Apostila de matemática aplicada – Prof.Renato A .Toledo
Análise e desenvolvimento de sistemas
48
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatístico, cuja principal
finalidade é produzir no leitor do gráfico, uma impressão mais rápida e clara do fenômeno
estudado. Para tornarmos a representação gráfica possível, devemos estabelecer uma
correspondência, proporcional, entre os termos da série e uma determinada figura.
A representação gráfica de um fenômeno deve ser simples1 , clara2 e veraz3 para que
realmente seja útil. Os principais tipos de gráficos são os diagramas, os cartogramas e os
pictogramas.
Diagramas
São gráficos geométricos, que usam , no máximo, duas dimensões para a sua construção, e
normalmente fazem uso do referencial cartesiano.Dentre os principais diagramas temos:
Gráfico em linha ou em curva
Este tipo de gráfico se utiliza da linha poligonal para representar a série estatística.
O gráfico em linha constitui uma aplicação do processo de representação das funções num
sistema de coordenadas cartesianas.
Exemplo: Considere a série abaixo:
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE
ÓLEO DE DENDÊ
1987 - 1992
ANOS
1987
1988
1989
1990
1991
1992
QUANTIDADE
(1.000 t )
39,3
39,1
53,9
65,1
69,1
59,5
FONTE: Agropalma
Com os dados da tabela acima podemos conseguir todos os pontos formados pela
comparação do ano e a respectiva quantidade produzida. Ao ligarmos esses pontos através de
segmentos de reta, teremos o nosso gráfico em linha ou em curva.
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE
ÓLEO DE DENDÊ
Mil
1987 - 1992
toneladas
70
60
50
40
30
20
0
1987 88 89 90 91 92
Anos
Obs.: Observe que o zero foi representado no eixo vertical, e isso, de modo geral, sempre
acontecerá. Se por algum motivo não for possível representar o zero no eixo vertical, procure
chamar a atenção para o fato.
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49
Gráfico em colunas ou em barras
É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em
colunas) ou horizontalmente (em barras).
Quando em colunas os retângulos tem a mesma base e as alturas são proporcionais aos
respectivos dados.
Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais
aos respectivos dados.
Dessa maneira estamos assegurando que as áreas das surpefícies frontais sejam
proporcionais aos respectivos dados.
Exemplos:
a) Gráfico em colunas
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE
CARVÃO MINERAL BRUTO
1989 - 1992
ANOS
20000
QUANTIDADE
(1.000 t )
1989
1990
1991
1992
18.189
11.168
10.468
9.241
15000
1989
1990
10000
1991
1992
5000
0
FONTE: Ministério da Agricultura
1989 1990 1991 1992
b) Gráfico em barras
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS
MARÇO – 1995
ESTADOS
São Paulo
Minas Gerais
Rio Grande do Sul
Espírito Santo
Paraná
Santa Catarina
FONTE: Secex
Santa Catar
Santa Catarina
VALOR
(US$ MILHÕES )
1.344
542
332
285
250
202
Paraná
Paraná
Espírito San
Espírito Santo
Rio Grande do Sul
Rio Grande
Sul
Minas Gerais
São Paulo
Minas Gerai
São Paulo
0
500
1000
1500
Observação : Sempre que os dizeres a serem escritos forem muito longos, devemos dar preferência
ao gráfico em barras. Porém, se mesmo assim quisermos fazer o gráfico em colunas , os dizeres
deverão estar dispostos de baixo para cima.
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50
c) Gráfico em colunas ou em barras múltiplas
Este tipo de gráfico é geralmente usado quando queremos representar, simultaneamente,
dois ou mais fenômenos estudados , com o propósito de comparação.
Exemplo:
Especificações
Exportações
Importações
BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL
1989-93
VALOR (US$ 1.000.000)
1989
1990
1991
1992
34383
31414
31620
35793
18263
20661
20041
20554
1993
38783
25711
FONTE : Ministério da Fazenda
BALANÇA COMERCIAL
BRASIL – 1989 – 93
US$ milhão
40000
35000
30000
25000
20000
Exportações
Importações
15000
10000
5000
0
1989
1990
1991
FONTE : Ministério da Fazenda
1992
1993
d) Gráfico em setores
Este tipo de gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação da parte no todo.
Exemplo:
REBANHO SUÍNO DO
SUDESTE DO BRASIL
1992
ESTADOS
Minas Gerais
Espírito Santo
Rio de Janeiro
Sào Paulo
Total
QUANTIDADE
(mil cabeças)
REBANHO SUÍNO DO
SUDESTE DO BRASIL
1992
3.363,7
430,4
308,5
2.035,9
6.138,5
Minas Gerais
Espírito Santo
Rio de Janeiro
São Paulo
FONTE : IBGE
FONTE : IBGE
NOTA: O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados.
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e) Pictograma
Este tipo de gráfico é o que melhor transmite ao público em geral os seus dados, pela
forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A representação gráfica consta de figuras.
Exemplos:
Para a série estatística:
POPULAÇÃO DO BRASIL
1960 - 1990
ANOS
1960
1970
1980
1990
HABITANTES
(milhares)
70.070,4
93.139,0
118.562,5
155.822,4
FONTE:IBGE
temos a seguinte representação pictórica:
POPULAÇÃO DO BRASIL
1960 - 90
1960
1970
1980
1990
Cada símbolo representa 20.000.000 de habitantes
FONTE : IBGE
Na verdade o gráfico acima é um gráfico em barras; porém as figuras o tornam mais
atrativo. Na confecção de gráficos pictóricos devemos utilizar muita criatividade, procurando
obter uma otimização na união da arte com a técnica. Observa mais um gráfico abaixo:
Cresce o total de drogados no Brasil
casos de AIDS no Brasil
FONTE:Ministério da Saúde
51
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Tabela primitiva e rol
A forma pela qual podemos descrever os dados estatísticos resultantes de variáveis
quantita-tivas, como é o caso da estatura dos alunos de uma classe, representadas nas tabelas
abaixo,podem ser :
Uma tabela primitiva, quando os seus elementos não foram numericamente organizados.
166
162
155
154
160
161
152
161
Estatura de 40 alunos de um colégio
x
161 150 162 160 165 167
168 163 156 173 160 155
163 160 155 155 169 151
156 172 153 157 156 158
164
164
170
158
160
168
164
161
Uma tabela com seus dados organizados através de uma certa ordem (crescente ou decrescente). A
essa tabela damos o nome de rol.
150
151
152
153
154
155
155
155
Estatura de 40 alunos de um colégio
x
155
157
160 161 162 164
156
156
156
158
158
160
160
160
160
161
161
161
162
163
163
164
164
165
166
167
168
168
169
170
172
173
Agora podemos saber, com relativa facilidade , qual a menor estatura (150 cm), qual a
maior estatura (173 cm) ; que a amplitude de variação foi 173 – 150 = 23 cm; e a ordem que um
determinado valor ocupa no conjunto.
Agrupamento de dados
Agrupar os dados significa reduzir informacões sem perdê-las. Aproveitando o exemplo
acima, podemos demonstrar que uma tabela onde uma coluna tem os valores ordenados e na
coluna ao lado, a respectiva freqüência, ou seja o número de vezes que cada valor aparece, tornase mais fácil observar e estudar a variável.
A essa tabela damos o nome de distribuição de freqüência:
ESTAT.
FREQ.
(cm)
150
1
151
1
152
1
153
1
154
1
155
4
156
3
157
1
ESTAT.
(cm) FREQ.
158
2
160
5
161
4
1`62
2
163
2
164
3
165
1
166
1
ESTAT.
FREQ.
(cm)
167
1
168
2
169
1
170
1
172
1
173
1
Total
40
Embora esse processo tenha melhorado a nossa tabela, ainda não está de maneira
aceitável.Sendo possível pela própria natureza da variável contínua, o agrupamento dos
valores em intervalos.
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53
Assim , se um dos intervalos for, por exemplo,154 158 , em vez de dizermos que a estatura de 1
aluno é 154 cm ; de 4 alunos , 155 cm;de 3 alunos , 156; e de 1 aluno, 157, diremos que 9 alunos
tem estaturas entre 154 (inclusive) e 158 cm.
Estatura Freqüência
(em cm)
150 154
4
154 158
9
158 162
11
162 166
8
166 170
5
170 174
3
Total
40
Perceba que com essa nova tabela acabamos perdendo pormenores, mas como o que
realmente nos interessa é realçar o que há de essencial nos dados, e também tornar possível o uso
de técnicas analíticas para a sua total descrição, até porque a estatística tem por finalidade
específica analisar o conjunto de valores, desinteressando-se por casos isolados.
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Classe
Classes de freqüência ou ,simplesmente, classes , são intervalos de variação da variável.
As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1,2,3,..,k ( onde k é o número
total de classes da distribuição).
Assim, na tabela acima , o intervalo 158 162 define a terceira classe ( i = 3). Como a
distribuição é formada por seis classes podemos afirmar que k = 6.
Limites de classe
Denominamos limites de classe os extremos de cada classe.
Assim sendo o menor valor da classe é o limite inferior da classe ( li) e o maior número,
o limite superior da classe (Li).
Na teceira classe , por exemplo, temos:
limite inferior l3 = 158 e limite superior L3 = 162
Amplitude de um intervalo de classe
É a medida que define a classe. Ela é obtida através da diferença entre os limites superior e
inferior da classe e indicaremos por hi. Assim :
hi = Li - li
Na distribuição anterior temos:
h2 = L2 – l2 ⇒ h2= 158 – 154 = 4 ⇒ h2 = 4 cm
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54
Amplitude total da distribuição
Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da última classe e
o limite inferior da primeira classe.
AT = L (max.) – l (mín.)
Na nossa distribuição anterior temos que AT = 174 – 150 = 24 cm
Amplitude amostral
Amplitude amostral (AA) é a diferença entre o valor máximo e valor mínimo da amostra.
Ainda na distribuição anterior temos:
AA = 173 – 150 = 23 cm
Observação: Perceba que a amplitude da distribuição “jamais” coincide com a amplitude amostral.
Ponto médio de uma classe
Ponto médio de uma classe (xi), é como o próprio nome indica, é o ponto que divide o
intervalo em duas partes iguais.Podemos obter o ponto médio de uma classe através da semi-soma
dos limites da classe (média aritmética).
xi =
li + L i
2
Freqüência simples ou absoluta
Freqüência de uma classe ou de um valor individual é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor.
A freqüência simples é simbolizada por fi ( lemos: f índice i ou freqüência da classe i).
Na distribuição que estamos usando como exemplo temos :
k
f1 = 4 ,f2 = 9 , f3 = 11 , f4 = 8 , f5 = 5 e f6 = 3
fi .
∑
A soma de todas as freqüências é representada por
i =1
No nosso exemplo temos:
6
∑ f i = 40
i =1
Podemos usar também
Observe como ficou agora a nossa distribuição de freqüência das estaturas dos alunos do
colégio x.
ESTATURA DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO X
i
Estatura
(em cm)
1
2
3
4
5
6
150
154
158
162
166
170
154
158
162
166
170
174
fi
4
9
11
8
5
3
∑ fi = 40
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55
Numero de classes e Intervalos de classe.
Uma das melhores maneiras para obtermos o número de classes é o julgamento pessoal,
sempre que possível evitando classes com freqüência nula.
Deteminado o número de classes que deve ter a distribuição , vamos agora determinar a
amplitude do intervalo de classe, o que conseguirenmos dividindo a amplitude total pelo número
de classes:
h=
AT
i
Quando o resultado não for exato devemos arredondá-lo para mais.
No nosso exemplo temos:
173 − 150 23
=
= 3,8 = 4
6
6
Isto é, seis classes de intervalos iguais a 4.
h=
EXERCICIOS
1º) As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
9
9
9
a) Complete a distribuição de freqüência abaixo:
i
1
2
3
4
5
NOTAS
xi
fi
∑ fi
=
b) Agora responda:
Qual a amplitude amostral?
Qual a amplitude da distribuição?
Qual o número de classes da distribuição?
Qual o limite inferior da quarta classe?
Qual o limite superior da classe de ordem 2?
Qual a amplitude do segundo intervalo de classe?
c) Complete:
h3 =
AA=
AT=
l1 =
L3=
x2 =
f5=
l5 =
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TIPOS DE FREQÜÊNCIAS
Freqüência simples ou absoluta ( f i )
É o valor que representa o número de dados da classe
Já vimos que a soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados:
∑ fi
Freqüência relativa ( f r )
=n
É o valor que se obtém através da razão entre a freqüência simples da classe e a freqüência
total.
fr i =
fi
∑ fi
NOTA: O intuito das freqüências relativas é o de permitir a análise ou facilitar as comparações.
Freqüência acumulada (Fi)
É o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de
uma dada classe.
Fk = f1 + f2 + f3 +…+ f k
Freqüência acumulada relativa ( Fr i )
A freqüência acumulada relativa de uma classe é o quociente entre a freqüência
acumulada da classe e a freqüência total da distribuição.
Fr i =
Fi
∑ fi
Observe o exemplo abaixo:
ESTATURA DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO X
i
1
2
3
4
5
6
Estatura
(em cm)
150
154
158
162
166
170
154
158
162
166
170
174
fi
xi
fri
4
9
11
8
5
3
∑ f i = 40
152
156
160
164
168
172
0,100
0,225
0,275
0,200
0,125
0,075
Σ=1,000
Fi
4
13
24
32
37
40
Fri
0,100
0,325
0,600
0,800
0,925
1,000
Com o conhecimento dos vários tipos de freqüência podemos responder perguntas como:
a) Quantos alunos tem estatura abaixo de 162 cm?
Resposta: Esse valor vamos conseguir através da freqüência acumulada da 3ª classe que é F3 = 24 alunos.
b) Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 158 cm?
Resposta: Esse valor vamos obter através do produto da freqüência relativa acumulada da 2ª classe por 100,
ou seja Fr2 . 100 , que nos dá o resultado 0,325 . 100 = 32,5% dos alunos da distribuição.
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57
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA SEM INTERVALO DE CLASSE
Quando se tratar de variável discreta, de variação relativamente pequena, cada valor pode
ser tomado como um intervalo de classe ( intervalo degenerado), e nesse caso a distribuição de
freqüência é sem intevalo de classe.
Exemplo:
Uma pesquisa foi elaborada para constatar o número de comodos existentes nas casas de
20 famílias entrevistadas, onde xi é a variável número de cômodos:
i
1
2
3
4
5
6
xi
2
3
4
5
6
7
fi
4
7
5
2
1
1
Σ=20
Podemos agora completar a tabela acima com os vários tipos de freqüência:
i
1
2
3
4
5
6
xi
2
3
4
5
6
7
fi
4
7
5
2
1
1
Σ=20
fri
0.20
0,35
0,25
0,10
0,05
0,05
Σ=1,00
Fi
4
11
16
18
19
20
EXERCÍCIOS
1º) Complete a distribuição abaixo, determinando as freqüências simples:
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
fi
Σ=34
Fi
2
9
21
29
34
Fri
0,20
0,55
0,80
0,90
0,95
1,00
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58
2º) Conhecidas as notas de 50 alunos:
8
7
6
7
6
7
7
8
4
9
3
8
4
8
6
5
9
5
6
5
5
7
5
9
4
7
5
7
4
2
1
4
2
8
9
6
4
9
5
9
7
8
7
6
3
7
8
4
2
1
Obtenha a distribuição de freqüência com intervalos de classe sabendo que a distribuição tem 5
classes.
i
NOTAS
xi
fi
3º) Complete a tabela abaixo:
i
1
2
3
4
5
CLASSES
0
8
16
24
32
8
16
24
32
40
fi
4
10
14
9
3
Σ=
fri
....
....
....
....
....
Σ=
Fi
....
....
....
....
....
Fri
....
....
....
....
....
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59
4º) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência das áreas de 400 lotes:
ÁREAS
300
400 500 600 700 800 900 1000
1100 1200
(m2)
Nº DE
14
46
58
76
68
62
48
22
6
LOTES
Com referência a essa tabela, determine:
a)a amplitude total;
b)o limite superior da quinta classe;
c)o limite inferior da oitava classe;
d)o ponto médio da sétima classe;
e)a amplitude do intervalo da quarta classe;
f)a freqüência da quarta classe;
g)a freqüência relativa da sexta classe;
h)a freqüência acumulada da quinta classe;
i)o número de lotes que não atinge 700m2;
j)o percentual de lotes cuja área não atinge 600m2;
5º) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma
empresa de ônibus:
Nº de
acidentes
Nº de
motoristas
0
1
2
3
4
5
6
7
20
10
16
9
6
5
3
1
Determine:
a)o número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;
b)o número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes;
c)o número de motoristas que sofreram no mínimo 3 acidentes e no máximo 5 acidentes.
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60
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
As medidas de tendência central são as mais importantes das medidas de posição, e recebem essa
de-nominação pelo fato de os dados observados tederem, em geral, a se agrupar em torno dos
valores cen-trais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos a média aritmética; a
mediana e a moda.
Média aritmética ( x )
Média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número
deles:
x=
∑ xi
n
Sendo que:
x = média aritmética
xi = valores da variável
n = número de valores
DADOS NÃO AGRUPADOS
Para determinarmos a média dos dados não-agrupados, determinamos a média aritmética
simples.
Exemplo:
Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca Mimosa, durante uma semana, foi de
12,14,10,15,16,18 e 13 litros, temos para a produção média da semana:
x=
12 + 14 + 10 + 15 + 16 + 18 + 13 98
=
= 14 litros
7
7
DADOS AGRUPADOS
Sem intervalos de classe
Neste caso as freqüências são números que indicam as intensidades de cada valor da
variável, logo elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média
aritmética ponderada, obtida pela fórmula:
x=
∑ x ifi
∑ fi
O modo mais prático de obtermos a média ponderada é abrir, na tabela , uma coluna
correspondente aos produtos xifi :
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61
Exemplo:
Considerando a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para a variável
o número de filhos do sexo masculino:
Nº de
meninos
0
1
2
3
4
fi
2
6
10
12
4
Σ = 34
Podemos agora abrir uma coluna na tabela ,com os produtos xifi:
Nº de
meninos
0
1
2
3
4
Temos, então:
fi
xifi
2
0
6
6
10
20
12
36
4
16
Σ = 34 Σ = 78
Σ xifi = 78 e Σ fi = 34
Logo:
x=
∑ x ifi ⇒ x = 78 = 2,29 ⇒ x = 2,3 meninos
34
∑ fi
Nota: Sendo o x uma variável discreta, o valor médio 2,3 meninos sugere ,neste caso, uma leve
supe-rioridade numérica no número de meninos em relação ao número de meninas.
Com intervalos de classe
Neste caso, vamos calcular a média através do ponto médio determinado em cada intervalo
de classe. Com isso a fórmula para o cálculo da média aritmética ponderada será a mesma.
x=
∑ x ifi
∑ fi
Apostila de matemática aplicada – Prof.Renato A .Toledo
Análise e desenvolvimento de sistemas
62
EXERCÍCIOS
1º) Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição de freqüência:
CUSTO
450
(R$)
fi
550
8
650
10
750
11
850
16
950
13
1050
5
1150
1
Temos:
i
xi
500
....
....
....
....
....
....
1
2
3
4
5
6
7
fi
8
…
…
…
…
…
…
xifi
2º) Calcule a média aritmética ponderada, de um aluno que obteve as seguintes notas nas provas
parciais de matemática:
1ª prova parcial (peso1) .............50
2ª prova parcial (peso2) .............70
3ª prova parcial (peso2) .............45
4ª prova parcial (peso3) .............60
3º) Um escritório negociou os seguintes títulos:
Títulos de $1.000 .......18
Títulos de $ 500 .........8
Títulos de $ 200 .........2
Qual o valor médio dos títulos negociados?
4º) Calcule a média aritmética , considerando a distribuição abaixo:
i
1
2
3
4
5
Estatura
140
150
160
170
180
150
160
170
180
190
fi
2
6
8
6
2