OTIMIZAÇÃO DA ESCOLHA DOS PONTOS DE MEDIÇÃO USADOS NA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DE MODELOS DE BATERIAS DE CHUMBO-ÁCIDO David C.C. Freitas∗, A.M.N. Lima∗, Hugerles S. Silva∗, M.R.A. Morais∗ ∗ Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Centro de Engenharia Elétrica e Informática Universidade Federal de Campina Grande Av. Aprı́gio Veloso, 882, 58429-970 Campina Grande, PB, Brasil Emails: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Abstract— Parameter identification of a lead-acid battery model is discussed. A criterion based on the leastsquares error is used to select the measurement points to be used in the parameter estimation algorithm. The mathematical model chosen to represent the electrochemical battery is discussed. A simulation study is used to demonstrate the feasibility of the proposed parameter determination method. Keywords— Battery Model, Parameter Identification, Lead-Acid Battery Resumo— A identificação de parâmetros de um modelo de bateria de chumbo-ácido é discutida. Um critério com base no erro quadrático médio é usado para selecionar os pontos de medição a serem usados no algoritmo de estimação de parâmetros. O modelo matemático escolhido para representar a bateria eletroquı́mica é discutido. Um estudo por simulação computacional é utilizado para demonstrar a viabilidade do método de determinação dos parâmetros. Palavras-chave— 1 Modelo de Bateria, Identificação de Parâmetros, Bateria de Chumbo-Ácido Introdução A tecnologia da bateria de chumbo-ácido data de 1859 e tem sido utilizada em diversas aplicações (Leao et al., 2010). Mesmo com diversas tecnologias novas acerca de baterias, essa tecnologia de acumuladores eletroquı́micos é ainda preferida em muitas circunstâncias, pois quando comparadas com outros tipos com igual potência, possuem o menor custo . A sociedade tem se tornado cada vez mais dependente do consumo de energia (Rosemback, 2004). Essa dependência pode ser notada na produção de bens e serviços, na automação dos processos industriais, nos modernos sistemas de telecomunicações, no armazenamento e processamento de dados necessários a qualquer organização, na produção e transformação das diferentes formas de energia e na economia de um modo geral, conforme apresentado por Chagas (2007). Atualmente, pode-se observar que não são mais toleradas falhas no fornecimento de energia elétrica que alimentam, por exemplo, os sistemas crı́ticos de empresas, hospitais, bancos. A falha de alguns equipamentos pode causar graves prejuı́zos, com perdas econômicas, materiais e até humanas (Chagas, 2007). Dessa forma, visando atender à necessidade de sistemas confiáveis de alimentação de energia, é que são utilizados bancos de baterias. Esse equipamento é utilizado quando há a necessidade de suprir o consumo durante falhas do sistema principal de suprimento de energia elétrica. De acordo com Ketzer et al. (2013), sistemas com bancos de baterias operam com múltiplos ciclos de carga e descarga. O problema da utilização de bancos de baterias está na necessidade de se avaliar periodicamente o seu SOC (Estado de Carga) para verificar que as mesmas irão assumir a alimentação durante as faltas de energia, pois, conforme já citado, falhas nesse sistema acarretariam prejuı́zos enormes. Schneider (2011) destaca a necessidade da utilização de técnicas para estimar as caracterı́sticas elétricas das baterias. Desse modo, modelos de baterias procuram capturar as caracterı́sticas reais de operação destas, e podem ser usados para prever os seus comportamentos sob várias condições de carga e descarga. Esses modelos são ferramentas úteis para o projeto de sistemas alimentados por baterias, porque possibilitam a análise do seu comportamento sob diferentes especificações de projeto, conforme apresentado por Sousa (2008). A modelagem de baterias é importante tanto para análise quanto para o dimensionamento de sistemas de armazenamento de energia, visto que a incerteza associada ao seu tempo de vida afeta o custo da energia gerada por esse sistema, pois a troca da bateria poderia ser realizada (Bindner et al., 2005). 2 Classificação dos Modelos de baterias Modelos de baterias são concebidos para representar as caracterı́sticas reais de trabalho destas e podem ser usados para prever o comportamento sob vários ciclos de carga e descarga (Sousa, 2008). Diversos modelos podem representar um mesmo fenômeno com variados nı́veis de complexidade. Modelos com aplicações diferentes têm sido propostos na literatura para a representação de baterias. Esses modelos podem ser classificados como eletroquı́micos, analı́ticos e analógos. 2.1 Modelos eletroquı́micos São modelos que permitem simular as propriedades fı́sico-quı́micas de uma bateria. Esses modelos incorporam as caracterı́sticas de transporte de massa, propriedades termodinâmicas, mecânicas, térmicas e elétricas dos materiais (Liaw et al., 2002). 2.2 Modelos analı́ticos São modelos baseados na interpolação e extrapolação de dados obtidos de campo e em testes do fabricante. Apresentam complexidade reduzida quando comparados aos modelos eletroquı́micos (Schiffer et al., 2007), (Shepherd, 1963), (Tremblay and Dessaint, 2009) e (Tremblay et al., 2007). 2.3 Figura 1: Sistema de carga e descarga da bateria. O bloco A representa a bateria eletroquı́mica enquanto o bloco B denota o circuito elétrico que absorve ou fornece energia elétrica. O comportamento de descarga ou de carga da bateria é descrito pelo modelo não-linear descrito pelas equações (1) e (2), respectivamente. Modelos análogos São modelos baseados em circuitos elétricos equivalentes, por exemplo: fontes de tensão e de corrente, resistores, capacitores e indutores. Os modelos apresentados por Dürr et al. (2006), Ceraolo (2000), Kaiser et al. (2003) e Jackey (2007) pertencem a essa classe de modelos. Neste trabalho escolheu-se o modelo analı́tico proposto por Tremblay et al. (2007). O modelo escolhido pode ser utilizado tanto para carga quanto para a descarga da bateria. Outra caracterı́stica do modelo é a estimativa do SOC e da tensão da bateria. Os parâmetros caracterı́sticos das equações de carga e descarga podem ser retirados da curva de descarga da bateria. O modelo de Tremblay et al. (2007) pode representar quatro tipos de tecnologias de bateria: chumbo-ácido, ı́ons de lı́tio, nı́quel-cádmio e nı́quel-hidreto metálico. 3 Modelo da bateria Segundo Tremblay et al. (2007), o sistema de carga e descarga, apresentado na Figura 1, é similar ao proposto por Shepherd (1963), porém pode representar precisamente a dinâmica de tensão quando a corrente varia e leva em consideração a tensão de circuito aberto (TCA) como uma função do SOC. O termo relativo à tensão de polarização é somado para representar melhor o comportamento da TCA e o termo relativo à resistência de polarização é modificado. A Figura 1 apresenta os blocos constituintes do sistema de teste. O Bloco A representa o acumulador eletroquı́mico enquanto que o Bloco B designa o circuito elétrico que proporciona a carga ou a descarga da bateria. O Bloco B, neste trabalho, é uma fonte de corrente controlada e o comportamento da bateria eletroquı́mica é representado pelas equações (1) e (2). A equação (1) v = E0 − Ri − KQ (iT + iF ) + e, Q − iT (1) é usada quando a bateria está sendo descarregada. Quando a bateria está sendo carregada, utiliza-se a equação (2) v = E0 − Ri − KQ KQ iF − iT + e. (2) iT − 0.1Q Q − iT Nas equações (1) e (2), todas as variáveis representadas com letras minusculas, ou seja, v, i, iT , iF e e, são dependentes do tempo. As denominações dos parâmetros e variáveis usados nessas duas equações são: v (t) é a tensão medida nos terminais da bateria; E0 é a tensão interna da bateria; R é a resistência interna da bateria; i (t) é corrente fornecida/absorvida pela bateria; K: é a constante de polarização; Q é a capacidade nominal da bateria; iT (t) é a carga consumida pela bateria; iF (t) é corrente filtrada e e (t) o termo de tensão exponencial. Para o caso das baterias de chumbo-ácido o termo de tensão exponencial e (t) é dado por de (t) = B |i (t)| (e (t) + Au (t)) , e (0) = 0, (3) dt em que 1/B é constante de tempo da zona exponencial e A é amplitude da zona exponencial e 1, iF (t) < 0 u (t) = (4) 0, iF (t) ≥ 0 A corrente filtrada para baterias de chumbo-ácido é dada por diF (t) 1 = (i (t) − iF (t)) , iF (0) = i (0) , dt τ (5) Figura 2: Curva tı́pica de descarga de uma bateria eletroquı́mica. Essa curva é representada no plano iT × v. Se a bateria for alimentada por uma fonte corrente constante o eixo horizantal pode ser convertido numa escala temporal. Figura 3: Tensão v (t) (parte superior) do modelo de simulação para um ciclo de carga e descarga (parte inferior). A carga e a descarga são promovidas por fontes de corrente controladas. 3.2 em que τ denota a constante de tempo do filtro de corrente. 3.1 Estimação de parâmetros Uma importante caracterı́stica do modelo proposto por Tremblay and Dessaint (2009) é a simplicidade da obtenção dos parâmetros. São necessários apenas três pontos na curva de descarga, conforme apresentado na Figura 2. O primeiro ponto é obtido no inı́cio da descarga quando a bateria está completamente carregada. O segundo ponto é obtido no final da zona exponencial, quando o sistema entra em regime permanente. O último ponto é obtido um pouco antes do decaimento final da curva. Na Figura 2, o termo Vfull representa a tensão quando a bateria está completamente carregada. O ponto (Qexp , Vexp ) é o valor de capacidade e tensão, respectivamente, no final da zona exponencial. Por último, Vnom e Qnom são os valores de tensão e de capacidade, respectivamente, no final da zona nominal. Segundo Tremblay et al. (2007), o parâmetro A da equação (3) é a diferença entre Vfull e Vexp . Já o parâmetro B pode ser aproximado por 3/Qexp desde que a energia do termo exponencial seja nula (apenas 5%) após três constantes de tempo. Considerando que a resistência interna R seja fornecida pelo fabricante, resta encontrar os valores de E0 e K. Esses valores são encontrados baseados nas ordenadas dos pontos (Qexp , Vexp ) e (Qnom , Vnom ) na equação (1), considerando que o termo exponencial é nulo e a corrente iF (t) = i (t), t > texp . Tremblay et al. (2007) não propõe nenhum critério de escolha para o terceiro ponto. Esse método de estimação dos parâmetros é aproximado e sua acurácia depende do critério de escolha, principalmente do terceiro ponto extraı́do da curva de descarga. Método 3P O método proposto utiliza os três pontos da curva de descarga. O primeiro é (0, Vfull ) é o ponto que marca o inı́cio da descarga para uma bateria completamente carregada. O segundo ponto (Qexp ,Vexp ) é escolhido no instante que que a derivada da tensão se torna menor que α, 0 < α < 1 representando o término da zona exponencial, ou seja texp = arg min (|v̇ (t) + α|) , t ∈ [0, ∞) . t (6) Vale destacar o critério da escolha do segundo ponto não é especificado no trabalho de Tremblay and Dessaint (2009). O terceiro ponto (Qnom ,Vnom ), é escolhido de modo a minimizar ΓN = t2 1 X 2 [v (t) − v̂ (t, θ (p3 ))] N t (7) 1 p̂3 = arg min ΓN p3 ∈ {v (t) , iT (t) , t > texp , iT (t) < 0.3Q} (8) (9) Em que ΓN é a função objetivo, v̂ (t, θ (p3 )) é uma estimativa de tensão medida nos terminais da bateria calculada a partir de uma escolha do terceiro ponto p3 , N é a quantidade de pontos medidos entre t1 e t2 (N = 3902 neste trabalho), t1 é o instante de tempo inicial da validação (tY da Figura 3) e t2 é o instante de tempo final da validação (65000s). Neste caso, o modelo considerado real é o representado com a tensão e a corrente apresentada na Figura 3, possuindo tensão nominal de 12V, capacidade nominal de 36Ah e resistência interna de 3.3mΩ. Um determinado ciclo de carga e descarga foi usado para estimação e teste. A curva de tensão da Figura 3 será dividida para realização da estimação e validação. A primeira parte será utilizada para estimação e será feita até o fim da primeira descarga (0 < t < tX ). A validação será feita a partir do ponto Y até o final da simulação (tY < t < 65000s). 4 Estimação dos parâmetros e avaliação A constante de tempo τ equivale a 30s, como apresentado na Figura 4. mente foram escolhidos 13 pontos (tnom ) para possı́veis P3 espaçados de 1000s (16 min e 40 s). Esses pontos, apresentados na Figura 5, serão utilizados para calcular o parâmetro K da equação (1). Os outros valores desconhecidos (A, B e E0 ) são obtidos utilizando os valores referentes aos pontos P1 e P2, como apresentado nas equações (10), (11) e (12): A = Vfull − Vexp B= 3 Qexp (11) E0 = Vfull + RI5h − A Figura 4: Tensão da bateria quando um degrau de corrente é aplicado. A constante de tempo representada é de 30s A Figura 5 apresenta o primeiro ponto (P1), o segundo ponto (P2) e os possı́veis terceiros pontos P3 da curva de descarga. O ponto P1 é o (10) (12) em que I5h equivale a uma corrente que descarrega uma bateria completamente carregada em 5h. Para o caso em estudo vale 7.2A, pois Q = 36Ah. Mediante o uso da equação (1) determina-se o valor de K em função das ordenadas do ponto P3, ou seja, Vnom e Qnom . 3Qnom (E0 − Vnom + RI5h ) + Ae Qexp )(Q − Qnom ) K= Q(Qnom − I5h ) (13) Com os 13 pontos possı́veis para P3, como apresentado na Figura 4, obteremos 13 valores de K. Dessa forma, será usada a equação (7) para escolher o melhor terceiro ponto. Na Figura 7, é apresentado o erro quadrático médio em cada um dos 13 pontos. Figura 5: Curva de descarga indicando os pontos necessários para obtenção dos parâmetros. estado inicial da descarga para uma bateria completamente carregada (0Ah, 13.0658V). O ponto P2 é definido baseado na equação (6). Dessa maneira, o ponto P2 é escolhido no instante 159.6s, ou seja, iT (159.6)=0.3192Ah, para uma corrente I5h de 7.2A. (0.3192Ah, 12.17V), como apresentado na Figura 6. Figura 6: Curva para escolha do segundo ponto baseada no valor da derivada da tensão ( dv(t) dt < −0.2). Por fim, e objetivo do trabalho, falta determinar o terceiro ponto P3 (Qnom , Vnom ). Inicial- Figura 7: Valores do erro quadrático médio. As 13 escolhas de P3 ensejam 13 vetores paramétricos diferentes. A Figura 7 apresenta o erro quadrático médio para cada um dos 13 pontos. Há uma diminuição do erro na região entre 3000s e 5000. Dessa forma, novos 11 pontos espaçados de 200s (3 minutos e 20 segundos) escolhidos entre 3000s e 5000s serão avaliados, como apresentado na Figura 8. A Figura 8 apresenta o erro quadrático médio para cada um dos novos 11 pontos de medição. O modelo que apresenta o menor erro quadrático médio é (iT (3600), v(3600)). Tomando por base os resultados obtidos o instante de medição do terceiro ponto, tnom , deve ser escolhido como aquele no qual a capacidade da bateria é reduzida para 0.8Q. Desse modo o método de estimação proposto, consiste em escolher Figura 8: Valores do erro quadrático médio. Nova escolha de 11 pontos P3, escolhidos entre 3000s e 5000s. respectivamente. No trabalho de Schiffer et al. (2007) estimam-se dez parâmetros independentes enquanto que no trabalho de Bindner et al. (2005) o tamanho da população é quatro vezes o número de pontos do experimento. No MIONL implementado nesse trabalho estimam-se quatro parâmetros para carga e quatro para descarga, como apresentado na Tabela 2. A comparação dos dois métodos com o modelo de simulação é apresentada na Figura 10. A Tabela 2 apresenta os valores dos oito o ponto P1 segundo a recomendação de Tremblay (Tremblay and Dessaint, 2009) e os pontos P2 e P3 conforme explicitado anteriormente. 5 Validação e Resultados Com os pontos obtidos no item anterior: P1 (0Ah, 13.0658V), P2(0.3192Ah, 12.17V) e P3(7.2Ah, 12.0781V), os parâmetros obtidos são apresentados na Tabela 1. Tabela 1: Valores estimados - Método 3P. Parâmetro Método 3P A 0.89580 B 9.3985 E0 12.1940 K 0.00777 Com o padrão de carga e descarga apresentado na Figura 3 após o ponto Y (inı́cio da validação) e os parâmetros da Tabela 1, tem-se uma comparação na Figura 9. A Figura 9 apresenta a Figura 9: Valores de tensão comparando o Método 3P com o modelo de simulação, baseado no perfil de validação apresentado na Figura 3. tensão baseada nos parâmetros determinados com o Método 3P sendo comparada à tensão do modelo de simulação. Na sequencia o Método 3P será comparado com um método de estimação baseado num método iterativo de otimização não-linear (MIONL). Esse método baseia-se nos trabalhos de Schiffer et al. (2007) e Bindner et al. (2005), que utilizam o método dos mı́nimos quadrados e o método SQP (Sequential Quadratic Programming), Figura 10: Valores de tensão obtidos com os dois métodos de estimação e com o modelo de simulação. O perfil de validação é apresentado na Figura 2. parâmetros obtidos com o MIONL. Tabela 2: Valores estimados - MIONL. Parâmetro MIONL E0d 12.1426 Kd 0.0115 Ad 3.1125 Bd 1.0701 E0c 12.9830 Kc 0.0212 Ac 5.2900 Bc 5.0154 Os ı́ndices/expoentes c e d representam, respectivamente, carga e descarga. Observando a Figura 10 percebe-se que o erro de aproximação usando os parâmetros obtidos com o MIONL é menor do que aquele obtido com o Método 3P. Entretanto, vale destacar que o erro de aproximação nos dois casos é da mesma ordem de grandeza, porém a complexidade do método proposto é, em termos computacionais, menor em muitas ordens de grandeza.No método MIONL é necessário um tempo decorrido de 20.41s em um sistema com núcleo i7, processador de 3.6GHz e sistema operacional de 32 bits. Já com o Método 3P, utilizando as mesmas caracterı́sticas computacionais, necessita-se de 0.021s. A Tabela 3 apresenta o erro quadrático médio para os dois métodos. 6 Conclusões Usando as medições de corrente e tensão durante uma descarga a corrente constante e fazendo uma Tabela 3: Valores do erro quadrático médio usando os dois métodos. Método Erro Método 3P 0.00374 MIONL 0.00252 escolha adequada de três pontos de medição é possı́vel obter uma estimativa dos parâmetros do Modelo de Tremblay para baterias de chumbo-ácido. A qualidade dessa estimativa é comparável àquela obtida utilizando um método iterativo de otimização não-linear que processa a todos os pontos de medição e requer a execução de um ciclo de descarga-carga. O Método 3P requer o conhecimento dos valores da constante de tempo do filtro de corrente e da resistência interna da bateria. A obtenção dessa constante de tempo pode ser realizada de modo relativamente simples provocando uma variação em degrau da corrente da bateria. Agradecimentos Os autores agradecem o apoio logı́stico e financeiro da Acumuladores Moura S.A., CAPES e CNPq que proporciou o desenvolvimento desse projeto. Referências Bindner, H., Cronin, T., Lundsager, P., Manwell, J. F., Abdulwahid, U. and Baring-Gould, I. (2005). 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