MACK
1.
No triângulo da figura a seguir, a circunferência inscrita tem
raio 1 e T é o ponto de tangência. Então o menor lado do
triângulo mede:
MACK
2.
Na figura, α = 30◦ , O é o centro da circunferência e AB é
o lado do polı́gono regular inscrito na circunferência. Se o
comprimento da circunferência é 4π, a área desse polı́gono
é:
a) 4
b) 6
c) 8
20
b)
7
a) 3
7
c)
2
9
d)
2
30
e)
7
p
3
p
3
p
d) 12
e) 16
3
p
3
p
3
resolu ção:
A área de um triângulo pode ser calculada de diversas
maneiras. Um artifı́cio para se determinar o tamanho de um
segmento é igualar duas fórmulas de área, uma vez que
esta é constante para um dado triângulo. Sabe-se que:

resolu ção:
Como ∠AOB é ângulo central, ∠AOB = 2α = 60◦ .
A = p · r
p

p · (p − a ) · (p − b ) · (p − c )
A =
p é o semi-perı́metro, e portanto:
p =
(6) + (4 + x ) + (2 + x )
=6+x
2
p ·r =
€
p ·r
p
Š2
Sendo 60◦ a medida do ângulo central, percebe-se que
◦
AB é lado de um hexágono (pois n = 360 /60◦ ).
p · (p − a ) · (p − b ) · (p − c )
=
€p
p · (p − a ) · (p − b ) · (p − c )
Š2
C = 2πR = 4π ⇒ R = 2
(6 + x )2C · 1 = X
(6X
+X
xX
)(x )(2)(4)
6
6 + x = 8x ⇒ x =
7
O menor lado mede 2 + x . A
20
7
A área do hexágono é dada pela soma das áreas dos 6
triângulos equiláteros que se formam. Então:
p
p
p
`2 3
22 3
Ahex = 6 ·
4
=6·
4
=6 3
3.
FUVEST
No paralelepı́pedo reto retângulo da figura abaixo, sabe-se
que AB = AD = a , AE = b e que M é a intersecção das
diagonais da face ABFE . Se a medida de MC também é
igual a b , o valor de b será:
a)
Ç
p
2a
b)
Ç
3
a
2
c)
7
a
5
d)
p
3a
Ç
e)
5
a
3
resolu ção:
É importante notar que existem dois triângulos retângulos no
interior do paralelepı́pedo, como é possı́vel ver nas imagens
a seguir:
A diagonal da base pode ser calculada
através do
p
2
Teorema de Pitágoras. Seu valor é
a + b 2 . Já no
triângulo destacado na segunda figura, tem-se hipotenusa
medindo b , um dos catetos
medindo a e o cateto restante
p
a2 +b2
. Então:
2
tem medida igual a
‚p
2
b =
a2 +b2
2
Œ2
+a2
4b 2 = a 2 + b 2 + 4a 2
Ç
3b 2 = 5a 2 ⇒ b = a
5
3