http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0063
247
UM ESTUDO DAS OSCILAÇÕES NÃO LINEARES DE VIGAS ESPACIAIS
Eulher C. Carvalho 1, Paulo B. Gonçalves 1, Zenon J. N. del Prado 2
1
Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, [email protected]
2
Escola de Engenharia Civil, Universidade Federal de Goiás, Goiânia, Brasil, [email protected]
Resumo: As equações não lineares integro-diferenciais
ordinárias que descrevem o movimento tridimensional de
uma viga inextensível engas tada-livre, sujeita a excitação
harmônica lateral, são aprese
ntadas neste trabalho.
Aplicando-se o método de Galerkin, as equações de
movimento são di scretizadas e usadas pa ra investigar as
oscilações não lineares e i dentificar os tipos de bifurcações
associados com seu movimento.
indeformada, os eixos ξ e X são coincidentes e os eixos η e
ζ são paralelos aos eixos Y e Z, respectivamente.
O sistema é solicitado na di reção material Y por um a
carga harmônica distribuída Qv(s, t) = qv(s) cos(Ω t), onde Ω
é a frequência de vibração da excitação.
Palavras-Chave: Oscilações não lineare s, equações de
movimento tridimensionais, vigas, aplicação da teoria de
bifurcações.
1. INTRODUÇÃO
As equações que descrevem o movimento não linear
tridimensional de uma viga inextensível foram formuladas e
apresentadas, pela primeira vez, por Crespo da Silva
e
Glynn [1, 2]. Destes tra balhos seguiram-se outros,
contemplando diferentes aspectos intrínsecos ao movimento
não linear da viga.
Crespo da Silva e Glynn [3], por exemplo, estudaram as
oscilações de uma viga tridimensional com condições de
contorno simétricas. Em adição, Pai e Nayfey [4, 5, 6]
formularam equações de movimento similares às de C respo
da Silva e Glynn [1] para vigas compostas e Aghababaei et
al. [7] para vigas com imperfeições geométricas iniciais.
Exemplo de pesquisas m ais recentes sobre dinâmica de
vigas engastada-livres podem ser encontradas em Zhang [8],
Yao e Zhang [9], Zhang et al. [10], Lee et al. [11] e Zhang
et al. [12], os quais principiam seus trabalhos pelas equações
de movimento formuladas por Crespo da Silva e Glynn [1].
2. SISTEMA DINÂMICO
Considere-se, pois, uma viga uniforme, homogênea,
inextensível, inicialmente reta, de material linear isotrópico,
de comprimento L e massa por unidade de comprimento m.
Um segmento deformado da viga, de c omprimento s, é
mostrado na Fig. 1.
Na Fig. 1, os eixos (X, Y, Z) formam o sistema de
referência material, enquanto (ξ, η, ζ ) são os eixos
principais da viga na p osição s. Na confi guração
Fig. 1. Sistema dinâmico
Cada seção transversal da viga pode sofrer um
deslocamento elástico medido no seu centróide C, bem
como, uma rotação φ (s, t) em torno de ξ. Em qualquer
instante de tempo t, as componentes do vetor de
deslocamentos elásticos u (s, t), v (s, t) e w (s, t) podem ser
descritas por meio das equações de movimento.
3. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
As equações não l ineares que governam o movimento
tridimensional de um a viga são ap resentadas nas E qs. (1),
(2) e (3). Detalhes desta fo rmulação podem ser encontrados
em Crespo da Silva [13].
Para simplificar a notação, nas Eqs. (1), (2) e (3) faz-se
u=u(s, t), v=v (s, t) e w=w(s, t). Nas m esmas equações, o
sobrescrito ' (aspa sim ples) simboliza derivada parcial em
relação ao comprimento de arco s e o s obrescrito • (ponto)
simboliza derivada parcial com relação ao tempo t. Os
parâmetros Dξ e Jξ são, re spectivamente, a rigidez e o
momento de inércia à torção da viga.
Por sua vez, Dη e Dζ são as rigidezes à flexão da vi ga e
Jη e Jζ são os momentos de inércia a rotação da viga. As
rigidezes da viga também aparecem nas razões βy =Dζ /Dη e
βγ =Dξ /Dη.
248
Um Estudo das Oscilações Não Lineares de Vigas Espaciais
Paulo B. Gonçalves, Eulher C. Carvalho, Zenon J N del Prado
••
•
″
m v + cv v + β y Dη v′′ = − Dη β γ γ ′w′′ + Dη 1 − β y
) {
)
s
⎡(w′′γ )′ − γ 2 v′′ ′ + w′′′ v′w′′ds ⎤ − D β v′ v′′ 2 + w′′ 2
⎥
η y
∫
⎢⎣
0
⎦
)
(
(
(
)
(
[
••
••
+ v′ − Dη β y v′v′′′ − Dη w′w′′′ + J ζ v ′v′ + Jη w ′ w′ −
s
∫
L
••
⎛ ⎡s
⎞ ⎤
⎜ m v′ 2 + w′ 2 ds ⎤ ⎟ ds ⎥ + J
⎢
⎥
ξ
⎜ ∫
⎟
⎦ ⎠ ⎥⎦
⎝ ⎣0
(
)
•
⎤• ⎡
− w ′v′⎥ w ′+ ⎢ Jη − J ζ
⎦
⎣⎢
A solução aproximada para o m ovimento da viga é
obtida aplicando-se o método de Galerkin às Eqs. (1), (2) e
(3). A solução para as eq uações diferenciais de movimento
linearizadas e não amortecidas são usadas como ponto de
partida. Estas soluções são da forma
1
2
•
⎡• ⎛ s
⎞
⎢γ + ⎜ ∫ v′w′′ ds ⎟
⎟
⎢⎣ ⎜⎝ 0
⎠
(1)
(
•
s
2
(
)
(
••
••
v′v′′′ − Dη w′w′′′ + J ζ v ′v′ + Jη w ′ w′ −
Fγ = Cγ sin [(2 n − 1)(π 2) s]
⎡
v ′− ⎢ Jη − J ζ
⎢⎣
s
r14,3 + r24, 4 + 2 r12,3 r22, 4 cosh (r1,3 ) cos (r2, 4 )
• s
• ⎤
⎛• ′ 2 •′
⎞
⎜ w γ + v γ − v ′ ∫ v′′w′ ds ⎟ − Jη w ′ ⎥
⎜
⎟
⎥⎦
0
⎝
⎠
• 2
• 2 ′
⎫
+ w′ J ζ v ′ + Jη w ′ ⎬ ,
⎭
(
•
••
)
(
•
(2)
)[(
)
•
⎡⎛ s
• ⎤
⎞
⎡⎛ • 2
− v′′w′′] − J ξ ⎢⎜⎜ ∫ v′w′′ds ⎟⎟ − v′ w ′ ⎥ + J η − J ζ ⎢⎜ v ′
⎥⎦
⎢⎣⎝ 0
⎣⎝
⎠
• 2
• •
⎤
⎞
− w ′ ⎟ γ − v ′w ′ ⎥ .
⎠
⎦
(
)
(3)
u (0, t ) = v (0, t ) = v′ (0, t ) = w (0, t ) = w′ (0, t ) = γ (0, t ) = 0,
(4)
v ′′ (L, t ) = v ′′′ (L, t ) = w′′ (L, t ) = w′′′ (L, t ) = γ ′ (L, t ) = 0,
(5)
e γ (s, t) é o ângulo de torção da viga, dado por,
s
0
0
γ = φ + ∫ (v′′w′) ds = φ − ∫ (v′w′′) ds .
(6)
Por conveniência, as Eq s. (1), (2) e (3) podem ser
adimensionalizadas usando-se os parâm etros s* = s L ,
v* = v L ,
J ζ* = J ζ m L2 ,
Jξ = Jη + Jζ ,
Jη* = Jη m L2 ,
*
v
2
[
c = cv L m Dη
[ (
t * = t Dη m L4
]
0.5
)]
0.5
c = cw L [m Dη ] ,
,
*
w
0.5
2
*
2
*
2
[
cγ = cγ L m Dη
, w = w L , Ω = Ω L [m Dη ] .
*
0.5
(
)
+r1,3 r2, 4 r22, 4 − r12,3 sinh (r1,3 )sin (r2, 4 ) = 0 .
(12)
Adota-se uma viga de c omprimento L=25, seção
transversal quadrada com altura a e largura b, sendo b=L/25,
momentos de inércia distribuída Jη = 0.00013, Jζ = 0.00013
e Jξ = 0.0026 e grandezas adimensionais βy = 1, βγ = 0.6489,
Cv =1, Cw =1 e Cγ =1.4142. Para sim plificar a an álise, os
termos Jη , Jζ e Jξ nas Eqs. (1) e (2), bem como, os termos
Jη e Jζ na Eq. (3), são desconsiderados. Assim, o sistema de
Eqs. (1), (2) e (3) reduz-se a
••
•
⎧
⎪1.0002 v + 1.0002 cv v + 12.366 v − 6.5994γ w
⎪
•• ⎞
⎛ • 2 • 2 ••
⎪+ 40.472 v w 2 + v 3 + 4.599 ⎜⎜ v + w + v v + w w ⎟⎟ v
⎪
⎠
⎝
⎪
⎪− 0.783 qv ( s) cos (Ω t + τ ) = 0
⎪
⎪⎪
••
•
⎨1.0002 w + 1.0002 cw w + 12.366 w + 6.5994γ v
⎪
• 2
•2
••
••
⎪+ 40.472 w v 2 + w3 + 4.599 ⎛⎜ w + v + w w+ v v ⎞⎟ w = 0
⎟
⎜
⎪
⎠
⎝
⎪••
•
••
••
⎪γ + c γ + 6003.9 γ + 2.674 v w − 2.674 v w
γ
⎪
• •
⎪
⎪− 0.001v w = 0
⎪⎩
(
As quantidades cv, cw e cγ representam o amortecimento
viscoso da viga, introduzidos para am ortecer as vibraçõe s
nas direções Y, Z e φ, respectivamente. As condições de
contorno para as Eqs. (1), (2) e (3) são,
s
(11)
5. RESULTADOS NUMÉRICOS
•
J ξ γ + J ξ cγ γ − Dη β γ γ ′′ = − Dη 1 − β y v′′ 2 − w′′ 2 γ
•
( n = 1, 2, ... ) ,
(10)
(10), isto é,
1
(m
2 ∫L
)
(9)
As quantidades r1 a r4, dadas em [14], s atisfazem as
equações características obtidas impondo-se Fv′′,′w = 1 na Eq.
[
••
•
⎡• ⎛ s
⎞ •′ ⎤
⎡s 2
⎤ ⎞⎟ ⎤
2
⎥
⎜
⎟
⎢
′
′
′
′
′
⎢ ∫ v + w ds ⎥ ⎟ds − J ξ γ + ⎜ ∫ v w ds ⎟ − w v′⎥
⎦
⎢ ⎝0
⎠
⎣0
⎦ ⎠ ⎥⎦
⎣
(
(8)
− (r1,3 r2, 4 )sin (r2, 4 s )]} ,
)
)
w (s, t ) = Fw (s ) wt (t ) = Fw (s ) cos (ωwt + Bw ) ,
Fv ,w = Cv ,w {cosh (r1,3 s ) − cos (r2, 4 s ) − K v ,w [sinh (r1,3 s )
s
⎤
′
+ γ 2 w′′ − v′′′∫ v′′w′ds⎥ − w′Dη v′′ 2 + w′′ 2 + w′ − Dη β y
0
⎦
)
(7)
sendo,
••
•
″
′
m w + cw w + Dη w′′ = ⎧⎨ Dη β γ γ ′v′′ + Dη 1 − β y ⎡(v′′γ )
⎢⎣
⎩
(
v (s, t ) = Fv (s ) vt (t ) = Fv (s ) cos (ωvt + Bv ) ,
γ (s, t ) = Fγ (s ) vγ (t ) = Fγ (s ) cos (ωγ t + Bγ ) .
•
•
⎞
+ w ′γ − w ′ ∫ v′w′′ ds ⎟⎟
0
⎝
⎠
′
•
•
• 2
•
⎫
⎤
⎛ • 2
⎞
+ J ζ v ′ ⎥ + v′ ⎜ J ζ v ′ + Jη w ′ ⎟ − J ξ cγ w′ γ ⎬
⎦
⎝
⎠
⎭
+ qv (s ) cos (Ω t ) ,
(
)⎛⎜⎜ v ′γ
4. AUTOFUNÇÕES
]
0.5
,
(
)
(13)
)
Linearizando o sistema dado na E q. (13), obtêm-se as
frequências naturais de vi bração da vi ga. Elas são,
ωv = ωw = 12.366 1.0002 = 3.5162 e ωγ = 6003.9 1,0 = 77.4771.
De forma analítica, podem-se determinar as frequências
naturais de v ibração da v iga na Eq. (12). Elas são
ωv = ωw = 3.5162 e ωγ = 77.4862, ou seja, pr óximas às
obtidas a partir do sistema linearizado.
249
5.1. Vibração não linear
Tratando-se do movimento livre não linear não
amortecido da viga, faz-se necessário assumir a exci tação
harmônica nula, isto é, qv(s)=0, bem como desconsiderar a
participação do amortecimento (cv = cw = cγ = 0). Integrando
numericamente o si stema de equações diferenciais não
lineares, encontra-se que ωv =ωw =3.5161 e ωγ =78.5398,
próximos também, às obtidas do sistema linearizado.
5.2. Vibração forçada
Para levar em conta os efe itos da solicitação lateral
harmônica no comportamento dinâmico não l inear da viga,
toma-se qv(s)=0.5 e cv = cw = cγ = 5%. Na Fig. 2 apresenta-se
a variação dos máximos deslocamentos da viga com relação
à frequência de vibração da excitação lateral, as quais foram
obtidas usando-se o programa AUTO [15].
1.80
1.40
1.20
v
1.80
B1 Estável
B2 Estável
B2 Instável
B3 Estável
B3 Instável
B4 Instável
Pt. Limite
Bifurcação
1.60
1.00
B1 Estável
B2 Estável
B2 Instável
B3 Estável
B3 Instável
B4 Instável
Pt. Limite
Bifurcação
1.60
1.40
1.20
w
0.80
1.00
0.80
0.60
0.60
0.40
0.40
0.20
0.20
0.00
0.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00 10.00 12.00
0.00
2.00
4.00
Ω
8.00 10.00 12.00
(b) Curva de ressonância em w (t)
2.0E-004
B1 Estável
B2 Estável
B2 Instável
B3 Estável
B3 Instável
B4 Instável
Pt. Limite
Bifurcação
1.8E-004
1.6E-004
1.4E-004
1.2E-004
γ
6.00
Ω
(a) Curva de ressonância em v (t)
1.0E-004
8.0E-005
6.0E-005
4.0E-005
2.0E-005
0.0E+000
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00 10.00 12.00
Ω
(c) Curva de ressonância em γ (t)
Fig. 2 – Diagramas de bifurcação.
Na Fig. 2, as linhas contínuas e t racejadas representam,
respectivamente, as soluç ões estáveis e in stáveis da viga.
Em adição, linhas c om diferentes cores representam
diferentes ramos de soluções.
O diagrama de bifurcação da Fig. 2, no início, aprese nta
um braço de soluções estáveis, contudo, com o increm ento
do parâmetro de c ontrole, verifica-se uma bifurcação para
Ω = 3.9247 e v=1.6022. No ponto de bifurcação, o braço de
soluções periódicas estáveis, que existia à sua es querda,
torna-se instável à direita. Al ém disso, surgem à direita dois
novos braços de soluções periódicas instáveis.
Na Fig. 3 reapresenta-se o diagrama de bifurcaçã o da
Fig. 2 no espaço v, w, Ω . Νela observa-se melhor os braços
de soluções estáveis e instáveis na viziança da bifurcação.
Fig. 3. Diagrama di bifuracação no espaço v, w, Ω.
Vê-se na Fig. 3 que dois dos três braços de soluções
periódicas instáveis passam, cada um , por dois pontos
limites. No ponto limite, a so lução periódica instável que
existia antes do ponto limite continua, após o pon to, como
um braço de soluções periódicas estáveis e vice-versa.
Seguindo a Fig. 3, ve rifica-se que as três soluç ões
periódicas instáveis convergem para um novo ponto de
bifurcação, onde, após a bifurcação, um dos braç os de
soluções periódicas torna-se estável e os outros dois são
destruídos.
Na Fig. 4 mostra-se a resposta no tempo e os
correspondentes planos de fase e mapas de Poincaré para a
viga em questão. Por meio da Fig. 4 é possível confirmar a
existência de pelo menos duas soluções periódicas estáveis,
uma de maior amplitude de vibração que a outra . Olhando
cada uma das variá veis de estado, verifica-se na Fig. 4(a)
que ambas as sol uções vibram em torna da configuração
fundamental de equilíbrio, enquanto que, na Fig. 4(b) e Fig .
4(c) existe apenas uma solução periódica. Ainda, verifica-se
na Fig. 4 que todas as soluções são de período 1T.
Na Fig. 5, apresentam-se quatro projeções da bacia de
atração, as quais correspondem aos diagramas de bifurcação
da Fig. 4. Na Fig. 5(a) e Fi g. 5(c), observa-se que todo o
espaço das condições iniciais está associa do à solução de
menor amplitude de vibração, estando envolvida por uma
bacia contínua. Entretanto, para o m esmo parâmetro de
controle, nota-se na Fig. 5(b) e Fig. 5(d) a presença dos dois
atratores não-triviais.
6. CONCLUSÃO
Os resultados apresentados mostram que, m esmo
solicitando a viga em
uma única direção, quando a
frequência de vibração da solicitação aproxima-se da
frequência natural da viga, ela apresenta deslocamentos
periódicos nos três graus de liberdade, em função do
acoplamento não linear, sendo os deslocamentos na direção
da solicitação os de maior amplitude.
250
Um Estudo das Oscilações Não Lineares de Vigas Espaciais
Paulo B. Gonçalves, Eulher C. Carvalho, Zenon J N del Prado
v
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
-0.10
-0.20
-0.30
-0.40
600 602 604 606 608 610
[2]DOI Crespo da Silva, M. R. M; Glynn, C. C., “ Nonlinear
flexural-flexural-torsional dynamics of inextensional
beams. II. Forced motions”. Journal of Structural
Mechanics Vol. 6, No. 4, pp. 449-461, 1978.
1.50
1.00
0.50
v
0.00
-0.50
-1.00
-1.50
-0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40
v
t
(a) Deslocamento
w
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
-0.10
-0.20
-0.30
-0.40
600 602 604 606 608 610
v
– Velocidade
2.00
v&
[4]DOI Pai, P. F. and Nayfe .h, A. H.,“Three-dimensional
nonlinear vibrations of composite beams. I. E quations
of motion”. Nonlinear Dynamics Vol. 1, p p. 477-502,
1990.
1.00
w
0.00
-1.00
-2.00
-0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40
t
w – Velocidade w&
4.0E-004
4.0E-005
2.0E-004
2.0E-005
γ
γ
0.0E+000
0.0E+000
-2.0E-005
-2.0E-004
-4.0E-005
600 602 604 606 608 610
-4.0E-004
-4.0E-005
t
(c) Deslocamento γ – Velocidade
0.0E+000
γ
γ&
4.0E-005
6.00
9.0
2.00
3.0
v
0.0
w
-3.0
0.00
-2.00
-6.0
-4.00
-9.0
-12.0
-1.6
[9]DOI Yao M. H.,Zh ang, W., “Multi-pulse Shilnikov orbits
and chaotic dynamics for nonlinear nonplanar motion
of a can tilever beam”. International Journal of
Bifurcation and Chaos Vol. 15, pp. 3923-3952, 2005.
4.00
6.0
-0.8
0.0
0.8
-6.00
-0.90 -0.60 -0.30 0.00 0.30 0.60 0.90
1.6
v
(a) Deslocamento
v
w
– Velocidade
1.0E-003
v&
(b) Deslocamento
0.90
γ
w – Velocidade w&
0.60
5.0E-004
w
0.00
-0.30
-5.0E-004
-1.0E-003
-2.0E-004
-0.60
0.0E+000
2.0E-004
γ
(c) Deslocamento γ – Velocidade
γ&
-0.90
-1.60
[10] Zhang, W., Wang, F. X., e Yao, M. H., “Gl
obal
bifurcation and chaotic dynamics in nonlinear
nonplanar oscillation of a p arametrically excites
cantilever beam”. Nonlinear Dynamics Vol. 40, pp.
251-279, 2005.
[11]DOI Lee, W. K., Lee, K. S.,Pak, C. H., “Stability analysis
for nonplanar free vibrations of a can tilever beam by
using nonlinear normal modes”. Nonlinear Dynamics
Vol. 52, pp. 217-225, 2008
0.30
0.0E+000
[7]DOI Aghababaei, O., Nahvi, H., Ziaei-Rad, S.,“Non-linear
non-planar vibrations of geometrically imperfect
inextensional bemas, Part I: Eq uations of motion and
experimental validation”. International Journal of NonLinear Mechanics Vol. 44, pp. 147-160, 2009.
[8]DOI Zhang, W., “Chaotic motion and its control for nonlinear
nonlinear nonplanar oscillations of a p arametrically
excited cantilever beam”. Chaos, Solids and Fractals
Vol. 26, pp. 731-745, 2005.
Fig. 4 – Resposta no tempo e plano fase para Ω = 4.0.
12.0
[5]DOI Pai, P. F. and Nayfe .h, A. H., “Three-dimensional
nonlinear vibrations of composite beams. II. Flapwise
excitation”. Nonlinear Dynamics Vol. 2, pp. 1-34, 1991.
[6]DOI Pai, P. F. and Nayfe .h, A. H., “Three-dimensional
nonlinear vibrations of composite beams. III.
Chordwise excitation”. Nonlinear Dynamics Vol. 2, pp.
137-156, 1991.
w
(b) Deslocamento
[3]DOI Crespo da Silva, M. R. M; Glynn, C. C.,“ Nonlinear
nonplanar resonant oscillations in fixed-free beams with
support asymmetry”. International Journal of Solids and
Structures Vol. 15, pp. 209-219, 1979.
-0.80
0.00
0.80
1.60
v
(d) Deslocamento
v – Deslocamento w
Fig. 5 – Bacias de atração para Ω = 4.0.
AGRADECIMENTOS
Este trabalho foi realizado com apoio do Ministério da
Educação – CNPq, CAPES e FAPERJ.
REFERÊNCIAS
[1] Crespo da Silva, M. R. M. e Glynn, C . C., “N onlinear
flexural-flexural-torsional dynamics of inextensional
beams. I. E quation of motion”. Journal of Structural
Mechanics Vol. 6, No. 4, pp. 437-448, 1978.
[12] Zhang, W., Li , S., Yao, M., “Global bifurcation and
manypulse type chaotic dynamics in the nonlinear
nonplanar oscillations of a can
tilever beam”.
IDET/CIE. September 2009.
[13] Crespo da Silva, M. R. M., “Equations for nonlinear
analysis of 3d motions of Beans”. Applied Mechanics
Reviews Vol. 44, pp. 51-59, 1991.
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