MATEMÁTICA
Revisão
Geometria Analítica
PROF.BELL
2014
MATEMÁTICA
2014
Distância entre dois pontos
y
B
yB
d
yB  y A
d
yA
xB  x A
A
Pitágoras!
d   x
2
0
xA
xB
AB
x
d AB 
PROF.BELL
B  x A    yB  y A 
2
xB  x A 2   yB  y A 2
2
MATEMÁTICA
2014
Ponto médio de um segmento
y
0
M
M
yM
yA
k 2
B
yB
B
A
A
xA
xM
xB
x B  x A  2 xM  2 x A
x
xB  x A
2
xM  x A
 x A  x B  2 xM
PROF.BELL
M
A
x A  xB
 xM 
2
MATEMÁTICA
2014
Ponto médio de um segmento
y
0
M
M
yM
yA
k 2
B
yB
B
A
A
xA
xM
xB
x
yB  y A
2
yM  y A
yB  y A  2 yM  2 y A  y A  yB  2 yM
PROF.BELL
M
A
y A  yB
 yM 
2
MATEMÁTICA
2014
Ponto médio de um segmento
y
M
M
yM
yA
k 2
B
yB
B
A
A
M
A
0
xA
xM
xB
x
M  xM ; y M 
PROF.BELL
 x A  xB y A  y B 
M
;

2 
 2
MATEMÁTICA
y
Baricentro de um triângulo
BG
2
GM
B
yB
G
yC
yA
0
A
x A xB
C
M
xC
x
PROF.BELL
2014
MATEMÁTICA
y
Baricentro de um triângulo
G  xG ; yG 
B
yB
G
yC
yA
0
2014
A
C
x A  xB  xC
xG 
3
xC
y A  y B  yC
yG 
3
M
x A xB
x
BG
2
GM
PROF.BELL
MATEMÁTICA
2014
Condição de alinhamento
de três pontos
y
C
yC
B
yB
yA
0
A
xA
xB
xC
x
PROF.BELL
xA
yA 1
xB
xC
yB 1  0
yC 1
MATEMÁTICA
2014
Área de um triângulo
AABC
y
B
yB
0
xA
D  xB
xC
yA 1
yB 1
yC 1
C
yC
yA
1
 D
2
A
x A xB
xC
AABC
x
PROF.BELL
xA
1
  xB
2
xC
yA 1
yB 1
yC 1
MATEMÁTICA
2014
Estudo da Reta
y
B
yB
y
yA
0
A
xA
x
xB
xA
xB
yA 1
yB 1  0
x
y
1
x
x A y B  xB y  y A x  y B x  x A y  xB y A  0
PROF.BELL
MATEMÁTICA
2014
Estudo da Reta
y
B
yB
y
yA
0
A
xA
x
xB
xA
xB
yA 1
yB 1  0
x
y
1
x
yA
 y B   x   xB  x A   y   x A y B  xB y A   0








a
b
PROF.BELL
c
MATEMÁTICA
2014
Estudo da Reta
y
B
yB
y
yA
0
A
xA
x
xB
xA
xB
yA 1
yB 1  0
x
y
1
ax  by  c  0
x
Equação Geral da Reta
PROF.BELL
MATEMÁTICA
2014
Estudo da Reta
y
ax  by  c  0
Equação Geral da Reta
Isolando o y:
x
0
Equação Reduzida da
Reta
PROF.BELL
ax c
y 
b b
y  m x  n
MATEMÁTICA
2014
Estudo da Reta
y
ax  by  c  0
n
Equação Geral da Reta
n

m
Isolando o y:
x
0
Equação Reduzida da
Reta
PROF.BELL
ax c
y 
b b
y  m x  n
MATEMÁTICA
2014
Estudo da Reta
a
m
b
ax  by  c  0
c
n
b
m
Número que
multiplica o
x
n
Número que
não tem o x
y  m x  n
PROF.BELL
MATEMÁTICA
2014
Estudo da Reta
y
Equação Segmentária
da Reta
x
0
PROF.BELL
MATEMÁTICA
2014
Estudo da Reta
y
Equação Segmentária
da Reta
q
0
x
p
PROF.BELL
x y
 1
p q
MATEMÁTICA
2014
Coeficiente Angular da Reta
y
y
r
r

x
0
x
0
  0
0    90 
Ângulo nulo, então
o coeficiente
angular é zero.
Ângulo agudo,
então o coeficiente
angular é positivo
mr  0
mr  0
PROF.BELL
MATEMÁTICA
2014
Coeficiente Angular da Reta
y
r
y


x
0
x
0
r
90     180 
  90
Ângulo Obtuso,
então o coeficiente
angular é negativo

Ângulo é reto, então
não existe
coeficiente angular
mr  0
 mr
PROF.BELL
MATEMÁTICA
2014
Determinação do Coeficiente
Angular da Reta
y
r
B
yB
yB  y A
mr  tg   
xB  x A
A
yA

0
xA
xB
x
PROF.BELL
x A  xB
MATEMÁTICA
2014
Equação do feixe de retas
y
yB  y A
mr  tg   
xB  x A
r
y
yB  y A
mr 
xB  x A
O
y0

0
x0
x
x
PROF.BELL
y  y0  mr  x  x0 
MATEMÁTICA
2014
Posição relativa entre retas
y
r
s
r // s
tg    tg  

0

x
PROF.BELL
mr  ms
MATEMÁTICA
2014
Posição relativa entre retas
rs
y
    90 
s
r

tg    tg   90 

tg     cot g  

0

tg    
x
1
mr  
ms
PROF.BELL
1
tg  
MATEMÁTICA
2014
Ângulo entre duas retas
   
y
s
r

   
tg    tg    
tg    tg  
tg   
1 tg    tg  

0


x
PROF.BELL
mr  ms
tg   
1 mr  m s
MATEMÁTICA
2014
Ângulo entre duas retas
   
y
s
r

   
tg    tg    
tg    tg  
tg   
1 tg    tg  

0


x
PROF.BELL
mr  m s
tg   
1 mr  ms
MATEMÁTICA
2014
Ângulo entre duas retas
    90     90  
y
s

r
tg    tg 90   
tg    cot g  

tg   

0
x
PROF.BELL
1
tg  
1
tg   
mr

MATEMÁTICA
2014
Distância entre Ponto e Reta
P xP , y P 
y
P
r
r : ax  by  c  0
d
d P ,r 
0
x
PROF.BELL
a x p   b y P   c
a 2  b2
MATEMÁTICA
y
2014
Circunferência
P
yP
R
y P  y0
R
y0
xP  x0
O
Pitágoras!
R 2  xP  x0 2   yP  y0 2
0
x0
xP
Equação Reduzida
da Circunferência
PROF.BELL
x
x  x0 2   y  y0 2  R2
MATEMÁTICA
2014
Circunferência
Equação Reduzida
da Circunferência
x  x0 2   y  y0 2  R2
Desenvolvendo a equação reduzida...
x 2  2 x0 x  x02  y 2  2 y0 y  y02  R 2  0
x2  y 2  2x0 x  2 y0 y  x02  y02  R2  0
Ax 2  By 2  Cxy  Dx  Ey  F  0
C.E.
A B
C  0
 x02  y02  F  0
PROF.BELL
Eq. Geral
MATEMÁTICA
2014
Circunferência
Equação Reduzida
da Circunferência
x  x0 2   y  y0 2  R2
Equação Geral da
Circunferência
x2  y 2  2x0 x  2 y0 y  x02  y02  R2  0
Relações
Ax2  By2  Cxy  Dx  Ey  F  0
 2 x0  D
D
x0 
2
 2 y0  E
E
y0 
2
PROF.BELL
Ox0 , y0 
 D E 
O
,

 2 2
MATEMÁTICA
2014
Circunferência
Equação Reduzida
da Circunferência
x  x0 2   y  y0 2  R2
Equação Geral da
Circunferência
x2  y 2  2x0 x  2 y0 y  x02  y02  R2  0
Relações
Ax2  By2  Cxy  Dx  Ey  F  0
x  y R  F
2
0
2
0
2
R x  y F
2
0
x02  y02  F  R 2
PROF.BELL
2
0
MATEMÁTICA
2014
Posição Relativa :
Ponto e Circunferência
P
P interior
Pertence à
circunferência
d PC
d PC
d PC
R
d PC  R
R
d PC  R
PROF.BELL
P exterior
R
d PC  R
MATEMÁTICA
2014
Posição Relativa :
Reta e Circunferência
Secante
Tangente
r
Exterior
r
R
r
R
R
d rC
drC  R
d rC
d rC
drC  R
drC  R
PROF.BELL
MATEMÁTICA
2014
Posição Relativa entre duas
Circunferência
Tangente externas
C1
R2
R1
d
d  R1  R2
PROF.BELL
C2
MATEMÁTICA
2014
Posição Relativa entre duas
Circunferência
Externas
C1
R2
R1
d
d  R1  R2
PROF.BELL
C2
MATEMÁTICA
2014
Posição Relativa entre duas
Circunferência
Tangentes internas
C2
R2
R1
Internas
C2
C1
R2
R1
C1
d
d
d  R1  R2
d  R1  R2
PROF.BELL
MATEMÁTICA
2014
Posição Relativa entre duas
Circunferência
Concêntricas
Secantes
R2
R1
C1  C2
C2
C1
d
d 0
R1  R2  d  R1  R2
PROF.BELL
MATEMÁTICA
Beijussssss…
13/06/2014
PROF.BELL
2014