1. lista de exercı́cios - MTM 5861 - B-Cálculo 1
Prof.: Danilo Royer
1. Dê exemplos de:
(a) Uma sequência convergente que não é crescente nem decrescente, e que
tenha uma subsequencia crescente e outra decrescente.
(b) Uma sequência divergente que não é crescente nem decrescente, e que
tenha uma subsequencia crescente e outra decrescente.
(c) Uma sequencia divergente que contenha uma subsequencia constante, e
a sequencia tem a seguinte propriedade: para cada n ∈ N existe m ∈ N,
m > n, tal que xn < xm .
(d) Uma sequencia convergente que não é constante, mas que tem uma
subsequência constante.
(e) Uma sequencia divergente que contenha uma quantidade infinita de
subsequencias convergentes.
1
2. Prove, pela definição, que a sequencia ( 2n
)n∈N converge para zero.
3. Prove, pela definição, que ( n13 )n∈N converge para zero. Mostre que ( n1m )n∈N
converge para zero, (em que m é um número natural fixo).
4. Mostre que:
2n3 +5n
3
n→∞ 3n +2
(a) lim
= 32 .
(b) lim
n4 +n3 +n2 −7
n4 +1
(c) lim
2n2 +4n+1
n3 +2
n→∞
n→∞
= 1.
= 0.
1
(d) lim
n→∞
√
n+1−
√
n = 0.
(e) lim
√
n
a = 1 se a > 0.
(f) lim
√
n
n = 1.
n→∞
n→∞
(g) lim
n→∞
√
n
n3 + 2n2 + n = 1.
1
5. Seja x1 = 1 e defina para cada n ∈ N, xn+1 = 1 + 1+x
. Mostre que
n
√
xn → 2. (sugestão: mostre que as subsequências (x2k )k∈N e (x2k+1 )k∈N são
monótonas).
6. Sejam a, b ∈ R+ . Defina Seja x1 = a e para cada n ∈ N, xn+1 = a +
√
Mostre que xn → a2 + b.
Obs.: Note que isto mostra que
√
a2 + b = a +
b
.
a+xn
b
2a+
b
b
2a+ 2a+...
7. Considere os polinômios p(x) = ar xr +...+a1 x+a0 e q(x) = bs xs +...+b1 x+b0
de grau r e s, respectivamente. Mostre que
p(n)
n→∞ q(n)
= 0 se r < s.
p(n)
n→∞ q(n)
=
(a) lim
(b) lim
ar
bs
se r = s.
8. Mostre que se (zn )n∈N é uma sequência crescente de números positivos e
ilimitada então z1n
converge para zero.
n∈N
9. Seja (xn )n∈N uma sequencia convergente para zero. Considere a sequencia
(yn )n∈N definida por yn = min{|x1 |, ..., |xn |}. Mostre que yn → 0.
10. Mostre que se lim xn = a então lim |xn | = |a|. Mostre que a recı́proca é
n→∞
n→∞
falsa, exceto o caso em que a = 0.
11. Mostre que se lim xn = a e lim (xn − yn ) = 0 então lim yn = a.
n→∞
n→∞
n→∞
2
12. Mostre que se uma sequencia de Cauchy tem uma subsequência convergente
então a sequencia é convergente.
yn
n→∞ a
13. Seja a 6= 0. Mostre que se lim
= 1 então lim yn = a
n→∞
14. Para cada n ∈ N seja tn ∈ [0, 1].
Se lim xn = a = lim yn , calcule
n→∞
n→∞
lim (tn xn + (1 − tn )yn ).
n→∞
15. Seja x1 = 1 e defina xn+1 = 1 +
1
.
xn
Mostre que (xn )n∈N é convergente.
(Sugestão: Mostre que |xn+2 − xn+1 | ≤
1
|x
2 n+1
− xn | e use este fato para
mostrar que (xn )n∈N é de cauchy).
1
cos(n2 x)
n→∞ n
16. Seja x ∈ R. Mostre que lim
2n+1
n→∞ n+sen(3n)
17. Mostre que lim
n
2
3
n→∞ n +cos(n )
18. Mostre que lim
= 0.
= 2.
= 0.
19. Mostre que se (xn )n∈N é uma sequência de termos positivos tal que xn → L
√
√
então xn → L.
20. Seja 0 < a < 2.
(a) Mostre que a <
√
2a < 2.
√ p √
(b) Mostre que a sequência ( 2, 2 2,
q p
√
2 2 2, ...) converge.
(c) Determine o limite da sequência do ı́tem acima. (use o fato de que se
√
√
xn → L então 2xn → 2L).
21. Calcule os seguintes limites:
(a) lim sen( n1 ).
n→∞
3
1
n→∞ n
(b) lim
arctan(n).
cos(n)2 +sen(2n)
.
n+sen(3n)
n→∞
(c) lim
(d) lim (− n1 )n .
n→∞
n!
n
n→∞ n
(e) lim
4