1 ESTUDO DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO COM
AUXÍLIO DO PROGRAMA GEOGEBRA
Yara Patrícia Barral de Queiroz Guimarais 1
[email protected]
Marcelo de Miranda Lacerda 2
[email protected]
Dimas Felipe de Miranda 3
[email protected]
João Bosco Laudares 4
[email protected]
Este trabalho diz respeito a duas atividades investigativas que compõem um projeto de
pesquisa iniciado no IFNMG/Instituto Federal de Ciências e Tecnologia do Norte de Minas
Gerais, cuja problemática é “como o IFNMG pode contribuir para a melhoria do ensino de
Matemática nas escolas públicas municipal e estadual?”. Serão apresentadas duas atividades
investigativas sobre as Funções Afim e Quadrática com o uso do programa gratuito
Geogebra, que foram aplicadas aos alunos do 1º ano do Curso Técnico Integrado em
Informática, com duração de 04 horas-aula, em agosto de 2013, cujos resultados parciais da
avaliação das atividades também serão apresentados. O planejamento da pesquisa envolve: a
elaboração de atividades investigativas com uso de programas de computador sobre o Estudo
das Funções; a aplicação das atividades a alunos regularmente matriculados no Ensino Médio
do IFNMG; a análise e avaliação do aprendizado do conteúdo trabalhado junto aos alunos; e a
correção de possíveis erros observados durante a aplicação das atividades. A fundamentação
teórica para a pesquisa conta com Ponte, Brocardo e Oliveira (2006); Fiorentini e Lorenzato
(2007); Borba e Penteado (2001); Frota (2009); Valle, Mattos e Costa (2013); além de vários
1
Mestre em Ensino de Matemática – PUC Minas, membro do GRUPIMEM, professora do IFNMG. Mestre em Ciências da Educação – UATAD Portugal, professor do IFNMG. 3
Doutor em Tratamento da Informação Espacial – PUC Minas, membro do GRUPIMEM, professor da PUC
Minas e da Universidade FUMEC. 4
Doutor em Educação – PUC SP, membro do GRUPIMEM, professor da PUC Minas e do CEFET-MG. 2
2 autores de livros didáticos de Matemática para o Ensino Médio. Depois que o conjunto de
atividades estiver pronto, pretende-se oferecer oportunidades de atualização para professores
interessados da rede pública municipal e estadual. Com isso, ao se pesquisar sobre
Tecnologias da Educação, há a intenção de se buscar melhorias para o Ensino da Matemática
nas escolas públicas através do oferecimento de minicursos gratuitos para que mais
professores possam também desenvolver suas próprias pesquisas e atividades, além de
oferecer também aos alunos do IFNMG a oportunidade de melhor assimilação do conteúdo
estudado.
Palavras-chave: Atividades investigativas. Ensino de Matemática. Estudo das Funções.
Tecnologias da Educação.
Introdução
O ensino de Matemática é alvo constante de pesquisas e discussões; o Brasil vem
apresentando melhora no desempenho dos estudantes desde 2003 até 2012, conforme dados
do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alunos). Essa pesquisa foi realizada com
estudantes em todo o mundo e avaliou a capacidade de resolver questões de raciocínio lógico
envolvendo situações do cotidiano. Mas mesmo apresentando ligeira melhora, a situação do
ensino da Matemática é problemática no mundo todo e o Brasil está empenhado em melhorar
o seu resultado, ou seja, em melhorar o processo ensino-aprendizado da disciplina.
Muito mais do que simplesmente aprender a resolver equações e construir gráficos, os
estudantes brasileiros precisam aprender a aplicar os conhecimentos adquiridos.
Vários pesquisadores descrevem a importância de se ter projetos na vida e que todos, de
algum modo, têm metas a serem alcançadas, o que configura a necessidade de um mínimo de
organização para que aconteça o sucesso com tais metas. Aqui se tem a ideia de promover a
organização do pensamento matemático por meio de uma contribuição para o aprendizado dos
conteúdos.
3 Particularmente falando sobre a Teoria das Funções foram desenvolvidas atividades
investigativas, conforme sugere Ponte (2006), a partir da pesquisa já iniciada durante o
Mestrado, que gerou a Dissertação intitulada “Exploração de Convergência em Tópicos de
Cálculo Diferencial, Integral e Numérico, usando os softwares VCN e Geogebra”. Na
Dissertação mencionada, foram elaboradas atividades investigativas voltadas para a disciplina
de Cálculo Diferencial, Integral e Numérico, integrantes do Currículo de vários cursos
superiores como as Engenharias, Sistemas de Informação, Matemática, etc.
A Atividade 0, anexo da Dissertação, teve a intenção de proporcionar uma espécie de
revisão de conteúdos importantes e necessários para o aprendizado do Cálculo Diferencial e
Integral, como as Funções Afim, Quadrática, Logarítmica, Exponencial e Trigonométricas,
em que os alunos deveriam observar, principalmente, a representação gráfica dessas funções.
Um pouco de Geometria Analítica também foi explorado no que diz respeito ao
reconhecimento e estudo de retas e suas posições no plano cartesiano. Esta Atividade 0 foi
transformada aqui em Lista 1, com algumas modificações e adaptações necessárias.
A partir desta primeira atividade e reconhecendo a deficiência que a grande maioria dos
alunos tem na disciplina Matemática surgiu a ideia para uma pesquisa, que objetiva contribuir
para o aprendizado dos conteúdos matemáticos por meio de atividades investigativas que
utilizem softwares educativos. Para isso está sendo desenvolvido no Instituto Federal de
Ciências e Tecnologia do Norte de Minas Gerais/IFNMG – Campus Pirapora um projeto de
pesquisa cuja problemática é “como o IFNMG pode contribuir para a melhoria do ensino de
Matemática nas escolas públicas municipal e estadual?”. Tais atividades terão o perfil de um
estudante que esteja cursando o Ensino Médio e a pesquisa será desenvolvida com alunos de
cursos técnicos profissionalizantes do IFNMG.
O objetivo geral do projeto mencionado é: contribuir para melhoria do ensino e
aprendizagem do conteúdo Teoria das Funções, aliando experimentações com o uso de
programas de computador (inicialmente com o Geogebra, mas o uso de outros programas
também poderá ocorrer) e prática de exercícios.
Organização das atividades
Os conteúdos matemáticos são sempre alvo constante de dúvidas e problemas de
estudantes que precisam desse conhecimento para aplicação em outras disciplinas.
4 Particularmente sobre o IFNMG – Campus Pirapora, vê-se a necessidade de material didático
extra que possa contribuir para o estudo de diversos conteúdos matemáticos nos cursos
Técnicos Integrados de Edificações e Informática, cursos Técnicos Subsequente e
Concomitante de Administração, Edificações, Informática e Segurança do Trabalho, além do
curso Bacharelado em Administração, e num futuro próximo Bacharelado em Sistemas de
Informação e Engenharia Civil, além de outros cursos técnicos profissionalizantes.
Todos estes cursos têm matemática em seu programa curricular e os alunos, em geral,
chegam do Ensino Fundamental com grande deficiência nesse aprendizado. É do
conhecimento de todos por meio de resultados de várias pesquisas publicadas que há um
grande problema a nível de Brasil e mundo no ensino de Matemática tanto no Ensino
Fundamental como no Médio, o que acaba por provocar problemas também em cursos
superiores que têm essa disciplina como parte integrante do currículo.
O desejo de contribuir para melhorar o processo ensino-aprendizado dessa disciplina é a
grande meta deste projeto. Buscando aliar o estudo de conteúdos matemáticos com o uso do
computador, já que hoje em dia é comum e atraente o uso dessa ferramenta, há o desejo por
parte desta pesquisadora de oferecer mais uma possibilidade de estudo, dentre as várias já
existentes voltadas para o ensino.
Como todos os cursos deste Campus contemplam a Matemática como instrumento,
acredita-se que a experimentação por meio de softwares possa contribuir para melhorar o
aprendizado de alguns conteúdos que, como antes mencionado, inicialmente serão conteúdos
da Teoria das Funções, mas depois outros conteúdos também serão abordados.
O projeto de pesquisa aqui mencionado ainda não está cadastrado em nenhum órgão de
fomento, mas já está sendo executado desde o início do ano de 2013. Juntamente com a
pesquisa e estudo teórico, as atividades foram elaboradas e aplicadas para os alunos do 1º ano
do curso técnico integrado de Informática, no momento em que era ensinado em sala de aula
os conteúdos abordados nas Atividades. Inicialmente, os conteúdos abrangidos são os da Lista
1: construção de gráficos de funções polinomiais de 1º grau; reconhecimento de funções
crescente, decrescente e constante; construção de gráficos de outros tipos de funções; da Lista
2: estudo da Função Polinomial de 1º Grau; e da Lista 3: estudo da Função Polinomial de 2º
Grau.
As atividades foram elaboradas, aplicadas aos alunos, avaliadas e alguns erros que foram
observados durante a aplicação foram corrigidos. Depois da aplicação, o aprendizado dos
5 alunos foi avaliado, no sentido de verificar a validade ou não das atividades, sendo que esses
resultados parciais também serão apresentados.
Após a aplicação das atividades, o conteúdo foi discutido em sala de aula, quando os
alunos puderam expor dúvidas, sugestões e comentários. Os alunos fizeram posteriormente
uma prova escrita, em que o conteúdo abordado nas atividades foi cobrado; depois que as
provas foram corrigidas, estas foram resolvidas e discutidas em sala de aula, para que os
alunos eliminassem todas as dúvidas (ou muitas, pelo menos).
Com isso, todas as etapas de uma atividade investigativa proposta por Ponte (2006) foram
cumpridas.
Fundamentação Teórica
O ensino de matemática já não tem mais o tratamento que há alguns anos existia, quando a
técnica e a mecanização eram importantes e tinham grande enfoque. Aprender matemática
consistia quase que exclusivamente na memorização e aplicação de fórmulas e algoritmos, e
para isso, listas enormes de exercícios eram comuns. O professor explicava o conteúdo com
alguns exemplos-modelos e passava listas com muitos exercícios, que os alunos deveriam
fazer seguindo os modelos mostrados.
Naquela época, não havia grande preocupação com o desenvolvimento do raciocínio e da
compreensão; não importava o processo que era construído para se chegar ao resultado e nem
o contexto histórico que a situação estava inserida. Os alunos ocupavam uma posição
extremamente passiva e o professor era o único detentor do saber; a disciplina em sala de aula
onde os alunos deviam ficar calados e nunca perguntar nada era rigorosa e tradicionalista.
Mas os objetivos da educação passaram por transformações até chegar a um ponto onde o
mais importante é a formação do cidadão consciente e digno, que tenha raciocínio lógicodedutivo e consiga resolver problemas. A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional,
Lei nº 9394/96, garante o direito a todos de uma educação de qualidade e que possibilite não
só a compreensão e o aprendizado dos conteúdos para o acesso a cursos de ensino superior
visando o mercado de trabalho, mas também para o desenvolvimento intelectual e pessoal de
todas as pessoas.
Neste sentido, o ensino de matemática ocupa posição de destaque na organização
curricular da educação básica. Valorizam-se situações em que o desenvolvimento de
6 habilidades e competências possa acontecer, de maneira que o pensar matematicamente não
seja desvinculado do fazer matemática. O ensino da matemática é proposto de forma
investigativa, fazendo com o aluno possa construir seu aprendizado.
Como direcionamento para o programa curricular, o atual sistema educacional conta com
os Parâmetros Curriculares Nacionais. De acordo com os PCNs, uma das principais funções
do ensino da matemática é o desenvolvimento para solução de problemas:
Resolver um problema pressupõe que o aluno:
• elabore um ou vários procedimentos de resolução (como, por exemplo, realizar
simulações, fazer tentativas, formular hipóteses);
• compare seus resultados com os de outros alunos;
• valide seus procedimentos 5 . (PCN)
Para se adquirir habilidades e competências para a solução de problemas, muitas vezes é
necessária a habilidade de realizar cálculos mentais. O conhecimento sobre números e
operações é importante para se adquirir outras habilidades. No que se refere ao estudo da
Teoria dos Números, relações importantes como a inclusão, a proporcionalidade, a
composição e a estimativa, bem como o tratamento de informações são essenciais para a
formação do aluno e o estudo das operações aritméticas permite a ampliação do conceito de
número:
Com relação às operações, o trabalho a ser realizado se concentrará na compreensão
dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no
estudo reflexivo do cálculo, contemplando diferentes tipos — exato e aproximado,
mental e escrito. 6 (PCN).
Ainda de acordo com os PCNs do Ensino Fundamental, o estudo da Teoria dos Números é
uma preparação para a introdução à álgebra:
5
6
PCNEF – subcapítulo 1.5.1 – O recurso à .Resolução de Problemas. PCNEF – subcapítulo 1.7.2.1 – Números e Operações. 7 Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-algebra, é especialmente
nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão ampliados;
trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da
álgebra
(como
demonstrar),
modelizar,
representando
resolver
problemas
problemas
através
aritmeticamente
de
equações
insolúveis,
(identificando
parâmetros, variáveis e relações e tomando contato com fórmulas, equações,
variáveis e incógnitas) e conhecendo a "sintaxe" (regras para resolução) de uma
equação. (PCN).
Os PCNs do Ensino Fundamental consideram o estudo de Aritmética como sendo
importante para o dia a dia do cidadão comum e sugere que as operações aritméticas tenham
um tratamento especial, com a apresentação de situações-problema que possam fazer o aluno
vivenciar problemas do cotidiano. Tanto para o desenvolvimento de habilidades que
proporcionem crescimento pessoal como para aplicação em situações futuras, à medida que
aumenta o nível de estudo, o cálculo mental tem o objetivo de desenvolver o raciocínio
lógico-dedutivo e o senso crítico.
Vivenciar e conseguir uma solução para um problema do cotidiano é, sem dúvida, uma
vitória para qualquer pessoa. Principalmente se a solução para esse problema envolve uma
ideia matemática então se tem a certeza de que essa pessoa realmente absorveu e
compreendeu o que estudou nesta disciplina. Mas encontrar a solução para um problema não é
tarefa das mais simples...
Segundo Polya (1995), a resolução de um problema deve envolver, basicamente, o
seguinte caminho: compreensão do problema, estabelecimento de um plano, execução do
plano e retrospecto. Parecidos com estas etapas são também os processos sugeridos por Ponte
(2006) para a realização de uma investigação Matemática (ou atividade investigativa de
Matemática) que são: exploração e formulação de questões, formação de conjecturas, testes e
reformulação, e justificação e avaliação.
Uma investigação matemática é o momento de “descobrir relações entre objetos
matemáticos
conhecidos
ou
desconhecidos,
procurando
identificar
as
respectivas
propriedades” (Ponte, 2006, p. 13). Cada etapa, com base nas propostas de Polya (1995) e
Ponte (2006), serão detalhadas:
8 •
interpretação do problema: quando é realizada a apresentação por parte do docente de
uma situação problemática relacionada a certo tema, para os alunos. Nesse momento,
o problema é compreendido e é feito um levantamento de dados existentes.
•
planejamento: o docente organizará a atividade investigativa buscando alcançar seus
objetivos, de maneira que os estudantes possam encontrar a solução para o problema
apresentado com a vivência de experiências. O foco deve ser a exploração e
formulação de questões a respeito do tema para os alunos resolverem com o uso do
programa de computador escolhido (neste caso, o Geogebra).
•
execução do plano: a atividade será aplicada para os alunos de acordo com as
condições de ambiente necessárias; para a atividade a que trata este trabalho, o
ambiente é o laboratório de informática, com dois alunos por computador, no máximo.
As folhas de respostas dos alunos serão recolhidas para posterior análise e validação
da atividade.
•
avaliação: através da análise das respostas dos alunos nas folhas de respostas, bem
como dos comentários durante a sua aplicação, as atividades serão revistas para
constatação da necessidade de correção de erros. A última questão é uma indagação
aos alunos a respeito da atividade, questionando a validade ou não da atividade
investigativa para seu aprendizado sobre o conteúdo; neste momento, os alunos
tiveram liberdade para se pronunciar e expressar sua opinião sobre esse tipo de
metodologia didática.
De acordo com cada uma dessas etapas, as atividades mencionadas neste trabalho foram
confeccionadas e todo o restante do desenvolvimento do projeto de pesquisa acontecerá.
Espera-se que o aprendizado matemático aconteça aqui, como afirma Ponte (2006), “fértil em
acontecimentos inesperados”.
Uma vez que uma metodologia de ensino deve priorizar o desenvolvimento humano,
principalmente do aluno, como bem aponta a pesquisa de Perez e Silva (2013) e ainda
segundo esses mesmos autores, os professores e gestores são “atores que sustentam o sistema
educacional com seu trabalho”, pode-se constatar que qualquer atividade didática elaborada e
planejada por um docente, preferencialmente com o apoio dos gestores educacionais, deve
visar prioritariamente o desenvolvimento do estudante, ou seja, o sucesso do processo ensino
x aprendizado. Se o estudante se sente atraído por uma metodologia de ensino a ponto de
9 fazer com que seu aprendizado seja protagonista de sua história, então o educador terá
cumprido seu papel.
Principais resultados
Os resultados obtidos com a aplicação dessas atividades foram satisfatórios. Os alunos se
manifestaram positivamente, solicitando inclusive que mais assuntos do cotidiano fossem
abordados dessa maneira. As respostas de dois alunos ilustram essa afirmação:
Quadro 01: Aluno A
Quadro 02: Aluno B
10 No que diz respeito às questões da atividade, os alunos tiveram a oportunidade de
vivenciar experiências com as Funções Afim e Quadrática, usando o software dinâmico
Geogebra. Esse software foi escolhido por ser gratuito, pode ser baixado da Internet mesmo e
por ser de fácil utilização, contando com uma linguagem e interface simples.
Os alunos estudaram o que acontece com a Função Afim no que diz respeito ao estudo do
crescimento ou decrescimento; coeficientes angular e linear; raiz da função; posição da reta e
lei de formação. A turma já contava com alguns conhecimentos prévios a respeito do assunto,
de modo que a leitura e a interpretação das questões fosse possível. Inicialmente,
consideraram a função y = 3x + 1 e, a partir dela, fizeram algumas observações como mostra
o Quadro 03:
Quadro 03: página 01 da atividade.
11 Ao pedir para os alunos justificarem algumas respostas, a intenção era que eles
assimilassem melhor os conhecimentos adquiridos, além da possibilidade de verificar se
realmente compreenderam.
Para a pergunta 1.a sobre crescimento e decrescimento da função, foi sugerido aos alunos
que marcassem um ponto qualquer na reta e movessem esse ponto sobre a reta, para cima e
para baixo, observando as modificações ocorridas nas coordenadas. Os quadros 04 e 05
mostram dois exemplos de posições do ponto A, de modo que suas coordenadas eram (0, 1) e
passaram para (1, 4):
12 Quadro 04: interface do Geogebra.
Quadro 05: interface do Geogebra.
13 Através de mais algumas movimentações e observações nas coordenadas dos pontos, os
alunos puderam perceber que à medida que a abscissa aumentava, a ordenada também
aumentava, concluindo que a função é crescente.
Após essa observação, usaram o comando “Intersecção de dois objetos” para descobrir a
raiz ou zero da função, assimilando melhor a ideia de que a raiz de uma função também
recebe a denominação de “zero” porque é o ponto de encontro (ou intersecção) entre o gráfico
e o eixo das abscissas, uma vez que nesse eixo as ordenadas assumem o valor zero.
Em seguida, fizeram todas essas mesmas observações para a função decrescente
y = −3 x + 1 .
No que diz respeito à questão 2 sobre Funções Quadráticas, o principal ganho foi quanto à
observação do vértice da parábola. Os alunos usaram o comando “ponto médio” e verificaram
que o ponto médio das raízes da função é a abscissa do vértice, e ainda constataram que a
ordenada é o ponto “mais alto” ou “mais baixo” que a parábola pode alcançar, dependendo de
sua concavidade. Para essas experiências, começaram analisando a função y = x 2 − 5 x + 4 .
A observação do conjunto imagem também foi interessante para os alunos, pois puderam
inserir um ponto qualquer e “passear” com ele sobre a parábola, observando as modificações
ocorridas nas coordenadas desse ponto. Assim, constataram que o conjunto imagem “começa”
na ordenada do vértice, quando a parábola está voltada para cima, ou “finaliza” nessa mesma
ordenada, quando a concavidade está voltada para baixo.
Após estas primeiras constatações, os alunos vivenciaram experiências com a função
y = ax 2 + bx + c , usando o comando “Seletor” para as variáveis a, b e c. O Quadro 06 ilustra
essa informação:
Quadro 06: questão 05 da atividade.
14 A aluna cuja atividade foi escolhida para ser apresentada no Quadro 06 comentou,
inclusive, que lhe chamou a atenção o fato de que quando a = 0 a parábola se transformou em
uma reta. Durante esse momento da aplicação da atividade, no laboratório de informática, ela
fez um comentário, que é descrito na íntegra:
“Então é por isso que no livro fala que para ser função quadrática a tem que ser diferente de
zero? Eu não entendia de jeito nenhum esse negócio!”
Vários alunos se manifestaram positivamente quanto a essa questão, comentando o quanto
compreenderam a importância do termo independente da função e quanto aos possíveis
valores da variável a.
Particularmente quanto à atividade 5.e, através do comando “Habilitar Rastro”, os alunos
puderam observar um efeito interessante que ocorre com a parábola ao fixar os valores de a e
c, e movimentar apenas o seletor b, que é ilustrado pelo Quadro 07:
Quadro 07: interface do Geogebra.
15 Para essa situação, foi explicado aos alunos que uma família de parábolas é formada e que
os vértices de cada uma dessas parábolas formam outra parábola cujo vértice tem coordenadas
(0, c).
Considerações finais
Após a aplicação dessa atividade investigativa, da análise das respostas dos alunos e dos
comentários escritos na questão 6, bem como dos comentários feitos pelos participantes da
pesquisa durante a experiência, algumas considerações puderam ser firmadas.
Sobre as questões que compõem a atividade, foi possível perceber que algumas
modificações seriam necessárias, no que diz respeito a erros de digitação e outros para
melhorar a interpretação das questões. Um exemplo de modificação é a questão 1, mostrado
no Quadro 08:
Quadro 08: sugestão de modificação da atividade.
de
“a) a função é crescente ou decrescente? Justifique.”
para
16 “a) Insira um ponto qualquer na reta da função e movimente esse ponto sobre a reta.
Observando as modificações ocorridas nas coordenadas do ponto, copie três pontos diferentes
e escreva o que pode ser observado quanto aos valores de suas coordenadas.
b) Então, essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta.”
Não ficaram dúvidas quanto ao fato de que a atividade foi interessante para os alunos, pois
isso foi manifestado o tempo todo durante a aplicação desta. Muitos alunos pediram inclusive
que outros assuntos fossem abordados da mesma forma.
A partir da análise desta atividade e das devidas correções, o próximo passo será a
confecção de atividades para outros tipos de funções matemáticas com as devidas aplicações.
A mesma análise e as necessárias correções também serão feitas, de modo a organizar um
banco de atividades que permitam a organização de cursos preparatórios. Esses cursos serão
oferecidos para professores da rede pública de ensino, de forma gratuita, como atualização
profissional, fazendo com que o Instituto Federal exerça mais um papel junto à sociedade.
Assim, as atividades que são protagonistas deste trabalho e que compõem um pequeno
projeto de pesquisa assumirão uma posição de coadjuvantes em um futuro projeto de
extensão, pois os protagonistas naquele momento serão os professores das redes públicas
estadual e municipal, com seu interesse e vontade de oferecer para seus alunos mais uma
oportunidade didático-pedagógica.
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