UFPE, 1o semestre de 2008.
Disciplina PGE-969, “Métodos Matemáticos para Estatı́stica”.
Professor André Toom
Prova 4
Problema 1.
Chamemos uma seqüência (an ) regular se cada termo dela é um
número natural e an ≥ an+1 para todos n . O conjunto de seqüências regulares é
contável ou não?
Problema 2.
Temos uma seqüência (an ) de números reais tal que
∀ ε > 0 ∀ k ∃ p > k ∃ q > k : |ap − aq | < ε.
Podemos concluir, que esta seqüência: (a) tem limite? (b) tem ponto de aderência?
Problema 3.
Temos uma seqüência C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , · · · de conjuntos
fechados limitados na reta IR tal que a união destes conjuntos é a toda reta IR .
Podemos concluir que
∞
[
(Ci ∩ Ci+1 ) = IR ?
i=1
Problema 4.
Tomemos conjunto
1 1 1
S = 0, 1, , , , . . .
2 3 4
(
)
e definimos distâncias entre seus elementos assim:
∀ x, y ∈ S : dist(x, y) = |x − y|.
(a) Isto é espaço metrico? (b) Ele é compacto?
Problema 5.
Temos duas funções f, g positivas e continuas na toda reta, quais
tendem para zero quando x → ∞ . Definimos terceira função na toda reta assim:
f 2 (x) g 2 (x)
h(x) =
+
.
g(x)
f (x)
Quais números podem ser limites de h(x) quando x → ∞ ?
Cada problema vale 2 pontos.
É proibido para prova durar mais que 3 horas.
GABARITOS
Problema 1.
Chamemos uma seqüência (an ) regular se cada termo dela é um
número natural e an ≥ an+1 para todos n . O conjunto de seqüências regulares
é contável ou não? Resposta: contável, sim. Dica: para cada seqüência
regular (an ) existe número n tal que an = an+1 = an+2 = an+3 = · · ·
Problema 2.
Temos uma seqüência (an ) de números reais tal que
∀ ε > 0 ∀ k ∃ p > k ∃ q > k : |ap − aq | < ε.
Podemos concluir, que esta seqüência: (a) tem limite? (b) tem ponto de aderência?
Respostas: (a) Não. (b) Não. Contra-exemplo: 1, 2, 3, 4, . . .
Problema 3.
Temos uma seqüência C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , · · · de conjuntos
fechados limitados na reta IR tal que a união destes conjuntos é a toda reta IR .
Podemos concluir que
∞
[
(Ci ∩ Ci+1 ) = IR ?
i=1
Resposta: não. Contra-exemplo:
(
Ci =
Problema 4.
[ 0, i ] se i é par,
.
[−i, 0 ] se i é ı́mpar.
Tomemos conjunto
1 1 1
S = 0, 1, , , , . . .
2 3 4
(
)
e definimos distâncias entre seus elementos assim:
∀ x, y ∈ S : dist(x, y) = |x − y|.
(a) Isto é espaço metrico? (b) Ele é compacto? Respostas: (a) Sim pois S é
sub-espaço de IR . (b) Sim pois é fechado e limitado.
Problema 5.
Temos duas funções f, g positivas e continuas na toda reta,
quais tendem para zero quando x → ∞ . Definimos terceira função na toda reta
assim:
f 2 (x) g 2 (x)
h(x) =
+
.
g(x)
f (x)
Quais números podem ser limites de h(x) quando x → ∞ ?
Resposta: todos números maior ou igual a zero.