Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica
Simulação de Grandes Escalas da Turbulência,
com Modelagem Sub-Malha Dinâmica
por Aristeu da Silveira Neto
Uberlândia, abril de 2001
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Características mais importantes da Turbulência:
• Difusão;
• Dissipação;
• Vorticidade;
• Tridimensionalidade;
• Continuidade;
• Impredisbilidade;
• Altos números de Reynolds;
• Largo Espectro de Energia;
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Log [E(k)]
Zona inercial do
espectro
Efeitos viscosos
predominantes
kI
Log(k)
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
lI
Escoamento sobre uma cavidade, ilustrando o processo de
transmissão de injeção de energia do escoamento médio para
os turbilhões da camada cizalhante e para o interior da
cavidade.
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
•Simulação Numérica Direta - SND
•Simulação Numérica Clássica
•Simulação de Grandes Escalas
Modelagem Sub-Malha da Turbulência
• Modelagem Sub-Malha de Smagorinsky
•Modelagem Função Estrutura de Velocidade
•Modelagem Dinâmica
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
•Simulação de Grandes Escalas é uma metodologia
intermediária à Simulação Direta e à simulação via equações
médias de Reynolds;
•Em SGE, as estruturas turbulentas transportadoras de
energia são resolvidas diretamente da solução das equações
filtradas e, apenas as menores estruturas são modeladas;
•Considerando-se que as menores estruturas tendem a ser mais
homogêneas e isotrópicas e menos afetadas pelas condições de
contorno, espera-se que os modelos advindos sejam mais universais
e independentes dos diferentes tipos de escoamentos, quando
comparados com a metodologia média clássica;
•As metodologias de SND e SGE são semelhantes no sentido
que ambas permitem a obtenção de resultados tridimensionais
e transientes das equações de Navier-Stokes.
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
•Sendo assim, SGE continua a exigir malhas refinadas. No entanto,
torna-se possível resolver escoamentos a altos números de
Reynolds
•Equações filtradas: revisão
 ui
0
 xi
 ui 
uiu j    1  p  

 t x j
 o  xi x j
T

u jT   

t  xj
 xj
  ui

  ij  Cij  Lij 

  x j

 T

  j  C j  L j 

  x j

Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
 ij  uiu j  TensordeRe ynoldssub  m alha



Cij  uiu j  ui u j  Tensorcruzado


 Lij  ui u j  ui u j  TensordeLeonard



 j  u jT   Fluxoturbulentosub  m alha


C j  u jT   u jT   Fluxoturbulentocruzado



 L j  u jT  u jT  FluxoturbulentodeLeonard.
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
  ui  u j  2
  k ij
 ij   t 


  x j  xi  3
 k  ui  u j
Lij  Cij 
12  xk  xk
•Testes de importância relativa

DR  .

DL  .Lij  Cij 

DM  .2Sij 
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Modelo sub-malha de Smagorinsky
•Este modelo foi proposto por Smagorinsky (1963), baseando-se na
hipótese do equilíbrio local para as pequenas escalas, ou seja, que a
produção de tensões turbulentas sub-malha seja igual à dissipação:
 
  uiuj Sij  2 t Sij Sij
  c1 uiu j 
3/ 2
/
Na expressão para ,
uu 
1/ 2
i
j
e l, são as escalas de velocidade e de
comprimento respectivamente.
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
•Como a viscosidade turbulenta é proporcional à escala de
velocidade e de comprimento, tem-se que:
 t  c1uiuj 
•Com estas três equações, chega-se a uma expressão
para a viscosidade turbulenta:
 t  C S  2 S ij S ij
•A constante de Smagorinsky, CS =0,18, foi determinada
analiticamente por Lilly (1967), para turbulência homogênea e
isotrópica.
•Aplicações para escoamentos não homogêneos e não
isotrópicos?
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Modelo sub-malha Função Estrutura de
Velocidade
•Chollet e Lesieur (1982) apresentaram o formalismo para o cálculo de
(viscosidade turbulenta) e (difusibidade turbulenta) no espaço de
Fourier
•Eles chegaram à seguinte expressão para a viscosidade turbulenta
no espaço de Fourier:
 t kc , t   

t
E kc , t 
kc
•A constante t+ é determinada fazendo-se um balanço de energia
como segue:

kc
0
2 t k 2 Ek , t dk   t 
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Considerando-se
Obtém-se
Ek , t   CK  2 / 3k 5 / 3
 t  2 / 3CK3/ 2
Observa-se que o cálculo da viscosidade turbulenta no espaço
de Fourier exige determinar o nível de energia cinética
turbulenta na freqüência de corte.
Buscando-se aplicar este modelo no espaço físico, Métais e
Lesieur (1990) mostraram que é possível fazer esta passagem,
utilizando-se do conceito de Função Estrutura de Velocidade de
Ordem 2:

  
  2
F2 x , r , t   u x  r , t   u x , t 
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
•Batchelor (1953), mostra que existe um dualismo entre a função
estrutura (definida no espaço físico) e o espectro de energia
(definido no espaço de Fourier), válido para turbulência homogênea
e isotrópica.
•Com este dualismo e com um espectro de energia de Kolmogorov,
chega-se ao seguinte resultado:


Ex, kc , t   0,03F x, , t 
Logo,
Com


3 / 2
 t x, , t   0,104CK  F2 x, , t 
  
  2

F2  x , r , t   u  x  r , t   u  x , t 

r 
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
•Estes dois modelos são mais apropriados para escoamentos
turbulentos plenamente desenvolvidos e fora de regiões
parietais. Para escoamentos em transição e escoamentos
parietais, um modelo alternativo foi proposto por Germano
(1993)
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Modelagem dinâmica sub-malha
•A modelagem sub-malha convencional envolve uma constante de
proporcionalidade imposta de forma ad-hoc. Apesar das limitações
advindas deste fato, conseguiu-se, nos últimos anos, avanços
extremamente importantes na área de simulação numérica dos
escoamentos turbulentos.
•Os resultados que podem ser obtidos em turbulência
completamente desenvolvida e fora das regiões parietais colocam a
SGE hoje como uma ferramenta paralela à experimentação em
laboratórios (Bradshaw et al., 1996, e Gharib, 1996).
•Uma das principais limitações diz respeito a análise de escoamentos
em transição e nas proximidades de paredes, em conseqüência da
imposição de uma constante de proporcionalidade
•A determinação dinâmica de uma função de proporcionalidade no
cálculo da viscosidade turbulenta pode representar avanços
importantes.
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
•A base desta modelagem é o uso de dois filtros com comprimentos
característicos diferentes
•No primeiro, utiliza-se as dimensões da malha para calcular o seu
comprimento característico. Ele é denominado filtro a nível da malha;
•No segundo utiliza-se um múltiplo das dimensões das malhas para
calcular o comprimento característico. Ele é denominado filtro
teste;
•Com base no uso dos dois níveis de escalas (acima da malha),
conclui-se que, na modelagem dinâmica, utiliza-se informações do
nível de energia contido nas menores escalas resolvidas, situadas
entre as escalas dos dois filtros
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Função original
Função filtrada uma vez
f(t)
Função filtrada duas vezes
t
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
•A base matemática dos modelos dinâmicos são as equação de NavierStokes:
 ui

1 p
   ui 

ui u j  



 t  xj
  xi  x j   x j 


Primeiro processo de
filtragem
 ui

1 p
   ui 

ui ui  



t  xj
  xi  x j   x j 
 
 ij  ui u j  ui u j
Tensor de Reynolds sub-malha
generalizado
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Chega-se a:

 ui

1 p
   ui


ui u j   


  ij 

 t  xj
  xi  x j   x j

Aplica-se agora um novo filtro G, de comprimento característico
superior ao comprimento do primeiro filtro, sobre a equação
seguinte:
 ui

1 p
   ui 

ui ui  



t  xj
  xi  x j   x j 
 
 uˆi    
1  pˆ
   uˆi 

ui u j  



 t  xj
  xi  x j   x j 


Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
•Onde a seguinte relação entre os comprimentos característicos
dos dois filtros é utilizada
ˆ  2
•Define-se o tensor das tensões relativas ao segundo filtro,
também chamadas de sub-teste, como sendo:

Tij  ui u j  uˆi uˆ j
Logo, tem-se que:

 uˆi
 ˆˆ
1  pˆ
   uˆi

ui u j  


 Tij 

 t  xj
  xi  x j   x j

 
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Filtrando-se a seguinte equação:

 ui

1 p
   ui


ui u j   


  ij 


 t  xj
  xi  x j   x j

 uˆi


 t  xj

ˆ
ˆ




 ui u j    1  p     ui  ˆij 
 x





x

x
i
j
j




Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Subtraindo-se uma equação da outra, entre as duas abaixo:

 uˆi
 ˆˆ
1  pˆ
   uˆi

ui u j  


 Tij 

 t  xj
  xi  x j   x j

 
 uˆi


 t  xj
Tem-se,

ˆ
ˆ




 ui u j    1  p     ui  ˆij 



  xi  x j   x j




x j



 u u  uˆ uˆ    T  ˆ 
i j
ij
ij
 i j
x j


Define-se, daí, o tensor global de Leonard:


 

Li j  ui u j  ui uˆ j  Tij  ˆij 




Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
•A parte anisotrópica do tensor de Reynolds global sub-malha pode
ser modelada com a hipótese de Bousinesq
 ij 
 ij
3

 ij  2 t Sij  2cx , t 2 S Sij
•Modelando-se as tensões sub-teste de Reynolds de forma análoga, temse:
Tij 
 ij
3
 ˆ2 ˆ ˆ
Tij  2cx , t  S Sij
•Filtrando-se a primeira destas duas equações, tem-se:
ˆij 
 ij


ˆij  2 t Sˆij  2cx, t 2 S Sij
ij
3
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Utilizando-se estas três equações, mais a identidade de Germano,
isola-se a função de proporcionalidade procurada:

1 Li j M i j
c x , t   
2 Mi j Mi j
Com Mi j e Li j dados por:

M i j  ˆ 2 Sˆ Sˆi j  2 S Si j


 

Li j  ui u j  ui uˆ j




Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Resultados Ilustrativos
1. Simulação de Grandes Escalas de escoamentos sobre uma
cavidade retangular
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
1,5
1,0
0,5
0,0
0,06
-0,5
St = 0,66
-1,0
-1,5
-2,0
0
4
8
12
16
20
Tempo ( t )
Densidade Espectral ( cp'cp' )
Flutuação do Coef. de Pressão ( cp' )
2,0
24
0,05
0,04
28
0,03
32
36
0,02
0,01
0,00
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Número de Strouhal ( f h c / u inf )
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
2. Cavidade Simétrica com Efeitos Térmicos
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
(a) t=4.1 h/U
(b) t=20.7 h/U
(c ) t=41.5 h/U
(d) t=62.2 h/U
(e) t=124.7 h/U
(f) t=207.3 h/U
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Simulação de Grandes Escalas da convecção mista sobre um cilindro
rotativo aquecido
T
0.0890
0.0831
0.0772
0.0712
0.0653
0.0594
0.0534
0.0475
0.0416
0.0356
0.0297
0.0237
0.0178
0.0119
0.0059
0.0059
T
0.0634
0.0592
0.0549
0.0507
0.0465
0.0423
0.0380
0.0338
0.0296
0.0254
0.0211
0.0169
0.0127
0.0085
0.0042
0.0042
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
70
Churchill e Chu (1975)
Qureshi e Ahmad (1987)
Present Work - Smagorinsky Model
Present Work - Dynamic Model
60
Mean Nu
50
40
30
20
10
0
103
104
105
106
107
108
109
1010
Ra*
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
5
0 graus
30 graus
60 graus
90 graus
270 graus
4.5
4
D
3.5
3
2.5
2
1.5
D
1
D
0.5
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
0D
0.5
1
1.5
2
2.5
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
1.75
0 graus
30 graus
60 graus
90 graus
270 graus
1.5
D
D
1.25
D
D
D
D
D
D
D
1
D
D
D
0.75
D
D
D
D
D
D
0.5
D
D
D
D
D
D
0.25
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
0
D
D
D
D
D
D
D
0.5
D
D
1
1.5
2
D
2.5
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
35
Ra* = 1e06 - Mod. Smagorinsky
Ra* = 1e08 - Mod, Smagorinsky
Ra* = 1e06 - Mod. Dinamico
Ra* = 1e08 - Mod. Dinamico
30
Nu local
25
20
15
10
5
0
100
200
300
Coordenada Tangencial [graus]
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
T
0.1229
0.1147
0.1065
0.0983
0.0901
0.0819
0.0737
0.0655
0.0573
0.0491
0.0409
0.0327
0.0245
0.0163
0.0083
0.0081
T
0.0803
0.0749
0.0696
0.0642
0.0589
0.0535
0.0482
0.0428
0.0375
0.0321
0.0268
0.0214
0.0161
0.0107
0.0054
0.0053
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
25
20
Nu m édio
15
10
5
Ra* = 6e07
Ball (experimental)
Smagorinsky
Dinâmico
0
-5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Inverso do Núm ero de Froude [  ]
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
T
0.0604
0.0564
0.0524
0.0483
0.0443
0.0403
0.0363
0.0322
0.0282
0.0242
0.0201
0.0161
0.0121
0.0081
0.0040
0.0040
T
0.0604
0.0564
0.0524
0.0483
0.0443
0.0403
0.0363
0.0322
0.0282
0.0242
0.0201
0.0161
0.0121
0.0081
0.0040
0.0040
T
0.0604
0.0564
0.0524
0.0483
0.0443
0.0403
0.0363
0.0322
0.0282
0.0242
0.0201
0.0161
0.0121
0.0081
0.0041
0.0040
3,8 s
4,0 s
3,9 s
SGE - Modelagem Dinamica Ra*=109.
80
1500
Dynamic Model
Ra* = 1e09
70
Dynamic Model (Ra* = 1e09)
u* [16][30]
v* [16][30]
u* [1][30]
v* [1][30]
500
Mean Nu
u* = u/( /D)
1000
60
50
40
0
30
0
1
2
time [s]
3
4
0
1
2
time [s]
3
4
T
0.0808
0.0753
0.0699
0.0644
0.0590
0.0535
0.0481
0.0427
0.0372
0.0318
0.0263
0.0209
0.0154
0.0100
0.0046
0.0046
T
0.0778
0.0725
0.0673
0.0620
0.0568
0.0515
0.0463
0.0410
0.0357
0.0305
0.0252
0.0200
0.0147
0.0095
0.0042
0.0042
T
0.0795
0.0741
0.0688
0.0634
0.0580
0.0526
0.0472
0.0418
0.0365
0.0311
0.0257
0.0203
0.0149
0.0095
0.0042
0.0042
2,6 s
2,5 s
2,8 s
SGE - Modelagem Dinamica - Ra*=1010
Dynamic Model (Ra* = 1e10)
u* [16][30]
u* [1][30]
v* [16][30]
v* [1][30]
4000
3500
80
Dynamic Model
Ra* = 1e10
70
2500
Mean Nu
u* = u/(/D)
3000
2000
1500
60
50
1000
40
500
0
30
0.0
0.5
1.0
1.5
tempo [s]
2.0
2.5
3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
time [s]
2.0
2.5
3.0
Simulação Numérica de Grandes Escalas de um
sistema de Jatos Tridimensionais
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Simulação de Grandes Escalas - Aplicação Industrial
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Simulação de Grandes Escalas com Modelagem Dinâmica- Aplicação Industrial
Modelagem e Simulação de Hidrociclones
35
30
25
100 cm/s
z
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
r
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
35
v
289.828
270.506
251.184
231.862
212.541
193.219
173.897
154.575
135.253
115.931
96.6093
77.2875
57.9656
38.6437
19.3219
30
z (cm)
25
20
15
10
3.0
5
0
2.5
0
1
2
3
4
r (cm)
v (m/s)
2.0
Contornos da velocidade tangencial
(cm/s) ao longo do hidrociclone
(Re=26600)
1.5
1.0
experimental
0.5
SGE (Cs=0.24)
0.0
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040
r (m)
Porque SGE com Modelagem Dinâmica?
Presença de interface líquido/gás -> Método de
Captura de interface;
• Fortes efeitos de rotação -> Anisotropias
•k-eps?
•K-eps RNG?
•SGE convencional?
•Escoamento tipicamente em transição;
•SGE com modelagem dinâmica?
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Simulação de Grandes Escalas com Modelagem Dinâmica
de Escoamentos Bifásicos
Objetivo: estudar a transição de escoamentos no
interior e exterior de bolhas e gotas
Aplicação: Estudo da absorção de gases residuais por
gotas em movimento:
Torres Spray: Dessulforização de Gases de chaminé
(FGD): SO2 e outros componentes ácidos HCl e HF
são absorvidos por gotas contendo CaCO3.
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Esquema de uma Torre Spray
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Modelo Matemático considerando recirculações
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u
Pe 
D
Fator de aumento global versus número de Pe
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Turbulência nos Fluidos
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LTCM
Turbulência nos Fluidos
UFU
LTCM
Do modelo utilizado, apenas reações instantâneas foram
consideradas. O modelo pode ser modificado para explicar
reações a taxas finitas.
Estudos mais completos são necessários para obtenção de uma
estimativa mais precisa do grau de circulação dentro da gota
com sólidos suspensos, e as alterações na circulação em função
do tempo em que a gota viaja ao longo o lavador.
Para elevados números de Pe (Pe>3000) há um pequeno
benefício no aumento da área específica ou da solubilidade.
A elevados números de Pe, a convecção do gás solúvel próximo
à interface é o fator dominante na absorção.
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Simulação Numérica de Grandes Escalas de
Escoamentos Tridimensionais
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Simulação de Grandes Escalas - Aplicação Industrial
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LTCM
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UFU
LTCM
Considerações Finais
• SGE se apresenta como uma importante ferramenta
de análise numérica de problemas de engenharia, assim
como ferramenta de análise física;
• SGE com modelagem sub-malha de Smagorinsky não se
a análise de escoamentos em transição e a análise de
escoamentos próximo de paredes;
• SGE com modelagem sub-malha de Dinâmica sinaliza
para a possibilidade de modelar o processo de transição
bem como modelar escoamentos parietais;
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