Sumário e Objectivos
Sumário: Torção de Veios de Secção Circular
Objectivos da Aula: Apreensão dos conceitos
Fundamentais associados à torção de veios de Secção
Circular.
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1
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2
Torção
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3
Vigas
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4
Torção de Um Veio de
Secção Circular
Um veio cilíndrico de material homogéneo e isotrópico está sujeito a
momentos torsores, Mt, sendo z o eixo coincidente com o eixo ∑doM x = 0
cilindro, está em equilíbrio se os momentos torsores aplicados forem
iguais e de sinais opostos.
Os binários Mt aplicados produzem uma
rotação relativa f entre as duas secções
extremas, de tal modo que a geratriz AB,
inicialmente rectilínea, se deforma
segundo a configuração de uma hélice
cilíndrica A´B´.
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5
Torção de Um Veio de
Secção Circular
Pressupostos Fundamentais:
1- Secções Rectas do Cilindro permanecem Circulares e planas, após
deformação, rodando em torno do respectivo centro.
2- Um raio traçado sobre uma secção recta permanece rectilíneo
durante a deformação do veio.
3- O ângulo entre dois quaisquer raios no plano duma secção recta
permanece constante durante a deformação da barra.
4- Se se considerar um ângulo de torção total pequeno não há variação
do raio nem do comprimento do veio.
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6
Torção de Um Veio de
Secção Circular
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7
Secção Arbitrária
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8
Torção de Um Veio de Secção
Circular
S´S *
dφ
=r
Δ x → 0 R * S´
dz
γ = lim
A relação deformação – deslocamento para
1
1 dφ
um veio de secção circular é
εθx = γ = r
2
2 dz
As outras componentes do tensor das deformações em coordenadas cilíndricas
são:
ε θ r = ε rz = ε rr = ε θθ = ε zz = 0
Vector Deslocamentos
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2ε θ z = γ = r
dφ
= rθ
dz
⎧u ⎫ ⎧ 0 ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨ v ⎬ = ⎨rθz ⎬
⎪w ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
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9
Torção de Um Veio de Secção
Circular
O tensor das deformações tem a forma
⎡ ε zz
⎢
⎢ ε θz
⎢⎣ ε rz
ε zθ
ε θθ
ε rθ
sendo
ε zr ⎤ ⎡ 0
⎥ ⎢
ε θr ⎥ = ⎢ rθ / 2
ε rr ⎥⎦ ⎢⎣ 0
rθ / 2
0
0
γ = 2ε θ z =
0⎤
0 ⎥⎥ ou ε zθ = rθ / 2
0 ⎥⎦
1 ∂w dv
+
= rθ
r ∂θ dz
O tensor das tensões toma a forma
⎡ σ zz
⎢
⎢ τ θz
⎢⎣ τ rz
τ zθ
σ θθ
τ rθ
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τ zr ⎤ ⎡ 0
⎥ ⎢
τ θr ⎥ = ⎢ Grθ
σ rr ⎥⎦ ⎢⎣ 0
Grθ
0
0
0⎤
0 ⎥⎥ ou τ zθ = Grθ (4.4)
0 ⎥⎦
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10
Torção de Um Veio de Secção Circular
(4.5)
Figura 4.3
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11
Momento Torsor
As tensões distribuídas na secção correspondem a uma força num
elemento de área dA que é dF = τdA
O momento resultante da distribuição de tensões na secção é
M t = ∫ rdF = ∫ rτdA
A
A
= ∫ r(Grθ)dA = Gθ∫ r 2dA
A
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A
12
Momento Torsor e Tensão
O momento de Inércia Polar
πr4
Iz = J = ∫ r dA =
2
A
2
M t = G I zθ
consequentemente o momento torsor é
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θ = Mt
GIz
τ = Gr θ
A tensão é
dφ M t
θ=
=
dz G I z
ou
z
(z)dz
φ(z) = φ(0) + ∫ M t
G(z)I z (z)
0
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r
τ = Mt
Iz
13
Torção de Um Veio de
Secção Oca
No caso do veio ter a secção oca, a distribuição de tensões é linear como
se representou, sendo o momento obtido pela fórmula
Mt =
∫ rdF = ∫ rτ dA
A
=
A
2
θ
=
θ
r(Gr
)dA
G
r
∫
∫ dA
A
A
sendo dA = r dϕ dr
2π
R2
dφ
π 4
3
4
d
dr
G
ϕ
=
θ
−
(
)
Mt = G
r
R
R
2
1
∫
∫
dz 0
2
R1
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Momento de Inércia
Polar
Momento de Inércia Polar
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15
Tubos de Parede Delgada
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16
Tensão e ângulo de Torção
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Torção de Um Veio de
Secção Composta
No caso de se considerar um veio constituído por dois materiais, o material A e o material
B, como se representa na figura com módulos de elasticidade transversal
respectivamente, as tensões são , sendo a 1ª a tensão no material A e a 2ª a tensão no
material B.
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Torção de Um Veio de Secção
Composta
O momento torsor é composto pelo momento torsor no material A e
pelo momento torsor no material B, ou seja
M t = M tA + M tB = G A J Aθ + G B J Bθ
se n d o J A e J B o s m o m e n to s d e in é rc ia p o la re s d a s re g iõ e s A e B .
Os momentos de inércia polares são obtidos a partir das dimensões e são
π(r B − r 4A )
πr 4A
e JB =
JA =
2
2
4
O ângulo de torção por unidade de
comprimento
θ=
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Mt
G A J A + G BJ B
MtGArA e = MtGBrB
=
τA
τB
GAJA + GBJB
GAJA + GBJB
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Exemplo 17.1
Considere um veio de Secção Circular com 5cm de
diâmetro e admita que o pretende substituir por um veio
de secção circular oca. No caso do diâmetro exterior da
secção oca ser de 7.5 cm, qual deve ser o diâmetro
interior de modo que a tensão máxima no tubo não se
alterar. Determine o peso dos dois tubos e compare-os e
diga o que conclui dessa comparação. Considere o
mesmo material para os dois tubos.
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Exemplo 17.2
Considere um veio de secção circular composta, como se representa na
figura, cujo diâmetro exterior é 140mm e cujo diâmetro interior é
desconhecido. A tensão máxima instalada é de 150MPa.O material A
tem um módulo de rigidez transversal GTA=110GPa e o material B tem
um módulo de rigidez transversal GTB=80GPa. O momento torsor a que
a peça está sujeita é 78.5KN.m. Determine o raio interior do veio.
.
A
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Veio de Secção Arbitrária
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Teoria de Saint Vennant
O deslocamento PP* é rφ = r θ z cujas componentes segundo x e y são u,v. O vector
deslocamento referido aos eixos dos xx e dos yy é de acordo com a figura
⎧ u ⎫ ⎧−rθzsenα ⎫ ⎧ −θzy ⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎨ v ⎬ = ⎨ rθz cos α ⎬ = ⎨ θzx ⎬
⎪ w ⎪ ⎪ w(x, y) ⎪ ⎪ w(x, y) ⎪
⎩ ⎭ ⎩
⎭ ⎩
⎭
y
P*
v
α
u
α
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P
x
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Teoria de Saint Vennant
As deformações são obtidas a partir dos deslocamentos, tendo em conta
as relações deformações deslocamentos, sendo o tensor das deformações
⎡
∂u
⎢
∂x
⎢
⎢ ⎛ ∂u ∂v ⎞
ε = ⎢ 12 ⎜ + ⎟
⎢ ⎝ ∂y ∂x ⎠
⎢
⎢ 1 ⎛ ∂u + ∂w ⎞
⎢⎣ 2 ⎜⎝ ∂z ∂x ⎟⎠
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⎛ ∂u ∂w ⎞⎤ ⎡
0
⎜ + ⎟⎥ ⎢
∂
∂
z
x
⎝
⎠⎥ ⎢
⎛
⎞⎥ ⎢
∂v
1 ∂v ∂w ⎥ ⎢
+ ⎟ =
0
2⎜
∂y
⎝ ∂z ∂y ⎠⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎛
⎞
∂
∂
∂
v
w
w
1
⎥ ⎢ 1 ⎛ ∂w − yθ⎞
+
⎟
⎟
2⎜
2⎜
⎢
⎥
∂
∂
∂
∂
z
y
z
x
⎝
⎠
⎝
⎠
⎦ ⎣
1
2
⎛ ∂u ∂v ⎞
⎜ + ⎟
⎝ ∂y ∂x ⎠
1
2
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⎛ ∂w
⎞⎤
−
θ
y
⎜
⎟⎥
⎝ ∂x
⎠⎥
⎛
⎞⎥
1 ∂w
+ xθ⎟⎥
0
2⎜
⎝ ∂y
⎠⎥
⎥
⎛
⎞
∂
w
1
⎥
0
+ xθ⎟
2⎜
⎥⎦
⎝ ∂y
⎠
0
1
2
24
Teoria de Saint Vennant
As tensões são obtidas por aplicação da lei de Hooke, sendo o tensor das
⎡
tensões
⎛ ∂w
⎞⎤
− yθ
0
0
G
⎢
⎢
⎢
σ=⎢
0
0
⎢
⎢
⎢ G ⎛ ∂w − yθ ⎞ G ⎛ ∂w + xθ ⎞
⎜
⎟
⎟
⎢⎣ ⎝⎜ ∂x
⎠
⎝ ∂y
⎠
⎜
⎟⎥
⎝ ∂x
⎠⎥
⎛ ∂w
⎞⎥
+ xθ ⎟ ⎥
G⎜
∂
y
⎝
⎠⎥
⎥
⎥
0
⎥⎦
As equações de equilíbrio tomam neste caso a
forma seguinte
⎛ ∂w
⎞
− yθ ⎟ e
τ xz = G ⎜
⎝ ∂x
⎠
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⎛ ∂w
⎞
+ xθ ⎟
τ yz = G ⎜
⎝ ∂y
⎠
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Teoria de Saint-Vennant
As derivadas dos deslocamentos w são tais que
G
∂w
∂w
= τ xz − Gyθ e G
= τ yz + Gxθ
∂x
∂y
Para assegurar a compatibilidade dos deslocamentos, pode derivar-se
em ordem a y a 1ª equação e em ordem a x a 2ª equação, os resultados
obtidos têm de ser iguais, donde se infere a equação de
compatibilidade seguinte
∂ τ zx ∂ τ zy
−
= −2Gθ
∂y
∂x
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26
Teoria de Saint Vennant
A solução do problema passa pela solução do sistema de
equações
∂ τ zx ∂ τ zy
+
=0
∂x
∂y
∂ τ zx ∂ τ zy
−
= −2Gθ
∂y
∂x
considerando as condições de fronteira
seguintes
na superfície Lateral
τ zx ν x + τ zyν y = 0
∫∫
A
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(x τ yz − yτ xz )dxdy
para z=0 e z=L.
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Problema 1
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28
Resolução do Problema 1
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29
Resolução do Problema 1
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30
Resolução do Problema 1
a b
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31
Resolução Problema 1
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32
Resolução do Problema 1
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33
Problema 2
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34
Resolução Problema 2
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35
Resolução Problema 2
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36
Resolução Problema 2
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37
Resolução Problema 2
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38
Problema 3
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39
Resolução Problema 3a)
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40
Resolução Problema 3a)
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41
Resolução Problema 3b)
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42
Resolução Problema 3b)
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43
Resolução Problema 3c)
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Resolução Problema 3c)
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Problema 4
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Resolução Problema 4a)
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47
Resolução Problema 4a)
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48
Resolução Problema 4a)
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49
Resolução 4b)
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51
Resolução 4b)
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Problemas Propostos
2. Considere um veio composto de alumínio e aço com as dimensões
representadas na figura e sujeito a um momento torsor de 2kN.m.
Determine as tensões de corte máximas instaladas e determine o ângulo de
corte. O módulo de rigidez transversal do Alumínio é 27 GPa e o módulo
de rigidez transversal do Aço é 80GPa.
A
A
50m m 100m
m
1250mm
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