MMC44 - Modelagem e Simulação Computacional em
Recursos Hídricos
Hidrologia
Infiltração e Água no Solo
Prof. Benedito C. Silva
IRN / UNIFEI
Adaptado de Walter Collischonn
Água do solo x água
subterrânea
Infiltração
Poros ocupados por ar e água
(água do solo)
Zona não saturada
Percolação
Zona saturada
Camada impermeável
Poros ocupados por água
(água subterrânea)
Água do solo
x
água subterrânea
Composição dos solos
• O solo é uma mistura
de materiais sólidos,
líquidos e gasosos.
• Na mistura também
encontram-se muitos
organismos
vivos
(bactérias,
fungos,
raízes,
insetos,
vermes)
Composição dos solos
Composição do solo
Parte sólida do solo
• Normalmente analisada do ponto de vista do
diâmetro das partículas que compõe o solo:
Diâmetro (mm)
Classe
0,0002 a 0,002
Argila
0,002 a 0,02
Silte
0,02 a 0,2
Areia fina
0,2 a 2,0
Areia grossa
Textura do solo
Textura do solo
Textura (português)
Textura (inglês)
Arenosa
areia franca
Sand
Loamy sand
franco arenosa
Sandy
loam
Silt loam
Loam
franco siltosa
franca
franco argilo arenosa
franco argilo siltosa
Sandy clay
loam
Silty clay loam
franco argilosa
Clay loam
argilo arenosa
Sandy clay
argilo siltosa
Silty clay
argila
Clay
Siltosa
Silt
Armazenamento de água no
solo
Conceitos importantes para entender o
armazenamento de água no solo:
• Porosidade
• Capilaridade
• Retenção de água no solo
• Potencial mátrico
Porosidade
• Volume total do solo = volume de sólidos + volume de poros
VT  VS  VP
• Porosidade = volume de poros / volume total
VP

VT
Porosidade
Valores típicos:
• Areia: 0,37 a 0,50
• Argila: 0,43 a 0,52
Armazenamento
• Conteúdo de água no solo em volume
VA
q
VT
• Na situação em que todos os poros do solo estão ocupados pela
água o solo é denominado saturado. Neste caso, o valor do
conteúdo de água no solo é máximo, e q é igual a . Portanto, o
máximo conteúdo de água no solo é igual à porosidade.
q 
Solo seco
• Na condição de solo completamente seco todos os poros
estariam ocupados pelo ar, e o valor de q seria zero.
• Entretanto, isto raramente acontece, porque a água é
fortemente atraída pelas partículas e pelos poros dos solos,
devido as forças de adsorção e capilaridade.
Retenção de umidade no solo
• O solo pode ser entendido de uma forma simplificada como
uma esponja, ou papel de filtro, que tem capacidade de reter
a água.
• Há duas forças principais que atuam no sentido de reter a
água nos poros dos solos:
• as forças capilares
• as forças de adsorção
Capilaridade
• As forças capilares ocorrem como consequência da tensão
superficial da água interagindo com as paredes dos poros.
Tubos capilares exercem sucção por causa da tensão superficial
Poros do solo podem exercer o mesmo efeito
Quanto menor o diâmetro dos poros, maior é o efeito
Granulometria mais fina = poros menores = mais capilaridade
Adsorção
• As forças de adsorção estão relacionadas a cargas eletrostáticas
atuando entre as partículas do solo e as moléculas de água, ou de
íons presentes na água, e resultam na manutenção de um filme
muito fino de água sobre as partículas do solo.
Tensão mátrica
• As duas forças (capilar e adsorção) atuam no sentido de reter
a água no solo e é praticamente impossível avaliar
separadamente cada uma delas.
• Assim, normalmente se refere à força de retenção de água no
solo como a força mátrica, ou potencial mátrico de um solo.
• Tem unidades de pressão (N/m2)
Medição de tensão
• Tensiômetro
Bulbo cerâmico
Curva de retenção de umidade
• Para uma amostra de solo o potencial
mátrico normalmente varia com o
conteúdo de água do solo, e esta
relação é, normalmente, determinada
de forma experimental.
• Solos mais secos apresentam um
potencial mátrico maior (exercem maior
sucção sobre a água) do que solos mais
úmidos.
• A função que relaciona as duas variáveis
é a curva de retenção de umidade, ou
curva de retenção de água no solo
Umidade do solo
• Umidade do solo varia ao longo do tempo.
• Para retirar a umidade do solo:
• Por gravidade
• Por sucção
Hornberger et al., 1998 – Elements of physical hydrology
Umidade do solo
• Saturação: condição em
que todos os poros estão
ocupados por água
• Capacidade de campo:
Conteúdo de umidade no
solo sujeito à força da
gravidade
• Ponto de murcha permanente: umidade do solo para
a qual as plantas não conseguem mais retirar água e
morrem
Condutividade de água em
condição de saturação
• Movimento da água em meios porosos
Experimento de Darcy
Experimento de Darcy
h1  h2
h
Q  K  A
 K  A
L
x
K = propriedade do material = condutividade hidráulica saturada
Fluxo da água em meios
porosos saturados
• Q = fluxo de água (m3/s)
• A = área (m2)
Q  KA
• H = carga (m)
• L = distância (m)
• K = condutividade hidráulica (m/s)
H
L
Condutividade de água em
condição de saturação
• Solo arenoso: 23,5 cm/hora
• Solo siltoso: 1,32 cm/hora
• Solo argiloso: 0,06 cm/hora
Movimento no meio não
saturado
• A equação de Darcy foi desenvolvida para
fluxos de água em meios porosos saturados.
• Nos solos, entretanto, a situação mais comum
é que o meio não está saturado.
• Neste caso, a condutividade hidráulica é uma
função do conteúdo de água no solo.
• Além disso, a carga hidráulica deve ser
expressa como uma combinação do potencial
gravitacional e potencial mátrico.
• A equação de Darcy com estas adaptações é,
por vezes, denominada equação de DarcyBuckingham.
saturado
qK
h
x
não saturado
q   K q  
   z 
z
Movimento no meio não
saturado
• A condutividade hidráulica em condições não
saturadas é menor do que a condutividade
hidráulica saturada
A equação de Richards
• Combinando a equação de Darcy
h
qK
x
• Com a equação da continuidade para um pequeno volume de
solo:
q q

0
t z
• Pode-se chegar à equação de Richards:
q
 
 

  K q   
 1
t z 
 z

• Que descreve o fluxo da água em meios porosos não
saturados.
Equação de Richards
q
 
 

  K q   
 1
t z 
 z

• Fortemente não linear
• Soluções analíticas apenas em casos simplificados
• Normalmente são usadas soluções numéricas
Exemplo solução numérica da
equação de Richards
•
•
•
•
•
•
Baseado em trabalho de Rodrigo C. D. Paiva
Coluna de solo de 2 m
Cond Contorno base = saturado
Cond. Contorno topo = fluxo de infiltração
Evapotranspiração nos primeiros 50 cm
Textura argilosa
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0.37
0.38
0.39
0.1
0.2
0.4
0.41
0.42
0.43
Umidade
0.44
0.45
0.46
0.47
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0
0.3
0.4
0.5
q
20,10 h
0.6
0.7
0.8
0.9
1
10
5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0.37
0.38
0.39
0.1
0.2
0.4
0.41
0.42
0.43
Umidade
0.44
0.45
0.46
0.47
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0
0.3
0.4
0.5
q
39,19.5 h
0.6
0.7
0.8
0.9
1
10
5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0.37
0.38
0.39
0.1
0.2
0.4
0.41
0.42
0.43
Umidade
0.44
0.45
0.46
0.47
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0
0.3
0.4
0.5
q
52,26 h
0.6
0.7
0.8
0.9
1
10
5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0.37
0.38
0.39
0.1
0.2
0.4
0.41
0.42
0.43
Umidade
0.44
0.45
0.46
0.47
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0
0.3
0.4
0.5
q
76,38 h
0.6
0.7
0.8
0.9
1
10
5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0.37
0.38
0.39
0.1
0.2
0.4
0.41
0.42
0.43
Umidade
0.44
0.45
0.46
0.47
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0
0.3
0.4
0.5
0.6
q
305,152.5 h
0.7
0.8
0.9
1
10
5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
Valores negativos = fluxo ascendente
0.42
0.43
Umidade
0.44
0.45
0.46
0.47
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
q
348,174 h
0.6
0.7
0.8
0.9
1
10
5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
0.43
Umidade
Valores negativos = fluxo ascendente
0.44
0.45
0.46
0.47
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
q
413,206.5 h
0.7
0.8
0.9
1
10
5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
0.43
Umidade
Valores negativos = fluxo ascendente
0.44
0.45
0.46
0.47
0
z (m)
-50
-100
-150
-200
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
q
569,284.5 h
0.7
0.8
0.9
1
10
5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Equação de Richards
• Muito interessante
• Difícil solução, mesmo usando métodos
numéricos
• Solos reais não são meios porosos perfeitos
• Macro-porosidades, heterogeneidade das
camadas, etc.
Balanço hídrico no solo
V
V  P  Q  G  ET
• V = variação de volume de
água armazenada no solo;
• P = precipitação;
• Q = escoamento superficial;
• G = percolação;
• ET = evapotranspiração
Exercício
Considere uma camada de solo de 1 m de
profundidade cujo conteúdo de umidade é 35% na
capacidade de campo e de 12% na condição de ponto
de murcha permanente. Quantos dias a umidade do
solo poderia sustentar a evapotranspiração constante
de 7 mm por dia de uma determinada cultura?
Infiltração de água no solo
• Uma chuva que atinge um solo
inicialmente seco será inicialmente
absorvida totalmente pelo solo,
enquanto o solo apresenta muitos
poros vazios (com ar).
• Nesta condição, o potencial mátrico
do solo é muito alto, e a água da
chuva é absorvida muito
rapidamente.
• À medida que os poros vão sendo
preenchidos, a infiltração tende a
diminuir, estando limitada pela
capacidade do solo de transferir a
água para as camadas mais
profundas.
Taxa de infiltração e capacidade de infiltração
• A taxa de infiltração é a quantidade de água que penetra no
solo ao longo do tempo.
• Normalmente a taxa de infiltração é expressa em unidades de
mm.hora-1.
• A máxima taxa de infiltração que um solo pode ter é definida
como sua capacidade de infiltração.
• A capacidade de infiltração varia ao longo do tempo.
Medição da capacidade de Infiltração
Anéis concêntricos
Desenho
Capacidade de infiltração
• A capacidade de infiltração de
água no solo varia de acordo
com a umidade do solo.
• Em solos secos a capacidade
de infiltração é, normalmente,
bastante alta.
• À medida em que o solo vai
ficando úmido, no entanto, a
capacidade de infiltração
diminui.
Modelo de capacidade de infiltração de
Horton
f  fc   fo  fc e t
fo = 50 mm/hora
fc = 4 mm/hora
Equação de Horton
f  fc   fo  fc e
 t
• f = taxa de infiltração (mm/hora)
• fc = taxa de infiltração em condição de saturação
(mm/hora)
• fo = taxa de infiltração inicial (mm/hora)
• t = tempo (minutos)
•  = parâmetro que deve ser determinado a partir de
medições no campo (1/minuto)
Infiltração conforme o tipo de solo
Exercício
Uma camada de solo argiloso, cuja capacidade de
infiltração na condição de saturação é de 4 mm.hora-1,
está saturado e recebendo chuva com intensidade de
27 mm.hora-1. Qual é o escoamento (litros por
segundo) que está sendo gerado em uma área de 10m2
deste solo, considerando que está saturado?
Exercício
Uma medição de infiltração
utilizando o método dos anéis
concêntricos apresentou o
seguinte resultado. Utilize estes
dados
para
estimar
os
parâmetros fc, fo e  da
equação de Horton.
Tempo (min)
Total Infiltrado (mm)
0
0,0
1
41,5
2
60,4
3
70,4
4
76,0
5
82,6
6
90,8
7
97,1
8
104,0
9
111,7
10
115,1
15
138,1
20
163,3
24
180,8
Modelo de capacidade de
infiltração de Green e Ampt
• Esta equação está baseada
numa visão simplificada do
processo de infiltração de
água no solo.
• O processo de infiltração
idealizado por Green e Ampt é
de uma frente de molhamento
abrupta.
• A frente de molhamento
abrupta separa o solo
saturado (acima) do solo
relativamente seco abaixo.
Green e Ampt
• O modelo de infiltração
de Green e Ampt
descreve o processo de
avanço da frente de
molhamento ao longo do
tempo.
• A profundidade L da
frente é relacionada ao
tempo do processo de
infiltração t.
• O solo tem uma
porosidade  e um
conteúdo de umidade
inicial qi.
Green e Ampt
• Considerando válido o
avanço idealizado da frente
abrupta de molhamento, a
lâmina total infiltrada F
pode ser relacionada à
profundidade da frente L
pela equação:
Ft   L    q   L  q
Green e Ampt
Ft   L    q   L  q
• onde F(t) é a lâmina total
infiltrada desde o início do
processo (mm); L é a
profundidade atingida pela
frente de molhamento
(mm);  é a porosidade do
solo; q é o conteúdo de
umidade do solo no início do
processo de infiltração
(adimensional); q é o
déficit inicial de umidade do
solo em relação à saturação.
Green e Ampt
• A mesma frente de
molhamento pode ser
analisada considerando
válida uma aproximação por
diferenças finitas da lei de
Darcy, aplicada desde a
superfície do solo até a
frente de molhamento:
f t 
h
K
z
sendo
h    L
  L 
f

K



então t 
 L 
Onde f é a taxa de infiltração (ou derivada de dF/dt)
Green e Ampt
• Combinando
• Com
  L 
f t   K  

L


Ft   L    q   L  q
• Chega-se a:
f t 
• Considerando que
f=dF/dt
   q  F 
 K 

F


dF
   q  F 
 K 

dt
F


Green e Ampt
• A solução da equação diferencial:
dF
   q  F 
 K 

dt
F


• É:
Ft  

  K  t
Ft     q ln 1 
   q 
Green e Ampt
•
•
•
•
onde
 é o potencial mátrico (mm);
t é o tempo (horas);
K é a condutividade hidráulica
(mm.hora-1);
• F(t) é a lâmina total infiltrada
desde o início do processo
(mm);
• q é o déficit inicial de
umidade do solo em relação à
saturação (adimensional).
Ft  

  K  t
Ft     q ln 1 
   q 
Considerando conhecidos os valores de , K, t e q a equação acima pode ser resolvida
iterativamente por um método numérico como o método de Newton.
Alternativamente pode ser usado o Solver do Excel ou um método de busca de raiz
de uma calculadora.
Green e Ampt
Encontrado o valor de F(t), pela equação anterior, o valor de f(t)
pode ser obtido por:
   q  F 
f t   K  

F


Idealmente, os valores de  e K deveriam ser obtidos por ensaios de
campo no local que se deseja aplicar o modelo de Green Ampt.
Entretanto, isso nem sempre é possível. Alguns valores, obtidos a partir
de análises de diferentes solos dos EUA pode ser utilizados como base,
conforme tabela a seguir.
Parâmetros para Green e Ampt
Textura
Textura
(português)
Textura (inglês)
Arenosa
areia franca
Sand
Loamy
sand
franco arenosa
Sandy
loam
franco siltosa
Silt loam
franca
Loam
franco argilo
arenosa
Sandy clay
loam
franco argilo
siltosa
Silty clay
loam
franco argilosa
Clay
loam
argilo arenosa
Sandy
clay
argilo siltosa
Silty
clay
argila
Clay
Siltosa
Silt
Porosidade - Porosidade

efetiva - qe
Potencial
mátrico - 
mm)
Arenosa
Areia Franca
Franco
Arenosa
Franca
Franco
Siltosa
Franco
argilo
arenosa
Franco
argilosa
Franco
argilo siltosa
Argilo
arenosa
Argilo
siltosa
Argilosa
Condutivida
de hidráulica
-K
0,437
0,437
0,453
0,417
0,401
0,412
49,5
61,3
110,1
(mm.hora-1)
117,8
29,9
10,9
0,463
0,501
0,434
0,486
88,9
166,8
3,4
6,5
0,398
0,330
218,5
1,5
0,464
0,309
208,8
1,0
0,471
0,432
273,0
1,0
0,430
0,321
239,0
0,6
0,479
0,423
292,2
0,5
0,475
0,385
316,3
0,3
Green e Ampt
Parâmetros para Green e Ampt
Textura
Textura
(português)
Textura (inglês)
Arenosa
areia franca
Sand
Loamy
sand
franco arenosa
Sandy
loam
franco siltosa
Silt loam
franca
Loam
franco argilo
arenosa
Sandy clay
loam
franco argilo
siltosa
Silty clay
loam
franco argilosa
Clay
loam
argilo arenosa
Sandy
clay
argilo siltosa
Silty
clay
argila
Clay
Siltosa
Silt
Porosidade - Porosidade

efetiva - qe
Potencial
mátrico - 
mm)
Arenosa
Areia Franca
Franco
Arenosa
Franca
Franco
Siltosa
Franco
argilo
arenosa
Franco
argilosa
Franco
argilo siltosa
Argilo
arenosa
Argilo
siltosa
Argilosa
Condutivida
de hidráulica
-K
0,437
0,437
0,453
0,417
0,401
0,412
(mm.hora-1)
49,5
117,8
61,3
29,9
110,1
10,9
0,463
0,501
0,434
0,486
88,9
166,8
3,4
6,5
0,398
0,330
218,5
1,5
0,464
0,309
208,8
1,0
0,471
0,432
273,0
1,0
0,430
0,321
239,0
0,6
0,479
0,423
292,2
0,5
0,475
0,385
316,3
0,3
Tabela 7.2
Green e Ampt e método de
Newton
•
•
•
•
onde
 é o potencial mátrico (mm);
t é o tempo (horas);
K é a condutividade hidráulica
(mm.hora-1);
• F(t) é a lâmina total infiltrada
desde o início do processo (mm);
• q é o déficit inicial de umidade
do solo em relação à saturação
(adimensional).
Ft  

  K  t
Ft     q ln 1 
   q 
Considerando conhecidos os valores de , K, t e q a equação acima
pode ser resolvida iterativamente por um método numérico como o método de Newton.
Alternativamente pode ser usado o Solver do Excel ou um método de busca de raiz
de uma calculadora.
Método de Newton-Raphson
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
F(x)
x
Tentativa inicial
Método de Newton-Raphson
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
F(x)
derivada
Tentativa inicial
x
Método de Newton-Raphson
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
F(x)
derivada
Tentativa inicial
x
Método de Newton-Raphson
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
F(x)
x
derivada
Método de Newton-Raphson
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
F(x)
x
Método de Newton-Raphson
• Por série de Taylor
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  h 
se
h  xi 1  xi
f ( xi ) 2 f ( xi ) 3
h 
 h  ...  Rn
2!
3!
então
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  xi 1  xi 
Método de Newton-Raphson
• Por série de Taylor
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  xi 1  xi 
Supondo que
f ( xi 1 )  0
f ( xi )
xi 1  xi 
f ( xi )
(xi+1 é a raiz)
Método das Secantes
• Um possível problema do
método de NewtonRaphson, especialmente em
recursos hídricos, é que
pode ser difícil estimar a
derivada da função.
• Neste caso é possível utilizar
uma aproximação numérica
para a derivada, gerando o
método das secantes.
f ( xi ) 
f ( xi 1 )  f ( xi )
xi1  xi 
Método das Secantes
f ( xi 1 )  f ( xi )
f ( xi ) 
xi1  xi 
f(x)
f ( xi )  xi 1  xi 
xi 1  xi 
f ( xi 1 )  f ( xi )
x
Tentativa inicial
secante
Método das Secantes
f(x)
f ( xi )  xi 1  xi 
xi 1  xi 
f ( xi 1 )  f ( xi )
x
Tentativa inicial
secante
Exemplo Green e Ampt
• Considere um solo de textura argilo-arenosa. Calcule a
capacidade de infiltração usando o modelo de Green e Ampt
em incrementos de 6 minutos até uma duração total de 2
horas. Considere que o solo encontra-se com uma saturação
relativa de 25%.
0,06
   q  F 
f t   K  

F


(Eq. 7.13)
Exemplo Green e Ampt