pet
computação
UFPE
Aula de apoio aos feras:
Sistemas de Numeração
2008.2
Roteiro
pet
computação
UFPE
• Visão geral de sistemas numéricos e aprender como
transformar de decimal em binário, octal e hexadecimal,
e vice-versa.
•Aprender as operações aritméticas básicas utilizando
estes sistemas de numeração
•Transmitir uma noção da importância dos sistemas de
numeração binário e hexadecimal, principalmente, para
a computação
Sistemas Numéricos
pet
computação
UFPE
• Principais sistemas numéricos:
• Decimal
• 0, 1, ..., 9
• Binário
• 0, 1
• Octal
• 0, 1, ..., 7
• Hexadecimal
• 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F
•É importante atentar que no sistema hexadecimal, as letras
de A até F equivalem, em decimal, a 10, 11, 12, 13, 14 e 15,
respectivamente
Conversão Base X – Base 10
pet
computação
UFPE
• Processo: soma de multiplicações
• numd = anxn + an-1xn-1 + ... + a0x0
• Exemplos, converter para a base 10:
• 10112
• 4A3B16
•72718
Conversão Base X – Base 10
pet
computação
UFPE
• numd = anxn + an-1xn-1 + ... + a0x0
• Binário – Decimal: 10112
• 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20
• 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 1110
• Octal– Decimal: 72718
• 7 * 83 + 2 * 82 + 7 * 81 + 1 * 80
• 7 * 512 + 2 * 64 + 7 * 8 + 1 * 1 = 376910
• Hexadecimal – Decimal: 4A3B16
• 4 * 163 + A * 162 + 3 * 161 + B * 160
• 4 * 163 + 10 * 162 + 3 * 161 + 11 * 160
• 4 * 4096 + 10 * 256 + 3 * 16 + 11 * 1 = 1900310
Conversão Base X – Base 10
pet
computação
UFPE
• Exercícios, converter para a base 10:
• 11002
• 01112
• ABCD16
•A8B216
Respostas
pet
computação
UFPE
•Respostas ao exercício anterior:
• 11002 = 12 10
• 01112 = 7 10
• ABCD16 = 43981 10
•A8B216 = 43186 10
Conversão Base 10 – Base X
pet
computação
UFPE
• num1d
r1
x
num2d
r2
x
num3d
numn-1d
rn-1
numix = rnx...r2xr1x
x
rn
Conversão Base 10 – Base X
pet
computação
UFPE
• Exemplo, converter 5310 para binário:
53 2
Momento de
Parar: quando o
quociente é
menor do que o
valor da base
1 26 2
0 13
2
1
6
2
0
3
2
1 1
1101012
Neste caso, o
valor da base é
“2”
Conversão Base 10 – Base X
pet
computação
UFPE
• Exemplo, converter 101610 para hexadecimal:
1016 16
8
63 16
15
3
3F816
•Exemplo, converter 5310 para hexadecimal:
53 16
5
3
3516
Conversão Base 10 – Base X
pet
computação
UFPE
• Exercícios, converter da base 10:
• para binário, 25
• para hexadecimal, 156
• Respostas
• 25 10 = 11001 2
• 156 10 = 9C 16
Adição e subtração em
binário
pet•
computação
UFPE
As operações aritméticas com números binários são
feitas de forma análoga aos decimais
• Para a subtração, em especial, é necessário lembrar
os “empréstimos” ensinados durante o primário
• É importante ter em mente que:
– 1 + 1 = 0 e “vai” 1
– 1+0=0+1=1
– 0+0=0
– 1 + 1 + 1 = 1 e “vai” 1
Exemplos
pet
computação
UFPE
Ex1: 1 1 1
- vai 1
1 0 1 1 – 1a. parcela
+ 1 1 1 1 - 2a. parcela
1 1 0 1 0 – resultado
0
1
Ex2:
1
0
10
1
-
0
1 1
0
0
0
1
1
Complemento a 2
pet•
•
•
•
•
•
computação
UFPE
Por questões de convenção e eficiência, utiliza-se a notação de
complemento a 2 para se trabalhar com números binários no
computador
Utilizando esta notação, a subtração é uma soma. Por exemplo: 7 – 5
seria 7 + (-5)
Embora seja uma alteração sutil, faz uma enorme diferença para o
computador
Números que tenham o bit mais à esquerda 1 são negativos. Os que
tiverem 0 neste bit, serão positivos
Para trabalhar com complemento a 2, é necessário saber a quantidade
de bits que os números devem ter. Isto varia de acordo com o
processador. Caso o resultado exceda esta quantidade de bits, o bit
mais à esquerda é desprezado
Deve-se proceder da seguinte maneira:
– Os números negativos devem ter seus bits invertidos
– Soma-se 1 ao valor obtido
Exemplo
pet•
•
•
•
•
computação
UFPE
Faça 10 – 5 utilizando complemento a 2. Suponha que seu
processador trabalhe com números de 5 bits
Na verdade, deve-se fazer 10 + (-5)
10, em binário é: 01010
5 em binário é: 00101
Aplicando o complemento a 2, obteremos -5:
– 00101. Invertendo seus bits, temos: 11010
– Fazendo 11010 + 1, temos 11011
• Agora, basta somar: 01010 + 11011. Assim, obtemos 100101.
Como o processador é de 5 bits, o bit mais à esquerda a mais
será desprezado. Assim, o número que obtive como resultado
foi 00101. De fato, o resultado é 5.
Representação no computador
pet
computação
UFPE
• O computador trabalha com grupos de bits (palavra).
Em geral, essas palavras são de 16 ou 32bits, mas hoje
existem computadores manipulando 64bits.
• Em geral, ele usa uma palavra para representar os
números inteiros (INT, LONG, SHORT...) e um bit é
utilizado para indicar o sinal do número (0 positivo e 1
negativo).
Números especiais
pet
computação
UFPE
• No standard IEEE, além dos números finitos, são definidos números
específicos:
– - e , para os infinitos.
– NaN (not-a-number), para representar resultados de operações
como 0/0,  - , 0x,
– -0, definido com o inverso de -.
Erros de aproximação
pet
computação
UFPE
• O computador representa os números de uma forma finita e
aproximativa:
– Precisa de forma de gerenciar o infinitamente pequeno e o
infinitamente grande,
– Precisa de minimizar e medir os erros de aproximação.
Overflow e underflow
pet
computação
UFPE
• Os números manipulados
– grande demais para ser representados provocam um
overflow.
– pequeno demais para ser representados provocam um
underflow.
• Os sistemas têm feedback diferentes em caso de over ou
underflow. Certos param a execução, certos dão uma
mensagem e outros representam o número de uma forma
especifica.
Conclusão
pet
computação
UFPE
• A representação dos números depende do suporte material
para representar e calcular (binário com o computador).
• O mesmo número pode ter uma representação finita ou infinita
dependendo da base:
1
em base 10 ou base 12, 0,110 em base 10 ou base 2
3 10
O computador usa representação finita, ele não pode representar de
forma exata os números reais.
pet
computação
UFPE
Obrigado!!!
Creative Commons
Este material foi elaborado pelo PET Informática da UFPE, estando
sob a licença Creative Commons. É permitido que outras pessoas
usem e alterem a presente obra, desde que os créditos sejam
dados ao PET Informática.
Não é permitido o uso comercial do material.
Maiores informações: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/br/