DETERMINAÇÃO DE UMA REGIÃO DE CONSISTÊNCIA PARA A
SIMULAÇÃO DA INTERAÇÃO FLUIDO-PARTÍCULA EM UMA
CAVIDADE DE TAMPA MÓVEL
Carlos Felipe Mendes Alves
[email protected]
LAMEMO-PEC/COPPE/UFRJ
Ilha do Fundão, Cidade Universitária, Centro de Tecnologia, Anexo ao bloco H, Cep: 21945-970,
Rio de Janeiro - RJ (Brasil)
Juliana Vianna Valerio
Marcello Goulart Teixeira
[email protected]
[email protected]
PPGI-DCC/IM/UFRJ
Ilha do Fundão, Cidade Universitária, CCMN/NCE, Bloco E, Cep: 21941-590, Rio de Janeiro - RJ
(Brasil)
Luciano Petrucci Mesquita
[email protected]
DEM/UFRJ
Ilha do Fundão, Cidade Universitária, Centro de Tecnologia, Bloco G, Cep: 21941-901, Rio de
Janeiro - RJ (Brasil)
CILAMCE 2013
Proceedings of the XXXIV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering
Z.J.G.N Del Prado (Editor), ABMEC, Pirenópolis, GO, Brazil, November 10-13, 2013
Alves, C.F.M., Teixeira, M.G., Valerio, J.V., Mesquita, L.P.
Resumo. Escoamentos com partículas em suspensão são freqüentemente encontrados na natureza
e nas indústrias, como por exemplo, em processos de sedimentação e de revestimento, no fluxo
sanguíneo, nas tempestades de areia, nas indústrias petroquímicas e farmacêuticas, dentre outros.
O Método dos Elementos Finitos é utilizado para descrever o movimento de um fluido newtoniano
incompressível e o Método dos Elementos Discretos para simular o movimento das partículas. O
principal objetivo deste trabalho é simular numericamente escoamentos com partículas em suspensão e realizar um estudo da relação entre os coeficientes de rigidez e as dimensões das partículas
utilizadas na simulação, determinando uma região que é denominada de região de consistência. O
acoplamento dessas duas metodologias na interação fluido-partícula é modelado e exemplificado
no escoamento em uma cavidade bidimensional de tampa móvel. Considera-se que as partículas
não influenciam o escoamento. O escoamento encontra-se em regime permanente e o movimento
das partículas é determinado em cada passo de tempo, sob influência do escoamento e das interações partícula-partícula e partícula-parede. Apesar de ter sido utilizado em vários problemas
granulares assim como em simulações de partículas em suspensão, o Método dos Elementos Discretos depende de constantes numéricas para descrever os choques entre partículas e de partículas
com as fronteiras, de forma que o processo físico seja simulado corretamente. Faz-se necessário encontrar uma região de consistência devido à sensibilidade das constantes em relação aos
parâmetros do problema. Para determiná-la, utiliza-se uma relação obtida entre os conjuntos de
coeficientes de rigidez e as dimensões das partículas. É usado um critério de consistência física
do problema que consiste em determinar a velocidade e deslocamento máximos permitidos a uma
partícula durante a simulação. Os resultados preliminares são promissores e a principal contribuição deste trabalho é determinar a região de consistência do método que torna possível definir,
para um conjunto de valores de coeficientes de rigidez, o tamanho máximo e mínimo adequados
para a partícula e vice-versa.
Palavras Chave: Interação fluido-partícula, Simulação numérica, Mecânica dos fluidos, Método
dos elementos discretos, Método dos elementos finitos
CILAMCE 2013
Proceedings of the XXXIV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering
Z.J.G.N Del Prado (Editor), ABMEC, Pirenópolis, GO, Brazil, November 10-13, 2013
Alves, C.F.M., Teixeira, M.G., Valerio, J.V., Mesquita, L.P.
1
INTRODUÇÃO
Escoamentos com partículas em suspensão são muito encontrados na natureza e nas indústrias,
como por exemplo, em processos de sedimentação e de revestimento, no fluxo sanguíneo, nas tempestades de areia, nas indústrias petroquímicas, farmacêuticas, dentre outros. O principal objetivo
deste trabalho é simular escoamentos com partículas em suspensão e realizar um estudo sobre a
relação que existe entre os coeficientes de rigidez e as dimensões das partículas utilizadas na simulação, determinando uma região que é denominada de região de consistência. O Método dos
Elementos Finitos (MEF) é utilizado para simular o movimento de um fluido newtoniano incompressível e o Método dos Elementos Discretos (MED) para simular o movimento das partículas.
Realiza-se o acoplamento dessas duas metodologias na interação fluido-partícula e a modelagem é
feita para uma cavidade bidimensional de tampa móvel. Considera-se que as partículas não influenciam o escoamento, ou seja, a quantidade de partículas, suas dimensões e sua densidade são tais que
o fluido altera o movimento das partículas, mas as partículas não alteram o padrão do escoamento.
O escoamento encontra-se em regime permanente e o movimento das partículas é determinado em
cada passo de tempo, sob influência do escoamento e das interações partícula-partícula e partículaparede.
Para encontrar a região de consistência, relação obtida empiricamente entre os conjuntos de
coeficientes de rigidez e as dimensões das partículas, é usado um critério de consistência física do
problema que consiste em relacionar a velocidade máxima e o deslocamento máximo permitido
que uma partícula possa atingir durante a simulação. Os resultados preliminares são promissores e
verifica-se uma relação quadrática entre os coeficientes de rigidez e os raios máximo e mínimo das
partículas.
A principal contribuição deste trabalho é a determinação da região de consistência do método
que torna possível determinar para um conjunto de valores de coeficientes de rigidez o tamanho
máximo e mínimo adequado para a partícula e vice-versa, de tal maneira que a simualação númerica
represente bem a física do problema.
2
AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO PARA UM FLUIDO
O sistema de equações que governam escoamentos de fluidos newtonianos incompressíveis
é composto pela equação da quantidade de movimento (ou momento), conhecida por equação de
Navier-Stokes, e pela equação de conservação de massa (ou continuidade). Para fluidos incompressíveis em regime permanente o sistema é dado por:

2

ρ u · ∇u = −∇p + µ∇ u ,
(1)
∇·u=0,


condições de contorno apropriadas.
Onde as variáveis do problema são o campo de velocidade u e o campo de pressão p, sendo
µ a viscosidade, ρ a densidade (massa específica) do fluido e o operador (∇·) é o divergente. A
equação de Navier-Stokes é não linear (termo u · ∇u) e de segunda ordem (termo ∇2 u). Os campos
de velocidade u e pressão p são obtidos pela resolução do sistema formado pelas Eq. (1).
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2.1
Discretização da equação do movimento
A discretização das Eq. (1) é realizada utilizando o método de Galerkin / elementos finitos
com o objetivo de determinar o campo de velocidade e pressão. Usando o método de Galerkin, as
mesmas funções peso usadas nas equações de quantidade de movimento e continuidade são utilizadas para expandir o campo de velocidade e pressão, respectivamente. Foram usados polinômios
lagrangeanos biquadráticos para os campos de velocidade e polinômios lineares descontínuos para
a pressão (Babuška (1973) e Brezzi (1974)). Em seguida calcula-se o resíduo ponderado de cada
componente das equações de momento e da equação da continuidade.
A escolha do polinômio biquadrático para a velocidade e linear descontínuo para a pressão faz
com que, no elemento, cada componente da velocidade possua 9 graus de liberdade e o campo de
pressão é representado por 3 graus de liberdade, totalizando 21 graus de liberdade por elemento.
Por fim, substitui-se as expansões para o campo de velocidade e pressão nas equações dos resíduos
ponderados, obtendo um sistema não linear. A resolução do sistema não linear é realizada pelo
método de Newton (Alves (2012), Carvalho e Valerio (2012) e Alves et al. (2011)).
3
MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS
O Método dos Elementos Discretos (MED) é um método utilizado para simular o movimento
de partículas de diversos tipos de materiais em um meio discretizado. A partir do entendimento
das propriedades mecânicas microscópicas das partículas e o comportamento da interação entre
elas, o MED permite avaliar de maneira macroscópica o comportamento físico e mecânico do
modelo estudado. O diferencial do método está em considerar o meio analisado como um conjunto
de partículas com propriedades mecânicas particulares e geometrias definidas. O mais usual é
trabalhar com um conjunto de discos ou esferas.
Na formulação clássica do MED, cada elemento é considerado rígido e permite-se que haja
uma sobreposição entre as partículas, desde que sua ordem de magnitude seja pequena em relação
ao tamanho das mesmas (Poshel e Schwager, 2004).
O algoritmo de solução do MED deve apresentar uma rotina de processos, dentre os quais a
detecção de colisão entre os elementos, o cálculo das forças resultantes dessas colisões e o cálculo
posterior da velocidade resultante. Depois de estabelecidas essas etapas e as condições iniciais, o
movimento dos elementos pode ser simulado.
3.1
O movimento das partículas
O movimento de cada partícula individual é regido pelas leis da conservação do momento
linear – a segunda lei de movimento de Newton – expressa, para a partícula i, por
N
mi
i
X
∂vi
= FB,i +
FP,ij + FW,i + FF,i ,
∂t
j
onde, mi e vi são a massa e a velocidade, respectivamente, da partícula i e t é o tempo. FB,i é a força
total de corpo agindo sobre a partícula i; FP,ij é a força que age sobre a partícula i por sua interação
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com as partículas vizinhas j, onde Ni é o número total de partículas vizinhas; FW,i é a força agindo
na partícula i por sua interação com os limites (paredes) do domínio do fluxo e, finalmente, FF,i é a
força agindo sobre a partícula i devido à interação com o fluido.
4
INTERAÇÃO FLUIDO PARTÍCULA
A simulação entre a interação fluido-partícula é realizada por meio da resolução do sistema
formado pelas equações de Navier-Stokes e continuidade pelo método dos elementos finitos e o
deslocamento das partículas pelo método dos elementos discretos, como descrito anteriormente.
Para isso são considerados um número relativamente pequeno de partículas dispersas e de raio
muito menor que a dimensão do domínio do fluido, de modo que possa ser desconsiderada a influência das partículas sobre o escoamento (Apostolou e Hrymak, 2008).
O acoplamento entre o escoamento e as partículas é realizado da seguinte maneira: primeiro
determina-se o campo de velocidade e pressão do fluido. Como resultado é gerado um vetor solução que contém a velocidade do fluido nas direções x e y nos nós de cada elemento finito. Na
segunda parte da simulação o vetor gerado no passo anterior é usado como arquivo de entrada para
o programa que simula o movimento das partículas. Com as coordenadas das partículas identificase em qual elemento finito a partícula se encontra e calcula-se a velocidade da partícula de acordo
com a velocidade nos nós do elemento finito a que ela pertence. O cálculo dessas velocidades é realizado usando as mesmas funções peso utilizadas para expandir o campo de velocidade e pressão.
Por fim determina-se o deslocamento das partículas considerando, além das forças de corpo, as forças de colisão partícula-partícula e partícula-parede, as forças hidrodinâmicas partícula-partícula e
partícula-parede e a força coloidal devido à aproximação entre as partículas imersas no fluido com
outras partículas e também com a parede. Esta interação é feita desconsiderando qualquer tipo de
influência da partícula no escoamento, uma vez que o fluido encontra-se em estado permanente, não
sendo necessário calcular a velocidade do fluido em cada passo de tempo. As forças implementadas
neste trabalho encontram-se em: Apostolou e Hrymak (2008), Di Renzo e Di Maio (2005), Kim e
Karrila (1991), Israelachvili (1991), Walton e Braun (1986) e Suzuki et al. (1969).
O código do programa foi dividido em duas partes, uma que simula o movimento do fluido e
outra que simula o movimento das partículas. Ambas as partes foram implementadas em MATLAB.
O tempo de processamento é de aproximadamente 25 minutos para os exemplos mencionados no
trabalho em uma máquina com as seguintes configurações: Processador Intel Core 2 Duo E7500
2.93 GHz e Memória de 4.0 GB.
A Fig. (1) esquematiza o algoritmo implementado.
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Figura 1: Algoritmo de Interação Fluido-Partícula.
5
CÁLCULO PARA O TESTE DE PARADA
Uma das maiores dificuldades para a realização deste trabalho foi a obtenção dos valores dos
parâmetros utilizados para a realização da simulação. Destes, podemos destacar o coeficiente de
restituição, que depende dos valores dos coeficientes de rigidez, utilizados para calcular a componente da força normal de colisão entre partículas e entre a partícula e a parede.
Para a componente normal da força de colisão entre as partículas i e j (FC,n,ij ), Walton e
Braun (1986) propuseram carga e descarga elástica, com coeficientes de rigidez diferentes, Kn,1
para "carregar"e Kn,2 para "descarregar":


−Kn,1 |δn,ij |nij se ∂|δn,ij | ≥ 0
∂t
(2)
FC,n,ij =
∂|δ
n,ij |

−Kn,2 |δn,ij |nij se
<0
∂t
onde nij é o vetor unitário que une os centros das partículas com direção de i para j e δn,ij é a
sobreposição entre as duas partículas na direção de nij .
A componente normal da força de colisão entre a partícula e a parede, similar a Eq. (2), é dado
por (Walton e Braun, 1986)


Kn,w1 δiw nw se ∂δiw ≥ 0
∂t
FC,n,iw =
(3)
∂δiw

Kn,w2 δiw nw se
<0
∂t
onde nw é o vetor normal à parede e que aponta para o fluido, δiw é a sobreposição da partícula com
a parede, Kn,w1 e Kn,w2 são os coeficientes de rigidez normal de aproximação e afastamento entre
a partícula e a parede, respectivamente.
O coeficiente de restituição (e), que depende dos valores dos coeficientes de rigidez (K),
utilizado nas simulações deste trabalho é obtido por (Apostolou e Hrymak (2008), Mishra e Murty
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(2001) e Walton e Braun (1986)):
s
s
Kn,1
Kn,w1
e=
=
= 0.8.
Kn,2
Kn,w2
(4)
A primeira análise dos valores usados para o coeficiente de rigidez foi feita de forma visual,
ou seja, o coeficiente era calibrado seguindo uma determinada relação (Poshel e Schwager (2004),
Mishra e Murty (2001), Tsuji et al. (1993), Dobry e Ng (1989) e Walton e Braun (1986)) mantendo
sempre e = 0.8 (Apostolou e Hrymak, 2008) e, após isto, realizava-se uma análise dos vídeos
gerados.
Pensando numa análise mais consistente acrescentamos um teste de parada no programa. Este
teste mede o deslocamento máximo que a partícula pode realizar durante a simulação, parando o
processo caso o deslocamento da partícula seja superior ao máximo permitido. Com este critério
de parada é possível calibrar o coeficiente de restituição de forma que as partículas não ultrapassem
essa distância limite.
Como o passo de tempo adotado na simulação é de ∆t = 10−10 s (Mishra e Murty, 2001) e
a velocidade máxima da partícula é v = 0.07 m/s, é possível calcular o deslocamento máximo da
partícula em cada passo de tempo. O deslocamento máximo é dado por:
∆s = v × ∆t = 7 × 10−12 m.
6
DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE RESTITUIÇÃO
Conforme mencionado na Seção (5) uma das maiores dificuldades para a realização deste
trabalho foi a obtenção dos valores adequados para os coeficientes de rigidez que satisfizessem o
critério de parada. Uma outra dificuldade na definição dos valores dos coeficiente de rigidez reside
no fato deles serem dependentes tanto do diâmetro das partículas quanto da própria geometria do
problema. Dessa forma, os valores apresentados em Apostolou e Hrymak (2008) não foram satisfatórios para as simulações realizadas. Fez-se então necessário, determinar valores apropriados a
este trabalho de maneira a tornar as simulações fisicamente consistentes.
Mantendo-se fixo as características do escoamento do fluido (geometria, velocidade da tampa
móvel, propriedades físicas etc), realizou-se um estudo da relaçãos
entre coeficientes
de rigidez e
s
Kn,1
Kn,w1
=
= 0.8 e o
raio das partículas, mantendo-se o coeficiente de restituição e =
Kn,2
Kn,w2
critério de consistência física da simulação, Seção (5). Assim, foi obtido um conjunto de valores
para os coeficientes de rigidez e do raio das partículas, obtendo-se uma região de consistência.
Esta região de consistência foi obtida da seguinte forma: mantendo-se fixo os valores dos coeficientes de aproximação Kn,1 e de afastamento Kn,2 entre as partículas e também os coeficientes
de aproximação e de afastamento Kn,w1 e Kn,w2 entre as partículas e a parede, variou-se o valor do
raio das partículas, com uma precisão de 10−4 µm, com o objetivo de determinar um intervalo de
valores consistentes para o raio das partículas; em seguida, variou-se os valores dos coeficientes de
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rigidez em 10%, mantendo o valor e = 0.8 e repetiu-se o processo para determinação do intervalo
de consistência para o raio das partículas.
7
RESULTADOS
Para as simulações da interação fluido-partícula as dimensões da geometria do fluido são de um
aplicador usado na indústria de revestimento (Apostolou e Hrymak, 2008): Lx = 2.4 · 10−5 m de
comprimento e Ly = 6 · 10−6 m de largura. Os valores dos parâmetros considerados são: densidade
do fluido ρ = 1000 kg/m3 , viscosidade µ = 0.001 Pa · s e a velocidade de entrada e de saída do
fluido v = 0.07 m/s, no caso da cavidade com tampa móvel a velocidade da tampa é, também,
v = 0.07 m/s. Foi utilizada uma malha de 40 × 10 elementos, totalizando 1701 nós e 4602 graus
de liberdade.
Em relação à partícula, os parâmetros utilizados estão na Tabela (1).
Tabela 1: Características da partícula.
Parâmetros
Nomenclatura
Valor
Densidade da partícula
ρp
1051 kg/m3
Coeficiente de Poisson
ν
0.33
Coeficiente de restituição
e
0.8
Constante de Hamaker
Λij
1.8 × 10−19 J
Comprimento de onda
λ
100 nm
A Fig. (2) apresenta a região de consistência obtida para o caso da simulação de partículas
suspensas em uma cavidade de tampa móvel. Ao eixo x estão associados os conjuntos de valores
dos coeficientes de rigidez, como pode ser visto na Tabela (2). Ao eixo y está associado o valor do
raio das partículas (×10−7 ).
As linhas contínuas na Fig. (2) foram obtidas por ajuste de curva de grau 2 para o limite
superior e inferior, respectivamente, dados por
y = −3.2896 · 10−4 x2 + 0.06x + 3.5406 ,
e
y = −2.1440 · 10−4 x2 + 0.032x + 3.1095 .
A importância do resultado apresentado na Fig. (2) reside no fato de facilitar a escolha desses
parâmetros de forma a manter a consistência da simulação. Para um dado conjunto de valores
de coeficientes de rigidez, obtém-se de forma direta os valores viáveis para o raio das partículas.
Por outro lado, dados dois valores de raio de partículas, o conjunto de valores dos coeficienters de
rigidez a ser adotado deve ser escolhido entre aqueles que são viáveis para os dois valores do raio,
conforme pode ser visto na Fig. (3). Em alguns casos, não é possivel determinar coeficientes que
satisfaçam aos valores de raio dados, Fig. (4).
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Figura 2: Região de consistência.
Tabela 2: Conjuntos de coeficientes × Intervalos dos raios.
Intervalos dos raios (×10−7 )
Ceficientes de rigidez
Conjuntos de coeficientes
Kn,1
Kn,2
Kn,w1
Kn,w2
Rmin
Rmax
∆R
1
0.01024
0.016
512
800
3.127
3.564
0.437
2
0.01088
0.017
544
850
3.177
3.637
0.460
3
0.01152
0.018
576
900
3.209
3.707
0.498
4
0.01216
0.019
608
950
3.233
3.774
0.541
5
0.01280
0.020
640
1000
3.262
3.839
0.577
6
0.01344
0.021
672
1050
3.297
3.902
0.605
7
0.01408
0.022
704
1100
3.320
3.962
0.642
10
0.01600
0.025
800
1250
3.408
4.133
0.725
13
0.01792
0.028
896
1400
3.498
4.292
0.794
16
0.01984
0.031
992
1550
3.567
4.439
0.872
23
0.02432
0.038
1216
1900
3.751
4.746
0.995
37
0.03328
0.052
1664
2600
3.981
5.260
1.279
65
0.05120
0.080
2560
4000
4.291
6.067
1.776
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Figura 3: Região de consistência para duas partículas com raios R1 = 3.6 × 10−7 e R2 = 3.8 × 10−7 .
Figura 4: Ausência da região de consistência para duas partículas com raios R1 = 3.6 × 10−7 e R2 = 4.8 × 10−7 .
Vale dizer que um conjunto de valores não deve, necessariamente, pertencer a região de consistência para que a simulação apresente resultados coerentes fisicamente, uma vez que não há
garantia de que as partículas irão colidir entre si ou com as paredes em uma dada simulação. Porém, de posse da região acima é possível evitar a perda de tempo em processos de tentativa e erro
para obtencão dos valores desses parâmetros.
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8
CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS
A região de consistência é inerente ao uso de métodos numéricos para a determinação do movimento das partículas, dependendo diretamente dos parâmetros do método utilizado, não estando
definida no âmbito de experimentos físicos reais. Assim, a determinação da região de consistência
mostra-se de grande importância em simulações numéricas do problema estudado.
Neste trabalho foi determinada uma região de consistência para a simulação numérica de partículas suspenas em uma cavidade de tampa móvel utilizando o método dos elementos finitos para
a determinação do campo de velocidades do fluido e o método dos elementos discretos para a
determinação do deslocamento das partículas.
Sugere-se, para trabalhos futuros, o estudo da região de consistência para outros valores do
coeficiente de restituição, parâmetros do fluido e das partículas, passo de tempo, velocidade da
tampa e outras geometrias para o problema. Este estudo pode levar a determinação de funções para
os valores máximo e mínimo do raio das partículas cujas variáveis sejam os coeficientes de rigidez
e os parâmetros acima citados, em particular a velocidade máxima do fluido, que é definida pela
velocidade da tampa móvel.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
(CNPq) e a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) pelo suporte
financeiro fundamental para a realização desta pesquisa.
Referências
C.F.M. Alves. Análise computacional da interação fluido-partícula. Dissertação de Mestrado,
Instituto de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Informática , UFRJ, Rio de Janeiro,
RJ, Brasil, July 2012.
C.F.M. Alves, M.G. Teixeira e J.V. Valerio. Interação fluido-partícula. In Iberian Latin American
Congress on Computational Methods in Engineering, pages 168–179, Ouro Preto - MG, Brasil,
November 2011.
K. Apostolou e A.N. Hrymak. Discrete element simulation of liquid-particle flows. Computers and
Chemical Engineering, 32:841–856, 2008.
Ivo Babuška. The finite element method with penalty. 27(122):221–228, April 1973. ISSN 00255718 (print), 1088-6842 (electronic).
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lagrangian multipliers. RAIRO Anal.Numer., 2:129–151, January 7-11 1974.
M. S. Carvalho e J.V. Valerio. Introdução ao Método de Elementos Finitos, volume I. SBMAC,
2012.
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A. Di Renzo e F.P. Di Maio. An improved integral non-linear model for the contact of particles in
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CILAMCE 2013
Proceedings of the XXXIV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering
Z.J.G.N Del Prado (Editor), ABMEC, Pirenópolis, GO, Brazil, November 10-13, 2013