Capítulo 23 – Lei de
Gauss
1
Fluxo de linhas de campo elétrico
2
Fluxo Elétrico, Φ


Proporcional ao número de linhas de campo
elétrico que passam através da superfície.
Assume que a superfície é perpendicular às
linhas


E se não for?
 Considera-se a componente do vetor campo
perpendicular à area.
Matematicamente:
Φ =
∑
E ∆ A cosθ =
∑
 
E⋅∆ A
3
Cálculo do Fluxo
E
E
A
E
A
A
θ
Φ=EA
Φ=0
E
E
Φ=EAcosθ
E cosθ
E
4
Caso Geral

Número de linhas que passam através de uma
superfície
∆A
∆A
E
Φ =
∑
E ∆ A cos θ =
∑
 
E⋅∆ A
5
Efetuando a soma ( ou de Σ a



∫
)
Σ representa uma soma sobre um grande número
de objetos
Integral também é uma soma  sobre um grande
número de pequenos objetos infinitesimalmente
pequenos, em nosso caso, pequenas areas, dA
Assim
Φ =
∫
 
E ⋅ dA
6
A lei de Gauss

A quantidade de linhas emitidas por uma carga
é proporcional à quantidade de cargas.

A intensidade do campo depende da densidade
de linhas.  O campo elétrico deve ser
proporcional à quantidade de cargas.

Para contar as linhas do campo, englobamos as
cargas em uma superfície fechada  Superfície
Gaussiana, arbitrariamente escolhida.
7
Matematicamente
Φ ∝ q
Φ =
∫
s
 
E ⋅ dA
Φ =
qenglobada
ε0
  qenglobada
Φ = ∫ E ⋅ dA =
S
ε0
8
Exemplo:

2
ˆ
E
=
4
i
−
3
(
y
− 2) ˆj
Um campo elétrico dado por
atravessa as faces do cubo como mostrado
abaixo. (E em newtons/coulomb e y em
metros). Qual é a carga total englobada por esta
superfície?
y
x
z
X=1.0 m
X=3.0 m
9
Aplicando a Lei de Gauss
Φ =
qenglobada
ε0
Como
Φ =
∫
 
E ⋅ dA
S
qenglobada
ε0
qeng
=
∫
 
E ⋅ dA
S
  
= ε 0  ∫ E ⋅ dA +
s
 1
∫
s2
 
E ⋅ dA +
∫
s3
 
E ⋅ dA +
∫
s4
 
E ⋅ dA +
∫
s5
 
E ⋅ dA +
 
∫s E ⋅ dA 
6

10


Planos
1. y-z: Normal a +x
2. x-z: Normal a –y
3. y-z: Normal a –x
4. x-z: Normal a +y
5. x-y: Normal a +z
6. x-y: Normal a -z
vetores 
1. y-z: dA = + dA iˆ

2. x-z: dA = − dA ˆj
3. y-z:

4. x-z: dA = + dA ˆj
5. x-y:

6. x-y: dA = − dA kˆ
y
3
4
6
1

dA = dA iˆ
x
2
5
z
X=1.0 m
X=3.0 m
11
Integrando cada face do cubo:
(Começando da surperfície 1)
∫
 
E ⋅ dA =
s1
∫

E ⋅ dAiˆ
s1
como

E = 4iˆ − 3 y 2 + 2 ˆj
 
E ⋅ dA = (4iˆ − 3 y 2 + 2 ˆj ) ⋅ dAiˆ = 4dA
 
∫ E ⋅ dA = ∫ 4dA = 4 A1 = 4 ⋅ 4 = 16
(
s1
(
)
)
s1
Para a região 3, o vetor normal aponta no sentido
oposto e temos o valor
∫
 
E ⋅ dA = − 16
s1
12
Faces 2 e 4:

ˆj dA =
E
⋅
−
∫
( )
S2
∫
S4
()

E ⋅ ˆj dA =
∫
∫
2
S2
3( y + 2)dA
2
S4
− 3( y + 2)dA
dA = dx dz
∫∫ ( )

E ⋅ − ˆj dxdz =
∫
2
∫∫ ( )

E ⋅ ˆj dxdz =
4
∫
2
0
2
0
3
dz ∫ 3( y y = 0 + 2)dx = 6(2)(2) = 24
2
1
3
dz ∫ − 3( y y = 2 + 2)dx = − 6(4 + 2)(2) = − 72
2
1
13
Faces 5 e 6:

dA = dx dy → dA = + dx dy kˆ

dA = dx dy → dA = − dx dy kˆ
( Face 5)
( Face 6)
( )

ˆ )dxdy = 0
(
E
⋅
−
k
∫∫
∫∫

E ⋅ + kˆ dxdy = 0
5
6
 
N ⋅ m2
∫ SE ⋅ dA = 16 + 24 − 16 − 72 + 0 + 0 = − 48 C
qenglobada = − 48ε 0 = − 48(8.85 × 10 − 12 ) = − 4.2 × 10 − 10 C
14
3 Formas




Cargas isoladas
Esfera
Cilindros
Chapas e planos
15
Carga pontual


Quando usar: quando os
objetos são esféricos e
cargas pontuais.
O vetor normal à superfície
apontada para for a dela.
dA
E

Integral sobre a superfície
fechada:
∫

 
E ⋅ dA = E (4π r 2 )
+q
dA
r
E
S
r é o raio da superfície
introduzida.
16
Carga Pontual
Pela lei de Gauss
Φ =
qenglobada
ε0
qenglobada = q
Como
 
q
E
⋅
d
A
=
Φ
=
∫S
ε0
 
q
2
∫ E ⋅ dA = E (4π r ) = ε 0
então
q
E=
4π ε 0 r 2
17
Cilindro


Quando usar: Com
objetos de forma
cilindrica e linhas de
carga.
Integral sobre a
superfície:
∫

 
E ⋅ dA = E (2π rL)
S
r é o raio da superfície
cilindrica
+λ
r
dA
18
Cilindro
Consideramos uma linha de cargas infinita com
densidade de carga uniforme, λ
dq
λ =
dl


∫ E ⋅ dA = E (2π rL)
S
e
Φ =
qenglobada
ε0
qenglobada = λ L
λL
E (2π rL) =
ε0
λ
E=
ou
2π rε 0

λ
E=
rˆ
2π rε 0
19
Plano

Quando usar: planos
carregados e chapas
planas

Integral sobre a
superfície fechada
∫

 
E ⋅ dA = EA
S
A é a área da tampa da
caixa.
20
Condutor Isolado em equilíbrio


Considere um condutor com uma carga Q.
Equilíbrio Eletrostático  força sobre elétrons livres
(interiores) deve ser nula
 O campo elétrico no interior condutor deve ser nulo.
E=0
E=0
E=0
E=0
• A Carga distribui-se na superficie
Superfície
Gaussiana
externa do condutor
• O Campo não depende do material
condutor, mas somente da carga
21
Campo de uma película infinita de cargas
A
E
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
E
q
σ =
A
Densidade superficial de cargas constante 
 
∫ E ⋅ dA = EA + (− E )(− A) = 2 EA  Fluxo devido à película de cargas :
qeng = σ A
•Faces paralelas ao plano
•Fluxo sobre as laterais é nulo
Então
2 EA =
σA
ε0
σ
( Forma escalar ) ou
2ε 0

σ
E=
nˆ
( Forma vetorial )
2ε 0
E=
22
Campo Elétrico de uma chapa condutora
A
E
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
q
Densidade superficial de cargas constante  Let σ =
A
 
∫ E ⋅ dA = EA + 0 = EA
Uma chapa condutora possui
um campo 2X maior que o de
uma película de mesma
densidade
superficial
de
cargas.
qeng = σ A
Então
σA
EA =
ε0
σ
E=
ε0
ou
 σ
E=
nˆ
ε0
23