Equações não lineares – processo iterativo
Seja f(x) uma função e considere-se a equação f(x)=0.
A solução da equação designa-se por raiz da equação
ou por zero da função (z)
f(x)
y
x
z
Sucessão iterativa: x0, x1, x2, x3, …
f(x)
e0
e3
x0
x3
z
x4
e2
x2
x1
x
ek = z − xk
e1
Pretendemos que a sucessão de valores xk convirja para a solução z, ou seja, que o
erro ek tenda para zero
x0 , x1 , x2 , x3 ,  → z ⇔ xk → z
e0 , e1 , e3 , e4 ,  → 0 ⇔ ek = z − xk → 0
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Equações não lineares - multiplicidade
Propriedade: Seja z um zero da função f ( x). Se f ( x) ∈ C m , então z tem multipliciade m sse
f (z) = 0 , f '(z) = 0 , f ''(z) = 0 ,  , f (m−1) (z) = 0 , f (m) (z) ≠ 0
Ex:
y
y
f(x)
z
m=1
zero simples
x
y
f(x)
z
m=2
zero duplo
x
f(x)
z
x
m=3
zero triplo
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Equações não lineares – ordem de convergência
Para avaliar a rapidez de convergência dum método indicamos a ordem de convergência
(e a constante de erro assimptótico)
x0 , x1 ,  , xk , xk +1 ,  → z
e0 , e1 ,  , ek , ek +1 ,  → 0
ek = z − xk
Se a partir duma certa ordem k,
0<m≤
ek+1
ek
Se existir o limite ,
p
≤ M < ∞ , com p ≥ 1 ,
lim
k →∞
ek+1
ek
Neste caso é usual escrever-se
p
=c
então o método tem ordem de convergência p
, então c é a constante de erro assimptótico
ek +1 ∼ c ek
p
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Equações não lineares – ordem de convergência
Exemplo: Admitamos que e7 = 4x10–3 (erro na iteração 7)
ek +1  c ek
p
Hipótese 1) c = 1/2
1
1
Hipótese 1a) p = 1 → e8 ∼ c ⋅ e7 p = × ( 4 × 10 −3 ) = 2 × 10 −3
2
e7= 4x10–3
e8= 2x10–3
2
1
Hipótese 1b) p = 2 → e8 ∼ c ⋅ e7 p = × ( 4 × 10 −3 ) = 8 × 10−6
2
e7= 4x10–3
e8= 8x10–6
Hipótese 2) p = 1
Hipótese 2a) c =
1
1
1
→ e8 ∼ c ⋅ e7 p = × ( 4 × 10 −3 ) = 2 × 10 −3
2
2
e7= 4x10–3
e8= 2x10–3
Hipótese 2b) c =
1
1
1
→ e8 ∼ c ⋅ e7 p = × ( 4 × 10 −3 ) = 1 × 10 −3
4
4
e7= 4x10–3
e8= 1x10–3
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