1
3.1. Reflexão do som por meio de uma interface
1.138J/2.062J, PROPAGAÇÃO DE ONDAS
Outono, 2000 MIT
Observações de C. C. Mei
CAPÍTULO TRÊS
ONDAS BI-DIMENSIONAIS
1
Reflexão e transmissão do som em uma interface
Referência: Brekhovskikh e Godin §.2.2.
A equação governante para som em um fluido homogêneo é dada por (7.31) e (7.32) no
Capítulo Um. Em termos de potencial de velocidade definido por u = ∇φ é
(1.1)
onde c significa a velocidade do som. Lembre-se de que a pressão de fluido p = –ρ0 ∂φ /∂t também
satisfaz a mesma equação.
Primeiro, generalizamos a onda senoidal plana no espaço tridimensional
(1.2)
onde n é o vetor de unidade na direção de k. Aqui a função de fase é
(1.3)
A equação da fase constante θ (x, t) =θ0 descreve uma superfície móvel. O vetor de número de
ondas k = kn é definido para ser
(1.4)
portanto é ortogonal à superfície da fase constante e representa a direção da propagação das ondas.
(1.5)
(1.2) é uma solução? Vamos verificar (1.7).
2
3.1. Reflexão do som por meio de uma interface
Portanto, (1.1) é satisfatório se
(1.6)
Considere dois fluidos semi-infinitos separados pela interface plana ao longo de z = 0. As
velocidades do som nos fluidos superiores e inferiores são c e c1, respectivamente. Permita que uma
onda incidente plana chegue de z > 0 ao ângulo incidente de θ em relação ao eixo z,
(1.7)
indicando que
(1.8)
O movimento é confinado no plano x, z.
No mesmo lado (incidência) da interface, temos a onda refletida
(1.9)
onde R indica o coeficiente de reflexão. O vetor de número de ondas é
(1.10)
No ambiente inferior z < 0 a onda transmitida possui a pressão
(1.11)
onde T é o coeficiente de transmissão. Ao longo da interface z = 0, necessitamos da continuidade da
pressão e da velocidade normal, ou seja,
(1.12)
e
(1.13)
onde os colchetes significam o salto que atravessa a interface:
(1.14)
Definimos a impedância de uma simples onda harmônica por meio de
3
3.1. Reflexão do som por meio de uma interface
(1.15)
onde w é o componente vertical da velocidade do fluido. Devido a
(1.16)
(1.17)
Conclui-se, a partir das duas exigências de continuidade, que a impedância precisa ser contínua
(1.18)
Observe primeiro que, para satisfazer as condições de continuidade para todo x, é necessário que os
fatores y sejam compatíveis, de forma que
(1.19)
ou
(1.20)
As equações (1.19) ou (1.20) são a famosa lei de refração de Snell. Se c1 < c, as ondas forem
incidentes a partir do ambiente mais veloz, a direção da onda refratada (ou transmitida) fica mais
próxima do normal em relação à interface. Agora, (1.12) precisa que
(1.21)
A impedância das ondas incidentes, refletidas e transmitidas é, respectivamente,
(1.22)
sendo todas constantes, e a impedância total sobre o lado de incidência/reflexão é
(1.23)
4
3.1. Reflexão do som por meio de uma interface
que é, em geral, uma função complexa de z. A seguir, impomos (1.12) e obtemos
(1.24)
portanto
(1.25)
Esta fórmula é escrita de forma geral onde a impedância do ambiente inferior pode ser qualquer
coisa. Para o exemplo abaixo, ela é dada por (1.22) e
(1.26)
Permita que
(1.27)
onde a relação de velocidade do som n é chamada de índice de refração. Obtemos, após o uso da lei
de Snell,
(1.28)
O coeficiente de transmissão vem logo depois de (1.21),
(1.29)
Agora, examinaremos a física.
Se n = c/c1 > 1, a incidência encontra-se entre um ambiente mais veloz e um mais lento,
então R é sempre real. Entretanto, se n < 1 então θ1 > θ. Existe um ângulo de incidência crítica θc,
definido por
(1.30)
a não ser que (θ > θc) as raízes quadradas acima se tornem imaginárias. Então, devemos tomar
5
3.1. Reflexão do som por meio de uma interface
(1.31)
Isto significa que o coeficiente de reflexão agora é complexo
(1.32)
Figura 1: Coeficiente de reflexão complexo
com |R| = 1, indicando reflexão completa. Conforme verificamos, a onda transmitida agora é dada
por
(1.34)
então, a amplitude se atenua exponencialmente em z à medida que z → –∞. Assim, o trem de onda
não consegue penetrar muito abaixo da interface.
A dependência de R sobre vários parâmetros é mostrada melhor no plano complexo
.
Caso 1: n > 1. Aqui, R é sempre real.
Para a incidência normal θ = 0,
(1.34)
R > 0 se n < m e R < 0 se n > m. Em ambos os casos |R| < 1. Para a incidência oblíqua θ = π/2, R =
–1. Para qualquer ângulo de incidência intermediária, R se inclina no segmento do eixo real
conforme mostra a figura 1.a. e 1.b.
6
3.2. Equações para ondas elásticas
Caso 2. n < 1 então R é real apenas se θ < θc, caso contrário R se torna complexo e necessita
da unidade de amplitude. Está claro, a partir de (1.32) que
, de forma que R se incline no
semicírculo na metade inferior do plano complexo, conforme mostra a figura 1.c. e 1.d.
2
Equações para ondas elásticas
Refs.:
Graff: Wave Motion in Elastic Solids
Aki & Richards Quantitative Seismology, V. 1.
Achenbach. Wave Propagation in Elastic Solids
Permita que o deslocamento do vetor em um ponto xj e tempo t seja indicado por ui(xj, t) e,
em seguida, aplicada a lei de Newton a um elemento de matéria de unidade de volume, leia
(2.1)
onde τij é o tensor das tensões. Menosprezamos a força da massa, como a gravidade. Para um forte
elástico homogêneo e isotrópico, temos a seguinte relação entre tensão e pressão
(2.2)
onde λ e µ são constantes de Lamé e
(2.3)
é o tensor da pressão. A equação (2.2) pode ser invertida para dar
(2.4)
onde
(2.5)
é o modulo de Young e
(2.6)
7
3.2. Equações para ondas elásticas
Substituindo (2.2) e (2.3) pela (2.1), obtemos
A fórmula de vetor (2.1) se torna
(2.7)
Tomando a divergência de (2.1) e indicando a dilatação através de
(2.8)
obtemos a equação que governa a dilatação sozinha
(2.9)
ou
(2.10)
onde
(2.11)
Assim, a dilatação se propaga como uma onda em velocidade cL. Para explicar resumidamente, são
ondas longitudinais, portanto o subscrito L. Por outro lado, tomando a ondulação de (2.7) e
indicando através do vetor de rotação
:
(2.12)
8
3.2. Equações para ondas elásticas
Temos então a equação governante para a rotação sozinha
(2.13)
onde
(2.14)
Assim, a rotação se propaga como uma onda em velocidade mais lenta cT. O subscrito T indica que
esta é uma onda transversa, a ser mostrada mais adiante.
A relação das duas velocidades de onda é
(2.15)
Já que
(2.16)
conclui-se que a relação de velocidade depende apenas da razão de Poisson.
(2.17)
Existe um teorema genérico devido a Helmholtz de que qualquer vetor pose ser expresso
como a soma de um vetor irrotacional e um vetor solenoidal, ou seja,
(2.18)
sujeito à restrição de que
(2.19)
O escalar φ e o vetor H são chamados de potenciais de deslocamento. Substituindo esta pela (2.7),
obtemos
9
3.3. Ondas livres no espaço infinito
Já que ∇ ⋅ ∇φ = ∇2φ e ∇ ⋅ ∇ × H = 0, obtemos
(2.20)
Obviamente, a equação acima é satisfatória se
(2.21)
e
(2.22)
Embora as equações governantes sejam simplificadas, os dois potenciais são normalmente
complementados pelas condições-limite, a menos que o domínio físico seja infinito.
3
Ondas livres no espaço infinito
A equação de ondas de dilatação admite uma solução de onda senoidal plana:
(3.1)
Aqui, a função de fase é
(3.2)
a qual descreve uma superfície móvel. O vetor de número de ondas k = kn é definido para ser
(3.3)
portanto é ortogonal à superfície de fase constante e representa a direção da propagação da onda. A
freqüência é
(3.4)
A solução genérica é
10
3.3. Ondas livres no espaço infinito
(3.5)
De forma semelhante, a onda senoidal a seguir é uma solução para a equação de onda de
cortante;
(3.6)
A solução genérica é
(3.7)
Também podemos escrever (3.5) e (3.9) como
(3.8)
e
(3.9)
onde
(3.10)
são chamados de vetores lentos de ondas longitudinais e transversas, respectivamente.
Em uma onda de dilatação o vetor de deslocamento é paralelo ao vetor do número de ondas:
(3.11)
onde f′ é a derivativa ordinária de f em relação ao seu argumento. Portanto, a onda de dilatação é
uma onda longitudinal (de compressão). Por outro lado, em uma onda rotacional o vetor de
deslocamento é perpendicular ao vetor do número de ondas,
(3.12)
Portanto, uma onda rotacional é uma onda transversa (de cortante).
11
3.4. Ondas elásticas em um plano
Refs.: Graff, Achenbach,
Aki e Richards: Quantitative Seismology, v.1
Vamos examinar as ondas que se propagam no plano vertical de x, y. Todas as quantidades
físicas devem ser uniformes na direção de z, portanto ∂/∂z = 0, então
(4.13)
e
(4.14)
onde
(4.15)
(4.16)
Observe que uz também governado por (4.16).
Com base na lei de Hooke, os componentes de tensão podem ser escritos
12
3.5. Reflexão de ondas elásticas a partir de um limite plano
Observe que as equações governantes para φ e Hz são governadas por ondas não-complementadas a
partir das de Hx e Hy, portanto os componentes de deslocamento dentro do plano ux, uy são
independentes do componente fora do plano uz. Os deslocamentos dentro do plano (ux, uy) são
associados à dilatação e ao corte dentro do plano, representado respectivamente por φ e Hz, que
serão referidos como onda P e onda SV. O deslocamento fora do plano uz está associado a Hx e Hy e
será referido como onda SV.
As diferentes situações físicas aparecem de diferentes condições-limite. Devemos
considerar primeiro o problema do semiplano complementado pelo plano y = 0.
5
Reflexão de ondas elásticas a partir de um limite plano
Vários tipos de condições-limite podem ser prescritos sobre o limite do plano: (i) dinâmica: apenas
os componentes de tensão (condição de tração); (ii) cinemático: apenas os componentes de
deslocamento ou (iii) uma combinação de componentes de tensão e de deslocamento. As (iv)
condições mistas, nas quais as tensões são oferecidas além da parte do limite e os deslocamentos
além de outra, são as mais difíceis.
Consideramos o caso mais simples onde o plano y =0 está completamente livre de tensões
externas,
(5.23)
e
(5.24)
Está claro que (5.23) afeta apenas as ondas P e SV, enquanto (5.24) afeta apenas a onda SH. No
entanto, temos dois problemas não-complementados em cada que podem ser tratados
separadamente.
5.1
Ondas P e SV
Considere o caso onde apenas as ondas P e SV estejam presentes, então Hx = Hz = 0. Permita que
todas as ondas possuam vetores de número de ondas inclinados em direção de x positivo:
(5.25)
Conclui-se a partir de (4.15) e (4.16) que
(5.26)
13
3.5. Reflexão de ondas elásticas a partir de um limite plano
com
(5.27)
Primeiro, aceitaremos as raízes quadradas como se fossem reais; a solução genérica para (5.26) são
os senóides, portanto,
(5.28)
Nas laterais direita, os primeiros termos são ondas incidentes e o segundo, ondas refletidas. Se as
amplitudes incidentes AP, AS forem dadas, quais são as propriedades das ondas refletidas BP, BS? Os
componentes de número de ondas podem ser escritos na forma polar:
(5.29)
onde (kL, kT) são os números de ondas, (θL,θT) as direções da onda P e onda SV, respectivamente.
Em termos destes, reescrevemos (5.28)
(5.30)
(5.31)
A fim de satisfazer (5.23) em y = 0 para todo x, devemos insistir:
(5.32)
Esta está na forma da lei de Snell:
(5.33)
indicando
(5.34)
Quando (5.23) é aplicada em y = 0, os fatores exponenciais se anulam e obtemos duas condições
algébricas para duas amplitudes desconhecidas das ondas refletidas (BP, BS):
(5.35)
14
3.5. Reflexão de ondas elásticas a partir de um limite plano
(5.36)
Usando (5.34), obtemos
As duas equações podem ser resolvidas e a solução expressa em forma de matriz:
(5.37)
onde
(5.38)
significa a matriz de dispersão. Assim, SPS representa a onda-S refletida devido à onda incidente P
de unidade de amplitude etc. É justo verificar que
(5.39)
(5.40)
(5.41)
(5.42)
Como resultado de (5.33) e
(5.43)
A matriz de dispersão é a função da razão de Poisson e o ângulo de incidência.
(i) Onda P de incidência: considere o caso especial quando apenas a onda incidente é uma
onda P. Então AS = 0 e só SPP e SSP são relevantes. Observe primeiro que, em geral, θL >θT . Para
incidência normal, θL = 0. Achamos que
15
3.5. Reflexão de ondas elásticas a partir de um limite plano
(5.44)
não existe nenhuma onda SV. Por outro lado, se
(5.45)
Figura 2: Relações de amplitude para ondas incidentes P para várias razões de Poisson. De Graff:
Waves in Elastic Solids. Os símbolos devem ser convertidos de acordo com:
A1 → AP, A2 → BP, B1 → AS, B2 → BS.
Então, apenas a onda SV é refletida. Este é o caso de conversão de modo pelo qual ondas P
incidentes se transformam em ondas SV após a reflexão. A amplitude da onda SV refletida é
(5.46)
(ii) Onda SV de incidência: Permita que AP = 0. Então, apenas SSP e SSS são relevantes. Para
incidência normal, SSS = –1 e SSP = 0. A conversão de modo também ocorre quando (5.45) é
satisfatória. Já que θL >θT, existe um ângulo de incidência crítica θT além do qual a onda P não
consegue se propagar para dentro do sólido. No ângulo crítico
(5.47)
16
3.5. Reflexão de ondas elásticas a partir de um limite plano
Assim, para v = 1/3, κ = 2 e o ângulo de incidência crítica é θT = 30o. A onda P se propaga ao longo
do eixo x.
Figura 3: Relações de amplitude de onda refletida das ondas SV incidentes para várias razões de
Poisson. De Graff: Waves in Elastic Solids. Os símbolos devem ser convertidos de acordo com:
A1 → AP, A2 → BP, B1 → AS, B2 → BS.
Além do ângulo crítico de incidência, as ondas P decaem exponencialmente longe da
superfície livre. A amplitude da onda SV é linear em y que é não-física, sugerindo a limitação da
premissa de espaço não-complementado.
5.2
Onda SH
Por causa de (4.14), podemos apresentar uma função de fluxo ψ, de forma que
(5.48)
Obviamente,
17
3.6. Dispersão de ondas SH
(5.49)
(5.50)
e
(5.51)
A condição-limite de tensão zero indica
(5.52)
Assim, o problema de ψ é análogo ao de ondas de som refletidas por meio de um plano sólido.
Novamente, para as ondas incidentes monocromáticas, a solução se revela facilmente
(5.53)
onde
(5.54)
Advertimos que, quando o limite está em qualquer superfície cilíndrica com o eixo paralelo
ao eixo z, a condição sem tensão lê
(5.55)
onde n é a unidade exterior normal para B. Já que no problema absoluto de onda SH
a condição (5.55) significa
(5.56)
Assim, a analogia à dispersão acústica por meio de um objeto sólido é verdadeira, independente da
geometria do dispersor.
18
3.6. Dispersão de ondas SH
6
Dispersão de ondas SH monocromáticas
6.1
Solução em coordenadas polares
Consideramos a dispersão de ondas SH bidimensionais de freqüência única. O potencial dependente
do tempo pode ser escrito como
(6.1)
onde o potencial φ é governado pela equação de Helmholtz
(6.2)
Para ser específico, considere o dispersor como uma cavidade finita de geometria geral. No limite
sem tensão B, a tensão de cortante desaparece,
(6.3)
portanto
(6.4)
Permita que as ondas incidentes sejam uma onda plana
(6.5)
e o ângulo de incidência seja θ0 em relação ao eixo positivo x. Nas coordenadas polares, escrevemos
(6.6)
(6.7)
Isto mostra (consulte o Apêndice A) que a onda plana pode ser expandida em série de FourierBessel:
(6.8)
onde
n
é o símbolo de Jacobi:
19
3.6. Dispersão de ondas SH
(6.9)
Cada termo na série (6.8) é chamado de onda parcial.
Permita que a onda total seja a soma das ondas incidentes e dispersas
(6.10)
então, as ondas dispersas devem satisfazer a condição de radiação no infinito, ou seja, ela só pode
radiar energia exterior a partir do dispersor.
A condição-limite na superfície da cavidade é
(6.11)
Nas coordenadas polares a equação governante lê
(6.12)
Já que φ1 satisfaz a equação anterior, então φ2 também.
Através do método de separação de variáveis,
Encontramos
onde n = 0, 1, 2,... são eigenvalores, a fim de que
eigenvalor n, as possíveis soluções são
seja periódico em θ com período 2π. Para cada
onde
são funções de Hankel do primeiro e segundo gêneros, proporcional às
funções de Bessel e Weber através de
(6.13)
A solução mais genérica para a equação de Helmholtz é
20
3.6. Dispersão de ondas SH
(6.14)
Para grandes raios, a fórmula assintótica das funções de Hankel é
(6.15)
Em conjunto com o fator tempo exp(–iwt),
oferece uma onda de saída, enquanto
oferece
uma onda de entrada. Para satisfazer a condição de radiação, devemos descartar todos as expressões
que envolvem
dispersa agora é
. Daqui em diante, precisamos abreviar
simplesmente por Hn. A onda
(6.16)
Os coeficientes de expansão (Na, Bn) devem ser escolhidos para satisfazer a condição-limite
na superfície da cavidade1. Uma vez determinados, a onda é encontrada em toda parte. Em
particular no campo distante, podemos usar a fórmula assintótica para obter
(6.17)
Vamos definir o fator de dirigibilidade adimensional
(6.18)
o qual indica a variação angular da amplitude de campo distante, então
(6.19)
Esta expressão exibe claramente o comportamento assintótico de φS como uma odna de saída. Por
diferenciação, vemos prontamente que
1
Em uma das técnicas de solução numérica, uma divide a região física por meio de um círculo vedando a
cavidade. Entre a cavidade e o círculo utiliza-se elementos finitos. Fora do círculo, utiliza-se (6.16). Através
da construção de um princípio variacional adequado, o cálculo do elemento finito produz os coeficientes
nodais, bem como os coeficientes de expansão. Consulte (Chen & Mei, 1974).
21
3.6. Dispersão de ondas SH
(6.20)
que é a única maneira de determinar a condição de radiação para ondas SH bidimensionais.
Em qualquer raio r a taxa total da saída de energia pela onda dispersa é
(6.21)
onde a linha sobreposta indica o tempo médio sobre o período de onda 2π/ω.
Advertimos que no caso análogo da acústica plana onde a pressão do som e a velocidade
radial do fluido são, respectivamente,
(6.22)
a taxa de dispersão de energia é
(6.23)
6.2
Teorema genérico sobre dispersão
Para o mesmo dispersor e a mesma freqüência ω, diferentes ângulos de incidência θj definem
diversos problemas de dispersão θ j. Em particular no infinito, temos
(6.24)
Vamos aplicar a fórmula de Green em φ1 e φ2 sobre uma área fechada complementada por
um contorno fechado C,
onde n se refere ao vetor de unidade normal apontando para S. A integral de superfície desaparece
por causa da equação de Helmholtz, enquanto a integral de linha ao longo da superfície da cavidade
desaparece em virtude da condição-limite, portanto
22
3.6. Dispersão de ondas SH
(6.25)
Através de raciocínio semelhante, obtemos
(6.26)
onde
significa o complexo conjugado de φ1.
Vamos escolher φ1 = φ2 = φ0 em (6.26), e obtemos
(6.27)
Fisicamente, atravessando qualquer círculo, a taxa líquida do fluxo de energia desaparece, ou seja,
a força dispersa deve ser equilibrada pela força incidente.
Utilizando (6.24), obtemos
A primeira expressão na integrante não oferece nenhuma contribuição à integral acima, por causa
da periodicidade. Já que ℑ (if) = ℑ(if*), obtemos
23
3.6. Dispersão de ondas SH
Para kr grande, a integral restante pode ser encontrada aproximadamente através do método de fase
estacionária (consulte o Apêndice B), com o resultado
(6.28)
Por fim, obtemos
(6.29)
Assim, o total da energia dispersa em todas as direções está relacionado à amplitude de onda
dispersa na direção de avanço. Em física atômica, de onde este teorema foi originado (por Niels
Bohr), a mensuração da amplitude de dispersão em todas as direções não é fácil. Este teorema
sugere uma alternativa econômica.
Trabalho de casa. Para o mesmo dispersor, considere dois problemas de dispersão φ1 eφ2.
Mostre que
(6.30)
Para ondas elásticas genéricas, consulte Mei (1978): Extensions of some identities in
elastodynamics with rigid inclusions. J. Acoust. Soc. Am. 64(5), 1514-1522.
6.3
Dispersão por meio de uma cavidade circular
Sem perda de generalidade, podemos aceitar θ0 = 0. Na superfície da cavidade cilíndrica r = a,
impomos
Conclui-se que An = 0 e
24
3.7. Difração das ondas SH por meio de uma longa fissura
onde os primos indicam diferenciação em relação ao argumento. Portanto
A soma das ondas incidentes e dispersas é
(6.31)
e
(6.32)
O limite das ondas longas pode ser analisado semelhantemente por meio da utilização de
expansões de funções Bessel para pequenos argumentos
(6.33)
Então, a onda dispersa possui o potencial
(6.34)
A expressão H0(kr) corresponde a uma fonte oscilante que envia ondas isotrópicas em todas as
direções. A segunda expressão é um dipolo que envia ondas dispersas principalmente nas direções
progressivas e regressivas. Para kr grande, a variação angular é muito mais complexa. O padrão de
campo distante para vários ka é mostrado na fig. 4.
Na superfície da cavidade, o deslocamento é proporcional a ψ(a,θ) ou φ (a,θ). A variação
angular é traçada por vários ka na figura 5.
25
3.7. Difração das ondas SH por meio de uma longa fissura
Figura 4: Distribuição angular em dispersão cilíndrica
Figura 5: Distribuição polar da velocidade em um cilindro circular
26
3.7. Difração das ondas SH por meio de uma longa fissura
7
Difração de onda SH por meio de uma longa fissura
Referências
Morse & Ingard, Theoretical Acoustics Expansões em série.
Born & Wolf, Principle of Optics Transformação de Fourier e o método do ponto de sela.
B. Noble. The Wiener-Hopf Technique.
Se o obstáculo é grande, existe sempre uma sombra atrás, onde a onda incidente não
consegue penetrar de forma profunda. O fenômeno da dispersão por meio de grandes obstáculos
geralmente é chamado de difração.
A difração das ondas planas SH incidentes por meio de uma longa fissura é idêntico a da
tela sólida em acústica. A solução exata deve-se a A. Sommerfield. Devemos aplicar a idéia da
camada-limite e oferecer uma solução lógica aproximada bem longe da ponta ky >> 1 através da
aproximação parabólica, graças a V. Fock.
Em referência à figura ( ), vamos fazer uma divisão aproximada de todo o campo dentro da
zona I iluminada, dominada somente pela onda incidente, a zona II de reflexão dominada pela soma
das ondas incidentes e refletidas e a zona III de sombra, onde não existe onda. Os limites dessas
zonas são os raios que tocam na ponta da fissura. De acordo com essa imagem estimativa, a solução
é
(7.1)
Obviamente, (7.1) é inadequada, porque o potencial não consegue ser interrompido através
dos limites. Faz-se necessário uma solução para proporcionar transições harmoniosas.
Considere a sombra do limite Ox′. Vamos introduzir um novo sistema de coordenadas
cartesianas, de forma que o eixo x′ esteja acompanhando, enquanto o eixo y′ é normal m relação ao
limite de sombra. As relações entre (x, y) e (x′, y′) são
(7.2)
Assim, a onda incidente é simplesmente
(7.3)
27
Figura 6: Zonas de onda próximas à longa fissura
Acompanhando a regra de três composta da distribuição,
podemos mostrar de forma clara que
de forma que a equação de Helmholtz é imutável na forma dentro do sistema x′, y′.
Tentamos encaixar uma camada limite ao longo do eixo x′ e esperamos que o potencial seja
quase como uma onda plana
(7.4)
mas a amplitude é modulada lentamente em ambas as direções x′ e y′. Substituindo (7.4) pela
equação de Helmholtz, obtemos
(7.5)
Esperando que a escala característica Lx de A ao longo do eixo x′ seja muito maior que o
comprimento de onda, kLx >> 1, temos
28
3.7. Difração das ondas SH por meio de uma longa fissura
Portanto, obtemos a equação de Schrödinger2 como primeira aproximação
(7.7)
Nesta zona de transição, onde as expressões restantes são de importância semelhante, as escalas de
comprimento podem ser relacionadas através de
Assim, a zona de transição é o interior de uma parábola.
A equação (7.7) é do tipo parabólica. As condições-limite são
(7.8)
(7.9)
A condição inicial é
(7.10)
o valor inicial do limite para A não possui escalas de comprimento intrínsecas, exceto as próprias x′,
y′. Entretanto, a condição kLx >> 1 significa kx′ >> 1, ou seja, bem longe da ponta. Este problema é
um tanto análogo ao problema de difusão de calor monodimensional através de um limite. Uma
forma de solução conveniente é o método de similaridade.
Suponha a solução
(7.11)
onde
(7.12)
2
Em mecânica quântica monodimensional, a função de onda em um campo independente de potencial é
governada pela equação de Schrödinger
(7.6)
29
3.7. Difração das ondas SH por meio de uma longa fissura
é a variável de similaridade. Achamos, por substituição, que f satisfaz a equação diferencial
ordinária
(7.13)
sujeita às condições-limite que
(7.14)
Reescrevendo (7.13) como
obtemos
Mais uma integração oferece
Já que
obtemos
e
(7.15)
Definindo o co-seno e o seno das integrais de Fresnel através de
(7.16)
30
3.7. Difração das ondas SH por meio de uma longa fissura
podemos então escrever
(7.17)
No plano complexo a representação de C(γ) + iS(γ) vs. γ é a famosa espiral Cornu, mostrada na
figura (??).
A intensidade da onda é dada por
(7.18)
Já que C, S → 0 assim como γ → –∞, a densidade da onda diminui gradualmente a zero dentro da
sombra. No entanto, C, S → ½ assim como γ → ∞ de forma oscilatória.
Figura 7: Contornos da amplitude de Hz. Extraído de Born e Wolf, Optics, de acordo com a teoria
exata.
31
3.7. Difração das ondas SH por meio de uma longa fissura
Figura 8: Contornos de fase de Hz. Extraída de Born e Wolf, Optics, de acordo com a teoria exata.
Figura 9: Difração de uma onda plana incidente geralmente polarizada em E
32
3.8. Ondas de superfície de Rayleigh
Figura 10: Espiral de Cornu, uma representação das integrais de Fresnel
A intensidade de onda oscila enquanto se aproxima da unidade assintoticamente. Em óptica, ela se
destaca como bandas de difração de luz e sombra.
Nos problemas mais complexos de propagação, a aproximação parabólica pode simplificar
a tarefa numérica em um problema do valor de limite elíptico. Pode-se usar o esquema de CrankNicholson para avançar no “tempo”, ou seja, x′.
Trabalho de casa. Descubra, através da aproximação parabólica, a solução de transição ao
longo da borda da zona de reflexão.
8
Ondas de superfície de Rayleigh
Refs. Graff, Achenbach, Fung
Em um semiplano elástico homogêneo, além das ondas P, SV e SH, uma outra onda que se
encontra aprisionada ao longo da superfície de um semiplano também pode estar presente. Como a
maioria das ações está próxima à superfície, esta onda de superfície é de especial importância para
os efeitos sísmicos na superfície do solo.
Vamos iniciar a partir das equações governantes, mais uma vez
(8.1)
(8.2)
Agora, buscamos as ondas que se propagam ao longo da direção x
33
3.8. Ondas de superfície de Rayleigh
(8.3)
Então f(y), h(y) devem satisfazer
(8.4)
Para ter ondas de superfície, insistimos que
(8.5)
seja real e positiva. Mantendo apenas as soluções que são complementadas por y ~ ∞, obtemos
(8.6)
As expressões para os deslocamentos e tensões podem ser encontradas diretamente.
Sobre a superfície livre as condições livres de tração τyy = τxy = 0 exige que
(8.12)
(8.13)
Para soluções não triviais de A, B o coeficiente determinante deve desaparecer,
(8.14)
ou
(8.15)
34
3.8. Ondas de superfície de Rayleigh
que é a relação de dispersão entre a freqüência ω e o número de ondas ξ. Tanto de (8.12) quanto de
(8.13), obtemos a relação de amplitude:
(8.16)
Em termos da velocidade de onda c = ω /ξ, (8.15) se torna
(8.17)
ou, por fim, elevando ambos os lados ao quadrado
(8.18)
A primeira solução c = ω = 0 é, na melhor das hipóteses, um problema estático. De fato,
e A = –iB, de forma que ux = uy ≡ 0, que não é de interesse.
Precisamos apenas considerar a equação cúbica de c2. Observe que as raízes da equação
cúbica dependem somente da razão de Poisson, embora
. Podem existir três
raízes verdadeiras para c ou ω, ou só uma raiz verdadeira e duas raízes conjugadas complexas.
Excluímos a última, porque as raízes complexas indicam tanto amortecimento temporário quanto
instabilidade; nenhuma das duas é uma onda que se propaga. Quando as três raízes forem
verdadeiras, devemos escolher a que seja, de forma que tanto
Para c = 0, o fator entre chaves é
são reais.
Para c = cT o mesmo fator é igual à unidade e, portanto, positivo. Deve haver uma solução para c de
tal que 0 < c < cT. Além disso, não podemos ter raízes na faixa entre c / cT > 1. Sendo assim,
que não é uma onda de superfície. Assim, a onda de superfície, se ela existir, é mais lenta do que a
onda de cortante.
Estudos numéricos para a faixa inteira da razão de Poisson (0 < v < 0.5) mostram que existe
uma raiz verdadeira e duas conjugadas complexas se v > 0.263... e três raízes verdadeiras se v <
0.263... Mas existe apenas uma única raiz verdadeira que oferece a velocidade de onda de superfície
cR. Na Fig. 8, podemos observar um gráfico para todos os valores da razão de Poisson, graças a
Knopoff. A expressão das curvas representativas para a velocidade de onda de Rayleigh é
35
3.9. Carga móvel na superfície do solo
(8.19)
Para as rochas, λ = µ e
, as raízes são
(8.20)
A única raiz aceitável para velocidade de onda de Rayleigh cR é
(8.21)
ou
(8.22)
Figura 11: Velocidade das ondas de superfície de Rayleigh cR. extraído de Fung Foundations of
Solid Mechanics.
O deslocamento de partícula de uma partícula na superfície livre é, de (??) e (??)
(8.23)
(8.24)
Observe que
36
3.9. Carga móvel na superfície do solo
portanto
e
(8.25)
A trajetória da partícula é uma elipse. Em uma fórmula complexa, temos
(8.26)
Deste modo, à medida que t aumenta, a partícula em (x, 0) traça a elipse no sentido anti-horário.
Veja a figura (8).
Figura 12: Deslocamento de partículas na superfície do solo na onda de superfície de Rayleigh.
Extraído de Fung Foundations of Solid Mechanics.
37
3.9. Carga móvel na superfície do solo
9
Ondas elásticas devido à carga que percorre a superfície do
solo
Refs.: Fung: Foundations of Solid Mechanics
Cole e Huth: (1956, Elastic Half Space; J Appl Mech 25, 433-436)
Mei, Si & Chen, (1985, Poro-elastic Half Space, Wave Motion, 7, 129-141).
Nesta seção o eixo y é positivo, se apontar para cima.
Permita que a tração na superfície do solo seja:
(9.1)
Vamos criar uma transformação (Galeliana) para um sistema de coordenadas que se movem à
esquerda com velocidade de U, de forma que a carga apareça estacionária. Então, pela regra de três
composta, as derivativas são modificadas pelo mesmo critério
(9.2)
Nas coordenadas móveis, as equações de onda são modificadas para
(9.3)
(9.4)
onde simplesmente abreviamos Hz para H.
No limite do estado estacionário elas se tornam
(9.5)
(9.6)
Apresentando os números de Mach:
(9.7)
então (9.5) e (9.6) se tornam
38
3.9. Carga móvel na superfície do solo
(9.8)
(9.9)
Os componentes de tensão podem ser derivados diretamente em termos dos potenciais
Valendo-se do fato de que (λ + 2µ) =
, mais adiante obtemos
(9.10)
De forma semelhante, encontramos
(9.11)
(9.12)
Agora, examinaremos a distribuição da pressão especial, conforme mostra a figura (9):
(9.13)
Assim, as condições-limite de tração (9.3) na superfície do solo se tornam
(9.14)
(9.15)
Três casos serão diferenciados:
39
3.9. Carga móvel na superfície do solo
Figura 13: Distribuição de pressão móvel em meio espaço elástico. A pressão aparece estacionária,
conforme mostra o sistema de coordenadas.
9.1
Supersônico: M1 > M2 > 1
Vamos aplicar a transformação exponencial de Fourier definida por
(9.16)
A partir de equações de ondas governantes, obtemos
(9.17)
onde
(9.18)
As soluções genéricas das Transformações de Fourier são
40
3.9. Carga móvel na superfície do solo
de forma que
(9.19)
(9.20)
A fim de que as ondas abaixo da superfície do solo se arrastem por trás da carga de superfície,
descartamos a segunda expressão de cada integral. Assim
(9.21)
Agora, as condições-limite exigem
(9.22)
e
(9.23)
O aproveitamento foi feito do resultado
(9.24)
Conclui-se que
(9.25)
e
(9.26)
As duas últimas equações podem ser resolvidas para dar
41
3.9. Carga móvel na superfície do solo
(9.27)
(9.28)
As transformações inversas de φ e h são:
(9.29)
onde
(9.30)
Utilizando (9.10), (9.11) e (9.12), obtemos os componentes de tensão. Por exemplo
(9.31)
(9.32)
onde
(9.33)
Como resultado de (9.24), a transformação inversa é imediata
(9.34)
Como verificação, a tensão de cortante na superfície do solo y = 0 é
42
3.9. Carga móvel na superfície do solo
(9.35)
como resultado de (9.30).
Isso mostra que
(9.36)
Observe que as perturbações na metade do espaço de fato se arrasta por trás da pressão da
superfície. As ondas P e SV estão concentradas respectivamente ao longo das características
e
.
Trabalho de casa: Verifique os resultados acima através do método de características.
9.2
Caso subsônico, 1 > M1 > M2
Neste caso, (9.8) e (9.9) são elípticos. Permita que
Figura 14: Variações de tensão no solo sob carga supersônica na superfície. Extraído de Mei, Si &
Chen, 1985.
43
3.9. Carga móvel na superfície do solo
(9.37)
As soluções formais para Φ e H são
(9.38)
Através da utilização de (9.10), (9.11) e (9.12), os componentes de tensão podem ser expressos
como integrais de Fourier, as quais podem ser avaliadas em termos da integral exponencial definida
por
(9.39)
Permita que
(9.40)
e
(9.41)
Portanto, os componentes de tensão são
(9.42)
44
3.9. Carga móvel na superfície do solo
Observe que
(9.43)
onde
(9.44)
com a integral sendo o valor principal.
A partir das definições k3 e k4 se tornam infinitos quando seus denominadores desaparecem;
isto ocorre quando uma carga externa se desloca em velocidade de onda de superfície de Rayleigh e
indica ressonância. A ressonância não precisa ser uma ameaça, em prática, porque o modelo de
carga de linha bidimensional estacionária é uma idealização não concretizada, de um modo geral.
9.3
Caso transônico, M1 > 1 > M2
As potenciais escalares são
(9.45)
45
3.9. Carga móvel na superfície do solo
Figura 15: Variações de tensão no solo sob carga supersônica na superfície. Extraído de Mei, Si &
Chen, 1985.
onde
(9.46)
Em termos de
todas as integrais em (3.18) podem ser
avaliadas novamente. Os resultados envolvem as seguintes funções:
(9.47)
46
3.9. Carga móvel na superfície do solo
As tensões são
(9.48)
(9.49)
(9.50)
Figura 16: Variações de tensão no solo sob carga transônico na superfície. Extraída de Mei, Si &
Chen, 1985.
47
3.9. Carga móvel na superfície do solo
A
Expansão de onda parcial
Um resultado útil na teoria de ondas é a expansão da onda plana em série de Fourier do ângulo
polar θ. Nas coordenadas polares o fator espacial de uma onda plana de unidade de amplitude é
Considere o produto de funções exponenciais a seguir
O coeficiente de tn é exclusivamente Jn(z), portanto
Agora, atribuímos
A onda plana então se torna
Aproveitando o fato de que J-n = (−1)n Jn, finalmente obtemos
(A.1)
onde ∈n é o símbolo de Jacobi. O resultado acima pode ser visto como a expansão de Fourier da
onda plana com funções Bessel sendo os coeficientes de expansão. De acordo com as teorias de
propagação de ondas, cada expressão na série representa uma variação angular distinta e chama-se
onda parcial.
Utilizando a ortogonalidade de cos nθ, podemos avaliar o coeficiente de Fourier
(A.2)
48
3.9. Carga móvel na superfície do solo
que é uma das muitas representações de integrais das funções de Bessel.
B
Avaliação aproximada de uma integral
Considere a integral
Para um kr grande, os pontos de fase estacionária são encontrados a partir de
ou θ = θ 0, θ 0 + π dentro da faixa [0, 2π]. Próximo ao primeiro ponto estacionário a integrante é
dominada por
Quando os limites são aproximados por (−∞,∞), a integral pode ser avaliada para dar
Próximo ao segundo ponto estacionário, a integral desaparece, já que 1 + cos(θ −θ0) = = 1 − 1 = 0.
Portanto, o resultado (6.28) atende.