ME623A
Planejamento e Pesquisa
4. Experimentos em Blocos
1. Blocos Completos e Aleatorizados
a)
b)
c)
d)
e)
2.
3.
4.
5.
Definição
Análise Estatística
Decomposição da Soma de Quadrados
Tabela Anova
Estimação dos Parâmetros
Quadrados Latinos
Quadrados Greco-Latinos
Blocos Balanceados Incompletos
Delineamento Cruzados
2
Blocos Completos Aleatorizados
Fator A Bloco 1
1
y11
2
y21
.
.
.
.
.
.
a
ya1
Bloco 2
Bloco b
y12
y1b
y22
...
y2b
.
.
.
.
.
.
ya2
yab
Completo indica que cada bloco contém todos os
tratamentos
3
Exemplo da Ponteira

As observações para cada ponteira e placa de
metal estão na Tabela abaixo
Ponteir
a

Placa de Metal
(Bloco)
1
2
3
1
2
3
9.3
9.4
9.2
9.4
9.3
9.4
9.6
9.8
9.5
4
9.7
9.6
10.0
4
10.0
9.9
9.7
10.2
Vamos calcular as SS e testar se existe diferença
entre as ponteiras na medição da dureza em placas
4
de metal
Análise Estatística
Exemplo das Ponteiras
Queremos testar se:
Calcular SST, SSA, SSBlocos
e SSE
2. Encontrar a tabela
ANOVA
1.
Figura: Boxplot da dureza das placas
de metais para cada ponteira
5
Tabela ANOVA
Blocos Completos Aleatorizados
Exemplo Ponteiras
No R
> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)
> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados)
> anova(fit)
Response: Dureza
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 14.438 0.0008713 ***
factor(Placa)
3 0.825 0.275000 30.938 4.523e-05 ***
Residuals
9 0.080 0.008889
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
6
Análise Estatística
Exemplo Ponteiras
Gráfico da Distribuição F(3,9), α=0.05
Conclusão: Como F0 = 14.44 > 3.86 (ou p-valor < 0.01),
rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos
diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da
dureza das placas de metal
7
Tabela ANOVA
Experimento com Um Fator
Exemplo Ponteiras
Não
Rejeita
H0
No R, desconsiderando o efeito dos blocos
> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)
> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados)
> anova(fit)
Response: Dureza
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 1.7017 0.2196
Residuals
12 0.905 0.075417
8
Análise Estatística – Ignorando Efeito dos Blocos
Exemplo Ponteiras
Gráfico da Distribuição F(3,12), p-valor=0.22
Conclusão: Como F0 = 1.70 < 3.49 (ou p-valor > 0.05), não
temos evidência para rejeitar H0 e afirmar que as médias dos
tratamentos diferem.
Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos
conclusões erradas do experimento
9
Análise de Diagnóstico

Já vimos anteriormente a importância de checar
se as suposições do modelo são satisfeitas

Isso é feito através da análise dos resíduos

No caso de experimentos com blocos, devemos
verificar se existe algum problema com:
1. Normalidade
2. Variância dos erros não constante (em relação aos
tratamentos ou blocos)
3. Interação entre tratamento e bloco
10
Análise de Diagnóstico

Interação:
◦ Ver gráfico de resíduos vs valores estimados
◦ Se houver curva:
◦ Valores baixos(negativos) dos resíduos com
valores baixos e altos ajustados; baixos para
valores medianos ajustados.
◦ Isso pode indicar intereção
11
Análise de Resíduos
Exemplo das Ponteiras
• Alguma indicação de não-normalidade? E outliers?
• Gráfico resíduos x ajustados: se houver uma tendência
curvilínea, pode ser indício de interação entre tratamentos e
blocos
12
Análise de Resíduos
Exemplo das Ponteiras
É razoável assumir igualdade de variância tanto
por tratamento quanto por bloco?
13
Estimação dos Parâmetros

No modelo com blocos completos aleatorizados
os parâmetros são estimador por:

O valor ajustado é então calculado como:
14
Estimação dos Parâmetros pelo
Método dos Mínimos Quadrados

Voltemos aos experimentos com um único fator, em
que temos o modelo

Exercício: Os estimadores de mínimo quadrados
(EMQ) de μ e τi são valores que minimizam a soma
de quadrados dos erros
em que
é o vetor de parâmetros
15
Estimadores de Mínimos Quadrados

Os estimadores são então soluções das equações
normais:
que simplificando resultam em
16
Estimadores de Mínimos Quadrados

Note que a 1ª equação é a soma das demais, isto é,
as equações normais não são linearmente
independentes

Com isso, não temos uma solução única para os
parâmetros do modelo

Mas lembram-se da restrição linear do modelo?
Então é razoável aplicar o contraste

E assim obtemos a seguinte solução
17
Estimadores de Mínimos Quadrados

Exercício: De forma semelhante, mostre que no caso
do experimentos com blocos completos, cujo
modelo é
os estimadores de mínimos quadrados são dados
por
18
Alguns Aspectos sobre os Blocos

O modelo linear que usamos para o
desenho de blocos aleatorizado é
completamente additivo

Ou seja, os blocos e os tratamentos tem
um efeito additivo na v.a. resposta
19
Alguns Aspectos sobre os Blocos

Em algums situações o modelo aditivo
não é adequado.

Pode haver interações entre os blocos e
os tratamentos: lotes e fórmulas químicas
20
Alguns Aspectos sobre os Blocos

Pode ocorrer quando a resposta foi
medida na escala errada
E(yij ) = mt i b j
ln E(yij ) = ln(m )+ ln(t i )+ ln(b j )

Podemos usar modelos fatoriais
21
Alguns Aspectos sobre os Blocos

Como escolher o tamanho amostral?

Como escolher quantos blocos?
22
Alguns Aspectos sobre os Blocos

Como escolher o tamanho amostral?

Como escolher quantos blocos?

Note que quanto mais blocos aumenta o
número de réplicas e o número de graus
de liberdade do erro, fazendo o desenho
mais sensitivo.
23
Alguns Aspectos sobre os Blocos

Podemos escolher através das curvas
características (operacionais) usando
a
F =
2
båt
2
i
i=1
as
2
24
Alguns Aspectos sobre os Blocos
Eficiência
 Vamos estimar a eficiência do desenho
com blocos contra sem blocos



Uma maneira é usar
(glb +1)(glr +1) s
R=
(glb + 3)(glr +1) s
2
r
2
b
onde s r2 e s b2 são as variâncias dos erros
do modelo básico e com blocos, respect.
25
Alguns Aspectos sobre os Blocos

Valores faltantes!

As vezes uma observação em um dos
blocos está faltando

Quais poderiam ser os motivos?
26
Alguns Aspectos sobre os Blocos

Valores faltantes!

Introduz um problema: não temos mais
tratamentos ortogonais aos blocos

Isto é, nem todo tratamento ocorre em
todo bloco.

Aproximação ou análise exata(no futuro)
27
Alguns Aspectos sobre os Blocos

Valores faltantes!

Suponha que a resposta ydo
ij tratamento i
bloco j está faltando. Denote ela por x

Seja
y total com a obs. faltante,
y total do trat. com a obs faltante
'
o
..
o'
i.
'
.oj
y
total do bloco com a obs faltante
28
Alguns Aspectos sobre os Blocos

Valores faltantes!

Queremos estimar x tal que tenha uma
contribuição mínima a soma dos quadrados
dos erros. Já que
a
SSE = å
i=1
b
å(y
ij
- yi. - y. j + y.. )
2
j=1
29
Alguns Aspectos sobre os Blocos

Valores faltantes!

Equivalente à
a
SSE = å
i=1
Ou
b
a
1
åy - b å
j=1
i=1
2
ij
æ b ö 1 b æ a ö2 1 æ a
ççå yij ÷÷ - å çå yij ÷ + ççå
è j=1 ø a j=1 è i=1 ø ab è i=1
2
ö
å yij ÷÷
ø
j=1
b
2
1
1
1
SSE = x 2 - (yi.' + x)2 - (y.' j + x)2 + - (y..' + x)2 + Re sto
b
a
ab
Derivar em x!
30
Alguns Aspectos sobre os Blocos

Valores faltantes!

Derivando em x temos
ay + by - y
x=
(a -1)(b -1)
'
i.
'
.j
'
..
31
Exercícios
Exercícios do Montgomery, 6ª edição
Capítulo 3:
3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-16(a-f),
3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32
Capítulo 4:
4-1, 4-5(b), 4-17, 4-18
32