CONVERGÊNCIA MERIDIANA
Convergência meridiana
1 - Introdução
A convergência meridiana é o ângulo C, que num determinado
ponto P, é formado pela tangente ao meridiano deste, e a paralela ao meridiano central.
Desta forma a convergência meridiana é o ângulo formado entre o norte verdadeiro e o norte de quadricula.
Figura 03
2 – Utilização da convergência meridiana
A convergência meridiana é utilizada para transformar o azimute verdadeiro, determinando por via astronômica, em azimute
plano (norte de quadrícula) e vice-versa.
Figura 01
NV
NQ
C
MC
O azimute plano é utilizado, em geodésia, no cálculo do transporte de coordenadas planas sistema UTM (E,N).
= norte verdadeiro;
= norte da quadrícula;
= convergência meridiana;
= Meridiano central.
Figura 04
AzVAB
AzPAB
C
NV NQ Figura 02 - Sinal da convergência meridiana
C positivo
- no hemisfério sul - lado oeste do MC;
- no hemisfério norte - lado leste do MC.
C negativo
- no hemisfério sul - lado leste do MC;
- no hemisfério norte - lado oeste do MC.
= azimute verdadeiro da linha AB;
= azimute plano da linha AB;
= convergência meridiana;
= norte verdadeiro.
= norte de quadrícula.
O azimute verdadeiro é utilizado em topografia para cálculos
das coordenadas locais (X, Y).
O azimute geodésico é referenciado a superfície elipsoidal, enquanto o azimute verdadeiro é referenciado a superfície geoidal
(superfície real da Terra).
Em topografia de minas, para locação da área em campo, o
azimute verdadeiro é determinado, a partir do azimute plano
por técnica GNSS.
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A pequena diferença existente entre os azimutes pode ser, na
pratica, negligenciada sem prejuízo a precisão dos levantamentos topográficos.
mesmo no fuso.
3 – Fórmulas utilizadas
A convergência meridiana pode ser calculada em função das
coordenadas geodésicas Lat/Log ou das coordenadas planas
nos sistemas UTM, LTM e RTM.
3.1 – Fórmulas para cálculo da convergência meridiana a
partir das coordenadas geodésicas Lat/Long.
C = XIII x P x XIII x P3 + C’5 x P5
P = 0,0001∆λ'' → ∆λ = MC - λ
Figura 05
Todo o ponto de longitude compreendida entre 48º e 54º tem
MC = 51º.
3.2 - Fórmula para cálculo da convergência meridiana a partir das coordenadas planas – Sistema UTM
Coeficientes
XII = sen φ x 104
C = XV x q - XVI x q3 + F’5 x q5
q = 0,000001 E’ → E’ = |500.000 - E|
Onde:
Parâmetros dos elipsóides
Elipsóide UGGI 1967 - Datum SAD 69
a = 6.378.160,0000
b = 6.356.774,7192
e² = 0,00669454185459
e’² = 0,00673966079587
Elipsóide GRS 80 - Datum SIRGAS 2000
a = 6.378.137,0000
b = 6.356.752,3141
e² = 0,00669438000229
e’² = 0,00673949677548
Elementos das fórmulas
φ = latitude geodésica do ponto;
e’ = segunda excentricidade;
a = raio equatorial do elipsóide;
λ = longitude geodésica do ponto;
MC = meridiano central do fuso;
b = raio polar do elipsóide.
Determinação do meridiano central
Para determinar o MC, no sistema de coordenadas planas
UTM, conta-se, a partir do 1º MC ( λMC = 3º ), de 6º em 6º
desta forma
3º, 9º, 15º, ......, 45º, 51º, 57º,....
Para determinar a qual MC pertence o ponto, basta situar o
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K0 = 0,9996
Significado dos termos
= latitude do pé da perpendicular que vai do ponto considerado até o MC;
E = abscissa do sistema UTM;
e = primeira excentricidade do elipsóide;
e’ = segunda excentricidade do elipsóide;
K0 = fator de escala;
N = grande normal;
a = raio equatorial do elipsóide;
b = raio polar do elipsóide.
φ’
Determinação de φ’ por processo interativo.
1ª Aproximação
2ª Aproximação
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Determinação de q
q = 0,000001 x E’
3ª Aproximação
E’ = │500.000 – E│
4 – Exemplo aplicativo
4º Aproximação
4.1 – Calcular a convergência meridiana do vértice V1, cujas
coordenadas planas sistema UTM são:
Elipsóide GRS 80 - SIRGAS 2000
N = 6.816.018,279
E = 673.251,614
5º Aproximação
Determinação de φ’
N’ = 10.000.000 - N
N’ = 3183981,721
1ª Aproximação
6ª Aproximação
2ª Aproximação
φ’1 = 28,66166931º
Para o cálculo de φ’ bastam 6 aproximações.
3ª Aproximação
4º Aproximação
5º Aproximação
6ª Aproximação
φ’2 = 28,78300777º
φ’3 = 28,78333724º
φ’4 = 28,78333813º
φ’5 = 28,78333814º
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Como o ponto está a leste do meridiano central.
C = - 00º 51’ 15,9296”
4.2 Calcular a convergência meridiana do vértice V1 cujas
coordenadas geodésicas são:
Determinação de q
E = 673.251,614 E’ = |500.000 - E’| E’ = 173.251,614
φ’6 = 28,78333814º
Latitude (φ) = - 28º 46’ 18,0422” S
Longitude (λ) = - 49º 13’ 30,9833” W
MC
= 51º
C = XIII x P + XIII x P3+C’5 x P5
q = 0,173251614
Determinação de p
Determinação dos coeficientes
p = 0,0001 ∆λ
XV
∆λ = |λMC - λ|
→
∆λ = 1º 46’ 29,0167”
∆λ = 00º 23’ 47,5485’’
∆λ’’ = ∆λ x 3600
Cálculo de N
Δλ = 1º 46’ 29,0167”
Dados:
Cálculo dos coeficientes
a = 6.378.137,000
e2 = 0,006694541852
φ’ = - 28º 47’ 00,017”
XII P
XVI
N = 6.383.092,308
XV = 3.076,909676
XV x q = 3.076,909676
XII = sen φ x 104
XIII P³
Δλ” = 6.389,0167”
P
= 0,63890167
XII = 4.813,204522
XII x P = 3.075,164407
XIII = 2,941710
XIII x P³ = 0,767188
C’5 P5
XVI = 188,916617347
XVI x q3 = 0,980469
F’5
C’5 = 0,001775
F’5 = 2,701953466
Cálculos da convergência
C’5 P5 = 0,000189
C = XII x P + XIII x P3 +C’5 x P5
F’5 x q5 = 0,000422
C = 3075,929629”
Cálculo da convergência meridiana
C = XV x q - XVI x q3 + F’5 x q5
C = 0º 51’ 15,93178’’
C” = 3075,929629’’
Como o ponto está a leste do MC
C = - 0º 51’ 15,93178”
C = 00º 51’ 15,929629”
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