Caminho Livre Médio e
Distribuição de Maxwell
quinta-feira, 12 de novembro de 2009
Caminho Livre Medio
Se vrms do N2 e do O2 a temperatura
ambiente é de cerca de 500 m/s2
porque um odor demora tanto para se
propagar em um ambiente fechado ?
vrms =
�
3kT
m
Vrms depende somente de T e da
massa da moléculas. Ate o momento
estamos desconsiderando colisões
moleculares.
Qual seria o caminho médio que uma
molécula poderia caminhar sem colidir
com nenhuma outra ?
quinta-feira, 12 de novembro de 2009
Caminho Livre Médio
•
quinta-feira, 12 de novembro de 2009
Modelo
•
•
As colisões são elásticas.
•
•
As moléculas são esféricas.
A molécula tem velocidade
constante entre as colisões.
Consideraremos o caso
particular de uma molécula livre,
enquanto as outras estão
paradas.
Colisões
quinta-feira, 12 de novembro de 2009
•
Ocorrem quando a distância
entre moléculas é menor que
d. O raio molecular é de d/2.
•
Equivalente a situação de que
a nossa molécula “móvel” tem
raio d (diâmetro 2d) e as
“outras” moléculas são pontos.
Colisões
Comprimento da trajetória
durante Δt
Número de colisões em Δt
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•
Comprimento da trajetória
durante Δt: Dist = vmed Δt
•
Número de colisões
durante Δt: proporcional a
densidade ρ=N/V
•
V é o volume “ocupado”
pela partícula no tempo Δt
•
Este Volume é o volume
do cilindro (πd2)(vmed Δt)
Caminho Livre Médio
λ=
Comprimento da trajetória
durante Δt
Número de colisões em Δt
Ncol
N
2
= (πd v∆t)
V
v∆t
1
λ=
=
2
πd v∆tN/V
πd2 N/V
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Caminho Livre Médio Exato
•
Tínhamos considerado que as
outras moléculas eram estáticas!!!
•
A fórmula correta deve utilizar a
velocidade média relativa no
denominador e não a média em
relação a caixa!
•
Para nossa sorte existe uma
relação simples entre as duas.
Vrel = √2 Vmed
quinta-feira, 12 de novembro de 2009
1
λ= √
2πd2 N/V
Distribuição de Velocidades
•
•
Qual a distribuição de velocidades em um gás ?
James Clerk Maxwell respondeu esta questão em 1852:
•
•
•
uma distribuição de probabilidades deve ser utilizada;
deve ser função da velocidade;
deve ser proporcional a temperatura;
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Distribuição de Maxwell
M 3/2 2 −M v2 /2RT
P (v) = 4π(
) v e
2πRT
�
P (v)dv = 1
A área na distribuição da curva probabilidade
corresponde a fração de moléculas com velocidades
entre v1 e v2.
�
v2
v1
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P (v)dv = f
Distribuição de Maxwell
M 3/2 2 −M v2 /2RT
P (v) = 4π(
) v e
2πRT
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Velocidade Média e Velocidade Média Quadrática
vmed
=
vrms
=
Utilize:
�
�
�
vP (v)dv
�
(v 2 )med = v 2 P (v)dv
2n+1 −ax2
x
e
2n −ax2
x e
dx
dx =
=
n!
(a
>
0)
2an+1
1 × 3 × 5 × (2n − 1)
2n+1 an
�
M 3/2 2 −M v2 /2RT
P (v) = 4π(
) v e
2πRT
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π
a
Velocidade Média e Velocidade Média Quadrática
vmed =
�
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8RT
πM
vrms =
�
3RT
M
Velocidade Mais Provável
•
A velocidade mais provável é definida pelo máximo da função
de distribuição de probabilidade de velocidades. Ou seja, pela
condição de dP(v)/dv = 0!
�
2RT
vp =
M
Conseqüências da Distribuição de Maxwell
•
Velocidades muito maiores que a velocidade média podem
ocorrer com probabilidade ∝ exp(-Mv^2/2RT).
•
•
Estas moléculas com altas velocidades são mais reativas
Processos pouco prováveis tornam-se permitidos
energeticamente.
quinta-feira, 12 de novembro de 2009
Fixação
•
20.5 - Um recipiente é cheio com gás oxigênio mantiod a 300K.
Que fração das moléculas possui velocidades no intervalo 599
a 601 m/s? M=0.0320 kg/mol.
Para o intervalo considerado P(v) é
quase constante. Portanto a integral é
aproximada.
�
quinta-feira, 12 de novembro de 2009
P (v)dv ≈ P (v)∆v