6a Lista de Exercı́cios de Análise I
(1) Determine os 3 primeiros termos de cada seqüência. Diga se cada uma
das seqüências abaixo é limitada, monótona, convergente. justifique.
a) xn = n1
b) xn = 2
c) xn = −n
d) xn = (−1)n
e) xn = (−1)n n1
f) xn = 2n
2
g) xn = nn3−n
+3
h) xn = 21n
i) xn = (−1)n + n1
(2) Exiba 3 subseqüências distintas para a seqüência xn = n1 .
(3) Em cada item dê um exemplo ou justifique porque é impossı́vel da um
exemplo.
a) Uma seqüência não limitada que possua uma subseqüência convergente.
b) Uma seqüência monótona decrescente e não convergente.
c) Uma seqüência não monótona convergente.
d) Uma seqüência divergente que possua uma subseqüência convergindo
para 3.
e) Uma seqüência limitada e não convergente.
f) Uma seqüência convergente e não limitada.
g) Uma seqüência monótona crescente e convergente.
h) Uma seqüência monótona e não convergente.
i) Uma seqüência de números racionais convergindo para um número
irracional.
j) Uma seqüência de números irracionais convergindo para um número
racional.
k) Uma seqüência monótona crescente que converge para −2.
(4) Prove que se (xn ) e (yn ) são seqüências limitadas, então as seqüências
(xn + yn ) e (xn yn ) também são limitadas.
(5) Prove que a seqüência (xn ) definida por: x1 = 1, xn+1 = xn +
limitada.
1
xn
não é
(6) Prove que se (xn ) é uma seqüência tal que xn → a e xn > 0, ∀ n ∈ N,
então a ≥ 0.
1
(7) Prove que se an → 0 e xn é tal que |xn | ≤ an para cada n ∈ N, então
xn → 0.
(8) Prove que se xn → a, então |xn | → |a|. Enuncie a recı́proca desse
resultado. Dê um contra-exemplo mostrando que essa recı́proca é falsa,
salvo quando a = 0.
(9) Construa uma seqüência que tem uma subseqüência convergindo para 2
e outra convergindo para 3.
(10) Seja 0 < a < 1. Considere a seqüência cujo termo geral é xn = 1 + a +
n+1
1
. Mostre que lim xn = 1−a
a2 + . . . + an = 1−a
1−a
(11) Seja (xn ) uma seqüência de números reais tal que xn > 0, ∀ n ∈ N e
xn < kxn−1 , ∀ n ∈ N e ∀ k ∈ R , 0 < k < 1, k constante. Prove que
esta seqüência é decrescente e limitada, e conclua que ela converge.
(12) Verdadeiro ou falso, justificando.
a) Se (xn ) élimitada então (xn ) é convergente.
b) Se (xn ) possui uma subseqüência que converge então (xn ) é convergente.
c) Se (xn ) é convergente então (xn ) é monótona.
q
p
√ p
√
√
(13) Considere a seqüência (xn ) = ( 2, 2 + 2, 2 + 2 + 2, . . .) definida
√
√
por x1 = 2 e xn+1 = 2 + xn , para n ∈ N. Mostre, por indução, que
xn < 2, ∀ n ∈ N. Mostre, por indução, que a seqüência é crescente.
Conclua que a seqüência é convergente e calcule seu limite.
(14) Considere as seqüências de números reais (an ), (bn ) e (cn ), com an <
bn < cn , ∀ n ∈ N. Se lim an = lim cn = a, prove que lim bn = a.
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