(Re) Construindo Conceitos das Operações
com Números Inteiros Relativos
Mestrandos:
Agnaldo de Oliveira
Daiane Corrêa
Juliana Alves
Agosto/2012
Questões Iniciais
 Como justificar para o aluno porquê de “-” com “-”
resultar em “+” ?
 Será que podemos provar as regras de sinais?
 De que forma pode-se trabalhar, do ponto de vista
didático, as operações em Z?
 De que forma podemos justificar as regras de sinais
referentes a operações de adição/subtração e
multiplicação/divisão no conjunto dos inteiros?
Os Modelos Básicos de Pommer (2010)
Adição/Subtração
Multiplicação/Divisão
Modelo Aritmético
Modelo Aritmético
Modelo Algébrico
Modelo Funcional
Modelo Conjuntista
Modelo Conjuntista
Modelo Geométrico
Modelo Físico Geométrico
O Ábaco dos Inteiros
Primeiro Momento – Adição
 1) Represente no ábaco o número 6, depois acrescente
três argolas vermelhas.
 a) Que número você obteve?______
 b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
 2) Represente no ábaco o número 3, depois acrescente
cinco argolas pretas.
 a) Que número você obteve?______
 b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
Adição
 3) Represente no ábaco o número -3, depois acrescente
sete argolas vermelhas.
 a) Que número você obteve?______
 b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
 4) Represente no ábaco o número -6, depois acrescente
quatro argolas pretas.
 a) Que número você obteve?______
 b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
Adição
 5) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.
a) (+4) + (+2)
= +6
e) (-6) + (-1) = -7
i) (+5) + (-8)
= -3
b) (+2) + (+5)
= +7
f) (-4) + (-7) = -11
j) (+9) + (-4)
= +5
c) (+6) + (+3)
= +9
g) (-1) + (-8) = -9
k) (-8) + (+6) = -2
d) (+5) + (+8)
= +13
h) (-9) + (-3) = -12
l) (-7) + (+1)
= -6
Adição
Resultado das operações...
a) (+4) + (+2)
= +6
e) (-6) + (-1) = -7
i) (+5) + (-8)
= -3
b) (+2) + (+5)
= +7
f) (-4) + (-7) = -11
j) (+9) + (-4)
= +5
c) (+6) + (+3)
= +9
g) (-1) + (-8) = -9
k) (-8) + (+6) = -2
d) (+5) + (+8)
= +13
h) (-9) + (-3) = -12
l) (-7) + (+1)
= -6
Adição
 6) Analisando os itens de a a d o que você
observa de comum entre as operações feitas e os
resultados obtidos?
A soma de dois números inteiros relativos
positivos equivale à soma de seus valores
absolutos e o resultado terá “sinal” positivo.
Adição
 7) Analisando os itens de e a h o que você
observa de comum entre as operações feitas e os
resultados obtidos?
A soma de dois números inteiros relativos
negativos equivale à soma de seus valores
absolutos e o resultado terá “sinal” negativo.
Adição
 8) Analisando os itens de i a l o que você
observa de comum entre as operações feitas e os
resultados obtidos?
Quando representamos valores absolutos
sinais diferentes, subtraímos os valores
absolutos das parcelas e o resultado terá o
sinal da parcela que possui maior valor
absoluto.
Adição
 9) A partir das respostas anteriores, é possível
chegar a um padrão de resolução da operação de
adição de números inteiros? Qual?
A soma de dois números inteiros relativos de mesmo
sinal equivale à soma de seus valores absolutos e
“seu sinal” é igual ao dos números das parcelas; e a
soma de dois números inteiros relativos de “sinais
diferentes” equivale a diferença entre os valores
absolutos dos números e o seu sinal é o “sinal da
parcela” que possui maior valor absoluto.
Segundo Momento – Subtração
 1) Represente no ábaco o número 6, depois retire
três argolas vermelhas.
 a) Que número você obteve?______
 b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
 2) Represente no ábaco o número 3, depois retire
cinco argolas pretas.
 a) Que número você obteve?______
 b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
Subtração
 3) Represente no ábaco o número -3, depois retire
sete argolas vermelhas.
 a) Que número você obteve?______
 b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
 4) Represente no ábaco o número -6, depois retire
quatro argolas pretas.
 a) Que número você obteve?______
 b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
Subtração
 5) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.
a) (+4) - (+2) = +2
e) (-6) - (-1)
=
-5
i) (-8) - (+5)
=
-13
b) (+5) - (+3) = +2
f) (-7) - (-4)
=
-3
j) (-9) - (+4)
=
-13
c) (+4) - (+6) = -2
g) (-1) - (-8)
=
+7
k) (+6) - (-8)
=
+14
d) (+5) - (+8) = -3
h) (-3) - (-9) =
+6
l) (+2) - (-7)
=
+9
Subtração
 Resultado das operações...
a) (+4) - (+2) = +2
e) (-6) - (-1)
=
-5
i) (-8) - (+5)
=
-13
b) (+5) - (+3) = +2
f) (-7) - (-4)
=
-3
j) (-9) - (+4)
=
-13
c) (+4) - (+6) = -2
g) (-1) - (-8)
=
+7
k) (+6) - (-8)
=
+14
d) (+5) - (+8) = -3
h) (-3) - (-9) =
+6
l) (+2) - (-7)
=
+9
Subtração
 6) Analisando os itens de a, b, e e f o que você
observa de comum entre as operações feitas e os
resultados obtidos?
Subtraímos os valores absolutos dos números
e o sinal do resto será igual ao “sinal” do
minuendo, quando este possuir maior valor
absoluto que o subtraendo.
Subtração
 7) Analisando os itens de c, d, g e h o que
você observa de comum entre as operações feitas
e os resultados obtidos?
Subtraímos os valores absolutos dos números
e o “sinal” do resto será oposto ao “sinal” do
minuendo, quando este possuir menor valor
absoluto que o subtraendo.
Subtração
 8) Analisando os itens de i a l o que você
observa de comum entre as operações feitas e os
resultados obtidos?
Somamos os valores absolutos dos números e o
“sinal” do resto será o mesmo do minuendo.
Subtração
 9) A partir das respostas anteriores, é possível
chegar a uma regra para todas as operações
realizadas? Qual?
Quando os “sinais” são iguais, subtraímos os
valores absolutos dos números e o sinal do resto
será igual ao “sinal” do minuendo, quando este
possuir maior valor absoluto e, “sinal” oposto ao
do minuendo quando este possuir menor valor
absoluto que o subtraendo. E quando os “sinais”
são diferentes somamos os valores absolutos e o
“sinal” será o mesmo do minuendo.
Terceiro Momento – Multiplicação
 1) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.
a) (+4).(+2)
=
+8
f) (-6).(-2)
=
+12
k) (-3).(+4)
= -12
b) (+5).(+3)
=
+15
g) (-7).(-1)
=
+7
l) (-5).(+2)
= -10
c) (+2).(+6)
=
+12
h) (-4).(-2)
=
+6
m) (-1).(+9)
= -9
d) (+1).(+8)
=
+9
i) (-3).(-4)
=
+12
n) (+2).(-7)
= -14
e) (+2).(+3)
=
+5
j) (-2).(-6)
=
+12
o) (+3).(-2)
= -6
Terceiro Momento – Multiplicação
 Resultado das operações...
a) (+4).(+2)
=
+8
f) (-6).(-2)
=
+12
k) (-3).(+4)
= -12
b) (+5).(+3)
=
+15
g) (-7).(-1)
=
+7
l) (-5).(+2)
= -10
c) (+2).(+6)
=
+12
h) (-4).(-2)
=
+8
m) (-1).(+9)
= -9
d) (+1).(+8)
=
+8
i) (-3).(-4)
=
+12
n) (+2).(-7)
= -14
e) (+2).(+3)
=
+6
j) (-2).(-6)
=
+12
o) (+3).(-2)
= -6
Multiplicação
 2) Analisando os itens de a a e o que você
observa de comum entre as operações feitas e os
resultados obtidos?
Quando os sinais dos fatores são positivos, o
produto é igual ao produto entre os valores
absolutos dos fatores e o seu “sinal” será
sempre positivo.
Multiplicação
 3) Analisando os itens de f a j o que você
observa de comum entre as operações feitas e os
resultados obtidos?
Quando os sinais dos fatores são negativos, o
produto é igual ao produto entre os valores
absolutos dos fatores e o seu “sinal” será
sempre positivo.
Multiplicação
 4) Analisando os itens de k a o, o que você
observa de comum entre as operações feitas e os
resultados obtidos?
Quando os “sinais” dos fatores são diferentes, o
produto é igual ao produto dos valores absolutos
dos fatores, e o “sinal” será sempre negativo.
Multiplicação
 5) A partir das respostas anteriores, é possível
chegar a um padrão de resolução para todas as
operações realizadas? Qual?
Quando os sinais dos fatores são iguais, o
produto é igual ao produto entre os valores
absolutos dos fatores, e seu “sinal” será sempre
positivo. Quando os “sinais” dos fatores são
diferentes, seu produto é igual ao produto dos
valores absolutos dos fatores, e seu “sinal” será
sempre negativo.
Quarto Momento – Divisão
 1) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.
a) (+9):(+3)
=
+3
f) (-12):(-4) =
+3
k) (-9):(+3)
=
-3
b) (+10):(+5) =
+2
g) (-8):(-4)
=
+2
l) (-8):(+2)
=
-4
c) (+6):(+3)
=
+2
h) (-4):(-2)
=
+2
m) (-8):(+4) =
-2
d) (+12):(+4) =
+3
i) (-5):(-1)
=
+5
n) (+12):(-4) =
-3
e) (+14):(+2) =
+7
j) (-10):(-5) =
+2
0) (+6):(-3)
-2
=
Divisão
 Resultado das operações...
a) (+9):(+3)
=
+3
f) (-12):(-4) =
+3
k) (-9):(+3)
=
-3
b) (+10):(+5) =
+2
g) (-8):(-4)
=
+2
l) (-8):(+2)
=
-4
c) (+6):(+3)
=
+2
h) (-4):(-2)
=
+2
m) (-8):(+4) =
-2
d) (+12):(+4) =
+3
i) (-5):(-1)
=
+5
n) (+12):(-4) =
-3
e) (+14):(+2) =
+7
j) (-10):(-5) =
+2
0) (+6):(-3)
-2
=
Divisão
 2) Analisando os itens de a a e o que você
observa de comum entre as operações feitas e os
resultados obtidos?
Quando os “sinais” são positivos dividimos os
valores absolutos dos números e o quociente
terá “sinal” positivo.
Divisão
 3) Analisando os itens de f a j o que você
observa de comum entre as operações feitas e os
resultados obtidos?
Quando os “sinais” são negativos dividimos os
valores absolutos dos números e o quociente
terá “sinal” positivo.
Divisão
 4) Analisando os itens de k a o, o que você
observa de comum entre as operações feitas e os
resultados obtidos?
Quando os “sinais” são diferentes, dividimos
os valores absolutos dos números e o
quociente terá “sinal” negativo.
Divisão
 5) A partir das respostas anteriores, é possível
chegar a um padrão de resolução para todas as
operações realizadas? Qual?
Quando os “sinais” são iguais dividimos os
valores absolutos dos números e o quociente
sempre terá “sinal” positivo. Quando os “sinais”
são diferentes dividimos os valores absolutos dos
números e o quociente sempre terá “sinal”
negativo.
Referências
 POMMER, W. M. Diversas abordagens das regras de
sinais nas operações elementares em Z. FEUSP: 2010.
Disponível em:
<http://www.nilsonjosemachado.net/sema20100316.pdf>.
Acesso em 27 jan. 2012.
 RODRIGUES, L. R; OLIVEIRA, T. O. Operando
números inteiros com o ábaco. Disponível em:
<http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/minicursos/operan
donumeros>. Acesso em 27 de jan. de 2012.