PROVA G4 FIS 1026 – 28/06/2011
MEC•NICA NEWTONIANA B
Gabarito
NOME:_______________________________
No:_________
TURMA:_______
QUEST‚O
VALOR
1
3,0
2
3,0
3
4,0
TOTAL
10,0
GRAU
REVIS‚O
Dados:
K = ƒ m v 2; W = F . Δs;
W total = ΔK;
Krot = ƒ  2;
p = mv;
Wmola = ƒ k xi2 - ƒ k xf2;
W cons = - ΔU;
Fmed = Δp / Δt;
Rcm =  mi ri /  mi
 Fext = Ma cm ;
P = W / Δt
Mvcm =  pi;
τ med = ΔL / Δt
p = m v, τ = r  F, L = r  p = m r  v, Lcorpo rigido = , W total = τ . Δ,
2
Massa pontual:  = mr ;
Teorema dos eixos paralelos: d = CM + M d
Aro de massa M e raio R: CM = MR 2
 τ ext = α
2
Disco/Cilindro de massa M e raio R: CM = MR2/2
Esfera de massa M e raio R: CM = 2MR2/5
Haste de massa M e comprimento ℓ : CM = Mℓ2/12
A dura•‚o da prova ƒ de 1 hora e 50 minutos.
As respostas sem justificativas n‚o ser‚o computadas.
Esta prova tem 4 folhas, contando com a capa. Confira.
1
(1 a quest‚o: 3,0 pontos) Um bloco de massa 15 kg † puxado a partir do repouso por uma
for‡a F de mˆdulo 100 N que faz um ‰ngulo de 300 com a horizontal. A superfŠcie possui
coeficiente de atrito cin†tico ‹C.
F
y
x
a) Determine o valor da for‡a de contato do bloco com o solo.
eixo x : F cos 30 – fat = ma
eixo y : F sen 30 + N – mg = 0
fat = ‹c N
N = mg – F sen 30 = (15) (10) – 100 (0,5)
N = 100 N
b) Determine o coeficiente de atrito cin†tico de modo que o bloco se mova com acelera‡Œo de
5,1 m/s2.
fat = F cos 30 - ma = 100 (0,866) – (15) (5,1)
fat = 10,1 N = ‹ c N
‹ c = 10,1 / 100 = 0,101
c) Suponha que a for‡a F pare de agir instantaneamente quando a velocidade do bloco
alcan‡ar 36 km/h e que, no mesmo instante, o bloco passe a se deslocar em superfŠcie livre de
atrito. Sabendo que este bloco † submetido a uma colisŒo perfeitamente inel•stica com outro
bloco de massa igual a 5 kg que se encontra em repouso, determine as velocidades finais dos
dois blocos.
v a = 36000 m / 3600 s = 10 m/s
Na colisŒo inel•stica: ma v a = (ma + mb) V
V = 15 . 10 / (15 + 5) = 7,5 m/s
2
(2 a quest‚o: 3,0 pontos) Uma mola de massa desprezŠvel e comprimento natural (relaxada)
de 70 cm † comprimida at† o tamanho de 20 cm e em seguida posta entre dois blocos que
estŒo sobre um piso horizontal numa regiŒo com atrito desprezŠvel. Um fio atado aos blocos
mant†m o sistema em repouso.
Fio e mola estŒo dispostos na horizontal. A constante el•stica da mola vale 48 N/m e as
massas dos blocos valem mA = 2,0 kg e mB = 4,0 kg. Adote g = 10 m/s2.
a) Na situa‡Œo de equilŠbrio (antes do fio ser cortado), forne‡a: (i) o vetor for‡a el•stica exercida
pela mola sobre o bloco B, usando o sistema de coordenadas da figura; (ii) o mˆdulo da for‡a
de tensŒo exercida pelo fio; (iii) o valor da energia potencial el•stica armazenada na mola.
(i) Fk = k x i
Fk = 48 Ž (0,70 – 0,20) i


Fk = ( 24 N ) i.
(ii) Como nŒo h• atrito sobre o bloco B, ele se mant†m em repouso horizontal exclusivamente
sob a a‡Œo da for‡a da mola (para a direita) e da tensŒo do fio (para a esquerda).
Sendo assim: T = 24 N.
(iii) Uk = k x2 / 2

Uk = 48 Ž (0,50)2 / 2

Uk = 6,0 J.
b) Neste item, admita que a energia potencial el•stica armazenada na mola tenha valor de
6,0 J. Uma vez cortado o fio e depois de terminada a distensŒo da mola, os blocos adquirem
velocidades em sentidos opostos. Calcule seus valores, supondo que toda a energia potencial
el•stica da mola foi convertida em energia cin†tica dos blocos.
Conservaۥo do momento linear na direۥo horizontal:
PANTES = PDEPOIS
0 = m A v A + m B vB
0 = 2 v A + 4 vB

vA = -2 vB
(I)
Convers•o da energia potencial el‚stica da mola em energia cinƒtica para os dois
blocos:
k x2 / 2 = mA vA2/2 + mB vB2/2
6,0 = 2vA2/2 + 4vB2/2
Simplificando e substituindo aqui a eq. (I) acima, vem:
6,0 = (-2 vB)2 + 2vB2/2

vB =  1,0 m/s.
Abandonamos a soluۥo negativa porque B move-se para a direita. Sendo assim, a
resposta final fica:
vA = -2 m/s
e
vB = + 1,0 m/s.
c) Neste item, admita que a energia cin†tica adquirida por B tenha valor 3,0 J e que a
velocidade adquirida por A tenha valor 2,0 m/s. Suponha que a pista • direita do bloco B nŒo
possui atrito e possua uma eleva‡Œo, e que a pista • esquerda do bloco A † horizontal e possui
atrito com coeficiente de atrito cin†tico de valor ‹ C = 0,4. Calcule os seguintes valores: (i) a
altura em centŠmetros, a partir do nŠvel horizontal inicial, em que o bloco B atingir• a velocidade
de mˆdulo 1,0 m/s; e (ii) a dist‰ncia total percorrida pelo bloco A na regiŒo com atrito at† parar.
(i) Como sobre B n•o atuam for€as dissipativas, sua energia mec„nica se conserva:
KBANTES + UgBANTES = K BDEPOIS + UgBDEPOIS
3,0 + 0 = 4…(1,0)2 /2 + 4…10…hB
hB = (1/40) m = 0,025 m

hB = 2,5 cm.
(ii) Sobre A atua a for€a de atrito (n•o conservativa). Logo:
W N†O CONSERVATIVAS = EMEC
(mg) d A (cos 180) = KADEPOIS – K AANTES
- 0,4 2 (10) d A = 0 – 2 (2) 2/2

d A = 0,5 m.
3
(3 a quest‚o: 4,0 pontos) i- Considere um carretel enrolado com um fio ideal, inicialmente em
repouso, apoiado sobre uma superfŠcie horizontal com atrito. O fio † suavemente puxado de
forma que o ponto A do carretel em contato com a superfŠcie nŒo escorregue. Na figura temos
tr•s configura‡‘es da tra‡Œo (T a, Tb e Tc) para puxar o fio e fazer com que o carretel entre em
movimento de rolamento. O raio interno do carretel † r e o raio externo † R. A linha de a‡Œo de
T b passa por A. Use o sistema cartesiano de coordenadas abaixo.
Calcule os vetores torque em rela‡Œo a um eixo na dire‡Œo z que passa pelo ponto A levando
em conta as for‡as de tra‡Œo, peso, normal e atrito.
τTa = (R + r) Ta (k)
τP = 0
τTb = 0
τN = 0
τTc = (R - r) Tc (- k)
τfat = 0
ii- a) Uma roldana com dois discos coaxiais possui momento de In†rcia Icm e raios R1 e R2 (R1 >
R2), com fios ideais 1 e 2 enrolados em cada disco conforme a figura. Nas extremidades
desses fios estŒo fixados dois blocos de massas m1 e m2, (m1 > m2) respectivamente. O
sistema † largado do repouso e inicia um movimento acelerado com o bloco 1 descendo.
Escreva o sistema de equa‡‘es necess•rio para obten‡Œo da acelera‡Œo angular da roldana.
bloco 1 : P1 - T1 = m1a1
bloco 1 : T2 – P2 = m2a2
roldana: τcm = Icm α = R1 T1 – R2 T2 = Icm α
a 1 = α R1
a 2 = α R2
b) Assumindo o valor constante de 2,8 rad/s2 para a acelera‡Œo angular α da roldana, calcule
vetor o momento angular do bloco de massa m1, em rela‡Œo ao centro da roldana, 2 s apˆs o
sistema ter entrado em movimento. Admita Icm = 1,7 kgm2, R1 = 0,50 m, R2 = 0,20 m,
m1 = 2,0 kg e m2 = 1,8 kg. Utilize o sistema de coordenadas do item i.
L = r x mv = R1 m1 α R1 t (k) = 0,5 . 2 . 2.8. 0,5 . 2 (k)
L = 2,8 kg m2/s (k)
4