BIFURCAÇÕES EM
SISTEMAS DE TEMPO
CONTÍNUO
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ENGF97 - CONTROLE E SISTEMAS NÃO LINEARES
ADRIANO SILVA MARTINS BRANDÃO, SUBSTITUTO
Diagrama de fases do atrator de Lorentz
Fonte: https://jmth21202f08.wordpress.com/mysecond-problem/
Conteúdo
• Noção de estabilidade estrutural;
• Conceito de bifurcações e diagrama de
bifurcação;
• Bifurcações de codimensão um:
• Bifurcação sela-nó;
• Bifurcação transcrítica;
• Bifurcação forquilha;
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Noção de estabilidade estrutural
“Seja o fluxo
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= ݂𝑢 (𝑥), que depende dos parâmetros 𝜇 =
𝜇1 , 𝜇2 , … , 𝜇𝑘 . Para valores fixos dos parâmetros 𝜇 = 𝜇0 , o fluxo
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= ݂𝜇0 (𝑥) é estruturalmente estável se há 𝜀 > 0 tal que
𝑑𝑡 = ݂𝑢 (𝑥) é topologicamente equivalente a
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= ݂𝜇0 (𝑥),
para todos os valores de 𝜇, tais que 𝜇 − 𝜇0 < 𝜀.”
Fonte: Monteiro
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Noção de estabilidade estrutural
• Em outras palavras, um sistema é estruturalmente instável onde ocorre
uma mudança qualitativa no retrato de fases, com a variação de um
parâmetro deste sistema.
Mudanças no 𝜶
• Exemplo 1:
alteram o retrato de
fases
𝒅𝒚(𝒕)
= −𝒚(𝒕)
𝒅𝒕
𝒅𝒙(𝒕)
= 𝜶 − 𝒙𝟐 (𝒕)
𝒅𝒕
𝜶 é um parâmetro
(não varia no tempo)
Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Saddle-node_bifurcation
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Conceito de bifurcação
• A mudança topológica no diagrama de fases, causada pela variação
de um ou mais parâmetros do sistema, é chamada de bifurcação;
• Os valores de parâmetros nos quais ocorrem as mudanças no plano
de fase são chamados de pontos críticos, ou pontos de bifurcação.
• Exemplo 1:
A bifurcação deste sistema ocorre
em 𝜶 = 𝟎, portanto, o sistema é
estruturalmente instável neste
ponto
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Diagrama de bifurcação
• É o gráfico dos pontos de equilíbrio x valores do parâmetro.
• Exemplo 1:
𝒅𝒙(𝒕)
= 𝜶 − 𝒙𝟐 𝒕 = 𝟎
𝒅𝒕
Autovalores negativos
(nó, estável)
𝒙=∓ 𝜶
𝝀𝟏 = −𝟏
𝝀𝟐 = −𝟐 𝜶
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Autovalores com sinais
diferentes (sela, instável)
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Codimensão da bifurcação
• É o número de parâmetros a serem variados para produzir as
bifurcações;
• Estudaremos apenas bifurcações de codimensão um:
• Bifurcação sela-nó;
• Bifurcação transcrítica;
• Bifurcação forquilha.
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Bifurcação sela-nó
• Também conhecida como bifurcação tangente ou bifurcação de
dobra;
• Ocorre quando dois pontos de equilíbrio colidem e se anulam;
• Exemplo 1:
𝒅𝒚(𝒕)
= −𝒚(𝒕)
𝒅𝒕
Autovalores negativos
(nó, estável)
𝒅𝒙(𝒕)
= 𝜶 − 𝒙𝟐 (𝒕)
𝒅𝒕
Autovalores com sinais
diferentes (sela, instável)
Plano de fases
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Diagrama de bifurcação
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Bifurcação sela-nó
• Exemplo 2:
𝒅𝒙(𝒕)
= 𝟏 + 𝒓. 𝒙 𝒕 + 𝒙𝟐 (𝒕)
𝒅𝒕
−𝒓 ∓ 𝒓𝟐 − 𝟒
𝒙=
𝟐
𝝀 = ∓ 𝒓𝟐 − 𝟒
Fonte do exemplo: http://texas.math.ttu.edu/~gilliam/s06/m4330/4330_ds_2.pdf
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Bifurcação transcrítica
• Na bifurcação transcrítica, existe sempre um ponto de equilíbrio fixo, para
todos os valores do parâmetro variado (este ponto nunca é destruído).
• A estabilidade deste ponto fixo muda, com a variação do parâmetro.
• Exemplo 3:
𝒅𝒙(𝒕)
= 𝒓. 𝒙 𝒕 − 𝒙𝟐 (𝒕)
𝒅𝒕
𝒙 = 𝟎 ou 𝒙 =r
Ponto fixo, que têm a
estabilidade alterada
P/ 𝒙 = 𝟎 , 𝝀 = 𝒓
P/ 𝒙 = 𝒓 , 𝝀 = −𝒓
Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Transcritical_bifurcation
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Bifurcação forquilha
• Definição formal:
Uma EDO 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑟), descrita pela função, de um parâmetro, 𝑓(𝑥, 𝑟) com 𝑟 ∈ ℝ,
satisfazendo:
−𝑓 𝑥, 𝑟 = 𝑓(−𝑥, 𝑟) (f é uma função ímpar);
𝜕𝑓
𝜕2𝑓
𝜕3𝑓
0, 𝑟0 = 0,
0, 𝑟0 = 0,
0, 𝑟0 ≠ 0
2
3
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
2
𝜕𝑓
𝜕 𝑓
0, 𝑟0 = 0,
0, 𝑟0 ≠ 0
𝜕𝑟
𝜕𝑟𝜕𝑥
Têm uma bifurcação forquilha em 𝑥, 𝑟 = 0, 𝑟0 . A forma da forquilha é dada pelo sinal
da terceira derivada:
𝜕3𝑓
< 0, 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜
0, 𝑟0
3
> 0, 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜
𝜕𝑥
Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation
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Bifurcação forquilha
Caso supercrítico
Caso subcrítico
Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation
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Bifurcação forquilha
• Exemplo 4 (supercrítico):
• Exemplo 5 (subcrítico):
𝒅𝒙(𝒕)
𝒅𝒙(𝒕)
𝟑
= 𝒓. 𝒙 𝒕 + 𝒙𝟑 (𝒕)
= 𝒓. 𝒙 𝒕 − 𝒙 (𝒕)
𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝝀=𝒓
𝝀=𝒓
𝒙 = 𝟎 ou 𝒙 = ∓ −𝒓 P/ 𝒙 = 𝟎 ,
𝒙 = 𝟎 ou 𝒙 = ∓ 𝒓 P/ 𝒙 = 𝟎 ,
P/ 𝒙 = ∓ −𝒓 , 𝝀 = −𝟒𝒓
P/ 𝒙 = ∓ 𝒓 , 𝝀 = −𝟐𝒓
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Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation
FIM
Obrigado pela atenção 
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Estabilidade
Fonte: ftp://ftp.dca.fee.unicamp.br/pub/docs/vonzuben/ea619_1s09/topico6_03.pdf
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