UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
ONDAS E LINHAS ELETROMAGNÉTICAS
RELAÇÕES CONSTITUTIVAS EM MATERIAS
HETEROGÊNEOS, ANISOTRÓPICOS, NÃO-LINEARES
E DISPERSIVOS. [AE 1.7.]
OLGA LIRA DANTAS DO AMARAL EE08141-77
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CONCEITOS BÁSICOS
•
RELAÇÕES CONSTITUTIVAS são relação entre as
variáveis termodinâmicas ou mecânicas de um
sistema físico. Geralmente envolvem duas
grandezas físicas e são expressas como uma
proporcionalidade simples, usando um
parâmetro (propriedade do material) como
multiplicador.
Quando tem-se comportamentos não-lineares
ou grandezas descritas por tensores, equações
constitutivas mais elaboradas são necessárias.
O objetivo delas é construir o elo de ligação
entre o estado de tensão e o estado de
deformação.
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CONCEITOS BÁSICOS
• MATERIAIS HETEROGÊNEOS são todos materiais que
não apresentam as mesmas propriedades em toda a
sua extensão, a variação da posição afeta
propriedades.
• MATERIAIS ANISOTRÓPICOS têm suas propriedades
mecânicas dependentes da direção da solicitação. A
anisotropia é uma propriedade inerente da estrutura
atômica / molecular do dielétrico e pode ser
decorrente de um estado de plastificação do
material.
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CONCEITOS BÁSICOS
• MATERIAIS NÃO-LINEARES possuem parâmetros
dependentes do estado atual de tensão ou
deformação. O comportamento não linear implica a
não proporcionalidade entre a tensão e a
deformação.
• MATERIAIS DISPERSIVOS são materiais dependentes
da freqüência. A dependência de freqüência se
dá porque quando um campo elétrico variável ​no
tempo é aplicado, a resposta de polarização do
material não pode ser instantânea.
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RELAÇÕES CONSTITUTIVAS DE UMA FORMA GERAL
D = -ε0E
B = μ0H, onde:
•
•
•
•
•
•
D= densidade de fluxo elétrico;
E= intensidade de campo elétrico;
B= densidade de fluxo magnético;
H=intensidade de campo magnético;
ε0 = 8.854 × 10−12 farad/m;
μ0 = 4π × 10−7 henry/m;
Sendo:
• ε0 = permissividade do vácuo;
• μ0 = permeabilidade do vácuo;
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• Das duas quantidades ε0 e μ0, podemos definir duas
constantes físicas, chamadas, c0 (velocidade da
luz) e η0 (impedância no vácuo):
c0 =
= 3 × 108 m/sec,
η0 =
= 377 ohm;
• A permissividade ε e permeabilidade μ estão
relacionados com o tensor susceptibilidade elétrica χ
e magnética χm do material da seguinte forma:
ε = ε0(1 + χ );
μ = μ0(1 + χm);
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• A susceptibilidade é medida da polarização elétrica e
magnética das propriedades do material. Para as
densidades de fluxo elétrico e magnético, temos:
• D = ε E = ε0 (1 + χ)E = ε0E + ε0χE = ε0E + P
• B = μ0(H + M)= μ0(H + χmH)= μ0(1 + χm)H = μH,
Onde:
• P = ε0Eχ é a polarização dielétrica do material, que é,
o momento de dipolo elétrico médio por unidade de
volume;
• M = χmH é a magnetização, isto é, o momento
magnético médio por unidade de volume.
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• A permeabilidade e permissividade relativas e o
índice refração de um material, são definidos por:
de modo que n2 =
. Podemos relacionar
a velocidade da luz e a impedância do material, no
vácuo, da seguinte forma:
• Para um material não magnético, temos
impedância torna-se simplesmente
,ea
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RELAÇÕES CONSTITUTIVAS
• Em MATERIAIS HETEROGÊNEOS, a permissividade ε
depende da localização r dentro do material:
D(r, t)= ε0 (r)E(r, t).
• Em MATERIAIS ANISOTRÓPICOS, ε depende das
direções x, y, z e as relações constitutivas podem ser
escritas na forma de matriz (tensor):
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RELAÇÕES CONSTITUTIVAS
• Em MATERIAIS NÃO-LINEARES, as relações
constitutivas podem depender da magnitude do
campo elétrico E, onde ε está em função de E
aplicado na fórmula:
• Efeitos não-lineares são desejáveis ​em algumas
aplicações, tais como vários tipos de efeitos ópticos
elétricos usados ​em moduladores de luz
e retardadores de fase para alterar a polarização.
• A conseqüência típica de não-linearidade é causar a
geração de maiores harmônicos, já que o campo
elétrico é função seno ou cosseno.
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• Escrevendo E na forma complexa , E =
substituímos na equação anterior, temos:
,
• A frequência de entrada w é substituída por w, 2w, 3w, e
assim por diante. Em um sistema de transmissão de
ondas múltiplas, essas não-linearidades causarão
o aparecimento de novas frequências. As quais
interferem no canal original, efeito chamado crosstalk.
• A presença de uma não-linearidade cúbica E3 causará
o aparecimento de frequências ωi +ωj −ωk, as quais
são mais prováveis de serem confundidas com
o crosstalk devido ao curto espaçamento das
frequências, como exemplo temos as ondas de rádio.
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• Materiais cuja permissividade elétrica ε depende da
frequência ε (w) são referidos como MATERIAIS
DISPERSIVOS. A dependência de frequência decorre
da aplicação de um campo elétrico variável ​no
tempo, nesse caso, a resposta de polarização do
material não é instantânea.
• Podemos ver as relações constitutivas como um
sistema, onde E e D são respectivamente, o sinal de
entrada e o sinal de saída. O valor de D é então
calculado pela convolução de E com ε:
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• que se torna multiplicativa no domínio da
frequência:
• Todos os materiais são, de fato, dispersivos. No
entanto, ε (w)
tipicamente apresenta forte
dependência em w apenas para determinadas
freqüências.
• Uma
das
principais
conseqüências
da
dispersão material é o espalhamento de pulso, isto
é, o progressivo alargamento de um pulso, uma vez
que se propaga através de um material. Este
efeito limita a taxa de dados em que pulsos podem
ser transmitidos.
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• Existem materiais que são não-lineares e dispersivos
ao mesmo tempo, eles suportam certos tipos
de ondas não-lineares, chamadas sólitons, na qual o
efeito
de
propagação
de
dispersão
é
exatamente cancelado pela não- linearidade.
• As densidades ρ, J representam densidade de carga
livres e de corrente num meio material.
A polarização induzida P e a magnetização M
podem ser feitas usando as relações constitutivas e
depois explicitando-as nas equações de Maxwell:
• D = -ε0E
• B = μ0H
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• Identificamos as densidades de corrente e a de carga,
devido à polarização do material como:
• Da mesma forma, a quantidade Jmag=∇ ×M pode ser
identificada como densidade de corrente de
magnetização (ρmag = 0). A corrente total e densidade
de carga são:
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Meio com Índice Negativo
• As equações de Maxwell não excluem a possibilidade
de um ou de ambos índices ε, μ serem
negativos. Meios com índices negativos, tem ε
e μ simultaneamente negativos, ε <0 e μ <0.
• Veselago foi o primeiro a estudar essas propriedades
eletromagnéticas não usuais, como os materiais
com um índice de refração negativo, as inversões do
Efeito Doppler e da lei de Snel.
• As propriedades do novo material e suas aplicações
têm gerado um grande interesse de pesquisa. Em
2006, pesquisadores do Imperial College, provaram
que é possível sintetizar materiais que apresentem
índices de refração negativos.
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• Receberam
o
nome
de
"metamateriais”.
A palavra metamaterial designa materiais que
possuem propriedades não naturais. Eles
foram fabricados em laboratórios e são construídos
por matrizes periódica de fios e anéis ressonadores
divididos e por elementos de linha de transmissão.
• As propriedades ópticas dos metamateriais atuam no
caminho das ondas eletromagnéticas que os
atravessam. Essa tecnologia depende diretamente do
desenvolvimento da nanotecnologia cada vez mais
sofisticada. Objetos revestidos de cobertura
metamaterial poderiam se tornar invisíveis, por essa
razão essas pesquisas tem recebido grande incentivo
governamental.
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Referência
• S. J. Orfanidis, Electromagnetic Waves and Antennas,
Piscataway, NJ: Rutgers University, 2010.
• M. O. Sadiku, Elements of Electromagnetics, 5th Ed.,
New York, NY: Oxford University Press, 2009.
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