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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
O capítulo 3 trata de transformações de intensidade
e filtragem espacial.
Os processos no domínio espacial são denotados por:
g ( x, y)  T  f ( x, y)
onde f(x,y) é a imagem de entrada, g(x,y) é a imagem de saída
e T é um operador sobre f definido sobre uma vizinhança do
ponto (x,y).
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
Uma vizinhança 3x3 em torno
de um ponto (x,y) numa imagem
no domínio espacial.
A vizinhança é movida pixel a
pixel na imagem para gerar
uma imagem de saída.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
• Quando a vizinhança é de tamanho 1x1, g depende somente do
valor de f no único elemento em (x,y) e T é uma função de
transformação de intensidade:
s = T(r).
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
Funções de transformação
de intensidade.
(a) Extensão de contraste
(constrast stretching function)
(b) Limiar (thresholding function)
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
Algumas funções básicas de
transformação de intensidade.
Todas as curvas foram escaladas para enquadrar no
intervalo mostrado.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Mamografia digital
original.
(b) Imagem negativa
obtida usando a transformação negativa.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Espectro de Fourier.
(b) Resultado da aplicação da
transformação log com c = 1.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Gráficos da equação
s = crg para valores
de g (c=1) em todos
os casos.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
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(a) Imagem rampa de
intensidade.
(b) Imagem vista num
monitor com gamma de 2.5
(c) Imagem com correção
de gamma.
(d) Imagem corrigida
vista no monitor
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Imagem MRI de uma
espinha humana fraturada
(b) – (d) Resultado da
aplicação da eq. 3.2-3 com
c = 1 e g = 0.6, 0.4 e 0.3
respectivamente.
Eq. 3.2-3: s = crg
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Imagem aérea.
(b) - (d) Resultado da
aplicação da eq. 3.2-3 com
c = 1 e g = 3.0, 4.0 e 5.0
respectivamente.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
• Função de transformação de
intensidade por partes.
T(r)
r
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Extensão do
contraste.
(a) Forma da função
de transformação.
(b) Imagem de baixo
contraste.
(c) Resultado.
(d) Resultado da
limiarização
(thresholding)
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Essa transformação intensifica o intervalo de intensidade [A,B]
e reduz todas as intensidades a um nível menor.
(b) Essa transformação intensifica o intervalo de intensidade [A,B]
e preserva todos os outros níveis de intensidade.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Angiograma aórtica.
(b) Resultado usando a transformação da Fig. 3.11(a).
(c) Resultado usando a transformação da Fig. 3.11(b)
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Representação plano-de-bits
(bit-plane) de uma imagem
de 8 bits.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Uma imagem de 8 bits de tamanho 500x1192.
(b) - (i) plano-de-bits de 1 a 8, sendo o plano 1, menos signif.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Imagens reconstruídas usando:
(a) plano-de-bits 8 e 7
(b) plano-de-bits 8, 7 e 6 e
(c) plano-de-bits 8, 7, 6 e 5.
Comparar (c) com a imagem completa, Fig. 3.14(a)
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
• PROCESSAMENTO DE HISTOGRAMA
O histograma de uma imagem digital com níveis de intensidade
no intervalo [0, L-1] é uma função discreta h(rk ) = nk , onde
rk é o k-ésimo valor de intensidade e nk é o número de pixels
na imagem com intensidade rk .
h(rk)=nk
L-1
0 1
Histograma normalizado: dividir cada um dos componentes
pelo número total de pixels da imagem, denotado por MN, tal
que p(rk ) = nk /MN, para k = 0, 1, 2, ..., L-1.
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rk
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
escuro
claro
Quatro tipos básicos de imagem:
escuro, claro, baixo contraste,
alto contraste, e seus histogramas
correspondentes.
baixo contraste
alto contraste
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
• EQUALIZAÇÃO DE HISTOGRAMA
A equalização de histograma ou linearização de histograma
consiste numa transformação T(rk) em que a imagem original
resulte numa imagem onde os níveis de intensidade são
uniformemente distribuídos .
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Função monotônica crescente, mostrando como múltiplos valores
podem mapear a um único valor.
(b) Função estritamente monotônica crescente (mapeamento
um-a-um, em ambas as direções.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
• Os níveis de intensidade de uma imagem podem ser vistos como variáveis
aleatórias no intervalo [0, L-1].
• Um descritor fundamental de uma variável aleatória é a função densidade
de probabilidade (PDF, Probability Distribution Function).
• Sejam pr(r) e ps(s) a função PDF de r e s, respectivamente, onde s = T(r).
• Da teoria de probabilidade básica, se pr(r) e T(r) são conhecidos, e T(r) é
contínua e diferenciável, no intervalo de interesse, então a função PDF da
variável transformada s pode ser obtida pela equação
dr
p s ( s )  pr ( r )
ds
(Eq. 3.3-3)
• A função de transformação de particular importância em processamento de
imagens tem a forma
r
s  T (r )  ( L  1)  pr ( )d
0
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(Eq. 3.3-4)
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
• Sabe-se da regra de Leibniz de Cálculo Básico que a derivada de uma
integral definida com respeito ao seu limite superior é o integrando
ds dT (r )
avaliado no limite :

dr
dr
r

d 
 ( L  1)   pr ( w)dw
dr  0

 ( L  1) pr (r )
• Substituindo esse resultado na equação 3.3-3, tem-se:
dr
p s ( s )  pr ( r )
ds
 pr ( r )

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1
L 1
1
( L  1) pr (r )
0  s  L 1
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Eq. 3.3-4:
r
s  T (r )  ( L  1)  pr ( )d
0
(a) Um PDF arbitrário.
(b) Resultado da aplicação da transformação (eq.3.3-4)
para todos os níveis de intensidade, r. As intensidades
resultantes, s, tem um PDF uniforme, independente/
da forma da PDF de r’s.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
• Para valores discretos lidamos com probabilidades e somatórios ao invés de
funções de densidade de probabilidade e integrais. A probabilidade de
ocorrência de nível de intensidade rk numa imagem digital é dada por
pr (rk ) 
nk
MN
k  0,1, 2,...,L  1
onde MN é o número total de pixels, nk é o número de pixels de intensidade rk
e L é o número de possíveis níveis de intensidade.
• A forma discreta da transformação da equação 3.3-4 é
k
s  T (rk )  ( L  1) pr (rj )
j 0
( L  1) k

nj

MN j 0
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k  0,1, 2,...,L  1
Eq. 3.3-8
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Distribuição de intensidade e
valores de histograma para uma
imagem digital 64x64 de 3 bits.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Ilustração da equalização de histograma de imagem de 3 bits.
(a) Histograma original
(b) Função de transformação
(c) Histograma equalizado.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Coluna a esquerda: imagens
da Fig. 3.16.
Coluna central: imagens com
equalização de histograma
Coluna direita: histogramas
das imagens da coluna central.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
k
sk  T (rk )  ( L  1) pr (rj )
j 0

( L  1)
nj

MN j 0
k
k  0,1,2,...,L  1
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Eq. 3.3-8
Funções de transformação para
equalização de histograma.
Transformações (1) a (4) foram
obtidas dos histogramas das
imagens do topo à base na
coluna a direita da Fig. 3.20.
usando eq.3.3-8.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
• Especificação de Histograma (matching).
• A equalização de histograma visto anteriormente determina a função de
transformação que busca produzir uma imagem de saída que tenha um
histograma uniforme.
• Existem aplicações em que é útil especificar a forma do histograma para a
imagem processada.
• O método usado para gerar uma imagem processada que tenha um
histograma especificado é chamado de matching de histograma ou
especificação de histograma.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
•
•
•
•
Voltando a idéia de intensidades contínuas r e z, e sejam pr(r) e pz(z), as PDFs
respectivas.
Aqui r denota níveis de intensidade da imagem de entrada e z denota níveis de
intensidade da imagem processada de saída.
Podemos estimar pr(r) de uma dada imagem de entrada, enquanto que pz(z) é a
função PDF especificada.
Seja s uma variável aleatória com a propriedade
r
•
s  T (r )  ( L  1)  pr ( )d
eq. 3.3-10
0
Definimos agora uma variável aleatória
z com a propriedade
z
G ( z )  ( L  1)  pz (t )dt  s
•
eq. 23.3-11
0
Segue então que G(z)=T(r) e, portanto, z deve satisfazer
z  G 1T (r )  G 1 (s)
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eq. 3.3-12
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
•
1.
2.
3.
4.
As equações anteriores mostram que uma imagem cujos níveis de
intensidade tem uma PDF especificada pode ser obtida de uma dada
imagem usando o seguinte procedimento:
Obter pr(r) da imagem de entrada e usar a equação 3.3-10 para obter os
valores de s.
Usar a PDF especificada em equação 3.3-11 para obter a função de
transformação G(z).
Obter a tranformação inversa z= G-1(s); como z é obtido de s, este
processo é um mapeamento de s a z, sendo o último, os valores
desejados.
Obter a imagem de saída primeiro equalizando a imagem de entrada
usando a eq. 3.3-10; os valores de pixels são os valores s. Para cada pixel
com valor s realizar o mapeamento inverso z = G-1(s) para obter a
imagem de saída.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
•
A formulação discreta da equação 3.3-10 é dada pela equação 3.3-8
k
s  T (rk )  ( L  1) pr (rj )
j 0
•
( L  1) k

nj

MN j 0
k  0,1, 2,...,L  1
Similarmente, dado um valor específico de sk, a formulação discreta da eq.3.3-11 é
dada por
q
G( zq )  ( L  1) pz ( zi )
i 0
para um valor de q, tal que
G( zq )  sk
•
Eq.3.3-13
Obtem-se o valor desejado zq pela transformação inversa:
zq  G 1 (sk )
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Eq.3.3-14
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
•
1.
2.
3.
4.
RESUMO DO PROCEDIMENTO:
Computar o histograma pr(r) da imagem de entrada e usar o resultado para
realizar a transformação da eq. 3.3-13. Arredondar os valores resultantes sk, para
inteiros no intervalo [0, L-1].
Computar todos os valores da função de transformação G usando a eq. 3.3-14
para q = 0, 1, 2,..., L-1, onde pz(zi) são os valores do histograma especificado.
Arredondar os valores de G para inteiros no intervalo [0, L-1]. Guardar os valores
de G numa tabela.
Para cada valor de sk, k = 0, 1, 2,..., L-1, usar os valores guardados de G do passo
2 para encontrar o valor correspondente de zq tal que G(zq) seja próximo de sk e
guardar esse mapeamento de s para z. Quando mais que um valor de zq satisfaz o
dado sk, escolher o menor valor por convenção.
Formar a imagem do histograma especificado, primeiro equalizando o
histograma da imagem de entrada e então mapeando cada valor do pixel
equalizado, sk, para o correspondente valor zq na imagem de histograma
especificado usando o mapeamento do passo 3.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Histograma de
imagem de 3 bits.
(b) Histograma
especificado
(c) Função de
transformação
obtida do hist.
especificado.
(d) Resultado da
realização da
especificação.
Comparar (b) e (d)
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Histogramas reais e especificados.
Os valores da terceira coluna são
das computações realizadas
no exemplo 3.8 (anterior).
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Todos os possíveis valores da função
de transformação G escalados, arredondados,
e ordenados em relação a z.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Mapeamento de todos os valores de sk
em valores correspondentes de zq.
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(a) Imagem da Lua de
Marte Phobos.
(b) Histograma.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
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(a) Função de transformação
para equalização de histograma
(b) Imagem de histograma equalizado
(notar a aparência de limpeza)
(c) Histograma de (b)
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Histograma especificado
(b) Transformações
(c) Imagem melhorada usando
mappings da curva 2
(d) Histograma de (c)
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
• PROCESSAMENTO DE HISTOGRAMA LOCAL
• Os métodos de histograma vistos anteriormente são globais, ou seja, os
pixels são modificados por uma função de transformação baseada na
distribuição de intensidade da imagem inteira.
• Existem casos em que seja necessário melhorar detalhes sobre uma
pequena área de uma imagem.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Imagem original.
(b) resultado da equalização de histograma global
(c) Resultado da equalização de histograma local em (a),
usando uma vizinhança de tamanho 3x3.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Imagem SEM de filamento de tungstênio ampliado 130x.
(b) Resultado da equalização de histograma global.
(c) Imagem melhorada usando estatística de histograma local.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
• FUNDAMENTOS DE FILTRAGEM ESPACIAL
• Filtragem espacial é uma das principais ferramentas usadas para um largo
espectro de aplicações.
• O nome filtro é emprestado do processamento no domínio da frequência,
como filtro de passa-baixa (lowpass).
• Filtragem espacial realiza operação diretamente na imagem, usando filtros
espaciais também chamados de máscaras, kernels, templates, e windows.
• Se a operação realizada sobre os pixels é linear, o filtro é chamado de filtro
espacial linear, caso contrário, é chamado filtro não-linear.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
A mecânica de filtragem espacial
linear usando máscara de 3x3.
A forma escolhida para denotar
as coordenadas dos coeficientes
da máscara de filtragem simplifica
a escrita de expressões para
filtragem linear.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
Ilustração de correlação e
convolução 1-D de um
filtro com um impulso
unitário discreto.
Note que correlação e
convolução são funções
de deslocamento.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
Correlação (linha do meio) e
convolução (última linha) de
um filtro 2D com um impulso
unitário discreto 2D.
Os 0s são mostrados em cinza
para facilitar a análise visual.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
Uma outra representação de uma
máscara de filtragem geral 3x3.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
Duas máscaras de filtragem de suavização (média) 3x3.
O multiplicador constante é igual a 1 dividido pela soma
dos valores dos coeficientes, requeridos para computar a
média.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Imagem original, de tamanho 500x500.
(b)-(f) resultado da suavização com filtros
de média de tamanho m=3,5,9,15 e 35.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Imagem de tamanho 528x485 pixels do telescópio Hubble.
(b) Imagem filtrada com uma máscara de média 15x15.
(c) Resultado da limiarização sobre (b).
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Imagem de raios-X de circuito impresso corrompido
por ruído sal-e-pimenta.
(b) Redução do ruído com uma máscara de média 3x3.
(c) Redução do ruído com uma máscara de mediana 3x3.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
Ilustração da primeira
e segunda derivada de
uma função 1D (perfil
de intensidade de uma
imagem).
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Máscara de filtro usada
para implementar a eq. 3.6-6
(b) Máscara usada para
implementar uma extensão
dessa equação que inclui
termos diagonais.
(c) e (d) Duas outras implementações do Laplaciano
encontrado frequentemente
na prática.
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Chapter 3
Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Imagem borrada do
polo norte da Lua
(b) Laplaciano sem
escala
(c) Laplaciano com escala
(d) Imagem aguçada usando
máscara da fig. 3.37(a)
(e) Resultado de uso da
máscara da fig. 3.37(b).
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Ilustração 1D do
mecanismo de máscara
de desafinamento.
(a) Sinal original
(b) Sinal borrado com o
original mostrado em
pontilhado
(c) Máscara de desafinamento
(d) Sinal aguçado obtido
somando (c) a (a).
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Imagem original
(b) Resultado de borramento com
filtro Gaussiano
(c) Máscara de unsharp
(d) Resultado do uso da máscara
(e) Resultado de usar filtro “highboost”
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
Uma região 3x3 de uma
imagem (os z’s são
valores de intensidade)
(b)-(c) operadores de
gradiente cruzada de
Roberts
(d)-(e) operadores de
Sobel.
Todos os coeficientes
de máscaras somam
zero, como se espera
de um operador
derivativo.
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(a) Imagem óptica de lente de contato (notar os defeitos no
contorno a 4 e 5 horas).
(b) Gradiente de Sobel.
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Imagem do corpo
completo
(b) Laplaciano de (a)
(c) Imagem aguçada
obtido somando (a) e (b)
(d) Gradiente de Sobel de (a)
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(e) Imagem Sobel
suavizada com um filtro
de média 5x5.
(f) Imagem de máscara
formada pelo produto
de (c) e (e)
(g) Imagem aguçada
obtida somando (a) e (f)
(h) Resultado final obtido
aplicando uma transformação de potência
(power-law) sobre (g).
Comparar (g) e (h) com (a)
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Funções de membership usadas para gerar:
(a) Um crisp set e
(b) Um fuzzy set
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(a) Funções de membership de dois conjuntos A e B
(b) Função de membership do complemento de A
(c) e (d) funções de membership da união e interseção dos
dois conjuntos
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Funções de membership
correspondentes às
equações 3.8-6 a
3.8-11
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(a) Funções de membership usadas para
fuzzificar a cor
(b) Fuzzificar uma cor
específica z0.
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Funções de membership
caracterizando as saídas
verdant, half-mature e
mature
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
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(a) Forma da
função de
membership
associada com
a cor vermelha e
(b) função de
membership
de saída
correspondente.
Essas 2 funções
são associadas
pela regra R3.
(c) Representação
combinada das
duas funções
(d) AND de (a)
e (b), definido
pela eq. 3.8-5
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Intensity Transformations & Spatial Filtering
(a) Resultado da computação do mínimo de uma constante
arbitrária , c, e função m3(z,v) da eq. 3.8-12. O mínimo é
equivalente a uma operação AND
(b) Seção cruzada (linha escura) a uma cor específica, z0.
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(a) Funções de
membership com
uma cor específica,
z0, selecionada.
(b) Conjuntos fuzzy
individuais obtidos
das eq. 3.8-13 a
3.8-15
(c) Conjunto fuzzy
final obtido usando
Eq.3.8-16 or 3.8-17
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(a) Exemplo ilustrando
os cinco passos básicos
usados tipicamente para
implementar um sistema
baseado em regras fuzzy.
(1) Fuzzificação
(2) Operação lógica (só
OR foi usado no exemplo)
(3) Implicação
(4) Agregação
(5) defuzzificação
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Funções de
• Membership de entrada
• Membership de saída
para melhoramento de contraste baseado em regras fuzzy.
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(a) Imagem de baixo contraste
(b) Resultado da equalização de histograma
(c) Resultado de melhoramento de contraste usando
regras baseadas em fuzzy
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(a) e (b) Histogramas das
figs. 3.54(a) e (b)
(c) Funções de membership
de entrada superimpostas
sobre (a)
(d) Histograma da fig.3.54(c)
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(a) Uma vizinhança de pixels 3x3
(b) Correspondentes diferenças de intensidade entre os pixels
centrais e suas vizinhanças. Somente d2, d4, d6 e d8 foram
usadas na presente aplicação para simplificação.
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(a) Função de membership do conjunto fuzzy zero
(b) Funções de membership dos conjuntos fuzzy preto e branco
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Conjunto fuzzy para
detecção de contorno
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(a) CT de uma cabeça humana
(b) Resultado do filtro especial fuzzy usando funções de membership
em fig. 3.57 e as regras na fig. 3.58.
(c) Resultado após escalamento de intensidade.
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