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Fragmentos de Matemática Discreta - 2
CONECTIVO IMPLICA
Exemplo 1O
Considere as seguintes proposições de valores lógicos desconhecidos:
s: André é sorocabano.
p: André é paulista.
Sorocabano é o natural da cidade de
Sorocaba do estado de São Paulo. Paulista é
quem nasceu no estado de São Paulo.
Apesar de não sabermos os valores lógicos destas proposições, mas
sabermos previamente que Sorocaba é uma cidade do estado de São
Paulo, poderemos eliminar a 2ª linha da tabela verdade de s e p:
s
p
V
V
V
F
F
V
F
F
Realmente, se é V que André é sorocabano,
será V que André é paulista. Agora, se é F
Desta forma, as proposições s e p mantêm uma relação de dependência,
que André é sorocabano, poderá ser V ou F
isto é, André não poderá ser sorocabano sem ser paulista. Tal relação
que André seja paulista (poderá ser paulista
poderá ser formulada na seguinte proposição composta:
de São Roque ou carioca, por exemplo,
respectivamente).
Se André é sorocabano então André é paulista.
Esta frase é sempre verdadeira, pois é impossível a possibilidade André
sorocabano (s é V) e André não-paulista (p é F); por isso, riscamos esta
linha da tabela verdade de s e p.
Exemplo 1P
Considere as seguintes proposições de valores lógicos desconhecidos:
a: Hoje é domingo.
b: Bruno irá à missa.
Apesar de não sabermos os valores lógicos destas proposições, considere
a proposição composta seguinte:
Se hoje é domingo então Bruno irá à missa.
Esta frase será falsa para a 2ª linha da tabela verdade de a e b, isto é,
"hoje é domingo e Bruno não irá à missa" e verdadeira para as demais 3
linhas. Isso difere do exemplo anterior, onde não havia a possibilidade de
falsidade pois a Geografia não permite que alguém seja sorocabano sem
Assim, a proposição composta do exemplo
ser paulista. Assim, não riscaremos a 2ª linha, apenas sinalizamos que
3.1 não pode ser falsa, enquanto que a deste
nela a proposição composta "Se hoje é domingo então Bruno irá à missa"
exemplo 3.2 pode ser ou verdadeira ou falsa.
será falsa.
Fragmentos de Matemática Discreta - 3
Assim, se é V que hoje é domingo e é V que
a
b
Proposição Composta
V
V
V
será verdadeira. Igualmente, se é F que hoje
V
F
F
é domingo, mas V que Bruno vai à missa, a
F
V
V
proposição composta não estará errada, pois
F
F
V
Bruno irá à missa, a proposição composta
a mesma nada fala sobre se Bruno vai à
Veja como esta tabela assemelha-se às tabelas dos conectivos
missa ou não nos outros dias. Da mesma
maneira, se é F que hoje é domingo e F
também que Bruno irá à missa, a proposição
composta não será invalidada pela mesma
razão. Esta proposição composta somente
será falsa se tivermos um domingo em que
Bruno não vai à missa, isto é, V que seja
lógicos apresentados no capítulo 1 por relacionar a veracidade de uma
proposição composta aos valores lógicos de seus componentes. Assim, a
estrutura desta proposição composta dará origem a um novo conectivo,
denominado IMPLICA. Seu símbolo será uma flecha horizontal apontada
para direita e sua tabela verdade poderá ser obtida a partir da reprodução
da tabela anterior, utilizando-se do símbolo :
domingo e F que Bruno vá à missa.
A proposição A é sempre V porque não é
possível alguém ser carioca e não ser
brasileiro, eliminando assim a 2ª linha. Por
outro lado, é possível alguém ser carioca e
ser brasileiro (1ª linha), alguém não ser
carioca e ser brasileiro (3ª linha) e alguém não
ser carioca nem brasileiro (4ª linha). Todos
a
b
ab
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Exemplo 1Q
Para as seguintes proposições compostas, dizer quais delas serão sempre
verdadeiras, quais não poderão ter ambas proposições componentes
verdadeiras (incoerentes), quais não poderão ter ambas verdadeiras nem
ambas falsas (duplamente incoerentes) e quais poderão ser ou
verdadeiras ou falsas.
estes 3 casos não invalidam a proposição
Proposição Composta
Classificação
A
Se Ana é carioca, então Ana é brasileira.
Sempre V
B
Se Bruna é paulista, então Bruna é argentina.
Incoerente
C
Se Clara é bonita, então Joana é linda.
Ou V ou F
D
Se Diana não chegar em 1 minuto então perderá o vôo.
Ou V ou F
E
Se hoje é domingo, então hoje não é segunda.
Sempre V
F
Se Francisco é alto, então Francisco não é alto.
Duplamente
Incoerente
G
Se George é alto, então Guilherme não é alto.
Ou V ou F
H
Se Hélia toca clarinete, então Hélia toca instrumento.
Sempre V
I
Se está chovendo, então não está chovendo.
Duplamente
Incoerente
J
Se João é inteligente, então João aceitará a oferta.
Ou V ou F
composta "Se Ana é carioca, então Ana é
brasileira." A proposição B é incoerente
porque não é possível alguém ser paulista e
argentina ao mesmo tempo, o que elimina a
1ª linha. Porém veja que as outras três linhas
são possíveis, ainda que a argumentação da
2ª linha seja falsa, isto é, verdadeiro de Bruna
ser paulista e falso de ser argentina. A
proposição C poderá ser ou verdadeira ou
falsa, sendo falsa quando Clara for bonita e
Joana não for linda. A frase inteira será
verdadeira nos outros 3 casos das
possibilidades da tabela verdade. Igualmente,
A coluna auxiliar detalha sobre a classificação de algumas proposições
D será falsa apenas se Diana não chegar em
compostas anteriores. Este exercício é válido para ressaltar que apenas as
1 minuto e não perder o vôo. A proposição E
proposições compostas por SE... ENTÃO que poderão ser classificadas ou
é sempre V, pois a 2ª linha (V F) está
V ou F terão interesse na Lógica Matemática, pois apenas estas geram
eliminada. A proposição F é duplamente
tabelas verdades, enquanto que as sempre V eliminam a 2ª linha, as
incoerente pois suas componentes não
incoerentes eliminam a 1ª linha e as duplamente incoerentes eliminam
poderão ser ambas verdadeiras ou ambas
falsas (o que elimina a 1ª e 4ª linhas).
a 1ª e a 4ª linhas. De qualquer modo, as proposições sempre V são
amplamente utilizadas na didática do conectivo IMPLICA conforme
veremos no exemplo a seguir. A marca registrada do conectivo implica é a
estrutura SE... ENTÃO. Porém, tal conectivo estará presente em
estruturas linguísticas que se valem de outros recursos e isso tem sido a
fonte de muitos erros e confusões sobre este conectivo.
Fragmentos de Matemática Discreta - 4
Exemplo 1R
Vamos utilizar uma proposição composta pelo conectivo implica sempre
verdadeira apenas para justificar as diferentes maneiras de expressá-la.
s: André é sorocabano.
p: André é paulista.
Esta é a forma inicial apresentada para o
conectivo. Veja que a proposição e o
conhecimento prévio de Geografia eliminam
a possibilidade de André sorocabano e não-
A proposição composta s  p poderá ser dita de diferentes formas:
(i) Se André é sorocabano,
Então André é paulista.
paulista.
Esta forma coloca o SE na proposição p de
tal forma que se tenha o mesmo significado:
impossível André ser sorocabano sem ser
(ii) Somente André será sorocabano
Se André for paulista.
paulista.
Esta forma altera a posição do SOMENTE
para junto do SE e forma o bloco SOMENTE
(iii) André será sorocabano somente
Se André for paulista.
SE que deverá, então, ser entendido como
substituto da estrutura SE... ENTÃO inicial.
Importante estrutura para compreender o
próximo conectivo, o EQUIVALE.
Desta forma, a garantia de veracidade para
André sorocabano é suficiente para garantir a
veracidade de André paulista.
(iv) André ser sorocabano é condição suficiente para que
André seja paulista.
Expressão sinônima da anterior.
(v) Basta que André seja sorocabano
Aqui, inverte-se a ordem das proposições
Para que André seja paulista.
simples sem alterarmos o sentido inicial.
Isso porque a constatação de André
sorocabano é suficiente para a veracidade de
(vi) André ser paulista é condição necessária para que
André seja sorocabano.
André paulista. Porém não é necessário que
André seja sorocabano para ser paulista.
Aqui, inverteu-se a ordem das proposições
simples. De fato, é necessário que André
seja paulista para ser sorocabano, mas isto
(vii) André ser sorocabano é condição suficiente e não-necessária para
que
André seja paulista.
não é suficiente: André poderá ser paulista
de Itu e não ser sorocabano, por exemplo.
(viii) André ser paulista é condição necessária e não-suficiente para que
André seja sorocabano.
Fragmentos de Matemática Discreta - 5
Podemos resumir estas 8 diferentes maneiras de expressar o
Observe como tal esquema destaca as
conectivo IMPLICA no seguinte esquema:
equivalências das expressões SE... ENTÃO e
SOMENTE SE, tão importante para a
André sorocabano
compreensão do próximo conectivo. Além
disso, mostra claramente qual proposição é
SE
condição suficiente (a do início da flecha) e

ENTÃO
SOMENTE
qual proposição é a condição necessária (a do
André paulista
SE
COND. SUFICIENTE
COND. NECESSÁRIA
final da flecha).
Exemplo 1S
Obtenha a tabela verdade para a seguinte proposição composta a  (a 
b).
Inicialmente, resolvemos os parênteses, isto é, fazemos a  b e, em
seguida, aplicamos a lógica do conectivo IMPLICA
Observe que, em nenhuma das linhas,
teremos V  F, o que resultaria em valor
lógico F para a expressão final. Esta
expressão, como veremos adiante, é
a
b
a b
a  (a  b)
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
classificada como tautologia por ser sempre
verdadeira, independentemente dos valores
Não surpreende o fato de que a tabela verdade para a  (a  b) ser
lógicos de seus componentes.
sempre verdadeira pois a mesma, em linguagem comum, poderá ser
substituída por frases do tipo: "Se João está em casa então João está em
casa ou está nevando".
Exemplo 1T
Obtenha a tabela verdade para a seguinte proposição composta (a  b) 
Inicialmente, obtemos a coluna a  b pois
c'.
está entre parênteses, o que significa que
a
b
c
a b
c'
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
deverá ser resolvido primeiro. Isso é feito
colocando-se F apenas quando ambos a e b
forem F e colocando-se V nos demais casos.
(a  b)  c'
V
F
V
V
F
F
Em seguida, obtemos a coluna c' negando
V
F
F
V
V
V
toda a coluna c, isto é, invertendo todos os
F
V
V
V
F
F
seus valores lógicos. Finalmente, para
F
V
F
V
V
V
obtermos a expressão desejada, nos fixamos
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
apenas sobre as colunas e procuramos onde
algo V implica em algo F (1ª, 3ª e 5ª linhas),
marcando F nestes casos e V nos demais.
A coluna auxiliar traz os detalhes para a confecção desta tabela verdade.
Observe que, como são três proposições, inicialmente fazemos todas as
3x  18  x  6
combinações possíveis para a, b e c, procedendo-se como já explicado no
y  7  y 2  49
capítulo 1. A idéia do conectivo IMPLICA é largamente utilizada na
y 2  49 
 y 7
Matemática. Em particular, quando estamos resolvendo uma equação, é
Veja que y ser 49 não implica
comum utilizar a notação  (conectivo implica) ou a notação 
necessariamente termos y = 7, pois y
(implicação) ao longo da resolução, como ilustra a coluna auxiliar. Assim,
poderia ser também 7.
se é verdadeiro que 3x é igual a 18, então, também será verdadeiro que x
2
será igual a 6. Se é verdadeiro que y é igual a 7, então será verdadeiro que
y ao quadrado será 49. Agora, y ao quadrado igual a 49 não implica
necessariamente y ser 7.
Fragmentos de Matemática Discreta - 6
Exemplo 1U
Numa cidade, é verdadeiro que todos os comerciantes são cultos.
Utilizando tabelas verdade e diagramas de Venn:
a) Teste a validade da proposição "Se João é comerciante, então João é
culto."
b) Teste a validade da proposição "Se João é culto então João é
comerciante."
c) Teste a validade da proposição "Se João não é culto então João não é
comerciante."
a)
a: João é comerciante.
b: João é culto.
Como ser comerciante implica em ser culto,
a  b: Se João é comerciante então João é culto.
considere apenas as linhas onde a  b é V,
isto é, 1ª, 3ª e 4ª linhas. Assim, riscamos a 2ª
linha. Agora, como João é comerciante então
a é V, o que riscamos a 3ª e a 4ª linhas. Com
isso, sobrou apenas a 1ª linha onde a é V,
a
b
ab
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
isto é, João é culto.
O diagrama de Venn mostra nitidamente que
João
o conjunto dos comerciantes está totalmente
comerciantes
contido no dos cultos. Como João é
comerciante, escrevemos seu nome dentro
do balão dos comerciantes e concluímos que
cultos
também estará dentro do balão dos cultos.
b)
Novamente, como ser comerciante implica
em ser culto, riscamos a 3ª linha onde isso
seria F. Como João é culto, segue que b é V,
a: João é comerciante.
b: João é culto.
b  a: Se João é culto então João é comerciante.
onde riscamos a 4ª linha. Com isso, sobram
a
b
ab
V
V
V
verdadeiro e falso que João seja
V
F
F
comerciante. Assim, não podemos concluir
F
V
V
que João seja comerciante.
F
F
V
as linhas 1 e 3, onde será, respectivamente,
O diagrama de Venn mostra claramente que
o fato de João ser culto não descarta a
possibilidade de João ser comerciante, mas
?João
não a garante. Assim, escrevemos o nome
?João
comerciantes
João duas vezes precedido por ? para
reforçar a incerteza de sua localização. A
única certeza é a de que João ficará dentro
cultos
do balão dos cultos.
Em geral, a  b e b  a têm valores lógicos diferentes. Por exemplo, ser
sorocabano implica em ser paulista, mas ser paulista não implica em ser
sorocabano necessariamente.
Fragmentos de Matemática Discreta - 7
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