Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLAN A V
1 – POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE
RETA E CIRCUNFERÊNCIA
Reta exterior: Uma reta é exterior a uma
circunferência se essa reta não corta a circunferência
Reta secante: Uma reta é secante a uma
circunferência se essa reta corta a circunferência em
dois pontos diferentes.
2.3 – Ângulo de vértice interior
É um ângulo formado por duas retas secantes
à circunferência e cujo vértice está no interior desta. A
medida desse ângulo é metade da soma dos arcos ̂
e ̂ que determina na circunferência. Observe a figura
3 abaixo:
Reta tangente: Uma reta tangente a uma
circunferência é uma reta que intercepta a
circunferência em um único ponto . Este ponto é
conhecido como ponto de tangência ou ponto de
contato.
2 – ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Figura 3 – ângulo excêntrico interior
2.1 – Ângulo central
É o ângulo cujo vértice é o centro da
circunferência. Simples assim. A medida desse ângulo
é dada pela medida do arco ̂ que ele determina.
Observe a figura 1 abaixo:
2.4 – Ângulo de vértice exterior
É o ângulo formado por duas secantes ou
tangentes à circunferência que se encontram em um
ponto exterior à essa. Vale metade da diferença dos
arcos ̂ e ̂ que ele determina na circunferência.
Observe a figura 4 abaixo:
Figura 1 – ângulo central
2.2 – Ângulo inscrito
É todo ângulo cujo vértice pertence à
circunferência e seus lados são secantes à ela. A
medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida
do arco ̂ correspondente. Observe a figura 2 abaixo:
Figura 4 – ângulo excêntrico exterior
2.5 – Ângulo de segmento
Neste caso, temos o vértice na circunferência e
no encontro de uma tangente com uma secante. Vale
metade do arco ̂ que determina. Observe a figua 5
abaixo:
Figura 2 – ângulo inscrito
Observação importante: Todos os ângulos inscritos
que “enxergam” o mesmo arco são iguais entre si.
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Geometria
Figura 5 – ângulo de segmento
1
3 – QUADRILÁTERO INSCRITÍVEL
Resolução:
̂
Temos que α é ângulo inscrito, portanto
Mas o ângulo central
̂ nos diz que ̂
̂
Assim,
Resposta: O ângulo
é
Exercício Resolvido 2:
Calcule o ângulo
na figura abaixo.
Figura 6 – quadrilátero inscritível
Em um quadrilátero inscritível, todos os
ângulos internos são ângulos inscritos. Na figura
acima, tem-se que:
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
Resolução:
Temos que
Além disso, como a circunferência correspond
ao ângulo central de
, a própria circunferência é
um arco de
. Então:
̂
Figura 8: figura do exercício resolvido 2
̂
é ângulo inscrito, portanto
Ainda, pelo ângulo inscrito de
̂
̂
, calculamos:
̂
Mas, ̂ + ̂
, uma vez que determina toda a
circunferência ( observe na figura!).
̂
Sendo assim:
̂
̂
̂
̂
̂
.
̂
Por fim, da equação
:
̂
Logo, em um quadrilátero inscritível,os ângulos
opostos são suplementares.
Resposta: O ângulo
é
Exercício Resolvido 1:
Exercício Resolvido 3:
Calcule o ângulo
Determine os arcos
na figura abaixo.
e
na figura abaixo.
Figura 9: figura do exercício resolvido 3
Figura 7: figura do exercício resolvido 1
2
Geometria
CASD Vestibulares
Resolução:
Exercício Resolvido 5:
O ângulo de
é excêntrico interior, assim:
O ângulo de
é excêntrico exterior, assim:
Determine o arco
E com as equações
e
, podemos armar
um sistema que nos dá o valor de e .
Fazendo
Fazendo
na figura abaixo.
Figura 11: figura do exercício resolvido 5
, tem-se:
Resolução:
, tem-se:
Começaremos calculando o valor do ângulo
̂
̂ . Observe que
̂ é ângulo exterior à
circunferência pequena, portanto:
̂
Resposta: Os arcos
e
são
e
De onde veio esse
usado na conta
acima? Como o arco maior ̂ vale
, o arco
menor ̂ vale
.
Assim, a figura do exercíco fica:
Exercício Resolvido 4:
Atividade para Sala nº 3, Geometria Plana V
Resolução:
̂ , a figura do problema é a seguinte:
Se
̂
Figura 12: figura 11 atualizada com o ângulo
Observe na figura 10 o triângulo
̂
(pois é suplemento de
̂
Portanto,
internos do triângulo).
̂
Como
Mas
̂
e
̂
Como o ângulo
exterior, tem-se:
̂
̂
é um ângulo de vértice
dos
então
̂
ângulos
.
̂
̂
̂
Observe que
pois determinam uma
semicircunferência, uma vez que
é diâmetro.
Dessa forma,
̂
Resposta: Alternativa E
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̂
̂
(Soma
).
é ângulo inscrito, e, da fórmula já vista:
̂
Figura 10: figura do exercício resolvido 4
:
Resposta: O arco
é
Observação: é muito importante que você vá
acompanhando a resolução dos exercícos resolvidos
enquanto faz o desenho com lápis e papel. Só ler não
é suficiente!
Geometria
3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
4. Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo.
A soma, em radianos, dos ângulos α e β mostrados na
figura é:
1. Atividade Proposta nº 9, Geometria Plana V
2. Calcule os valores de
.
a)
b)
a)
b)
c)
d)
e)
5. Na figura,
é diâmetro da circunferência. O menor
dos arcos ̂ mede
c)
d)
a)
3. Calcule os valores de .
a)
b)
c)
d)
e)
Nível II
b)
6. (UFES - 04) Na figura, os segmentos de reta
e
são tangentes à circunferência, o arco ̂ mede
e o ângulo ̂ mede
. A medida, em graus,
do ângulo ̂ é
c)
d)
a)
b)
c)
d)
e)
7. (UFMG - 99) Observe a figura.
e)
f)
Nessa figura,
é um diâmetro da circunferência
circunscrita ao triângulo
, e os ângulos ̂ e ̂
medem, respectivamente,
e
.
Assim sendo, o ângulo ̂ mede
a)
4
Geometria
b)
c)
d)
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8. Na figura abaixo,
é o centro da circunferência,
√ e o raio da circunferencia é igual a . A
medida do arco ̂ é:
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. A circunferência corresponde a um ângulo central de
, logo como Bittar conseguiu
dos votos, o
ângulo central do seu setor corresponde a
de
, que é
2. a) Ângulo inscrito. b) Ângulo de vértice interior.
c) Ângulo de vértice exterior d) Ângulo de segmento
a)
b)
c)
d)
e)
3. a) Calcule o arco ̂ e note que
9. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana V
b) Calcule o arco ̂ e note que
10. Os pontos , e pertecem a uma circunferência
de centro . Sabe-se que
é perpendicular a
e
forma com
um ângulo de
. Então, a tangente à
circunferência no ponto
forma com a reta
um
ângulo de:
c) Quadrilátero inscritível
a)
b)
c)
d)
d) Calcule
inscritível
11. (MACKENZIE - 98) Na figura a seguir, os arcos
°
e
medem, respectivamente,
e
.
Então, o arco
mede:
é ângulo inscrito
̂ , usando a idéia de quadrilátero
e) O ângulo de
com o ângulo de
e)
é ângulo inscrito
e o terceiro ângulo do triângulo
enxergam o mesmo arco.
f) Calcule o arco enxergado pelo suplemento de
e depois o suplemento de (o suplemento de
um ângulo de vértice exterior)
,
é
4. Quadrilátero inscritível
5. Como
é um diâmetro, o arco ̂ mede
, logo
̂
̂
. Calcule o arco ̂ , lembrando que
é ângulo inscrito
6. Calcule o arco ̂ , lembrando que ̂ é ângulo
inscrito. Calcule o arco ̂ , o arco ̂ e note que
̂ é ângulo de vértice exterior
a)
b)
c)
d)
e)
7. Calcule o arco ̂ , lembrando que ̂ é ângulo
inscrito. Calcule o arco ̂ , lembrando que ̂ é
ângulo de vértice interior. Como
é um diâmetro, o
̂
arco ̂ mede
, logo ̂
. Calcule o
arco ̂ e note que ̂ é ângulo inscrito
8. Como
é um diâmetro, o arco ̂ mede
Como ̂ é ângulo inscrito,
̂
̂
̂
.
̂
Logo, o triângulo
é retângulo! Note que
e
̂ .
use a trigonometria para calcular o ângulo
Calcule o arco ̂ , lembrando que ̂ é ângulo
inscrito
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Geometria
5
9. Como
e
são ângulos inscritos, ̂
̂
. Como o ângulo central
mede
̂
. Além disso, tem-se que:
̂
̂
̂
̂
̂
e
,
̂
̂
10. Como
é perpendicular a
, o ângulo central
mede
, logo o arco ̂ vale
. Chame o
ponto em que
corta
de e o ponto que
corta
novamente a circunferência de
é
diâmetro). Pelo enunciado, o ângulo ̂ vale
.
Note que ̂ é um ângulo de vértice interior e calcule
o arco ̂ . Como
é um diâmetro, o arco ̂ mede
̂
̂
, logo
. Calcule o arco ̂ .
Chame o ponto que a tangente à circunferência no
ponto corta a reta
. Note que o ângulo ̂ é um
ângulo de vértice exterior
11. Chame o arco maior que liga os pontos
̂ . Então, tem-se:
̂
̂
̂
e
de
̂
̂ (que é inscrito e enxerga o
Calcule o ângulo
arco ̂ ) e o ângulo ̂ (que é inscrito e enxerga o
arco maior ̂ ). Note que o ângulo ̂ é um ângulo
̂
̂ .
externo ao triângulo
, então ̂
̂
Calcule
e note que ele é um ângulo inscrito que
enxrga o arco
GABARITO
1. C
2. a)
b)
3. a)
b)
e)
c)
c)
d)
d)
f)
4. C
5. A
6. B
7. A
8. D
9. D
10. D
11. A
6
Geometria
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