinita
π‘’π‘˜
π‘˜=1
Ex: 0,3333 ... Dízima periódica simples
0,3333 ... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = 1/3 Mostrar!
Ex: 2,5434343 ... =
5380
2
9900
Dízima periódica composta
A convergência de uma série
β€’ A n-ésima soma parcial da série
π‘’π‘˜
π‘˜=1
𝑛
Sn =
∞
π‘’π‘˜ = 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 + … + 𝑒𝑛
1
{Sn } = sequência infinita de somas parciais (SSP)
{Sn } = {S1, S2, S3, ..., Sn, ... }
S1 = u1;
S2 = S 1 + u 2 = u 1 + u 2
S3 = S2 + u3 = u1 + u2 + u3
.........
Sn = Sn-1 + un = u1 + u2 + u3 + ... + un
𝑛
Seja
∞
π‘˜=1 π‘’π‘˜
e
Sn =
π‘’π‘˜ = 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 + … + 𝑒𝑛
1
Se a sequência de somas parciais (SSP)
{Sn }n=1 = {S1, S2, ..., Sn, ...}
convergir para um limite S dizemos que a série
∞
π‘˜=1 π‘’π‘˜
converge para S e que S é a soma da série.
Escrevemos S =
∞
π‘˜=1 π‘’π‘˜
(na verdade, S = lim 𝑆𝑛 )
Se {Sn } n=1 diverge dizemos a a série
(não tem soma).
π‘›β†’βˆž
∞
π‘˜=1 π‘’π‘˜
diverge
Exemplo: verificar se as séries convergem ou divergem.
a) 1 -1 + 1 – 1 + ... + (-1)n+1, ...
1
∞
π‘˜=1 2π‘˜
b)
Algumas séries especiais!
1. As séries geométricas
∞
π‘Žπ‘žπ‘˜ = π‘Ž + π‘Žπ‘ž + π‘Žπ‘ž2 + π‘Žπ‘ž3 + … + π‘Žπ‘žπ‘˜ + …
π‘˜=0
para n β‰  0 convergem para S =
e divergem se |q| β‰₯ 1
Exemplos (p. 647)
1
1 βˆ’π‘ž
se |q| < 1
2. As séries telescópicas
1
∞
π‘˜=1 π‘˜(π‘˜+1)
=
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ …+
1
π‘˜. π‘˜+1
+ …
convergem para 1.
3. As séries p ou séries híper harmônicas (p > 0)
1
∞
π‘˜=1 π‘˜ 𝑝
= 1+
1
2𝑝
+
1
3𝑝
+
1
4𝑝
+ …+
1
π‘˜π‘
+ …
convergem se p > 1 e divergem se 0 < p < 1
Exemplos: a)
∞ 1
π‘˜=1 π‘˜
𝑏)
1
∞
π‘˜=1 π‘˜ 2
Propriedades das séries (propriedades dos somatórios)
a) Se
π‘’π‘˜ e
π‘£π‘˜ 𝑠ãπ‘œ π‘π‘œπ‘›π‘£π‘’π‘Ÿπ‘”π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘  𝑒𝑛𝑑ãπ‘œ
(π‘’π‘˜ +π‘£π‘˜ ) 𝑒
(π‘’π‘˜ -π‘£π‘˜ ) 𝑠ãπ‘œ π‘‘π‘Žπ‘šπ‘éπ‘š π‘π‘œπ‘›π‘£π‘’π‘Ÿπ‘”π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘  𝑒
(π‘’π‘˜ +π‘£π‘˜ ) =
π‘’π‘˜ +
π‘£π‘˜
π‘’π‘˜ e
b) Se a β‰  0 então as séries
ambas divergem e
e (π‘’π‘˜ βˆ’π‘£π‘˜ ) =
π‘’π‘˜ βˆ’
π‘£π‘˜
π‘Ž. π‘’π‘˜ ou ambas convergem ou
π‘Ž. π‘’π‘˜ = π‘Ž
π‘’π‘˜
c) A convergência ou divergência não é alterada pela retirada de um
número finito de termos de uma série, isto é, para Ⱪ > o e inteiro,
∞
∞
π‘’π‘˜ = π‘ˆ1 + π‘ˆ2 + π‘ˆ3 + …
1
π‘’π‘˜ = π‘ˆβ±© + π‘ˆβ±©+1 + π‘ˆβ±©+2 + …
Ⱪ
ambas convergem ou ambas divergem
Exemplos (página 654)
Testes de convergência
Séries alternadas, convergências condicional e absoluta
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