On the Application of the Theorem of Thévenin to the Analysis of Power in Linear Circuits R. M. Nascimento, J. R. Lima, C. S. Moura and G. L. Horta Abstract—1The Theorem of Thévenin-Helmholtz (TTH for short) is a powerful tool in network analysis. However, it is still underexplored in the calculations of power, being restricted to a few topics targeted to the load. This paper aims to demonstrate how the TTH can be applied to calculations of the complex power developed in linear networks. For this purpose a new approach based on the influence of the load on the circuit’s sources is presented. The concepts involved are simple and lead the discussion to other relevant themes, such as: the conservation of power, the superposition of power and Rosen’s theorem. Additionally, they allow a simplified analysis of the “efficiency of the Thévenin equivalent circuit”. These results obtained with the application of the TTH at the same time confirming its importance prove that its scope has not yet been fully estimated. Keywords— Thévenin-Helmholtz’s Theorem, Complex Power, Conservation of Power, Superposition of Power, Efficiency, Rosen’s Theorem. PREFÁCIO Os autores deste documento optaram por torná-lo público, livre de quaisquer vínculos, certos de que o seu conteúdo possui relevância teórica e prática ao veicular uma técnica pouco comum, embasada no Teorema de Thévenin-Helmholtz, para o estudo da potência em redes lineares. Ao presente texto foi inserido, como apêndice, o “Teorema da Potência de Pré-falta”: uma generalização, com menor dependência ao TTH, que abrange, além da análise das fontes nas condições de falta, os casos de cargas conectadas a distintos pares de terminais. Ao leitor interessado, boa leitura! I. INTRODUÇÃO O TEOREMA de Thévenin-Helmholtz e o seu dual, o Teorema de Norton-Mayer (TNM), ocupam uma posição de destaque na teoria de circuitos elétricos em virtude, sobretudo, de seu poder de simplificação que culmina em seus respectivos circuitos equivalentes: o Circuito Equivalente de Thévenin (CET) ou “equivalente de fonte de tensão” [1] e o Circuito Equivalente de Norton (CEN) ou “equivalente de fonte de corrente” [2]. Outro fator que contribui para a consolidação desse status é a interação existente entre os parâmetros que os fundamentam: a tensão de circuito aberto, a corrente de curto-circuito e a impedância equivalente. Definidos com base em um mesmo par de terminais, esses três parâmetros se relacionam de forma similar à Lei de Ohm [3,4], viabilizando o estudo detalhado tanto de partes específicas como da totalidade de uma rede linear. Sob essa última perspectiva, a aplicabilidade da “Lei de Ohm” tem sido demonstrada com êxito, porém, focada na análise clássica de circuitos complexos [5]. No âmbito da potência elétrica, entretanto, são raros os conteúdos existentes na literatura que [email protected] associam a potência complexa desenvolvida em um circuito ao TTH ou ao TNM. O principal objetivo do presente trabalho consiste em demonstrar que as abstrações englobadas pelo TTH constituem-se em um poderoso instrumento de análise para questões relacionadas à potência. Com esse intuito, é proposto um procedimento que revela o tema central deste estudo: uma inusitada conexão entre a carga e a potência entregue pelas fontes, independentes e de mesma frequência, de redes lineares em regime permanente senoidal. Esse vínculo pode ser mensurado, para a diferença de potência ocasionada por variações na carga, valendo-se do circuito real sem as fontes, doravante denominado “Circuito de Reação à Carga” (CRC). No CRC, energizado por uma fonte derivada do CET, leva-se em consideração, unicamente, a análise dos ramos de onde as fontes foram desativadas. Posteriormente, as tensões e/ou correntes calculadas – que podem ser consideradas como fontes ideais – são aplicadas às fontes previamente anuladas, obtendo-se a “Potência Imposta pela Carga” (PIC), título elegido para a primeira e principal concepção tratada neste texto: o resto da subtração indicada em (1). Outros temas pertinentes ocorrem como consequência natural da discussão que se segue à introdução das novas proposições. Destacam-se, entre eles, a conservação de potência, a superposição de potência, uma breve contestação aos “Teoremas da Eficiência do Circuito Equivalente de Thévenin” [6] e o teorema de Rosen [7]. Esses resultados obtidos com a aplicação do TTH, ao mesmo tempo em que confirmam a sua importância, comprovam que o seu alcance ainda não foi completamente estimado. II. POTÊNCIA IMPOSTA PELA CARGA (PIC) Seja a rede linear Ni em regime permanente senoidal, composta por bipolos passivos e fontes independentes de mesma frequência, representada sem carga externa conectada na Fig. 1(a). Nessa condição, VA é a tensão de circuito aberto entre o nó A e o Nó de Referência (NR) e SFO equivale à potência complexa entregue pelas fontes aos bipolos passivos de Ni. Figura 1. (a) SFO → potência complexa entregue pelas fontes da rede Ni sem carga externa acoplada; (b) SFL → potência complexa entregue pelas fontes da rede Ni com a carga externa ZL acoplada. 1 À mesma rede Ni é conectada uma carga externa ZL entre os nós A e NR conforme indicado na Fig. 1(b). Nesse cenário, IL é a corrente requerida pela carga ZL, VL é a queda de tensão provocada pelo fluxo de IL através de ZL e SFL representa o novo valor para a potência complexa fornecida pelas fontes de Ni. É possível, para as situações previstas na Fig. 1, estabelecer a diferença de potência (PIC) entregue pelas fontes da rede Ni como segue: (1) ∆S F = S FO − S FL Apesar de sua importância conceitual, o cálculo da PIC, segundo a operação expressa em (1), não traz vantagens significativas. O algoritmo recomendado para esse fim, descrito a seguir, utiliza conceitos abarcados pelo TTH e adota a convenção ativa para os sinais de potência: (i) no CET (Fig. 2(a)) – relativo à Fig. 1(a), mas, com a carga já acoplada – determinar IL ou, se preferível, a queda de tensão VZA provocada pelo fluxo de IL através da impedância equivalente ZA; Figura 4. (a) Rede Ni com apenas fontes de tensão e uma carga externa a ser conectada; (b) Circuito de reação após a inserção da carga. ∆S F = −V1 J 1∗ − V2 J 2∗ − V3 J 3∗ (3) J 1 = VZA Z1 Em que, de acordo com o CRC da Fig. 4(b): J 2 = VZA Z 2 . J = V Z 3 ZA 3 B. Exemplo 2 Com (4) demonstra-se o cálculo da PIC para a rede da Fig. 5(a). Figura 2. Conceitos incluídos no TTH utilizados no cálculo da Potência Imposta pela Carga (PIC): (a) CET e (b) CRC (com as possibilidades de excitação externa IL ou VZA). (ii) no CRC (Fig. 2(b)) – circuito sem as fontes, homólogo à Fig. 1(a), energizado com a fonte correspondente à variável (IL ou VZA) estabelecida no item anterior – determinar a diferença de potencial Ek entre o circuito aberto deixado na retirada da fonte de corrente Ik e/ou a corrente Jk no curto-circuito inserido na remoção da fonte de tensão Vk; (iii) aplicar Jk à Vk e/ou Ek à Ik utilizando valores eficazes e a convenção ativa para os sinais de potência, conforme indicado na Fig. 3, valendo-se de (2) para o cômputo da PIC. Figura 5. (a) Rede Ni com apenas fontes de corrente e uma carga externa a ser conectada; (b) Circuito de reação após a conexão da carga. ∆S F = E1 I1∗ + E 2 I 2∗ − E3 I 3∗ (4) E1 = Z1 (VZA ( Z1 + Z 2 ) ) Em que, do CRC da Fig. 5(b): E2 = Z 2 (VZA ( Z1 + Z 2 ) ) . E3 = VZA C. Exemplo 3 Para o circuito da Fig. 6(a) a PIC é calculada como pode ser visto em (5). Figura 3. Detalhes para o cálculo da PIC: mostra das possibilidades de aplicação das variáveis calculadas no CRC (Jk e/ou Ek) às fontes de Ni (Vk e/ou Ik) utilizando valores eficazes e a convenção ativa para os sinais de potência. ∆S F = ∑ (Vk J k∗ + E k I k∗ ) (2) A seguir, nos três exemplos propostos para elucidar o cálculo da PIC, considera-se que a primeira etapa do algoritmo sugerido foi concluída. A fonte escolhida para a excitação do CRC é a queda de tensão VZA na impedância equivalente ZA de acordo com o CET apresentado na Fig. 2(a). A. Exemplo 1 O cálculo da PIC para o circuito exibido na Fig. 4(a) está indicado em (3). Figura 6. (a) Rede Ni com fontes de tensão e de corrente e uma carga externa a ser conectada; (b) Circuito de reação após o acoplamento da carga. ∆S F = E1 I1∗ − V1 J 1∗ (5) E = VZA Em que, conforme o CRC da Fig. 6(b): 1 J 1 = VZA Z1 III. POTÊNCIA DE CARGA MÁXIMA (PCM) 2 Neste estudo, considera-se que a carga é máxima se o módulo da impedância que a representa é igual a zero ohm. Isso posto, PCM (representada pela variável SFLm na Fig. 7(a)) é a potência complexa fornecida pelas fontes da rede Ni quando a carga externa é um curto-circuito. Figura 8. Rede Nh (constituída pela rede Ni com carga externa ZL acoplada) considerada como uma rede distinta sem carga externa, em que a tensão de circuito aberto VA é igual à queda de tensão em ZL (VL). Figura 7. (a) SFLm → (PCM) Potência complexa entregue pelas fontes da rede Ni quando a carga externa é um curto-circuito; (b) CET (em que VZA = VA devido à carga máxima); (c) CRC (com as novas possibilidades de excitação ILm ou VA). O algoritmo proposto para a determinação da PIC, definida em (1), continua válido para as situações com carga máxima, previstas na Fig. 7(b) e (c), resultando nas expressões (6) e (7). Nestas, o subscrito “m” foi acrescentado a algumas variáveis anteriormente definidas a título de diferenciação de (1) e de (2). Destaque para SFm que representa a Potência Imposta pela Carga Máxima (PICM) e para a já mencionada SFLm (PCM). A corrente de carga máxima (corrente de curtocircuito ou corrente de Norton) ILm responde diretamente pelo resultado obtido em (7). ∆S Fm = S FO − S FLm ∆S Fm = ∑ (Vk J ∗ km ∗ km k +E I (6) (7) ) O próximo tópico refere-se à comprovação das hipóteses estabelecidas até este ponto. Contudo, antes de adentrá-lo, é importante não perder de vista a transformação ocorrida na Fig. 1(a) que resultou na Fig. 7(a). Essa transição – cerne dos “Teoremas da Tensão de Circuito Aberto e da Corrente de Curto-circuito” [3] dos quais o Teorema de Millman [8] é um caso particular [4] – também é, frequentemente, a maneira mais simples de se determinar a diferença de potencial entre dois pontos em uma rede. Na Fig. 1(a), p. ex., a tensão de circuito aberto VA pode ser obtida com o auxílio do CET com carga máxima da Fig. 7(b): V A = VZA = Z A I Lm (11) IV. TEOREMA DA CARGA MÁXIMA O Teorema da Carga Máxima (TCM), praticamente enunciado na seção anterior, estabelece que “a potência complexa total desenvolvida em um circuito pode ser equacionada a partir de um par de terminais de interesse submetido à carga máxima”. Essa proposição, traduzida matematicamente em (8), é confirmada (em sua “versão completa”) por (14). A. Comprovação do TCM O resultado em (8), desfecho natural de (6), é claramente apropriado para a análise da potência complexa entregue pelas fontes de circuitos considerados sem carga externa, como o indicado na Fig. 1(a). PCM PICM S FO = S FLm + ∆S Fm Seja a rede Nh sem carga externa, representada na Fig. 9, o circuito correspondente à rede Ni com carga externa acoplada exibida na Fig. 4(a). O cálculo convencional alusivo à potência complexa total (ST) absorvida pelos bipolos passivos de Nh está indicado em (12). (8) Do mesmo modo, os circuitos semelhantes ao retratado na Fig. 1(b), de acordo com (1), (8), (9) e (10), também podem utilizar a PCM como possibilidade de investigação: ∆ SF = S FO − ∆S F = S FLm + ∆S Fm − ∆S F ∆PIC PCM = S FLm + ∆ 2 S F 2 S FL S FL (9) (10) A expressão (10), exceto pela PCM, parece não possuir outra conexão com o resultado obtido em (8). Todavia, ao considerar-se o esquema detalhado na Fig. 8, é possível deduzir que qualquer rede (Ni), considerada com carga externa conectada, pode ser avaliada como uma rede distinta (Nh) sem carga externa. Esse fato permite que a potência complexa total (SFO, Fig. 1(a)), de um circuito qualquer, seja equacionada com base em um par de terminais de interesse utilizando-se (8). Figura 9. Rede Nh sem carga externa, correspondente à rede Ni com carga externa acoplada da Fig. 4(a) em que Z4 = ZL. ST = V1 A Z1∗ 2 + V2 A Z 2∗ 2 + V3 A Z 3∗ 2 + VA Z 4∗ 2 (12) No Quadro I, nas células destacadas, pode ser observado que a soma dos termos expandidos de ST conduz ao resultado desejado expresso em (8). 3 ST = V1 (V1 A R1 ) QUADRO I EXPANSÃO DOS TERMOS DE ST (12) PARA A COMPROVAÇÃO DO TCM (8) V1 A Z1∗ V2 A Z 2∗ V3 A Z 3∗ VA Z4∗ 2 = 2 = 2 V ∗ −V1 A Z1 V ∗ −VA 1 Z1 V ∗ VA A Z1 V ∗ V2 2 Z2 V ∗ −V2 A Z2 V ∗ −VA 2 Z2 V ∗ VA A Z2 V V3 3 Z3 ∗ V −V3 A Z3 ∗ S FO = S FO = 0 S FLm PCM 0 +∆S Fm PICM ∗ V −VA 3 Z3 V VA A Z3 0 V ∗ VA A Z4 2 = PCM = S FLm V ∗ V1 1 Z1 ∗ = − STHm ∗ A Lm − V I PCET (15) + STHm VA Z A∗ 2 PCET Fica evidenciado, dessa forma, o princípio da conservação da potência CA [9] para a potência complexa: a soma das potências complexas de cada um dos bipolos passivos (12) é igual à potência complexa total fornecida pelas fontes (13). V − V * V − VA * V3 − VA * ST = SFO = V1 1 A + V2 2 (13) + V3 Z1 Z2 Z3 Outra informação relevante disponível no Quadro I referese à Potência originada no CET (PCET) configurado com base no par de terminais A e NR da Fig. 9: os dados presentes nas duas últimas colunas atestam que a PCET, representada pela variável STHm, se autoexclui do resultado final relativo à potência complexa total do circuito de origem. Apesar disso, a PCET é crucial nos “casos especiais” discutidos na seção V, justificando a reescrita do TCM (8) em sua “versão completa”: (14) S FO = S FLm + ∆S Fm + STHm − STHm V. “CASOS ESPECIAIS” O desconhecimento dos conceitos introduzidos nas seções anteriores pode conduzir a conclusões equivocadas com relação à participação da PCET na composição da potência total entregue pelas fontes de redes relativamente simples, como as apresentadas na Fig. 10. Figura 10. Redes puramente resistivas (f = 0 Hz): (a) com fonte de tensão e (b) com fonte de corrente. Para ilustrar esse ponto, seja o cálculo formal expresso em (15), a ferramenta de análise para a potência total (ST) envolvida no circuito da Fig. 10(a). A expansão de seus termos como está indicada em (16) corresponde ao TCM proposto em (8) sob a ótica do par de terminais A e NR. Nesse caso, no entanto, o termo relativo à PICM pode ser interpretado como PCET conforme é salientado em (17). PICM =∆S Fm 2 ST = V1 R1 − V1 (V A R1 ) (16) J1m PCM = S FLm PCET = STHm ST = V12 R1 − V A (V1 R1 ) (17) I Lm Da mesma forma, a sequência de (18) a (20) expõe o mesmo fato para a rede da Fig. 10(b). (18) ST = ( R1 + R2 ) I12 PCM = S FLm PICM =∆S Fm 2 ST = R1 I1 + R2 I1 I1 (19) E1m =V A PCM = S FLm PCET = STHm 2 ST = R1 I1 + R2 I 1 I1 VA (20) I Lm Essas duas situações podem ser mais bem compreendidas com o auxílio do TCM traduzido pela expressão (14). O primeiro caso, elucidado em (21), é típico das redes com apenas fontes de tensão. O segundo, esclarecido em (22), é próprio das redes com apenas fontes de corrente. (21) S = S + ∆S + S − S = V 2 R −V I T FLm Fm THm THm 1 1 A Lm ST = S FLm + ∆S Fm + STHm − STHm = R I + V A I Lm (22) 2 1 1 Os circuitos da Fig. 10 são contados entre os quatro “casos especiais” (válidos para redes energizadas com apenas um único tipo de fonte) compilados para comprovar que a PCET não participa diretamente do resultado relativo à potência complexa total da rede real exceto, quando se iguala à PIC, nos casos apontados em (21) e (22). A. Caso Especial 1 (CE1) O primeiro “caso especial”, ilustrado na Fig. 11, contempla as situações em que o consumo de energia de uma rede sem carga externa é nulo. A configuração apresentada na Fig. 11(b) atende a esse requisito antes da conexão da carga: todas as fontes de tensão possuem o mesmo valor (V1) em volts. Consequentemente, a tensão de circuito aberto VA possui o mesmo valor de V1. Figura 11. (a) CE1 → Rede Ni em que a potência entregue pelas fontes, antes da conexão da carga externa ZL, é igual a zero (VA); (b) Exemplo de uma rede (com apenas fontes de tensão) sem consumo interno antes da conexão da carga. Após a conexão da carga externa, a PIC pode ser avaliada de acordo com (3) (Fig. 4) e com o CET da Fig. 2(a): ∗ IL ∗ J3 J1 J2 VA ∆S F = −V1 VZA Z1 + VZA Z 2 + VZA Z 2 = − V1 (VZA Z A )∗ (23) PCET = STH B. Caso Especial 2 (CE2) 4 A Fig. 12 exemplifica o segundo “caso especial”, que abrange as ocorrências em que o dispêndio de energia é nulo em redes com carga externa acoplada. Com o circuito apresentado na Fig. 12(b), essa condição é satisfeita em virtude da diferença de potencial nula imposta às fontes de corrente pela carga máxima. Figura 12. (a) CE2 → Rede Ni com carga externa ZL acoplada, em que a potência entregue pelas fontes é igual a zero (VA); (b) Exemplo de uma rede (com apenas fontes de corrente) sem consumo interno depois da conexão da carga máxima. Para o exemplo estabelecido, a PICM – exatamente igual à PCET da Fig. 7(b) – pode ser calculada por inspeção já que o CRC é constituído, apenas, pela associação em paralelo de Z1 e Z2, sendo excitado externamente pela fonte VA. Assim: ∗ ∆S Fm I Lm = VA ( I1 + I 2 )∗ (24) PCET = STHm C. Caso Especial 3 (CE3) O CE3 inclui os circuitos apresentados na Fig. 10 e está relacionado às propriedades dos bipolos passivos. Para verificá-lo optou-se pela reutilização do resultado obtido em (3), com base na Fig. 4: ∗ VZA ∆S F = − Z A∗ I L∗ (V1 Z1∗ + V2 Z 2∗ + V3 Z 3∗ ) (25) ∗ VZA i ( 2θ1 ) e V1 ei ( 2θ2 )V2 ei ( 2θ3 )V3 − i 2θ ∆S F = − Z A e ( A ) I L∗ + + Z2 Z 3 Z1 Lm ? I α = θ − θ 1 A i 2γ i 2α i2β e V e V e V 3 1 2 ∆S F = − I L∗ Z A + + ; β = θ2 − θ A Z2 Z3 Z1 γ = θ 3 − θ A VA ∆S F = − I L∗ Z A I Lm (26) (27) (28) PCET = STH A fim de que (27) denote exatamente o resultado referido em (28) é necessário que os termos exponenciais sejam, simultaneamente, iguais a um. Essa exigência é satisfeita quando as variáveis ߙ, ߚ e ߛ – que representam isoladamente a diferença entre os argumentos das impedâncias individuais Zk e da impedância equivalente ZA – forem iguais a 0°, uma característica das redes puramente resistivas, puramente capacitivas e puramente indutivas. Outra possibilidade é assumirem (em qualquer ordem) os valores de {180°, 0°, 180°}, uma particularidade das redes constituídas por associações de reatâncias capacitivas e indutivas. verificado no CRC (Fig. 13(b)), o valor da ddp E1m (igual a E2m) não é alterado pela presença de Z1, devido à impedância infinita da fonte I1. O resultado esperado (PICM igual à PCET) pode ser verificado em (29). Figura 13. CE4 → Típico de circuitos com apenas fontes de corrente: a impedância Z1 sob a ótica do par de terminais A e NR não altera o valor da ddp E1m em (b) devido à impedância infinita da fonte ideal I1 (a). ∗ I Lm ∆S Fm (29) PCET = STHm É importante ressaltar a especificidade da influência das fontes, posta à tona no estudo dos exemplos apresentados neste tópico. Nas redes com apenas fontes de tensão a parcela correspondente à PIC/PCET é sempre negativa, como pode ser observado em (21), (23) e (28). Redes com apenas fontes de corrente ocasionam valores positivos para a PIC/PCET como em (22), (24) e (29). Esse comportamento antagônico propiciado pelas fontes de tensão e pelas fontes de corrente é o tema central da próxima discussão. VI. SUPERPOSIÇÃO DE POTÊNCIA É senso comum a impossibilidade de se aplicar o princípio da superposição para a potência em circuitos com fontes de mesma frequência. Normalmente, os exemplos encontrados na literatura – para justificar este fato – são compostos por redes com mais de uma fonte de um único tipo (geralmente fontes de tensão) [10]. Não obstante, em condições adequadas, é possível demonstrar que circuitos contendo ao mesmo tempo fontes de tensão e fontes de corrente de mesma frequência admitem a “superposição” de potência: nesse caso, a separação das fontes em duas redes (cada rede com um conjunto de fontes do mesmo tipo) e a posterior soma da potência complexa total originada em cada rede. No exemplo da Fig. 14, a carga máxima aplicada aos nós A e NR da rede Nh possibilita uma comprovação desse fato, proporcionando uma análise simplificada tanto para o cálculo da potência complexa total fornecida pelas fontes (30) como para o cálculo da tensão de circuito aberto (31). Figura 14. Rede Nh contendo fontes de tensão e de corrente, sendo submetida à carga máxima entre os nós A e NR. D. Caso Especial 4 (CE4) O último “caso especial” examinado diz respeito à conexão em série de fontes de corrente ideais e impedâncias. Na Fig. 13(a), a rede Ni é submetida à carga máxima. Como pode ser VA VA = E1m I1∗ + E 2 m I 2∗ = V A ( I1 + I 2 )∗ SFO PCM = SFLm PICM =∆SFm ∗ ∗ = V1 (V1 Z1 ) + VA I1 − V1 (VA Z1 )∗ (30) 5 I Lm V A = Z A (V1 Z 1 + I 1 ) ; Z A = Z 1 || Z 2 (31) as parcelas da potência complexa total referente a cada tipo de fonte: Substituindo-se (31) em (30) chega-se às parcelas da potência complexa total entregue por tipo de fonte: S FO SFO 1 ∗ V1 ZA = V1 − + Z A I1 I1∗ + 1 Z Z1 1 2 2 S FO = ( Z1 + Z 2 ) ∗ 4 1 → F. de Tensão 3 → Parcela Mista Z Z∗ 2 + Z A I1 + V1 I1∗ A − A* Z1 Z1 2 → F. de Corrente ∗ S FO = V1 (V1 Z 2 ) + (33) De acordo com (33), o princípio da superposição pode ser aplicado para a potência complexa no circuito da Fig. 14 se o fator 4 , da “parcela mista” 3 , for nulo. Essa exigência, vinculada às características dos bipolos passivos (de forma similar ao CE3 visto na seção V), é satisfeita para as redes puramente resistivas e para as redes compostas apenas por reatâncias, em conformidade com (34), considerando-se, apenas, a nulidade do fator que contém o termo exponencial e que o módulo das impedâncias que fazem parte da rede Nh é tal que 0 < |Zk| < ∞. (34) 4 → ( Z Z ) (1 − ei 2α ) ; α = θ − θ 1 1 ∗ Z Z lim V1 I1∗ A − A∗ Z 0 →0 Z 0 Z0 (32) 4 A (37) 3 3 ∗ V1 ∗ ZA Z A I1 − V1 I1 Z1 Z1 1 → F. de Tensão 2 V1 1 ∗ V Z = lim V1 1 1 − A + lim ( Z A + Z1 ) I1 I1∗ + Z Z 0 →0 Z 0 →0 0 Z 0 A Contudo, existem algumas configurações de rede em que a “parcela mista” é naturalmente nula. Nessas situações um grupo de impedâncias sob a influência das fontes de corrente, p. ex., não sofre o efeito das fontes de tensão e vice-versa. É o que mostra a Fig. 15, em que as fontes foram trocadas de posição em relação à Fig. 14. 2 → F. de Corrente Z 1 I 1 I 1∗ 3 → Parcela Mista + 0 (38) 1 2 2 2 (39) ∗ SFO = V1 Z 2 + Z1 I1 Portanto, a “superposição de potência” é plausível em redes com a presença simultânea de fontes de corrente e de fontes de tensão de mesma frequência. O princípio pode ser aplicado de forma irrestrita para as redes puramente resistivas, para as redes formadas apenas por reatâncias e para os casos de mútua interferência entre os tipos de fonte. VII. ESTUDO DE CASO: EFICIÊNCIA DO CET Uma aplicação singular para o TTH pode ser apreciada nos “Teoremas da Eficiência do CET” [6], em que duas proposições são apresentadas com o objetivo de demonstrar que a eficiência da rede real é sempre menor ou, no máximo, igual à eficiência do CET. Este segmento pretende mostrar, com dois contraexemplos, que esses teoremas não têm o alcance pretendido em razão dos motivos expostos no parágrafo inicial das seções V e VI do presente texto. Antes, porém, faz-se oportuna uma breve explanação dos principais conceitos contidos no documento aludido. Em conformidade com o Teorema da Substituição, a carga externa ZL da Fig. 1(b) – que dissipa, nesta situação, a potência de PZL (W) – pode ser substituída por uma fonte de corrente com valor igual a IL, como mostra a Fig. 16(a). Figura 15. Exemplo de uma rede sendo submetida à carga máxima onde um tipo de fonte age exclusivamente sobre um grupo de impedâncias, tornando possível a separação de seus efeitos. A impedância Z0 – cujo módulo é nulo – é apenas um artifício que viabiliza a análise por meio da carga máxima entre os terminais de interesse. Os cálculos da potência complexa total fornecida pelas fontes SFO e da tensão de circuito aberto VA seguem em (35) e (36). PCM = SFLm PICM =∆SFm ∗ (35) ∗ ∗ SFO = Z1 I1 I1 + V1 (V1 Z 0 ) + VA I1 − V1 (VA Z 0 )∗ I Lm V A = Z A (V1 Z 0 + I 1 ) ; Z A = Z 0 || Z 2 ; Z 0 = 0 Ω (36) O mesmo procedimento adotado para o exemplo anterior conduz à sequência de (37) a (39), em que é possível observar Figura 16. (a) Rede Ni da Fig. 1(b) consoante com o teorema da substituição; (b) Superposição: Passo 1 → Cálculo da perda interna PPO da rede Ni; (c) Superposição: Passo 2 → Cálculo da perda PZA na impedância equivalente ZA. O “primeiro teorema” ou “Teorema das Perdas” é proposto valendo-se do princípio da superposição para a análise da perda interna PPL da rede Ni. Ou seja: a) abrindo-se a fonte IL (Fig. 16(b)) a perda interna PPO é igual à parcela útil da potência complexa SFO fornecida pelas fontes sem a presença da carga externa; 6 b) com a conexão da fonte IL ao CRC (Fig. 16(c)) determina-se a perda PZA na impedância equivalente ZA; c) a soma das perdas PPO e PZA, definidas nos dois itens anteriores, estabelece o “Teorema das Perdas” (40). (40) PPL = PPO + PZA A potência útil total PT (41) absorvida pelos bipolos passivos internos (PPL) e externos (PZL) à rede Ni é obtida, de acordo com o princípio da conservação da energia, com base no “Teorema das Perdas”. A parcela PTH representa as perdas no CET: PT PTH (41) PPL + PZL = PPO + PZA + PZL ⇒ PT = PPO + PTH O “segundo teorema” (45) ou “Teorema da Eficiência” (“TE”) é estabelecido a partir da eficiência (ηTH) do CET (42) e da eficiência (ηi) da rede Ni (43): ηTH = PZL PTH (42) ηi = PZL PT = PZL ( PPO + PTH ) (43) P + PTH PPO PPO ηTH P = T = PO = +1 = +1 ηi PTH PTH PTH PZA + PZL (44) Desse modo, para qualquer rede CC ou CA [6]: ηTH ≥ ηi (45) V A ( I Lm − I L ) I Lm ηTH P = T = = −1 IL PTH ηi VA I L I Lm = I1 = (V A Z A ) V A R1 ( ) − 1 = 1 + RL − 1 = RL ηTH = R1 R1 ηi R + R V ( ( A 1 L )) Dessa forma, constata-se que (41) traz o traço de um “caso especial” de redes com apenas fontes de tensão: o sinal negativo da parcela correspondente à PIC/PCET (46). Chegase à mesma conclusão por meio da superposição que fundamenta o “Teorema das Perdas”: se não é possível, sob a mesma frequência, a separação de fontes de um mesmo tipo, logo, a rede exemplificada na Fig. 16 encerra apenas fontes de tensão. O contraexemplo apresentado na Fig. 17, assentado sobre as fontes de corrente, contradiz o resultado firmado em (45). (49) IL O resultado expresso em (49) deixa claro que o “TE” (45) não se aplica ao circuito da Fig. 17(a) para uma faixa de valores em que a resistência da carga RL é inferior ao da resistência equivalente R1. Ao mesmo tempo, esse resultado sugere a utilização de uma faixa contínua de valores para a carga nas verificações da validade de (45). É o que demonstra o próximo contraexemplo. De acordo com (44) e (46), o “TE” pode ser reinterpretado conforme a sequência de (50) a (52): (50) ηTH ≥ ηi ⇒ PT ≥ PTH ⇒ Re {S FL } ≥ Re {STH } (51) ηTH ≥ ηi ⇒ Re {S FO − ∆S F } ≥ Re {STH } ηTH Essas são resumidamente, na linguagem do presente texto, as principais ideias contidas em [6]. É interessante perceber como a potência originada no CET aparece naturalmente em (41) tal como nos “casos especiais” vistos na seção V. Assim, é simples estabelecer a conexão entre esse resultado e a potência complexa total derivada da relação (1): PT PPO Re{ STH }= − PTH PIC / PCET − (46) Re {S FL } = Re {S FO } − Re {∆ S F } ⇒ PT = PPO − ( − PTH ) (48) PPO PTH PIC ≥ ηi ⇒ Re {S FO } ≥ Re {STH } + Re {∆S F } (52) Ou seja, para que o “TE” seja aplicável a qualquer configuração de rede, a perda PPO (na rede real) deve igualar ou superar as perdas PTH (no CET) acrescidas da parte real da PIC, conforme assinala a relação (52). Para o circuito apresentado na Fig. 18, existe uma estreita faixa de valores da carga RL – destacada na Fig. 19 – em que essa condição não se verifica, opondo-se ao resultado previsto em (45). Figura 18. Segunda rede utilizada como contraexemplo para o “Teorema da Eficiência do CET”. Figura 17. (a) Primeira rede (f = 0 Hz) utilizada como contraexemplo para o “Teorema da Eficiência do CET”; (b) CET. A potência total entregue pela fonte I1 no circuito da Fig. 17(a) pode ser calculada utilizando-se (9). Entretanto, como essa rede se enquadra no CE2 (PCM = 0 W) e no CE3 (rede puramente resistiva) discutidos na seção V, o cálculo é simplificado e baseia-se inteiramente no CET da Fig. 17(b): PICM =∆S Fm PCM = S FLm PIC =∆S F (47) S FL = PT = 0 + STHm − STH = VA ( I Lm − I L ) O “TE” pode, agora, ser verificado: Figura 19. Faixa em torno de 2.59 ohms situada entre o intervalo (0.27, 2.88) de valores de RL em que a eficiência do CET, em conformidade com (52), é menor do que a eficiência da rede de origem exibida na Fig. 18, contradizendo o “Teorema da Eficiência”. 7 Uma amostra de valores da eficiência no intervalo evidenciado, comprovando a validade do resultado exposto em (52), pode ser verificada na Tabela I. TABELA I AMOSTRA DE VALORES DA EFICIÊNCIA NA FAIXA DESTACADA DA FIG. 19 EM QUE ηTH < ηi PARA A REDE DA FIG. 18 RL (Ω) 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 ηTH (CET) 0.1589 0.2742 0.3617 0.4304 0.4857 ηi (Rede real) 0.1630 0.2902 0.3848 0.4521 0.4977 VIII. DISCUSSÃO SUPLEMENTAR Nessa última discussão, o interesse reside na aplicação da relação (6) ao exemplo ilustrado na Fig. 20, a fim de demonstrar que é possível alcançar importantes resultados relativos à rede real por meio da PCET. F E 2 2 V V V3 ( R1 + R2 ) (59) 3 → ZA 3 = 3 − R3 R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 PCM V2 V2 V2 S FLm = A + C + E = 1 + 2 + 3 (60) R1 R2 R3 As parcelas restantes de (56), (57), (58) e (59) são relativas à potência entregue pelas fontes (64): 2 2V V 2V1V2 R3 4 → ZA 1 2 = R1 R2 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 (61) 2V V 2V1V3 R2 5 → ZA 1 3 = R1 R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 (62) 2V V 2V2V3 R1 6 → ZA 2 3 = R2 R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 (63) − S FO = − ( B + D + F − 4 − 5 − 6 ) (64) S FO Figura 20. Rede com apenas fontes de tensão (f = 0 HZ), puramente resistiva com três ramos. Para esse “caso especial” (rede puramente resistiva com apenas fontes de tensão), o resultado geral (6) se transforma na solução particular (54): (53) − STHm = S FO − S FLm (54) STHm = S FLm − S FO Em conformidade com o CET da Fig. 7(b): 2 STHm = V A I Lm = Z A I Lm (55) R1 R2 R3 Z A = R R + R R + R R 1 2 1 3 2 3 Para o exemplo estabelecido: V V V 1 2 3 I = + + Lm R1 R2 R3 Logo: (V12 R3 − 2V1V2 R3 + V22 R3 ) + ZA 2 2 = (V1 R2 − 2V1V3 R2 + V3 R2 ) + R1 R2 R3 2 (V2 R1 − 2V2V3 R1 + V32 R1 ) V2 V2 V2 S FO = Z A 12 + 13 + 23 R1 R2 R1 R3 R2 R3 2 3 Vab2 S FO = ∑ ∑ a =1 b = a +1 Ra Rb ZA 2 S FO = ∑ 3 ∑ a =1 b = a +1 S THm n −1 S FO = ∑ (56) B A 2 V V 2 V1 ( R2 + R3 ) 1 → ZA 1 = 1 − R1 R1 R1R2 + R1R3 + R2 R3 2 D C 2 2 V V V2 ( R1 + R3 ) 2 → ZA 2 = 2 − R2 R2 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 n ∑ a =1 b = a +1 Vab (57) 2 (58) (67) 2 ∗ Za Zb ZA Vab (68) 2 ∗ Za Zb ZA 1 Za Zb 1 1 = Za Zb + + + = Z ab ZA Zn Z1 Z 2 A PCM (60) é obtida das parcelas 1 , 2 e 3 de (56): (66) O resultado apresentado em (67) pode ser estendido para os circuitos com impedâncias complexas (68) e para as redes com um número indeterminado de ramos (69), trazendo como bônus o Teorema de Rosen (70): um circuito passivo constituído por n impedâncias conectadas em estrela, pode ser substituído por outro circuito equivalente formado por n ( n − 1) 2 impedâncias conectadas em polígono [7,11]. 2 I Lm 2 V V 2 V 2 1 + 2 + 3 + R R R = Z A 1 2 3 2 V V 2 V V 2 V 1 2 + 1 3 + 2V3 RR R1 R3 R2 R3 1 2 (65) (69) (70) IX. CONCLUSÃO No presente documento desenvolveu-se uma técnica para a análise da potência complexa de redes lineares em regime permanente, com base nos conceitos abarcados pelo Teorema de Thévenin-Helmholtz (TTH). A diferença de potência – fornecida pelas fontes – ocasionada pela variação da carga, denominada “Potência Imposta pela Carga" (PIC), foi a principal concepção derivada 8 dessa abordagem. Sua aplicação, além de conduzir a outros temas pertinentes (como a conservação de potência e o teorema de Rosen) permitiu auferir as seguintes conclusões: 1. A potência complexa total desenvolvida em um circuito pode ser equacionada com base em um par de terminais de interesse submetido a um curto-circuito; 2. A potência originada no circuito equivalente de Thévenin não participa diretamente do resultado relativo à potência complexa total da rede real, exceto em “casos especiais” quando se iguala à PIC; 3. A especificidade da influência das fontes torna plausível a “superposição de potência” em redes com a presença simultânea de fontes de corrente e de fontes de tensão de mesma frequência: o princípio pode ser aplicado de forma irrestrita para as redes puramente resistivas, para as redes formadas apenas por reatâncias e para os casos de mútua interferência entre os tipos de fonte; 4. Para que o “Teorema da Eficiência do Circuito Equivalente de Thévenin” [6] seja de fato aplicável a qualquer circuito, o consumo interno (W) – sem a presença da carga externa – da rede real deve ser maior ou igual às perdas no CET acrescidas da parte real da PIC. Este estudo explorou o TTH, contribuindo para estender o seu alcance, valendo-se de sua característica mais popular: sua eficiência no trato com a carga. Esse alcance, contudo, ainda não foi completamente estimado. A variação da PIC, presente nos resultados obtidos em (9) e (10), deve ser investigada com maior profundidade, especialmente em problemas envolvendo cargas ativas e/ou cargas conectadas, simultaneamente, a diferentes pares de terminais. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a Deus pelo inestimável dom de aprender e a todos os que partilham o Seu conhecimento! [10] R. Baldini, Filho. (2015, Julho). Potência em Regime Permanente CA [Online]. Disponível em: http://www.decom.fee.unicamp.br/~baldini/EA513/Cap12.pdf [11] J. R. G. Vásquez. (2015, Outubro). Teoremas Fundamentales de Circuitos Eléctricos [Online]. Disponível em: http://repositorio.utp.edu.co/dspace/handle/11059/1042 Reinaldo Mauricio do Nascimento é Técnico em Eletrotécnica (CEFET-MG-1978), Técnico em Eletrônica (COTEMIG-MG-1989) e graduado em Engenharia de Controle e Automação pela Faculdade Pitágoras de Belo Horizonte – MG – 2013. Jonas Rafael de Lima é Técnico em Eletrotécnica (CEFETMG-2007) e graduado em Engenharia de Controle e Automação (2013) e Engenharia Elétrica (2014) pela Faculdade Pitágoras de Belo Horizonte – MG. Cássio Saturnino Moura é Técnico em Eletrotécnica (SENAI-MG-2008) e graduado em Engenharia de Controle e Automação pela Faculdade Pitágoras de Belo Horizonte – MG – 2013. Gustavo de Lins e Horta possui graduação em Engenharia Eletrônica e de Telecomunicações pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (2004). Possui Licenciatura Plena em Matemática pela Fundação de Educação para o Trabalho de Minas Gerais UTRAMIG (2010). É pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior pelo Centro Universitário Anhanguera (2009). É mestre em Modelagem Matemática e Computacional pelo CEFET-MG (2014). REFERÊNCIAS [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] D. H. Johnson, "Origins of the equivalent circuit concept: the voltagesource equivalent." Proceedings of the IEEE, vol. 91, no. 4, pp. 636640, 2003. D. H. Johnson, "Origins of the equivalent circuit concept: the currentsource equivalent." Proceedings of the IEEE, vol. 91, no. 5, pp. 817821, 2003. J. Millman, H. Taub, Pulse, digital, and switching waveforms. Devices and circuits for their generation and processing. International Student Edition-McGraw-Hill Electrical and Electronic Engineering Series, McGraw-Hill, New York, pp.3-4, 1965. C. S. Moura, J. R. Lima e R. M. Nascimento, “A Lei de Ohm decorrente dos teoremas de Thévenin e de Norton aplicada aos circuitos lineares com fontes independentes de mesma frequência,” Trabalho de Conclusão de Curso, Faculdade Pitágoras, Belo Horizonte, 2013. Não publicado. G. E. Chatzarakis, M. D. Tortoreli and A. D. Tziolas, "Thevenin and Norton's theorems: powerful pedagogical tools for treating special cases of electric circuits." International Journal of Electrical Engineering Education, vol. 40, no. 4, pp. 299-314, 2003. I. Barbi. (2015, Julho). Teoremas da Eficiência do Circuito Equivalente de Thévenin [Online]. Disponível em: http://ivobarbi.com/novo/wpcontent/uploads/downloads/2013/01/Eficiência-de-Thevenin-versão04012012.pdf A. Rosen, "A new network theorem." Journal of the institution of electrical engineers, vol. 62, no. 335, pp. 916-918, 1924. J. Millman, "A useful network theorem." Proceedings of the IRE, vol. 28, no. 9, pp.413-417, 1940. C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentos de Circuitos Elétricos. Bookman, Porto Alegre, pp. 409-410, 2003. APÊNDICE Este complemento pretende, de forma sucinta, preencher a lacuna apontada no último parágrafo da seção IX. O leitor atento pode, seguramente, alcançar os resultados (71) e (72) – “Teorema da Potência de Pré-falta” (TPP): “a potência complexa na pré-falta pode ser equacionada a partir de pares de terminais de interesse submetidos a uma falta” – norteado por (1) e (10): ∆S L SP SF (71) (10)→ S FL = S FLm + ∆ 2 S F ⇒ S P = S F + ∆S L Em que: SP → Potência complexa fornecida pelas fontes na pré-falta (Fig. 1(b) e Fig. 23); SF → Potência complexa fornecida pelas fontes na falta (curto-circuito → Fig. 7(a)); ∆SL → PIC (vide seção II, (2)): definida pela ddp de pré-falta na carga (Fig. 21): Figura 21. Obtenção da PIC (∆SL) para uma carga sujeita a um curto-cicuito: a fonte VL, do CRC (rede real sem as fontes), corresponde à tensão de pré-falta na carga. 9 SP ∆S L SF (72) (1)→ S FL − S FO = −∆S F ⇒ S P = S F + ∆S L Em que: SP → Idem (71); SF → Potência complexa entregue pelas fontes na falta (circuito aberto → Fig. 1(a)); ∆SL → PIC ⇒ (2): estabelecida pela corrente de pré-falta na carga (Fig. 22): Figura 22. Determinação da PIC (∆SL) para uma carga sujeita a um circuito aberto: a fonte IL, do CRC, equivale à corrente de pré-falta na carga. Síntese do TPP (Fig. 23): Figura 23. Rede Ni em pré-falta (SP, IL e VL) e as potenciais falhas na carga representadas por meio da comutação da chave “k1”: (71) → curto-cirguito ⇒ CRC →VL ou (72) → circuito aberto ⇒ CRC →IL . Dualidade fonte-carga: Seja o circuito apresentado na Fig. 24 em que se deseja verificar, utilizando o TPP, a potência entregue por cada fonte e, a seguir, comprovar se a soma das mesmas corresponde à potência absorvida pela impedância Z1. V V V −V S P1 = S F + ∆S L = V1 1 − V1 2 = V1 1 2 Z Z 1 1 Z1 * * * (75) Para a fonte de tensão V2, utilizando o mesmo raciocínio: ∆S L SF * * V2 V −V V1 * S P 2 = V2 + −V2 = V2 2 1 (76) Z1 Z1 Z1 J 2* I F* ( ) Comprovação da potência total entregue pelas fontes: V −V V −V V −V S P = S P1 + S P 2 = V1 1 2 + V2 2 1 = 1 * 2 Z Z Z1 1 1 * * 2 (77) Observações: O mesmo resultado é obtido – para SP1 e SP2 – se a carga (V2 e/ou V1) for substituída, na falta, por um circuito aberto. Todavia, é vantajoso, por razões óbvias, substituir fonte de tensão por curto-circuito e fonte de corrente por circuito aberto. Aplicar o TPP diretamente a um bipolo passivo implica em sua adequação valendo-se do Teorema da Substituição. Uma possibilidade é indicada na Fig. 26(a). Bipolos Passivos/Simultaneidade de faltas: Figura 24. Exemplo de aplicação para o “Teorema da Potência de Pré-falta”. Para a fonte de tensão V1 (Fig. 25): Figura 26. Sequência para o uso do TPP no cálculo da potência absorvida pela impedância Z1 da Fig. 24: (a) Substituição de Z1 pela fonte de corrente I1; (b) Cargas V1 e V2 em falta (curto-circuito); (c) Circuito de reação (E1). * I1 SF * V −V V −V S P = 0 + ( − E1 I1* ) = − (V1 − V2 ) 1 2 = − 1 * 2 Z1 Z1 ∆S L Figura 25. Sequência para o cálculo da potência de pré-falta SP1 para a fonte de tensão V1 da Fig. 24. SP1 → Potência complexa total entregue (75), Fig. 25(a); SF → Potência complexa na falta (73), curto-circuito na carga V2, Fig. 25(b): S F = V1 I F* = V1 (V Z ) * 1 (73) 1 E1 2 (78) O circuito da Fig. 24 é um clássico ordinariamente utilizado para a comprovação da incompatibilidade entre a potência e o teorema da superposição. Na literatura vigente, a prova apresentada para a confirmação dessa divergência baseia-se no somatório das potências na falta, sendo, portanto, incompleta ao desconsiderar a PIC. A causa é atribuída, invariavelmente, ao fato de que a potência não é uma função linear. Não seria correto afirmar, depois do que foi visto ao longo deste texto, que a melhor inferência, para essa discrepância, é a dualidade fonte-carga? * V CRC → J1 (Fig. 25(c)) ∴∆S L = −V1 J 1* = −V1 2 Z1 (74) 10