OTIMIZAÇÃO DA ESCOLHA DOS PONTOS DE MEDIÇÃO USADOS NA
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DE MODELOS DE BATERIAS DE
CHUMBO-ÁCIDO
David C.C. Freitas∗, A.M.N. Lima∗, Hugerles S. Silva∗, M.R.A. Morais∗
∗
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Centro de Engenharia Elétrica e Informática
Universidade Federal de Campina Grande
Av. Aprı́gio Veloso, 882, 58429-970 Campina Grande, PB, Brasil
Emails: [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected]
Abstract— Parameter identification of a lead-acid battery model is discussed. A criterion based on the leastsquares error is used to select the measurement points to be used in the parameter estimation algorithm. The
mathematical model chosen to represent the electrochemical battery is discussed. A simulation study is used to
demonstrate the feasibility of the proposed parameter determination method.
Keywords—
Battery Model, Parameter Identification, Lead-Acid Battery
Resumo— A identificação de parâmetros de um modelo de bateria de chumbo-ácido é discutida. Um critério
com base no erro quadrático médio é usado para selecionar os pontos de medição a serem usados no algoritmo de
estimação de parâmetros. O modelo matemático escolhido para representar a bateria eletroquı́mica é discutido.
Um estudo por simulação computacional é utilizado para demonstrar a viabilidade do método de determinação
dos parâmetros.
Palavras-chave—
1
Modelo de Bateria, Identificação de Parâmetros, Bateria de Chumbo-Ácido
Introdução
A tecnologia da bateria de chumbo-ácido data de
1859 e tem sido utilizada em diversas aplicações
(Leao et al., 2010). Mesmo com diversas tecnologias novas acerca de baterias, essa tecnologia
de acumuladores eletroquı́micos é ainda preferida
em muitas circunstâncias, pois quando comparadas com outros tipos com igual potência, possuem
o menor custo .
A sociedade tem se tornado cada vez mais
dependente do consumo de energia (Rosemback,
2004). Essa dependência pode ser notada na produção de bens e serviços, na automação dos processos industriais, nos modernos sistemas de telecomunicações, no armazenamento e processamento de dados necessários a qualquer organização, na produção e transformação das diferentes
formas de energia e na economia de um modo geral, conforme apresentado por Chagas (2007).
Atualmente, pode-se observar que não são
mais toleradas falhas no fornecimento de energia
elétrica que alimentam, por exemplo, os sistemas
crı́ticos de empresas, hospitais, bancos. A falha de
alguns equipamentos pode causar graves prejuı́zos,
com perdas econômicas, materiais e até humanas
(Chagas, 2007). Dessa forma, visando atender à
necessidade de sistemas confiáveis de alimentação
de energia, é que são utilizados bancos de baterias. Esse equipamento é utilizado quando há a
necessidade de suprir o consumo durante falhas
do sistema principal de suprimento de energia elétrica.
De acordo com Ketzer et al. (2013), sistemas
com bancos de baterias operam com múltiplos ciclos de carga e descarga. O problema da utilização de bancos de baterias está na necessidade de
se avaliar periodicamente o seu SOC (Estado de
Carga) para verificar que as mesmas irão assumir
a alimentação durante as faltas de energia, pois,
conforme já citado, falhas nesse sistema acarretariam prejuı́zos enormes.
Schneider (2011) destaca a necessidade da utilização de técnicas para estimar as caracterı́sticas
elétricas das baterias. Desse modo, modelos de baterias procuram capturar as caracterı́sticas reais
de operação destas, e podem ser usados para prever os seus comportamentos sob várias condições
de carga e descarga. Esses modelos são ferramentas úteis para o projeto de sistemas alimentados
por baterias, porque possibilitam a análise do seu
comportamento sob diferentes especificações de
projeto, conforme apresentado por Sousa (2008).
A modelagem de baterias é importante tanto para
análise quanto para o dimensionamento de sistemas de armazenamento de energia, visto que a
incerteza associada ao seu tempo de vida afeta o
custo da energia gerada por esse sistema, pois a
troca da bateria poderia ser realizada (Bindner
et al., 2005).
2
Classificação dos Modelos de baterias
Modelos de baterias são concebidos para representar as caracterı́sticas reais de trabalho destas e podem ser usados para prever o comportamento sob
vários ciclos de carga e descarga (Sousa, 2008).
Diversos modelos podem representar um
mesmo fenômeno com variados nı́veis de complexidade. Modelos com aplicações diferentes têm sido
propostos na literatura para a representação de
baterias. Esses modelos podem ser classificados
como eletroquı́micos, analı́ticos e analógos.
2.1
Modelos eletroquı́micos
São modelos que permitem simular as propriedades fı́sico-quı́micas de uma bateria. Esses modelos incorporam as caracterı́sticas de transporte
de massa, propriedades termodinâmicas, mecânicas, térmicas e elétricas dos materiais (Liaw
et al., 2002).
2.2
Modelos analı́ticos
São modelos baseados na interpolação e extrapolação de dados obtidos de campo e em testes
do fabricante. Apresentam complexidade reduzida quando comparados aos modelos eletroquı́micos (Schiffer et al., 2007), (Shepherd, 1963),
(Tremblay and Dessaint, 2009) e (Tremblay et al.,
2007).
2.3
Figura 1: Sistema de carga e descarga da bateria. O bloco A representa a bateria eletroquı́mica
enquanto o bloco B denota o circuito elétrico que
absorve ou fornece energia elétrica. O comportamento de descarga ou de carga da bateria é descrito pelo modelo não-linear descrito pelas equações (1) e (2), respectivamente.
Modelos análogos
São modelos baseados em circuitos elétricos equivalentes, por exemplo: fontes de tensão e de corrente, resistores, capacitores e indutores. Os modelos apresentados por Dürr et al. (2006), Ceraolo
(2000), Kaiser et al. (2003) e Jackey (2007) pertencem a essa classe de modelos.
Neste trabalho escolheu-se o modelo analı́tico
proposto por Tremblay et al. (2007). O modelo escolhido pode ser utilizado tanto para carga quanto
para a descarga da bateria. Outra caracterı́stica
do modelo é a estimativa do SOC e da tensão da
bateria. Os parâmetros caracterı́sticos das equações de carga e descarga podem ser retirados da
curva de descarga da bateria.
O modelo de Tremblay et al. (2007) pode
representar quatro tipos de tecnologias de bateria: chumbo-ácido, ı́ons de lı́tio, nı́quel-cádmio e
nı́quel-hidreto metálico.
3
Modelo da bateria
Segundo Tremblay et al. (2007), o sistema de
carga e descarga, apresentado na Figura 1, é similar ao proposto por Shepherd (1963), porém
pode representar precisamente a dinâmica de tensão quando a corrente varia e leva em consideração
a tensão de circuito aberto (TCA) como uma função do SOC. O termo relativo à tensão de polarização é somado para representar melhor o comportamento da TCA e o termo relativo à resistência
de polarização é modificado.
A Figura 1 apresenta os blocos constituintes
do sistema de teste. O Bloco A representa o acumulador eletroquı́mico enquanto que o Bloco B designa o circuito elétrico que proporciona a carga ou
a descarga da bateria. O Bloco B, neste trabalho,
é uma fonte de corrente controlada e o comportamento da bateria eletroquı́mica é representado
pelas equações (1) e (2). A equação (1)
v = E0 − Ri −
KQ
(iT + iF ) + e,
Q − iT
(1)
é usada quando a bateria está sendo descarregada.
Quando a bateria está sendo carregada, utiliza-se
a equação (2)
v = E0 − Ri −
KQ
KQ
iF −
iT + e. (2)
iT − 0.1Q
Q − iT
Nas equações (1) e (2), todas as variáveis representadas com letras minusculas, ou seja, v, i, iT ,
iF e e, são dependentes do tempo. As denominações dos parâmetros e variáveis usados nessas
duas equações são: v (t) é a tensão medida nos
terminais da bateria; E0 é a tensão interna da bateria; R é a resistência interna da bateria; i (t) é
corrente fornecida/absorvida pela bateria; K: é
a constante de polarização; Q é a capacidade nominal da bateria; iT (t) é a carga consumida pela
bateria; iF (t) é corrente filtrada e e (t) o termo de
tensão exponencial.
Para o caso das baterias de chumbo-ácido o
termo de tensão exponencial e (t) é dado por
de (t)
= B |i (t)| (e (t) + Au (t)) , e (0) = 0, (3)
dt
em que 1/B é constante de tempo da zona exponencial e A é amplitude da zona exponencial e
1, iF (t) < 0
u (t) =
(4)
0, iF (t) ≥ 0
A corrente filtrada para baterias de chumbo-ácido
é dada por
diF (t)
1
= (i (t) − iF (t)) , iF (0) = i (0) ,
dt
τ
(5)
Figura 2: Curva tı́pica de descarga de uma bateria eletroquı́mica. Essa curva é representada no
plano iT × v. Se a bateria for alimentada por uma
fonte corrente constante o eixo horizantal pode ser
convertido numa escala temporal.
Figura 3: Tensão v (t) (parte superior) do modelo
de simulação para um ciclo de carga e descarga
(parte inferior). A carga e a descarga são promovidas por fontes de corrente controladas.
3.2
em que τ denota a constante de tempo do filtro
de corrente.
3.1
Estimação de parâmetros
Uma importante caracterı́stica do modelo proposto por Tremblay and Dessaint (2009) é a simplicidade da obtenção dos parâmetros. São necessários apenas três pontos na curva de descarga, conforme apresentado na Figura 2. O primeiro ponto é obtido no inı́cio da descarga quando
a bateria está completamente carregada. O segundo ponto é obtido no final da zona exponencial,
quando o sistema entra em regime permanente. O
último ponto é obtido um pouco antes do decaimento final da curva.
Na Figura 2, o termo Vfull representa a tensão
quando a bateria está completamente carregada.
O ponto (Qexp , Vexp ) é o valor de capacidade e
tensão, respectivamente, no final da zona exponencial. Por último, Vnom e Qnom são os valores
de tensão e de capacidade, respectivamente, no final da zona nominal.
Segundo Tremblay et al. (2007), o parâmetro A da equação (3) é a diferença entre Vfull e
Vexp . Já o parâmetro B pode ser aproximado por
3/Qexp desde que a energia do termo exponencial seja nula (apenas 5%) após três constantes de
tempo.
Considerando que a resistência interna R seja
fornecida pelo fabricante, resta encontrar os valores de E0 e K. Esses valores são encontrados
baseados nas ordenadas dos pontos (Qexp , Vexp ) e
(Qnom , Vnom ) na equação (1), considerando que o
termo exponencial é nulo e a corrente iF (t) = i (t),
t > texp .
Tremblay et al. (2007) não propõe nenhum critério de escolha para o terceiro ponto. Esse método de estimação dos parâmetros é aproximado e
sua acurácia depende do critério de escolha, principalmente do terceiro ponto extraı́do da curva de
descarga.
Método 3P
O método proposto utiliza os três pontos da curva
de descarga. O primeiro é (0, Vfull ) é o ponto
que marca o inı́cio da descarga para uma bateria completamente carregada. O segundo ponto
(Qexp ,Vexp ) é escolhido no instante que que a derivada da tensão se torna menor que α, 0 < α < 1
representando o término da zona exponencial, ou
seja
texp = arg min (|v̇ (t) + α|) , t ∈ [0, ∞) .
t
(6)
Vale destacar o critério da escolha do segundo
ponto não é especificado no trabalho de Tremblay and Dessaint (2009). O terceiro ponto
(Qnom ,Vnom ), é escolhido de modo a minimizar
ΓN =
t2
1 X
2
[v (t) − v̂ (t, θ (p3 ))]
N t
(7)
1
p̂3 = arg min ΓN
p3 ∈ {v (t) , iT (t) , t > texp , iT (t) < 0.3Q}
(8)
(9)
Em que ΓN é a função objetivo, v̂ (t, θ (p3 )) é uma
estimativa de tensão medida nos terminais da bateria calculada a partir de uma escolha do terceiro
ponto p3 , N é a quantidade de pontos medidos
entre t1 e t2 (N = 3902 neste trabalho), t1 é o instante de tempo inicial da validação (tY da Figura
3) e t2 é o instante de tempo final da validação
(65000s).
Neste caso, o modelo considerado real é o representado com a tensão e a corrente apresentada
na Figura 3, possuindo tensão nominal de 12V, capacidade nominal de 36Ah e resistência interna de
3.3mΩ. Um determinado ciclo de carga e descarga
foi usado para estimação e teste.
A curva de tensão da Figura 3 será dividida
para realização da estimação e validação. A primeira parte será utilizada para estimação e será
feita até o fim da primeira descarga (0 < t < tX ).
A validação será feita a partir do ponto Y até o
final da simulação (tY < t < 65000s).
4
Estimação dos parâmetros e avaliação
A constante de tempo τ equivale a 30s, como apresentado na Figura 4.
mente foram escolhidos 13 pontos (tnom ) para possı́veis P3 espaçados de 1000s (16 min e 40 s). Esses
pontos, apresentados na Figura 5, serão utilizados
para calcular o parâmetro K da equação (1). Os
outros valores desconhecidos (A, B e E0 ) são obtidos utilizando os valores referentes aos pontos P1
e P2, como apresentado nas equações (10), (11) e
(12):
A = Vfull − Vexp
B=
3
Qexp
(11)
E0 = Vfull + RI5h − A
Figura 4: Tensão da bateria quando um degrau
de corrente é aplicado. A constante de tempo representada é de 30s
A Figura 5 apresenta o primeiro ponto (P1),
o segundo ponto (P2) e os possı́veis terceiros pontos P3 da curva de descarga. O ponto P1 é o
(10)
(12)
em que I5h equivale a uma corrente que descarrega uma bateria completamente carregada em 5h.
Para o caso em estudo vale 7.2A, pois Q = 36Ah.
Mediante o uso da equação (1) determina-se
o valor de K em função das ordenadas do ponto
P3, ou seja, Vnom e Qnom .
3Qnom
(E0 − Vnom + RI5h ) + Ae Qexp )(Q − Qnom )
K=
Q(Qnom − I5h )
(13)
Com os 13 pontos possı́veis para P3, como apresentado na Figura 4, obteremos 13 valores de K.
Dessa forma, será usada a equação (7) para escolher o melhor terceiro ponto. Na Figura 7, é
apresentado o erro quadrático médio em cada um
dos 13 pontos.
Figura 5: Curva de descarga indicando os pontos
necessários para obtenção dos parâmetros.
estado inicial da descarga para uma bateria completamente carregada (0Ah, 13.0658V). O ponto
P2 é definido baseado na equação (6). Dessa maneira, o ponto P2 é escolhido no instante 159.6s,
ou seja, iT (159.6)=0.3192Ah, para uma corrente
I5h de 7.2A. (0.3192Ah, 12.17V), como apresentado na Figura 6.
Figura 6: Curva para escolha do segundo ponto
baseada no valor da derivada da tensão ( dv(t)
dt <
−0.2).
Por fim, e objetivo do trabalho, falta determinar o terceiro ponto P3 (Qnom , Vnom ). Inicial-
Figura 7: Valores do erro quadrático médio. As
13 escolhas de P3 ensejam 13 vetores paramétricos
diferentes.
A Figura 7 apresenta o erro quadrático médio
para cada um dos 13 pontos. Há uma diminuição
do erro na região entre 3000s e 5000. Dessa forma,
novos 11 pontos espaçados de 200s (3 minutos e
20 segundos) escolhidos entre 3000s e 5000s serão
avaliados, como apresentado na Figura 8.
A Figura 8 apresenta o erro quadrático médio
para cada um dos novos 11 pontos de medição.
O modelo que apresenta o menor erro quadrático
médio é (iT (3600), v(3600)).
Tomando por base os resultados obtidos o instante de medição do terceiro ponto, tnom , deve ser
escolhido como aquele no qual a capacidade da
bateria é reduzida para 0.8Q. Desse modo o método de estimação proposto, consiste em escolher
Figura 8: Valores do erro quadrático médio. Nova
escolha de 11 pontos P3, escolhidos entre 3000s e
5000s.
respectivamente. No trabalho de Schiffer et al.
(2007) estimam-se dez parâmetros independentes
enquanto que no trabalho de Bindner et al. (2005)
o tamanho da população é quatro vezes o número
de pontos do experimento. No MIONL implementado nesse trabalho estimam-se quatro parâmetros
para carga e quatro para descarga, como apresentado na Tabela 2. A comparação dos dois métodos
com o modelo de simulação é apresentada na Figura 10. A Tabela 2 apresenta os valores dos oito
o ponto P1 segundo a recomendação de Tremblay
(Tremblay and Dessaint, 2009) e os pontos P2 e
P3 conforme explicitado anteriormente.
5
Validação e Resultados
Com os pontos obtidos no item anterior: P1 (0Ah,
13.0658V), P2(0.3192Ah, 12.17V) e P3(7.2Ah,
12.0781V), os parâmetros obtidos são apresentados na Tabela 1.
Tabela 1: Valores estimados - Método 3P.
Parâmetro Método 3P
A
0.89580
B
9.3985
E0
12.1940
K
0.00777
Com o padrão de carga e descarga apresentado na Figura 3 após o ponto Y (inı́cio da validação) e os parâmetros da Tabela 1, tem-se uma
comparação na Figura 9. A Figura 9 apresenta a
Figura 9: Valores de tensão comparando o Método
3P com o modelo de simulação, baseado no perfil
de validação apresentado na Figura 3.
tensão baseada nos parâmetros determinados com
o Método 3P sendo comparada à tensão do modelo
de simulação.
Na sequencia o Método 3P será comparado
com um método de estimação baseado num método iterativo de otimização não-linear (MIONL).
Esse método baseia-se nos trabalhos de Schiffer
et al. (2007) e Bindner et al. (2005), que utilizam o método dos mı́nimos quadrados e o método SQP (Sequential Quadratic Programming),
Figura 10: Valores de tensão obtidos com os dois
métodos de estimação e com o modelo de simulação. O perfil de validação é apresentado na Figura
2.
parâmetros obtidos com o MIONL.
Tabela 2: Valores estimados - MIONL.
Parâmetro MIONL
E0d
12.1426
Kd
0.0115
Ad
3.1125
Bd
1.0701
E0c
12.9830
Kc
0.0212
Ac
5.2900
Bc
5.0154
Os ı́ndices/expoentes c e d representam, respectivamente, carga e descarga.
Observando a Figura 10 percebe-se que o erro
de aproximação usando os parâmetros obtidos
com o MIONL é menor do que aquele obtido com
o Método 3P. Entretanto, vale destacar que o erro
de aproximação nos dois casos é da mesma ordem
de grandeza, porém a complexidade do método
proposto é, em termos computacionais, menor em
muitas ordens de grandeza.No método MIONL é
necessário um tempo decorrido de 20.41s em um
sistema com núcleo i7, processador de 3.6GHz e
sistema operacional de 32 bits. Já com o Método
3P, utilizando as mesmas caracterı́sticas computacionais, necessita-se de 0.021s. A Tabela 3 apresenta o erro quadrático médio para os dois métodos.
6
Conclusões
Usando as medições de corrente e tensão durante
uma descarga a corrente constante e fazendo uma
Tabela 3: Valores do erro quadrático médio
usando os dois métodos.
Método
Erro
Método 3P 0.00374
MIONL
0.00252
escolha adequada de três pontos de medição é possı́vel obter uma estimativa dos parâmetros do Modelo de Tremblay para baterias de chumbo-ácido.
A qualidade dessa estimativa é comparável àquela
obtida utilizando um método iterativo de otimização não-linear que processa a todos os pontos
de medição e requer a execução de um ciclo de
descarga-carga. O Método 3P requer o conhecimento dos valores da constante de tempo do filtro
de corrente e da resistência interna da bateria. A
obtenção dessa constante de tempo pode ser realizada de modo relativamente simples provocando
uma variação em degrau da corrente da bateria.
Agradecimentos
Os autores agradecem o apoio logı́stico e financeiro da Acumuladores Moura S.A., CAPES e
CNPq que proporciou o desenvolvimento desse
projeto.
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