Enem -2013
PROF. EMERSON
SABERES
 VALORES IMPORTANTES:
 LER
 INTERPRETAR
 AGIR
PORCENTAGEM
LOGARÍTMOS
LÓGICA
ESTATÍSTICA
Moda
Função no Excel ou BrOffice: MODO
 É o valor mais freqüente.
Sujeitos
Notas
2
1
3
 Exemplos:
1,1,3,3,5,7,7,7,11,13  moda 7
3,5,5,5,6,6,7,7,7,11,12  mais de uma
moda: 5,7 (bimodal).
3,5,8,11,13,18  mais de uma moda
4
3
2
1
0
2
3
4
5
6
Nota
7
Notas
1
2
1
4
1
3
3
5
3
4
1
6
2
5
1
7
1
7
3
8
1
8
1
9
1
9
1
Distribuição Bimodal
Freqüência
Freqüência
Distribuição Unimodal
Sujeitos
8
9
4
3
2
1
0
2
3
4
5
Nota
7
8
9
Relacao entre as Medidas de Tendência Central
Média  influencia de
cada amostra depende de
seu valor.
Mediana  influencia de
cada amostra depende de
sua posição.
160000
Moda
Moda  influencia de
cada amostra depende de
sua freqüência.
140000
120000
Frequência
100000
Mediana
Média
80000
Mediana e Moda  são
menos influenciadas por
valores extremos.
60000
40000
20000
0
100
Abaixo de 100
500
300
900
700
3000
1000
Renda Média Mensal (R$)
acima de 5000
5000
Medidas de Dispersão
 O quanto os dados dispersam-se em torno de um valor (média).
 Variância: Média dos quadrados dos desvios, onde desvio é a diferença
entre cada dado e a média do conjunto.
Função no Excel ou BrOffice: VAR
s2 
2
(
x

X
)

N 1
 40 / 4  10
Dados
Desvios
Quadrados dos Desvios
(X )
(X  X )
(X  X )2
0
4
6
8
7
-5
-1
1
3
2
25
1
1
9
4
X 5
(X  X )  0
(X  X )
2
 40
GEOMETRIA EUCLIDIANA
• Conceitos sobre: ponto, reta e plano.
• As propostas evidentes chamadas de axiomas ou
postulados.
Postulado 1
Existem infinitos pontos no universo.
Postulado 2
Existem infinitas retas no universo.
Postulado 3
Existem infinitos planos no universo.
Postulado 4
Existem infinitos pontos em cada reta e fora dela.
Postulado5
Por um ponto passam infinitas retas.
Postulado 6
Existem infinitos pontos dentro e fora do plano.
Postulado 7
Para determinar uma reta é necessário dois pontos
distintos.
Postulado 8
Para determinar um plano é necessário 3 pontos.
Aqui podemos utilizar o exemplo de uma cadeira
tripé.
Postulado 9
Se dois pontos distintos pertencem a um plano a reta
que passa por esses pontos pertence ao plano.
A α
B α
A r
B r
Portanto r α
FUNÇÕES
Um botânico registrou o crescimento de uma planta, em
centímetros, durante cinco meses. Os resultados estão
apresentados no gráfico a seguir.
Considerando que o eixo y
marca a altura da planta (em
centímetros) e o eixo x, o mês
em que foi feita a medida, podese afirmar que:
a) y = 1,4x.
b) y = 3 + 1,4x.
c) y - 1,4 = 3x.
d) y + 3x = 1,4.
e) y = 3x.
O crescimento futuro da população é difícil de prever, pois há muitas variáveis
em jogo, como as alterações nas taxas de natalidade e nas de mortalidade. No
entanto, algumas previsões são possíveis a partir da seguinte fórmula:
De acordo com os resultados da
Pesquisa Nacional por Amostra de
Domicílios (Pnad), do Instituto
Brasileiro de Geografia e Estatística
Sendo:
(IBGE), a população brasileira
cresceu de 187,2 milhões em 2006
para 189,2 milhões em 2007.
Se essa tendência de crescimento da
população brasileira for mantida,
podemos esperar que em 2010 o
número de brasileiros será de
aproximadamente:
a)190 milhões.
b)191,2 milhões.
c)193 milhões.
d)194,9 milhões.
e)196,1 milhões.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
a2 – a1 = a 3 – a2
TERMO GERAL
a2 = a 1 + r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
an = a1 + (n – 1).r
A soma dos vinte primeiros números pares é:
NÚMEROS PARES:
0, 2, 4, 6 ...
a20 = 0 + 19·2
P.A.
a 1= 0
S20 =
a20 = a1 + 19·r
e r=2
( a1 + a20) · 20
2
a20 = 38
S20 = ( 0 + 38 ) · 10
S20 = 380
TERMO GERAL
P.A.
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
an = a1 + (n – 1).r
P. G.
a2 = a1.q
a3 = a1.q2
a4 = a1.q3
an = a1.qn - 1
( UFSC ) Se a, b, c são termos consecutivos de uma P.A.
de razão 5 e (a + 2), b, (c - 1) são termos consecutivos de
uma P.G., então o valor de a + b + c é:
P. A .
a, b, c
P. G .
r=5
b=a+5
c = a + 10
(a + 2), b, (c - 1)
b
c 1

a2
b
a  5 a  10  1

a2
a5
(a + 5)2 = (a + 2).(a + 9)
a=7
b = a + 5 b = 12
c = a + 10 c = 17
Portanto a + b + c = 36
Um pouco mais…
• Analisando-se o Gráfico II, pode-se observar que mais de um quarto da
população brasileira possui renda baixa.
• Ainda, se considerarmos a parte da população com renda entre 0 a 5
salários mínimos, teremos mais da metade da população nesta faixa.
Considerando-se ainda que esta renda deve ser dividida com outras
despesas essenciais, observa-se a dificuldade em se adquirir o
alimento.
• Desta forma justifica-se a proposição do Debatedor 2
• O Brasil exporta parte de sua produção, pois como pode-se
observar, existe um excedente da mesma. Mas, a exportação não
é a causa majoritária da subnutrição no País. Desta forma a
proposição do Debatedor 3 se inviabiliza.
Probabilidades
Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados
relativos à distribuição de sexo e alfabetização em
habitantes de Curitiba com idade entre 20 e 24
anos.
Sexo
Alfabetizado
Total
Sim
Não
Masc.
39.577
8.672
48.249
Fem.
46.304
7.297
56.601
Total
85.881
15.969
101.850
Fonte: IBGE- Censo 1991
Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso
em Curitiba.
 : conjunto de 101.850 jovens de Curitiba, com
idade entre 20 e 24 anos.
Definimos os eventos
M: jovem sorteado é do sexo masculino;
F : jovem sorteado é do sexo feminino;
S : jovem sorteado é alfabetizado;
N : jovem sorteado não é alfabetizado.
Temos
48.249
 0,474
P(M) 
101.850
85.881

 0,843
P(S)
101.850
ir para a tabela
56.601
 0,526
P(F) 
101.850
15.969

 0,157
P(N)
101.850
Financeira
Juros
 Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a.
proporcionará, no final do 1o ano, o juro de:

8
8%.1000 
.1000  80
Notação: A taxa de juros pode
ser
100 expressa em porcentagem ( 8 %a.a.) ou
fração decimal (0,08 a.a.)
Juros Compostos

O valor dos juros de cada período é obtido pela aplicação da taxa de juros sobre
o Saldo existente no início período:

O Mercado Financeiro segue todo ele a lei de juros compostos. Exemplo: Qual o
montante produzido em 3 meses a uma taxa de 20% a.m., no regime de juros
compostos, a partir de um capital inicial de R$ 10.000,00?
Período
Juros
Montante
0
0
10.000
1
2.000
12.000
2
2.400
14.400
3
2.880
17.280
........
................
............
n
j
10.000 ( 1+0,2)n
Neste caso,
M
P
(1  i )n
M  P.(1  i)
n
e
M = 10.000,00 , i = 0,2 a.m.
M = 10000. (1+0,2)3
M = 17.280,00
e n = 3
logo,
Observações:

A unidade de medida de tempo n deve ser compatível com a unidade utilizada na
taxa de juros ;

A taxa de juros deve ser expressa em fração decimal e não em porcentagem.