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Aula prática de Cálculo
Usando a planilha Excel
Limpando células na planilha Excel
Normalmente uma célula vazia não deve ter conteúdo
mas às vezes tem.
À Digite 123 na célula A1.
Prof. Ulysses Sodré
Profa. Sônia Ferreira L. Toffoli
Á Apague o 123 com a tecla DELETE .
 Esta célula ficará visualmente vazia, mas ainda conterá informações.
Londrina-PR, 27 de Junho de 2007, arquivo: excel001.tex
à Limpar de fato a célula A1, clicando em
Editar → Limpar → Tudo .
1
Alça de preenchimento no Excel
Ao selecionar as células de uma região, aparece
um quadradinho de cor preta no canto inferior direito da região selecionada, denominado alça de
preenchimento ou simplesmente alça .
À Inserir 1 na célula C1 e inserir 2 na célula C2
Á Selecionar a região C1:C2 para ver algo como
3
Sequências aritméticas e geométricas aparecem em
métodos estatı́sticos, crescimento populacional, decaimento radioativo, variação de temperatura em
um corpo, Matemática Financeira e muitas outras
situações de nossa vida.
3.1
 Arrastar a alça desde C2 até C11.
1
Sequências aritméticas e geométricas
Sequências aritméticas
Uma sequência aritmética é uma função f : N → R
definida por f (n) = f (1) + (n − 1)r, em que f (1) é o
primeiro termo, n é o número de termos e r é a
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razão, obtida como a diferença entre um termo e
o seu antecessor na sequência quando tratada no
conjunto Im(f ).
3.2
Progressão aritmética finita
Construı́mos uma PA com 15 termos, onde o primeiro
termo é f (1) = 7 e a razão é r = 3, com:
À Inserir uma nova planilha
3.3
Sequências geométricas
Sequência geométrica é uma função f : N → R
definida por f (n) = f (1)q n−1 em que f (1) é o primeiro
termo, n é o número de termos e q é a razão, obtida
pela divisão entre um termo e o seu antecessor na
sequência.
3.4 Progressão geométrica finita
Construı́mos uma PG com 15 termos, onde o primeiro
termo é f (1) = 7 e a razão é q = 3, com:
Á Inserir 7 na célula A1 .
 Selecionar a região A1:A15 e clicar em
Editar → Preencher → Seqüência .
À Inserir uma nova planilha
Á Inserir 7 na célula A1
 Selecionar a região A1:A15 e clicar em
Editar → Preencher → Seqüência .
à Inserir 3 na caixa vazia à direita de Incremento:
Ä Marcar o Tipo: Linear e pressionar OK .
à Inserir 3 na caixa à direita de Incremento: .
Ä Clicar em Tipo: Crescimento e pressionar OK .
3
4
3.5 Interpolação de termos em uma sequência
Podemos inserir vários números entre dois valores
dados, através da interpolação. Existem vários
processos de interpolação mas as mais comuns
são a aritmética e a geométrica.
3.6 Interpolação aritmética
Interpolar aritmeticamente 10 números reais entre a1 = 7 e an = 62, é o mesmo que construir uma
PA, com 12 termos, em que 10 termos são postos
entre os 2 outros dados (extremos).
3.7
Interpolação de termos geométricos
Interpolar geometricamente 10 números reais entre a1 = 5 e an = 10240, é similar a construir uma
PG, com 12 termos, em que 10 termos são postos
entre os 2 outros dados (extremos).
À Inserir uma nova planilha
Á Inserir 5 na célula A1 e 10240 na célula A12
 Selecionar a região A1:A12
à Pressionar Editar → Preencher → Seqüência .
À Inserir uma nova planilha
Á Em A1 escrever 7 e em A12 escrever 62 .
 Selecionar a região A1:A12 e pressionar
Editar → Preencher → Seqüência .
Ä Marcar Tendência e também Tipo: Crescimento .
Å Pressionar OK .
à O Excel calcula a razão da PA e mostra Incremento: 5 .
Ä Marcar Ripo: Linear e pressionar OK .
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6
4
Sequências de Fibonacci
A sequência de Fibonacci aparece em aplicações
da Matemática à Biologia (Filotaxia), Estética e
Beleza, aspectos geométricos como espirais e outros. Esta sequência pode ser obtida a partir de
dois valores, F (1) = 1 e F (2) = 1 e a relação ligando os dois primeiros termos, que para todo n
natural é:
F (n) = F (n − 1) + F (n − 2)
Assim, F (3) = 2, F (4) = 3, F (5) = 5, · · · .
4.1
Æ Selecionar B3 , arrastar a alça desde B3 até B15 .
5
Arrastar planilhas no Excel
Se temos uma planilha e desejamos construir outra
com os mesmos dados, não necessitamos digitar
de novo todas as informações, basta arrastar esta
planilha para criar uma outra para realizarmos
mudanças sem alterar a planilha original. O processo de arrastar funciona assim:
À Identifique na parte inferior esquerda da sua planilha
geral, algo como o que aparece na figura:
Construção de sequências de Fibonacci
Para construir uma sequência de Fibonacci com
15 termos, usamos:
À Inserir uma nova planilha.
Á Inserir 1 na célula A1 e 1 na célula A2;
 Escrever na célula A3: =A1+A2
à Selecionar A3 , arrastar a alça desde A3 até A15 .
Á Com o mouse, pressione sobre a planilha Plan4 e use
um dedo da mão esquerda, mantendo pressionada a
tecla Ctrl , ao mesmo tempo que você arrasta com o
mouse a planilha Plan4 para a direita.
 Após a operação acima, você verá uma nova planilha.
à Para renomear esta nova planilha, clique com o botão
direito do mouse sobre ela e escreva o novo nome,
como por exemplo, JecaTatu .
Ä Inserir 10 na célula B1 e 12 na célula B2;
Å Escrever na célula B3: =B1+B2
7
8
6
Somas de termos de sequências
O Excel é ótima para realizar somas de termos de
uma sequência numérica. Construiremos agora
uma sequência simples.
6.1
Somas parciais de termos de uma sequência
À Arrastar para a direita a planilha com a sequência de
Fibonacci.
Á Renomear a nova planilha com o nome fibo2 .
 Clicar com o mouse no corpo da planilha fibo2 .
à Na sequência, cuidado com as posições dos sinais $.
7
Limites de sequências
A planilha Excel pode calcular limites de sequências.
Por exemplo, é possı́vel obter o número de ouro
associado à sequência de Fibonacci
À Arrastar para a direita a planilha fibo2 .
Á Renomear a nova planilha com o nome fibo3 .
 Clicar com o mouse no corpo da planilha fibo3 .
à Inserir 10 na célula B1 e 12 na célula B2;
Ä Escrever na célula B3: =B1+B2
Å Selecionar B3 , arrastar a alça desde B3 até B15 .
Ä Escrever na célula B1: =SOMA($A$1:A1)
Å Copiar B1 para a região B1:B15
Æ Escrever na célula C1: =A2/A1
Ç Escrever na célula D1: =B2/B1
6.2
Somas de todos os termos de uma sequência
À Escrever na célula F4: =SOMA(A1:A15)
Á Comparar os dois últimos resultados obtidos.
6.3
Somas de todos os termos de uma região
È Selecionar C1:D1 e arrastar a alça desde C1:D1 até
C13:D13 .
A estabilidade dos valores ocorre em torno do valor
1, 618034 que é o Número de ouro, obtido como o
limite das divisões A2/A1 e B2/B1 quando n cresce
bastante.
À Escrever na célula F5: =SOMA(A1:B15)
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10
8
Produto de uma lista por um número
Para multiplicar uma lista por um mesmo número,
digamos 3,1416, deve-se ter a lista, que pode ser
qualquer uma das anteriores.
Vamos copiar a sequência de Fibonacci em uma
nova planilha.
Devemos anexar um sı́mbolo $ antes da coluna,
da linha ou de ambos, para manter fixa a coluna,
a linha ou ambos os indicadores fixados.
8.1
9
Exercı́cios (Thomas, Vol.2)
9.1
Pag.11 - Ex.57
À Inserir 1 em A1 e inserir 51 em A2.
Á Selecionar A1:A2 a arrastar a alça até A20 .
 Inserir em B1: =abs(0,5ˆ(1/A1)-1)
à Inserir em C1: =SE(B1 < 0,001; ”OK”; ”Continua”)
Ä Selecionar B1:C1 e arrastar a alça até B20:C20 .
Multiplicar uma lista por um número
À Arrastar para a direita a planilha fibo3 .
Á Renomear a nova planilha com o nome Lista .
 Clicar com o mouse no corpo da planilha Lista .
à Construir uma sequência na região A1:A10 .
Ä Escrever na célula B1: 3,1416
Å Escrever na célula C1: =$B$1*A1
9.2
Pag.11 - Ex.58
À Inserir 1 em A1 e inserir 201 em A2.
Á Selecionar A1:A2 e arrastar a alça até A50 .
 Inserir em B1: =abs((A1)ˆ(1/A1)-1)
à Inserir em C1: =SE(B1 < 0,001; ”OK”; ”Continua”)
Ä Selecionar B1:C1 e arrastar a alça até B50:C50 .
Æ Copiar C1 para a região C1:C10 .
11
12
9.3
Pag.11 - Ex.59
9.5
Pag.17 - Exemplo 7
À Inserir 1 em A1 e inserir 5 em A2.
À Inserir 3 em A1 e colocar o cursor sobre A1 .
Á Selecionar A1:A2 e arrastar a alça até A20 .
Á Pressionar em Inserir → Nome → Definir → A → OK .
 Inserir em B1: =(0,9)ˆ(A1)
 Inserir em A2: 1 e inserir em B2: =(1/4)*A2 + A
à Inserir em C1: =SE(B1<0,001; ”OK”; ”Continua”)
à Inserir em A3: =B2
Ä Selecionar B1:C1 e arrastar a alça até B20:C20 .
Ä Copiar B2 sobre a célula B3 .
Å Selecionar A3:B3 e arrastar a alça até A15:B15 .
9.4
9.6
Pag.11 - Ex.60
À Notação cientı́fica: 1E-07=1x10ˆ(-7)=0,0000001
Á Inserir 1 em A1 e inserir 2 em A2.
 Selecionar A1:A2 e arrastar a alça até A20 .
à Inserir em B1: =2ˆ(A1)/fatorial(A1)
Ä Inserir em C1: =SE(B1 < 1E-07; ”OK”; ”Continua”)
Å Selecionar B1:C1 e arrastar a alça até B20:C20 .
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Pag.19 - Ex.7 (Método de Newton)
À Estudar o Exerc.7(a) com f (x) = x2 − A e f 0 (x) = 2x.
Á Inserir 3 em A1 e colocar o cursor sobre A1 .
 Pressionar em Inserir → Nome → Definir → A → OK .
à Inserir em A2: 1 e em B2: =A2-(A2ˆ2-A)/(2*A2)
Ä Inserir em A3: =B2 e copiar B2 sobre B3 .
Å Selecionar A3:B3 e arrastar a alça até A15:B15 .
14
9.7
Pag.19 - Ex.8 (Método de Newton)
9.11
Pag.19 - Ex.10
À Substituir A1=3 por A1=2 na última planilha.
À Inserir em A1: 1 e inserir em A2: =A1 + cos(A1) .
Á Após pressionar ENTER , analise o que aconteceu.
Á Selecionar A2 e arrastar a alça sobre A2:A15 .
9.8
Pag.19 - Ex.9(a) (Método de Newton)
9.12
Pag.20 - Ex.35 (Estudar a parte inicial)
À Inserir em A1: 1 e em B1: =A1/2+1/A1
À Inserir 1 em A1 e inserir 2 em A2.
Á Inserir em A2: =B1 e copiar B1 sobre B2 .
Á Selecionar A1:A2 e arrastar a alça até A15 .
 Selecionar A2:B2 e arrastar a alça até A15:B15 .
9.9
Pag.19 - Ex.9(b) (Método de Newton)
 Inserir em B1: =1 e em C1: =B1 + 1/5ˆ(A1)
à Inserir em B2: =C1 e copiar C1 sobre C2 .
Ä Selecionar B2:C2 e arrastar a alça até B15:C15 .
À Inserir em A1: 1
Á Inserir em B1: =A1 - (tan(A1)-1)*(cos(A1)ˆ2)
 Inserir em A2: =B1 e copiar B1 sobre B2 .
à Selecionar A2:B2 e arrastar a alça até A15:B15 .
9.10
Pag.19 - Ex.9(c) (Método de Newton)
À Inserir em A1: 1 e inserir em A2: =A1 - 1 .
Á Selecionar A2 e arrastar a alça sobre A2:A15 .
15
9.13
Pag.20 - Ex.36 (Ver a parte inicial)
À Inserir 1 em A1 e 2 em A2.
Á Selecionar A1:A2 e arrastar a alça até A15 .
 Inserir em B1: =1 e em C1: =A1 + (-2)ˆ(A1) .
à Inserir em B2: =C1 e copiar C1 sobre C2 .
Ä Selecionar B2:C2 e arrastar a alça até B15:C15 .
16
9.14
Pag.20 - Ex.37(a) (Ver a parte inicial)
9.16
Pag.43 - Ex. 80
À Inserir em A1: 0,02015 e colocar o cursor sobre A1 .
À Inserir 1 em A1 e inserir 2 em A2.
Á Pressionar Inserir → Nome → Definir → r → OK .
Á Selecionar A1:A2 a arrastar a alça até A50 .
 Inserir em B1: 12 e colocar o cursor sobre B1 .
 Inserir em B1: =1/(A1ˆ3 *(sen(A1))ˆ2)
à Pressionar Inserir → Nome → Definir → m → OK .
à Inserir em C1: =SOMA($B$1:B1)
Ä Inserir em C1: 50 e colocar o cursor sobre C1 .
Ä Selecionar B1:C1 e arrastar a alça até B50:C50 .
Å Pressionar Inserir → Nome → Definir → b → OK .
Æ Inserir 0 em A2 e 1 em A3.
Ç Selecionar A2:A3 a arrastar a alça até A20 .
È Inserir em B2: 1000 e em B3: =(1+r/m)*B2 + b .
É Selecionar B3 e arrastar a alça até B20 .
9.15
Pag.20 - Ex. 37(b)
À Usar a última planilha construı́da.
Á Substituir B2 por 5000 e r por 0,0589 .
 Substituir m por 12 e b por -50 .
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