Contagem
e
Probabilidade
Contagem
Processo para se encontrar o número de
elementos de um conjunto ou das possíveis
respostas em uma situação problema.
Sendo usado para esse fim um raciocínio
matemático chamado Princípio Multiplicativo.
Princípio Multiplicativo
Se uma escolha E1 possui n opções,
uma escolha E2 m opções e assim
sucessivamente até uma escolha Ek
com p opções. Temos que o número
total(contagem) de maneiras de
fazermos as escolhas E1, E2,..., Ek ,
será o produto das opções em cada
escolha, ou seja, n.m.....p.
Probabilidade
n(E)
n de casos favoráveis
P(E) 

n() n total de casos possíveis
Onde E é o evento e  o espaço amostral
Vamos aos exemplos!
Exemplo 1:
Maria vai sair com suas amigas e, para
escolher a roupa que usará, separou 2 saias e
3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela
pode se arrumar.
E1
E2
Fazendo a contagem pelo
princípio multiplicativo
E1
2 .
saias
E2
3 = 6
blusas
6 maneiras de fazer as escolhas
E1 e E2 , ou seja, 6 possibilidades
diferentes de se vestir.
Exemplo 2:
Um restaurante prepara 4 pratos quentes
(frango, peixe, carne assada, grelhado),
2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas
(sorvete, romeu e julieta, frutas). De quantas
maneiras diferentes um freguês pode se
servir consumindo um prato quente, uma
salada e uma sobremesa?
E1
E2
E3
Fazendo a contagem pelo
princípio multiplicativo
E1
4 .
p. q.
E2
2 .
sal.
E3
3 = 24
Sobr.
24 maneiras de fazer as escolhas
E1, E2 e E3 , ou seja, 24 modos do
cliente se servir com o cardápio.
Exemplo 3:
Se o restaurante do exemplo anterior
oferecesse dois preços diferentes, sendo
mais baratas as opções que incluíssem frango
ou grelhado com salada verde, de
quantas maneiras você poderia se alimentar
pagando menos?
E1
E2
E3
Fazendo a contagem pelo
princípio multiplicativo
E1
2 .
p. q.
E2
1 .
sal.
E3
3 =
6
Sobr.
6 maneiras de fazer as escolhas
E1, E2 e E3 , ou seja, 6 modos do
cliente se servir com o cardápio.
Qual é a probabilidade de nesse
restaurante uma pessoa fazer
uma refeição barata ?
Qual é a probabilidade de nesse
restaurante uma pessoa fazer
uma refeição barata ?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
Qual é a probabilidade de nesse
restaurante uma pessoa fazer
uma refeição barata ?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
6
P(E) 
 0,25  25%
24
Exemplo 4:
De quantas maneiras você pode
ir da cidade A para a cidade X?
A para X
Fazendo a contagem pelo
princípio multiplicativo
E1
5 .
AaY
E2
2 .
YaB
E3
4 =
40
BaX
40 maneiras de fazer as escolhas
E1, E2 e E3 , ou seja, 40 caminhos
diferentes de A para X.
Exemplo 5:
De quantas maneiras você pode
ir da cidade A para a cidade Y?
A para Y
Fazendo a contagem pelo
princípio multiplicativo
E1
3 .
AaX
E2
4 .
XaB
E3
2 =
24
BaY
24 maneiras de fazer as escolhas
E1, E2 e E3 , ou seja, 24 caminhos
diferentes de A para Y.
Exemplo 6:
De quantas maneiras você pode
ir da cidade B para a cidade Y?
B para Y
Fazendo a contagem pelo
princípio multiplicativo
E1
4 .
BaX
E2
3 .
XaA
E3
5 =
60
AaY
60 maneiras de fazer as escolhas
E1, E2 e E3 , ou seja, 60 caminhos
diferentes de B para Y.
Exemplo 7:
De quantas maneiras você pode
ir da cidade B para a cidade X?
B para X
Fazendo a contagem pelo
princípio multiplicativo
E1
2 .
BaY
E2
5 .
YaA
E3
3 =
30
AaX
30 maneiras de fazer as escolhas
E1, E2 e E3 , ou seja, 30 caminhos
diferentes de B para X.
Exemplo 8:
De quantas maneiras você pode
ir da cidade A para a cidade B?
A para B
Fazendo a contagem pelo
princípio multiplicativo
E1 E2 ou E3 E4
3 . 4 + 5 . 2=
AaX
XaB
AaY
22
YaB
22 maneiras de fazer as escolhas
E1 e E2 ou E3 e E4 , ou seja, 22
caminhos diferentes de A para B.
Qual é a probabilidade de irmos
da cidade A para X sabendo que
algumas estradas estão
fechadas ?
A para X
Fazendo a contagem pelo
princípio multiplicativo
E1
3 .
AaY
E2
1 .
YaB
E3
2 =
6
BaX
6 maneiras de fazer as escolhas
E1, E2 e E3 , ou seja, 6 caminhos
diferentes de A para X.
Qual é a probabilidade de irmos
da cidade A para X sabendo que
algumas estradas estão
fechadas ?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
Qual é a probabilidade de irmos
da cidade A para X sabendo que
algumas estradas estão
fechadas ?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
6
P(E) 
 0,15  15%
40
Exemplo 9:
Considerando números
formados com três digitos e
usando os algarismos
0,2,3,5,6,7 e 9 responda:
a) Quantos nºs de três dígitos podemos formar?
b) Quantos são impares ?
c) Quantos são impares distintos ?
d) Quantos são pares ?
e) Quantos são pares distintos ?
Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9
a) Quantos nºs de três dígitos podemos formar?
Ex: 567, 336, 999, 432, 905, 562, 037, 579, ...
E1
6 .
E2
7
.
E3
7 = 294
menos 0
294 nºs de três dígitos.
Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9
b) Quantos são impares ?
Ex: 567, 337, 992, 439, 905, 560, 237, 579, ...
E2
6 .
menos 0
E3
7
.
E1
4 = 168
3,5,7,9
168 nºs impares de três dígitos.
Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9
c) Quantos são impares distintos ?
Ex: 567, 337, 957, 539, 905, 565, 237, 579, ...
E2
5 .
menos 0 e E1
E3
5
.
E1
4 = 100
3,5,7,9
100 nºs impares de três dígitos distintos.
Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9
d) Quantos são pares ?
Ex: 567, 332, 956, 536, 902, 562, 236, 579, ...
E2
E3
6 . 7 .
E1 ou E2
E3
E1
1 + 6 . 7 . 2 = 126
menos 0
0
menos 0
2,6
126 nºs pares de três dígitos.
Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9
e) Quantos são pares distintos ?
Ex: 567, 332, 956, 536, 902, 562, 226, 576, ...
E2
E3
6 . 5 .
menos 0
E1 ou E2
E3
E1
1 + 5 . 5 . 2 = 80
0 menos 0 e E1
2,6
80 nºs pares de três dígitos distintos.
Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9
Impar
Par
Total
Ambos
168
126
294
Distinto
100
80
180
Repetido
68
46
114
Se todos os números formados
estão em uma urna qual é a
probabilidade de escolhermos
um número impar distinto ?
Se todos os números formados
estão em uma urna qual é a
probabilidade de escolhermos
um número impar distinto ?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
Se todos os números formados
estão em uma urna qual é a
probabilidade de escolhermos
um número impar distinto ?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
100
P(E) 
 0,34  34%
294
Exemplo 10:
Um professor tem 15 alunos e
deseja fazer uma fila com 4
alunos. Quantas filas
diferentes ele pode montar?
E1
E2
E3
E4
15 . 14 . 13 . 12 = 32760
32760 filas diferentes.
Exemplo 11:
Em um país são realizadas eleições para
os cargos: presidente, vice-presidente e
governador. Vinte candidatos, entre eles
Pedro, disputam os cargos.
a) Quantos resultados diferentes pode
ter essa eleição?
b) Quantos resultados apresentam
Pedro como vice?
a) Quantos resultados diferentes pode
ter essa eleição?
E1
E2
E3
20 . 19 . 18
presi. vice
gov.
= 6840
6840 resultados diferentes.
b) Quantos resultados apresentam
Pedro como vice?
E2
E1
E3
19 . 1 . 18 = 342
presi. vice
gov.
342 resultados com Pedro como vice.
Qual é a probabilidade de Pedro
ganhar como vice ?
Qual é a probabilidade de Pedro
ganhar como vice ?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
Qual é a probabilidade de Pedro
ganhar como vice ?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
342
P(E) 
 0,05  5%
6840
Exemplo 12:
Quinze seleções disputam o torneio
olímpico de vôlei masculino, entre
elas Brasil e França.
a) Quantos resultados diferentes pode
ter esse torneio?
b) Em quantos resultados o Brasil
recebe medalha, mas a França
não?
a) Quantos resultados diferentes pode
ter esse torneio?
E1
E2
E3
15 . 14 . 13 = 2730
ouro prata bronze
2730 resultados diferentes.
b) Em quantos resultados o Brasil recebe
medalha, mas a França não?
E1
E2
E3
1 . 13 . 12 = 156
ou Brasil
+
13 . 1
ou
. 12 = 156
Brasil
13 . 12
+
. 1
Brasil
ouro
prata
bronze
= 156
468 resultados
Qual é a probabilidade do Brasil
ganhar medalha e a França não?
Qual é a probabilidade do Brasil
ganhar medalha e a França não?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
Qual é a probabilidade do Brasil
ganhar medalha e a França não?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
468
P(E) 
 0,17  17%
2730
Você sabe o que é um anagrama?
Anagrama é uma palavra
formada pela transposição
(troca) de letras de outra
palavra.
Exemplo
ploexem
mexeplo
pemexol
loepemx
xopemel
.
.
.
.
.
.
Exemplo 13:
Considerando os anagramas da
palavra vestibular, responda:
a) Quantos são?
b) Quantos começam por consoante e terminam
por vogal?
c) Quantos apresentam as letras VESTI juntas
nessa ordem ?
d) Quantos começam por E, a quarta letra é T e
terminam por consoante ?
Vestibular
a) Quantos são?
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10
10.9 .8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 =
= 3628800 anagramas.
b) Quantos começam por consoante e
terminam por vogal?
E1 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E2
6. 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 4 =
cons.
v,s,t,b,l,r
vog.
e,i,u,a
= 967680 anagramas.
c) Quantos apresentam as letras VESTI
juntas nessa ordem ?
VESTI B U L A R
E1
E2 E3 E4 E5 E6
6
. 5. 4. 3. 2. 1 =
VESTI
= 720 anagramas.
d) Quantos começam por E, a quarta
letra é T e terminam por consoante ?
E1 E4 E5 E2 E6 E7 E8 E9 E10 E3
1. 7 . 6. 1. 5. 4. 3. 2. 1. 5 =
E
T
= 25200 anagramas.
cons.
v,s,t,b,l,r
Exemplo 14:
A senha de um computador
é formada por 5 letras, escolhidas
entre as 26 do alfabeto.
a) Quantas senhas podemos formar ?
b) Quantas senhas de letras distintas
podem ser formadas começando e
terminando por consoante ?
a) Quantas senhas distintas podemos
formar?
E1
E2
E3
E4
E5
26 . 26 . 26 . 26 . 26 =
= 11881376 senhas.
b) Quantas senhas de letras distintas
podem ser formadas começando e
terminando por consoante ?
E1
E3
E4
E5
E2
21 . 24 . 23 . 22 . 20 =
cons.
= 5100480 senhas.
cons.
Qual é a probabilidade de um
bebê brincando com um teclado
digitar uma senha com letras
distintas começando e
terminando por consoante?
Qual é a probabilidade de um
bebê brincando com um teclado
digitar uma senha com letras
distintas começando e
terminando por consoante?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
Qual é a probabilidade de um
bebê brincando com um teclado
digitar uma senha com letras
distintas começando e
terminando por consoante?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
5100480
P(E) 
 0,43  43%
11881376
Exemplo 15:
Quantos carros podem
circular em um país em que as
placas são formadas por 2 letras
seguidas de 4 dígitos ?
E1
E2
E3
E4
E5
E6
26 . 26 .-. 10 . 10 . 10 . 10 =
L
L
N
N
= 6760000 de placas.
N
N
Qual é a probabilidade de
minha placa conter consoantes
distintas com todos os nºs
impares e distintos?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
E1
E2
21 . 20 .-.
L
L
E3
E4
5 . 4
N
N
= 50400 de placas.
E5
E6
. 3 . 2=
N
N
Qual é a probabilidade de
minha placa conter consoantes
distintas com todos os nºs
impares e distintos?
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
50400
P(E) 
 0,007  0,7%
6760000
A questão da ordem
Todo problema de
contagem deve
decidir se será...
Com ordem
A ordem é importante
e produz resultados
diferentes
Ou
Sem ordem
A ordem não é
importante e produz
resultados repetidos
Então como saber se é
Com ordem
sem ordem
ou
Quando as escolhas são feitas em
conjuntos distintos por gênero dos
elementos (opções), basta-se apenas
aplicar o Princípio Multiplicativo sem
preocupação com a ordem!
Como foi feito no caso das vestis de Maria ou da
refeição no restaurante.
Mas, quando as escolhas são feitas em conjuntos
semelhantes pelo gênero dos elementos (opções), é
necessário :
- aplicar o Princípio Multiplicativo no caso do
problema ser com ordem. (Arranjo)
Ou
- aplicar o Princípio Multiplicativo dividido pela
Permutação do nº de escolhas no caso do problema
ser sem ordem. (Combinação)
Exemplo de permutação: P5 = 5.4.3.2.1 = 120
Como foi feito nos casos dos anagramas, competições ou na
formação de nºs com dígitos. Todos casos de arranjo.
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Quantos grupos de 4 alunos podemos formar
em uma sala de 30 alunos?
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Quantos grupos de 4 alunos podemos formar
em uma sala de 30 alunos?
30 . 29 . 28 . 27
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Quantos grupos de 4 alunos podemos formar
em uma sala de 30 alunos?
30 . 29 . 28 . 27
_________________________
4.3.2.1
=
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Quantos grupos de 4 alunos podemos formar
em uma sala de 30 alunos?
30 . 29 . 28 . 27
_________________________
4.3.2.1
657720
= ______________ =
24
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Quantos grupos de 4 alunos podemos formar
em uma sala de 30 alunos?
30 . 29 . 28 . 27
_________________________
4.3.2.1
657720
= ______________ = 27405
24
grupos
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba,
laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga,
pêssego e amora, calcule quantos sucos com
sabores diferentes pode-se preparar, usandose 5 frutas distintas.
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba,
laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga,
pêssego e amora, calcule quantos sucos com
sabores diferentes pode-se preparar, usandose 5 frutas distintas.
11 . 10 . 9 . 8 . 7
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba,
laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga,
pêssego e amora, calcule quantos sucos com
sabores diferentes pode-se preparar, usandose 5 frutas distintas.
11 . 10 . 9 . 8 . 7
_______________________
5.4.3.2.1
=
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba,
laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga,
pêssego e amora, calcule quantos sucos com
sabores diferentes pode-se preparar, usandose 5 frutas distintas.
11 . 10 . 9 . 8 . 7
_______________________
5.4.3.2.1
55440
=
______________
120
=
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja,
maçã, mamão, melão, limão, manga, pêssego e
amora, calcule quantos sucos com sabores
diferentes pode-se preparar, usando-se 5 frutas
distintas.
11 . 10 . 9 . 8 . 7
_______________________
5.4.3.2.1
55440
= ______________ = 462
120 sabores
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Qual é a probabilidade de ganhar na megasena marcando-se 3 cartões?
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Qual é a probabilidade de ganhar na mega
sena marcando-se 3 cartões?
60 . 59 . 58 . 57 . 56 . 55
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Qual é a probabilidade de ganhar na mega
sena marcando-se 3 cartões?
60 . 59 . 58 . 57 . 56 . 55
_____________________________________
6.5.4.3.2.1
=
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Qual é a probabilidade de ganhar na mega
sena marcando-se 3 cartões?
36045979200
_____________________________________
720
=
Exemplo de Combinação
(sem ordem)
Qual é a probabilidade de ganhar na mega
sena marcando-se 3 cartões?
= 50063860 resultados
Então temos:
n de casos favoráveis
P(E) 
n total de casos possíveis
3
P(E) 
 0,00000006  0,000006 %
50063860