Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Aula 02 Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis I.2. Elementos Básicos I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas I.2.2. Esforços nas Estruturas I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais I.3. Problemas e Métodos Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Seções Planas Usuais Seções Maciças Seções sem vazios cujas dimensões são da mesma ordem de grandeza. Seção Retangular b x h h b Seção Circular f d d Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Seções Planas Usuais Seções Maciças Seções Compostas por Retângulos Seções sem vazios cujas dimensões são da mesma ordem de grandeza. Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Seções Planas Usuais b’ Seções Vazadas Seções com vazios cujas dimensões são da mesma ordem de grandeza. h h’ Seção Retangular Vazada b x h / b’ x h’ b Seção Circular Vazada f de / f di di de Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Seções Planas Usuais Seções Vazadas Seções Compostas por Retângulos Seções com vazios cujas dimensões são da mesma ordem de grandeza. Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Seções Planas Usuais Perfis Abertos Perfis I ou H Seções formadas por chapas finas cuja linha média é uma linha aberta. As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção. Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Seções Planas Usuais Perfis Abertos Seções formadas por chapas finas cuja linha média é uma linha aberta. Perfis U ou C simples enrijecido As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção. Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Seções Planas Usuais Perfis Abertos Seções formadas por chapas finas cuja linha média é uma linha aberta. Perfis L ou Cantoneira a de abas iguais Laxaxt a a de abas desiguais Laxbxt b t: espessura As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção. Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Seções Planas Usuais Perfis Fechados Seções formadas por chapas finas cuja linha média é uma linha fechada. Tubo Retangular Tubo Redondo ou Circular As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção. Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Área de Superfície Área [cm2]: medida da superfície y dA dx.dy A dA dx.dy A dy y x x dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES x y Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Seja uma força f distribuída na superfície da seção plana, variando linearmente com as distâncias dos pontos de aplicação aos eixos de referência da seção: y dA dx.dy dy y f kx x k y y x x dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES kN cm 2 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície A força resultante na área elementar dA vale: dF kx x k y y dA y dA dx.dy kN Os momentos da força dF em relação aos eixos x e y são: dMx ykx x k y y dA dy y x x dM y xkx x k y y dA dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES kN.cm kN.cm Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície A força resultante na superfície vale: F dF k x x k y y dA A y dA dx.dy A F k x x.dA k y y.dA A dy y ou x x F kx S y k y Sx dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES A Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Os momentos de primeira ordem ou Momentos Estáticos [cm3] da superfície são: S x y.dA y.dx.dy y A x y dA dx.dy S y x.dA x.dx.dy dy y A x y x x dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Os momentos resultantes em relação ao eixos de referência da seção são: M x y k x x k y y dA A y dA dx.dy M x k x x. y.dA k y y 2 dA A dy y M x k x I xy k y I x x x e dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES A Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Os momentos resultantes em relação ao eixos de referência da seção são: M y x k x x k y y dA A y dA dx.dy M y k x x 2 dA k y x. y.dA A dy y M y k x I y k y I xy x x dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES A Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Os momentos de segunda ordem ou Momentos de Inércia [cm4] da superfície são: Momentos Axiais de Inércia: y 2 2 dA dx.dy I x y dA y dx.dy A x y I y x 2 dA x 2 dx.dy dy y A x y Produto de Inércia: x x dx I xy x. y.dA x. y.dx.dy A x y Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Seja uma força f distribuída na superfície da seção plana, variando linearmente com a distância à origem dos eixos de referência: y 2 dA dx.dy dy y f kp kN cm A força resultante na área elementar dA vale: x x dF k p .dA dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES kN Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície O momento elementar da força dF em relação à origem dos eixos x e y é: dM p .dF k p 2dA kN.cm y dA dx.dy O momento resultante é: dy y M p k p 2 dA A x x dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície O Momento Polar de Inércia [cm4] da superfície é: I p 2 dA 2 dx.dy y A dA dx.dy dy y x y 2 x2 y 2 I p x 2 y 2 dA A x x I p Ix I y dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Seja uma superfície de área A e momento de inércia Ix y dy y Seja outra superfície de mesma área A e mesmo momento de inércia y Ix, porém ‘concentrada’ A dA dx.dy a uma distância rx do eixo x y rx x x dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES x Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Seja uma superfície de área A e momento de inércia Ix y dA dx.dy dy y I x y 2 dA rx2 dA rx2 A A y A A y rx x x dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES x Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Seja uma superfície de área A e momento de inércia Ix y dA dx.dy dy y I x y 2 dA rx2 dA rx2 A A rx A Ix é o raio de giração A da seção em relação ao eixo x x x dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Analogamente, ry ro Iy A Ip A é o raio de giração da seção em relação ao eixo y e é o raio de giração polar da seção ro2 rx2 ry2 Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos x2 x1 xo y2 y1 yo Translação: y1 y2 xo x2 dA dx.dy dy y1 y2 yo x1 S x2 y2 dA y1 yo dA A A S x2 y1dA yo dA A x2 x1 Sx2 Sx1 yo A dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES A Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos x2 x1 xo y2 y1 yo Translação: y1 y2 xo x2 dA dx.dy dy y1 y2 yo x1 Sx2 Sx1 yo A x2 S y2 S y1 xo A x1 dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos x2 x1 xo y2 y1 yo Translação: y1 y2 xo x2 dA dx.dy dy y1 y2 yo x1 I x2 y22 dA y1 yo dA 2 A A I x2 y12 dA 2 yo y1dA yo2 dA A A x2 2 x1 I x2 I x1 2 yo Sx1 yo A dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES A Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos x2 x1 xo y2 y1 yo Translação: y1 y2 xo x2 dA dx.dy dy y1 y2 yo x1 dx x2 x1 I x2 I x1 2 yo Sx1 yo2 A I y2 I y1 2xo S y1 xo2 A I x2 y2 I x1 y1 xo S x1 yo S y1 xo yo A Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos x2 x1 xo y2 y1 yo Translação: y1 y2 xo x2 dA dx.dy dy y1 y2 yo x1 I p1 I x1 I y1 I p2 I x2 I y2 x2 x1 I p2 I p1 2 yo S x1 xo S y1 xo2 yo2 A dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG): Seja S x2 S y2 0 y1 y2(yCG) xo x2 dy y1 dA dx.dy y2 yo CG x1 S x2 S x1 yo A 0 S y1 S x1 xo xCG yo yCG A A x2(xCG) x1 (x2,y2): eixos centrais dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG): Sejam xCG e yCG os eixos centrais. y yCG As coordenadas do CG são: x dA dx.dy CG dy y CG x yCG dx xCG Sy A yCG Sx A xCG Notação alternativa: x x Sy A Sx y A Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG): y I x2 I x1 2 yo Sx1 yo2 A yCG xCG dy y dA dx.dy 2 I xCG I x 2 yCG Sx yCG A 2 S x yCG A I xCG I x yCG A CG x yCG xCG 2 I I y A x x xCG dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG): y yCG xCG dy y dA dx.dy 2 I x I xCG yCG A 2 I y I yCG xCG A CG x yCG xCG x I xy I xyCG xCG yCG A dx Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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