Resposta
Questão 20
$ = m (OSP)
$
a) Como OT = OS , m (OTP)
= 90o e
OP é lado comum aos triângulos OTP e OSP,
pelo teorema de Pitágoras, TP = TS, ou seja,
$ = m (OPS)
$ e o
∆OTP ≅ ∆OSP . Portanto m (OPT)
ponto O pertence à bissetriz do ângulo θ.
$ = θ , temos:
b) Já que m (OPT)
2
Os candidatos que prestaram o ENEM podem
utilizar a nota obtida na parte objetiva desse
exame como parte da nota da prova de Conhecimentos Gerais da UNIFESP. A fórmula
que regula esta possibilidade é dada por
⎧95% CG + 5% ENEM , se ENEM > CG ,
1
1
2
⎛ θ ⎞ OT
NF = ⎨
e
=
=
=
tg ⎜ ⎟ =
CG , se ENEM ≤ CG ,
⎝2 ⎠
2
2
PT
4
2
2
⎩
3 −1
onde NF representa a nota final do candidaθ
2
2 ⋅ tg
2 ⋅
to, ENEM a nota obtida na parte objetiva do
4 2
2
4
=
=
ENEM e CG a nota obtida na prova de Co- tg θ =
2
7
2 θ
⎞
⎛
2
1 − tg
nhecimentos Gerais da UNIFESP.
⎟
1−⎜
2
4
⎠
⎝
a) Qual será a nota final, NF, de um candidato que optar pela utilização da nota no
ENEM e obtiver as notas CG = 2,0 e Questão 22
ENEM = 8 ,0?
b) Mostre que qualquer que seja a nota obtida
De um grupo de alunos dos períodos noturno,
no ENEM, se ENEM > CG então NF > CG.
vespertino e matutino de um colégio (conforme tabela) será sorteado o seu representante
Resposta
numa gincana. Sejam p n , p v e p m as probabia) Como ENEM > CG,
lidades de a escolha recair sobre um aluno do
NF = 95% ⋅ CG + 5% ⋅ ENEM = 95% ⋅ 2,0 +
noturno, do vespertino e do matutino, respec+ 5% ⋅ 8,0 = 2,3.
tivamente.
b) Se ENEM > CG, então
NF = 95% ⋅ CG + 5% ⋅ ENEM > 95% ⋅ CG +
Nº de alunos
Período
+ 5% ⋅ CG = CG.
noturno
3
Questão 21
Um observador, em P, enxerga uma circunferência de centro O e raio 1 metro sob um ângulo θ, conforme mostra a figura.
T
vespertino
x
matutino
a) Calcule o valor de x para que se tenha
2
.
pm =
3
b) Qual deve ser a restrição sobre x para que
se tenha p m ≥ p n e p m ≥ p v ?
Resposta
O
q
S
5
P
a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do ângulo θ.
b) Calcule tg(θ), dado que a distância de P a
O vale 3 metros.
Há 3 alunos do período noturno, 5 do período
vespertino e x do período matutino, totalizan3
do 3 + 5 + x = x + 8 alunos. Logo pn =
,
x +8
5
x
e pm =
.
pv =
x +8
x +8
2
x
2
a) pm =
⇔
=
⇔ x = 16.
3
x +8
3
matemática 2
b) Temos pm ≥ pn e pm ≥ pv se, e somente se, a
quantidade de alunos do período matutino é maior
ou igual à quantidade de alunos de cada um dos
outros períodos, ou seja, x ≥ 3 e x ≥ 5 ⇔ x ≥ 5.
Assim, a altura do triângulo de vértices z1 , z 2 e
z 3 , com relação ao vértice z1 , é igual a | z1 | =
Questão 23
Questão 24
Dados os números complexos z1 = 3 + 4i, z2 =
= iz1 e z 3 = −iz1 , calcule:
A figura representa um lápis novo e sua parte apontada, sendo que D, o diâmetro do lápis, mede 10 mm; d, o diâmetro da grafite,
mede 2 mm e h, a altura do cilindro reto que
representa a parte apontada, mede 15 mm. A
altura do cone reto, representando a parte da
grafite que foi apontada, mede s mm.
y
z1
4
= 3 + 4i
= 3 2 + 42 = 5.
1,5 cm
0
3
=h
D
d
x
s
a) as coordenadas do ponto médio do segmento de reta determinado pelos pontos z2 e z 3 .
b) a altura do triângulo de vértices z1 , z2 e
z 3 , com relação ao vértice z1 .
h
lápis
grafite
lápis
Resposta
a) Como z 3 = −z 2 , os pontos z 2 e z 3 são simétricos em relação à origem. Assim, o ponto médio
do segmento de reta que liga z 2 e z 3 é a origem,
ou seja, (0; 0).
b) Os vetores que representam z 2 = iz1 e z 3 =
= −iz 2 podem ser obtidos através de rotações de
90o do vetor que representa z1 .
a) Calcule o volume do material (madeira e
grafite) retirado do lápis.
b) Calcule o volume da grafite retirada.
Resposta
a) O volume de madeira e grafite retiradas do lápis equivale à diferença entre o volume de um cilindro de altura 15 mm e raio 5 mm e o volume de um cone de mesma altura e raio, ou seja,
1
π ⋅ 5 2 ⋅ 15 −
⋅ π ⋅ 5 2 ⋅ 15 = 250 π mm 3 .
3
b) O cone de altura s e diâmetro d e o cone de altura h e diâmetro D são semelhantes, assim como
os cilindros correspondentes, de mesmas alturas
e bases. A razão de ambas as semelhanças é
d
2
1
=
= . Desta maneira, os sólidos que reD
10
5
presentam a grafite retirada e a madeira e grafite
retiradas são semelhantes, com a mesma razão
de semelhança.
3
⎛1 ⎞
Logo o volume da grafite retirada é ⎜ ⎟ ⋅ 250 π =
⎝5 ⎠
= 2 π mm 3 .
matemática 3
Resposta
Questão 25
Dois produtos P1 e P2 , contendo as vitaminas
v1 e v2 , devem compor uma dieta. A tabela
apresenta a quantidade das vitaminas em
cada produto. A última coluna fornece as
quantidades mínimas para uma dieta sadia.
Assim, para compor uma dieta sadia com x
unidades do produto P1 e y unidades do produto P2 , tem-se, necessariamente, x ≥ 0,
y ≥ 0, x + y ≥ 4 e 2x + y ≥ 6.
P1
P2
v1
1
1
4
v2
2
1
6
a) Mostre que com 1 unidade do produto P1 e
3 unidades do produto P2 não é possível obter-se uma dieta sadia.
b) Esboce a região descrita pelos pontos (x,y)
que fornecem dietas sadias.
a) Considerando a vitamina v 2 , a quantidade que
possuímos é 2 ⋅ 1 + 3 = 5 que é menor do que 6,
quantidade mínima para uma dieta sadia.
b) Devemos esboçar a região definida por
x ≥0ey ≥0
, ou seja, a intersecção entre as rex +y ≥4
2x + y ≥ 6
giões definidas por x + y ≥ 4 e 2x + y ≥ 6 restrita ao primeiro quadrante e aos eixos coordenados.